Tämän palvelun avulla voit etsi funktion suurin ja pienin arvo yksi muuttuja f(x) ratkaisun suunnittelulla Wordissa. Jos funktio f(x,y) on annettu, on siksi löydettävä kahden muuttujan funktion ääriarvo. Löydät myös funktion lisäys- ja laskuvälit.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

y=

segmentillä [ ;]

Sisällytä teoria

Toimintojen syöttösäännöt:

Tarvittava ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Yhtälö f "0 (x *) \u003d 0 on välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle, eli pisteessä x * funktion ensimmäisen derivaatan täytyy kadota. Se valitsee kiinteät pisteet x c, joissa funktio ei kasva eikä vähene.

Riittävä ehto yhden muuttujan funktion ääripäälle

Olkoon f 0 (x) kahdesti differentioituva joukkoon D kuuluvan x:n suhteen. Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Tällöin piste x * on funktion paikallisen (globaalin) minimin piste.

Jos pisteessä x * ehto täyttyy:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Piste x * on paikallinen (globaali) maksimi.

Esimerkki #1. Etsi funktion suurin ja pienin arvo: segmentistä .
Päätös.

Kriittinen piste on yksi x 1 = 2 (f'(x)=0). Tämä piste kuuluu segmenttiin . (Piste x=0 ei ole kriittinen, koska 0∉).
Laskemme funktion arvot segmentin päissä ja kriittisessä pisteessä.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=38/81
Vastaus: f min = 5/2, kun x = 2; f max = 9 kohdassa x = 1

Esimerkki #2. Etsi käyttämällä korkeamman asteen derivaattoja funktion y=x-2sin(x) ääriarvo.
Päätös.
Etsi funktion derivaatta: y’=1-2cos(x) . Etsitään kriittiset pisteet: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Löydämme y''=2sin(x), laskemme , joten x= π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion minimipisteitä; , joten x=- π / 3 +2πk, k∈Z ovat funktion maksimipisteitä.

Esimerkki #3. Tutki pisteen x=0 läheisyydessä olevaa ääriarvofunktiota.
Päätös. Tässä on löydettävä funktion ääripää. Jos äärisumma x=0 , niin selvitä sen tyyppi (minimi tai maksimi). Jos löydettyjen pisteiden joukossa ei ole x = 0, laske funktion arvo f(x=0).
On huomioitava, että kun tietyn pisteen kummallakin puolella oleva derivaatta ei muuta etumerkkiään, mahdolliset tilanteet eivät ole käytetty edes differentioituvien funktioiden kohdalla: voi käydä niin, että mielivaltaisen pienelle naapurustolle pisteen toisella puolella x 0 tai molemmilla puolilla derivaatta muuttaa merkkiä. Näissä kohdissa täytyy soveltaa muita menetelmiä ääripään funktioiden tutkimiseen.

Käytännön näkökulmasta mielenkiintoisinta on derivaatan käyttö funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi. Mihin se liittyy? Voittojen maksimointi, kustannusten minimoiminen, laitteiden optimaalisen kuormituksen määrittäminen... Toisin sanoen monilla elämänalueilla on ratkaistava joidenkin parametrien optimointi. Ja tämä on funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelma.

On huomattava, että funktion suurinta ja pienintä arvoa etsitään yleensä joltain väliltä X, joka on joko funktion koko alue tai osa aluetta. Itse väli X voi olla jana, avoin väli , ääretön intervalli.

Tässä artikkelissa puhumme yhden muuttujan y=f(x) eksplisiittisesti annetun funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisestä.

Sivulla navigointi.

Funktion suurin ja pienin arvo - määritelmät, kuvat.

Pysähdytään lyhyesti tärkeimpiin määritelmiin.

Funktion suurin arvo , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Funktion pienin arvo y=f(x) välissä X kutsutaan sellaiseksi arvoksi , joka mille tahansa eriarvoisuus on totta.

Nämä määritelmät ovat intuitiivisia: funktion suurin (pienin) arvo on suurin (pienin) arvo, joka on hyväksytty tarkasteluvälillä abskissalla.

Kiinteät pisteet ovat argumentin arvoja, joissa funktion derivaatta häviää.

Miksi tarvitsemme kiinteitä pisteitä, kun etsimme suurimpia ja pienimpiä arvoja? Vastauksen tähän kysymykseen antaa Fermatin lause. Tästä lauseesta seuraa, että jos differentioituvalla funktiolla on jossain pisteessä ääriarvo (paikallinen minimi tai paikallinen maksimi), tämä piste on stationäärinen. Siten funktio ottaa usein suurimman (pienimmän) arvonsa väliltä X jossakin kiinteässä pisteessä tästä intervallista.

Lisäksi funktio voi usein saada suurimmat ja pienimmät arvot pisteissä, joissa tämän funktion ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja itse funktio on määritelty.

Vastataan heti yhteen tämän aiheen yleisimmistä kysymyksistä: "Onko aina mahdollista määrittää funktion suurin (pienin) arvo"? Ei ei aina. Joskus välin X rajat osuvat yhteen funktion alueen rajojen kanssa tai väli X on ääretön. Ja jotkut funktiot äärettömyydessä ja määritelmäalueen rajoilla voivat ottaa sekä äärettömän suuria että äärettömän pieniä arvoja. Näissä tapauksissa ei voida sanoa mitään funktion suurimmasta ja pienimmästä arvosta.

Selvyyden vuoksi annamme graafisen kuvan. Katso kuvia - ja paljon tulee selväksi.

Segmentillä

Ensimmäisessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvon janan sisällä olevista kiinteistä pisteistä [-6;6] .

Harkitse toisessa kuvassa esitettyä tapausta. Muuta segmentiksi . Tässä esimerkissä funktion pienin arvo saavutetaan kiinteässä pisteessä ja suurin - pisteessä, jonka abskissa vastaa välin oikeaa rajaa.

Kuvassa 3 janan [-3; 2] rajapisteet ovat funktion suurinta ja pienintä arvoa vastaavien pisteiden abskissoja.

Avoimella alueella

Neljännessä kuvassa funktio ottaa suurimman (max y ) ja pienimmän (min y ) arvot kiinteässä pisteessä avoimen intervallin (-6;6) sisällä.

Intervallilla ei voi tehdä johtopäätöksiä suurimmasta arvosta.

äärettömyydessä

Seitsemännessä kuvassa esitetyssä esimerkissä funktio saa suurimman arvon (max y ) kiinteässä pisteessä, jonka abskissa x=1 , ja pienin arvo (min y ) saavutetaan intervallin oikealla rajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 .

Intervallilla funktio ei saavuta pienintä tai suurinta arvoa. Kun x=2 suuntautuu oikealle, funktioarvot pyrkivät miinus äärettömyyteen (suora x=2 on pystysuora asymptootti), ja kun abskissa pyrkii plus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y=3 . Tämän esimerkin graafinen esitys näkyy kuvassa 8.

Algoritmi jatkuvan funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi segmentiltä .

Kirjoitamme algoritmin, jonka avulla voimme löytää segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvon.

1. Etsimme funktion toimialueen ja tarkistamme, sisältääkö se koko segmentin.
2. Löydämme kaikki pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa ja jotka sisältyvät segmenttiin (yleensä tällaisia ​​pisteitä esiintyy funktioissa, joissa on argumentti moduulimerkin alla ja potenssifunktioissa, joissa on murto-rationaalinen eksponentti). Jos tällaisia ​​pisteitä ei ole, siirry seuraavaan kohtaan.
3. Määritämme kaikki kiinteät pisteet, jotka kuuluvat segmenttiin. Tätä varten vertaamme sen nollaan, ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön ja valitsemme sopivat juuret. Jos paikallaan olevia pisteitä ei ole tai mikään niistä ei kuulu segmenttiin, siirry seuraavaan vaiheeseen.
4. Laskemme funktion arvot valituissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on), pisteissä, joissa ensimmäistä derivaattia ei ole (jos sellainen on), sekä myös kohdissa x=a ja x=b .
5. Valitsemme saaduista funktion arvoista suurimman ja pienimmän - ne ovat funktion halutut enimmäisarvot ja pienimmät arvot.

Analysoidaan algoritmia, kun ratkaistaan ​​esimerkkiä segmentin funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämiseksi.

Esimerkki.

Etsi funktion suurin ja pienin arvo

• segmentillä;
• aikavälillä [-4;-1] .

Päätös.

Toimintoalue on koko joukko reaalilukuja, paitsi nolla, eli . Molemmat segmentit kuuluvat määritelmän piiriin.

Löydämme funktion derivaatan suhteessa:

Ilmeisesti funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä ja [-4;-1] .

Kiinteät pisteet määritetään yhtälöstä . Ainoa todellinen juuri on x=2 . Tämä paikallaan oleva piste putoaa ensimmäiseen segmenttiin.

Ensimmäisessä tapauksessa laskemme funktion arvot janan päissä ja paikallaan olevassa pisteessä, eli kohdissa x=1, x=2 ja x=4:

Siksi funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa x=1 ja pienin arvo – kohdassa x=2.

Toisessa tapauksessa laskemme funktion arvot vain janan [-4;-1] päissä (koska se ei sisällä yhtä kiinteää pistettä):

Käytännössä on melko yleistä käyttää derivaatta funktion suurimman ja pienimmän arvon laskemiseen. Suoritamme tämän toiminnon, kun selvitämme kuinka minimoida kustannukset, lisätä voittoja, laskea tuotannon optimaalinen kuormitus jne., toisin sanoen niissä tapauksissa, joissa on tarpeen määrittää parametrin optimaalinen arvo. Jotta tällaiset ongelmat voidaan ratkaista oikein, on oltava hyvä käsitys siitä, mikä on funktion suurin ja pienin arvo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Yleensä määritämme nämä arvot jonkin intervallin x sisällä, mikä puolestaan ​​voi vastata koko funktion laajuutta tai sen osaa. Se voi olla joko segmentti [ a ; b ] , ja avoin väli (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) , ääretön väli (a ; b) , (a ; b ] , [a ; b) tai ääretön väli - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Tässä artikkelissa kuvataan, kuinka eksplisiittisesti annetun funktion suurin ja pienin arvo lasketaan yhdellä muuttujalla y=f(x) y = f (x).

Perusmääritelmät

Aloitamme, kuten aina, tärkeimpien määritelmien muotoilulla.

Määritelmä 1

Funktion y = f (x) suurin arvo jollain välillä x on arvo m a x y = f (x 0) x ∈ X , joka mille tahansa arvolle x x ∈ X , x ≠ x 0 tekee epäyhtälöstä f (x) ) ≤ f (x 0) .

Määritelmä 2

Funktion y = f (x) pienin arvo jollain välillä x on arvo m i n x ∈ X y = f (x 0) , joka mille tahansa arvolle x ∈ X , x ≠ x 0 tekee epäyhtälöstä f(X) f(x) ≥ f(x0) .

Nämä määritelmät ovat melko ilmeisiä. Voi olla vielä yksinkertaisempaa sanoa tämä: funktion suurin arvo on sen suurin arvo tunnetulla aikavälillä abskissalla x 0 ja pienin on pienin hyväksytty arvo samalla välillä kohdassa x 0.

Määritelmä 3

Kiinteät pisteet ovat sellaisia ​​funktion argumentin arvoja, joissa sen derivaatasta tulee 0.

Miksi meidän on tiedettävä, mitä kiinteät pisteet ovat? Jotta voimme vastata tähän kysymykseen, meidän on muistettava Fermatin lause. Siitä seuraa, että stationäärinen piste on piste, jossa differentioituvan funktion ääripiste sijaitsee (eli sen paikallinen minimi tai maksimi). Näin ollen funktio ottaa pienimmän tai suurimman arvon tietyllä aikavälillä täsmälleen yhdessä paikallaan olevista pisteistä.

Toinen funktio voi saada suurimman tai pienimmän arvon niissä pisteissä, joissa itse funktio on määrällinen ja sen ensimmäistä derivaattia ei ole olemassa.

Ensimmäinen kysymys, joka herää tätä aihetta tutkiessa, on: voimmeko kaikissa tapauksissa määrittää funktion maksimi- tai minimiarvon tietyllä aikavälillä? Ei, emme voi tehdä tätä, kun annetun intervallin rajat ovat samat kuin määritelmäalueen rajoja tai jos kyseessä on ääretön intervalli. On myös mahdollista, että funktio tietyllä aikavälillä tai äärettömässä saa äärettömän pieniä tai äärettömän suuria arvoja. Näissä tapauksissa ei ole mahdollista määrittää suurinta ja/tai pienintä arvoa.

Nämä hetket tulevat ymmärrettävämmiksi kaavioiden kuvan jälkeen:

Ensimmäinen kuva esittää meille funktion, joka saa suurimmat ja pienimmät arvot (m a x y ja m i n y) paikallaan olevissa pisteissä, jotka sijaitsevat intervallilla [-6 ; 6].

Tarkastellaan yksityiskohtaisesti toisessa kaaviossa esitettyä tapausta. Muutetaan segmentin arvoksi [ 1 ; 6] ja saamme, että funktion suurin arvo saavutetaan kohdassa, jossa abskissa on intervallin oikealla rajalla, ja pienin - stationaarisessa pisteessä.

Kolmannessa kuvassa pisteiden abskissat edustavat janan rajapisteitä [-3 ; 2]. Ne vastaavat annetun funktion suurinta ja pienintä arvoa.

Katsotaan nyt neljättä kuvaa. Siinä funktio ottaa m a x y (suurin arvo) ja m i n y (pienin arvo) avoimen intervallin (- 6 ; 6) stationaarisissa pisteissä.

Jos otamme intervallin [ 1 ; 6) , silloin voidaan sanoa, että siinä olevan funktion pienin arvo saavutetaan paikallaan olevassa pisteessä. Emme tiedä enimmäisarvoa. Funktio voisi saada suurimman arvon kohdassa x, joka on yhtä suuri kuin 6, jos x = 6 kuuluisi väliin. Juuri tämä tapaus on esitetty kuvassa 5.

Kuvaajalla 6 tämä funktio saa pienimmän arvon intervallin oikealta reunalta (- 3 ; 2 ] ), eikä suurimmasta arvosta voi tehdä varmoja johtopäätöksiä.

Kuvasta 7 näemme, että funktiolla on m a x y stationaarisessa pisteessä, jonka abskissa on 1 . Funktio saavuttaa minimiarvonsa oikean puolen intervallirajalla. Miinus äärettömässä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y = 3 .

Jos otetaan väli x ∈ 2 ; + ∞ , niin näemme, että annettu funktio ei ota sille pienintä tai suurinta arvoa. Jos x pyrkii 2:een, niin funktion arvot pyrkivät miinus äärettömään, koska suora x = 2 on pystysuora asymptootti. Jos abskissa pyrkii plus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti arvoa y = 3. Tämä on kuvan 8 tapaus.

Tässä kappaleessa annamme toimintosarjan, joka on suoritettava funktion suurimman tai pienimmän arvon löytämiseksi tietyllä aikavälillä.

1. Etsitään ensin funktion toimialue. Tarkastetaan, sisältyykö ehdossa määritetty segmentti siihen.
2. Lasketaan nyt tämän segmentin sisältämät pisteet, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa. Useimmiten ne löytyvät funktioista, joiden argumentti on kirjoitettu moduulimerkin alle, tai potenssifunktioista, joiden eksponentti on murto-rationaalinen luku.
3. Seuraavaksi selvitetään, mitkä kiinteät pisteet kuuluvat tiettyyn segmenttiin. Tätä varten sinun on laskettava funktion derivaatta, yhdistettävä se sitten nollaan ja ratkaistava tuloksena oleva yhtälö ja valittava sitten sopivat juuret. Jos emme saa yhtä kiinteää pistettä tai ne eivät kuulu tiettyyn segmenttiin, siirrymme seuraavaan vaiheeseen.
4. Määritetään, mitkä arvot funktio saa annetuissa stationaarisissa pisteissä (jos sellaisia ​​on) tai pisteissä, joissa ensimmäistä derivaatta ei ole olemassa (jos sellainen on), tai lasketaan arvot x = a ja x = b.
5. 5. Meillä on sarja funktioarvoja, joista meidän on nyt valittava suurin ja pienin. Tämä on funktion suurin ja pienin arvo, joka meidän on löydettävä.

Katsotaanpa, kuinka tätä algoritmia käytetään oikein, kun ratkaistaan ​​ongelmia.

Esimerkki 1

Kunto: funktio y = x 3 + 4 x 2 on annettu. Määritä sen suurin ja pienin arvo segmenteillä [1; 4] ja [-4; - yksi ] .

Päätös:

Aloitetaan etsimällä tämän funktion toimialue. Tässä tapauksessa se on kaikkien reaalilukujen joukko paitsi 0 . Toisin sanoen D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Molemmat ehdossa määritellyt segmentit ovat määritelmäalueen sisällä.

Nyt lasketaan funktion derivaatta murtoluvun differentiaatiosäännön mukaan:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Opimme, että funktion derivaatta on olemassa segmenttien kaikissa pisteissä [1; 4] ja [-4; - yksi ] .

Nyt meidän on määritettävä funktion kiinteät pisteet. Tehdään tämä yhtälöllä x 3 - 8 x 3 = 0. Sillä on vain yksi todellinen juuri, joka on 2. Se on funktion kiinteä piste ja putoaa ensimmäiseen segmenttiin [ 1 ; 4].

Lasketaan funktion arvot ensimmäisen segmentin päissä ja annetussa pisteessä, ts. kun x = 1, x = 2 ja x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 v(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Olemme saaneet, että funktion m a x y x ∈ suurin arvo [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 saavutetaan kun x = 1, ja pienin m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – kohdassa x = 2 .

Toinen segmentti ei sisällä kiinteitä pisteitä, joten meidän on laskettava funktioarvot vain tietyn segmentin päistä:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Näin ollen m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vastaus: Segmentille [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 segmentille [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Katso kuva:

Ennen kuin opit tämän menetelmän, suosittelemme tarkistamaan, kuinka yksipuolinen raja ja raja äärettömässä lasketaan oikein, sekä oppia perusmenetelmät niiden löytämiseksi. Löytääksemme funktion suurimman ja/tai pienimmän arvon avoimella tai äärettömällä aikavälillä, suoritamme seuraavat vaiheet peräkkäin.

1. Ensin on tarkistettava, onko annettu aikaväli tietyn funktion toimialueen osajoukko.
2. Määritetään kaikki pisteet, jotka sisältyvät vaadittuun väliin ja joissa ensimmäistä derivaattia ei ole olemassa. Yleensä niitä esiintyy funktioissa, joissa argumentti on suljettu moduulin etumerkkiin, ja potenssifunktioissa, joissa on murto-rationaalinen eksponentti. Jos nämä kohdat puuttuvat, voit siirtyä seuraavaan vaiheeseen.
3. Nyt määritetään, mitkä paikallaan olevat pisteet kuuluvat tiettyyn väliin. Ensin samastamme derivaatan 0:aan, ratkaisemme yhtälön ja etsimme sopivat juuret. Jos meillä ei ole yhtä paikallaan olevaa pistettä tai ne eivät kuulu määritetylle aikavälille, siirrymme välittömästi lisätoimiin. Ne määräytyvät intervallityypin mukaan.

• Jos intervalli näyttää tältä [ a ; b) , silloin täytyy laskea funktion arvo pisteessä x = a ja yksipuolinen raja lim x → b - 0 f (x) .
• Jos väli on muotoa (a ; b ] , niin meidän on laskettava funktion arvo pisteessä x = b ja yksipuolinen raja lim x → a + 0 f (x) .
• Jos väli on muotoa (a ; b) , niin meidän on laskettava yksipuoliset rajat lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
• Jos intervalli näyttää tältä [ a ; + ∞) , silloin on tarpeen laskea arvo pisteessä x = a ja raja plus äärettömään lim x → + ∞ f (x) .
• Jos väli näyttää tältä (- ∞ ; b ] , lasketaan arvo pisteessä x = b ja raja miinus äärettömässä lim x → - ∞ f (x) .
• Jos - ∞ ; b , niin tarkastelemme yksipuolista rajaa lim x → b - 0 f (x) ja rajaa miinus äärettömässä lim x → - ∞ f (x)
• Jos - ∞ ; + ∞ , niin tarkastellaan miinus- ja plusäärettömyyden rajoja lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Lopuksi sinun on tehtävä johtopäätös funktion ja rajojen saatujen arvojen perusteella. Tässä on monia vaihtoehtoja. Joten jos yksipuolinen raja on yhtä suuri kuin miinus ääretön tai plus ääretön, niin on heti selvää, ettei funktion pienimmistä ja suurimmasta arvosta voida sanoa mitään. Seuraavassa tarkastelemme yhtä tyypillistä esimerkkiä. Yksityiskohtaiset kuvaukset auttavat sinua ymmärtämään, mikä on mitä. Tarvittaessa voit palata kuviin 4 - 8 materiaalin ensimmäisessä osassa.

Esimerkki 2

Ehto: annettu funktio y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Laske sen suurin ja pienin arvo välissä - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Päätös

Ensinnäkin löydämme funktion toimialueen. Murtoluvun nimittäjä on neliötrinomi, jonka ei pitäisi mennä nollaan:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Olemme saaneet funktion laajuuden, johon kaikki ehdossa määritellyt intervallit kuuluvat.

Erotetaan nyt funktio ja saadaan:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Näin ollen funktion johdannaiset ovat olemassa koko sen määritelmän alueella.

Jatketaan kiinteiden pisteiden etsimistä. Funktion derivaataksi tulee 0, kun x = - 1 2 . Tämä on paikallaan oleva piste, joka on välissä (-3 ; 1 ] ja (- 3 ; 2).

Lasketaan funktion arvo kohdassa x = - 4 välille (- ∞ ; - 4 ] , sekä raja miinus äärettömässä:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Koska 3 e 1 6 - 4 > - 1 , niin m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Tämä ei salli funktion pienintä arvoa yksiselitteisesti määrittää. Voimme vain päätellä, että arvon -1 alapuolella on raja, koska juuri tähän arvoon funktio lähestyy asymptoottisesti miinus äärettömässä.

Toisen intervallin ominaisuus on, että sillä ei ole yhtä kiinteää pistettä eikä yhtä tiukkaa rajaa. Siksi emme voi laskea funktion suurinta tai pienintä arvoa. Määrittämällä rajan miinus äärettömyyteen ja koska argumentti pyrkii -3:een vasemmalla puolella, saamme vain arvoalueen:

raja x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = raja x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Tämä tarkoittaa, että funktioarvot sijaitsevat välissä -1; +∞

Löytääksemme funktion maksimiarvon kolmannessa välissä määritämme sen arvon kiinteässä pisteessä x = - 1 2, jos x = 1 . Meidän on myös tiedettävä yksipuolinen raja siinä tapauksessa, että argumentti pyrkii -3 oikealla puolella:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = raja x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Kävi ilmi, että funktio saa suurimman arvon kiinteässä pisteessä m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Mitä tulee pienimpään arvoon, sitä emme voi määrittää. tietää, onko alarajan -4 olemassaolo.

Otetaan välille (- 3 ; 2) edellisen laskelman tulokset ja lasketaan vielä kerran, mikä on yksipuolinen raja, kun suuntautuu 2:een vasemmalta:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Näin ollen m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, ja pienintä arvoa ei voida määrittää, ja funktion arvoja rajoittaa alhaalta numero - 4 .

Sen perusteella, mitä teimme kahdessa edellisessä laskelmassa, voimme väittää, että välissä [1; 2) funktio saa suurimman arvon, kun x = 1, ja pienintä on mahdotonta löytää.

Välillä (2 ; + ∞) funktio ei saavuta suurinta tai pienintä arvoa, ts. se ottaa arvot väliltä -1; +∞ .

raja x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = raja x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0-4 = -1

Laskettuamme, mikä funktion arvo tulee olemaan x = 4, saadaan selville, että m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , ja annettu funktio plus äärettömässä lähestyy asymptoottisesti suoraa y = - 1 .

Verrataan kussakin laskelmassa saatuja tuloksia annetun funktion kuvaajaan. Kuvassa asymptootit on esitetty katkoviivoilla.

Siinä kaikki, mitä halusimme puhua funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämisestä. Ne toimintasarjat, jotka olemme antaneet, auttavat sinua tekemään tarvittavat laskelmat mahdollisimman nopeasti ja yksinkertaisesti. Mutta muista, että usein on hyödyllistä ensin selvittää, millä aikaväleillä funktio pienenee ja millä aikaväleillä kasvaa, minkä jälkeen voidaan tehdä lisäjohtopäätöksiä. Näin voit määrittää tarkemmin funktion suurimman ja pienimmän arvon ja perustella tulokset.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Usein fysiikassa ja matematiikassa vaaditaan funktion pienimmän arvon löytämistä. Kuinka tämä tehdään, kerromme nyt.

Kuinka löytää funktion pienin arvo: ohje

1. Laskeaksesi jatkuvan funktion pienimmän arvon tietyllä aikavälillä, sinun on noudatettava tätä algoritmia:
2. Etsi funktion derivaatta.
3. Etsi tietystä segmentistä pisteet, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, sekä kaikki kriittiset pisteet. Selvitä sitten funktion arvot näissä pisteissä, eli ratkaise yhtälö, jossa x on nolla. Selvitä, mikä arvoista on pienin.
4. Selvitä, mikä arvo funktiolla on päätepisteissä. Määritä funktion pienin arvo näissä kohdissa.
5. Vertaa vastaanotettuja tietoja pienimpään arvoon. Pienempi vastaanotetuista luvuista on funktion pienin arvo.

Huomaa, että jos segmentin funktiolla ei ole pienimpiä pisteitä, tämä tarkoittaa, että se kasvaa tai pienenee tällä segmentillä. Siksi pienin arvo tulisi laskea funktion äärellisille segmenteille.

Kaikissa muissa tapauksissa funktion arvo lasketaan annetun algoritmin mukaan. Algoritmin jokaisessa vaiheessa sinun on ratkaistava yksinkertainen lineaarinen yhtälö, jossa on yksi juuri. Ratkaise yhtälö piirustuksen avulla virheiden välttämiseksi.

Kuinka löytää funktion pienin arvo puoliavoimesta segmentistä? Funktion puoliavoimella tai avoimella jaksolla pienin arvo tulee löytää seuraavasti. Laske funktion arvon päätepisteissä funktion yksipuolinen raja. Toisin sanoen ratkaise yhtälö, jossa suuntauspisteet annetaan arvoilla a+0 ja b+0, missä a ja b ovat kriittisten pisteiden nimiä.

Nyt tiedät kuinka löytää funktion pienin arvo. Tärkeintä on tehdä kaikki laskelmat oikein, tarkasti ja ilman virheitä.

Anna toiminnon y=f(X) jatkuva segmentillä [ a, b]. Kuten tiedetään, tällainen toiminto saavuttaa maksimi- ja vähimmäisarvonsa tällä segmentillä. Funktio voi ottaa nämä arvot joko segmentin sisäpisteestä [ a, b] tai segmentin rajalla.

Löytääksesi funktion suurimmat ja pienimmät arvot väliltä [ a, b] tarpeen:

1) etsi funktion kriittiset pisteet välillä ( a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laske funktion arvot segmentin päissä, eli for x=a ja x = b;

4) valitse kaikista funktion lasketuista arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki. Etsi funktion suurin ja pienin arvo

segmentillä.

Kriittisten kohtien löytäminen:

Nämä pisteet sijaitsevat segmentin sisällä; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pisteessä x= 3 ja pisteessä x= 0.

Konveksiteettifunktion ja käännepisteen tutkiminen.

Toiminto y = f (x) nimeltään kupera välissä (a, b) , jos sen kuvaaja on tämän välin mihin tahansa pisteeseen piirretyn tangentin alla, ja sitä kutsutaan alaspäin kupera (kovera) jos sen kuvaaja on tangentin yläpuolella.

Siirtymäkohtaa, jonka kautta kupera korvataan koveruudella tai päinvastoin, kutsutaan käännekohta.

Algoritmi kuperuuden ja käännepisteen tutkimiseksi:

1. Etsi toisen lajin kriittiset pisteet, eli pisteet, joissa toinen derivaatta on nolla tai ei ole olemassa.

2. Aseta kriittiset pisteet numeroviivalle jakamalla se väleiksi. Etsi kunkin intervallin toisen derivaatan etumerkki; jos , niin funktio on kupera ylöspäin, jos, niin funktio on kupera alaspäin.

3. Jos se kulkiessaan toisenlaisen kriittisen pisteen läpi vaihtaa etumerkkiä ja tässä pisteessä toinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä piste on käännepisteen abskissa. Etsi sen ordinaatti.

Funktion kaavion asymptootit. Asymptoottien funktion tutkiminen.

Määritelmä. Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraan, jolla on ominaisuus, että etäisyys mistä tahansa kaavion pisteestä tähän viivaan pyrkii nollaan, kun kuvaajapiste poistetaan rajattomasti origosta.

Asymptootteja on kolmen tyyppisiä: pystysuoraan, vaakasuoraan ja kaltevaan.

Määritelmä. Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktiokaavio y = f(x), jos ainakin yksi funktion yksipuolisista rajoista tässä pisteessä on yhtä suuri kuin ääretön, se on

missä on funktion epäjatkuvuuspiste, eli se ei kuulu määritelmäalueeseen.

Esimerkki.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - murtumispiste.

Määritelmä. Suoraan y=A nimeltään vaakasuora asymptootti funktiokaavio y = f(x) osoitteessa , jos

Esimerkki.

x
y

Määritelmä. Suoraan y=kx +b (k≠ 0) kutsutaan vino asymptootti funktiokaavio y = f(x) missä

Yleinen kaavio funktioiden tutkimisesta ja piirtämisestä.

Funktiotutkimusalgoritmiy = f(x) :

1. Etsi funktion toimialue D (y).

2. Etsi (jos mahdollista) kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa (ja x= 0 ja at y = 0).

3. Tutki parilliset ja parittomat funktiot ( y (‒ x) = y (x) ‒ pariteetti; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ outo).

4. Etsi funktion kaavion asymptootit.

5. Etsi funktion monotonisuuden intervallit.

6. Etsi funktion ääripää.

7. Etsi funktion kuvaajan kuperuus (koveruus) ja käännepisteet.

8. Muodosta tehdyn tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Esimerkki. Tutki funktiota ja piirrä sen kaavio.

1) D (y) =

x= 4 - murtumispiste.

2) Milloin x = 0,

(0; – 5) – leikkauspiste kanssa oi.

klo y = 0,

3) y(‒ x)= yleinen toiminto (ei parillinen eikä pariton).

4) Tutkimme asymptootteja.

a) pystysuora

b) vaakasuora

c) etsi vinot asymptootit missä

‒vino asymptoottiyhtälö

5) Tässä yhtälössä ei tarvitse löytää funktion monotonisuuden intervalleja.

6)

Nämä kriittiset pisteet jakavat funktion koko alueen välillä (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadut tulokset on kätevä esittää seuraavan taulukon muodossa.