Geometrinen progressio on numeerinen sarja, jonka ensimmäinen termi on nollasta poikkeava ja jokainen seuraava termi on yhtä suuri kuin edellinen termi kerrottuna samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Geometrinen eteneminen on merkitty b1,b2,b3, …, bn, … .

Geometrisen virheen minkä tahansa termin suhde sen edelliseen termiin on sama luku, eli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Tämä seuraa suoraan aritmeettisen progression määritelmästä. Tätä lukua kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi. Yleensä geometrisen progression nimittäjä merkitään kirjaimella q.

Monotoninen ja jatkuva sekvenssi

Yksi tapa asettaa geometrinen progressio on asettaa sen ensimmäinen termi b1 ja geometrisen virheen q nimittäjä. Esimerkiksi b1=4, q=-2. Nämä kaksi ehtoa antavat geometrisen progression 4, -8, 16, -32, … .

Jos q>0 (q ei ole yhtä kuin 1), niin eteneminen on monotoninen sekvenssi. Esimerkiksi sekvenssi 2, 4,8,16,32, ... on monotonisesti kasvava sekvenssi (b1=2, q=2).

Jos nimittäjä q=1 geometrisessa virheessä, niin kaikki geometrisen etenemisen jäsenet ovat keskenään yhtä suuria. Tällaisissa tapauksissa etenemisen sanotaan olevan jatkuva järjestys.

Geometrisen progression n:nnen jäsenen kaava

Jotta numeerinen sarja (bn) olisi geometrinen progressio, on välttämätöntä, että jokainen sen jäsen toisesta alkaen on naapurijäsenten geometrinen keskiarvo. Eli on tarpeen täyttää seuraava yhtälö
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), mille tahansa n>0:lle, jossa n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Geometrisen progression n:nnen jäsenen kaava on:

bn=b1*q^(n-1),

missä n kuuluu luonnollisten lukujen N joukkoon.

Kaava geometrisen etenemisen ensimmäisten n termien summalle

Geometrisen etenemisen ensimmäisen n:n jäsenen summan kaava on:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), jossa q ei ole yhtä suuri kuin 1.

Harkitse yksinkertaista esimerkkiä:

Geometrisessä progressiossa b1=6, q=3, n=8 etsi Sn.

S8:n löytämiseksi käytämme geometrisen etenemisen ensimmäisen n termin summan kaavaa.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Esimerkiksi, sekvenssi \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… on geometrinen progressio, koska jokainen seuraava elementti eroaa edellisestä kaksinkertaisesti (eli se voidaan saada edellisestä kertomalla se kahdella):

Kuten mikä tahansa sekvenssi, geometrinen eteneminen on merkitty pienellä latinalaiskirjaimella. Progression muodostavia lukuja kutsutaan nimellä jäsenet(tai elementtejä). Ne on merkitty samalla kirjaimella kuin geometrinen eteneminen, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi, geometrinen progressio \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) koostuu elementeistä \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) ja niin edelleen. Toisin sanoen:

Jos ymmärrät yllä olevat tiedot, pystyt jo ratkaisemaan suurimman osan tämän aiheen ongelmista.

Esimerkki (OGE):
Ratkaisu:

Vastaus : \(-686\).

Esimerkki (OGE): Kun otetaan huomioon etenemisen kolme ensimmäistä termiä \(324\); \(-108\); \(36\)…. Etsi \(b_5\).
Ratkaisu:

	Jatkoa varten meidän on tiedettävä nimittäjä. Etsitään se kahdesta vierekkäisestä elementistä: millä \(324\) pitäisi kertoa, jotta saadaan \(-108\)?
\(324 q = -108\)	Tästä voimme helposti laskea nimittäjän.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Nyt voimme helposti löytää tarvitsemamme elementin.
	Vastaus valmis.

Vastaus : \(4\).

Esimerkki: Eteneminen saadaan ehdolla \(b_n=0,8 5^n\). Mikä numero on tämän etenemisen jäsen:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Ratkaisu: Tehtävän sanamuodon perusteella on selvää, että yksi näistä luvuista on ehdottomasti etenemässä. Siksi voimme yksinkertaisesti laskea sen jäsenet yksitellen, kunnes löydämme tarvitsemamme arvon. Koska etenemisemme on annettu kaavalla , laskemme elementtien arvot korvaamalla eri \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8 5^1=0,8 5=4\) – luettelossa ei ole tällaista numeroa. Me jatkamme.
\(n=2\); \(b_2=0,8 5^2=0,8 25=20\) - eikä tämäkään ole siellä.
\(n=3\); \(b_3=0,8 5^3=0,8 125=100\) – ja tässä on meidän mestarimme!

Vastaus: \(100\).

Esimerkki (OGE): Useita peräkkäisiä geometrisen progression …\(8\) jäseniä on annettu; \(x\); \(viisikymmentä\); \(-125\)…. Etsi kirjaimella \(x\) merkitty elementin arvo.

Ratkaisu:

Vastaus: \(-20\).

Esimerkki (OGE): Eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \(4\) termien summa.

Ratkaisu:

Vastaus: \(105\).

Esimerkki (OGE): Tiedetään, että eksponentiaalisesti \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Etsi nimittäjä \(q\).

Ratkaisu:

	Vasemmalla olevasta kaaviosta voidaan nähdä, että päästäksemme arvosta \ (b_6 \) arvoon \ (b_9 \) - otamme kolme "askelta", eli kerromme \ (b_6 \) kolme kertaa etenemisen nimittäjä. Toisin sanoen \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Korvaa ne arvot, jotka tunnemme.
\(704=(-11)q^3\)	"Käännä" yhtälö ja jaa se \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Mikä kuutioluku antaa \(-64\)? Tietysti \(-4\)!
	Vastaus löytyi. Se voidaan tarkistaa palauttamalla numeroketju \(-11\) arvoon \(704\).
	Kaikki samaa mieltä - vastaus on oikea.

Vastaus: \(-4\).

Tärkeimmät kaavat

Kuten näet, useimmat geometriset etenemisongelmat voidaan ratkaista puhtaalla logiikalla, yksinkertaisesti ymmärtämällä olemus (tämä on yleensä matematiikalle ominaista). Mutta joskus tiettyjen kaavojen ja kuvioiden tuntemus nopeuttaa ja helpottaa huomattavasti ratkaisua. Tutkimme kahta tällaista kaavaa.

\(n\):nnen jäsenen kaava on: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), missä \(b_1\) on etenemisen ensimmäinen jäsen; \(n\) – vaaditun elementin numero; \(q\) on etenemisen nimittäjä; \(b_n\) on etenemisen jäsen numerolla \(n\).

Tämän kaavan avulla voit esimerkiksi ratkaista ongelman ensimmäisestä esimerkistä alkaen vain yhdessä vaiheessa.

Esimerkki (OGE): Geometrinen eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=-2\); \(q=7\). Etsi \(b_4\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(-686\).

Tämä esimerkki oli yksinkertainen, joten kaava ei helpottanut laskelmia meille liikaa. Katsotaanpa ongelmaa hieman monimutkaisemmin.

Esimerkki: Geometrinen eteneminen saadaan ehdoilla \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Etsi \(b_(12)\).
Ratkaisu:

Vastaus: \(10\).

Tietenkään \(\frac(1)(2)\):n nostaminen \(11\):nteen potenssiin ei ole kovin iloista, mutta silti helpompaa kuin \(11\) jakamalla \(20480\) kahteen.

Ensimmäisten termien summa \(n\): \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , jossa \(b_1\) on ensimmäinen termi etenemisestä; \(n\) – summattujen elementtien lukumäärä; \(q\) on etenemisen nimittäjä; \(S_n\) on etenemisen ensimmäisten jäsenten summa \(n\).

Esimerkki (OGE): Annettu geometrinen progressio \(b_n\), jonka nimittäjä on \(5\), ja ensimmäinen termi \(b_1=\frac(2)(5)\). Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen ehdon summa.
Ratkaisu:

Vastaus: \(1562,4\).

Ja jälleen, voisimme ratkaista ongelman "otsalla" - löytää kaikki kuusi elementtiä vuorotellen ja lisätä sitten tulokset. Laskelmien määrä ja siten satunnaisen virheen mahdollisuus kasvaisi kuitenkin dramaattisesti.

Geometriselle etenemiselle on olemassa useita muita kaavoja, joita emme huomioineet tässä niiden vähäisen käytännön käytön vuoksi. Löydät nämä kaavat.

Geometristen progressioiden lisääminen ja vähentäminen

Artikkelin alussa tarkastellun etenemisen \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) nimittäjä \(q\) on suurempi kuin yksi, ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.

Jos \(q\) on pienempi kuin yksi, mutta on positiivinen (eli on nollan ja yhden välillä), jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Esimerkiksi etenemisessä \(4\); \(2\); \(yksi\); \(0,5\); \(0,25\)… \(q\):n nimittäjä on \(\frac(1)(2)\).

Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee. Huomaa, että mikään tämän etenemisen elementeistä ei ole negatiivinen, ne vain pienenevät joka askeleella. Eli lähestymme vähitellen nollaa, mutta emme koskaan saavuta sitä emmekä mene sen pidemmälle. Tällaisissa tapauksissa matemaatikot sanovat "taipua nollaan".

Huomaa, että negatiivisella nimittäjällä geometrisen progression elementit muuttavat välttämättä etumerkkiä. Esimerkiksi, eteneminen \(5\); \(-viisitoista\); \(45\); \(-135\); \(675\)...:n \(q\) nimittäjä on \(-3\), ja tästä johtuen elementtien merkit "vilkkuvat".

Ajatellaanpa sarjaa.

7 28 112 448 1792...

On täysin selvää, että minkä tahansa sen elementin arvo on täsmälleen neljä kertaa suurempi kuin edellinen. Tämä sarja on siis jatkoa.

Geometrinen progressio on ääretön lukujono, jonka pääominaisuus on, että seuraava luku saadaan edellisestä kertomalla jollain tietyllä luvulla. Tämä ilmaistaan ​​seuraavalla kaavalla.

a z +1 =a z q, missä z on valitun elementin numero.

Vastaavasti z ∈ N.

Geometrisen progression opiskeluaika koulussa on luokka 9. Esimerkit auttavat sinua ymmärtämään käsitteen:

0.25 0.125 0.0625...

Tämän kaavan perusteella etenemisen nimittäjä löytyy seuraavasti:

q tai b z eivät voi olla nolla. Myöskään etenemisen jokaisen elementin ei tulisi olla nolla.

Näin ollen sarjan seuraavan luvun selvittämiseksi sinun on kerrottava viimeinen q:lla.

Määrittääksesi tämän etenemisen, sinun on määritettävä sen ensimmäinen elementti ja nimittäjä. Sen jälkeen on mahdollista löytää mikä tahansa myöhemmistä ehdoista ja niiden summa.

Lajikkeet

Riippuen q:stä ja a 1:stä, tämä eteneminen on jaettu useisiin tyyppeihin:

• Jos sekä a 1 että q ovat suurempia kuin yksi, niin tällainen sarja on geometrinen progressio, joka kasvaa jokaisella seuraavalla elementillä. Alla on esimerkki tällaisesta.

Esimerkki: a 1 =3, q=2 - molemmat parametrit ovat suurempia kuin yksi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa näin:

3 6 12 24 48 ...

• Jos |q| vähemmän kuin yksi, eli kertominen sillä vastaa jakoa, niin eteneminen samoilla ehdoilla on laskeva geometrinen progressio. Alla on esimerkki tällaisesta.

Esimerkki: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 on suurempi kuin yksi, q on pienempi.

Sitten numeerinen sekvenssi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

6 2 2/3 ... - mikä tahansa elementti on 3 kertaa suurempi kuin sitä seuraava elementti.

• Merkkimuuttuja. Jos q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Esimerkki: a 1 = -3 , q = -2 - molemmat parametrit ovat pienempiä kuin nolla.

Sitten sarja voidaan kirjoittaa näin:

3, 6, -12, 24,...

Kaavat

Geometristen progressioiden kätevää käyttöä varten on olemassa monia kaavoja:

• Z:nnen jäsenen kaava. Voit laskea tietyn luvun alaisen elementin laskematta edellisiä lukuja.

Esimerkki:q = 3, a 1 = 4. Progression neljäs elementti on laskettava.

Ratkaisu:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Niiden ensimmäisten alkioiden summa, joiden numero on z. Voit laskea sekvenssin kaikkien elementtien summana zmukaan lukien.

Koska (1-q) on nimittäjässä, sitten (1 - q)≠ 0, joten q ei ole yhtä suuri kuin 1.

Huomaa: jos q=1, niin eteneminen olisi sarja äärettömästi toistuvaa lukua.

Geometrisen progression summa, esimerkkejä:a 1 = 2, q= -2. Laske S 5 .

Ratkaisu:S 5 = 22 - laskenta kaavalla.

• Määrä, jos |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Esimerkki:a 1 = 2 , q= 0,5. Etsi summa.

Ratkaisu:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Jotkut ominaisuudet:

• tyypillinen ominaisuus. Jos seuraava ehto suoritettu mille tahansaz, niin annettu numerosarja on geometrinen progressio:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Myös minkä tahansa geometrisen progression luvun neliö saadaan laskemalla yhteen minkä tahansa kahden muun luvun neliöt tietyssä sarjassa, jos ne ovat yhtä kaukana tästä elementistä.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , missäton näiden numeroiden välinen etäisyys.

• Elementiteroavat qyhden kerran.
• Myös etenemisalkioiden logaritmit muodostavat etenemisen, mutta jo aritmeettisen, eli jokainen niistä on tietyn luvun verran suurempi kuin edellinen.

Esimerkkejä joistakin klassisista ongelmista

Ymmärtääksesi paremmin, mitä geometrinen progressio on, esimerkit, joissa on ratkaisu arvosanalle 9, voivat auttaa.

• Ehdot:a 1 = 3, a 3 = 48. Etsiq.

Ratkaisu: jokainen seuraava elementti on suurempi kuin edellinenq yhden kerran.Jotkut elementit on ilmaistava muiden kautta nimittäjällä.

Näin ollena 3 = q 2 · a 1

Vaihdossaq= 4

• Ehdot:a 2 = 6, a 3 = 12. Laske S 6 .

Ratkaisu:Tätä varten riittää, kun etsit q, ensimmäinen alkio, ja korvaat sen kaavaan.

a 3 = q· a 2 , Näin ollenq= 2

a 2 = q a 1,siksi a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Etsi etenemisen neljäs elementti.

Ratkaisu: tätä varten riittää, että ilmaistaan ​​neljäs elementti ensimmäisen ja nimittäjän kautta.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Sovellusesimerkki:

• Pankin asiakas teki 10 000 ruplan talletuksen, jonka ehdoilla asiakas lisää joka vuosi siitä 6% pääomaan. Kuinka paljon rahaa tilillä on 4 vuoden kuluttua?

Ratkaisu: Alkuperäinen määrä on 10 tuhatta ruplaa. Joten vuosi sijoituksen jälkeen tilillä on 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Vastaavasti tilillä oleva summa toisen vuoden jälkeen ilmaistaan ​​seuraavasti:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Eli joka vuosi määrä kasvaa 1,06-kertaiseksi. Tämä tarkoittaa, että tilin varojen määrän selvittämiseksi 4 vuoden kuluttua riittää, kun etsitään progression neljäs elementti, jonka antaa ensimmäinen elementti, joka on 10 tuhatta ja nimittäjä 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Esimerkkejä tehtävistä summan laskemiseksi:

Useissa ongelmissa käytetään geometrista progressiota. Esimerkki summan löytämisestä voidaan antaa seuraavasti:

a 1 = 4, q= 2, laskeS5.

Ratkaisu: kaikki laskennassa tarvittavat tiedot ovat tiedossa, sinun tarvitsee vain korvata ne kaavassa.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Laske kuuden ensimmäisen alkion summa.

Ratkaisu:

Geom. progressio, jokainen seuraava alkio on q kertaa suurempi kuin edellinen, eli summan laskemiseksi sinun on tiedettävä elementtia 1 ja nimittäjäq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Samoin meidän on löydettäväa 1 , tietäena 2 jaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Esimerkki geometrisestä etenemisestä: 2, 6, 18, 54, 162.

Tässä jokainen termi ensimmäisen jälkeen on 3 kertaa edellinen. Eli jokainen seuraava termi on tulos kertomalla edellinen termi kolmella:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

Esimerkissämme, kun jaetaan toinen termi ensimmäisellä, kolmas toisella ja niin edelleen. saamme 3. Numero 3 on tämän geometrisen etenemisen nimittäjä.

Esimerkki:

Palataan geometriseen progressiimme 2, 6, 18, 54, 162. Otetaan neljäs termi ja neliötetään se:
54 2 = 2916.

Nyt kerromme termit luvun 54 vasemmalla ja oikealla puolella:

18 162 = 2916.

Kuten näet, kolmannen termin neliö on yhtä suuri kuin viereisen toisen ja neljännen termin tulo.

Esimerkki 1: Otetaan jokin geometrinen eteneminen, jossa ensimmäinen termi on 2 ja geometrisen etenemisen nimittäjä on 1,5. Meidän on löydettävä tämän etenemisen neljäs termi.

Annettu:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Ratkaisu.

Kaavan soveltaminen b n= b 1 q n- 1 , lisäämällä siihen sopivat arvot:
b 4 \u003d 2 1,5 4 - 1 \u003d 2 1,5 3 = 2 3,375 = 6,75.

Vastaus: Tietyn geometrisen progression neljäs termi on luku 6,75.

Esimerkki 2: Etsi geometrisen progression viides jäsen, jos ensimmäinen ja kolmas jäsen ovat 12 ja 192.

Annettu:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Ratkaisu.

1) Ensin on löydettävä geometrisen progression nimittäjä, jota ilman on mahdotonta ratkaista ongelmaa. Ensimmäisenä vaiheena johdetaan kaavamme avulla kaava b 3:lle:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Nyt voimme löytää geometrisen progression nimittäjä:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 tai -4.

2) On vielä löydettävä arvo b 5 .
Jos q= 4 siis

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

klo q= -4 tulos on sama. Ongelmalla on siis yksi ratkaisu.

Vastaus: Annetun geometrisen progression viides termi on luku 3072.

Esimerkki: Etsi geometrisen progression viiden ensimmäisen termin summa ( b n), jossa ensimmäinen termi on 2 ja geometrisen progression nimittäjä on 3.

Annettu:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Ratkaisu.

Käytämme toista kaavaa kahdesta yllä olevasta:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Vastaus: Tietyn geometrisen progression viiden ensimmäisen termin summa on 242.

Äärettömän geometrisen progression summa.

On tarpeen erottaa käsitteet "ääretön geometrisen progression summa" ja "summa" n geometrisen progression jäseniä. Toinen käsite viittaa mihin tahansa geometriseen etenemiseen, ja ensimmäinen - vain sellaiseen, jonka nimittäjä on pienempi kuin 1 modulo.

>>Math: Geometrinen progressio

Lukijan mukavuuden vuoksi tämä osio noudattaa täsmälleen samaa suunnitelmaa kuin edellisessä osiossa.

1. Peruskäsitteet.

Määritelmä. Numeerista sarjaa, jonka kaikki jäsenet ovat erilaisia ​​kuin 0 ja jonka jokainen jäsen toisesta alkaen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla se samalla luvulla, kutsutaan geometriseksi progressioksi. Tässä tapauksessa numeroa 5 kutsutaan geometrisen progression nimittäjäksi.

Geometrinen progressio on siis relaatioiden rekursiivisesti antama numeerinen sarja (b n).

Voidaanko lukujonoa tarkastelemalla määrittää, onko kyseessä geometrinen progressio? Voi. Jos olet varma, että jonon minkä tahansa jäsenen suhde edelliseen jäseneen on vakio, sinulla on geometrinen eteneminen.
Esimerkki 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Esimerkki 2

Tämä on geometrinen eteneminen
Esimerkki 3

Tämä on geometrinen eteneminen
Esimerkki 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 - 8, q = 1.

Huomaa, että tämä sarja on myös aritmeettinen progressio (katso esimerkki 3 kohdasta 15).

Esimerkki 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Ilmeisesti geometrinen progressio on kasvava sarja, jos b 1 > 0, q > 1 (katso esimerkki 1), ja laskeva sarja, jos b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Seuraava merkintä on joskus kätevä osoittaa, että sekvenssi (b n) on geometrinen progressio:

Kuvake korvaa ilmauksen "geometrinen eteneminen".
Huomaamme yhden mielenkiintoisen ja samalla melko ilmeisen geometrisen etenemisen ominaisuuden:
Jos sekvenssi on geometrinen progressio, sitten neliöiden sarja, ts. on geometrinen progressio.
Toisessa geometrisessa progressiossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin q 2.
Jos hylkäämme kaikki termit, jotka seuraavat b n:tä eksponentiaalisesti, saadaan äärellinen geometrinen progressio
Tämän osan seuraavissa kappaleissa tarkastellaan geometrisen etenemisen tärkeimpiä ominaisuuksia.

2. Geometrisen progression n:nnen termin kaava.

Harkitse geometrista etenemistä nimittäjä q. Meillä on:

Ei ole vaikea arvata, että mikä tahansa luku n on yhtäläinen

Tämä on geometrisen progression n:nnen termin kaava.

Kommentti.

Jos olet lukenut tärkeän huomautuksen edellisestä kappaleesta ja ymmärtänyt sen, yritä todistaa kaava (1) matemaattisella induktiolla, aivan kuten tehtiin aritmeettisen progression n:nnen jäsenen kaavalle.

Kirjoitetaan geometrisen progression n:nnen termin kaava uudelleen

ja esittele merkintä: Saamme y \u003d mq 2, tai tarkemmin,
Argumentti x sisältyy eksponenttiin, joten tällaista funktiota kutsutaan eksponentiaaliseksi funktioksi. Tämä tarkoittaa, että geometrista progressiota voidaan pitää eksponentiaalisena funktiona, joka on annettu luonnollisten lukujen joukossa N. Kuvassa Kuvio 96a esittää kaavion kuvion 1 funktiosta. 966 - funktiokaavio Molemmissa tapauksissa meillä on erilliset pisteet (abskissoilla x = 1, x = 2, x = 3 jne.), jotka sijaitsevat jollakin käyrällä (molemmat kuviot esittävät samaa käyrää, vain eri paikoillaan ja eri mittakaavassa). Tätä käyrää kutsutaan eksponenttiksi. Eksponentiaalisesta funktiosta ja sen graafista keskustellaan lisää 11. luokan algebrakurssilla.

Palataan edellisen kappaleen esimerkkeihin 1-5.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Tehdään kaava n:nnelle termille
2) Tämä on geometrinen progressio, jossa muotoillaan n:s termi

Tämä on geometrinen eteneminen Laadi kaava n:nnelle termille
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Tehdään kaava n:nnelle termille
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Tämä on geometrinen progressio, jossa b 1 = 2, q = -1. Laadi kaava n:nnelle termille

Esimerkki 6

Annettu geometrinen progressio

Kaikissa tapauksissa ratkaisu perustuu geometrisen progression n:nnen jäsenen kaavaan

a) Laittamalla n = 6 geometrisen progression n:nnen termin kaavaan, saadaan

b) Meillä on

Koska 512 \u003d 2 9, saamme n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Meillä on

Esimerkki 7

Ero geometrisen progression seitsemännen ja viidennen jäsenen välillä on 48, viidennen ja kuudennen progression jäsenten summa on myös 48. Etsi tämän progression kahdestoista jäsen.

Ensimmäinen taso. Matemaattisen mallin laatiminen.

Tehtävän ehdot voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti:

Käyttämällä geometrisen progression n:nnen jäsenen kaavaa saamme:
Sitten tehtävän toinen ehto (b 7 - b 5 = 48) voidaan kirjoittaa muodossa

Tehtävän kolmas ehto (b 5 +b 6 = 48) voidaan kirjoittaa muodossa

Tuloksena saamme kahden yhtälön järjestelmän kahdella muuttujalla b 1 ja q:

joka yhdessä yllä kirjoitetun ehdon 1) kanssa on ongelman matemaattinen malli.

Toinen vaihe.

Työskentely kootun mallin kanssa. Yhtälöimällä järjestelmän molempien yhtälöiden vasemmat osat, saamme:

(olemme jakaneet yhtälön molemmat puolet lausekkeeksi b 1 q 4 , joka on eri kuin nolla).

Yhtälöstä q 2 - q - 2 = 0 saadaan q 1 = 2, q 2 = -1. Korvaamalla arvon q = 2 järjestelmän toiseen yhtälöön saadaan
Korvaamalla arvon q = -1 järjestelmän toiseen yhtälöön saadaan b 1 1 0 = 48; tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja.

Joten, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - tämä pari on ratkaisu käännetylle yhtälöjärjestelmälle.

Nyt voidaan kirjoittaa muistiin kyseessä oleva geometrinen progressio: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Kolmas vaihe.

Vastaus ongelmakysymykseen. On laskettava b 12 . Meillä on

Vastaus: b 12 = 2048.

3. Kaava äärellisen geometrisen progression jäsenten summalle.

Olkoon äärellinen geometrinen progressio

Merkitse S n:llä sen termien summa, ts.

Johdetaan kaava tämän summan löytämiseksi.

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta, kun q = 1. Tällöin geometrinen progressio b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn koostuu n numerosta, jotka ovat yhtä suuret kuin b 1 , ts. eteneminen on b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Näiden lukujen summa on nb 1 .

Olkoon nyt q = 1 S n:n löytämiseksi käytämme keinotekoista menetelmää: tehdään joitain muunnoksia lausekkeesta S n q. Meillä on:

Suorittaessamme muunnoksia käytimme ensinnäkin geometrisen progression määritelmää, jonka mukaan (katso kolmas päättelylinja); toiseksi he lisäsivät ja vähensivät, miksi ilmaisun merkitys ei tietenkään muuttunut (katso neljäs perustelu); Kolmanneksi käytimme geometrisen progression n:nnen jäsenen kaavaa:

Kaavasta (1) löydämme:

Tämä on kaava geometrisen progression n jäsenen summalle (tapaukselle, kun q = 1).

Esimerkki 8

Annettu äärellinen geometrinen progressio

a) etenemisen jäsenten summa; b) sen ehtojen neliöiden summa.

b) Edellä (katso s. 132) olemme jo todenneet, että jos geometrisen progression kaikki jäsenet neliötetään, saadaan geometrinen eteneminen ensimmäisellä jäsenellä b 2 ja nimittäjällä q 2. Sitten uuden etenemisen kuuden ehdon summa lasketaan

Esimerkki 9

Etsi geometrisen progression 8. termi, jolle

Itse asiassa olemme todistaneet seuraavan lauseen.

Numeerinen sarja on geometrinen progressio, jos ja vain jos sen jokaisen ehdon neliö, lukuun ottamatta ensimmäistä (ja viimeistä, jos kyseessä on äärellinen sarja), on yhtä suuri kuin edellisen ja sitä seuraavien termien tulo. (geometrisen progression ominaisuus).