Jos materiaalin pisteen kiihtyvyys on aina nolla, niin sen liikkeen nopeus on suuruus- ja suuntavakio. Rata on tässä tapauksessa suora. Aineellisen pisteen liikettä formuloiduissa olosuhteissa kutsutaan yhtenäiseksi suoraviivaiseksi. Suoraviivaisessa liikkeessä kiihtyvyyden sentripetaalinen komponentti puuttuu, ja koska liike on tasaista, kiihtyvyyden tangentiaalinen komponentti on nolla.

Jos kiihtyvyys pysyy vakiona ajassa (), niin liikettä kutsutaan yhtä vaihtelevaksi tai epätasaiseksi. Yhtä vaihteleva liike voidaan kiihdyttää tasaisesti, jos a > 0, ja yhtä hidasta, jos< 0. В этом случае мгновенное ускорение оказывается равным среднему ускорению за любой промежуток времени. Тогда из формулы (1.5) следует а = Dv/Dt = (v-v o)/t, откуда

(1.7)

missä v o - alkunopeus hetkellä t=0, v - nopeus hetkellä t.

Kaavan (1.4) mukaan ds = vdt. Sitten

Koska tasaiselle liikkeelle a = const, niin

(1.8)

Kaavat (1.7) ja (1.8) eivät päde ainoastaan ​​tasaisesti muuttuvalle (epätasaiselle) suoraviivaiselle liikkeelle, vaan myös kappaleen vapaalle pudotukselle ja ylöspäin heitetyn kappaleen liikkeelle. Kahdessa viimeisessä tapauksessa a \u003d g \u003d 9,81 m / s 2.

Tasaiselle suoraviivaiselle liikkeelle v = v o = const, a = 0 ja kaava (1.8) saa muotoa s = vt.

Ympyräliike on kaarevan liikkeen yksinkertaisin tapaus. Aineellisen pisteen liikkeen nopeutta v ympyrää pitkin kutsutaan lineaariksi. Vakiolla modulo-lineaarisella nopeudella liike ympyrässä on tasaista. Materiaalipisteessä ei tapahdu tangentiaalista kiihtyvyyttä tasaisen liikkeen aikana ympyrää pitkin, ja t \u003d 0. Tämä tarkoittaa, että nopeuden modulo ei muutu. Lineaarisen nopeusvektorin suunnan muutokselle on ominaista normaalikiihtyvyys ja n ¹ 0. Ympyräradan jokaisessa pisteessä vektori a n on suunnattu sädettä pitkin ympyrän keskipisteeseen.

ja n \u003d v 2 / R, m / s 2. (1,9)

Tuloksena oleva kiihtyvyys on todellakin keskipitkä (normaali), koska Dt->0:ssa Dj pyrkii myös nollaan (Dj->0) ja vektorit ja suuntautuvat ympyrän sädettä pitkin sen keskustaan.

Lineaarinopeuden v ohella materiaalipisteen tasaiselle liikkeelle ympyrää pitkin on ominaista kulmanopeus. Kulmanopeus on sädevektorin kiertokulman Dj suhde aikaväliin, jonka aikana tämä pyöriminen tapahtui,

Rad/s (1,10)

Epätasaiseen liikkeeseen käytetään hetkellisen kulmanopeuden käsitettä

.

Aikaväliä t, jonka aikana materiaalipiste tekee yhden täydellisen kierroksen kehän ympäri, kutsutaan kiertojaksoksi, ja jakson käänteisluku on pyörimistaajuus: n \u003d 1 / T, s -1.

Yhden jakson ajan materiaalipisteen sädevektorin kiertokulma on 2π rad, joten Dt \u003d T, josta pyörimisjakso ja kulmanopeus ovat pyörimisjakson tai -taajuuden funktio.

Tiedetään, että aineellisen pisteen tasaisella liikkeellä ympyrää pitkin sen kulkema rata riippuu liikkeen ajasta ja lineaarinopeudesta: s = vt, m. Polku, jonka materiaalipiste kulkee ympyrää, jonka säde on R , jaksolle, on yhtä suuri kuin 2πR. Tähän tarvittava aika on yhtä suuri kuin kiertoaika, eli t \u003d T. Ja siksi

2πR = vT, m (1,11)

ja v = 2nR/T = 2πnR, m/s. Koska materiaalipisteen sädevektorin kiertokulma kiertojakson T aikana on yhtä suuri kuin 2π, niin (1.10) perusteella, kun Dt = T, . Korvaamalla (1.11) saamme ja täältä löydämme lineaarisen ja kulmanopeuden välisen suhteen

Kulmanopeus on vektorisuure. Kulmanopeusvektori suunnataan ympyrän keskipisteestä, jota pitkin materiaalipiste liikkuu lineaarisella nopeudella v, kohtisuorassa ympyrän tasoon nähden oikean ruuvin säännön mukaan.

Aineellisen pisteen epätasaisessa liikkeessä ympyrää pitkin lineaari- ja kulmanopeudet muuttuvat. Analogisesti lineaarisen kiihtyvyyden kanssa tässä tapauksessa otetaan käyttöön keskimääräisen kulmakiihtyvyyden ja hetkellisen käsite: . Tangentiaali- ja kulmakiihtyvyyden välinen suhde on muotoa .

Voiman vaikutus kehoon voi joissakin tapauksissa johtaa muutokseen vain tämän kappaleen nopeusvektorin moduulissa ja toisissa - nopeuden suunnan muutokseen. Osoitetaan tämä esimerkein.

Kuva 34, a esittää pallon, joka makaa pöydällä kohdassa A. Pallo on sidottu kuminauhan toiseen päähän. Langan toinen pää on kiinnitetty pöytään kohtaan O. Jos pallo siirretään kohtaan B, naru venyy. Tässä tapauksessa siihen ilmestyy elastinen voima F, joka vaikuttaa palloon ja pyrkii palauttamaan sen alkuperäiseen asentoonsa.

Jos nyt vapautamme pallon, se kiihtyy voiman F vaikutuksesta kohti pistettä A. Tässä tapauksessa pallon nopeus missä tahansa lentoradan pisteessä (esimerkiksi pisteessä C) on suunnattu yhdessä pallon nopeuden kanssa. kimmovoima ja tämän voiman vaikutuksesta johtuva kiihtyvyys. Tällöin vain pallon nopeusvektorin moduuli muuttuu, kun taas nopeusvektorin suunta pysyy muuttumattomana ja pallo liikkuu suoraviivaisesti.

Riisi. 34. Jos kappaleen nopeus ja siihen vaikuttava voima suuntautuvat yhtä suoraa pitkin, niin kappale liikkuu suoraviivaisesti ja jos ne on suunnattu leikkaavia linjoja pitkin, kappale liikkuu kaarevasti

Tarkastellaan nyt esimerkkiä, jossa pallo liikkuu kaarevasti elastisen voiman vaikutuksesta (eli sen liikkeen rata on kaareva viiva). Kuva 34, b esittää samaa palloa kumiköydellä pisteessä A. Työnnetään pallo pisteeseen B, eli annetaan sille aloitusnopeus, joka on suunnattu kohtisuoraan segmenttiin O A. Jos palloon ei vaikuttanut voimia, niin se säilyttäisi tuloksena olevan nopeuden suuruuden ja suunnan (muistakaa inertiailmiö). Mutta siirryttäessä pisteeseen B, pallo siirtyy pois pisteestä O ja venyttää hieman narua. Siksi narussa syntyy elastinen voima F, joka pyrkii lyhentämään sen alkuperäiseen pituuteensa ja samalla tuomaan pallon lähemmäksi pistettä O. Tämän voiman seurauksena pallon nopeuden suunta sen jokaisella hetkellä liike muuttuu hieman, joten se liikkuu kaarevaa liikerataa AC pitkin. Missä tahansa lentoradan pisteessä (esimerkiksi pisteessä C) pallon nopeus v ja voima F suunnataan risteäviä linjoja pitkin: nopeus on lentorataa tangentiaalinen ja voima kohdistuu pisteeseen O.

Käsitellyt esimerkit osoittavat, että voiman vaikutus kappaleeseen voi johtaa erilaisiin tuloksiin riippuen nopeuden suunnasta ja voimavektorista.

Jos kappaleen nopeus ja siihen vaikuttava voima suuntautuvat yhtä suoraa pitkin, niin kappale liikkuu suoraviivaisesti, ja jos ne on suunnattu leikkaavia linjoja pitkin, niin kappale liikkuu kaarevasti.

Myös käänteinen väite pitää paikkansa: jos kappale liikkuu kaarevasti, niin tämä tarkoittaa, että siihen vaikuttaa jonkinlainen voima, joka muuttaa nopeuden suuntaa, ja jokaisessa pisteessä voima ja nopeus suuntautuvat leikkaavia suoria pitkin.

Erilaisia ​​kaarevia liikeratoja on lukemattomia. Mutta usein kaarevat viivat, kuten viiva ABCDEF (kuva 35), voidaan esittää sarjana eri säteisiä ympyröitä.

Riisi. 35. Liikerata ABCDEF voidaan esittää joukkona eri säteisiä ympyröitä

Siksi monissa tapauksissa kehon kaarevan liikkeen tutkiminen pelkistetään sen liikkeen tutkimukseen ympyrässä.

Kysymyksiä

1. Tarkastele kuvaa 34 ja vastaa kysymyksiin: minkä voiman vaikutuksesta pallo saavuttaa nopeuden ja siirtyy pisteestä B pisteeseen A? Mistä tämä voima johtui? Mikä on kiihtyvyyden suunta, pallon nopeus ja siihen vaikuttava voima? Mikä on pallon lentorata?
2. Tarkastellaan kuvaa 34, C vastaa kysymyksiin: miksi kimmovoima syntyi johtoon ja miten se on suunnattu suhteessa itse johtoon? Mitä voidaan sanoa pallon nopeuden suunnasta ja siihen vaikuttavan narun kimmovoimasta? Kuinka pallo liikkuu - suoraan vai kaarevasti?
3. Missä olosuhteissa kappale liikkuu suorassa linjassa voiman vaikutuksesta ja missä olosuhteissa se liikkuu kaarevassa suunnassa?

Harjoitus 17

Tämän oppitunnin avulla voit opiskella itsenäisesti aihetta "Suoraviivainen ja kaareva liike. Kappaleen liike ympyrässä vakiomoduulinopeudella. Ensin luonnehdimme suoraviivaista ja kaarevaa liikettä pohtimalla, kuinka tämäntyyppisissä liikkeessä nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima liittyvät toisiinsa. Seuraavaksi tarkastellaan erikoistapausta, jossa kappale liikkuu ympyrää pitkin vakiomoduulinopeudella.

Edellisellä oppitunnilla pohdimme yleismaailmallisen gravitaatiolakiin liittyviä kysymyksiä. Tämän päivän oppitunnin aihe liittyy läheisesti tähän lakiin, siirrymme kehon yhtenäiseen liikkeeseen ympyrässä.

Aiemmin sanoimme sen liike - tämä on muutos kehon sijainnissa avaruudessa suhteessa muihin kappaleisiin ajan myötä. Liikkeelle ja liikesuunnalle on ominaista muun muassa nopeus. Nopeuden muutos ja itse liikkeen tyyppi liittyvät voiman toimintaan. Jos voima vaikuttaa kehoon, keho muuttaa nopeuttaan.

Jos voima suunnataan samansuuntaisesti kehon liikkeen kanssa, sellainen liike on suoraviivaista(Kuva 1).

Riisi. 1. Suoraviivainen liike

kaareva tällainen liike tapahtuu, kun kappaleen nopeus ja siihen kohdistuva voima suunnataan suhteessa toisiinsa tietyssä kulmassa (kuva 2). Tässä tapauksessa nopeus muuttaa suuntaa.

Riisi. 2. Kaareva liike

Joten, klo suoraviivainen liike nopeusvektori on suunnattu samaan suuntaan kuin kehoon kohdistettu voima. MUTTA kaareva liike on sellainen liike, kun nopeusvektori ja kehoon kohdistettu voima sijaitsevat jossain kulmassa toisiinsa nähden.

Tarkastellaan kaarevan liikkeen erikoistapausta, jolloin kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella absoluuttisesti mitattuna. Kun kappale liikkuu ympyrässä vakionopeudella, vain nopeuden suunta muuttuu. Modulo se pysyy vakiona, mutta nopeuden suunta muuttuu. Tällainen nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyden esiintymiseen kehossa, jota kutsutaan keskipitkän.

Riisi. 6. Liikkuminen kaarevaa polkua pitkin

Jos kehon liikkeen liikerata on käyrä, niin se voidaan esittää joukona liikkeitä pitkin ympyränkaareja, kuten kuvassa 2 on esitetty. 6.

Kuvassa Kuva 7 näyttää kuinka nopeusvektorin suunta muuttuu. Nopeus tällaisen liikkeen aikana on suunnattu tangentiaalisesti ympyrään, jonka kaarta pitkin kappale liikkuu. Siksi sen suunta muuttuu jatkuvasti. Vaikka modulonopeus pysyisi vakiona, nopeuden muutos johtaa kiihtyvyyteen:

Tässä tapauksessa kiihtyvyys suunnataan kohti ympyrän keskustaa. Siksi sitä kutsutaan keskipitkäksi.

Miksi keskikiihtyvyys on suunnattu keskustaan?

Muista, että jos kappale liikkuu kaarevaa polkua pitkin, sen nopeus on tangentiaalinen. Nopeus on vektorisuure. Vektorilla on numeerinen arvo ja suunta. Nopeus kehon liikkuessa muuttaa jatkuvasti suuntaansa. Eli nopeuksien ero eri ajankohtina ei ole yhtä suuri kuin nolla (), toisin kuin suoraviivaisessa tasaisessa liikkeessä.

Meillä on siis muutos nopeudessa tietyn ajan kuluessa. Suhde on kiihtyvyys. Tulemme siihen johtopäätökseen, että vaikka nopeus ei itseisarvossa muuttuisi, kappaleella, joka suorittaa tasaista liikettä ympyrässä, on kiihtyvyys.

Mihin tämä kiihtyvyys on suunnattu? Harkitse fig. 3. Jotkin kappaleet liikkuvat kaarevasti (kaari). Kappaleen nopeus pisteissä 1 ja 2 on tangentiaalinen. Kappale liikkuu tasaisesti, eli nopeuksien moduulit ovat yhtä suuret: , mutta nopeuksien suunnat eivät ole samat.

Riisi. 3. Kehon liike ympyrässä

Vähennä nopeus luvusta ja hanki vektori . Tätä varten sinun on yhdistettävä molempien vektorien alku. Samanaikaisesti siirrämme vektoria vektorin alkuun. Rakennamme kolmion. Kolmion kolmas sivu on nopeuserovektori (kuva 4).

Riisi. 4. Nopeuserovektori

Vektori on suunnattu ympyrää kohti.

Tarkastellaan nopeusvektorien ja erovektorin muodostamaa kolmiota (kuva 5).

Riisi. 5. Nopeusvektorien muodostama kolmio

Tämä kolmio on tasakylkinen (nopeusmoduulit ovat yhtä suuret). Joten kulmat pohjassa ovat yhtä suuret. Kirjoitetaan yhtälö kolmion kulmien summalle:

Selvitä, mihin kiihtyvyys suuntautuu liikeradan tietyssä pisteessä. Tätä varten alamme tuoda pistettä 2 lähemmäksi pistettä 1. Tällaisella rajoittamattomalla huolellisuudella kulma pyrkii olemaan 0 ja kulma - kohtaan. Nopeudenmuutosvektorin ja itse nopeusvektorin välinen kulma on . Nopeus on suunnattu tangentiaalisesti ja nopeudenmuutosvektori on suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Tämä tarkoittaa, että kiihtyvyys on myös suunnattu kohti ympyrän keskustaa. Siksi tätä kiihtyvyyttä kutsutaan keskipitkän.

Kuinka löytää keskipetaalinen kiihtyvyys?

Harkitse liikerataa, jota pitkin keho liikkuu. Tässä tapauksessa tämä on ympyrän kaari (kuva 8).

Riisi. 8. Kehon liike ympyrässä

Kuvassa on kaksi kolmiota: nopeuksien muodostama kolmio ja säteiden ja siirtymävektorin muodostama kolmio. Jos pisteet 1 ja 2 ovat hyvin lähellä, niin siirtymävektori on sama kuin polkuvektori. Molemmat kolmiot ovat tasakylkisiä, joilla on samat kärkikulmat. Joten kolmiot ovat samanlaisia. Tämä tarkoittaa, että kolmioiden vastaavat sivut ovat samassa suhteessa:

Siirtymä on yhtä suuri kuin nopeuden ja ajan tulo: . Korvaamalla tämän kaavan saat seuraavan lausekkeen keskikiihtyvyydelle:

Kulmanopeus merkitty kreikkalaisella kirjaimella omega (ω), se osoittaa, missä kulmassa keho pyörii aikayksikköä kohti (kuva 9). Tämä on kaaren suuruus asteina, jonka keho kulkee jonkin ajan kuluessa.

Riisi. 9. Kulmanopeus

Huomaa, että jos jäykkä kappale pyörii, tämän kappaleen minkä tahansa pisteen kulmanopeus on vakioarvo. Piste on lähempänä kiertokeskusta tai kauempana - sillä ei ole väliä, eli se ei riipu säteestä.

Mittayksikkö on tässä tapauksessa joko astetta sekunnissa () tai radiaania sekunnissa (). Usein sanaa "radiaani" ei kirjoiteta, vaan yksinkertaisesti kirjoitetaan. Selvitetään esimerkiksi mikä on Maan kulmanopeus. Maa tekee täyden kierroksen yhdessä tunnissa, ja tässä tapauksessa voidaan sanoa, että kulmanopeus on yhtä suuri:

Kiinnitä myös huomiota kulma- ja lineaarinopeuksien väliseen suhteeseen:

Lineaarinen nopeus on suoraan verrannollinen säteeseen. Mitä suurempi säde, sitä suurempi on lineaarinen nopeus. Siten siirryttäessä pois kiertokeskipisteestä lisäämme lineaarista nopeuttamme.

On huomattava, että liike ympyrässä vakionopeudella on liikkeen erikoistapaus. Pyöreä liike voi kuitenkin olla myös epätasaista. Nopeus ei voi muuttua vain suunnassa ja pysyä samana absoluuttisesti, vaan myös muuttua arvossaan, eli suunnan muuttamisen lisäksi tapahtuu muutos myös nopeusmoduulissa. Tässä tapauksessa puhumme niin sanotusta kiihdytetystä ympyräliikkeestä.

Mikä on radiaani?

Kulmien mittaamiseen on kaksi yksikköä: asteet ja radiaanit. Fysiikassa kulman radiaanimitta on pääsääntöisesti tärkein.

Muodostetaan keskikulma , joka perustuu pituuteen .

mekaaninen liike. Mekaanisen liikkeen suhteellisuusteoria. Viitejärjestelmä

Mekaanisella liikkeellä tarkoitetaan kappaleiden tai niiden osien suhteellisen sijainnin muutosta ajan myötä avaruudessa: esimerkiksi taivaankappaleiden liikettä, maankuoren vaihteluita, ilma- ja merivirtoja, lentokoneiden ja ajoneuvojen, koneiden ja mekanismit, rakenneosien ja rakenteiden muodonmuutokset, liikenesteet ja kaasut jne.

Mekaanisen liikkeen suhteellisuusteoria

Mekaanisen liikkeen suhteellisuus on meille tuttu lapsuudesta asti. Joten junassa istuessamme ja katsomalla poistuvan junaa, joka oli aiemmin seisonut rinnakkaisella radalla, emme usein pysty päättämään, mikä junista todella lähti liikkeelle. Ja tässä pitäisi heti selventää: liikkua suhteessa mihin? Maapallon suhteen tietysti. Koska aloimme liikkua suhteessa naapurijunaan, riippumatta siitä, mikä junista aloitti liikkeensä suhteessa maahan.

Mekaanisen liikkeen suhteellisuus piilee kappaleiden liikenopeuksien suhteellisuudesta: kappaleiden nopeudet suhteessa eri vertailujärjestelmiin ovat erilaisia ​​(junassa, höyrylaivassa, lentokoneessa liikkuvan ihmisen nopeus vaihtelee sekä suuruudeltaan että suunta riippuen siitä, mistä vertailujärjestelmästä nämä nopeudet määritetään: liikkuvan ajoneuvon tai paikallaan olevan maan vertailukehyksessä).

Myös kehon liikeradat eri viitekehyksessä ovat erilaisia. Joten esimerkiksi pystysuoraan maahan putoavat sadepisarat jättävät vinojen suihkujen muodossa jälkeä kiirehtivän junan ikkunaan. Samalla tavalla mikä tahansa piste lentävän lentokoneen tai helikopterin pyörivässä potkurissa, joka laskeutuu maahan, kuvaa ympyrää lentokoneeseen nähden ja paljon monimutkaisempaa käyrää - heliksiä suhteessa maahan. Siten mekaanisessa liikkeessä liikkeen rata on myös suhteellinen.

Kehon kulkema polku riippuu myös vertailukehyksestä. Palattuaan samaan junassa istuvaan matkustajaan ymmärrämme, että hänen matkansa matkan aikana junaan on nolla (jos hän ei liikkunut auton ympärillä) tai joka tapauksessa paljon pienempi kuin matka. jonka hän peitti yhdessä junan kanssa suhteessa maahan. Siten mekaanisessa liikkeessä polku on myös suhteellinen.

Tietoisuus mekaanisen liikkeen suhteellisuudesta (eli siitä, että kehon liikettä voidaan tarkastella eri viitekehyksessä) johti siirtymiseen Ptolemaioksen maailman geosentrisestä järjestelmästä Kopernikuksen heliosentriseen järjestelmään. Ptolemaios, seuraten muinaisista ajoista lähtien havaittua auringon ja tähtien liikettä taivaalla, asetti liikkumattoman Maan maailmankaikkeuden keskelle muiden taivaankappaleiden pyöriessä sen ympärillä. Kopernikus uskoi myös, että maa ja muut planeetat kiertävät Auringon ja samanaikaisesti akselinsa ympäri.

Siten muutos vertailujärjestelmässä (Maa - maailman geosentrisessä järjestelmässä ja Aurinko - heliosentrisessä järjestelmässä) johti paljon edistyneempään heliosentriseen järjestelmään, joka mahdollistaa monien tähtitieteen tieteellisten ja sovellettavien ongelmien ratkaisemisen. ja muuttaa ihmiskunnan näkemyksiä maailmankaikkeudesta.

Koordinaatisto $X, Y, Z$, referenssikappale, johon se on kytketty, ja ajan mittauslaite (kello) muodostavat vertailukehyksen, johon nähden kappaleen liikettä tarkastellaan.

viitekappale kutsutaan kappaletta, jonka suhteen tarkastellaan muiden kappaleiden sijainnin muutosta avaruudessa.

Viitejärjestelmä voidaan valita mielivaltaisesti. Kinemaattisissa tutkimuksissa kaikki viitekehykset ovat samanarvoisia. Dynaamisissa ongelmissa voidaan käyttää myös mitä tahansa mielivaltaisesti liikkuvia referenssikehyksiä, mutta inertiaaliset viitekehykset ovat kätevimpiä, koska niissä liikeominaisuudet ovat yksinkertaisemman muodon.

Materiaalipiste

Aineellinen piste on pienikokoinen esine, jolla on massa.

Käsite "aineellinen piste" otetaan käyttöön kuvaamaan (matemaattisten kaavojen avulla) kappaleiden mekaanista liikettä. Tämä johtuu siitä, että pisteen liikettä on helpompi kuvata kuin todellisen kappaleen, jonka hiukkaset voivat lisäksi liikkua eri nopeuksilla (esimerkiksi kappaleen pyörimisen tai muodonmuutosten aikana).

Jos todellinen kappale korvataan aineellisella pisteellä, tämän kappaleen massa lasketaan tälle pisteelle, mutta sen mitat jätetään huomioimatta ja samalla ero sen pisteiden liikeominaisuuksissa (nopeudet, kiihtyvyydet) jne.), jos sellainen on, jätetään huomiotta. Missä tapauksissa tämä voidaan tehdä?

Lähes mitä tahansa kappaletta voidaan pitää aineellisena pisteenä, jos kappaleen pisteiden kulkemat etäisyydet ovat sen mittoihin nähden erittäin suuret.

Esimerkiksi maata ja muita planeettoja pidetään aineellisina pisteinä tutkittaessa niiden liikkumista Auringon ympäri. Tässä tapauksessa sen päivittäisestä pyörimisestä johtuvat erot minkä tahansa planeetan eri pisteiden liikkeissä eivät vaikuta vuosittaista liikettä kuvaaviin määriin.

Jos siis tutkittavassa kappaleen liikkeessä sen pyöriminen akselin ympäri voidaan jättää huomiotta, tällainen kappale voidaan esittää materiaalipisteenä.

Planeettojen päivittäiseen pyörimiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa (esimerkiksi määritettäessä auringonnousua eri paikoissa maapallon pinnalla) ei kuitenkaan ole mitään järkeä pitää planeettaa aineellisena pisteenä, koska ongelma riippuu tämän planeetan koosta ja sen pinnalla olevien pisteiden liikkumisnopeudesta.

Lentokonetta on oikeutettua pitää aineellisena pisteenä, jos sitä vaaditaan esimerkiksi matkalla Moskovasta Novosibirskiin määrittämään sen liikkeen keskinopeus. Mutta kun lasketaan lentävään lentokoneeseen vaikuttavaa ilmanvastusvoimaa, sitä ei voida pitää aineellisena pisteenä, koska vastusvoima riippuu lentokoneen koosta ja muodosta.

Jos kappale liikkuu eteenpäin, vaikka sen mitat ovat verrattavissa sen kulkemiin matkoihin, tätä kappaletta voidaan pitää massapisteenä (koska kaikki kehon pisteet liikkuvat samalla tavalla).

Yhteenvetona voidaan todeta: aineellisena pisteenä voidaan pitää kappaletta, jonka mitat voidaan jättää huomiotta tarkasteltavan ongelman olosuhteissa.

Liikerata

Rata on viiva (tai, kuten sanotaan, käyrä), jonka kappale kuvaa liikkuessaan suhteessa valittuun vertailukappaleeseen.

Ratasta on järkevää puhua vain silloin, kun keho voidaan esittää materiaalina pisteenä.

Liikeradat voivat olla eri muotoisia. Joskus on mahdollista arvioida liikeradan muoto liikkuvan kappaleen, esimerkiksi lentävän koneen tai yötaivaalla ryntäävän meteorin, jättämän näennäisen jäljen perusteella.

Liikeradan muoto riippuu vertailukappaleen valinnasta. Esimerkiksi suhteessa Maahan Kuun liikerata on ympyrä, aurinkoon nähden - monimutkaisemman muodon viiva.

Mekaanista liikettä tutkittaessa maata pidetään yleensä vertailukappaleena.

Menetelmiä pisteen sijainnin määrittämiseksi ja sen liikkeen kuvaamiseksi

Pisteen sijainti avaruudessa määritetään kahdella tavalla: 1) koordinaattien avulla; 2) käyttämällä sädevektoria.

Pisteen sijainti koordinaattien avulla saadaan kolmella pisteen $x, y, z$ projektiolla suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän $ОХ, ОУ, OZ$ akseleilla, jotka ovat yhteydessä vertailukappaleeseen. Tätä varten pisteestä A on tarpeen laskea kohtisuorat tasolle $YZ$ (koordinaatti $x$), $XZ$ (koordinaatti $y$), $XY$ (koordinaatti $z$), vastaavasti. Se kirjoitetaan näin: $A(x, y, z)$. Erityistapauksessa $(x=6, y=10.2, z= 4.5$) pistettä $A$ merkitään $A(6; 10; 4.5)$.

Päinvastoin, jos tietyn koordinaattijärjestelmän pisteen koordinaateille annetaan tietyt arvot, itse pisteen kuvaamiseksi on tarpeen piirtää koordinaattiarvot vastaaville akseleille ($x$ $OX$-akseli jne.) ja rakenna suuntaissärmiö näille kolmelle keskenään kohtisuoralle segmentille. Sen kärki, vastapäätä origoa $O$ ja sijaitsee suuntaissärmiön lävistäjällä, on haluttu piste $A$.

Jos piste liikkuu tietyn tason sisällä, riittää, että piirretään kaksi koordinaattiakselia referenssikappaleeseen valittujen pisteiden läpi: $ОХ$ ja $ОУ$. Sitten pisteen sijainti tasossa määritetään kahdella koordinaatilla $x$ ja $y$.

Jos piste liikkuu suoraa pitkin, riittää, että asetetaan yksi koordinaattiakseli OX ja ohjataan liikeviivaa pitkin.

Pisteen $A$ sijainnin asettaminen sädevektorin avulla suoritetaan yhdistämällä piste $A$ alkupisteeseen $O$. Suunnattua segmenttiä $OA = r↖(→)$ kutsutaan sädevektoriksi.

Sädevektori on vektori, joka yhdistää origon pisteen sijaintiin mielivaltaisena ajanhetkenä.

Piste annetaan sädevektorilla, jos sen pituus (moduuli) ja suunta avaruudessa tunnetaan, eli sen projektioiden $r_x, r_y, r_z$ arvot koordinaattiakseleilla $OX, OY, OZ$ tai kulmat sädevektorin ja koordinaattiakselien välillä. Lentokoneessa tapahtuvaa liikettä varten meillä on:

Tässä $r=|r↖(→)|$ on sädevektorin $r↖(→) moduuli, r_x$ ja $r_y$ ovat sen projektiot koordinaattiakseleille, kaikki kolme suuretta ovat skalaareja; xxy - pisteen A koordinaatit.

Viimeiset yhtälöt osoittavat yhteyden koordinaatti- ja vektorimenetelmän välillä pisteen sijainnin määrittämisessä.

Vektori $r↖(→)$ voidaan myös jakaa komponenteiksi $X$- ja $Y$-akseleilla, eli se voidaan esittää kahden vektorin summana:

$r↖(→)=r↖(→)_x+r↖(→)_y$

Siten pisteen sijainti avaruudessa saadaan joko sen koordinaateista tai sädevektorista.

Menetelmiä pisteen liikkeen kuvaamiseen

Koordinaattien määritysmenetelmien mukaisesti pisteen liikettä voidaan kuvata: 1) koordinaattisesti; 2) vektori tavalla.

Koordinaattimenetelmällä liikkeen kuvaamiseen (tai asettamiseen) pisteen koordinaattien muutos ajan myötä kirjoitetaan sen kaikkien kolmen koordinaatin funktioiksi ajan myötä:

Yhtälöitä kutsutaan pisteen kinemaattisiksi liikeyhtälöiksi, jotka on kirjoitettu koordinaattimuotoon. Tietäen kinemaattiset liikeyhtälöt ja alkuehdot (eli pisteen sijainti alkuajanhetkellä) on mahdollista määrittää pisteen sijainti milloin tahansa.

Vektorimenetelmällä pisteen liikkeen kuvaamiseksi sen sijainnin muutos ajan myötä saadaan sädevektorin riippuvuudesta ajasta:

$r↖(→)=r↖(→)(t)$

Yhtälö on pisteen liikkeen yhtälö kirjoitettuna vektorimuotoon. Jos se tiedetään, niin milloin tahansa on mahdollista laskea pisteen sädevektori, eli määrittää sen sijainti (kuten koordinaattimenetelmän tapauksessa). Siten kolmen skalaariyhtälön asettaminen vastaa yhden vektoriyhtälön asettamista.

Jokaiselle liiketapaukselle yhtälöiden muoto on melko selvä. Jos pisteen liikerata on suora, liikettä kutsutaan suoraviivaiseksi ja jos käyrä on kaareva.

Liike ja polku

Mekaniikassa liike on vektori, joka yhdistää liikkuvan pisteen sijainnit tietyn ajanjakson alussa ja lopussa.

Siirtymävektorin käsite otetaan käyttöön kinemaattisen ongelman ratkaisemiseksi - kappaleen (pisteen) sijainnin määrittämiseksi avaruudessa tietyllä hetkellä, jos sen alkusijainti on tiedossa.

Kuvassa vektori $(M_1M_2)↖(-)$ yhdistää kaksi liikkuvan pisteen sijaintia - $M_1$ ja $M_2$ ajankohtina $t_1$ ja $t_2$, vastaavasti, ja on määritelmän mukaan siirtymävektori. Jos pisteen $M_1$ antaa sädevektori $r↖(→)_1$ ja pisteen $M_2$ sädevektori $r↖(→)_2$, niin, kuten näkyy Kuvassa siirtymävektori on yhtä suuri kuin näiden kahden vektorin erotus, eli sädevektorin muutos ajan kuluessa $∆t=t_2-t_1$:

$∆r↖(→)=r↖(→)_2-r↖(→)_1$.

Siirtymien summaus (esimerkiksi kahdella liikeradan vierekkäisellä osuudella) $∆r↖(→)_1$ ja $∆r↖(→)_2$ suoritetaan vektorien summaussäännön mukaisesti:

$∆r=∆r↖(→)_2+∆r↖(→)_1$

Reitti on materiaalipisteen tietyn ajanjakson aikana kulkeman lentorataosuuden pituus. Siirtymävektorin moduuli ei yleensä ole yhtä suuri kuin pisteen kulkeman polun pituus ajassa $∆t$ (rata voi olla kaareva ja lisäksi piste voi muuttaa liikkeen suuntaa).

Siirtymävektorin moduuli on yhtä suuri kuin polku vain suoraviivaiselle liikkeelle yhteen suuntaan. Jos suoraviivaisen liikkeen suunta muuttuu, siirtymävektorin suuruus on pienempi kuin polku.

Kaarevassa liikkeessä siirtymävektorin moduuli on myös pienempi kuin polku, koska jänne on aina pienempi kuin sen kaaren pituus.

Materiaalipisteen nopeus

Nopeus kuvaa nopeutta, jolla kaikki muutokset tapahtuvat ympärillämme olevassa maailmassa (aineen liikkuminen avaruudessa ja ajassa). Jalankulkijan liikkuminen jalkakäytävällä, linnun lento, äänen, radioaaltojen tai valon leviäminen ilmassa, veden virtaus putkesta, pilvien liike, veden haihtuminen, lämmittäminen rauta - kaikille näille ilmiöille on ominaista tietty nopeus.

Kappaleiden mekaanisessa liikkeessä nopeus kuvaa nopeuden lisäksi myös liikkeen suuntaa, eli on vektorisuure.

Pisteen nopeus $υ↖(→)$ on siirtymän $∆r↖(→)$ ja aikavälin $∆t$ välisen suhteen raja, jonka aikana tämä siirtymä tapahtui, koska $∆t$ pyrkii nolla (eli derivaatta $∆r↖(→)$ $t$:ssa):

$υ↖(→)=(lim)↙(∆t→0)(∆r↖(→))/(∆t)=r↖(→)_1"$

Nopeusvektorin komponentit akseleilla $X, Y, Z$ määritetään samalla tavalla:

$υ↖(→)_x=(lim)↙(∆t→0)(∆x)/(∆t)=x"; υ_y=y"; υ_z=z"$

Tällä tavalla määriteltyä nopeuden käsitettä kutsutaan myös välitön nopeus. Tämä nopeuden määritelmä pätee kaikenlaisiin liikkeisiin - alkaen kaarevasta epätasaisesta suoraviivaiseen yhtenäiseen. Kun puhutaan nopeudesta epätasaisen liikkeen aikana, se ymmärretään hetkellisenä nopeudena. Tämä määritelmä viittaa suoraan nopeuden vektoriluonteeseen, koska liikkuva- vektorisuure. Hetkellinen nopeusvektori $υ↖(→)$ on aina suunnattu tangentiaalisesti liikeradalle. Se ilmaisee suunnan, johon kappale liikkuisi, jos hetkestä $t$ minkä tahansa sen päällä olevien kappaleiden toiminta loppuisi.

keskinopeus

Pisteen keskinopeus otetaan käyttöön kuvaamaan epätasaista liikettä (eli liikettä vaihtelevalla nopeudella) ja se määritellään kahdella tavalla.

1. Pisteen $υ_(av)$ keskinopeus on yhtä suuri kuin kappaleen kulkeman koko polun $∆s$ suhde koko liikeaikaan $∆t$:

$υ↖(→)_(av)=(∆s)/(∆t)$

Tällä määritelmällä keskinopeus on skalaari, koska kuljettu matka (etäisyys) ja aika ovat skalaarisuureita.

Tämä määritelmä antaa käsityksen keskinopeus lentorataosuudella (keskimääräinen maanopeus).

2. Pisteen keskinopeus on yhtä suuri kuin pisteen liikkeen suhde aikaväliin, jonka aikana tämä liike tapahtui:

$υ↖(→)_(av)=(∆r↖(→))/(∆t)$

Keskimääräinen liikenopeus on vektorisuure.

Epätasaiselle kaarevalle liikkeelle tällainen keskinopeuden määritelmä ei aina mahdollista edes suunnilleen todellisia nopeuksia pisteen reitillä. Esimerkiksi jos piste liikkui suljettua polkua pitkin jonkin aikaa, sen siirtymä on nolla (mutta nopeus eroaa selvästi nollasta). Tässä tapauksessa on parempi käyttää ensimmäistä keskinopeuden määritelmää.

Joka tapauksessa pitäisi erottaa nämä kaksi keskinopeuden määritelmää ja tietää, kummasta niistä keskustellaan.

Nopeuksien yhteenlaskulaki

Nopeuksien summauslaki muodostaa yhteyden materiaalipisteen nopeusarvojen välille suhteessa toisiinsa nähden liikkuviin eri vertailukehyksiin. Ei-relativistisessa (klassisessa) fysiikassa, kun tarkasteltavat nopeudet ovat pieniä verrattuna valonnopeuteen, pätee Galileon nopeuden lisäyslaki, joka ilmaistaan ​​kaavalla:

$υ↖(→)_2=υ↖(→)_1+υ↖(→)$

missä $υ↖(→)_2$ ja $υ↖(→)_1$ ovat kappaleen (pisteen) nopeudet suhteessa kahteen inertiaaliseen viitekehykseen - liikkuvaan vertailukehykseen $K_2$ ja vertailukehykseen $K_1$ nopeudella $υ↖(→ )$ suhteessa $K_2$.

Kaava saadaan laskemalla yhteen siirtymävektorit.

Selvyyden vuoksi harkitse sellaisen veneen liikettä, jonka nopeus on $υ↖(→)_1$ suhteessa jokeen (vertailujärjestelmä $K_1$), jonka vedet liikkuvat nopeudella $υ↖(→)$ suhteessa rantaan ( viitejärjestelmä $K_2$).

Veneen siirtymävektorit suhteessa veteen $∆r↖(→)_1$, joen suhteessa rannikkoon $∆r↖(→)$ ja veneen kokonaissiirtymävektorit suhteessa rannikkoon $∆r↖ (→)_2$ on esitetty kuvassa.

Matemaattisesti:

$∆r↖(→)_2=∆r↖(→)_1+∆r↖(→)$

Jakamalla yhtälön molemmat puolet aikavälillä $∆t$, saadaan:

$(∆r↖(→)_2)/(∆t)=(∆r↖(→)_1)/(∆t)+(∆r↖(→))/(∆t)$

Nopeusvektorin projektioissa koordinaattiakseleille yhtälö on muotoa:

$υ_(2x)=υ_(1x)+υ_x,$

$υ_(2v)=υ_(1v)+υ_y.$

Nopeusprojektiot lisätään algebrallisesti.

Suhteellinen nopeus

Nopeuksien summauslaista seuraa, että jos kaksi kappaletta liikkuu samassa vertailukehyksessä nopeuksilla $υ↖(→)_1$ ja $υ↖(→)_2$, niin ensimmäisen kappaleen nopeus suhteessa toinen $υ↖(→) _(12)$ on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden nopeuksien ero:

$υ↖(→)_(12)=υ↖(→)_1-υ↖(→)_2$

Eli kun kappaleet liikkuvat yhteen suuntaan (ohittaminen), suhteellisen nopeuden moduuli on yhtä suuri kuin nopeuksien ero, ja vastakkaiseen suuntaan liikkuessa se on nopeuksien summa.

Materiaalipisteen kiihtyvyys

Kiihtyvyys on arvo, joka kuvaa nopeuden muutosnopeutta. Liike on pääsääntöisesti epätasaista, eli se tapahtuu vaihtelevalla nopeudella. Joissakin lentoradan osissa keholla voi olla suurempi nopeus, toisissa - vähemmän. Esimerkiksi asemalta lähtevä juna liikkuu ajan myötä yhä nopeammin. Lähestyessään asemaa hän päinvastoin hidastaa liikettään.

Kiihtyvyys (tai hetkellinen kiihtyvyys) on vektorifyysinen suure, joka on yhtä suuri kuin nopeuden muutoksen ja sen ajanjakson välisen suhteen raja, jonka aikana tämä muutos tapahtui, kun $∆t$ pyrkii nollaan (eli $υ:n derivaatta). ↖(→)$ suhteessa $ t$):

$a↖(→)=lim↙(∆t→0)(∆υ↖(→))/(∆t)=υ↖(→)_t"$

Kohteen $a↖(→) (a_x, a_y, a_z)$ ​​komponentit ovat vastaavasti:

$a_x=υ_x";a_y=υ_y";a_z=υ_z"$

Kiihtyvyys, kuten nopeuden muutos, on suunnattu kohti lentoradan koveruutta ja se voidaan jakaa kahteen osaan - tangentiaalinen- tangentiaalinen liikkeen lentoradalle - ja normaali- kohtisuorassa polkuun nähden.

Tämän mukaisesti kiihtyvyyden $а_х$ projektiota lentoradan tangentille kutsutaan tangentti, tai tangentiaalinen kiihtyvyys, $a_n$:n projektio normaaliin - normaali, tai keskipitkä kiihtyvyys.

Tangentiaalinen kiihtyvyys määrittää nopeuden numeerisen arvon muutoksen määrän:

$a_t=lim↙(∆t→0)(∆υ)/(∆t)$

Normaali tai keskipetaalinen kiihtyvyys luonnehtii nopeuden suunnan muutosta ja määritetään kaavalla:

jossa R on liikeradan kaarevuussäde sitä vastaavassa pisteessä.

Kiihtyvyysmoduuli määritetään kaavalla:

$a=√(a_t^2+a_n^2)$

Suoraviivaisessa liikkeessä kokonaiskiihtyvyys $a$ on yhtä suuri kuin tangentiaalinen kiihtyvyys $a=a_t$, koska keskipiste $a_n=0$.

SI-kiihtyvyyden yksikkö on kiihtyvyys, jolla kehon nopeus muuttuu 1 m/s sekunnissa. Tämän yksikön nimi on 1 m/s 2 ja sitä kutsutaan "metriä sekunnissa neliö".

Tasainen suoraviivainen liike

Pisteen liikettä kutsutaan tasaiseksi, jos se kattaa yhtä suuret etäisyydet millä tahansa yhtäläisin aikavälein.

Esimerkiksi, jos auto ajaa 20 km joka neljännestunti (15 minuuttia), 40 km jokaista puolituntia (30 minuuttia), 80 km jokaista tuntia kohti (60 minuuttia) jne., tällainen liike katsotaan yhtenäiseksi. Tasaisella liikkeellä pisteen $υ$ nopeuden numeerinen arvo (moduuli) on vakioarvo:

$υ=|υ↖(→)|=vakio$

Tasainen liike voi tapahtua sekä kaarevaa että suoraviivaista liikerataa pitkin.

Pisteen tasaisen liikkeen lakia kuvaa yhtälö:

missä $s$ on liikeradan kaarella mitattu etäisyys jostakin pisteestä liikeradalla, joka on otettu origoksi; $t$ - pisteen aika tavalla; $s_0$ - $s$:n arvo alkuhetkellä $t=0$.

Ajankohdan $t$ kulkema polku määräytyy summan $υt$ avulla.

Tasainen suoraviivainen liike- tämä on liike, jossa keho liikkuu vakionopeudella moduulissa ja suunnassa:

$υ↖(→)=const$

Tasaisen suoraviivaisen liikkeen nopeus on vakioarvo, ja se voidaan määritellä pisteen liikkeen suhteeksi aikajaksoon, jonka aikana tämä liike tapahtui:

$υ↖(→)=(∆r↖(→))/(∆t)$

Tämän nopeuden moduuli

$υ=(|∆r↖(→)|)/(∆t)$

merkitys on matka $s=|∆r↖(→)|$, jonka piste kulkee ajassa $∆t$.

Tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä olevan kappaleen nopeus on arvo, joka on yhtä suuri kuin reitin $s$ suhde aikaan, jonka tämä reitti on kuljettu:

Siirtymä suoraviivaisen tasaisen liikkeen aikana (X-akselia pitkin) voidaan laskea kaavalla:

missä $υ_x$ on nopeuden projektio X-akselilla. Näin ollen tasaisen suoraviivaisen liikkeen lailla on muoto:

Jos alkuhetkellä $x_0=0$, niin

Nopeuden ja ajan kuvaaja on x-akselin suuntainen suora viiva, ja kuljettu matka on tämän suoran alla oleva alue.

Reitin ja ajan kaavio on suora, jonka kaltevuuskulma aika-akseliin $Ot$ on sitä suurempi, mitä suurempi on tasaisen liikkeen nopeus. Tämän kulman tangentti on yhtä suuri kuin nopeus.