Lukuisten laskelmien joukossa tiettyjen eri määrien laskemiseksi on kolmion hypotenuusan löytäminen. Muista, että kolmio on monitahoinen, jossa on kolme kulmaa. Alla on useita tapoja laskea eri kolmioiden hypotenuusa.

Ensin katsotaan kuinka löytää suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Niille, jotka ovat unohtaneet, suorakulmainen kolmio on kolmio, jonka kulma on 90 astetta. Kolmion sivua, joka on oikean kulman vastakkaisella puolella, kutsutaan hypotenuusaksi. Lisäksi se on kolmion pisin sivu. Tunnetuista arvoista riippuen hypotenuusan pituus lasketaan seuraavasti:

• Jalkojen pituudet tunnetaan. Hypotenuusa tässä tapauksessa lasketaan käyttämällä Pythagoran lausetta, joka on seuraava: hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. Jos tarkastellaan suorakulmaista kolmiota BKF, jossa BK ja KF ovat jalkoja ja FB on hypotenuusa, niin FB2= BK2+ KF2. Edellä olevasta seuraa, että hypotenuusan pituutta laskettaessa on tarpeen neliöida jokainen jalka-arvo vuorollaan. Laske sitten luvut yhteen ja ota tuloksen neliöjuuri.

Harkitse esimerkkiä: Annettu kolmio, jolla on suora kulma. Toinen jalka on 3 cm, toinen 4 cm. Etsi hypotenuusa. Ratkaisu näyttää tältä.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2=9cm2+16cm2=25cm2. Pura ja saat FB=5 cm.

• Tunnettu jalka (BK) ja sen vieressä oleva kulma, jonka muodostavat hypotenuusa ja tämä jalka. Kuinka löytää kolmion hypotenuusa? Merkitään tunnettu kulma α:na. Ominaisuuden mukaan, joka sanoo, että jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen on yhtä suuri kuin tämän jalan ja hypotenuusan välisen kulman kosini. Kun otetaan huomioon kolmio, tämä voidaan kirjoittaa seuraavasti: FB= BK*cos(α).
• Jalka (KF) ja sama kulma α tunnetaan, mutta nyt se on jo vastakkainen. Kuinka löytää hypotenuusa tässä tapauksessa? Käännytään samoihin suorakulmaisen kolmion ominaisuuksiin ja selvitetään, että jalan pituuden suhde hypotenuusan pituuteen on yhtä suuri kuin jalkaa vastapäätä olevan kulman sini. Eli FB= KF * sin (α).

Katsotaanpa esimerkkiä. Annettu sama suorakulmainen kolmio BKF hypotenuusalla FB. Olkoon kulman F 30 astetta, toinen kulma B vastaa 60 astetta. Tunnetaan myös jalka BK, jonka pituus vastaa 8 cm. Voit laskea halutun arvon seuraavasti:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Tunnetaan nimellä (R), rajattu kolmion ympärille, jolla on suora kulma. Kuinka löytää hypotenuusa, kun harkitaan tällaista ongelmaa? Suorakulmaisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän ominaisuuksista tiedetään, että sellaisen ympyrän keskipiste osuu yhteen hypotenuusan pisteen kanssa, joka jakaa sen puoliksi. Yksinkertaisesti sanottuna säde vastaa puolta hypotenuusasta. Siksi hypotenuusa on yhtä suuri kuin kaksi sädettä. FB=2*R. Jos kuitenkin annetaan samanlainen ongelma, jossa ei tunneta sädettä, vaan mediaani, tulee huomioida suorakulmaisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän ominaisuus, joka sanoo, että säde on yhtä suuri kuin hypotenuusaan vedetty mediaani. Kaikkia näitä ominaisuuksia käyttämällä ongelma ratkaistaan ​​samalla tavalla.

Jos kysymys on, kuinka löytää tasakylkisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, sinun on käännyttävä samaan Pythagoraan lauseeseen. Mutta ensinnäkin muista, että tasakylkinen kolmio on kolmio, jolla on kaksi identtistä sivua. Suorakulmaisen kolmion jalat ovat samat. Meillä on FB2= BK2+ KF2, mutta koska BK= KF meillä on seuraavat: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Kuten näette, Pythagoraan lauseen ja suorakulmaisen kolmion ominaisuuksien tunteminen ongelmien ratkaiseminen, joissa on tarpeen laskea hypotenuusan pituus, on hyvin yksinkertaista. Jos on vaikea muistaa kaikkia ominaisuuksia, opi valmiita kaavoja korvaamalla tunnetut arvot, joihin voit laskea hypotenuusan vaaditun pituuden.

Kun tiedät yhden suoran kolmion haaroista, voit löytää toisen haaran ja hypotenuusan käyttämällä trigonometrisiä suhteita - tunnetun kulman siniä ja tangenttia. Koska kulmaa vastapäätä olevan jalan suhde hypotenuusaan on yhtä suuri kuin tämän kulman sini, niin hypotenuusan löytämiseksi jalka on jaettava kulman sinillä. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Toinen haara löytyy tunnetun kulman tangentista tunnetun haaran ja tangentin suhteena. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Laskeaksesi tuntemattoman kulman suorakulmaisessa kolmiossa, sinun on vähennettävä kulma α 90 astetta. p = 90°-a

Suorakulmaisen kolmion kehä ja pinta-ala voidaan ilmaista haaran ja vastakkaisen kulman kautta korvaamalla kaavoihin aiemmin saadut toisen haaran ja hypotenuusan lausekkeet. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Voit laskea korkeuden myös trigonometristen suhteiden avulla, mutta jo sen muodostamassa sisäisessä suorakulmaisessa kolmiossa, jonka sivu on a. Tätä varten tarvitset sivun a, sellaisen kolmion hypotenuusana, kerrottuna kulman β sinillä tai α:n kosinilla, koska trigonometristen identiteettien mukaan ne ovat ekvivalentteja. (kuva 79.2) h = a cos⁡α

Hypotenuusan mediaani on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta tai tunnetusta haarasta a jaettuna kahdella sinillä α. Jalkojen mediaanien löytämiseksi saamme kaavat sopivaan muotoon tunnetulle sivulle ja kulmille. (kuva 79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Koska kolmion suoran kulman puolittaja on kahden sivun ja kahden juuren tulo, jaettuna näiden sivujen summalla, korvaamalla yhden haaran tunnetun haaran suhteella tangenttiin, saadaan seuraava ilmaisu. Vastaavasti korvaamalla suhde toiseen ja kolmanteen kaavaan voidaan laskea kulmien α ja β puolittajat. (kuva 79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Keskiviiva kulkee yhdensuuntaisesti kolmion yhden sivun kanssa muodostaen samalla toisen samanlaisen suorakulmaisen kolmion samoilla kulmilla, jossa kaikki sivut ovat puolet alkuperäisen sivun koosta. Tämän perusteella keskiviivat voidaan löytää seuraavilla kaavoilla, kun tiedetään vain jalka ja sitä vastakkainen kulma. (kuva 79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Piirretyn ympyrän säde on yhtä suuri kuin jalkojen ja hypotenuusan välinen ero jaettuna kahdella, ja rajatun ympyrän säteen löytämiseksi sinun on jaettava hypotenuusa kahdella. Korvaamme toisen haaran ja hypotenuusan jalan a suhteilla siniin ja tangenttia vastaavasti. (Kuvat 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Ennen kuin löydät kolmion hypotenuusan, sinun on selvitettävä, mitä ominaisuuksia tällä kuviolla on. Harkitsemme tärkeimpiä:

1. Suorakulmaisessa kolmiossa molemmat terävät kulmat ovat yhteensä 90º.
2. Jalka, joka sijaitsee vastapäätä 30 asteen kulmaa, on yhtä suuri kuin ½ hypotenuusasta.
3. Jos jalka on yhtä suuri kuin ½ hypotenuusan arvosta, toisella kulmalla on sama arvo - 30º.

On olemassa useita tapoja löytää hypotenuusa suorakulmaisesta kolmiosta. Yksinkertaisin ratkaisu on laskeminen jalkojen kautta. Oletetaan, että tiedät sivujen A ja B haarojen arvot. Sitten tulee apuun Pythagoraan lause, joka kertoo, että jos neliöimme jokaisen haaran arvon ja laskemme yhteen saadut tiedot, selvitetään mikä hypotenuusa on On. Siksi meidän täytyy vain poimia neliöjuuren arvo:

Jos esimerkiksi jalka A = 3 cm ja jalka B = 4 cm, laskelma näyttäisi tältä:

Kuinka löytää hypotenuusa kulman kautta?

Toinen tapa selvittää, mitä hypotenuusa suorakulmaisessa kolmiossa on yhtä suuri, on laskea tietyn kulman läpi. Tätä varten meidän on johdettava arvo sinikaavan avulla. Oletetaan, että tiedämme jalan (A) arvon ja vastakkaisen kulman arvon (α). Silloin koko ratkaisu on yhdessä kaavassa: С=А/sin(α).

Esimerkiksi, jos jalan pituus on 40 cm ja kulma 45°, hypotenuusan pituus voidaan johtaa seuraavasti:

Voit myös määrittää halutun arvon tietyn kulman kosinin avulla. Oletetaan, että tiedämme yhden haaran (B) ja terävän sisäkulman (α) arvon. Sitten tarvitaan yksi kaava ongelman ratkaisemiseksi: С=В/ cos(α).

Esimerkiksi, jos jalan pituus on 50 cm ja kulma 45°, hypotenuusa voidaan laskea seuraavasti:

Siten tutkimme tärkeimpiä tapoja selvittää hypotenuusa kolmiossa. Tehtävän ratkaisemisen aikana on tärkeää keskittyä käytettävissä olevaan dataan, jolloin tuntemattoman arvon löytäminen on melko helppoa. Sinun on tiedettävä vain muutama kaava ja ongelmien ratkaisuprosessista tulee yksinkertainen ja nautinnollinen.

Ohje

Jalkoja a ja b vastapäätä olevat kulmat merkitään vastaavasti A:lla ja B. Hypotenuusa on määritelmän mukaan suorakulmaisen kolmion sivu, joka on vastakkainen oikeaan kulmaan (samaan aikaan hypotenuusa muodostaa teräviä kulmia kolmion muut sivut). Merkitään hypotenuusan pituus s:llä.

Tarvitset:
Laskin.

Käytä haaralle seuraavaa lauseketta: a=sqrt(c^2-b^2), jos tiedät hypotenuusan ja toisen jalan arvot. Tämä lauseke on johdettu Pythagoraan lauseesta, jonka mukaan kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa. sqrt-operaattori tarkoittaa neliöjuuren ottamista. Merkki "^2" tarkoittaa nostamista toiseen potenssiin.

Käytä kaavaa a=c*sinA, jos tiedät hypotenuusan (c) ja kulman haluttua jalkaa vastapäätä (nimesimme tämän kulman A:ksi).
Käytä lauseketta a=c*cosB löytääksesi jalan, jos tiedät hypotenuusan (c) ja halutun haaran vieressä olevan kulman (nimesimme tämän kulman B:ksi).
Laske jalka kaavalla a = b * tgA siinä tapauksessa, että jalka b ja haluttua jalkaa vastapäätä oleva kulma on annettu (sopisimme merkitsemään tätä kulmaa A).

merkintä:
Jos tehtävässäsi jalkaa ei löydy millään kuvatuista menetelmistä, se voidaan todennäköisesti vähentää johonkin niistä.

Auttavia vihjeitä:
Kaikki nämä lausekkeet saadaan hyvin tunnetuista trigonometristen funktioiden määritelmistä, joten vaikka unohdat yhden niistä, voit aina johtaa sen nopeasti yksinkertaisilla operaatioilla. Lisäksi on hyödyllistä tietää trigonometristen funktioiden arvot tyypillisimmille kulmille 30, 45, 60, 90, 180 astetta.

Etsi laskimen avulla neliöjuuri hypotenuusan ja tunnetun haaran erosta, myös neliöitynä. Jalkaa kutsutaan suorakulmaisen kolmion sivuksi, joka on oikean kulman vieressä. Tämä lauseke on johdettu Pythagoraan lauseesta, jonka mukaan kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Ennen kuin tarkastelemme erilaisia ​​tapoja löytää jalka suorakulmaisesta kolmiosta, tehdään merkintä. Tarkista, mikä luetelluista tapauksista vastaa ongelmasi tilaa ja noudata tästä riippuen vastaavaa kappaletta. Selvitä, mitkä suuret tarkasteltavana olevasta kolmiosta ovat sinulle tiedossa. Käytä seuraavaa lauseketta laskeaksesi jalka: a=sqrt(c^2-b^2), jos tiedät hypotenuusan ja toisen jalan arvot.

Tämän geometrisen kuvion sivujen ja kulmien välisiä suhteita käsitellään yksityiskohtaisesti trigonometrian matemaattisessa tieteenalassa. Tämän yhtälön soveltamiseksi sinun on tiedettävä suorakulmaisen kolmion minkä tahansa kahden sivun pituus.

Laske yhden jalan pituus, jos hypotenuusan ja toisen jalan mitat ovat tiedossa. Jos hypotenuusa ja yksi sen vieressä olevista terävistä kulmista on annettu tehtävässä, käytä Bradys-taulukoita.

Sisäinen kolmio on samanlainen kuin ulompi, koska mediaaniviivat ovat samansuuntaisia ​​jalkojen ja hypotenuusan kanssa ja vastaavasti niiden puolikkaat. Koska hypotenuusa on tuntematon, keskiviivan M_c löytämiseksi sinun on korvattava radikaali Pythagoraan lauseesta.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu. Se on oikeaa kulmaa vastapäätä. Hypotenuusan pituus voidaan löytää eri tavoin. Jos molempien jalkojen pituus tunnetaan, niin sen koko lasketaan Pythagoraan lauseella: kahden jalan neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö. Tietäen, että kaikkien kulmien summa on 180 °, vähennämme oikean kulman ja jo tunnetun kulman.

Suorakulmaisen kolmion parametreja laskettaessa on tärkeää kiinnittää huomiota tunnettuihin arvoihin ja ratkaista ongelma yksinkertaisimmalla kaavalla. Ensin muistellaan, mikä on suorakulmainen kolmio. Suorakulmainen kolmio on geometrinen kuvio, jossa on kolme segmenttiä, jotka yhdistävät pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja yksi tämän kuvan kulmista on 90 astetta. On olemassa useita tapoja selvittää jalan pituus.

Kaava: c²=a²+b², missä c on hypotenuusa, a ja b ovat jalat

Jos tunnemme hypotenuusan ja jalan, voimme löytää tuntemattoman jalan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Se kuulostaa tältä: "Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa." Jalan löytämiseen trigonometristen funktioiden avulla on neljä vaihtoehtoa: sini, kosini, tangentti, kotangentti. Kulman sini (sini) on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kaava: sin \u003d a / c, missä a on annettua kulmaa vastapäätä oleva jalka ja c on hypotenuusa.

Suorakulmaisten kolmioiden epätavalliset ominaisuudet löysi muinainen kreikkalainen tiedemies Pythagoras, joka havaitsi, että hypotenuusan neliö tällaisissa kolmioissa on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa.

Korkeus on kohtisuora kolmion mistä tahansa kärjestä vastakkaiseen sivuun (tai sen jatkeeseen, jos kolmio on tylpäkulmainen). Kolmion korkeudet leikkaavat yhdessä pisteessä, jota kutsutaan ortosentriksi. Jos se on mielivaltainen suorakulmainen kolmio, dataa ei ole tarpeeksi.

Lisäksi on hyödyllistä tietää trigonometristen funktioiden arvot tyypillisimmille kulmille 30, 45, 60, 90, 180 astetta. Jos olosuhteet määrittelevät jalkojen mitat, etsi hypotenuusan pituus. Elämässä joudumme usein kohtaamaan matemaattisia ongelmia: koulussa, yliopistossa ja sitten auttamalla lasta kotitehtävissä.

Seuraavaksi muunnetaan kaava ja saadaan: a=sin*c

Alla oleva taulukko auttaa meitä ratkaisemaan ongelmat. Harkitse näitä vaihtoehtoja. Mielenkiintoinen erikoistapaus on, kun yksi terävistä kulmista on 30 astetta.

Tiettyjen ammattien ihmiset kohtaavat matematiikan päivittäin.

On myös mahdollista löytää tuntematon haara, jos tunnetaan suorakulmaisen kolmion toinen sivu ja mikä tahansa terävä kulma. Etsi suorakulmaisen kolmion sivu Pythagoraan lauseen avulla. Myös suorakulmaisen kolmion sivut voidaan löytää erilaisilla kaavoilla riippuen tunnettujen muuttujien määrästä.