Klassinen ja tilastollinen todennäköisyyden määritelmä

Käytännön toiminnassa on tarpeen pystyä vertailemaan tapahtumia niiden esiintymismahdollisuuden asteen mukaan. Tarkastellaanpa klassista tapausta. Uurnassa on 10 palloa, joista 8 on valkoisia ja 2 mustia. Ilmeisesti tapahtumalla "uurnasta vedetään valkoinen pallo" ja tapahtumalla "uurnasta vedetään musta pallo" on eriasteinen todennäköisyys niiden esiintymiselle. Siksi tapahtumien vertailuun tarvitaan tietty määrällinen mitta.

Tapahtuman mahdollisuuden määrällinen mitta on todennäköisyys . Yleisimmin käytetty on kaksi tapahtuman todennäköisyyden määritelmää: klassinen ja tilastollinen.

Klassinen määritelmä todennäköisyys liittyy käsitykseen suotuisasta lopputuloksesta. Mietitään tätä tarkemmin.

Muodostakoot jonkin testin tulokset kokonaisena tapahtumaryhmän ja olkoot yhtä todennäköisiä, ts. ovat ainutlaatuisen mahdollisia, epäjohdonmukaisia ​​ja yhtä mahdollisia. Tällaisia ​​tuloksia kutsutaan alkeellisia tuloksia, tai tapauksia. Sanotaan, että testi supistetaan tapauskaavio tai " uurnasuunnitelma", koska mikä tahansa tällaisen testin todennäköisyysongelma voidaan korvata vastaavalla eriväristen uurnojen ja pallojen ongelmalla.

Exodus on nimeltään suotuisa tapahtuma MUTTA jos tämän tapauksen esiintyminen edellyttää tapahtuman toteutumista MUTTA.

Klassisen määritelmän mukaan tapahtuman todennäköisyys A on yhtä suuri kuin tätä tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde tulosten kokonaismäärään, eli

,

(1.1)

missä P(A)- tapahtuman todennäköisyys MUTTA; m- tapahtumalle suotuisten tapausten määrä MUTTA; n on tapausten kokonaismäärä.

Esimerkki 1.1. Kun heitetään noppaa, kuusi lopputulosta on mahdollista - tappio 1, 2, 3, 4, 5, 6 pistettä. Mikä on todennäköisyys saada parillinen määrä pisteitä?

Päätös. Kaikki n= 6 lopputulosta muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän ja ovat yhtä todennäköisiä, ts. ovat ainutlaatuisen mahdollisia, epäjohdonmukaisia ​​ja yhtä mahdollisia. Tapahtumaa A - "parillisen määrän pisteitä esiintyminen" - suosii 3 lopputulosta (tapausta) - 2, 4 tai 6 pisteen menetys. Klassisen tapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan saamme

P(A) = = . ◄

Tapahtuman todennäköisyyden klassisen määritelmän perusteella huomioimme sen ominaisuudet:

1. Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä, ts.

0 ≤ R(MUTTA) ≤ 1.

2. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

3. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Kuten aiemmin mainittiin, klassista todennäköisyyden määritelmää voidaan soveltaa vain niihin tapahtumiin, jotka voivat ilmetä sellaisten kokeiden tuloksena, joilla on symmetria mahdollisten tulosten välillä, ts. pelkistettävissä tapauskaavioon. On kuitenkin olemassa suuri joukko tapahtumia, joiden todennäköisyyksiä ei voida laskea klassisen määritelmän avulla.

Jos esimerkiksi oletetaan, että kolikko on litistetty, niin on selvää, ettei tapahtumia "vaakunan ulkonäkö" ja "pyrstöjen ulkonäkö" voida pitää yhtä mahdollisina. Siksi kaavaa todennäköisyyden määrittämiseksi klassisen kaavion mukaisesti ei voida soveltaa tässä tapauksessa.

On kuitenkin olemassa toinen tapa arvioida tapahtumien todennäköisyyttä, joka perustuu siihen, kuinka usein tietty tapahtuma esiintyy suoritetuissa testeissä. Tässä tapauksessa käytetään tilastollista todennäköisyyden määritelmää.

Tilastollinen todennäköisyystapahtuma A on tämän tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys (taajuus) n suoritetussa testissä, ts.

,

(1.2)

missä R * (A) on tapahtuman tilastollinen todennäköisyys MUTTA; w(A) on tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys MUTTA; m on niiden kokeiden lukumäärä, joissa tapahtuma tapahtui MUTTA; n on kokeiden kokonaismäärä.

Toisin kuin matemaattinen todennäköisyys P(A) klassisen määritelmän mukaan tilastollinen todennäköisyys R * (A) on ominaisuus kokenut, kokeellinen. Toisin sanoen tapahtuman tilastollinen todennäköisyys MUTTA kutsutaan numero, johon suhteellinen taajuus on vakiintunut (vahvistettu) w(A) samoissa olosuhteissa suoritettavien testien määrän rajoittamattomalla lisäyksellä.

Esimerkiksi, kun he sanovat ampujasta, että hän osuu maaliin todennäköisyydellä 0,95, tämä tarkoittaa, että sadasta laukauksesta, jotka hän ampuu tietyissä olosuhteissa (sama maali samalla etäisyydellä, sama kivääri jne. . ), onnistuneita on keskimäärin noin 95. Tietenkään joka sadalla ei ole 95 onnistunutta laukausta, joskus niitä on vähemmän, joskus enemmän, mutta keskimäärin toistuvalla ampumakerralla samoissa olosuhteissa tämä osumien prosenttiosuus pysyy ennallaan. Numero 0,95, joka toimii mittarina ampujan taidosta, on yleensä hyvin vakaa, eli osumien prosenttiosuus useimmissa laukauksissa on lähes sama kullekin ampujalle, mutta vain harvoissa tapauksissa se poikkeaa millään merkittävällä tavalla sen keskiarvosta.

Toinen klassisen todennäköisyyden määritelmän haittapuoli ( 1.1 ), mikä rajoittaa sen käyttöä, on se, että se olettaa rajallisen määrän mahdollisia testituloksia. Joissakin tapauksissa tämä puute voidaan korjata käyttämällä todennäköisyyden geometrista määritelmää, ts. löytää todennäköisyys osua pisteeseen tietyllä alueella (segmentti, osa tasosta jne.).

Anna litteän hahmon g on osa litteää hahmoa G(Kuva 1.1). Kuvassa G piste heitetään satunnaisesti. Tämä tarkoittaa, että kaikki pisteet alueella G"yhtä" suhteessa siihen osumiseen heitetyllä satunnaisella pisteellä. Olettaen, että tapahtuman todennäköisyys MUTTA- lyömällä hahmoon heitetyn pisteen g- verrannollinen tämän luvun pinta-alaan eikä riipu sen sijainnista suhteessa G, ei lomakkeesta g, löytö

Todennäköisyys tapahtuma on tiettyä tapahtumaa suosivien alkeistulosten lukumäärän suhde kaikkien yhtä mahdollisten kokemuksen tulosten lukumäärään, joissa tämä tapahtuma voi tapahtua. Tapahtuman A todennäköisyyttä merkitään P(A) (tässä P on ranskan sanan todennäköisyys - todennäköisyys) ensimmäinen kirjain. Määritelmän mukaan
(1.2.1)
missä on tapahtumaa A suosivien perustulosten lukumäärä; - kaikkien yhtä mahdollisten kokemuksen alkeistulosten lukumäärä, jotka muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän.
Tätä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan klassiseksi. Se syntyi todennäköisyysteorian kehityksen alkuvaiheessa.

Tapahtuman todennäköisyydellä on seuraavat ominaisuudet:
1. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi. Merkitään kirjaimella tietty tapahtuma. Tietylle tapahtumalle siis
(1.2.2)
2. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on nolla. Merkitsemme mahdotonta tapahtumaa kirjaimella. Mahdottomaksi tapahtumaksi siis
(1.2.3)
3. Satunnaistapahtuman todennäköisyys ilmaistaan ​​positiivisena lukuna, joka on pienempi kuin yksi. Koska epäyhtälöt , tai täyttyvät satunnaiselle tapahtumalle, niin
(1.2.4)
4. Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys tyydyttää epäyhtälöt
(1.2.5)
Tämä seuraa suhteista (1.2.2) -(1.2.4).

Esimerkki 1 Uurnassa on 10 samankokoista ja -painoista palloa, joista 4 on punaista ja 6 sinistä. Urnasta vedetään yksi pallo. Millä todennäköisyydellä vedetty pallo on sininen?

Päätös. Tapahtumaa "vedetty pallo osoittautui siniseksi" merkitään kirjaimella A. Tässä testissä on 10 yhtä mahdollista perustulosta, joista 6 suosii tapahtumaa A. Kaavan (1.2.1) mukaisesti saamme

Esimerkki 2 Kaikki luonnolliset luvut 1-30 kirjoitetaan identtisille korteille ja laitetaan uurnaan. Kun kortit on sekoitettu perusteellisesti, yksi kortti poistetaan uurnasta. Millä todennäköisyydellä vedetyn kortin luku on 5:n kerrannainen?

Päätös. Merkitse A:lla tapahtuma "otetulla kortilla oleva luku on 5:n kerrannainen". Tässä kokeessa on 30 yhtä mahdollista perustulosta, joista 6 tulosta suosivat tapahtumaa A (luvut 5, 10, 15, 20, 25, 30). Siten,

Esimerkki 3 Kaksi noppaa heitetään, lasketaan yläpintojen pisteiden summa. Laske tapahtuman B todennäköisyys, joka koostuu siitä, että kuutioiden yläpinnoilla on yhteensä 9 pistettä.

Päätös. Tässä kokeessa on 6 2 = 36 yhtä mahdollista perustulosta. Tapahtumaa B suosii 4 tulosta: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), joten

Esimerkki 4. Satunnaisesti valitaan luonnollinen luku, joka ei ylitä 10. Mikä on todennäköisyys, että tämä luku on alkuluku?

Päätös. Merkitse C-kirjaimella tapahtuma "valittu luku on alkuluku". Tässä tapauksessa n = 10, m = 4 (alkuluvut 2, 3, 5, 7). Siksi haluttu todennäköisyys

Esimerkki 5 Kaksi symmetristä kolikkoa heitetään. Millä todennäköisyydellä molempien kolikoiden yläpuolella on numeroita?

Päätös. Merkitään D-kirjaimella tapahtumaa "jokaisen kolikon yläpuolella oli numero". Tässä testissä on 4 yhtä mahdollista perustulosta: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Merkintä (G, C) tarkoittaa, että ensimmäisessä kolikossa on vaakuna, toisessa - numero). Tapahtumaa D suosii yksi perustulos (C, C). Koska m = 1, n = 4, niin

Esimerkki 6 Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun kaksinumeroisen luvun numerot ovat samat?

Päätös. Kaksinumeroiset luvut ovat lukuja väliltä 10 - 99; tällaisia ​​lukuja on yhteensä 90. Yhdeksässä numerossa on samat numerot (nämä ovat luvut 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Koska tässä tapauksessa m = 9, n = 90, niin
,
jossa A on "numero, jolla on samat numerot" -tapahtuma.

Esimerkki 7 Sanan kirjaimista ero yksi kirjain valitaan sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä tämä kirjain on: a) vokaali b) konsonantti c) kirjain h?

Päätös. Differentiaalisanassa on 12 kirjainta, joista 5 on vokaalia ja 7 konsonantteja. Kirjaimet h tämä sana ei. Merkitään tapahtumia: A - "vokaali", B - "konsonantti", C - "kirjain". h". Suotuisten perustulosten määrä: - tapahtumalle A, - tapahtumalle B, - tapahtumalle C. Koska n \u003d 12, niin
, ja .

Esimerkki 8 Kaksi noppaa heitetään, ja kunkin nopan yläpinnalla olevien pisteiden määrä merkitään muistiin. Selvitä todennäköisyys, että molemmilla nopalla on sama määrä pisteitä.

Päätös. Merkitään tämä tapahtuma kirjaimella A. Tapahtumaa A suosii 6 perustulosta: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6; 6). Kaiken kaikkiaan on yhtä mahdollisia alkeistuloksia, jotka muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän, tässä tapauksessa n=6 2 =36. Joten haluttu todennäköisyys

Esimerkki 9 Kirjassa on 300 sivua. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti avatun sivun järjestysnumero on 5:n kerrannainen?

Päätös. Tehtävän ehdoista seuraa, että kaikkia yhtä mahdollisia alkeellisia tuloksia, jotka muodostavat täydellisen tapahtumaryhmän, tulee olemaan n = 300. Näistä m = 60 suosii määritellyn tapahtuman toteutumista. Todellakin, luku, joka on 5:n kerrannainen, on muotoa 5k, missä k on luonnollinen luku, ja mistä . Siten,
, jossa A - "sivu"-tapahtumalla on järjestysnumero, joka on 5".

Esimerkki 10. Kaksi noppaa heitetään, lasketaan yläpintojen pisteiden summa. Mikä todennäköisemmin saa yhteensä 7 vai 8?

Päätös. Nimetään tapahtumat: A - "7 pistettä putosi", B - "8 pistettä putosi". Tapahtumaa A suosii kuusi perustulosta: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ja tapahtumaa B - 5 tulosta: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Kaikista yhtä mahdollisista perustuloksista on n = 6 2 = 36. ja .

Joten P(A)>P(B), eli yhteensä 7 pisteen saaminen on todennäköisempi tapahtuma kuin 8 pisteen saaminen yhteensä.

Tehtävät

1. Valitaan sattumanvaraisesti luonnollinen luku, joka ei ylitä 30. Millä todennäköisyydellä tämä luku on 3:n kerrannainen?
2. Urnassa a punainen ja b samankokoisia ja -painoisia sinisiä palloja. Millä todennäköisyydellä tästä uurnasta satunnaisesti vedetty pallo on sininen?
3. Valitaan sattumanvaraisesti luku, joka ei ylitä 30. Millä todennäköisyydellä tämä luku on zo:n jakaja?
4. Urnassa a sininen ja b samankokoisia ja -painoisia punaisia ​​palloja. Tästä uurnasta vedetään yksi pallo ja laitetaan sivuun. Tämä pallo on punainen. Sitten uurnasta vedetään toinen pallo. Selvitä todennäköisyys, että myös toinen pallo on punainen.
5. Valitaan sattumanvaraisesti luonnollinen luku, joka ei ylitä 50. Millä todennäköisyydellä tämä luku on alkuluku?
6. Kolme noppaa heitetään, lasketaan yläpintojen pisteiden summa. Kumpi on todennäköisempää - saada yhteensä 9 vai 10 pistettä?
7. Kolme noppaa heitetään, lasketaan pudonneiden pisteiden summa. Mikä saa todennäköisemmin yhteensä 11 (tapahtuma A) tai 12 pistettä (tapahtuma B)?

Vastaukset

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - todennäköisyys saada yhteensä 9 pistettä; p 2 \u003d 27/216 - todennäköisyys saada yhteensä 10 pistettä; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kysymyksiä

1. Mitä kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi?
2. Mikä on tietyn tapahtuman todennäköisyys?
3. Mikä on mahdottoman tapahtuman todennäköisyys?
4. Mitkä ovat satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden rajat?
5. Mitkä ovat minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden rajat?
6. Mitä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan klassisiksi?

Tapahtuman todennäköisyys ymmärretään jonakin numeerisena ominaisuutena tämän tapahtuman mahdollisuudesta. Todennäköisyyden määrittämiseen on useita tapoja.

Tapahtuman todennäköisyys MUTTA on tälle tapahtumalle suotuisten tulosten lukumäärän suhde kaikkien yhtä mahdollisten yhteensopimattomien perustulosten kokonaismäärään, jotka muodostavat täydellisen ryhmän. Joten tapahtuman todennäköisyys MUTTA määräytyy kaavan mukaan

missä m on perustulosten suosivien määrä MUTTA, n- testin kaikkien mahdollisten perustulosten lukumäärä.

Esimerkki 3.1. Nopanheittokokeessa kaikkien tulosten lukumäärä n on 6 ja ne ovat kaikki yhtä mahdollisia. Anna tapahtuman MUTTA tarkoittaa parillisen luvun esiintymistä. Tällöin tälle tapahtumalle suotuisat tulokset ovat numeroiden 2, 4, 6 esiintyminen. Niiden lukumäärä on 3. Siksi tapahtuman todennäköisyys MUTTA on yhtä suuri kuin

Esimerkki 3.2. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun kaksinumeroisen luvun numerot ovat samat?

Kaksinumeroiset luvut ovat lukuja väliltä 10 - 99, tällaisia ​​lukuja on yhteensä 90. 9 numerolla on samat numerot (nämä ovat luvut 11, 22, ..., 99). Koska tässä tapauksessa m=9, n=90 siis

missä MUTTA- tapahtuma, "numero, jossa on samat numerot."

Esimerkki 3.3. Siinä on 7 vakioosaa 10 osassa. Laske todennäköisyys, että kuuden satunnaisesti valitun osan joukossa on 4 standardiosaa.

Testin mahdollisten alkeistulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa 10:stä voidaan erottaa 6 osaa, eli 6 elementin 10 elementin yhdistelmien lukumäärä. Määritä tulosten lukumäärä, jotka suosivat meitä kiinnostavaa tapahtumaa MUTTA(kuudesta otetusta osasta 4 on vakiona). Neljä vakioosaa voidaan ottaa seitsemästä vakioosasta eri tavoilla; Samanaikaisesti loput 6-4=2 osaa on oltava epästandardia, mutta 10-7=3 epästandardista osasta voi ottaa kaksi epästandardia osaa eri tavoin. Siksi myönteisten tulosten määrä on .

Sitten haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin

Seuraavat ominaisuudet johtuvat todennäköisyyden määritelmästä:

1. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

Itse asiassa, jos tapahtuma on luotettava, niin jokainen testin alkeistulos suosii tapahtumaa. Tässä tapauksessa m=n, siis

2. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on nolla.

Itse asiassa, jos tapahtuma on mahdoton, mikään kokeilun perustuloksista ei suosi tapahtumaa. Tässä tapauksessa se tarkoittaa

3. Satunnaistapahtuman todennäköisyys on positiivinen luku nollan ja yhden välillä.

Itse asiassa vain osa testin perustulosten kokonaismäärästä suosii satunnaista tapahtumaa. Tässä tapauksessa< m< n, tarkoittaa 0 < m/n < 1 eli 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Loogisesti täydellisen todennäköisyysteorian rakentaminen perustuu satunnaistapahtuman ja sen todennäköisyyden aksiomaattiseen määritelmään. A. N. Kolmogorovin ehdottamassa aksioomijärjestelmässä määrittelemättömät käsitteet ovat alkeistapahtuma ja todennäköisyys. Tässä ovat aksioomit, jotka määrittelevät todennäköisyyden:

1. Jokainen tapahtuma MUTTA määritetty ei-negatiivinen reaaliluku P(A). Tätä lukua kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi. MUTTA.

2. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi.

3. Ainakin yhden pareittain yhteensopimattoman tapahtuman esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa.

Näiden aksioomien perusteella todennäköisyyksien ominaisuudet ja niiden väliset suhteet johdetaan lauseina.

Kysymyksiä itsetutkiskelua varten

1. Mikä on tapahtuman mahdollisuuden numeerisen ominaisuuden nimi?

2. Mitä kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi?

3. Mikä on tietyn tapahtuman todennäköisyys?

4. Mikä on mahdottoman tapahtuman todennäköisyys?

5. Mitkä ovat satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden rajat?

6. Mitkä ovat minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden rajat?

7. Mitä todennäköisyyden määritelmää kutsutaan klassisiksi?

KUNNAN OPETUSLAITOS

GYMNASIIO nro 6

aiheesta "Todennäköisyyden klassinen määritelmä".

Suorittanut 8. "B"-luokan oppilas

Klimantova Alexandra.

Matematiikan opettaja: Videnkina V. A.

Voronež, 2008

Monissa peleissä käytetään noppaa. Nopan kasvot ovat 6, jokaiseen pintaan on merkitty eri määrä pisteitä - 1 - 6. Pelaaja heittää noppaa ja katsoo, kuinka monta pistettä on pudotetulla kasvolla (päällä olevalla pinnalla). Melko usein nostan reunassa olevat pisteet korvataan vastaavalla numerolla ja sitten puhutaan heitosta 1, 2 tai 6. Nopan heittämistä voidaan pitää kokemuksena, kokeena, kokeena ja saatuna tuloksena. on testin tulos tai alkeistapahtuma. Ihmiset ovat kiinnostuneita arvaamaan tapahtuman alkamista ja ennustamaan sen lopputulosta. Mitä ennusteita he voivat tehdä, kun noppaa heitetään? Esimerkiksi nämä:

1. tapahtuma A - numero 1, 2, 3, 4, 5 tai 6 putoaa;
2. tapahtuma B - numero 7, 8 tai 9 putoaa;
3. tapahtuma C - numero 1 putoaa.

Ensimmäisessä tapauksessa ennustettu tapahtuma A tulee varmasti. Yleensä tapahtumaa, joka varmasti tapahtuu tietyssä kokemuksessa, kutsutaan tietty tapahtuma.

Toisessa tapauksessa ennustettu tapahtuma B ei koskaan tapahdu, se on yksinkertaisesti mahdotonta. Yleensä kutsutaan tapahtumaa, joka ei voi tapahtua tietyssä kokeessa mahdoton tapahtuma.

Tapahtuuko kolmannessa tapauksessa ennustettu tapahtuma C vai ei? Emme voi vastata tähän kysymykseen täydellisellä varmuudella, koska 1 voi pudota tai ei. Tapahtumaa, joka tietyssä kokemuksessa voi tapahtua tai ei, kutsutaan satunnainen tapahtuma.

Ajatellessamme tietyn tapahtuman alkamista, emme todennäköisesti käytä sanaa "todennäköisesti". Esimerkiksi, jos tänään on keskiviikko, huomenna on torstai, tämä on tietty tapahtuma. Keskiviikkona emme sano: "Luultavasti huomenna on torstai", sanomme lyhyesti ja selkeästi: "Huomenna on torstai." Totta, jos olemme alttiita kauniille lauseille, voimme sanoa tämän: "Sadan prosentin todennäköisyydellä sanon, että huomenna on torstai." Päinvastoin, jos tänään on keskiviikko, niin huomenna on perjantai – mahdoton tapahtuma. Arvioimalla tätä keskiviikon tapahtumaa voimme sanoa näin: "Olen varma, että huomenna ei ole perjantai." Tai näin: "On uskomatonta, että huomenna on perjantai." No, jos olemme taipuvaisia ​​kauniille lauseille, voimme sanoa näin: "Todennäköisyys, että huomenna on perjantai, on nolla." Joten tietty tapahtuma on tapahtuma, joka tapahtuu tietyissä olosuhteissa. 100% varmuudella(eli 10 tapauksessa 10:stä, 100 tapauksesta 100:sta jne.). Mahdoton tapahtuma on tapahtuma, jota ei koskaan tapahdu tietyissä olosuhteissa, tapahtuma nolla todennäköisyydellä.

Mutta valitettavasti (ja ehkä onneksi) kaikki elämässä ei ole niin selvää ja selvää: se tulee aina olemaan (tietty tapahtuma), tätä ei koskaan tapahdu (mahdoton tapahtuma). Useimmiten kohtaamme satunnaisia ​​tapahtumia, joista jotkut ovat todennäköisempiä, toiset vähemmän todennäköisiä. Yleensä ihmiset käyttävät sanoja "todennäköisemmin" tai "vähemmän todennäköisemmin", kuten he sanovat mielijohteesta luottaen niin kutsuttuun maalaisjärkeen. Mutta hyvin usein tällaiset arviot osoittautuvat riittämättömiksi, koska se on tärkeää tietää kuinka paljon prosentin todennäköisyydellä sattumanvarainen tapahtuma tai kuinka monta kertaa yksi satunnainen tapahtuma on todennäköisempi kuin toinen. Toisin sanoen tarvitsemme täsmällistä määrällinen ominaisuuksia, sinun on kyettävä luonnehtimaan todennäköisyys numerolla.

Olemme jo ottaneet ensimmäiset askeleet tähän suuntaan. Sanoimme, että tietyn tapahtuman todennäköisyys on luonnehdittu seuraavasti sata prosenttia, ja mahdoton tapahtuman todennäköisyys nolla. Koska 100 % on yhtä, ihmiset ovat sopineet seuraavista:

1. tietyn tapahtuman todennäköisyyden katsotaan olevan yhtä suuri kuin 1;
2. mahdoton tapahtuman todennäköisyys katsotaan yhtä suureksi kuin 0.

Kuinka lasket satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden? Loppujen lopuksi se tapahtui sattumalta, mikä tarkoittaa, että se ei noudata lakeja, algoritmeja tai kaavoja. Osoittautuu, että tietyt lait toimivat satunnaisuuden maailmassa, jolloin voit laskea todennäköisyyksiä. Tämä on matematiikan ala, jota kutsutaan todennäköisyysteoria.

Matematiikka käsittelee malli- jokin ilmiö ympäröivästä todellisuudesta. Kaikista todennäköisyysteoriassa käytetyistä malleista rajoitamme yksinkertaisimpaan.

Klassinen todennäköisyyskaavio

Tapahtuman A todennäköisyyden selvittämiseksi jonkin kokeen aikana pitäisi:

1) etsi tämän kokemuksen kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä N;

2) hyväksyä oletus, että kaikki nämä tulokset ovat yhtä todennäköisiä (yhtä mahdollisia);

3) löytää niiden kokemuksen tulosten lukumäärä N(A), joissa tapahtuma A tapahtuu;

4) etsi yksityinen ; se on yhtä suuri kuin tapahtuman A todennäköisyys.

Tapahtuman A todennäköisyydeksi on tapana merkitä P(A). Selitys tälle nimitykselle on hyvin yksinkertainen: sana "todennäköisyys" ranskaksi on todennäköisyys, englanniksi- todennäköisyys.Nimitys käyttää sanan ensimmäistä kirjainta.

Tätä merkintää käyttämällä voidaan löytää kaavan avulla klassisen kaavion mukainen tapahtuman A todennäköisyys

P(A)=.

Usein kaikki annetun klassisen todennäköisyyskaavion kohdat ilmaistaan ​​yhdellä melko pitkällä lauseella.

Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Tapahtuman A todennäköisyys tietyn testin aikana on niiden tulosten lukumäärän suhde, joiden seurauksena tapahtuma A tapahtuu, tämän testin kaikkien yhtä mahdollisten tulosten kokonaismäärään.

Esimerkki 1. Laske todennäköisyys, että yhdellä nopanheitolla: a) 4; b) 5; c) parillinen määrä pisteitä; d) pisteiden lukumäärä, joka on suurempi kuin 4; e) pisteiden määrä, joka ei ole kolmen kerrannainen.

Päätös. Yhteensä mahdollisia lopputuloksia on N=6: kuution pinnan pudottaminen, jonka pisteiden lukumäärä on 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Uskomme, että yhdelläkään niistä ei ole etuja muihin verrattuna, eli hyväksymme oletuksen näiden tulosten samankaltaisuudesta.

a) Juuri yhdessä lopputuloksesta tapahtuu meitä kiinnostava tapahtuma A - luvun 4 menetys. Näin ollen N (A) \u003d 1 ja

P(A)= =.

b) Ratkaisu ja vastaus ovat samat kuin edellisessä kappaleessa.

c) Meitä kiinnostava tapahtuma B tapahtuu täsmälleen kolmessa tapauksessa, kun pisteiden lukumäärä on 2, 4 tai 6.

N(B)=3 jaP(B)==.

d) Meitä kiinnostava tapahtuma C tapahtuu täsmälleen kahdessa tapauksessa, kun pisteiden lukumäärä on 5 tai 6.

N(C) =2 ja P(C)=.

e) Kuudesta mahdollisesta vedetystä luvusta neljä (1, 2, 4 ja 5) eivät ole kolmen kerrannaisia, ja loput kaksi (3 ja 6) ovat jaollisia kolmella. Tämä tarkoittaa, että meitä kiinnostava tapahtuma tapahtuu täsmälleen neljässä kuudesta mahdollisesta ja yhtä todennäköisestä keskenään ja yhtä todennäköisestä keskenään kokemuksen seurauksista. Joten vastaus on.

Vastaus: a); b) ; sisään) ; G) ; e).

Todellinen pelinoppaa voi hyvinkin poiketa ihanteellisesta (malli)nopista, joten sen käyttäytymisen kuvaamiseksi tarvitaan tarkempi ja yksityiskohtaisempi malli, jossa otetaan huomioon kasvojen edut toiseen nähden, magneettien mahdollinen läsnäolo jne. Mutta "paholainen on yksityiskohdissa", ja tarkkuuden lisääminen johtaa yleensä monimutkaisempiin, ja vastauksen saamisesta tulee ongelma. Rajaudumme tarkastelemaan yksinkertaisinta todennäköisyysmallia, jossa kaikki mahdolliset tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Huomautus 1. Tarkastellaanpa toista esimerkkiä. Kysyttiin: "Millä todennäköisyydellä saadaan kolme yhdellä nopanheitolla?" Opiskelija vastasi näin: "Todennäköisyys on 0,5." Ja hän selitti vastauksensa: "Nämä kolme joko putoavat tai eivät. Tämä tarkoittaa, että lopputuloksia on yhteensä kaksi, ja täsmälleen yhdessä tapahtumassa tapahtuu meitä kiinnostava tapahtuma. Klassisen todennäköisyyskaavion mukaan saamme vastauksen 0,5. Onko tässä perustelussa virhe? Ensi silmäyksellä ei. Se on kuitenkin edelleen olemassa ja perustavanlaatuisella hetkellä. Kyllä, kolmoisosa joko putoaa tai ei, eli tällaisella heiton tuloksen määritelmällä N = 2. On myös totta, että N(A)=1 ja tietysti on totta, että =0, 5 eli todennäköisyyskaavion kolme pistettä otetaan huomioon, mutta kohdan 2) toteutuminen on kyseenalaista. Tietysti puhtaasti juridisesta näkökulmasta katsottuna meillä on oikeus uskoa, että kolmikon menetys epäonnistuu yhtä todennäköisesti. Mutta voimmeko ajatella niin rikkomatta omia luonnollisia oletuksiamme kasvojen "samanlaisuudesta"? Ei tietenkään! Tässä on kyse oikeasta päättelystä jossain mallissa. Vain tämä malli itsessään on "väärä", ei vastaa todellista ilmiötä.

Huomautus 2. Kun keskustelet todennäköisyydestä, älä unohda seuraavaa tärkeää seikkaa. Jos sanomme, että noppaa heittäessä todennäköisyys saada yksi piste on yhtä suuri kuin , tämä ei tarkoita ollenkaan sitä, että heittämällä noppaa 6 kertaa, saat yhden pisteen tasan kerran, heittämällä noppaa 12 kertaa saat yhden pisteen tasan kahdesti, heittämällä noppaa 18 kertaa, saat yhden pisteen tasan kolme kertaa ja niin edelleen. Sana on luultavasti spekulatiivinen. Oletamme, että niin todennäköisesti tapahtuu. Luultavasti jos heitämme noppaa 600 kertaa, yksi piste nousee 100 kertaa tai noin 100.

Todennäköisyysteoria syntyi 1600-luvulla, kun analysoitiin erilaisia ​​uhkapelejä. Siksi ei ole yllättävää, että ensimmäiset esimerkit ovat luonteeltaan leikkisä. Noppaesimerkeistä siirrytään pelikorttien satunnaiseen nostoon pakasta.

Esimerkki 2. 36 kortin pakasta vedetään satunnaisesti 3 korttia samanaikaisesti. Millä todennäköisyydellä heidän joukossaan ei ole Patakuningatarta?

Päätös. Meillä on 36 elementin sarja. Valitsemme kolme elementtiä, joiden järjestyksellä ei ole merkitystä. Näin ollen on mahdollista saada N=C-tuloksia. Toimimme klassisen todennäköisyyskaavion mukaisesti, eli oletamme, että kaikki nämä tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Jää vielä laskea vaadittu todennäköisyys klassisen määritelmän mukaan:

Ja millä todennäköisyydellä valitun kolmen kortin joukossa on patakuningatar? Kaikkien tällaisten tulosten lukumäärää ei ole vaikea laskea, sinun on vain vähennettävä kaikista tuloksista N kaikki ne tulokset, joissa ei ole pataroota, eli vähennettävä esimerkissä 3 löydetty luku N(A). Sitten tämä ero N - N (A) klassisen todennäköisyyskaavion mukaisesti tulisi jakaa N:llä. Näin saamme:

Näemme, että näiden kahden tapahtuman todennäköisyyksien välillä on tietty suhde. Jos tapahtuma A koostuu pataroottaren poissaolosta ja tapahtuma B on hänen läsnäolonsa kolmen valitun kortin joukossa,

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Valitettavasti yhtälössä P(A)+P(B)=1 ei ole tietoa tapahtumien A ja B välisestä suhteesta; meidän on pidettävä tämä yhteys mielessä. Tapahtumalle B olisi mukavampaa antaa nimi ja nimitys etukäteen, mikä osoittaa selvästi sen yhteyden A:han.

Määritelmä 1. Tapahtuma B nimeltään vastapäätä tapahtumaa A ja merkitse B=Â, jos tapahtuma B tapahtuu silloin ja vain, jos tapahtumaa A ei tapahdu.

TLause 1. Löytääksesi päinvastaisen tapahtuman todennäköisyyden, vähennä yksiköstä itse tapahtuman todennäköisyys: Р(Ā)= 1—Р(А). Todellakin,

Käytännössä he laskevat, mikä on helpompi löytää: joko P(A) tai P(Ā). Sen jälkeen he käyttävät lauseen kaavaa ja löytävät vastaavasti joko P(Ā)= 1-P(A) tai P(A)= 1-P(Ā).

Usein käytetään menetelmää tietyn ongelman ratkaisemiseksi "tapausten luetteloimalla", kun ongelman ehdot jaetaan toisensa poissulkeviin tapauksiin, joista kutakin tarkastellaan erikseen. Esimerkiksi "jos menet oikealle, menetät hevosesi, jos menet suoraan, ratkaiset ongelman todennäköisyysteorian mukaan, jos menet vasemmalle...". Tai kun piirrät funktiota y=│x+1│—│2x—5│, ota huomioon x:n tapaukset

Esimerkki 3. 50 pisteestä 17 on varjostettu sinisellä ja 13 oranssilla. Selvitä todennäköisyys, että satunnaisesti valittu piste varjostetaan.

Päätös. Yhteensä 30 pistettä 50:stä on varjostettu, joten todennäköisyys on = 0,6.

Vastaus: 0.6.

Tarkastellaanpa tätä yksinkertaista esimerkkiä kuitenkin tarkemmin. Olkoon tapahtuma A, että valittu piste on sininen, ja tapahtuma B, että valittu piste on oranssi. Sopimuksen mukaan tapahtumat A ja B eivät voi tapahtua samanaikaisesti.

Merkitsemme C-kirjaimella meitä kiinnostavaa tapahtumaa. Tapahtuma C tapahtuu jos ja vain jos se tapahtuu ainakin yksi tapahtumista A tai B. On selvää, että N(C)= N(A)+N(B).

Jaetaan tämän yhtälön molemmat puolet N:llä, annetun kokeen kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärällä; saamme

Olemme analysoineet tärkeän ja usein toistuvan tilanteen yksinkertaisella esimerkillä. Hänelle on erityinen nimi.

Määritelmä 2. Tapahtumat A ja B kutsutaan yhteensopimaton jos ne eivät voi tapahtua samaan aikaan.

Lause 2. Vähintään toisen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa.

Kun tätä lausetta käännetään matemaattiselle kielelle, on jotenkin välttämätöntä nimetä ja nimetä tapahtuma, joka koostuu vähintään toisen kahdesta annetusta tapahtumasta A ja B. Tällaista tapahtumaa kutsutaan tapahtumien A ja B summaksi ja sitä merkitään A+B.

Jos A ja B eivät ole yhteensopivia, niin P(A+B)= P(A)+P(B).

Todellakin,

Tapahtumien A ja B yhteensopimattomuus voidaan havainnollistaa kätevästi kuviolla. Jos kaikki kokemuksen tulokset ovat joitain kuvassa olevia pisteitä, tapahtumat A ja B ovat joitakin tietyn joukon osajoukkoja. A:n ja B:n yhteensopimattomuus tarkoittaa, että nämä kaksi osajoukkoa eivät leikkaa toisiaan. Tyypillinen esimerkki yhteensopimattomista tapahtumista on mikä tahansa tapahtuma A ja vastakkainen tapahtuma Ā.

Tietenkin tämä lause pätee kolmelle, neljälle ja mille tahansa äärelliselle määrälle pareittain yhteensopimattomia tapahtumia. Minkä tahansa määrän pareittain yhteensopimattomien tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa. Tämä tärkeä lausunto vastaa täsmälleen menetelmää ongelmien ratkaisemiseksi "tapausten luetteloimalla".

Kokemuksen seurauksena tapahtuvien tapahtumien ja näiden tapahtumien todennäköisyyksien välillä voi olla joitain suhteita, riippuvuuksia, yhteyksiä jne. Esimerkiksi tapahtumia voidaan "lisätä", ja yhteensopimattomien summan todennäköisyys. tapahtumat on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa.

Lopuksi keskustelemme seuraavasta peruskysymyksestä: onko mahdollista todistaa, että todennäköisyys saada "häntä" yhdellä kolikonheitolla on yhtä suuri kuin

Vastaus on kielteinen. Yleisesti ottaen itse kysymys ei ole oikea, sanan "todistaa" tarkka merkitys ei ole selvä. Todistammehan aina jotain joidenkin puitteissa mallit, jossa säännöt, lait, aksioomat, kaavat, lauseet jne. ovat jo tiedossa. Jos puhumme kuvitteellisesta, "ihanteellisesta" kolikosta, niin sitä pidetään siksi ihanteellisena, koska a-priory, todennäköisyys saada päitä on yhtä suuri kuin todennäköisyys saada päitä. Ja periaatteessa voidaan harkita mallia, jossa todennäköisyys putoaa "häntä" on kaksinkertainen "päiden" putoamisen todennäköisyys tai kolme kertaa pienempi jne. Sitten herää kysymys: mistä syystä eri mahdollisista malleista kolikon heittäminen valitsemmeko sellaisen, jossa heiton molemmat lopputulokset ovat yhtä todennäköisiä?

Täysin suoranainen vastaus on: "Mutta se on meille helpompaa, selkeämpää ja luonnollisempaa!" Mutta on olemassa myös asiallisempia argumentteja. Ne tulevat käytännössä. Suurin osa todennäköisyysteorian oppikirjoista antaa esimerkkejä ranskalaisesta luonnontieteilijästä J. Buffonista (1700-luku) ja englantilaisesta matemaatikko-statistikosta C. Pearsonista (1800-luvun loppu), jotka heittivät kolikon vastaavasti 4040 ja 24000 kertaa ja laskivat putoavien "kotkien" tai "häntien" lukumäärä. Heidän "hännänsä" putosi vastaavasti 1992 ja 11 998 kertaa. Jos lasket pudotustaajuus"hännät", niin saat = = 0,493069 ... Buffonille ja = 0,4995 Pearsonille. Syntyy luonnollisesti oletus että kolikonheittomäärän rajoittamattoman lisääntymisen myötä putoavien "häntäten" sekä putoavien "kotkien" tiheys lähestyy yhä enemmän arvoa 0,5. Juuri tämä käytännön tietoihin perustuva oletus on perusta valittaessa mallia, jolla on yhtäläiset tulokset.

Nyt voimme tehdä yhteenvedon. Peruskonsepti on satunnaisen tapahtuman todennäköisyys, joka lasketaan yksinkertaisimman mallin puitteissa - klassinen todennäköisyyskaavio. Konsepti on tärkeä sekä teoriassa että käytännössä. vastakkainen tapahtuma ja kaava Р(Ā)= 1—Р(А) tällaisen tapahtuman todennäköisyyden löytämiseksi.

Lopulta tapasimme yhteensopimattomia tapahtumia ja kaavoilla.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

mahdollistaa todennäköisyyksien löytämisen määriä tällaisia ​​tapahtumia.

Bibliografia

1. Tapahtumat. Todennäköisyydet. Tilastotietojen käsittely: Lisää. kappaleita algebran 7-9 solujen kulkuun. oppilaitokset / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—4. painos—M.: Mnemozina, 2006.—112 s.: ill.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk "Algebra. Tilastojen ja todennäköisyysteorian elementtejä. – Moskova, Enlightenment, 2006.

Hyödyllinen sivu? Tallenna tai kerro ystävillesi

Todennäköisyysteorian peruskäsite on satunnaisen tapahtuman käsite. satunnainen tapahtuma Tapahtumaa kutsutaan tapahtumaksi, joka tietyissä olosuhteissa voi tapahtua tai ei. Esimerkiksi esineeseen osuminen tai sen puuttuminen ammuttaessa tätä esinettä tietyllä aseella on satunnainen tapahtuma.

Tapahtuma on ns luotettava jos se testin seurauksena välttämättä tapahtuu. Mahdotonta Tapahtumaa kutsutaan tapahtumaksi, joka ei voi tapahtua testin tuloksena.

Satunnaisia ​​tapahtumia kutsutaan yhteensopimaton tietyssä oikeudenkäynnissä, jos kaksi heistä ei voi esiintyä yhdessä.

Satunnaiset tapahtumat muodostuvat täysi ryhmä, jos jokaisessa kokeilussa jokin niistä voi ilmestyä eikä mikään muu niiden kanssa yhteensopimaton tapahtuma voi ilmestyä.

Harkitse yhtä mahdollisten yhteensopimattomien satunnaisten tapahtumien kokonaista ryhmää. Tällaisia ​​tapahtumia kutsutaan nimellä tuloksia tai alkeellisia tapahtumia. Exodus on nimeltään suotuisa tapahtuman $A$ esiintyminen, jos tämän tuloksen esiintyminen edellyttää tapahtuman $A$ esiintymistä.

Esimerkki. Uurnassa on 8 numeroitua palloa (jokaisessa pallossa on yksi numero 1-8). Pallot numeroilla 1, 2, 3 ovat punaisia, loput mustia. Numerolla 1 (tai numerolla 2 tai numerolla 3) merkityn pallon ilmestyminen on punaisen pallon ilmestymiselle suotuisa tapahtuma. Pallon ilmestyminen numerolla 4 (tai numerolla 5, 6, 7, 8) on tapahtuma, joka suosii mustan pallon ulkonäköä.

Tapahtuman todennäköisyys$A$ on tätä tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän $m$ suhde kaikkien yhtä mahdollisten yhteensopimattomien perustulosten kokonaismäärään $n$, jotka muodostavat täydellisen ryhmän $$P(A)=\frac(m)(n ). \quad(1)$$

Kiinteistö 1. Tietyn tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin yksi
Kiinteistö 2. Mahdottoman tapahtuman todennäköisyys on nolla.
Kiinteistö 3. Satunnaistapahtuman todennäköisyys on positiivinen luku nollan ja yhden välillä.

Joten minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys täyttää kaksois-epäyhtälön $0 \le P(A) \le 1$ .

Online-laskimet

Suuri joukko kaavan (1) avulla ratkaistuja ongelmia liittyy aiheeseen hypergeometrinen todennäköisyys. Linkkien alta löydät kuvaukset suosituista tehtävistä ja online-laskimet niiden ratkaisuihin:

• Ongelma palloista (uurna sisältää $k$ valkoista ja $n$ mustaa palloa, $m$ palloa otetaan pois...)
• Osaongelma (laatikko sisältää $k$ vakio- ja $n$ viallisia osia, $m$ osat on poistettu...)
• Ongelma lottolipuissa ($k$ voittavia ja $n$ häviäviä lippuja osallistuu arvontaan, $m$ lippuja ostetaan...)

Esimerkkejä klassisen todennäköisyyden ongelmien ratkaisuista

Esimerkki. Urnassa on 10 numeroitua palloa numeroilla 1-10. Yksi pallo otetaan pois. Millä todennäköisyydellä vedetyn pallon määrä ei ylitä 10:tä?

Päätös. Anna tapahtuman MUTTA= (Vedätyn pallon määrä ei ylitä 10:tä). Myönteisten tapahtumien määrä MUTTA on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten tapausten lukumäärä m=n=10. Siten, R(MUTTA)=1. Tapahtuma Luotettava.

Esimerkki. Urnassa on 10 palloa: 6 valkoista ja 4 mustaa. Poimi kaksi palloa. Mikä on todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia?

Päätös. Voit ottaa kaksi palloa kymmenestä seuraavilla tavoilla: .
Niiden kertojen määrä, jolloin näiden kahden joukossa on kaksi valkoista palloa .
Haluttu todennäköisyys
.

Esimerkki. Urnassa on 15 palloa: 5 valkoista ja 10 mustaa. Millä todennäköisyydellä uurnasta tulee sininen pallo?

Päätös. Koska uurnassa ei ole sinisiä palloja, m=0, n=15. Siksi haluttu todennäköisyys R=0. Sinisen pallon piirtäminen mahdotonta.

Esimerkki. Yksi kortti nostetaan 36 kortin pakasta. Mikä on todennäköisyys, että sydänkortti ilmestyy?

Päätös. Perustulosten lukumäärä (korttien määrä) n=36. Tapahtuma MUTTA= (Sydänpukukortin ulkonäkö). Tapahtuman toteutumiselle suotuisten kertojen lukumäärä MUTTA, m=9. Siten,
.

Esimerkki. Toimistossa on 6 miestä ja 4 naista. Muuttoon valittiin satunnaisesti 7 henkilöä. Laske todennäköisyys, että valittujen henkilöiden joukossa on kolme naista.