16.1. Perustoimintojen laajentaminen Taylor-sarjaan ja

Maclaurin

Osoitetaan, että jos joukolle on määritelty mielivaltainen funktio
, pisteen läheisyydessä
sillä on monia johdannaisia ​​ja se on potenssisarjan summa:

niin löydät tämän sarjan kertoimet.

Korvataan tehosarjaan
. Sitten
.

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta
:

klo
:
.

Toiselle johdannaiselle saamme:

klo
:
.

Tätä menettelyä jatketaan n kun saamme:
.

Siten saimme potenssisarjan muodossa:

,

jota kutsutaan Taylorin vieressä toimintoa varten
pisteen läheisyydessä
.

Taylor-sarjan erikoistapaus on Maclaurin-sarja klo
:

Taylor (Maclaurin) -sarjan loppuosa saadaan hylkäämällä pääsarja n ensimmäiset jäsenet ja sitä merkitään
. Sitten toiminto
voidaan kirjoittaa summana n sarjan ensimmäiset jäsenet
ja loput
:,

.

Loput on yleensä
ilmaistaan ​​eri kaavoilla.

Yksi niistä on Lagrange-muodossa:

, Missä
.
.

Huomaa, että käytännössä Maclaurin-sarjaa käytetään useammin. Näin ollen funktion kirjoittamiseksi
potenssisarjan summana tarvitaan:

1) löytää Maclaurin (Taylor) -sarjan kertoimet;

2) löytää tuloksena olevan potenssisarjan konvergenssialue;

3) todista, että tämä sarja konvergoi funktioon
.

Lause1 (välttämätön ja riittävä ehto Maclaurin-sarjan lähentymiselle). Olkoon sarjan lähentymissäde
. Jotta tämä sarja lähentyisi välissä
toimia
, se on välttämätöntä ja riittävää, jotta ehto täyttyy:
määritetyllä aikavälillä.

Lause 2. Jos funktion minkä tahansa järjestyksen derivaatat
jossain välissä
itseisarvoltaan rajoitettu samaan numeroon M, tuo on
, sitten tällä välillä funktio
voidaan laajentaa Maclaurin-sarjaan.

Esimerkki1 . Laajenna Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä
toiminto

Ratkaisu.

.

, ;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Lähentymisalue
.

Esimerkki2 . Laajenna funktio Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä
.

Ratkaisu:

Etsi funktion arvo ja sen derivaatat kohdassa
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Laitetaan nämä arvot riviin. Saamme:

tai
.

Etsitään tämän sarjan konvergenssialue. D'Alembertin testin mukaan sarja konvergoi, jos

.

Siksi mille tahansa tämä raja on pienempi kuin 1, ja siksi sarjan konvergenssialue on:
.

Tarkastellaan useita esimerkkejä perusfunktioiden Maclaurin-sarjan laajennuksesta. Muista, että Maclaurin-sarja:

.

suppenee välissä
toimia
.

Huomaa, että funktion laajentaminen sarjaksi edellyttää:

a) etsi Maclaurin-sarjan kertoimet tälle funktiolle;

b) laskea konvergenssisäde tuloksena oleville sarjoille;

c) todistaa, että tuloksena oleva sarja konvergoi funktioon
.

Esimerkki 3. Harkitse toimintoa
.

Ratkaisu.

Lasketaan funktion arvo ja sen derivaatat at
.

Sitten sarjan numeeriset kertoimet ovat muotoa:

kenelle tahansa n. Korvataan löydetyt kertoimet Maclaurin-sarjaan ja saadaan:

Etsitään tuloksena olevan sarjan konvergenssisäde, nimittäin:

.

Siksi sarja konvergoi intervalliin
.

Tämä sarja konvergoi funktioon mille tahansa arvolle , koska millä tahansa aikavälillä
toiminto ja sen johdannaisia ​​absoluuttisina arvoina rajoittaa lukumäärä .

Esimerkki4 . Harkitse toimintoa
.

Ratkaisu.

:

On helppo nähdä, että johdannaiset ovat tasaisia
, ja johdannaiset ovat parittomassa järjestyksessä. Korvataan löydetyt kertoimet Maclaurin-sarjaan ja saadaan laajennus:

Etsitään tämän sarjan konvergenssiväli. D'Alembertin kyltin mukaan:

kenelle tahansa . Siksi sarja konvergoi intervalliin
.

Tämä sarja konvergoi funktioon
, koska kaikki sen johdannaiset rajoittuvat ykseyteen.

Esimerkki5 .
.

Ratkaisu.

Etsitään funktion arvo ja sen derivaatat at
:

Näin ollen tämän sarjan kertoimet:
Ja
, siis:

Samanlainen kuin edellinen rivi, lähentymisalue
. Sarja konvergoi funktioon
, koska kaikki sen johdannaiset rajoittuvat ykseyteen.

Huomaa, että toiminto
pariton ja sarjalaajennus parittomilla tehoilla, funktio
– tasainen ja laajennus sarjaksi tasaisin voimin.

Esimerkki6 . Binomisarja:
.

Ratkaisu.

Etsitään funktion arvo ja sen derivaatat at
:

Tästä voidaan nähdä, että:

Korvataan nämä kerroinarvot Maclaurin-sarjaan ja saadaan tämän funktion laajennus potenssisarjaksi:

Etsitään tämän sarjan konvergenssisäde:

Siksi sarja konvergoi intervalliin
. Rajapisteissä klo
Ja
sarja voi konvergoida tai ei lähentyä eksponentin mukaan
.

Tutkittu sarja konvergoi intervalliin
toimia
, eli sarjan summa
klo
.

Esimerkki7 . Laajennamme toimintoa Maclaurin-sarjassa
.

Ratkaisu.

Laajentaaksemme tämän funktion sarjaksi käytämme binomisarjaa at
. Saamme:

Potenssisarjan ominaisuuden perusteella (potenssisarja voidaan integroida sen konvergenssin alueelle) löydämme tämän sarjan vasemman ja oikean puolen integraalin:

Etsitään tämän sarjan lähentymisalue:
,

eli tämän sarjan konvergenssialue on intervalli
. Määritetään sarjan konvergenssi intervallin päissä. klo

. Tämä sarja on harmoninen sarja, eli se eroaa. klo
saamme lukusarjan, jolla on yhteinen termi
.

Sarja konvergoi Leibnizin testin mukaan. Siten tämän sarjan konvergenssialue on väli
.

16.2. Tehosarjan soveltaminen likimääräisissä laskelmissa

Likimääräisissä laskelmissa potenssisarjoilla on erittäin tärkeä rooli. Heidän avullaan on koottu trigonometristen funktioiden taulukoita, logaritmitaulukoita, muiden funktioiden arvotaulukoita, joita käytetään eri tietämyksen aloilla, esimerkiksi todennäköisyysteoriassa ja matemaattisessa tilastossa. Lisäksi funktioiden laajentaminen potenssisarjoiksi on hyödyllistä niiden teoreettisen tutkimuksen kannalta. Suurin ongelma käytettäessä potenssisarjoja likimääräisissä laskelmissa on virheen estimointi, kun sarjan summa korvataan sen ensimmäisen summalla. n jäsenet.

Tarkastellaan kahta tapausta:

toiminto laajennetaan merkki-vuorottelusarjaksi;

funktio laajenee vakiomerkkisarjaksi.

Laskeminen vuorottelevilla sarjoilla

Anna toiminnon
laajennettiin vaihtotehosarjaksi. Sitten laskettaessa tätä funktiota tietylle arvolle saamme lukusarjan, johon voimme soveltaa Leibnizin kriteeriä. Tämän kriteerin mukaisesti, jos sarjan summa korvataan sen ensimmäisen summalla n termejä, absoluuttinen virhe ei ylitä tämän sarjan loppuosan ensimmäistä termiä, eli:
.

Esimerkki8 . Laskea
tarkkuudella 0,0001.

Ratkaisu.

Käytämme Maclaurin-sarjaa
, korvaa kulman arvon radiaaneina:

Jos vertaamme sarjan ensimmäistä ja toista termiä tietyllä tarkkuudella, niin: .

Kolmas laajennusjakso:

pienempi kuin määritetty laskentatarkkuus. Siksi laskea
riittää, että jättää sarjan kaksi termiä, eli

.

Täten
.

Esimerkki9 . Laskea
tarkkuudella 0,001.

Ratkaisu.

Käytämme binomisarjakaavaa. Tätä varten kirjoitetaan
kuten:
.

Tässä ilmaisussa
,

Verrataan kutakin sarjan ehtoa määritetyllä tarkkuudella. Se on selvää
. Siksi laskea
riittää, että jättää sarjan kolme termiä.

tai
.

Laskenta positiivisilla sarjoilla

Esimerkki10 . Laske numero tarkkuudella 0,001.

Ratkaisu.

Rivillä funktiota varten
korvataan
. Saamme:

Arvioidaan virhe, joka syntyy, kun sarjan summa korvataan ensimmäisen summalla jäsenet. Kirjataan ylös ilmeinen epätasa-arvo:

eli 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ongelman mukaan sinun on löydettävä n siten, että seuraava epäyhtälö pätee:
tai
.

Se on helppo tarkistaa milloin n= 6:
.

Siten,
.

Esimerkki11 . Laskea
tarkkuudella 0,0001.

Ratkaisu.

Huomaa, että logaritmien laskemiseen voidaan käyttää sarjaa funktiolle
, mutta tämä sarja konvergoi hyvin hitaasti ja tietyn tarkkuuden saavuttamiseksi tarvitsisi ottaa 9999 termiä! Siksi logaritmien laskemiseen käytetään pääsääntöisesti funktion sarjaa
, joka konvergoi väliin
.

Lasketaan
käyttämällä tätä sarjaa. Antaa
, Sitten .

Siten,
,

Laskeakseen
annetulla tarkkuudella, ota neljän ensimmäisen ehdon summa:
.

Loput sarjasta
hylätään se. Arvioidaan virhe. Se on selvää

tai
.

Näin ollen laskennassa käytetyssä sarjassa funktiolle riitti ottaa vain neljä ensimmäistä termiä sarjan 9999 sijasta.
.

Itsediagnoosin kysymyksiä

1. Mikä on Taylor-sarja?

2. Millainen Maclaurin-sarja oli?

3. Muotoile lause Taylor-sarjan funktion laajentamisesta.

4. Kirjoita muistiin pääfunktioiden Maclaurin-sarjan laajennus.

5. Ilmoita tarkasteltavan sarjan konvergenssialueet.

6. Kuinka arvioida virhe likimääräisissä laskelmissa potenssisarjoja käyttäen?

Korkeamman matematiikan opiskelijoiden tulee tietää, että meille annetun sarjan konvergenssiväliin kuuluvan tietyn potenssisarjan summa osoittautuu jatkuvaksi ja rajattoman monta kertaa differentioituneeksi funktioksi. Herää kysymys: onko mahdollista sanoa, että annettu mielivaltainen funktio f(x) on tietyn potenssisarjan summa? Eli missä olosuhteissa funktio f(x) voidaan esittää potenssisarjalla? Tämän kysymyksen tärkeys on siinä, että funktio f(x) voidaan likimäärin korvata potenssisarjan muutaman ensimmäisen termin summalla, eli polynomilla. Tämä funktion korvaaminen melko yksinkertaisella lausekkeella - polynomilla - on myös kätevä tiettyjen ongelmien ratkaisemisessa, nimittäin: kun ratkaistaan ​​integraaleja, laskettaessa jne.

On todistettu, että tietylle funktiolle f(x), jossa on mahdollista laskea derivaattoja (n+1) kertalukuon asti, viimeinen mukaan lukien, (α - R; x 0 + R) ) jokin piste x = α, on totta, että kaava:

Tämä kaava on nimetty kuuluisan tiedemiehen Brooke Taylorin mukaan. Sarjaa, joka on saatu edellisestä, kutsutaan Maclaurin-sarjaksi:

Sääntö, joka mahdollistaa laajennuksen suorittamisen Maclaurin-sarjassa:

1. Määritä ensimmäisen, toisen, kolmannen... kertaluvun derivaatat.
2. Laske, mitä derivaatat kohdassa x=0 ovat yhtä suuria.
3. Kirjoita muistiin tämän funktion Maclaurin-sarja ja määritä sitten sen konvergenssiväli.
4. Määritä väli (-R;R), jossa Maclaurin-kaavan loppuosa

R n (x) -> 0 n -> äärettömässä. Jos sellainen on olemassa, siinä olevan funktion f(x) on oltava sama kuin Maclaurin-sarjan summa.

Tarkastellaan nyt Maclaurin-sarjaa yksittäisille funktioille.

1. Ensimmäinen on siis f(x) = e x. Tietysti tällaisella funktiolla on ominaisuuksiensa perusteella hyvin erilaisia ​​derivaattoja, ja f (k) (x) = e x , missä k on kaikki. Korvaa x = 0. Saadaan f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Edellä olevan perusteella sarja e x näyttää tältä:

2. Maclaurin-sarja funktiolle f(x) = sin x. Selvitetään heti, että kaikkien tuntemattomien funktiolla on derivaatat, lisäksi f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), missä k on mikä tahansa luonnollinen luku eli yksinkertaisten laskutoimitusten jälkeen voidaan päätyä johtopäätös, että sarja f(x) = sin x näyttää tältä:

3. Yritetään nyt tarkastella funktiota f(x) = cos x. Kaikille tuntemattomille sillä on mielivaltaisen järjestyksen derivaatat ja |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Olemme siis listanneet tärkeimmät toiminnot, joita voidaan laajentaa Maclaurin-sarjassa, mutta niitä on täydennetty Taylor-sarjalla joidenkin toimintojen osalta. Nyt luetellaan ne. On myös syytä huomata, että Taylor- ja Maclaurin-sarjat ovat tärkeä osa käytännön työtä korkeamman matematiikan sarjojen ratkaisemiseksi. Taylor-sarja siis.

1. Ensimmäinen on sarja funktiolle f(x) = ln(1+x). Kuten edellisissä esimerkeissä, annetulle f(x) = ln(1+x) voidaan lisätä sarja käyttämällä Maclaurin-sarjan yleistä muotoa. kuitenkin tätä toimintoa varten Maclaurin-sarja voidaan saada paljon yksinkertaisemmin. Kun on integroitu tietty geometrinen sarja, saadaan tällaisen näytteen sarja f(x) = ln(1+x):

2. Ja toinen, joka on lopullinen artikkelissamme, on sarja f(x) = arctan x. Väliin [-1;1] kuuluvalle x:lle laajennus on voimassa:

Siinä kaikki. Tässä artikkelissa tarkasteltiin eniten käytettyjä Taylor- ja Maclaurin-sarjoja korkeammassa matematiikassa, erityisesti taloustieteen ja teknisissä yliopistoissa.

Jos funktiolla f(x) on derivaatat kaikista asteista tietyllä välillä, joka sisältää pisteen a, niin siihen voidaan soveltaa Taylorin kaavaa:
,
Missä r n– sarjan ns. jäännöstermi tai jäännösosa, se voidaan arvioida Lagrangen kaavalla:
, jossa luku x on x:n ja a:n välillä.

Säännöt funktioiden syöttämiseen:

Jos jollain arvolla X r n→0 klo n→∞, silloin rajassa Taylor-kaavasta tulee konvergentti tälle arvolle Taylor-sarja:
,
Siten funktio f(x) voidaan laajentaa Taylor-sarjaksi tarkasteltavassa pisteessä x, jos:
1) sillä on johdannaisia ​​kaikista tilauksista;
2) konstruoitu sarja konvergoi tässä vaiheessa.

Kun a = 0, saadaan sarja nimeltä lähellä Maclaurinia:
,
Maclaurin-sarjan yksinkertaisimpien (alkeis) funktioiden laajennus:
Eksponentiaaliset funktiot
, R=∞
Trigonometriset funktiot
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funktio actgx ei laajene x:n potenssilla, koska ctg0=∞
Hyperboliset toiminnot


Logaritmiset funktiot
, -1
Binomi sarja
.

Esimerkki nro 1. Laajenna funktio potenssisarjaksi f(x)= 2x.
Ratkaisu. Etsitään funktion ja sen johdannaisten arvot osoitteessa X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2 = ln2;
f""(x) = 2x 22, f""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Korvaamalla saadut johdannaisten arvot Taylor-sarjan kaavaan saadaan:

Tämän sarjan konvergenssisäde on yhtä suuri kuin ääretön, joten tämä laajennus on voimassa -∞<x<+∞.

Esimerkki nro 2. Kirjoita Taylor-sarja tehoilla ( X+4) toiminnalle f(x)= e x.
Ratkaisu. Funktion e derivaattojen löytäminen x ja niiden arvot pisteessä X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Siksi funktion vaaditulla Taylor-sarjalla on muoto:

Tämä laajennus on voimassa myös -∞<x<+∞.

Esimerkki nro 3. Laajenna funktio f(x)=ln x sarjassa voimissa ( X- 1),
(eli Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X=1).
Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatat.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Korvaamalla nämä arvot kaavaan, saamme halutun Taylor-sarjan:

D'Alembertin testin avulla voit varmistaa, että sarja konvergoi ½x-1½<1 . Действительно,

Sarja konvergoi, jos ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saadaan vuorotteleva sarja, joka täyttää Leibnizin kriteerin ehdot. Kun x=0 funktiota ei ole määritelty. Siten Taylor-sarjan konvergenssialue on puoliavoin väli (0;2]).

Esimerkki nro 4. Laajenna funktio potenssisarjaksi.
Ratkaisu. Laajennuksessa (1) korvaamme x:n -x 2:lla, saamme:
, -∞

Esimerkki nro 5. Laajenna toimintoa Maclaurin-sarjassa .
Ratkaisu. Meillä on
Kaavan (4) avulla voimme kirjoittaa:

korvaamalla -x kaavassa x:n sijaan, saamme:

Täältä löydämme: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Avaamalla sulut, järjestämällä sarjan ehdot uudelleen ja tuomalla samanlaisia ​​termejä saamme
. Tämä sarja konvergoi välillä (-1;1), koska se saadaan kahdesta sarjasta, joista kukin konvergoi tässä välissä.

Kommentti .
Kaavojen (1)-(5) avulla voidaan myös laajentaa vastaavat funktiot Taylor-sarjaksi, ts. funktioiden laajentamiseen positiivisilla kokonaislukupotenssilla ( Ha). Tätä varten on tarpeen suorittaa tällaisia ​​identtisiä muunnoksia tietylle funktiolle, jotta saadaan yksi funktioista (1)-(5), jossa sen sijaan X maksaa k( Ha) m , missä k on vakioluku, m on positiivinen kokonaisluku. Usein on kätevää muuttaa muuttujaa t=Ha ja laajentaa tuloksena olevaa funktiota t:n suhteen Maclaurin-sarjassa.

Tämä menetelmä perustuu lauseeseen funktion laajennuksen ainutlaatuisuudesta potenssisarjassa. Tämän lauseen ydin on, että saman pisteen läheisyydessä ei voida saada kahta erilaista potenssisarjaa, jotka konvergoisivat samaan funktioon, riippumatta siitä, miten sen laajennus suoritetaan.

Esimerkki nro 5a. Laajenna funktio Maclaurin-sarjassa ja osoita konvergenssialue.
Ratkaisu. Ensin löydämme 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ala-asteelle:

Murtolukua 3/(1-3x) voidaan pitää äärettömästi pienenevän geometrisen progression summana nimittäjällä 3x, jos |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

lähentymisalueen kanssa |x|< 1/3.

Esimerkki nro 6. Laajenna funktio Taylor-sarjaksi pisteen x = 3 läheisyydessä.
Ratkaisu. Tämä ongelma voidaan ratkaista, kuten ennenkin, käyttämällä Taylor-sarjan määritelmää, jolle meidän on löydettävä funktion derivaatat ja niiden arvot X=3. On kuitenkin helpompi käyttää olemassa olevaa laajennusta (5):
=
Tuloksena oleva sarja konvergoi -3:ssa

Esimerkki nro 7. Kirjoita Taylor-sarja funktion ln(x+2) potenssiin (x -1).
Ratkaisu.


Sarja konvergoi kohdassa , tai -2< x < 5.

Esimerkki nro 8. Laajenna funktio f(x)=sin(πx/4) Taylor-sarjaksi pisteen x =2 läheisyydessä.
Ratkaisu. Tehdään korvaus t=x-2:

Käyttämällä laajennusta (3), jossa korvaamme x:n tilalla π / 4 t, saadaan:

Tuloksena oleva sarja konvergoi annettuun funktioon kohdassa -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Täten,
, (-∞

Likimääräiset laskelmat tehosarjoja käyttäen

Tehosarjoja käytetään laajalti likimääräisissä laskelmissa. Niiden avulla voit laskea juurien, trigonometristen funktioiden, lukujen logaritmien ja määrättyjen integraalien arvot tietyllä tarkkuudella. Sarjoja käytetään myös differentiaaliyhtälöiden integroinnissa.
Harkitse funktion laajennusta potenssisarjassa:

Jotta voidaan laskea funktion likimääräinen arvo tietyssä pisteessä X, joka kuuluu osoitetun sarjan konvergenssialueelle, ensimmäiset jätetään sen laajennukseen n jäsenet ( n– äärellinen luku), ja loput termit hylätään:

Saadun likimääräisen arvon virheen arvioimiseksi on tarpeen arvioida hylätty jäännös rn (x) . Voit tehdä tämän käyttämällä seuraavia tekniikoita:

• jos tuloksena oleva sarja on vuorotteleva, käytetään seuraavaa ominaisuutta: vuorottelevalle sarjalle, joka täyttää Leibnizin ehdot, sarjan loppuosa absoluuttisina arvoina ei ylitä ensimmäistä hylättyä termiä.
• jos tietyllä sarjalla on vakiomerkki, hylätyistä termeistä koostuvaa sarjaa verrataan äärettömästi pienenevään geometriseen progressioon.
• Yleisessä tapauksessa Taylor-sarjan loppuosan arvioimiseksi voit käyttää Lagrangen kaavaa: a x ).

Esimerkki nro 1. Laske ln(3) lähimpään 0,01:een.
Ratkaisu. Käytetään laajennusta, jossa x=1/2 (katso esimerkki 5 edellisestä aiheesta):

Tarkastetaan, voidaanko laajennuksen kolmen ensimmäisen ehdon jälkeen hylätä jäännös; tätä varten arvioimme sen käyttämällä äärettömästi pienenevän geometrisen progression summaa:

Joten voimme hylätä tämän loppuosan ja saada

Esimerkki nro 2. Laske lähimpään 0,0001:een.
Ratkaisu. Käytetään binomisarjaa. Koska 5 3 on lukua 130 lähinnä olevan kokonaisluvun kuutio, on suositeltavaa esittää luku 130 muodossa 130 = 5 3 +5.



koska jo Leibnizin kriteerin täyttävän tuloksena olevan vuorottelevan sarjan neljäs termi on pienempi kuin vaadittu tarkkuus:
, joten se ja sitä seuraavat ehdot voidaan hylätä.
Monia käytännöllisesti katsoen tarpeellisia määrällisiä tai epäsopivia integraaleja ei voida laskea Newton-Leibnizin kaavalla, koska sen soveltaminen liittyy antiderivaatan löytämiseen, jolla ei useinkaan ole lauseketta alkeisfunktioissa. Sattuu myös niin, että antiderivaatin löytäminen on mahdollista, mutta se on tarpeettoman työvoimavaltaista. Kuitenkin, jos integrandifunktio laajennetaan potenssisarjaksi ja integroinnin rajat kuuluvat tämän sarjan konvergenssiväliin, niin integraalin likimääräinen laskenta ennalta määrätyllä tarkkuudella on mahdollista.

Siten löydämme
.

Esimerkki nro 4. Laske integraali ∫ 0 1 4 e x 2 tarkkuudella 0,001.
Ratkaisu.
. Tarkastetaan, voimmeko hylätä loppuosan tuloksena olevan sarjan toisen termin jälkeen.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Funktionaalisten sarjojen teoriassa keskeinen paikka on osa, joka on omistettu funktion laajentamiselle sarjaksi.

Siten tehtävä on asetettu: tietylle funktiolle meidän on löydettävä tällainen tehosarja

joka konvergoi tietyllä aikavälillä ja sen summa oli yhtä suuri
, nuo.

= ..

Tämä tehtävä on ns ongelma funktion laajentamisesta potenssisarjaksi.

Välttämätön ehto funktion hajotettavuudelle potenssisarjassa onko sen differentioituvuus äärettömän monta kertaa - tämä seuraa konvergenttien potenssisarjojen ominaisuuksista. Tämä ehto täyttyy pääsääntöisesti niiden määritelmäalueen perusfunktioille.

Oletetaan siis, että funktio
on minkä tahansa luokan johdannaisia. Onko mahdollista laajentaa sitä tehosarjaksi?Jos on, kuinka voimme löytää tämän sarjan? Ongelman toinen osa on helpompi ratkaista, joten aloitetaan siitä.

Oletetaan, että funktio
voidaan esittää pisteen sisältävässä välissä suppenevan potenssisarjan summana X 0 :

= .. (*)

Missä A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – tuntemattomat (vielä) kertoimet.

Laitetaan tasa-arvoon (*) arvo x = x 0 , sitten saamme

.

Erottelemme potenssisarjat (*) termeiltä

= ..

ja uskoa täällä x = x 0 , saamme

.

Seuraavalla erottelulla saamme sarjan

= ..

uskoen x = x 0 , saamme
, missä
.

Jälkeen P-Saamme useita erilaistumista

Olettaen viimeisessä tasa-arvossa x = x 0 , saamme
, missä

Joten kertoimet löytyvät

,
,
, …,
,….,

korvaamalla mikä sarjaan (*), saamme

Tuloksena oleva sarja on ns Taylorin vieressä toimintoa varten
.

Näin olemme todenneet sen jos funktio voidaan laajentaa potenssisarjaksi potenssien (x - x 0 ), tämä laajennus on ainutlaatuinen ja tuloksena oleva sarja on välttämättä Taylor-sarja.

Huomaa, että Taylor-sarja voidaan saada mille tahansa funktiolle, jolla on missä tahansa järjestyksessä derivaatat pisteessä x = x 0 . Mutta tämä ei tarkoita, että funktion ja tuloksena olevan sarjan väliin voitaisiin asettaa yhtäläisyysmerkki, ts. että sarjan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Ensinnäkin tällaisella yhtälöllä voi olla järkeä vain konvergenssin alueella, ja funktiolle saatu Taylor-sarja voi poiketa, ja toiseksi, jos Taylor-sarja konvergoi, niin sen summa ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen funktio.

3.2. Riittävät edellytykset funktion hajotettavuudelle Taylor-sarjassa

Muotoillaan lause, jonka avulla tehtävä ratkaistaan.

Jos toiminto
jossain pisteen x läheisyydessä 0 on johdannaisia ​​aina (n+ 1) järjestyksessä, niin tässä naapurustossa meillä onkaava Taylor

MissäR n (X)-Taylor-kaavan lopulla termillä - on muoto (Lagrange-muoto)

Missä pisteξ on x:n ja x:n välissä 0 .

Huomaa, että Taylor-sarjan ja Taylor-kaavan välillä on ero: Taylor-kaava on äärellinen summa, ts. P - kiinteä numero.

Muista, että sarjan summa S(x) voidaan määritellä osasummien funktionaalisen sarjan rajaksi S P (x) jossain välissä X:

.

Tämän mukaan funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi tarkoittaa sellaisen sarjan löytämistä, joka sopii mille tahansa XX

Kirjoitetaan Taylorin kaava muodossa missä

huomaa, että
määrittää saamamme virheen, korvaa funktio f(x) polynomi S n (x).

Jos
, Tuo
,nuo. toiminto laajenee Taylor-sarjaksi. Päinvastoin, jos
, Tuo
.

Näin me todistimme Taylor-sarjan funktion hajotettavuuden kriteeri.

Toiminnon vuoksif(x) laajenee Taylor-sarjaksi, on välttämätöntä ja riittävää, että tällä aikavälillä
, MissäR n (x) on Taylor-sarjan loppuosa.

Muotoiltua kriteeriä käyttämällä voidaan saada riittäväehdot funktion hajotettavuudelle Taylor-sarjassa.

Jos sisäänjokin pisteen x lähialue 0 funktion kaikkien derivaattojen absoluuttiset arvot on rajoitettu samaan määrään M≥ 0, eli

, To tällä alueella funktio laajenee Taylor-sarjaksi.

Yllä olevasta se seuraa algoritmitoiminnon laajennus f(x) Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X 0 :

1. Funktioiden derivaattojen löytäminen f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Laske funktion arvo ja sen johdannaisten arvot pisteessä X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Kirjoitamme muodollisesti Taylor-sarjan ja löydämme tuloksena olevan potenssisarjan konvergenssialueen.

4. Tarkistamme riittävien ehtojen täyttymisen, ts. määritämme mille X lähentymisalueelta, jäljellä oleva aika R n (x) yleensä nollaan
tai
.

Funktioiden laajentamista Taylor-sarjaksi tällä algoritmilla kutsutaan funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi määritelmän mukaan tai suora hajoaminen.

Jos toiminto f(x) on jollain välillä, joka sisältää pisteen A, kaikkien järjestysten johdannaisia, siihen voidaan soveltaa Taylor-kaavaa:

Missä r n– sarjan ns. jäännöstermi tai jäännösosa, se voidaan arvioida Lagrangen kaavalla:

, jossa numero x on välissä X Ja A.

Jos jollain arvolla x r n®0 klo n®¥, niin rajassa Taylorin kaava muuttuu tämän arvon konvergenttikaavaksi Taylor-sarja:

Toiminto siis f(x) voidaan laajentaa Taylor-sarjaksi kyseisessä kohdassa X, Jos:

1) sillä on johdannaisia ​​kaikista tilauksista;

2) konstruoitu sarja konvergoi tässä vaiheessa.

klo A=0 saamme sarjan nimeltä lähellä Maclaurinia:

Esimerkki 1 f(x)= 2x.

Ratkaisu. Etsitään funktion ja sen johdannaisten arvot osoitteessa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x 22, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Korvaamalla saadut johdannaisten arvot Taylor-sarjan kaavaan saadaan:

Tämän sarjan konvergenssisäde on yhtä suuri kuin ääretön, joten tämä laajennus on voimassa -¥<x<+¥.

Esimerkki 2 X+4) toiminnalle f(x)= e x.

Ratkaisu. Funktion e derivaattojen löytäminen x ja niiden arvot pisteessä X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Siksi funktion vaaditulla Taylor-sarjalla on muoto:

Tämä laajennus on voimassa myös -¥<x<+¥.

Esimerkki 3 . Laajenna funktio f(x)=ln x sarjassa voimissa ( X- 1),

(eli Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X=1).

Ratkaisu. Etsi tämän funktion derivaatat.

Korvaamalla nämä arvot kaavaan, saamme halutun Taylor-sarjan:

D'Alembertin testin avulla voit varmistaa, että sarja konvergoi milloin

½ X- 1½<1. Действительно,

Sarja konvergoi, jos ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saadaan vuorotteleva sarja, joka täyttää Leibnizin kriteerin ehdot. klo X=0-funktiota ei ole määritetty. Siten Taylor-sarjan konvergenssialue on puoliavoin väli (0;2]).

Esitetään tällä tavalla saadut laajennukset Maclaurin-sarjaan (eli pisteen läheisyyteen) X=0) joillekin perusfunktioille:

(2) ,

(3) ,

( viimeistä hajoamista kutsutaan binomisarja)

Esimerkki 4 . Laajenna funktio potenssisarjaksi

Ratkaisu. Laajennuksessa (1) korvaamme X päällä - X 2, saamme:

Esimerkki 5 . Laajenna toimintoa Maclaurin-sarjassa

Ratkaisu. Meillä on

Kaavan (4) avulla voimme kirjoittaa:

korvaamalla sen sijaan X kaavaan -X, saamme:

Täältä löydämme:

Avaamalla sulut, järjestämällä sarjan ehdot uudelleen ja tuomalla samanlaisia ​​termejä saamme

Tämä sarja suppenee välissä

(-1;1), koska se saadaan kahdesta sarjasta, joista kukin konvergoi tällä välillä.

Kommentti .

Kaavojen (1)-(5) avulla voidaan myös laajentaa vastaavat funktiot Taylor-sarjaksi, ts. funktioiden laajentamiseen positiivisilla kokonaislukupotenssilla ( Ha). Tätä varten on tarpeen suorittaa tällaisia ​​identtisiä muunnoksia tietylle funktiolle, jotta saadaan yksi funktioista (1)-(5), jossa sen sijaan X maksaa k( Ha) m , missä k on vakioluku, m on positiivinen kokonaisluku. Usein on kätevää muuttaa muuttujaa t=Ha ja laajentaa tuloksena olevaa funktiota t:n suhteen Maclaurin-sarjassa.

Tämä menetelmä havainnollistaa lausetta funktion potenssisarjalaajennuksen ainutlaatuisuudesta. Tämän lauseen ydin on, että saman pisteen läheisyydessä ei voida saada kahta erilaista potenssisarjaa, jotka konvergoisivat samaan funktioon, riippumatta siitä, miten sen laajennus suoritetaan.

Esimerkki 6 . Laajenna funktiota Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X=3.

Ratkaisu. Tämä ongelma voidaan ratkaista, kuten ennenkin, käyttämällä Taylor-sarjan määritelmää, jolle meidän on löydettävä funktion derivaatat ja niiden arvot X=3. On kuitenkin helpompi käyttää olemassa olevaa laajennusta (5):

Tuloksena oleva sarja konvergoi pisteessä tai -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Esimerkki 7 . Kirjoita Taylor-sarja tehoilla ( X-1) toiminnot .

Ratkaisu.

Sarja lähentyy klo , tai 2< x£5.