Olkoon jokin uudelleennumeroitujen lukujen sarja x 1 , x 2 ,..., x n ,... ., jota merkitään lyhyesti tai (x n ) . Tämä sekvenssi voidaan kirjoittaa luvun n funktiona: x n =f(n) tai x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..
Mikä tahansa sekvenssi määritetään, jos sen jäsenten muodostussääntö on määritetty. Jakso annetaan yleensä kaavoilla, kuten x n =f(n) tai x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1, x n-2) jne., missä .
Esimerkki.Sekvenssi 2, 4, 8, 16, .. . annetaan kaavalla x n =2 n ; geometrinen progressio a 1 , a 2 ,..., a n , .. . voidaan määritellä kaavalla an =a1qn-1 tai an =an-1q; Fibonaccin luvut 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . määritellään kaavoilla xn=xn-1 +xn-2, n=3, 4, .. ., x1=1, x2=1.
Numerosekvenssikaavio(x n ) muodostuu joukosta pisteitä M n (n;f(n)) nOx-tasolla, ts. numerojärjestyskaavio koostuu erillisistä pisteistä.
Jaksoa (x n ) kutsutaan kasvavaksi, jos muodon ehto täyttyy.
Jonoa (x n ) kutsutaan laskevaksi, jos muodon ehto täyttyy.
Jonoa (x n ) kutsutaan ei-kasvavaksi, jos muodon ehto täyttyy.
Jaksoa (x n ) kutsutaan ei-väheneväksi, jos seuraava ehto täyttyy: .
Tällaisia sekvenssejä kutsutaan monotonisiksi. Loput sekvenssit eivät ole monotonisia.
Seuraavaksi kutsutaan loputon sarja mitä tahansa samanluonteisia esineitä.
Esimerkki.Numeroiden sarja - numerosarja. Jotkut toiminnot - toiminnallinen alue.
Sarjan elementtien järjestys on merkittävä. Järjestystä muuttamalla saamme samoista elementeistä toisen rivin.
Meitä kiinnostaa tässä vain numeerinen sarja ja sen summa, joka kirjoitetaan edelleen muodollisesti (ei konstruktiivisesti, ei formalisoituna), eli jonkin äärettömän numeerisen jonon kaikkien jäsenten summasta u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., tai u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Tämä sarja voidaan kirjoittaa tiiviisti muodossa
Merkki on "sigma"-merkki tai summan etumerkki, kaikkien elementtien u n peräkkäinen summa alarajasta n=1 (merkitty alareunassa, voi olla joko äärellinen tai negatiivinen ääretön) ylärajaan (merkitty yläraja voi olla mikä tahansa luku, suurempi tai yhtä suuri kuin alaraja, sekä positiivinen ääretön).
Lukuja u n (n=1, 2, .. .) kutsutaan sarjan jäseniksi ja u n on sarjan yhteinen jäsen.
Esimerkki.Koulumatematiikan kurssilla annetaan geometrinen äärettömästi pienenevä progressio a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
Esimerkki. Harmoninen numerosarja- lomakkeen sarja: . Alla tarkastelemme sitä tarkemmin.
Numerosarja katsotaan annetuksi, eli jokainen sen elementti määräytyy yksilöllisesti, jos sen yhteisen jäsenen löytämissääntö on määritelty tai jokin numeerinen toiminto luonnollinen argumentti 
tai u n =f(n) .
Esimerkki.Jos , niin sarja on annettu , tai kompaktissa merkinnässä:
Jos annetaan harmoninen numerosarja, silloin sen yhteinen termi voidaan kirjoittaa muodossa , ja itse sarja voidaan kirjoittaa muodossa
Määritetään sarjan äärellinen summa ja tällaisten äärellisten summien sekvenssi.
Sarjan n ensimmäisen ehdon lopullista summaa kutsutaan sen n:nneksi osasummaksi ja sitä merkitään S n :
Tämä summa saadaan tavanomaisten lukujen summaussääntöjen mukaan. Tällaisia summia on äärettömän monta, eli jokaiselle sarjalle voidaan katsoa osasummista muodostuva sarja: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . tai tälle sarjalle muodostettu osasummien sarja: .
Jaksoa rajoitetaan ylhäältä, jos jonon kaikille jäsenille on sellainen yhteinen luku M, jota kaikki sekvenssin jäsenet eivät ylitä, eli jos seuraava ehto täyttyy:
Lukujonoa rajoitetaan alhaalta, jos jonon kaikille jäsenille on yhteinen luku m, joka ylittää kaikki sekvenssin jäsenet, eli jos ehto täyttyy:
Lukujono on rajoitettu, jos on lukuja m ja M, jotka ovat yhteisiä jonon kaikille jäsenille ja jotka täyttävät ehdon:
Numeroa kutsutaan numeerisen sekvenssin raja(x n ) , jos luku on niin pieni, että kaikki sekvenssin jäsenet, lukuun ottamatta jotakin äärellistä määrää ensimmäisiä jäseniä, putoavat - luvun a -naapuriin, eli loppujen lopuksi ne tiivistyvät pisteen ympärille a . Siten kaikkien pisteiden x i , i=N 0, N 0 +1, N 0 +2, .. tulee kuulua väliin. sekvenssejä. Tässä tapauksessa luku N 0 riippuu valitusta numerosta, eli 
(Kuva 7.1) .
Riisi. 7.1.
Matemaattisesti sarjarajan olemassaolo voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Tämä tosiasia on kirjoitettu lyhyesti nimellä 
tai , ja sano, että se konvergoi numeroon a . Jos sekvenssillä ei ole rajaa, sitä kutsutaan divergentiksi.
Se seuraa suoraan rajan määritelmästä: jos hylkäämme, lisäämme tai muutamme äärellisen määrän sekvenssin jäseniä, konvergenssia ei rikota (eli jos alkuperäinen sekvenssi konvergoi, niin muunnettu sekvenssi konvergoi) ja alkuperäisen ja tuloksena olevan sekvenssin rajat ovat samat.
Esimerkki.Oleta että 
, missä , eli , , 
. Tämä tosiasia on helppo todistaa, mutta toistaiseksi pidämme sitä todistettuna tosiasiana. Sitten,: 
. Etsi luvun arvo (jos sellainen on olemassa). Harkitse 
. Seuraava suhde on totta:
Joten jos otamme numeron 
, silloin epätasa-arvo täyttyy. Esimerkiksi arvolla , saamme luvun N 0 =99 , eli |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
Annamme nyt kaksi vastaavaa määritelmää funktion rajalle: käyttämällä sekvenssin rajaa ja käyttämällä argumentin ja funktion arvon pienten lähialueiden vastaavuutta. Yhden määritelmän pätevyys tarkoittaa toisen pätevyyttä. Olkoon funktio y=f(x) määritelty 
, paitsi ehkä piste x=x 0 , joka on D(f):n rajapiste. Tässä vaiheessa funktio voi olla määrittelemätön (määrittämätön) tai siinä voi olla tauko.
Jos sarja konvergoi nollaan:
silloin sitä kutsutaan infinitesimaaliksi sekvenssiksi. Sanotaan myös, että sen yleinen termi on äärettömän pienellä suurella. Sekvenssit (84.3) ja (84.4) ovat äärettömän pieniä.
Jos rajan käsitteen muotoilua sovelletaan äärettömän pienen sekvenssin tapaukseen, eli tapaukseen, jossa raja on yhtä suuri kuin nolla, niin saadaan seuraava äärettömän pienen sekvenssin määritelmä (vastaa annettua edellä): jonoa kutsutaan äärettömäksi, jos jollakin annetulla on sellainen luku N, että kaikilla on epäyhtälö
Muotoilkaamme muutamia hyödyllisiä lauseita infinitesimaalisista sekvensseistä (ja todistetaan niistä ensimmäinen esimerkkinä).
Lause 1. Kahden tai useamman äärettömän pienen sekvenssin summa on äärettömän pieni sekvenssi.
Suoritamme todistuksen kahden sekvenssin summaustapaukselle. Olkoon sekvenssit äärettömän pieniä. Jos on niiden yhteenlaskemalla saatu sekvenssi, niin se on myös äärettömän pieni. Tosiaankin, annetaan mielivaltainen positiivinen luku e. Koska se on äärettömän pieni, on olemassa luku N, joka on pienempi kuin numero . Vastaavasti toiselle sekvenssille voidaan määrittää (yleisesti ottaen erilainen) luku siten, että meillä on nyt, jos suurempi kuin suurin luvuista , niin samanaikaisesti
Mutta sitten ominaisuudella "summan moduuli ei ylitä moduulien summaa" (kohta 74, ominaisuus 13) löydämme
mikä todistaa vaaditun väitteen: infinitesimaali sekvenssi luetaan "suurempi kahdesta luvusta N ja .
Lause 2. Rajallisen sekvenssin ja nollaan konvergoivan sekvenssin tulo on nollaan konvergoiva sekvenssi.
Etenkin tästä lauseesta seuraa, että vakioarvon tulo infinitesimaalilla, aivan kuten useiden infinitesimaalien tulo keskenään, on äärettömän pieni määrä. Itse asiassa vakioarvo on aina rajoitettu arvo. Sama pätee infinitesimaaliin. Siksi esimerkiksi kahden infinitesimaalin tulo voidaan tulkita infinitesimaalin tuloksi rajoitetun kanssa.
Lause 3. Nollaan konvergoivan sekvenssin jakaminen sekvenssillä, jolla on nollasta poikkeava raja, on sekvenssi, joka konvergoi nollaan.
Seuraava lause sallii infinitesimaalien käytön rajalauseiden todistuksessa (Lauseet 6-8).
Lause 4. Yleinen termi jonossa, jolla on raja, voidaan esittää tämän rajan ja äärettömän pienen määrän summana.
Todiste. Olkoon sellainen sekvenssi
Rajan määritelmästä seuraa:
kaikille, jotka tyydyttävät epätasa-arvon. Merkitse ja sitten saamme, että ilmoitetuille arvoille se on
eli että on äärettömän pieni määrä. Mutta
ja tämä todistaa lauseemme.
Verna ja käänteinen
Lause 5. Jos jonon yhteinen termi eroaa jostain vakioarvosta äärettömän pienellä arvolla, niin tämä vakio on tämän sekvenssin raja.
Tarkastellaan nyt seuraavissa kolmessa lauseessa muotoiltuja sääntöjä rajaan siirtymiselle.
Lause 6. Kahden tai useamman sekvenssin summan raja, jolla on raja, on yhtä suuri kuin näiden rajojen summa:
Todiste. Olkoon sellaisia jaksoja
Sitten voimme kirjoittaa lauseen 4 perusteella:
missä on joitain äärettömän pieniä sekvenssejä. Lisätään kaksi viimeistä yhtälöä:
Arvo kahden vakion a ja b summana on vakio, ja kahden äärettömän pienen sekvenssin summana Lauseen 1 mukaan on äärettömän pieni jono. Tästä ja Lauseen 5 perusteella päätämme, että
ja tämä oli todistettava.
Nyt suorittamamme todistus voidaan helposti yleistää minkä tahansa määrän annettujen sekvenssien algebralliseen summaan.
Olkoon jonkin omaisuuserän hinta tällä hetkellä r yhtä suuri kuin S(T) . Osto-option merkintähinta tälle erälle, jonka voimassaoloaika T on yhtä suuri kuin K. Lasketaan tämän option hinta hetkellä t. Jaa aikaväli [r, T] n samanpituiseen jaksoon (T - t)/n. Osto-option hinnan laskenta suoritetaan n-jakson binomiaalisen optiohinnoittelumallin puitteissa ja sen raja löytyy kohdasta n -> oo.
Option hinta siis n-jakson binomimallissa määräytyy kaavalla (3.12). Määritelmän mukaan jo pyrkii In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) muodossa m i —» oo. Moivre-Laplace-integraalikaavan mukaan
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
missä Ф(х) = ^ dt - normaalijakaumafunktio.
Käyttämällä lukujen ja mainoksen määritelmää (3.16) saadaan, että η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
Missä
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Osto-option hinnan löydettyä kaavaa (3.17) kutsutaan Black-Scholes-kaavaksi.
Kaavan (3.17) todistus käyttää sarjan eksponentin laajennusta
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Korvaamalla ja ja d kaavasta (3.17) yhtälöön (3.8), joka määrittää luvut р id, saadaan:
erAt - ate/Sh-
R
Laajentamalla eksponentiaalit sarjaksi kaavan (3.18) mukaisesti ja jättämällä huomiotta termit, jotka ovat pieniä verrattuna At:iin, saadaan
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t = 1 I ~ t =
2al/M 2al/M
Jos markkinahinnan epävarmuutta ei ole, hyödykkeen hinta S täyttää yhtälön
AS = fiSAt, (2.1)
missä At on tarpeeksi pieni. Kun At -> 0 yhtälö (2.1) muuttuu differentiaaliksi
S" = /J.S.
Sen ratkaisu S(T) = S(0)emT määrittää hyödykkeen hinnan S(T) hetkellä T.
Käytännössä omaisuuden hintaan liittyy kuitenkin aina epävarmuutta. Epävarmuuden kuvaamiseksi tarkastellaan aikafunktioita, jotka ovat satunnaismuuttujia jokaiselle argumentin arvolle. Tämä ominaisuus määrittää satunnaisen prosessin.
Satunnaisprosessia w(t) kutsutaan Wieneriksi, jos r(0) = 0 ja satunnaismuuttujilla w(t\ + s) - w(t\) ja w(t2 + s) - w(t2) on normaalijakauma nolla-odotuksella ja varianssilla s ja ovat riippumattomia mille tahansa t\, t2, s:lle muodostaen ei-päällekkäiset intervallit (ti,ti + s) ja (t2,t2 + s).
Wiener-prosessin kuvaaja voidaan saada esimerkiksi seuraavasti. Kiinnitetään jokin luku h > 0 ja määritellään satunnaismuuttujien perhe Wh(t) aikoina t = 0, h, 2h,.... Aseta Wh(0) = 0. Ero AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) on satunnaismuuttuja ja se saadaan taulukosta: AWh -6 6 P 1/2 1/2 kolikkoa. Tällöin satunnaismuuttujan AWh matemaattinen odotus on M(AI//1) = 0 ja varianssi D(AWh) = S2. Luku d asetetaan yhtä suureksi kuin Vh niin, että varianssi ~D(AWh) on yhtä suuri kuin h.
Osoittautuu, että Wiener-prosessi w(t) saadaan satunnaismuuttujien perheestä Wh(t) muodossa h -> 0. Itse rajaan siirtyminen on melko vaikeaa, eikä sitä tässä käsitellä. Siksi perheen Wh(t) kuvaaja pienelle h:lle on hyvä approksimaatio Wiener-prosessista. Esimerkiksi Wiener-prosessin visuaaliseen esitykseen segmentillä riittää, että h = 0,01.
Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun /x = 0, eli osakemarkkinat eivät kasva eikä laske keskimäärin, oletetaan, että
AS = aS Aw,
missä w(t) on Wiener-prosessi ja a > 0 on jokin positiivinen luku. Se, että omaisuuden hinnan lisäykset ovat verrannollisia hintaan, ilmaisee luonnollisen oletuksen, että lausekkeen (S(t + At) - S(t))/S(t) epävarmuus ei riipu S:stä. Tämä tarkoittaa, että sijoittaja on yhtä epävarma kumpi saat osuuden voitosta 20 dollarin omaisuushinnalla ja 100 dollarin omaisuushinnalla.
Omaisuushintojen käyttäytymismalli määräytyy yleensä yhtälön avulla
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Kerrointa a, joka on epävarmuuden yksikkö, kutsutaan volatiliteetiksi.
2.2.
Lisää Limit-siirtymäaiheesta:
- Siirtyminen markkinatalouteen liittyy siirtymiseen nykyaikaiseen johtamisjärjestelmään, jonka pääkohde on organisaatio (yritys) ja sen sisällä - työntekijä, työntekijä.
- Raja-arvo (taloudellisen indikaattorin raja-arvo)
Kvanttimekaniikka sisältää klassisen rajoittavana tapauksena. Herää kysymys, miten tämä rajan ylittäminen tapahtuu.
Kvanttimekaniikassa elektronia kuvataan aaltofunktiolla, joka määrittää sen koordinaatin erilaiset arvot; Ainoa asia, jonka tiedämme toistaiseksi tästä funktiosta, on, että se on jonkin lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu. Klassisessa mekaniikassa elektronia pidetään kuitenkin materiaalihiukkasena, joka liikkuu liikeyhtälöiden täysin määräämää liikerataa pitkin. Suhde, joka on jossain mielessä analoginen kvanttimekaniikan ja klassisen mekaniikan suhteen, tapahtuu sähködynamiikassa aalto- ja geometrisen optiikan välillä. Aaltooptiikassa sähkömagneettisia aaltoja kuvataan sähkö- ja magneettikenttien vektoreilla, jotka täyttävät tietyn lineaarisen differentiaaliyhtälöjärjestelmän (Maxwellin yhtälöt). Geometrisessä optiikassa valon eteneminen tiettyjä lentoratoja pitkin - säteet otetaan huomioon.
Tällainen analogia antaa meille mahdollisuuden päätellä, että siirtyminen rajalle kvanttimekaniikasta klassiseen mekaniikkaan tapahtuu samalla tavalla kuin siirtyminen aaltooptiikasta geometriseen optiikkaan.
Muistakaamme, kuinka tämä viimeinen siirtymä suoritetaan matemaattisesti (katso II, § 53). Olkoon ja yksi kenttäkomponenteista sähkömagneettisessa aallossa. Se voidaan esittää muodossa ja - todellisella amplitudilla a ja vaiheella (jälkimmäistä kutsutaan geometrisessa optiikassa eikonaaliksi). Geometrisen optiikan rajatapaus vastaa pieniä aallonpituuksia, jotka ilmaistaan matemaattisesti suurella muutoksella pienillä etäisyyksillä; tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että vaihetta voidaan pitää itseisarvossaan suurena.
Näin ollen lähdetään olettamuksesta, että klassisen mekaniikan rajatapaus vastaa kvanttimekaniikassa muodon aaltofunktioita, joissa a on hitaasti muuttuva funktio ja saa suuria arvoja. Kuten tiedetään, mekaniikassa hiukkasten liikerata voidaan määrittää variaatioperiaatteella, jonka mukaan mekaanisen järjestelmän ns. toiminnan 5 on oltava minimaalinen (vähimmän vaikutuksen periaate). Geometrisessa optiikassa säteiden reitti määräytyy ns. Fermat-periaatteen mukaan, jonka mukaan säteen "optisen polun pituus" eli sen vaiheiden ero polun lopussa ja alussa, pitäisi olla minimaalinen.
Tämän analogian perusteella voimme väittää, että aaltofunktion vaiheen klassisessa rajatapauksessa tulee olla verrannollinen tarkasteltavana olevan fyysisen järjestelmän mekaaniseen vaikutukseen S, eli sen pitäisi olla . Suhteellisuuskerrointa kutsutaan kasvivakioksi ja se merkitään kirjaimella . Sillä on toiminnan ulottuvuus (koska se on ulottumaton) ja se on yhtä suuri kuin
Siten "melkein klassisen" (tai, kuten sanotaan, puoliklassisen) fyysisen järjestelmän aaltofunktiolla on muoto
Planckin vakiolla on keskeinen rooli kaikissa kvanttiilmiöissä. Sen suhteellinen arvo (verrattuna muihin saman ulottuvuuden oleviin suureisiin) määrittää tämän tai tuon fyysisen järjestelmän "kvantiteettiasteen". Siirtyminen kvanttimekaniikasta klassiseen mekaniikkaan vastaa suurta vaihetta, ja sitä voidaan muodollisesti kuvata siirtymäksi rajaan (ihan kuin siirtyminen aallosta geometriseen optiikkaan vastaa siirtymistä nolla-aallonpituuden rajaan,
Olemme selventäneet aaltofunktion rajoittavaa muotoa, mutta edelleen jää kysymys, miten se liittyy klassiseen liikeradan varrella. Yleisessä tapauksessa aaltofunktion kuvaama liike ei muutu ollenkaan liikkeeksi tiettyä liikerataa pitkin. Sen yhteys klassiseen liikkeeseen on siinä, että jos jollain alkuhetkellä annetaan aaltofunktio ja sen mukana koordinaattien todennäköisyysjakauma, niin jatkossa tämä jakauma "liikkuu" niin kuin sen pitäisikin lakien mukaan. klassinen mekaniikka (katso lisätietoja kappaleen 17 lopusta).
Jotta liike saadaan tietyllä liikeradalla, on aloitettava erityismuotoisesta aaltofunktiosta, joka eroaa huomattavasti nollasta vain hyvin pienessä osassa tilaa (ns. aaltopaketti), tämän osan mitat voi yleensä olla nolla yhdessä d:n kanssa. Tällöin voidaan väittää, että puoliklassisessa tapauksessa aaltopaketti liikkuu avaruudessa hiukkasen klassista lentorataa pitkin.
Lopuksi kvanttimekaaniset operaattorit rajassa on pelkistettävä yksinkertaisesti kertomalla vastaavalla fysikaalisella suurella.
Jokin funktio f pyrkii numeroon A, kun x pyrkii pisteeseen x0, kun ero f(x) - A on mielivaltaisen pieni. Toisin sanoen lauseke |f(x) –A| tulee pienemmäksi kuin mikä tahansa ennalta määrätty kiinteä luku h > 0, kun argumentin inkrementin moduuli |∆x| pienenee.
Rajoita siirtymistä
Tämän luvun A löytäminen funktiosta f kutsutaan kulku rajalle. Koulukurssilla rajan ylittäminen tapahtuu kahdessa päätapauksessa.
1. Siirtyminen rajaan suhteessa ∆f/∆x, kun etsitään derivaatta.
2. Kun määritetään funktion jatkuvuus.
Toiminnan jatkuvuus
Funktiota kutsutaan jatkuvaksi kohdassa x0, jos f(x) pyrkii arvoon f(x0), kun x pyrkii arvoon x0. Tässä tapauksessa: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Tämä tarkoittaa, että |∆f| on pieni pienille |∆x|. Sanalla sanoen pienet muutokset argumentissa vastaavat pieniä muutoksia funktion arvossa.
Koulun matematiikan kurssilla esiintyvät funktiot, esimerkiksi lineaarifunktio, neliöfunktio, potenssifunktio ja muut, ovat jatkuvia jokaisessa pisteessä alueella, jolle ne on määritelty. Näille funktioille kaaviot on kuvattu jatkuvina kaarevina viivoina.
Tämä tosiasia on perusta menetelmälle, jolla funktion kuvaaja muodostetaan "pisteiden mukaan", jota yleensä käytämme. Mutta ennen sen käyttöä on tarpeen selvittää, onko tarkasteltava toiminto todella jatkuva. Yksinkertaisissa tapauksissa tämä voidaan tehdä edellä antamamme jatkuvuuden määritelmän perusteella.
Esimerkiksi: todistamme, että lineaarinen funktio on jatkuva reaaliviivan jokaisessa pisteessä y = k*x + b.
Määritelmän mukaan meidän on osoitettava, että |∆f| tulee pienemmäksi kuin mikä tahansa ennalta määrätty luku h>0, pienille |∆x|
|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.
Jos otamme |∆x| >h/|k| jos k ei ole nolla, niin |∆f| on pienempi kuin mikä tahansa h>0, mikä oli todistettava.
Rajoittavat säännöt
Rajasiirtymäoperaatiota käytettäessä tulee noudattaa seuraavia sääntöjä.
1. Jos funktio f on jatkuva pisteessä x0, niin ∆f pyrkii nollaan kun ∆x pyrkii nollaan.
2. Jos funktiolla f on derivaatta pisteessä x0, niin ∆f/∆x pyrkii f’(x0) kun ∆x pyrkii nollaan.
3. Olkoon f(x) taipumus A:hen, g(x) taipumus B:hen, kun x pyrkii arvoon x0. Sitten:
f(x) + g(x) pyrkii A + B:hen;
