Rationaalilukujen määritelmä

Rationaaliset luvut ovat:

• Luonnolliset luvut, jotka voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi $7=\frac(7)(1)$.
• Kokonaisluvut, mukaan lukien luku nolla, jotka voidaan ilmaista positiivisina tai negatiivisina murtolukuina tai nollana. Esimerkiksi $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Tavalliset murtoluvut (positiiviset tai negatiiviset).
• Sekaluvut, jotka voidaan esittää vääränä yhteisenä murtolukuna. Esimerkiksi $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ ja $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Äärillinen desimaaliluku ja ääretön jaksollinen murtoluku, jotka voidaan esittää yhteisenä murtolukuna. Esimerkiksi $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Huomautus 1

Huomaa, että ääretön ei-jaksollinen desimaaliluku ei koske rationaalilukuja, koska sitä ei voida esittää tavallisena murtolukuna.

Esimerkki 1

Luonnolliset luvut $7, 670, 21 \ 456 $ ovat rationaalisia.

Kokonaisluvut $76, -76, 0, -555 \ 666$ ovat rationaalisia.

Tavalliset murtoluvut $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ ovat rationaalilukuja .

Näin ollen rationaaliset luvut jaetaan positiivisiin ja negatiivisiin. Nolla on rationaalinen luku, mutta se ei ole positiivinen tai negatiivinen rationaalinen luku.

Muotoilkaamme lyhyempi määritelmä rationaaliluvuille.

Määritelmä 3

Rationaalista soittaa numeroita, jotka voidaan esittää äärellisenä tai äärettömänä jaksollisena desimaalilukuna.

Voidaan tehdä seuraavat johtopäätökset:

• positiiviset ja negatiiviset kokonaisluvut ja murtoluvut kuuluvat rationaalilukujen joukkoon;
• rationaaliset luvut voidaan esittää murtolukuna, jolla on kokonaisluvun osoittaja ja luonnollinen nimittäjä ja joka on rationaalinen luku;
• rationaaliset luvut voidaan esittää millä tahansa jaksollisella desimaaliluvulla, joka on rationaalinen luku.

Kuinka määrittää, onko luku rationaalinen

1. Luku annetaan numeerisena lausekkeena, joka koostuu vain rationaalisista luvuista ja aritmeettisten operaatioiden etumerkeistä. Tässä tapauksessa lausekkeen arvo on rationaalinen luku.
2. Luonnollisen luvun neliöjuuri on rationaalinen luku vain, jos juuri on luku, joka on jonkin luonnollisen luvun täydellinen neliö. Esimerkiksi $\sqrt(9)$ ja $\sqrt(121)$ ovat rationaalilukuja, koska $9=3^2$ ja $121=11^2$.
3. Kokonaisluvun $n$:s juuri on rationaalinen luku vain, jos juurimerkin alla oleva luku on jonkin kokonaisluvun $n$:s potenssi. Esimerkiksi $\sqrt(8)$ on rationaalinen luku, koska 8 dollaria = 2^3 dollaria.

Rationaaliluvut ovat tiheitä kaikkialla lukuakselilla: jokaisen kahden keskenään erisuuruisen rationaaliluvun välissä voi olla ainakin yksi rationaaliluku (siis ääretön määrä rationaalilukuja). Samanaikaisesti rationaalilukujen joukolle on ominaista laskettava kardinaliteetti (eli joukon kaikki alkiot voidaan numeroida). Muinaiset kreikkalaiset osoittivat, että on lukuja, joita ei voida kirjoittaa murtolukuna. He osoittivat, että ei ole olemassa rationaalilukua, jonka neliö olisi yhtä suuri kuin $2 $. Sitten rationaaliset luvut eivät riittäneet ilmaisemaan kaikkia määriä, mikä johti myöhemmin reaalilukujen ilmestymiseen. Rationaalilukujen joukko, toisin kuin reaaliluvut, on nollaulotteinen.

Lukiolaiset ja matemaattisten erikoisalojen opiskelijat vastaavat todennäköisesti helposti tähän kysymykseen. Mutta niille, jotka ovat ammatiltaan kaukana tästä, se on vaikeampaa. Mikä se todella on?

Olemus ja nimitys

Rationaaliluvut ovat niitä, jotka voidaan esittää murtolukuna. Positiivinen, negatiivinen ja nolla sisältyvät myös tähän sarjaan. Murtoluvun osoittajan on oltava kokonaisluku ja nimittäjän on oltava

Tätä joukkoa kutsutaan matematiikassa Q:ksi ja sitä kutsutaan "rationaalisten lukujen kenttään". Se sisältää kaikki kokonaisluvut ja luonnolliset luvut, jotka on merkitty vastaavasti Z:ksi ja N:ksi. Joukko Q itse sisältyy joukkoon R. Tämä kirjain tarkoittaa ns.

Esitys

Kuten jo mainittiin, rationaaliluvut ovat joukko, joka sisältää kaikki kokonaisluvut ja murtoluvut. Ne voidaan esittää eri muodoissa. Ensin tavallisen murtoluvun muodossa: 5/7, 1/5, 11/15 jne. Tietysti kokonaisluvut voidaan kirjoittaa myös samanlaisessa muodossa: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 jne. Toiseksi toinen esitysmuoto on desimaalimurto, jonka viimeinen murto-osa: 0,01, -15,001006 jne. Tämä on ehkä yksi yleisimmistä muodoista.

Mutta on myös kolmas - jaksollinen murto-osa. Tämä tyyppi ei ole kovin yleinen, mutta silti käytetty. Esimerkiksi murtoluku 10/3 voidaan kirjoittaa muodossa 3,33333... tai 3,(3). Tässä tapauksessa eri esityksiä pidetään samanlaisina lukuina. Samansuuruisia murtolukuja kutsutaan myös esimerkiksi 3/5 ja 6/10. Näyttää siltä, ​​että on tullut selväksi, mitä rationaaliset luvut ovat. Mutta miksi tätä termiä käytetään viittaamaan heihin?

nimen alkuperä

Sanalla "rationaalinen" nykyvenälässä on yleensä hieman erilainen merkitys. Se on pikemminkin "järkevää", "harkittua". Mutta matemaattiset termit ovat lähellä tämän suoraa merkitystä, latinaksi "suhde" on "suhde", "murto" tai "jako". Siten nimi heijastaa rationaalilukujen olemusta. Kuitenkin toinen merkitys

ole kaukana totuudesta.

Toimet heidän kanssaan

Ratkaiseessamme matemaattisia tehtäviä kohtaamme jatkuvasti rationaalilukuja tietämättämme sitä itse. Ja heillä on monia mielenkiintoisia ominaisuuksia. Ne kaikki johtuvat joko joukon määritelmästä tai toimista.

Ensinnäkin rationaalisilla luvuilla on järjestysrelaatioominaisuus. Tämä tarkoittaa, että kahden luvun välillä voi olla vain yksi suhde - ne ovat joko yhtä suuret keskenään tai toinen on suurempi tai pienempi kuin toinen. eli:

tai a = b tai a > b tai a< b.

Lisäksi tämä ominaisuus viittaa myös suhteen transitiivisuuteen. Eli jos a lisää b, b lisää c, sitten a lisää c. Matematiikan kielellä se näyttää tältä:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Toiseksi, on aritmeettisia operaatioita rationaalisilla luvuilla, eli yhteen-, vähennys-, jakolasku ja tietysti kertolasku. Samaan aikaan muunnosprosessissa voidaan erottaa myös useita ominaisuuksia.

• a + b = b + a (termien korvaaminen, kommutatiivisuus);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (assosiatiivisuus);
• a + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (jakauma);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (tässä tapauksessa a ei ole yhtä suuri kuin 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Mitä tulee tavallisiin, ei kokonaislukuihin, niiden kanssa tehtävät toiminnot voivat aiheuttaa tiettyjä vaikeuksia. Joten yhteen- ja vähennyslasku ovat mahdollisia vain, jos nimittäjät ovat yhtä suuret. Jos ne ovat alun perin erilaisia, sinun pitäisi löytää yhteinen, käyttämällä koko murto-osan kertomista tietyillä luvuilla. Vertailu on myös useimmiten mahdollista vain, jos tämä ehto täyttyy.

Tavallisten murtolukujen jako ja kertominen suoritetaan melko yksinkertaisten sääntöjen mukaisesti. Vähentäminen yhteiseksi nimittäjäksi ei ole tarpeen. Osoittajat ja nimittäjät kerrotaan erikseen, kun taas toimintoa suoritettaessa murtolukua tulisi mahdollisuuksien mukaan pienentää ja yksinkertaistaa mahdollisimman paljon.

Mitä tulee jakoon, tämä toiminto on samanlainen kuin ensimmäinen pienellä erolla. Toiselle murtoluvulle sinun pitäisi löytää käänteisluku, eli

"Käännä se. Näin ollen ensimmäisen murtoluvun osoittaja on kerrottava toisen nimittäjällä ja päinvastoin.

Lopuksi toista rationaalisille lukuille ominaista ominaisuutta kutsutaan Arkhimedesen aksioomaksi. Termi "periaate" löytyy myös usein kirjallisuudesta. Se pätee koko reaalilukujoukolle, mutta ei kaikkialla. Tämä periaate ei siis toimi joissakin rationaalisten funktioiden kokoelmissa. Pohjimmiltaan tämä aksiooma tarkoittaa, että kun otetaan huomioon kaksi suurea a ja b, voit aina ottaa tarpeeksi a:ta ylittääksesi b.

Sovellusalue

Joten niille, jotka ovat oppineet tai muistaneet, mitä rationaaliset luvut ovat, käy selväksi, että niitä käytetään kaikkialla: kirjanpidossa, taloudessa, tilastoissa, fysiikassa, kemiassa ja muissa tieteissä. Luonnollisesti niillä on paikkansa myös matematiikassa. Emme aina tiedä, että olemme tekemisissä heidän kanssaan, vaan käytämme jatkuvasti rationaalisia lukuja. Jopa pienet lapset, jotka oppivat laskemaan esineitä, leikkaamaan omenan paloiksi tai suorittaessaan muita yksinkertaisia ​​toimintoja, kohtaavat heidät. He kirjaimellisesti ympäröivät meitä. Ja silti, ne eivät riitä ratkaisemaan joitain ongelmia, erityisesti käyttämällä Pythagoraan lausetta esimerkkinä voidaan ymmärtää tarve ottaa käyttöön käsite

) ovat lukuja, joissa on positiivinen tai negatiivinen etumerkki (kokonaisluku ja murtoluku) ja nolla. Tarkempi rationaalisten lukujen käsite kuulostaa tältä:

rationaalinen luku- luku, joka esitetään yksinkertaisella murtoluvulla m/n, jossa osoittaja m ovat kokonaislukuja ja nimittäjä n- kokonaislukuja, esimerkiksi 2/3.

Äärettömät ei-jaksolliset murtoluvut EIVÄT sisälly rationaalisten lukujen joukkoon.

a/b, missä a∈ Z (a kuuluu kokonaislukuihin) b∈ N (b kuuluu luonnollisiin lukuihin).

Käytä rationaalisia lukuja tosielämässä.

Tosielämässä rationaalisten lukujen joukkoa käytetään joidenkin kokonaislukujen jaettavien objektien osien laskemiseen, esimerkiksi, kakut tai muut ruoat, jotka leikataan paloiksi ennen käyttöä, tai karkea arvio laajennettujen esineiden tilasuhteista.

Rationaalilukujen ominaisuudet.

Rationaalilukujen perusominaisuudet.

1. järjestys a ja b on sääntö, jonka avulla voit yksilöidä niiden välillä 1-mutta ja vain yksi kolmesta suhteesta: "<», «>" tai "=". Tämä sääntö on - tilaussääntö ja muotoile se näin:

• 2 positiivista numeroa a=m a /n a ja b=mb/nb liittyy samaan suhteeseen kuin 2 kokonaislukua m a⋅ Huom ja m b⋅ n a;
• 2 negatiivista numeroa a ja b liittyvät samalla suhteella kuin 2 positiivista numeroa |b| ja |a|;
• kun a positiivinen ja b- negatiivinen siis a>b.

∀ a,b∈ K(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Lisäystoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b on summaussääntö, mikä asettaa ne vastaamaan tiettyä rationaalista lukua c. Itse numero kuitenkin c- Tämä on summa numeroita a ja b ja sitä kutsutaan nimellä (a+b) summaus.

Summaussääntö näyttää tältä:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ Huom).

∀ a,b∈ K∃ !(a+b)∈ K

3. kertolaskutoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b on kertolasku sääntö, se yhdistää ne tiettyyn rationaaliseen numeroon c. Numeroa c kutsutaan työ numeroita a ja b ja merkitsee (a⋅b), ja tämän numeron etsimisprosessia kutsutaan kertolasku.

kertolasku sääntö näyttää tältä: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ Huom.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tilaussuhteen transitiivisuus. Kaikille kolmelle rationaaliluvulle a, b ja c jos a Vähemmän b ja b Vähemmän c, sitten a Vähemmän c, mitä jos a on yhtä suuri b ja b on yhtä suuri c, sitten a on yhtä suuri c.

∀ a,b,c∈ K(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Lisäyksen kommutatiivisuus. Rationaalisten termien paikkojen muutoksesta summa ei muutu.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Lisäyksen assosiatiivisuus. Kolmen rationaaliluvun summausjärjestys ei vaikuta tulokseen.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Nollan läsnäolo. On olemassa rationaaliluku 0, se säilyttää kaikki muut rationaaliluvut lisättynä.

∃ 0 ∈ K∀ a∈ Qa+0=a

8. Vastakkaisten lukujen läsnäolo. Jokaisella rationaaliluvulla on vastakkainen rationaaliluku, ja niiden yhteenlaskettu tulos on 0.

∀ a∈ K∃ (-a)∈ Qa+(−a)=0

9. Kertomisen kommutatiivisuus. Vaihtamalla rationaalisten tekijöiden paikkoja tuote ei muutu.

∀ a,b∈ K a⋅ b = b⋅ a

10. Kertomisen assosiatiivisuus. Kolmen rationaalisen luvun kertolaskujärjestys ei vaikuta tulokseen.

∀ a,b,c∈ K(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Yksikön saatavuus. On olemassa rationaalinen luku 1, se säilyttää jokaisen toisen rationaaliluvun kertolaskuprosessissa.

∃ 1 ∈ K∀ a∈ K a⋅ 1 = a

12. Vastavuoroisten esiintyminen. Jokaisella muulla rationaaliluvulla kuin nolla on käänteinen rationaaliluku, jolla kerrottuna saadaan 1 .

∀ a∈ K∃ a-1∈ K a⋅ a-1 = 1

13. Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun. Kertolasku liittyy yhteenlaskuun jakautumislain avulla:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Tilaussuhteen yhteys lisäysoperaatioon. Sama rationaalinen luku lisätään rationaalisen epäyhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle.

∀ a,b,c∈ K a ⇒ a+c

15. Järjestysrelaation yhteys kertolaskuoperaatioon. Rationaalisen epäyhtälön vasen ja oikea puoli voidaan kertoa samalla ei-negatiivisella rationaaliluvulla.

∀ a,b,c∈ Qc>0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c

16. Archimedesin aksiooma. Oli rationaalinen luku mikä tahansa a, on helppo ottaa niin monta yksikköä, että niiden summa on suurempi a.

Rationaalilukujen aihe on melko laaja. Voit puhua siitä loputtomasti ja kirjoittaa kokonaisia ​​teoksia, joka kerta yllättyen uusista siruista.

Virheiden välttämiseksi tulevaisuudessa, tällä oppitunnilla syvennymme hieman rationaalilukujen aiheeseen, vedämme siitä tarvittavat tiedot ja siirrymme eteenpäin.

Oppitunnin sisältö

Mikä on rationaalinen luku

Rationaaliluku on luku, joka voidaan esittää murtolukuna, missä a - on murtoluvun osoittaja b on murtoluvun nimittäjä. Ja b ei saa olla nolla, koska nollalla jakaminen ei ole sallittua.

Rationaaliset luvut sisältävät seuraavat lukuluokat:

• kokonaisluvut (esimerkiksi -2, -1, 0 1, 2 jne.)

• desimaalilukuja (esimerkiksi 0,2 jne.)

• äärettömät jaksolliset murtoluvut (esimerkiksi 0, (3) jne.)

Jokainen tämän luokan numero voidaan esittää murtolukuna.

Esimerkki 1 Kokonaisluku 2 voidaan esittää murtolukuna. Joten luku 2 ei koske vain kokonaislukuja, vaan myös rationaalisia lukuja.

Esimerkki 2 Sekaluku voidaan esittää murtolukuna. Tämä murtoluku saadaan muuttamalla sekaluku vääräksi murtoluvuksi.

Joten sekaluku on rationaalinen luku.

Esimerkki 3 Desimaaliluku 0,2 voidaan esittää murtolukuna. Tämä murto-osa saatiin muuntamalla desimaaliluku 0,2 tavalliseksi murtoluvuksi. Jos sinulla on vaikeuksia tässä vaiheessa, toista aihe.

Koska desimaaliluku 0,2 voidaan esittää murtolukuna, se tarkoittaa, että se koskee myös rationaalilukuja.

Esimerkki 4Ääretön jaksollinen murtoluku 0, (3) voidaan esittää murtolukuna . Tämä jae saadaan muuttamalla puhdas jaksollinen jae tavalliseksi jakeeksi. Jos sinulla on vaikeuksia tässä vaiheessa, toista aihe.

Koska ääretön jaksollinen murtoluku 0, (3) voidaan esittää murtolukuna, se tarkoittaa, että se kuuluu myös rationaalilukuihin.

Tulevaisuudessa kaikkia lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna, kutsumme yhä useammin yhdeksi lauseeksi - rationaalisia lukuja.

Rationaaliluvut koordinaattiviivalla

Harkitsimme koordinaattiviivaa, kun tutkimme negatiivisia lukuja. Muista, että tämä on suora viiva, jolla on monia pisteitä. Seuraavasti:

Tämä kuva näyttää pienen katkelman koordinaattiviivasta -5 - 5.

Koordinaattiviivalle ei ole vaikeaa merkitä muotoa 2, 0, −3 olevia kokonaislukuja.

Asiat ovat paljon mielenkiintoisempia muiden lukujen kanssa: tavallisilla murtoluvuilla, sekaluvuilla, desimaalimurtoluvuilla jne. Nämä luvut ovat kokonaislukujen välissä ja näitä lukuja on äärettömän monta.

Merkitään esimerkiksi rationaaliluku koordinaattiviivalle. Tämä luku on täsmälleen nollan ja yhden välillä.

Yritetään ymmärtää, miksi murto yhtäkkiä sijaitsee nollan ja yhden välissä.

Kuten edellä mainittiin, kokonaislukujen välissä on muita lukuja - tavallisia murtolukuja, desimaalilukuja, sekalukuja jne. Jos esimerkiksi suurennat koordinaattiviivan leikkausta 0:sta 1:een, näet seuraavan kuvan

Voidaan nähdä, että kokonaislukujen 0 ja 1 välissä on jo muitakin rationaalilukuja, jotka ovat meille tuttuja desimaalilukuja. Tässä näkyy myös murto-osamme, joka sijaitsee samassa paikassa kuin desimaalimurto 0,5. Tämän kuvan huolellinen tarkastelu antaa vastauksen kysymykseen, miksi murto-osa sijaitsee juuri siellä.

Murtoluku tarkoittaa 1:n jakamista kahdella. Ja jos jaamme 1:n kahdella, saamme 0,5

Desimaaliluku 0,5 voidaan naamioida muiksi murtoluvuiksi. Murtoluvun perusominaisuudesta tiedämme, että jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, niin murto-osan arvo ei muutu.

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan millä tahansa luvulla, esimerkiksi luvulla 4, saamme uuden murto-osan, ja tämä murtoluku on myös yhtä suuri kuin 0,5

Tämä tarkoittaa, että koordinaattiviivalla murto-osa voidaan sijoittaa samaan paikkaan, jossa murto-osa sijaitsi

Esimerkki 2 Yritetään merkitä koordinaattiin rationaaliluku. Tämä numero sijaitsee täsmälleen numeroiden 1 ja 2 välissä

Murtoluvun arvo on 1,5

Jos lisäämme koordinaattiviivan leikkausta 1: stä 2: een, näemme seuraavan kuvan:

Voidaan nähdä, että kokonaislukujen 1 ja 2 välissä on jo muitakin rationaalilukuja, jotka ovat meille tuttuja desimaalilukuja. Tässä näkyy myös murto-osamme, joka sijaitsee samassa paikassa kuin desimaalimurto 1.5.

Lisäsimme koordinaattiviivan tiettyjä segmenttejä nähdäksemme loput tällä segmentillä olevat luvut. Tuloksena löysimme desimaalilukuja, joissa oli yksi numero desimaalipilkun jälkeen.

Mutta nämä eivät olleet ainoita numeroita näissä segmenteissä. Koordinaattiviivalla on äärettömän monta numeroa.

On helppo arvata, että niiden desimaalilukujen välissä, joissa on yksi numero desimaalipilkun jälkeen, on jo muita desimaalilukuja, joissa on kaksi numeroa desimaalipilkun jälkeen. Toisin sanoen segmentin sadasosat.

Yritetään esimerkiksi nähdä luvut, jotka ovat desimaalimurtolukujen 0,1 ja 0,2 välissä

Toinen esimerkki. Desimaalit, joissa on kaksi numeroa desimaalipilkun jälkeen ja sijaitsevat nollan ja rationaaliluvun 0,1 välissä, näyttävät tältä:

Esimerkki 3 Merkitsemme koordinaattiviivalle rationaaliluvun. Tämä rationaalinen luku tulee olemaan hyvin lähellä nollaa.

Murtoluvun arvo on 0,02

Jos lisäämme segmentin 0:sta 0,1:een, näemme missä rationaalinen luku tarkalleen sijaitsee

Voidaan nähdä, että rationaalilukumme sijaitsee samassa paikassa kuin desimaalimurto 0,02.

Esimerkki 4 Merkitään koordinaattiviivalle rationaaliluku 0, (3)

Rationaaliluku 0, (3) on ääretön jaksollinen murtoluku. Sen murto-osa ei lopu koskaan, se on ääretön

Ja koska luvulla 0, (3) on ääretön murto-osa, tämä tarkoittaa, että emme löydä koordinaattiviivalta tarkkaa paikkaa, jossa tämä luku sijaitsee. Voimme ilmoittaa tämän paikan vain likimääräisesti.

Rationaaliluku 0,33333… on hyvin lähellä tavallista desimaalilukua 0,3

Tämä kuva ei näytä luvun 0,(3) tarkkaa sijaintia. Tämä on vain esimerkki siitä, kuinka lähellä jaksollinen murtoluku 0.(3) voi olla säännöllistä desimaalilukua 0,3.

Esimerkki 5 Merkitsemme koordinaattiviivalle rationaaliluvun. Tämä rationaalinen luku sijaitsee keskellä numeroiden 2 ja 3 välissä

Tämä on 2 (kaksi kokonaislukua) ja (yksi sekunti). Murto-osaa kutsutaan myös "puolikkaaksi". Siksi merkitsimme koordinaattiviivalle kaksi kokonaista janaa ja toisen puolet segmentistä.

Jos käännämme sekaluvun vääräksi murtoluvuksi, saamme tavallisen murtoluvun. Tämä koordinaattiviivalla oleva murto-osa sijaitsee samassa paikassa kuin murto-osa

Murtoluvun arvo on 2,5

Jos lisäämme koordinaattiviivan osuutta arvosta 2 arvoon 3, näemme seuraavan kuvan:

Voidaan nähdä, että rationaalilukumme sijaitsee samassa paikassa kuin desimaalimurto 2.5

Miinus ennen rationaalista lukua

Edellisellä oppitunnilla, jota kutsuttiin, opimme jakamaan kokonaisluvut. Osinko ja jakaja voivat olla sekä positiivisia että negatiivisia lukuja.

Harkitse yksinkertaisinta lauseketta

(−6) : 2 = −3

Tässä lausekkeessa osinko (−6) on negatiivinen luku.

Harkitse nyt toista ilmaisua

6: (−2) = −3

Tässä jakaja (−2) on jo negatiivinen luku. Mutta molemmissa tapauksissa saamme saman vastauksen -3.

Koska mikä tahansa jako voidaan kirjoittaa murtolukuna, voimme myös kirjoittaa edellä käsitellyt esimerkit murtoluvuksi:

Ja koska molemmissa tapauksissa murto-osan arvo on sama, joko osoittajassa tai nimittäjässä oleva miinus voidaan tehdä yhteiseksi laittamalla se murtoluvun eteen

Siksi lausekkeiden ja ja väliin voit laittaa yhtäläisyysmerkin, koska niillä on sama arvo

Jatkossa murtolukujen kanssa työskenneltäessä, jos kohtaamme miinuksen osoittajassa tai nimittäjässä, teemme tästä miinuksesta yleisen asettamalla sen murtoluvun eteen.

Päinvastaiset rationaaliset luvut

Kuten kokonaisluvulla, rationaaliluvulla on vastakkainen luku.

Esimerkiksi rationaaliselle luvulle vastakkainen luku on . Se sijaitsee koordinaattiviivalla symmetrisesti sijaintiin nähden suhteessa origoon. Toisin sanoen nämä molemmat luvut ovat yhtä kaukana origosta

Muunna sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi

Tiedämme, että sekaluvun muuttamiseksi vääräksi murtoluvuksi sinun on kerrottava kokonaisluvun osa murto-osan nimittäjällä ja lisättävä murto-osan osoittajaan. Tuloksena oleva luku on uuden murtoluvun osoittaja, kun taas nimittäjä pysyy samana.

Muunnetaan esimerkiksi sekaluku vääräksi murtoluvuksi

Kerro kokonaisluvun osa murto-osan nimittäjällä ja lisää murto-osan osoittaja:

Lasketaan tämä lauseke:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Tuloksena oleva luku 5 on uuden murtoluvun osoittaja, ja nimittäjä pysyy samana:

Koko prosessi on kirjoitettu seuraavasti:

Alkuperäisen sekaluvun palauttamiseksi riittää, että valitaan kokonaisluku osa murtoluvusta

Mutta tämä tapa muuntaa sekaluku vääräksi murtoluvuksi on sovellettavissa vain, jos sekaluku on positiivinen. Jos luku on negatiivinen, tämä menetelmä ei toimi.

Tarkastellaanpa murto-osaa. Otetaan tämän murtoluvun kokonaislukuosa. Saada

Alkuperäisen murtoluvun palauttamiseksi sinun on muutettava sekaluku vääräksi murtoluvuksi. Mutta jos käytämme vanhaa sääntöä, eli kerromme kokonaisluvun murto-osan nimittäjällä ja lisäämme murto-osan osoittajan tuloksena olevaan numeroon, niin saamme seuraavan ristiriidan:

Saimme murto-osan, mutta meidän olisi pitänyt saada murto-osa.

Päättelemme, että sekaluku käännettiin väärin vääräksi murtoluvuksi

Jos haluat kääntää negatiivisen sekaluvun oikein vääräksi murtoluvuksi, sinun on kerrottava kokonaisluvun osa murto-osan nimittäjällä ja tuloksena olevasta luvusta vähentää murtoluku osoittaja. Tässä tapauksessa kaikki loksahtaa paikoilleen

Negatiivinen sekaluku on sekaluvun vastakohta. Jos positiivinen sekaluku sijaitsee oikealla puolella ja näyttää tältä

Rationaaliset luvut

neljännekset

1. Järjestys. a ja b on sääntö, jonka avulla voit yksilöidä niiden välillä yhden ja vain yhden kolmesta suhteesta: "< », « >' tai ' = '. Tätä sääntöä kutsutaan tilaussääntö ja se on muotoiltu seuraavasti: kaksi ei-negatiivista numeroa ja liittyvät samaan suhteeseen kuin kaksi kokonaislukua ja ; kaksi ei-positiivista numeroa a ja b liittyvät samalla suhteella kuin kaksi ei-negatiivista numeroa ja ; jos yhtäkkiä a ei-negatiivinen ja b- negatiivinen siis a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   murtolukujen summaus

2. lisäystoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b siellä on ns summaussääntö c. Itse numero kuitenkin c nimeltään summa numeroita a ja b ja on merkitty , ja tällaisen numeron löytämisprosessia kutsutaan summaus. Summaussäännöllä on seuraava muoto: .
3. kertolaskutoiminto. Kaikille rationaalisille luvuille a ja b siellä on ns kertolasku sääntö, mikä asettaa ne vastaamaan jonkin rationaalisen luvun kanssa c. Itse numero kuitenkin c nimeltään työ numeroita a ja b ja on merkitty , ja sellaisen luvun löytämisprosessia kutsutaan myös kertolasku. Kertolasääntö on seuraava: .
4. Tilaussuhteen transitiivisuus. Mille tahansa rationaalilukujen kolmiolle a , b ja c jos a Vähemmän b ja b Vähemmän c, sitten a Vähemmän c, mitä jos a on yhtä suuri b ja b on yhtä suuri c, sitten a on yhtä suuri c. 6435">Lisäyksen kommutatiivisuus. Summa ei muutu rationaalisten termien paikan vaihtamisesta.
5. Lisäyksen assosiatiivisuus. Järjestys, jossa kolme rationaalilukua lisätään, ei vaikuta tulokseen.
6. Nollan läsnäolo. On olemassa rationaaliluku 0, joka säilyttää jokaisen toisen rationaaliluvun summattuna.
7. Vastakkaisten numeroiden läsnäolo. Jokaisella rationaaliluvulla on vastakkainen rationaaliluku, joka summattaessa antaa 0.
8. Kertomisen kommutatiivisuus. Vaihtamalla rationaalisten tekijöiden paikkoja tuote ei muutu.
9. Kertomisen assosiatiivisuus. Järjestys, jossa kolme rationaalilukua kerrotaan, ei vaikuta tulokseen.
10. Yksikön läsnäolo. On olemassa rationaalinen luku 1, joka säilyttää jokaisen toisen rationaaliluvun kerrottuna.
11. Vastavuoroisten läsnäolo. Jokaisella rationaaliluvulla on käänteinen rationaaliluku, joka kerrottuna antaa 1.
12. Kertolaskujakauma suhteessa yhteenlaskuun. Kertolasku on yhdenmukainen yhteenlaskuoperaation kanssa jakautumislain kautta:
13. Tilaussuhteen yhteys lisäyksen toimintaan. Sama rationaalinen luku voidaan lisätä rationaalisen epäyhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimedesin aksiooma. Oli rationaalinen luku mikä tahansa a, voit ottaa niin monta yksikköä, että niiden summa ylittää a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Lisäominaisuudet

Kaikkia muita rationaalilukuihin sisältyviä ominaisuuksia ei eroteta perusominaisuuksiksi, koska yleisesti ottaen ne eivät enää perustu suoraan kokonaislukujen ominaisuuksiin, vaan ne voidaan todistaa annettujen perusominaisuuksien perusteella tai suoraan luvun määritelmällä. jokin matemaattinen objekti. Tällaisia ​​lisäominaisuuksia on paljon. Tässä on järkevää mainita niistä vain muutama.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aseta laskettavuus

Rationaalilukujen numerointi

Rationaalisten lukujen määrän arvioimiseksi sinun on löydettävä niiden joukon kardinaliteetti. On helppo todistaa, että rationaalilukujen joukko on laskettavissa. Tätä varten riittää, että annetaan algoritmi, joka luettelee rationaaliluvut, eli muodostaa bijektion rationaalisten ja luonnollisten lukujen joukkojen välille.

Yksinkertaisin näistä algoritmeista on seuraava. Jokaiselle on laadittu ääretön taulukko tavallisista murtoluvuista i- jokaisessa rivissä j jonka sarake on murto-osa. Varmuuden vuoksi oletetaan, että tämän taulukon rivit ja sarakkeet on numeroitu yhdestä. Taulukon solut on merkitty , missä i- sen taulukon rivinumero, jossa solu sijaitsee, ja j- sarakkeen numero.

Tuloksena olevaa taulukkoa hallitsee "käärme" seuraavan muodollisen algoritmin mukaisesti.

Näitä sääntöjä haetaan ylhäältä alas ja seuraava sijoitus valitaan ensimmäisen ottelun mukaan.

Tällaisen ohituksen aikana jokainen uusi rationaalinen luku määrätään seuraavalle luonnolliselle numerolle. Toisin sanoen murto-osille 1/1 annetaan numero 1, murtoluvuille 2/1 - numero 2 jne. On huomattava, että vain pelkistymättömät murtoluvut numeroidaan. Pelkistymättömyyden muodollinen merkki on murtoluvun osoittajan ja nimittäjän suurimman yhteisen jakajan yhtäläisyys.

Tämän algoritmin avulla voidaan laskea kaikki positiiviset rationaaliluvut. Tämä tarkoittaa, että positiivisten rationaalilukujen joukko on laskettavissa. On helppo muodostaa bijektio positiivisten ja negatiivisten rationaalilukujen joukkojen välille yksinkertaisesti osoittamalla jokaiselle rationaaliluvulle sen vastakohta. Että. myös negatiivisten rationaalilukujen joukko on laskettavissa. Niiden liitto on myös laskettavissa laskettavien joukkojen ominaisuudella. Rationaalilukujen joukko on myös laskettavissa laskettavan joukon ja äärellisen joukon liittona.

Väite rationaalisten lukujen joukon lasketavuudesta voi aiheuttaa hämmennystä, koska ensi silmäyksellä saa vaikutelman, että se on paljon suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko. Itse asiassa näin ei ole, ja luonnollisia lukuja on tarpeeksi luetellakseen kaikki rationaaliset.

Rationaalisten lukujen riittämättömyys

Tällaisen kolmion hypotenuusaa ei ilmaista millään rationaaliluvulla

Rationaaliset luvut muodossa 1 / n vapaana n mielivaltaisen pieniä määriä voidaan mitata. Tämä tosiasia luo harhaanjohtavan vaikutelman, että rationaaliset luvut voivat mitata mitä tahansa geometrisia etäisyyksiä yleensä. On helppo osoittaa, että tämä ei ole totta.

Huomautuksia

Kirjallisuus

• I. Kushnir. Matematiikan käsikirja koululaisille. - Kiova: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P.S. Aleksandrov. Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M.: pää. toim. Fys.-Math. palaa. toim. "Tiede", 1977
• I. L. Hmelnitski. Johdatus algebrallisten järjestelmien teoriaan

Linkit

Wikimedia Foundation. 2010 .