Yhtälöiden käyttö on yleistä elämässämme. Niitä käytetään monissa laskelmissa, rakenteiden rakentamisessa ja jopa urheilussa. Ihminen on käyttänyt yhtälöitä muinaisista ajoista lähtien ja sen jälkeen niiden käyttö on vain lisääntynyt. Selvyyden vuoksi ratkaistaan seuraava ongelma:
Laske \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jos \
Ensinnäkin kiinnitetään huomiota siihen, että yksi luku on esitetty algebrallisessa muodossa, toinen - trigonometrisessa muodossa. Sitä on yksinkertaistettava ja saatettava seuraavaan muotoon
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Lauseke \ sanoo, että ensin tehdään kertolasku ja korotus 10. potenssiin Moivren kaavan mukaan. Tämä kaava on muotoiltu kompleksiluvun trigonometriselle muodolle. Saamme:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Noudattaen kompleksilukujen kertomista trigonometrisessa muodossa koskevia sääntöjä, teemme seuraavaa:
Meidän tapauksessamme:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Kun murtoluku \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] tehdään oikein, päätämme, että on mahdollista "vääntää" 4 kierrosta \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Vastaus: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Tämä yhtälö voidaan ratkaista toisella tavalla, joka tiivistyy siihen, että saatetaan toinen luku algebralliseen muotoon, suoritetaan kertolasku algebrallisessa muodossa, muunnetaan tulos trigonometriseen muotoon ja sovelletaan Moivren kaavaa:
Missä voin ratkaista yhtälöjärjestelmän kompleksiluvuilla verkossa?
Voit ratkaista yhtälöjärjestelmän verkkosivustollamme https: //. Ilmaisen online-ratkaisijan avulla voit ratkaista minkä tahansa monimutkaisen online-yhtälön muutamassa sekunnissa. Sinun tarvitsee vain syöttää tietosi ratkaisijaan. Voit myös katsoa video-ohjeet ja oppia ratkaisemaan yhtälön verkkosivuillamme. Ja jos sinulla on kysyttävää, voit kysyä niitä Vkontakte-ryhmässämme http://vk.com/pocketteacher. Liity joukkoomme, autamme aina mielellämme.
LIITTOVALTION KOULUTUSVIRASTO
VALTION OPETUSLAITOS
KORKEA AMMATILLINEN KOULUTUS
"VORONEZIN VALTION PEDAGOGINEN YLIOPISTO"
AGLEBRAN JA GEOMETRIAN TUOLI
Monimutkaiset luvut
(valitut tehtävät)
LOPULLINEN PÄTEVYTYS
erikoisala 050201.65 matematiikka
(lisäerikoisuudella 050202.65 informatiikka)
Suorittanut: 5. vuoden opiskelija
fyysistä ja matemaattista
henkilöstö
Valvoja:
VORONEZH - 2008
1. Esittely……………………………………………………...…………..…
2. Kompleksiluvut (valitut tehtävät)
2.1. Kompleksiluvut algebrallisessa muodossa………………….….
2.2. Kompleksilukujen geometrinen tulkinta……………..
2.3. Kompleksilukujen trigonometrinen muoto
2.4. Kompleksilukujen teorian soveltaminen 3. ja 4. asteen yhtälöiden ratkaisuun……………..……………………………………………………………
2.5. Kompleksiluvut ja parametrit……………………………………….
3. Johtopäätös……………………………………………………….
4. Lista viitteistä…………………………………………………..
1. Esittely
Koulukurssin matematiikan ohjelmassa esitellään lukuteoriaa käyttämällä esimerkkejä luonnollisten lukujen, kokonaislukujen, rationaalisten, irrationaalisten, ts. joukossa reaalilukuja, joiden kuvat täyttävät koko lukujonon. Mutta jo 8. luokalla ei ole tarpeeksi reaalilukujen varastoa, ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä negatiivisella diskriminantilla. Siksi oli tarpeen täydentää reaalilukujen varastoa kompleksiluvuilla, joille negatiivisen luvun neliöjuuri on järkevä.
Aiheen "Kompleksiluvut" valinta loppututkintotyöni aiheeksi on, että kompleksiluvun käsite laajentaa opiskelijoiden tietämystä lukujärjestelmistä, laajan luokan algebrallisen ja geometrisen sisältöisten tehtävien ratkaisemisesta, noin minkä tahansa asteen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen ja parametrien ongelmien ratkaiseminen.
Tässä opinnäytetyössä tarkastellaan 82 tehtävän ratkaisua.
Pääosan "Kompleksiluvut" ensimmäinen osa tarjoaa ratkaisuja ongelmiin, joissa kompleksiluvut ovat algebrallisessa muodossa, määritellään yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolaskurioperaatiot, kompleksilukujen konjugaatiooperaatio algebrallisessa muodossa, imaginaariyksikön aste. , kompleksiluvun moduuli ja määrittää myös säännön, joka erottaa kompleksiluvun neliöjuuren.
Toisessa osassa ratkaistaan kompleksilukujen geometrisen tulkinnan tehtäviä kompleksitason pisteiden tai vektoreiden muodossa.
Kolmas osa käsittelee operaatioita kompleksiluvuilla trigonometrisessa muodossa. Käytetään kaavoja: De Moivre ja juuren erottaminen kompleksiluvusta.
Neljäs osa on omistettu 3. ja 4. asteen yhtälöiden ratkaisemiseen.
Viimeisen osan "Kompleksiset luvut ja parametrit" tehtäviä ratkaistaessa käytetään ja yhdistetään edellisissä osissa annettuja tietoja. Tämän luvun tehtävien sarja on omistettu suoraperheiden määrittämiselle kompleksitasolla, joka annetaan yhtälöillä (epäyhtälöillä) parametrin kanssa. Osassa harjoituksista tulee ratkaista yhtälöt parametrilla (kentän C yli). On tehtäviä, joissa monimutkainen muuttuja täyttää samanaikaisesti useita ehtoja. Tämän osan ongelmien ratkaisemisen ominaisuus on monien pelkistys toisen asteen yhtälöiden (epäyhtälöiden, järjestelmien) ratkaisuksi, irrationaalinen, trigonometrinen parametrilla.
Kunkin osan materiaalin esittelyyn kuuluu teoreettisten perusteiden alustava esittely ja sen jälkeen niiden käytännön soveltaminen ongelmien ratkaisuun.
Opinnäytetyön lopussa on luettelo käytetystä kirjallisuudesta. Useimmissa niistä esitetään teoreettinen materiaali riittävän yksityiskohtaisesti ja helposti saavutettavissa olevalla tavalla, pohditaan ratkaisuja joihinkin ongelmiin ja annetaan käytännön tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun. Haluaisin kiinnittää erityistä huomiota sellaisiin lähteisiin kuin:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksiluvut ja niiden sovellukset: Oppikirja. . Käsikirjan materiaali esitetään luentojen ja käytännön harjoitusten muodossa.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Alkeismatematiikan valikoituja tehtäviä ja lauseita. Aritmetiikka ja algebra. Kirja sisältää 320 tehtävää, jotka liittyvät algebraan, aritmetiikkaan ja lukuteoriaan. Nämä tehtävät poikkeavat luonteeltaan merkittävästi tavallisista koulutehtävistä.
2. Kompleksiluvut (valitut tehtävät)
2.1. Kompleksiluvut algebrallisessa muodossa
Monien matematiikan ja fysiikan ongelmien ratkaisu rajoittuu algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen, ts. muodon yhtälöt
,missä a0 , a1 , …, an ovat reaalilukuja. Siksi algebrallisten yhtälöiden tutkiminen on yksi matematiikan tärkeimmistä kysymyksistä. Esimerkiksi neliöyhtälöllä negatiivisella diskriminantilla ei ole todellisia juuria. Yksinkertaisin tällainen yhtälö on yhtälö
.Jotta tällä yhtälöllä olisi ratkaisu, on tarpeen laajentaa reaalilukujen joukkoa lisäämällä siihen yhtälön juuri
.Merkitään tämä juuri nimellä
. Siten määritelmän mukaan , tai ,siten,
. kutsutaan imaginaariyksiköksi. Sen avulla ja reaalilukuparin avulla muodostetaan muodon lauseke.Tuloksena olevaa lauseketta kutsuttiin kompleksiluvuiksi, koska ne sisälsivät sekä reaali- että imaginaariosat.
Joten kompleksilukuja kutsutaan muodon lausekkeiksi
, ja ovat reaalilukuja, ja on jokin symboli, joka täyttää ehdon . Lukua kutsutaan kompleksiluvun todelliseksi osaksi ja lukua sen imaginaariosaksi. Symboleja , käytetään osoittamaan niitä.Lomakkeen kompleksiluvut
ovat reaalilukuja ja siksi kompleksilukujen joukko sisältää joukon reaalilukuja. Lomakkeen kompleksiluvut
kutsutaan puhtaasti kuvitteelliseksi. Kahta muodon ja kompleksilukua kutsutaan yhtä suureksi, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret, ts. jos yhtäläisyydet , .Kompleksilukujen algebrallinen merkintä mahdollistaa operaatioiden suorittamisen niille tavallisten algebran sääntöjen mukaisesti.
Kompleksilukujen ongelmien ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä perusmääritelmät. Tämän katsausartikkelin päätavoitteena on selittää, mitä kompleksiluvut ovat, ja esittää menetelmiä perusongelmien ratkaisemiseksi kompleksilukujen kanssa. Siten kompleksiluku on muodon luku z = a + bi, missä a, b- reaaliluvut, joita kutsutaan kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosiksi, ja ne osoittavat a = Re(z), b=Im(z).
i kutsutaan imaginaariyksiköksi. i 2 \u003d -1. Erityisesti mitä tahansa reaalilukua voidaan pitää kompleksina: a = a + 0i, missä a on todellinen. Jos a = 0 ja b ≠ 0, silloin numeroa kutsutaan puhtaasti kuvitteelliseksi.
Esittelemme nyt operaatioita kompleksiluvuille.
Tarkastellaan kahta kompleksilukua z 1 = a 1 + b 1 i ja z 2 = a 2 + b 2 i.
Harkitse z = a + bi.
Kompleksilukujen joukko laajentaa reaalilukujen joukkoa, mikä puolestaan laajentaa rationaalilukujen joukkoa ja niin edelleen. Tämä upotusketju näkyy kuvassa: N - luonnolliset luvut, Z - kokonaisluvut, Q - rationaalinen, R - todellinen, C - kompleksi. 
Kompleksilukujen esitys
Algebrallinen merkintä.
Harkitse kompleksilukua z = a + bi, tätä kompleksiluvun kirjoitustapaa kutsutaan algebrallinen. Olemme jo käsitelleet tätä kirjoitusmuotoa yksityiskohtaisesti edellisessä osiossa. Käytä melko usein seuraavaa havainnollistavaa piirustusta 
trigonometrinen muoto.
Kuvasta näkyy, että numero z = a + bi voidaan kirjoittaa toisin. Se on selvää a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, siis z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
kutsutaan kompleksiluvun argumentiksi. Tätä kompleksiluvun esitystä kutsutaan trigonometrinen muoto. Trigonometrinen merkintämuoto on joskus erittäin kätevä. Sitä on kätevää käyttää esimerkiksi kompleksiluvun nostamiseen kokonaislukupotenssiin, eli jos z = rcos(φ) + rsin(φ)i, sitten z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, tätä kaavaa kutsutaan De Moivren kaava.
Demonstroiva muoto.
Harkitse z = rcos(φ) + rsin(φ)i on kompleksiluku trigonometrisessa muodossa, kirjoitamme sen eri muodossa z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, viimeinen yhtälö seuraa Eulerin kaavasta, joten saimme uuden muodon kompleksiluvun kirjoittamiseen: z = re iφ, jota kutsutaan demonstratiivista. Tämä merkintätapa on myös erittäin kätevä nostaa kompleksiluku potenssiksi: z n = r n e inφ, täällä n ei välttämättä kokonaisluku, mutta voi olla mielivaltainen reaaliluku. Tätä kirjoitusmuotoa käytetään melko usein ongelmien ratkaisemiseen.
Korkeamman algebran peruslause
Kuvittele, että meillä on toisen asteen yhtälö x 2 + x + 1 = 0 . On selvää, että tämän yhtälön diskriminantti on negatiivinen eikä sillä ole todellisia juuria, mutta käy ilmi, että tällä yhtälöllä on kaksi erilaista kompleksista juuria. Joten korkeamman algebran päälause sanoo, että millä tahansa n-asteen polynomilla on vähintään yksi kompleksijuuri. Tästä seuraa, että millä tahansa n-asteisella polynomilla on täsmälleen n kompleksista juuria, kun otetaan huomioon niiden monikertaisuus. Tämä lause on erittäin tärkeä tulos matematiikassa ja sitä sovelletaan laajasti. Yksinkertainen seuraus tästä lauseesta on, että yksiköllä on täsmälleen n erillistä n-asteen juuria.
Tärkeimmät tehtävätyypit
Tässä osiossa tarkastellaan yksinkertaisten kompleksilukuongelmien päätyyppejä. Perinteisesti kompleksilukujen tehtävät voidaan jakaa seuraaviin luokkiin.
- Yksinkertaisten aritmeettisten operaatioiden suorittaminen kompleksiluvuilla.
- Polynomien juurien löytäminen kompleksiluvuista.
- Kompleksilukujen nostaminen potenssiin.
- Juurien erottaminen kompleksiluvuista.
- Kompleksilukujen soveltaminen muiden ongelmien ratkaisemiseen.
Harkitse nyt yleisiä menetelmiä näiden ongelmien ratkaisemiseksi.
Yksinkertaisimmat aritmeettiset operaatiot kompleksiluvuilla suoritetaan ensimmäisessä osassa kuvattujen sääntöjen mukaan, mutta jos kompleksiluvut esitetään trigonometrisissa tai eksponentiaalisissa muodoissa, ne voidaan tässä tapauksessa muuntaa algebralliseen muotoon ja suorittaa operaatioita tunnettujen sääntöjen mukaan.
Polynomien juurien löytäminen tarkoittaa yleensä toisen asteen yhtälön juurien löytämistä. Oletetaan, että meillä on toisen asteen yhtälö, jos sen diskriminantti on ei-negatiivinen, niin sen juuret ovat todellisia ja löydetään tunnetun kaavan mukaan. Jos diskriminantti on negatiivinen, niin D = -1∙a 2, missä a on tietty luku, niin voimme edustaa diskriminanttia muodossa D = (ia) 2, siis √D = i|a|, ja sitten voit käyttää jo tunnettua kaavaa toisen asteen yhtälön juurille.
Esimerkki. Palataan yllä mainittuun toisen asteen yhtälöön x 2 + x + 1 = 0.
Syrjivä - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Nyt voimme helposti löytää juuret: 
Kompleksilukujen nostaminen potenssiin voidaan tehdä useilla tavoilla. Jos haluat nostaa kompleksiluvun algebrallisessa muodossa pieneen potenssiin (2 tai 3), voit tehdä tämän suoraan kertomalla, mutta jos aste on suurempi (tehtävissä se on usein paljon suurempi), sinun on kirjoita tämä luku trigonometrisesti tai eksponentiaalisesti ja käytä jo tunnettuja menetelmiä.
Esimerkki. Tarkastellaan z = 1 + i ja nosta kymmenenteen potenssiin.
z kirjoitetaan eksponentiaalisessa muodossa: z = √2 e iπ/4 .
Sitten z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Palataan algebralliseen muotoon: z 10 = -32i.
Juurien erottaminen kompleksiluvuista on käänteinen operaatio eksponentioinnin suhteen, joten se tehdään samalla tavalla. Juurien poimimiseen käytetään usein luvun eksponentiaalista muotoa.
Esimerkki. Etsi kaikki ykseyden asteen 3 juuret. Tätä varten etsimme yhtälön z 3 = 1 juuret, etsimme juuria eksponentiaalisessa muodossa.
Korvaa yhtälössä: r 3 e 3iφ = 1 tai r 3 e 3iφ = e 0 .
Siten: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, joten φ = 2πk/3.
Erilaisia juuria saadaan arvoilla φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Näin ollen 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ovat juuria.
Tai algebrallisessa muodossa: 
Viimeinen ongelmatyyppi sisältää valtavan määrän ongelmia, eikä niiden ratkaisemiseksi ole olemassa yleisiä menetelmiä. Tässä on yksinkertainen esimerkki tällaisesta tehtävästä:
Etsi summa sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Vaikka tämän ongelman muotoilu ei viittaa kompleksilukuihin, mutta niiden avulla se voidaan ratkaista helposti. Sen ratkaisemiseksi käytetään seuraavia esityksiä: 
Jos nyt korvaamme tämän esityksen summalla, niin ongelma pelkistyy tavallisen geometrisen progression summaukseen.
Johtopäätös
Kompleksiluvut ovat laajalti käytössä matematiikassa, tässä katsausartikkelissa käsiteltiin kompleksilukujen perustoimintoja, kuvattiin useita standarditehtävien tyyppejä ja kuvattiin lyhyesti yleisiä menetelmiä niiden ratkaisemiseksi, kompleksilukujen mahdollisuuksien yksityiskohtaisempaa tutkimista varten on suositeltavaa käyttää erikoiskirjallisuutta.
