Luokka 10 . Toisen asteen käyrät.

10.1. Ellipsi. Kanoninen yhtälö. Puoliakselit, epäkeskisyys, kuvaaja.

10.2. Hyperbeli. Kanoninen yhtälö. Puoliakselit, epäkeskisyys, asymptootit, graafi.

10.3. Paraabeli. Kanoninen yhtälö. Paraabeliparametri, kaavio.

Tason toisen asteen käyriä kutsutaan viivoiksi, joiden implisiittinen määrittely on muotoa:

missä
- annettuja reaalilukuja,
- käyräpisteiden koordinaatit. Toisen kertaluvun käyrien tärkeimmät viivat ovat ellipsi, hyperbola, paraabeli.

10.1. Ellipsi. Kanoninen yhtälö. Puoliakselit, epäkeskisyys, kuvaaja.

Ellipsin määritelmä.Ellipsi on tasokäyrä, jonka etäisyyksien summa kahdesta kiinteästä pisteestä
kone mihin tahansa pisteeseen

(nuo.). pisteitä
kutsutaan ellipsin pesäkkeiksi.

Ellipsin kanoninen yhtälö:
. (2)

(tai akseli
) kulkee polttopisteiden läpi
, ja alkuperä on piste - sijaitsee segmentin keskellä
(Kuva 1). Ellipsi (2) on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja origon (ellipsin keskipisteen) suhteen. Pysyvä
,
nimeltään ellipsin puoliakselit.

Jos ellipsi on annettu yhtälöllä (2), niin ellipsin polttopisteet löydetään seuraavasti.

1) Ensin määritetään, missä polttopisteet sijaitsevat: polttopisteet sijaitsevat koordinaattiakselilla, jolla suurimmat puoliakselit sijaitsevat.

2) Sitten lasketaan polttoväli (etäisyys polttopisteestä alkuperään).

klo
painopisteet ovat akselilla
;
;
.

klo
painopisteet ovat akselilla
;
;
.

epäkeskisyys ellipsiä kutsutaan arvoksi: (at
);(at
).

Ellipsillä on aina ollut
. Epäkeskisyys on ominaisuus ellipsin puristukselle.

Jos ellipsiä (2) siirretään niin, että ellipsin keskipiste on pisteessä

,
, niin tuloksena olevan ellipsin yhtälöllä on muoto

.

10.2. Hyperbeli. Kanoninen yhtälö. Puoliakselit, epäkeskisyys, asymptootit, graafi.

Määritelmä hyperbola.Hyperbola on tasokäyrä, jossa kahden kiinteän pisteen välisten etäisyyksien eron itseisarvo
kone mihin tahansa pisteeseen
tämä käyrä on pisteestä riippumaton vakio
(nuo.). pisteitä
kutsutaan hyperbelin pesäkkeiksi.

Hyperbolin kanoninen yhtälö:
tai
. (3)

Tällainen yhtälö saadaan, jos koordinaattiakseli
(tai akseli
) kulkee polttopisteiden läpi
, ja alkuperä on piste - sijaitsee segmentin keskellä
. Hyperbelit (3) ovat symmetrisiä koordinaattiakseleiden ja origon suhteen. Pysyvä
,
nimeltään hyperbolin puoliakselit.

Hyperbolin kohdat löytyvät seuraavasti.

Hyperbolissa
painopisteet ovat akselilla
:
(Kuva 2.a).

Hyperbolissa
painopisteet ovat akselilla
:
(Kuva 2.b)

Tässä - polttoväli (etäisyys polttopisteestä alkupisteeseen). Se lasketaan kaavalla:
.

epäkeskisyys hyperbolaa kutsutaan arvoksi:

(for
);(for
).

Hyperbolilla on aina ollut
.

Hyperbolien asymptootit(3) on kaksi suoraa viivaa:
. Hyperbolan molemmat haarat lähestyvät asymptootteja loputtomasti .

Hyperbolin graafin rakentaminen tulisi suorittaa seuraavasti: ensin puoliakseleita pitkin
rakennamme apusuorakulmion, jonka sivut ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakselien kanssa; sitten piirrämme suoria viivoja tämän suorakulmion vastakkaisten kärkien läpi, nämä ovat hyperbolin asymptootteja; lopuksi kuvaamme hyperbolin oksat, ne koskettavat apusuorakulmion vastaavien sivujen keskipisteitä ja lähestyvät kasvua asymptootteihin (kuva 2).

Jos hyperboloja (3) siirretään niin, että niiden keskipiste osuu pisteeseen
, ja puoliakselit pysyvät samansuuntaisina akselien kanssa
,
, niin tuloksena olevien hyperbolien yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

,
.

10.3. Paraabeli. Kanoninen yhtälö. Paraabeliparametri, kaavio.

Paraabelin määritelmä.Paraabeli on tasokäyrä, jossa mille tahansa pisteelle
tämä käyrä on etäisyys
kiinteään pisteeseen taso (kutsutaan paraabelin keskipisteeksi) on yhtä suuri kuin etäisyys
lentokoneen kiinteälle linjalle(kutsutaan paraabelin suuntaviivaksi) .

Kanoninen paraabeliyhtälö:
, (4)

missä on vakio nimeltään parametri paraabelit.

Piste
paraabelia (4) kutsutaan paraabelin kärjeksi. Akseli
on symmetria-akseli. Paraabelin (4) painopiste on pisteessä
, suuntaviivayhtälö
. Paraabelikuvaajat (4) arvoineen
ja
esitetty kuvassa. 3.a ja 3.b, vastaavasti.

Yhtälö
määrittelee myös paraabelin tasossa
, jossa paraabeliin (4) verrattuna on akselit
,
vaihtaneet paikkaa.

Jos paraabelia (4) siirretään niin, että sen kärki osuu pisteeseen
, ja symmetria-akseli pysyy samansuuntaisena akselin kanssa
, niin tuloksena olevan paraabelin yhtälöllä on muoto

.

Siirrytään esimerkkeihin.

Esimerkki 1. Toisen kertaluvun käyrä saadaan yhtälöstä
. Anna tälle käyrälle nimi. Löydä sen fokukset ja epäkeskisyys. Piirrä käyrä ja sen polttopisteet tasoon
.

Päätös. Tämä käyrä on pisteessä keskitetty ellipsi
ja akselin akselit
. Tämä voidaan helposti tarkistaa vaihtamalla
. Tämä muunnos tarkoittaa siirtymistä annetusta suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä
uuteen karteesiseen koordinaattijärjestelmään
, jonka akselit
yhdensuuntainen akselien kanssa
,
. Tätä koordinaattimuunnosta kutsutaan järjestelmän siirroksi.
tarkalleen . Uudessa koordinaattijärjestelmässä
käyrän yhtälö muunnetaan ellipsin kanoniseksi yhtälöksi
, sen kaavio on esitetty kuvassa. 4.

Keksitään temppuja.
, joten temppuja
akselilla sijaitseva ellipsi
.. Koordinaatistossa
:
. Koska
, vanhassa koordinaattijärjestelmässä
painopisteillä on koordinaatit.

Esimerkki 2. Anna toisen kertaluvun käyrälle nimi ja sen kuvaaja.

Päätös. Valitsemme täysneliöt muuttujia sisältävien termien perusteella ja .

Nyt käyräyhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Siksi annettu käyrä on pisteessä keskitetty ellipsi
ja akselin akselit
. Saatujen tietojen avulla voimme piirtää sen kaavion.

Esimerkki 3. Anna nimi ja piirrä viivakaavio
.

Päätös. . Tämä on pisteen keskipisteen ellipsin kanoninen yhtälö
ja akselin akselit
.

Sikäli kuin
, päättelemme: annettu yhtälö määrittelee tasossa
ellipsin alaosa (kuva 5).

Esimerkki 4. Anna toisen järjestyksen käyrän nimi
. Löydä hänen temppujaan, eksentrisyyttä. Esitä kaavio tästä käyrästä.

- Hyperbolin kanoninen yhtälö puoliakselien kanssa
.

Polttoväli.

Miinusmerkki on termin kanssa edessä , joten temppuja
hyperbolit ovat akselilla
:. Hyperbolan haarat sijaitsevat akselin ylä- ja alapuolella
.

on hyperbelin epäkeskisyys.

Hyperbolin asymptootit: .

Tämän hyperabelin graafin rakentaminen suoritetaan yllä olevan menettelyn mukaisesti: rakennetaan apusuorakulmio, piirretään hyperbolin asymptootit, piirretään hyperabelin haarat (katso kuva 2.b).

Esimerkki 5. Selvitä yhtälön antaman käyrän muoto
ja piirtää sen.

- pisteeseen keskitetty hyperbola
ja puoliakselit.

Koska , päättelemme: annettu yhtälö määrittää hyperbelin osan, joka on suoran oikealla puolella
. Hyperboli on parempi piirtää apukoordinaatistossa
saatu koordinaattijärjestelmästä
siirtää
, ja valitse sitten paksulla viivalla haluttu hyperbelin osa

Esimerkki 6. Selvitä käyrän tyyppi ja piirrä sen kaavio.

Päätös. Valitse koko neliö muuttujan termien mukaan :

Kirjoitetaan käyrän yhtälö uudelleen.

Tämä on paraabelin yhtälö, jonka kärkipiste on pisteessä
. Siirtomuunnolla paraabeliyhtälö pelkistetään kanoniseen muotoon
, josta voidaan nähdä, että se on paraabelin parametri. Keskity paraabelit järjestelmässä
on koordinaatit
,, ja järjestelmässä
(siirtomuunnoksen mukaan). Paraabelikaavio on esitetty kuvassa. 7.

Kotitehtävät.

1. Piirrä yhtälöiden antamat ellipsit:
Etsi niiden puoliakselit, polttoväli, epäkeskisyys ja osoita niiden polttopisteiden sijainnit ellipsikaavioissa.

2. Piirrä yhtälöiden antamat hyperbolit:
Etsi niiden puoliakselit, polttoväli, epäkeskisyys ja osoita hyperbolien kaavioissa niiden polttopisteiden sijainti. Kirjoita annettujen hyperbolien asymptoottien yhtälöt.

3. Piirrä yhtälöiden antamat paraabelit:
. Etsi niiden parametri, polttoväli ja osoita tarkennuksen sijainti paraabelikaavioista.

4. Yhtälö
määrittää osan 2. asteen käyrästä. Etsi tämän käyrän kanoninen yhtälö, kirjoita sen nimi, rakenna sen kuvaaja ja korosta käyrästä se osa, joka vastaa alkuperäistä yhtälöä.

Hyperbola on tasossa olevien pisteiden lokus, jonka etäisyyksien eron moduuli, joista kummastakin kahteen tiettyyn pisteeseen F_1 ja F_2 on vakioarvo (2a), pienempi kuin näiden pisteiden välinen etäisyys (2c) 3.40, a). Tämä geometrinen määritelmä ilmaisee hyperbelin polttopiste.

Hyperbolin polttopiste

Pisteitä F_1 ja F_2 kutsutaan hyperbelin polttopisteiksi, niiden välinen etäisyys 2c=F_1F_2 on polttoväli, janan F_1F_2 keskipiste O on hyperabelin keskipiste, luku 2a on todellisen akselin pituus. hyperbola (vastaavasti a on hyperbelin todellinen puoliakseli). Hyperbolin mielivaltaisen pisteen M sen polttopisteisiin yhdistäviä segmenttejä F_1M ja F_2M kutsutaan pisteen M polttosäteiksi. Janaa, joka yhdistää kaksi hyperbelin pistettä, kutsutaan hyperbelin jänteeksi.

Relaatiota e=\frac(c)(a) , jossa c=\sqrt(a^2+b^2) , kutsutaan hyperbolinen epäkeskisyys. Määritelmästä (2a<2c) следует, что e>1 .

Hyperbolin geometrinen määritelmä, joka ilmaisee sen polttoominaisuuden, vastaa sen analyyttistä määritelmää - hyperbelin kanonisen yhtälön antama viiva:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Todellakin, otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä (kuva 3.40, b). Otetaan hyperbolin keskipiste O koordinaattijärjestelmän origoksi; polttopisteen (polttoakselin) läpi kulkeva suora viiva otetaan abskissa-akseliksi (sillä oleva positiivinen suunta pisteestä F_1 pisteeseen F_2); abskissa-akseliin nähden kohtisuorassa hyperbelin keskipisteen kautta kulkeva suora viiva otetaan ordinaatta-akseliksi (suunta ordinaattiselle akselille valitaan siten, että suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä Oxy on oikea).

Kirjoitetaan hyperbelin yhtälö käyttämällä polttoominaisuutta ilmaisevaa geometrista määritelmää. Valitussa koordinaattijärjestelmässä määritetään polttopisteiden F_1(-c,0) ja F_2(c,0) koordinaatit. Mielivaltaiselle pisteelle M(x,y), joka kuuluu hyperbeliin, meillä on:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

Kirjoittamalla tämä yhtälö koordinaattimuotoon, saamme:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Suorittamalla samankaltaisia ​​muunnoksia kuin ellipsiyhtälön johtamisessa (eli irrationaalisuudesta eroon pääsemisessä) pääsemme hyperbelin kanoniseen yhtälöön:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

missä b=\sqrt(c^2-a^2) , ts. valittu koordinaattijärjestelmä on kanoninen.

Taaksepäin päättelemällä voidaan osoittaa, että kaikki pisteet, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön (3.50), ja vain ne, kuuluvat pisteiden lokukseen, jota kutsutaan hyperboliksi. Siten hyperbelin analyyttinen määritelmä vastaa sen geometrista määritelmää.

Hyperbolin hakemistoominaisuus

Hyperbolin suuntaviivat ovat kaksi suoraa, jotka kulkevat samansuuntaisesti kanonisen koordinaattijärjestelmän y-akselin kanssa samalla etäisyydellä a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c siitä (kuva 3.41, a). Kun a = 0 , kun hyperbola degeneroituu leikkausviivojen pariksi, suuntaviivat ovat samat.

Hyperbola, jonka epäkeskisyys on e=1, voidaan määritellä tason pisteiden paikaksi, joista jokaisella on etäisyyden suhde tiettyyn pisteeseen F (focus) etäisyyteen tiettyyn suoraan d (suoraan). ei kulje tietyn pisteen läpi on vakio ja yhtä suuri kuin epäkeskisyys e ( hyperbelin hakemistoominaisuus). Tässä F ja d ovat yksi hyperbelin polttopisteistä ja yksi sen suorista, jotka sijaitsevat samalla puolella kanonisen koordinaattijärjestelmän y-akselia.

Todellakin, esimerkiksi tarkennukselle F_2 ja suunnalle d_2 (kuva 3.41, a) ehto \frac(r_2)(\rho_2)=e voidaan kirjoittaa koordinaattimuotoon:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\oikea)

Irrationaalisuudesta eroon pääseminen ja korvaaminen e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, pääsemme hyperbelin (3.50) kanoniseen yhtälöön. Samanlainen päättely voidaan suorittaa tarkennukselle F_1 ja suunnalle d_1:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).

Hyperboliyhtälö napakoordinaateissa

Hyperbolin oikean haaran yhtälö napakoordinaatistossa F_2r\varphi (kuva 3.41, b) on muotoa

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), jossa p=\frac(p^2)(a) - hyperbola-fokusointiparametri.

Todellakin, valitaan napakoordinaattijärjestelmän napaksi hyperbolin oikea fokus F_2 ja säde, jonka origo on pisteessä F_2, joka kuuluu suoralle F_1F_2, mutta ei sisällä pistettä F_1 (kuva 3.41, b). napa-akselina. Sitten mielivaltaiselle pisteelle M(r,\varphi), joka kuuluu hyperbelin oikeaan haaraan, on hyperabelin geometrisen määritelmän (fokusointiominaisuuden) mukaan F_1M-r=2a . Ilmoitetaan pisteiden M(r,\varphi) ja F_1(2c,\pi) välinen etäisyys (katso huomautuksen 2.8 kohta 2):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Siksi hyperbelin yhtälöllä on koordinaattimuodossa muoto

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

Eristämme radikaalin, neliöimme yhtälön molemmat puolet, jaamme 4:llä ja annamme vastaavat termit:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ oikea)r=c^2-a^2.

Ilmaisemme napasäteen r ja teemme korvauksia e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

Q.E.D. Huomaa, että napakoordinaateissa hyperboli- ja ellipsiyhtälöt ovat samat, mutta kuvaavat eri suoria, koska ne eroavat epäkeskisuudeltaan (e>1 hyperbolille, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Hyperboliyhtälön kertoimien geometrinen merkitys

Etsitään hyperbolin (kuva 3.42, a) leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa (hyperbolin kärjet). Korvaamalla yhtälöön y=0, löydämme leikkauspisteiden abskissat: x=\pm a . Siksi kärjeillä on koordinaatit (-a,0),\,(a,0) . Huippuja yhdistävän janan pituus on 2a . Tätä segmenttiä kutsutaan hyperabelin todelliseksi akseliksi ja numero a on hyperbelin todellinen puoliakseli. Korvaamalla x=0 saadaan y=\pm ib . Pisteitä (0,-b),\,(0,b) yhdistävän y-akselin janan pituus on yhtä suuri kuin 2b . Tätä segmenttiä kutsutaan hyperbelin imaginaariseksi akseliksi ja lukua b hyperbelin imaginaariseksi puoliakseliksi. Hyperbola leikkaa todellisen akselin sisältävän suoran eikä leikkaa imaginaarisen akselin sisältävää suoraa.

Huomautuksia 3.10.

1. Suorat x=\pm a,~y=\pm b rajoittavat pääsuorakulmiota koordinaattitasolla, jonka ulkopuolella hyperboli sijaitsee (Kuva 3.42, a).

2. Pääsuorakulmion lävistäjät sisältäviä suoria viivoja kutsutaan hyperbelin asymptooteiksi (kuva 3.42, a).

varten tasasivuinen hyperbola, jota kuvaa yhtälö (eli a=b ), pääsuorakulmio on neliö, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa. Siksi tasasivuisen hyperbolin asymptootit ovat myös kohtisuorassa, ja ne voidaan ottaa suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän Ox"y" koordinaattiakseleiksi (kuva 3.42, b). Tässä koordinaattijärjestelmässä hyperboliyhtälöllä on muoto y"=\frac(a^2)(2x")(hyperboli on sama kuin käänteisesti verrannollista suhdetta ilmaisevan alkeisfunktion kuvaaja).

Todellakin, käännetään kanonista koordinaattijärjestelmää kulman verran \varphi=-\frac(\pi)(4)(Kuva 3.42, b). Tässä tapauksessa pisteen koordinaatit vanhassa ja uudessa koordinaattijärjestelmässä liittyvät yhtäläisyyksiin

\left\(\!\begin(tasattu)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(tasattu)\oikea. \quad \Leftrightarrow \quad \ vasen\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(tasattu)\oikea.

Korvaa nämä lausekkeet yhtälöön \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 tasasivuisen hyperbolin ja tuomalla samanlaiset termit, saamme

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftright arrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. Koordinaattiakselit (kanonisen koordinaattijärjestelmän) ovat hyperbolin symmetriaakseleita (jota kutsutaan hyperbolin pääakseleiksi), ja sen keskipiste on symmetriakeskus.

Todellakin, jos piste M(x,y) kuuluu hyperbeliin . silloin pisteet M"(x,y) ja M""(-x,y) , jotka ovat symmetrisiä pisteen M suhteen koordinaattiakseleiden suhteen, kuuluvat myös samaan hyperboliin.

Symmetria-akseli, jolla hyperbolin polttopisteet sijaitsevat, on polttoakseli.

4. Hyperboliyhtälöstä napakoordinaateissa r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(katso kuva 3.41, b) polttoparametrin geometrinen merkitys selviää - tämä on puolet sen fokuksen läpi kulkevan hyperbolan jänteen pituudesta kohtisuorassa polttoakseliin nähden (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Epäkeskisyys e kuvaa hyperbolin muotoa. Mitä enemmän e:tä, sitä leveämpiä hyperabelin haarat ovat ja mitä lähempänä yhtä, sitä kapeammat ovat hyperabelin haarat (Kuva 3.43, a).

Todellakin, sen haaran sisältävän hyperbolan asymptoottien välisen kulman arvo \gamma määräytyy pääsuorakulmion sivujen suhteesta: \operaattorinimi(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Kun otetaan huomioon, että e=\frac(c)(a) ja c^2=a^2+b^2 , saamme

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Mitä suurempi e, sitä suurempi on \gamma-kulma. Tasasivuiselle hyperbolille (a=b) meillä on e=\sqrt(2) ja \gamma=\frac(\pi)(2). Kohdalle e>\sqrt(2) kulma \gamma on tylppä, mutta 1:lle

6. Kaksi hyperbolia, jotka on määritelty samassa koordinaattijärjestelmässä yhtälöillä \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 ja niitä kutsutaan linkitetty toisiinsa. Konjugaattihyperboleilla on samat asymptootit (kuva 3.43, b). Konjugaattihyperbolayhtälö -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pelkistetään kanoniseksi nimeämällä koordinaattiakselit uudelleen (3.38).

7. Yhtälö \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 määrittää hyperbolin, jonka keskipiste on pisteessä O "(x_0, y_0) , jonka akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa (kuva 3.43, c). Tämä yhtälö pelkistetään kanoniseksi rinnakkaismuunnolla (3.36). Yhtälö -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 määrittää konjugaattihyperbolin, jonka keskipiste on piste O"(x_0,y_0) .

Hyperbolin parametrinen yhtälö

Hyperbolin parametriyhtälöllä kanonisessa koordinaattijärjestelmässä on muoto

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

missä \operaattorinimi(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- hyperbolinen kosini, a \operaattorinimi(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) hyperbolinen sini.

Todellakin, korvaamalla koordinaattilausekkeet yhtälöllä (3.50), pääsemme pääasialliseen hyperboliseen identiteettiin \operaattorinimi(ch)^2t-\operaattorinimi(sh)^2t=1.

Esimerkki 3.21. Piirrä hyperboli \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 kanonisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy . Etsi puoliakselit, polttoväli, epäkeskisyys, polttoparametri, asymptoottien ja suuntaviivojen yhtälöt.

Päätös. Vertaamalla annettua yhtälöä kanoniseen yhtälöön määritämme puoliakselit: a=2 - reaalinen puoliakseli, b=3 - hyperbelin kuvitteellinen puoliakseli. Rakennamme pääsuorakulmion, jonka sivut 2a=4,~2b=6 on keskitetty origoon (kuva 3.44). Piirrämme asymptootteja pidentämällä pääsuorakulmion lävistäjät. Rakennamme hyperbolin ottaen huomioon sen symmetrian koordinaattiakseleiden suhteen. Tarvittaessa määritämme hyperbelin joidenkin pisteiden koordinaatit. Esimerkiksi korvaamalla x=4 hyperbeliyhtälöön, saamme

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

Siksi pisteet, joilla on koordinaatit (4;3\sqrt(3)) ja (4;-3\sqrt(3)), kuuluvat hyperbeliin. Polttovälin laskeminen

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

epäkeskisyys e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); polttoparametri p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Muodostamme asymptoottien yhtälöt y=\pm\frac(b)(a)\,x, eli y=\pm\frac(3)(2)\,x, ja suuntaviivayhtälöt: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

Muille lukijoille ehdotan heidän koulutietonsa täydentämistä merkittävästi paraabelista ja hyperbolasta. Hyperbola ja paraabeli - onko se yksinkertaista? … Älä odota =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleisestä hyperbolan käsitteestä ja sen rakentamisongelmasta.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei aseteta tässä, eli "a":n arvo voi olla pienempi kuin "be"-arvo.

Minun on sanottava, aivan odottamatta ... "koulu"-hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista tietuetta. Mutta tämä arvoitus tulee vielä odottamaan meitä, mutta nyt raaputetaan päähän ja muistetaan, mitä ominaispiirteitä tarkasteltavalla käyrällä on? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktiokaavio ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Hyvää edistystä! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Päätös: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon . Muista tyypillinen menettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme molemmat alkuperäisen yhtälön osat 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä niistä jokainen kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitsemme nimittäjistä neliöt:

Miksi muunnokset on parempi toteuttaa tällä tavalla? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää välittömästi ja saada. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä, jaettavissa, kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää tarvittu:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperboli?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen ... sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa tuoda yksinkertaiset laskelmat jälleen apuun.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

Käytännössä kohdataan usein mielivaltaisen kulman läpi tapahtuvan kiertymisen ja hyperbelin rinnakkaissiirron yhdistelmä. Tästä tilanteesta keskustellaan oppitunnilla. Toisen asteen riviyhtälön pelkistys kanoniseen muotoon.

Paraabeli ja sen kanoninen yhtälö

Se on tehty! Hän on eniten. Valmis paljastamaan monia salaisuuksia. Paraabelin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa on reaaliluku. On helppo nähdä, että vakioasennossaan paraabeli "makaa kyljellään" ja sen kärki on origossa. Tässä tapauksessa funktio asettaa tämän rivin ylähaaran ja funktio alemman haaran. Ilmeisesti paraabeli on symmetrinen akselin suhteen. Itse asiassa, mitä uida:

Esimerkki 6

Rakenna paraabeli

Päätös: kärki on tiedossa, etsitään lisäpisteitä. Yhtälö määrittää paraabelin yläkaaren, yhtälö määrittää alemman kaaren.

Tietueen lyhentämiseksi suoritamme laskelmia "saman harjan alla":

Kompaktia merkintää varten tulokset voitaisiin koota taulukkoon.

Ennen kuin suoritamme alkeellisen pistekohtaisen piirustuksen, muotoilemme tiukan

paraabelin määritelmä:

Paraabeli on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta, joka ei kulje pisteen läpi.

Piste on ns keskittyä paraabelit, suora viiva johtajatar (kirjoitettu yhdellä "es":llä) paraabelit. Kanonisen yhtälön vakio "pe" on nimeltään polttoparametri, joka on yhtä suuri kuin etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan. AT Tämä tapaus. Tässä tapauksessa painopisteellä on koordinaatit ja suunta saadaan yhtälöstä.
Esimerkissämme:

Paraabelin määritelmä on jopa helpompi ymmärtää kuin ellipsin ja hyperbelin määritelmät. Missä tahansa paraabelin pisteessä janan pituus (etäisyys tarkennuksesta pisteeseen) on yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus (etäisyys pisteestä suuntaviivaan):

Onnittelut! Monet teistä ovat tehneet todellisen löydön tänään. Osoittautuu, että hyperbola ja paraabeli eivät ole ollenkaan "tavallisten" funktioiden kaavioita, vaan niillä on selvä geometrinen alkuperä.

On selvää, että polttoparametrin kasvaessa kaavion haarat "levivät" ylös ja alas lähestyen akselia äärettömän lähellä. Kun "pe"-arvo laskee, ne alkavat kutistua ja venyä akselia pitkin

Minkä tahansa paraabelin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin yksi:

Paraabelin kierto ja muunnos

Paraabeli on yksi yleisimmistä matematiikan viivoista, ja sinun on rakennettava se todella usein. Siksi kiinnitä erityistä huomiota oppitunnin viimeiseen kappaleeseen, jossa analysoin tämän käyrän sijainnin tyypillisiä vaihtoehtoja.

! Huomautus : kuten edellisten käyrien tapauksessa, on oikeampaa puhua koordinaattiakselien kierto- ja rinnakkaiskäännöksistä, mutta kirjoittaja rajoittuu esityksen yksinkertaistettuun versioon, jotta lukijalla on alkeellinen käsitys ​​näitä muunnoksia.

Määritelmä. Hyperbola on tason y pisteiden paikka, jonka kunkin tämän tason kahdesta annetusta pisteestä eli polttopisteistä olevien etäisyyksien eron absoluuttisella arvolla y on vakioarvo, mikäli tämä arvo ei ole yhtä suuri kuin nolla ja on pienempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys.

Merkitään polttopisteiden välinen etäisyys vakioarvona, joka on yhtä suuri kuin hyperbolin kustakin pisteestä polttopisteeseen olevien etäisyyksien eron moduuli (ehdon mukaan). Kuten ellipsin tapauksessa, piirrämme abskissa-akselin polttopisteiden läpi ja otamme segmentin keskikohdan origoksi (katso kuva 44). Tällaisessa järjestelmässä polttopisteillä on koordinaatit. Johdetaan hyperbelin yhtälö valitussa koordinaatistossa. Hyperbolan määritelmän mukaan minkä tahansa sen pisteen osalta meillä on tai

Mutta . Siksi saamme

Ellipsiyhtälön johdosta vastaavien yksinkertaistamisen jälkeen saamme seuraavan yhtälön:

mikä on yhtälön (33) seuraus.

On helppo nähdä, että tämä yhtälö osuu yhteen ellipsille saadun yhtälön (27) kanssa. Kuitenkin yhtälössä (34) ero , koska hyperbolille . Siksi laitamme

Sitten yhtälö (34) pelkistetään seuraavaan muotoon:

Tätä yhtälöä kutsutaan hyperbelin kanoniseksi yhtälöksi. Yhtälön (33) seurauksena yhtälö (36) täyttyy minkä tahansa hyperbelin pisteen koordinaateista. Voidaan osoittaa, että niiden pisteiden koordinaatit, jotka eivät ole hyperbelissä, eivät täytä yhtälöä (36).

Perustetaan hyperbolin muoto käyttämällä sen kanonista yhtälöä. Tämä yhtälö sisältää vain nykyisten koordinaattien parilliset potenssit. Hyperbolalla on siis kaksi symmetria-akselia, jotka tässä tapauksessa ovat yhteensopivia koordinaattiakseleiden kanssa. Seuraavassa hyperabelin symmetriaakseleita kutsutaan hyperbelin akseleiksi ja niiden leikkauspistettä hyperabelin keskipisteeksi. Hyperbolin akselia, jolla polttopisteet sijaitsevat, kutsutaan polttoakseliksi. Tutkimme hyperbolan muotoa ensimmäisellä neljänneksellä, missä

Täällä, koska muuten y ottaisi kuvitteelliset arvot. Kun x kasvaa arvosta a arvoon, se kasvaa arvosta 0 arvoon Ensimmäisellä neljänneksellä oleva hyperbolan osa on kuvan 1 kaari. 47.

Koska hyperboli sijaitsee symmetrisesti koordinaattiakselien ympärillä, tämä käyrä on kuvan 2 mukaisessa muodossa. 47.

Hyperbolin ja polttoakselin leikkauspisteitä kutsutaan sen kärjeksi. Olettaen hyperboliyhtälössä, löydämme sen kärkien abskissat: . Hyperbolalla on siis kaksi kärkeä: . Hyperbola ei leikkaa y-akselia. Itse asiassa laittamalla hyperboliyhtälöön saamme kuvitteelliset arvot y:lle: . Siksi hyperbelin polttoakselia kutsutaan todelliseksi akseliksi ja symmetria-akselia, joka on kohtisuorassa polttoakseliin nähden, kutsutaan hyperbelin kuvitteelliseksi akseliksi.

Reaaliakselia kutsutaan myös hyperbolan kärjet yhdistäväksi segmentiksi ja sen pituus on 2a. Pisteitä yhdistävää janaa (katso kuva 47) sekä sen pituutta kutsutaan hyperbelin kuvitteelliseksi akseliksi. Lukuja a ja b kutsutaan vastaavasti hyperbelin todellisiksi ja imaginaarisiksi puoliakseliksi.

Tarkastellaan nyt ensimmäisessä kvadrantissa sijaitsevaa hyperbolia, joka on funktion kuvaaja

Osoitetaan, että tämän graafin pisteet, jotka sijaitsevat riittävän suurella etäisyydellä origosta, ovat mielivaltaisen lähellä suoraa

joka kulkee alkupisteen läpi ja jolla on kaltevuus

Tarkastellaan tätä varten kahta pistettä, joilla on sama abskissa ja jotka sijaitsevat vastaavasti käyrällä (37) ja suoralla (38) (kuva 48), ja laske näiden pisteiden ordinaattien välinen erotus.

Tämän murtoluvun osoittaja on vakioarvo, ja nimittäjä kasvaa loputtomasti rajattomasti. Siksi ero pyrkii nollaan, eli pisteet M ja N lähestyvät loputtomasti abskissan rajoittamattomalla kasvulla.

Hyperbolin symmetriasta koordinaattiakseleiden suhteen seuraa, että on olemassa toinen suora viiva , johon hyperbolin pisteet ovat mielivaltaisen lähellä rajoittamattomalla etäisyydellä origosta. Suoraan

kutsutaan hyperbolan asymptooteiksi.

Kuvassa Kuvassa 49 on esitetty hyperbolin ja sen asymptoottien suhteellinen sijainti. Tämä kuva näyttää myös kuinka hyperbolan asymptootit muodostetaan.

Tee tämä rakentamalla suorakulmio, jonka keskipiste on origossa ja jonka sivut ovat samansuuntaiset akselien kanssa ja vastaavasti yhtä suuri kuin . Tätä suorakulmiota kutsutaan pääsuorakulmioksi. Jokainen sen lävistäjä, joka on jatkunut loputtomasti molempiin suuntiin, on hyperbolin asymptootti. Ennen hyperbolan rakentamista on suositeltavaa rakentaa sen asymptootit.

Keskipisteiden välisen puolen etäisyyden suhdetta hyperbelin todelliseen puoliakseliin kutsutaan hyperbolin epäkeskisyydeksi ja sitä merkitään yleensä kirjaimella:

Koska hyperbelin tapauksessa hyperbolin epäkeskisyys on suurempi kuin yksi: Epäkeskisyys luonnehtii hyperbolin muotoa

Kaavasta (35) todellakin seuraa, että . Tämä osoittaa, että mitä pienempi on hyperbelin epäkeskisyys,

mitä pienempi on sen puoliakselien suhde. Mutta suhde - määrittää hyperbelin pääsuorakulmion muodon ja siten itse hyperbolin muodon. Mitä pienempi hyperbelin epäkeskisyys on, sitä laajempi sen pääsuorakulmio (polttoakselin suunnassa).

Hyperbola ja paraabeli

Siirrytään artikkelin toiseen osaan. toisen asteen riveistä omistettu kahdelle muulle yleiselle käyrälle - hyperbolia ja paraabeli. Jos tulit tälle sivulle hakukoneesta tai et ole vielä ehtinyt selata aihetta, suosittelen, että tutustut ensin oppitunnin ensimmäiseen osaan, jossa tutkimme paitsi tärkeimpiä teoreettisia kohtia, myös tutustuimme kanssa ellipsi. Muille lukijoille ehdotan heidän koulutietonsa täydentämistä merkittävästi paraabelista ja hyperbolasta. Hyperbola ja paraabeli - onko se yksinkertaista? … Älä odota =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleisestä hyperbolan käsitteestä ja sen rakentamisongelmasta.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei aseteta tässä, eli "a":n arvo voi olla pienempi kuin "be"-arvo.

Minun on sanottava, aivan odottamatta ... "koulu"-hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista tietuetta. Mutta tämä arvoitus tulee vielä odottamaan meitä, mutta nyt raaputetaan päähän ja muistetaan, mitä ominaispiirteitä tarkasteltavalla käyrällä on? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktiokaavio ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Hyperbolilla on kaksi asymptootteja.

Hyvää edistystä! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Päätös: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon . Muista tyypillinen menettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme molemmat alkuperäisen yhtälön osat 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä niistä jokainen kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitsemme nimittäjistä neliöt:

Miksi muunnokset on parempi toteuttaa tällä tavalla? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää välittömästi ja saada. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä, jaettavissa, kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää tarvittu:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperboli?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen ... sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa tuoda yksinkertaiset laskelmat jälleen apuun.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

1) Ensinnäkin löydämme asymptootteja. Jos hyperbola annetaan kanonisella yhtälöllä, niin sen asymptootit ovat suoraan . Meidän tapauksessamme: . Tämä kohde on pakollinen! Tämä on piirustuksen perusominaisuus, ja on törkeä virhe, jos hyperabelin oksat "ryömivät" asymptoottien ulkopuolelle.

2) Nyt löydämme hyperbolin kaksi kärkeä, jotka sijaitsevat x-akselilla pisteissä . Se johdetaan alkeellisesti: jos , niin kanoninen yhtälö muuttuu , josta seuraa, että . Tarkastetulla hyperbolalla on pisteitä

3) Etsimme lisäpisteitä. Yleensä 2-3 riittää. Kanonisessa asennossa hyperboli on symmetrinen origon ja molempien koordinaattiakseleiden suhteen, joten riittää, että lasketaan 1. koordinaattineljännes. Tekniikka on täsmälleen sama kuin rakentamisessa ellipsi. Luonnoksen kanonisesta yhtälöstä ilmaisemme:

Yhtälö jakautuu kahteen funktioon:
- määrittää hyperbelin yläkaaret (mitä tarvitsemme);
- määrittää hyperbelin alemmat kaaret.

Se ehdottaa pisteiden etsimistä abskissoilla:

4) Piirrä asymptootit piirustukseen , pisteet , lisä- ja symmetriset pisteet muissa koordinaattineljänneksissä. Yhdistämme huolellisesti vastaavat pisteet jokaisessa hyperbolan haarassa:

Irrationaalisen kanssa voi syntyä tekninen ongelma kaltevuustekijä, mutta tämä on täysin ylitettävissä oleva ongelma.

Jana nimeltään todellinen akseli hyperboli,
sen pituus - kärkien välinen etäisyys;
määrä nimeltään todellinen puoliakseli hyperboli;
määrä – kuvitteellinen akseli.

Esimerkissämme: , ja tietysti jos annettua hyperbolia kierretään symmetriakeskuksen ympäri ja/tai siirretään, niin nämä arvot ei muutu.

Määritelmä hyperbola. Foci ja epäkeskisyys

Hyperbolissa, samalla tavalla kuin in ellipsi, on kaksi yksikköpistettä, joita kutsutaan temppuja. En sanonut, mutta varmuuden vuoksi, yhtäkkiä joku ymmärtää väärin: symmetriakeskus ja tarkennuspisteet eivät tietenkään kuulu käyriin.

Myös määritelmän yleinen käsite on samanlainen:

Hyperbolia on tason kaikkien pisteiden joukko, absoluuttinen arvo ero etäisyyksissä kuhunkin kahdesta annetusta pisteestä on vakioarvo, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän hyperbolin kärkien välinen etäisyys: . Tässä tapauksessa polttopisteiden välinen etäisyys ylittää todellisen akselin pituuden: .

Jos hyperboli on annettu kanonisella yhtälöllä, niin etäisyys symmetriakeskipisteestä kuhunkin polttopisteeseen lasketaan kaavalla: .
Ja vastaavasti painopisteillä on koordinaatit .

Tutkitulle hyperbolille:

Käydään määritelmän läpi. Merkitään etäisyyksillä polttopisteestä mielivaltaiseen hyperbolin pisteeseen:

Ensinnäkin, siirrä sinistä pistettä henkisesti hyperbolan oikeaa haaraa pitkin - missä tahansa olemmekin, moduuli(absoluuttinen arvo) segmenttien pituuksien välinen ero on sama:

Jos piste "heitetään" vasempaan haaraan ja siirretään sinne, tämä arvo pysyy ennallaan.

Moduulin etumerkkiä tarvitaan siitä syystä, että pituusero voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Muuten, mihin tahansa oikean haaran kohtaan (koska segmentti on lyhyempi kuin segmentti ). Minkä tahansa vasemman haaran kohdalla tilanne on täsmälleen päinvastainen ja .

Lisäksi, kun otetaan huomioon moduulin ilmeinen ominaisuus, sillä ei ole väliä mitä mistäkin vähennetään.

Varmistetaan, että esimerkissämme tämän eron moduuli on todella yhtä suuri kuin pisteiden välinen etäisyys. Aseta henkisesti piste hyperbelin oikeaan kärkeen. Sitten: , joka piti tarkistaa.