Yksi 2-spinor-menetelmien tehokkaimmista soveltamisalueista osoittautui asymptoottisten ongelmien tutkimiseksi suhteellisuusteoriassa. Tärkeä esimerkki tällaisista ongelmista on asymptoottisen tasaisen aika-avaruuden ja gravitaatiosäteilyn sisältämän kokonaisenergiamäärän määrittäminen. Tässä tapauksessa spinorimenetelmät ovat erityisen tehokkaita yhdessä menetelmän kanssa, jossa "äärettömyys tehdään äärelliseksi" metriikan konformisella muunnolla. Tällä menetelmällä muutamme tila-aikametriikkaa korvaamalla alkuperäisen fyysisen metriikan uudella, "ei-fyysisellä" metriikassa, joka liittyy

missä on riittävän tasainen ja kaikkialla metrisen tensorille määritelty positiivinen funktio ja sen käänteinen tensori muunnetaan kaavoilla

Jos sillä on sopiva asymptoottinen rakenne ja sopiva konformitekijä valitaan, niin jokin rajapinta 3 voidaan "kiinnittää" [tämä merkintä on "reuna" - lyhenne "kirjoituksesta I"]. Tämä pinta on otettu käyttöön siten, että "ei-fyysinen" metriikka voidaan laajentaa uusiin rajalla sijaitseviin pisteisiin ilman rappeutumista ja tietyssä määrin sileästi. Toimintoa J voidaan myös laajentaa sopivalla sileysasteella, mutta se katoaa pinnalle. Tämä tarkoittaa, että fyysisen metriikan on oltava äärettömän rajalla Y, eikä sitä siksi voida laajentaa siihen. Joten fyysisten mittareiden kannalta uudet pisteet (eli pinnan pisteet ovat äärettömän kaukana

niiden viereisiä pisteitä. Fysiikassa tämä vastaa "pisteitä äärettömyydessä".

Pinnan kiinnittäminen tällaiseen aika-avaruuteen antaa tasaisen jakosarjan rajalla, jota merkitsemme symbolilla ja

Rajan symboli on jakotukin sisäalueen symboli). Ehdotetun lähestymistavan etuna on, että nyt on mahdollista soveltaa tehokkaita paikallisia differentiaaligeometrian ja spinorialgebran menetelmiä, jotka antavat tietoa tila-aika-asymptotiikasta. Asymptoottisesti tasaisessa tila-ajassa ei tarvita monimutkaisia ​​kohtia rajaan asti. Ja itse asymptoottisen euklidisen määritelmä yleisessä suhteellisuusteoriassa voidaan nyt antaa kätevässä "koordinaatittomassa" muodossa. Konformiset menetelmät sopivat hyvin suhteellisuusteoriaan siitä yksinkertaisesta syystä, että suuri osa siitä on konformisesti invarianttia: yhtälöt massattomalle vapaalle kenttään, konforminen Weyl-tensori, isotrooppinen geodetiikka, isotrooppiset hyperpinnat, relativistinen kausaalisuus ja (etenkin Minkowskin avaruus) twistoriteoria. Ehdotettu menetelmä on samanlainen kuin kompleksisessa analyysissä käytetty menetelmä, jossa "piste äärettömyyteen" lisätään Argandin tasoon (luku 1, § 2) Riemannin pallon saamiseksi, sekä projektitiivisessa geometriassa käytettävään menetelmään.

Kuvaus selkeässä koordinaattimuodossa

Harkitse ensin menetelmää konformisen äärettömän muodostamiseksi Minkowski-avaruudelle M. Tässä tapauksessa fyysinen metriikka pallomaisissa koordinaateissa on muotoa

Mukavuuden vuoksi otamme käyttöön kaksi aikaparametria: hidastunut ja edistynyt

Vapaus mukaisen tekijän valinnassa on melko suuri. Kuitenkin meitä tässä kiinnostavan (eli asymptoottisen yksinkertaisen) aika-avaruuden tapauksessa yleisistä näkökohdista [ks. teksti kaavan (9.7.22) jälkeen], funktio on valittava siten, että se pyrkii nollaan mihin tahansa säteeseen (sekä menneisyydessä että tulevaisuudessa) säteen A affiinisen parametrin käänteislukuna (ts. Säteen varrella). Mikä tahansa hyperpinta on tulevaisuuden valokartio, joka on rakennettu säteistä (isotrooppiset suorat viivat), joiden arvot 0 ja myös pysyvät vakioina. Koordinaatilla on kunkin säteittäisen säteen tulevaisuuden affiiniparametrin rooli. Samalla tavalla koordinaatti toimii näiden säteiden menneisyyden affiinina parametrina. Siksi on tarpeen vaatia, että säteen ja säteen ehdot täyttyvät säteelle ja säteellä Jos haluamme funktion olevan sileä myös aika-avaruuden äärellisissä osissa, niin valinta ehdottaa itseään

(kerroin 2 on lisätty mukavuuden vuoksi seuraavassa), ja sitten

Monet muut funktion muodot ovat mahdollisia, mutta tämä, kuten pian näemme, on erityisen kätevä.

Jotta "pisteemme äärettömyydessä" vastaisivat koordinaattien lopullisia arvoja, molemmat ja o tulisi korvata sellaisilla parametreilla,

Muuttujien ja vaihtelurajat on esitetty kuvissa 9.1, jossa jokainen piste edustaa 2-sädepalloa Pystyviiva vastaa avaruudellista origoa ja edustaa vain koordinaattien singulaarisuutta. Sama aika-avaruus tällä viivalla (ja kaikkialla) on tietysti ei-singulaarinen. Vinot viivat edustavat Minkowski-avaruuden (isotrooppista) ääretöntä (merkitty symboleilla) (koska nämä viivat vastaavat arvoja, mutta metriikka (9.1.5) on tietysti ihanteellisesti säännöllinen näillä viivoilla. Voimme odottaa, että aika-avaruus

Riisi. 9.1. Avaruutta M vastaava avaruuden alue. Suora tarkoittaa ja on pallosymmetria-akseli.

ja sen mittari ei ole yksittäinen edes näiden alueiden ulkopuolella. Pystyviiva on myös täsmälleen samaa tyyppiä oleva koordinaattisingulariteetti kuin suora. Koko pystysuoralla nauhalla voidaan määritellä aika-avaruus, jonka globaali rakenne vastaa avaruuden kaltaisen 3-pallon ja äärettömän aikaviivan tuloa (" Einsteinin staattinen universumi"). Tämän vahvistamiseksi valitsemme uudet koordinaatit

Tämän mittarin kiharasuluissa oleva osa on yksikön 3-pallon metriikka.

Alkuperäisen Minkowski-avaruuden mukaista aika-avaruuden osaa voidaan pitää pisteiden valokartioiden välissä olevana tilana Pisteellä on koordinaatit ja pisteellä on koordinaatit Tämä osa "kiertyy" ympäri

Riisi. 9.2. Einsteinin sylinterin alue, joka vastaa tilaa M.

ja sulkeutuu "takapuolelle" yhteen pisteeseen, jossa on koordinaatit. Huomaa, että pisteessä a tämä tarkoittaa, että pistettä tulee pitää yhtenä pisteenä, ei 2-pallona. Tarkasteltava tilanne on esitetty kuvassa. 9.2, jossa kaksi ulottuvuutta pudotetaan. Kahden Minkowskin tila on neliön sisäosan mukainen (kuvattu 45° kallistettuna). Tämä neliö kiertyy sylinterin ympärille, joka on kaksiulotteinen versio Einsteinin staattisesta universumista. Puuttuvien mittojen huomioiminen ei muuta mitään olennaisesti. Pisteen lähellä kiinnostava alue on pisteeseen liittyvässä tulevaisuuden valokartiossa. Tämä valokartio (eli pisteestä tulevaisuuteen menevien säteiden "pyyhkäisemä" piste) on fokusoitu takapuolelle Einsteinin universumin yhdessä pisteessä (joka avaruudessa suhteessa diametraalisesti vastakkaiseen pisteeseen Lähellä kiinnostavaa pistettä; meille alue (Minkowskin avaruus) ulottuu avaruuden kaltaisiin suuntiin Tulevaisuuden valokartiosta, sillä piste keskittyy jälleen yhteen pisteeseen spatiaalinen sijainti

Ensinnäkin huomaamme, että projektiivisella tasolla, toisin kuin euklidisella tasolla, ei ole ääretöntä laajennusta. Selvitetään, mikä ero niiden välillä on, ja toisaalta, miten ne liittyvät toisiinsa? Selvitetään tätä varten, mitä euklidisen tason paikkoja käytetään projektitiivisessa geometriassa. Projektiivinen geometria perustuu omaan aksioomijärjestelmäänsä. Ja vaikka loogiset rakenteet aksiomaattiselle perustalle ovat loistava esimerkki matemaattisesta menetelmästä, euklidisesta geometriasta erotettuna tällainen projektiivisen geometrian esitys on liian abstrakti. Siksi konkreettisuuden ja selkeyden vuoksi on suositeltavaa edetä euklidisen tason mallista.

Tiedetään, että suora euklidisella tasolla jatkuu molempiin suuntiin loputtomasti ja että suoran pisteiden ja kaikkien reaalilukujen välille voidaan muodostaa yksi yhteen vastaavuus, jossa pisteiden luonnollinen järjestys suora vastaa numeroiden järjestystä niiden suuruudessa.

Täydennetään nyt suoraa "vasemmalle ja oikealle" samalla ehdollisella pisteellä, jota kutsumme äärettömän pisteeksi.

On selvää, että herää epäilys - onko mahdollista puhua olemattomien kohtien todellisuudesta? Nykyaikaisissa teorioissa tämä tapahtuu kuitenkin usein. Joten esimerkiksi vaikka reaalilukujen joukossa ei olekaan äärettömän suuria lukuja, matemaattisessa analyysissä symbolia totuus ei käytetä lukuna, vaan ilmaisemaan rajatonta kasvua. (Samassa merkityksessä symbolia käytetään trigonometristen funktioiden yhteydessä.) Kun tavalliseen suoraan on lisätty äärettömän kaukana oleva piste, "valmis" suora sulkeutuu. Lisätään nyt: jokainen tavallinen suora äärettömyydessä olevaa pistettä pitkin, ja olemme yhtä mieltä siitä, että kun suorat ovat yhdensuuntaisia, niin niihin lisätyt pisteet ovat samat, kun suorat eivät ole yhdensuuntaisia, niin niiden pisteet äärettömyydessä ovat erilaisia.

Kaksi euklidisessa tasossa leikkaavaa suoraa leikkaavat tavallisessa pisteessä, eivätkä näiden suorien äärettömyydessä olevat pisteet kohtaa. Siksi tässä uudessa geometriassa ei ole yhdensuuntaisia ​​suoria, joka toinen suora on

leikkaavat yhdessä pisteessä. Tavanomaisessa geometriassa toistensa suuntaisten suorien perheellä on yksi yhteinen piste äärettömyydessä, kun taas vastakkaisiin suuntiin olevilla viivoilla on eri pisteet äärettömässä. Tässä suhteessa äärettömyydessä on äärettömän monta pistettä.

Näiden äärettömyyden pisteiden joukko, jälleen määritelmän mukaan, muodostaa yhden niin kutsutun suoran äärettömyydessä

Siten saadaan geometria, jossa yksi äärettömässä oleva suora lisätään euklidiseen tasoon.

Pohjimmiltaan tämä geometria ei ole vielä kovin erilainen kuin euklidinen geometria. Kahden suoran yhdensuuntaisuutta koskevan väitteen sijaan esitetään väite niiden leikkauspisteestä äärettömän kaukana olevassa pisteessä.

Projektiivisessa geometriassa hyväksytyt perusaksioomat väittävät, että kaksi pistettä määrittelee yhden suoran (jos molemmat pisteet ovat äärettömässä, niin ne määrittelevät suoran äärettömyydessä ja että kaksi suoraa leikkaa aina yhdessä pisteessä. Ja vaikka näiden kahden aksiooman ehdot ovat erittäin tärkeitä , mutta niin kauan kuin jaamme

Jotkut pisteet yhdeksi viivaksi äärettömyydessä, emme käytännössä muuta euklidisen geometrian olemusta emmekä tuo mitään uutta geometriaan.

- (englanniksi kokoontumispiste) yksi esoteerisen ajattelijan ja mystikko Carlos Castanedan kirjoissaan käyttämistä peruskäsitteistä. Yksi ihmisluonnon dramaattisimmista piirteistä on kauhea yhteys ... Wikipedia

Funktion kuvaaja, jonka raja, kun argumentti pyrkii äärettömyyteen, on yhtä suuri kuin L. Funktion raja on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Funktiolla f (x) on raja A pisteessä x0, jos kaikille x:n arvoille riittävän lähellä x0, ... ... Wikipedia

Pisteet tästä. Katso myös singulaaripiste (differentiaaliyhtälöt). Ominaisuus tai singulaarisuus matematiikassa on piste, jossa matemaattista objektia (yleensä funktiota) ei ole määritelty tai sillä on epäsäännöllinen toiminta (esimerkiksi piste, jossa ... ... Wikipedia

Erikoiskohdat viittaavat tähän. Katso myös singulaaripiste (differentiaaliyhtälöt). Ominaisuus tai singulaarisuus matematiikassa on piste, jossa matemaattista objektia (yleensä funktiota) ei ole määritelty tai se käyttäytyy epäsäännöllisesti (esim... ... Wikipedia

- ∞ Termi ääretön vastaa useita eri käsitteitä riippuen sovellusalueesta, olipa kyseessä sitten matematiikka, fysiikka, filosofia, teologia tai arkielämä. Finitismi kieltää äärettömyyden käsitteen. Ääretön enemmistössä ... ... Wikipedia

Lämpötila (noin 2,17 K), jonka alapuolella nestemäinen helium (helium I) siirtyy superfluiditeettitilaan (helium II). Tarkemmin sanottuna on alempi lambda-piste (lämpötilassa 2,172 K ja 0,0497 atm) ja ylempi lambda-piste (lämpötilassa 1,76 K ja 29,8 atm). ... ... Wikipedia

1) Kvanttijärjestyspiste on sellainen kompleksitason piste, jossa funktio f(z) on säännöllinen ja sen derivaatalla f(z) on m kertaluvun nolla, missä m on luonnollinen luku. Toisin sanoen K. t. määritetään ehdoilla: Äärettömän etäinen K. t. ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Analyyttinen toiminto on kohta, jossa analyyttisyysehtoja rikotaan. Jos analyyttinen funktio f(z) on määritelty jossain pisteen z0 ympäristössä kaikkialla… Fyysinen tietosanakirja

Kompleksisen ajan differentiaaliyhtälöiden teoriassa pistettä kutsutaan lineaarisen differentiaaliyhtälön fuksialaiseksi singulaariseksi pisteeksi, jos järjestelmämatriisissa A(t) on ensimmäisen kertaluvun napa. Tämä on yksinkertaisin mahdollinen ominaisuus ... ... Wikipedia

Väärä satulan piste, liikeradan sijaintityyppi dynaaminen. järjestelmät. He sanovat, että se on dynaaminen. systeemissä ft (tai toisin sanoen f (, p), katso ) annettuna, on S. b:ssä, jos on pisteitä ja lukuja siten, että sekvenssit konvergoivat, ja ... Matemaattinen tietosanakirja

Apolloniuksen tehtävänä on rakentaa kolmea annettua ympyrää tangentti ympyrä kompassin ja suoraviivan avulla. Legendan mukaan ongelman muotoili Apollonius Pergalainen noin vuonna 220 eaa. e. kirjassa "Touch", joka katosi ... Wikipedia

Kirjat

• , David Deutsch. Lainaus "... Edistyksellä ei välttämättä tarvitse olla loppua, mutta sillä on aina lähtökohta - syy, miksi se alkoi, tapahtuma, joka vaikutti siihen, tai välttämätön ...
• äärettömyyden alku. Selitykset, jotka muuttavat maailmaa, David Deutsch. Lainaus `... Edistyksellä ei välttämättä tarvitse olla loppua, mutta sillä on aina lähtökohta - syy, jolle se alkoi, tapahtuma, joka vaikutti siihen, tai välttämätön ...

Jos jokin jono konvergoi äärelliseksi luvuksi a, niin kirjoitetaan
.
Aiemmin otimme huomioon äärettömän suuret sekvenssit. Hyväksyimme niiden konvergenssin ja merkitsimme niiden rajat symboleilla ja . Nämä symbolit edustavat pisteitä äärettömyyteen. Ne eivät kuulu reaalilukujen joukkoon. Mutta rajan käsite mahdollistaa tällaisten pisteiden esittelyn ja tarjoaa työkalun niiden ominaisuuksien tutkimiseen reaalilukujen avulla.

Määritelmä
äärettömyyden piste, tai etumerkitön ääretön, on raja, jota kohti äärettömän suuri sekvenssi pyrkii.
piste äärettömässä plus äärettömässä, on raja, jota kohti äärettömän suuri positiivisia termejä sisältävä sarja pyrkii.
piste äärettömyydessä miinus äärettömyys, on raja, jota kohti äärettömän suuri negatiivisten termien sarja pyrkii.

Minkä tahansa reaaliluvun a kohdalla seuraavat epäyhtälöt pätevät:
;
.

Esittelimme käsitteen käyttämällä reaalilukuja äärettömän pisteen läheisyydessä.
Pisteen lähialue on joukko .
Lopuksi pisteen lähialue on asetettu .
Tässä M on mielivaltainen, mielivaltaisen suuri reaaliluku.

Näin ollen olemme laajentaneet reaalilukujen joukkoa ottamalla siihen uusia elementtejä. Tässä suhteessa tapahtuu seuraava määritelmä:

Laajennettu numerorivi tai laajennettu joukko reaalilukuja kutsutaan joukoksi reaalilukuja, joita täydennetään elementeillä ja:
.

Ensin kirjoitetaan muistiin ominaisuudet, jotka pisteitä ja ovat. Seuraavaksi tarkastelemme kysymystä näiden pisteiden operaatioiden tiukasta matemaattisesta määritelmästä ja näiden ominaisuuksien todistamisesta.

Pisteiden ominaisuudet äärettömässä

Summa ja ero.
; ;
; ;

Työ ja yksityinen.
; ; ;
;
;
; ; .

Yhteys todellisiin lukuihin.
Olkoon a mielivaltainen reaaliluku. Sitten
; ;
; ; ; .
Anna a > 0 . Sitten
; ; .
Anna a < 0 . Sitten
; .

Määrittämättömät toiminnot.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Todisteet äärettömän pisteiden ominaisuuksille

Matemaattisten operaatioiden määritelmä

Olemme jo antaneet määritelmät pisteille äärettömässä. Nyt meidän on määriteltävä niille matemaattiset operaatiot. Koska olemme määrittäneet nämä pisteet jaksoina, myös näiden pisteiden toiminnot on määriteltävä sekvenssien avulla.

Niin, kahden pisteen summa
c = a + b
jotka kuuluvat reaalilukujen laajennettuun joukkoon,
,
kutsumme rajaa
,
missä ja ovat mielivaltaisia ​​sekvenssejä, joilla on rajat
ja .

Vähennys-, kerto- ja jakooperaatiot määritellään samalla tavalla. Ainoastaan ​​jakamisen yhteydessä murtoluvun nimittäjässä olevat alkiot eivät saa olla nollaa.
Sitten kahden pisteen ero:
on raja: .
Pistetuote:
on raja: .
Yksityinen:
on raja: .
Tässä ja ovat mielivaltaisia ​​sekvenssejä, joiden rajat ovat a ja b, vastaavasti. Jälkimmäisessä tapauksessa .

Kiinteistöjen todisteet

Todistaaksemme äärettömän pisteiden ominaisuudet, meidän on käytettävä äärettömän suurten sekvenssien ominaisuuksia.

Harkitse kiinteistöä:
.
Todistaaksemme sen meidän on osoitettava se
,

Toisin sanoen meidän on todistettava, että kahden sekvenssin summa, jotka konvergoivat plus äärettömyyteen, konvergoi plus äärettömyyteen.

1 seuraavat epätasa-arvot pätevät:
;
.
Sitten ja meillä on:
.
Päästää . Sitten
klo ,
missä .
Se tarkoittaa, että .

Muut ominaisuudet todistetaan samalla tavalla. Esitämme esimerkkinä vielä yhden todisteen.

Todistakaamme, että:
.
Tämän tekemiseksi meidän on näytettävä se
,
missä ja ovat mielivaltaisia ​​sekvenssejä, joissa on rajat ja .

Toisin sanoen meidän on todistettava, että kahden äärettömän suuren sekvenssin tulo on äärettömän suuri sarja.

Todistetaan se. Koska ja , silloin on joitakin funktioita ja , joten mille tahansa positiiviselle luvulle M 1 seuraavat epätasa-arvot pätevät:
;
.
Sitten ja meillä on:
.
Päästää . Sitten
klo ,
missä .
Se tarkoittaa, että .

Määrittämättömät toiminnot

Joitakin matemaattisia operaatioita, joiden pisteet ovat äärettömässä, ei ole määritelty. Niiden määrittämättömyyden osoittamiseksi meidän on annettava pari erikoistapausta, joissa operaation tulos riippuu niihin sisältyvien sekvenssien valinnasta.

Harkitse tätä toimenpidettä:
.
On helppo osoittaa, että jos ja, niin sekvenssien summan raja riippuu sekvenssien valinnasta ja .

Todellakin, otetaan. Näiden sekvenssien rajat ovat samat. Määräraja

on yhtä kuin ääretön.

Otetaan nyt. Myös näiden sekvenssien rajat ovat samat. Mutta niiden summan raja

on yhtä kuin nolla.

Eli jos ja , summarajan arvo voi saada eri arvoja. Siksi toimintaa ei ole määritelty.

Samalla tavalla voidaan osoittaa muiden edellä esitettyjen operaatioiden epävarmuus.

Määritelmä
Jakso (βn) kutsutaan äärettömäksi sekvenssiksi, jos jollekin mielivaltaisen suurelle luvulle M , on olemassa luonnollinen luku N M , riippuen M , niin että kaikille luonnollisille luvuille n > N M , epäyhtälö
|β n | > M.
Tässä tapauksessa kirjoita
.
Tai klo.
He sanovat, että se pyrkii äärettömyyteen tai suppenee äärettömään.

Jos , alkaen jostain numerosta N 0 , sitten
( suppenee plus äärettömään).
Jos sitten
( suppenee miinus äärettömään).

Kirjoitamme nämä määritelmät olemassaolon ja universaalisuuden loogisilla symboleilla:
(1) .
(2) .
(3) .

Rajat (2) ja (3) sisältävät sekvenssit ovat äärettömän suuren sekvenssin (1) erikoistapauksia. Näistä määritelmistä seuraa, että jos sekvenssin raja on plus tai miinus ääretön, niin se on myös yhtä suuri kuin ääretön:
.
Käänteinen ei tietenkään pidä paikkaansa. Sekvenssijäsenillä voi olla vuorottelevia merkkejä. Tässä tapauksessa raja voi olla yhtä suuri kuin ääretön, mutta ilman varmaa merkkiä.

Huomaa myös, että jos tietty ominaisuus pätee mielivaltaiselle sekvenssille, jonka raja on ääretön, niin sama ominaisuus pätee sekvenssille, jonka raja on plus tai miinus ääretön.

Monissa laskennan oppikirjoissa äärettömän suuren sekvenssin määritelmä sanoo, että luku M on positiivinen: M > 0 . Tämä vaatimus on kuitenkin tarpeeton. Jos se peruutetaan, ei synny ristiriitoja. Pelkät pienet tai negatiiviset arvot eivät kiinnosta meitä. Olemme kiinnostuneita sekvenssin käyttäytymisestä mielivaltaisen suurille positiivisille M:n arvoille. Siksi, jos tarvetta ilmenee, niin M voidaan rajoittaa alhaalta millä tahansa annetulla luvulla a, eli oletetaan, että M > a.

Kun määritimme ε - loppupisteen lähialueen, niin vaatimus ε > 0 on tärkeä. Negatiivisten arvojen kohdalla eriarvoisuus ei voi päteä ollenkaan.

Pisteiden naapurustot äärettömässä

Kun tarkastelimme äärellisiä rajoja, otimme käyttöön pisteen ympäristön käsitteen. Muista, että päätepisteen lähialue on avoin väli, joka sisältää tämän pisteen. Voimme myös ottaa käyttöön käsitteen äärettömyyden pisteiden lähialueet.

Olkoon M mielivaltainen luku.
"äärettömyyden" pisteen lähialue, , kutsutaan joukoksi.
Pisteen lähialue "plus ääretön", , kutsutaan joukoksi.
Pisteen "miinus ääretön" lähialue, , kutsutaan joukoksi.

Tarkkaan ottaen pisteen "ääretön" lähialue on asetettu
(4) ,
missä M 1 ja M 2 ovat mielivaltaisia ​​positiivisia lukuja. Käytämme ensimmäistä määritelmää, koska se on yksinkertaisempi. Tosin kaikki alla sanottu pitää paikkansa myös määritelmää (4) käytettäessä.

Voimme nyt antaa yhtenäisen määritelmän sekvenssin rajalle, joka koskee sekä äärellisiä että äärettömiä rajoja.

Sekvenssirajan yleinen määritelmä.
Piste a (äärellinen tai äärettömässä) on sekvenssin raja, jos jollakin tämän pisteen lähistöllä on luonnollinen luku N siten, että kaikki numeroineen sekvenssin alkiot kuuluvat tähän naapuriin.

Siten jos raja on olemassa, niin pisteen a ympäristön ulkopuolella voi olla vain äärellinen määrä jonon jäseniä tai tyhjä joukko. Tämä ehto on välttämätön ja riittävä. Tämän ominaisuuden todiste on täsmälleen sama kuin äärellisillä rajoilla.

Suppenevan sekvenssin naapuriominaisuus
Jotta piste a (äärellinen tai äärettömässä) olisi sekvenssin raja, on välttämätöntä ja riittävää, että tämän pisteen minkä tahansa lähialueen ulkopuolella on äärellinen määrä sekvenssin jäseniä tai tyhjä joukko.
Todiste .

Joskus esitellään myös käsitteitä ε - äärettömän kaukana olevien pisteiden lähialueet.
Muista, että loppupisteen a ε-naapuri on joukko.
Otetaan käyttöön seuraava merkintä. Olkoon ε - pisteen a lähialue. Sitten loppupisteeseen,
.
Pisteille äärettömyydestä:
;
;
.
Käyttämällä käsitteitä ε - lähialueet, voidaan antaa yksi universaali määritelmä sekvenssin rajalle:

Piste a (äärellinen tai äärettömässä) on sekvenssin raja millä tahansa positiivisella luvulla ε > 0 on olemassa luonnollinen luku N ε riippuen ε:stä siten, että kaikille luvuille n > N ε termit x n kuuluvat pisteen a ε-naapuriin:
.

Käyttämällä olemassaolon ja universaalisuuden loogisia symboleja tämä määritelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:
.

Esimerkkejä äärettömän suurista sarjoista

Tarkastelemme ensin kolmea yksinkertaista samanlaista esimerkkiä ja ratkaisemme sitten monimutkaisemman.

Esimerkki 1

.

.
Kirjoitamme äärettömän suuren sekvenssin määritelmän:
(1) .
Meidän tapauksessamme
.

Esittelemme numerot ja yhdistämme ne epäyhtälöihin:
.
Epäyhtälöiden ominaisuuksien mukaan Jos ja , Sitten
.
Huomaa, että kun tämä epäyhtälö pätee mille tahansa n:lle. Voit siis valita näin:
osoitteessa ;
osoitteessa .

Joten jokaiselle voidaan löytää luonnollinen luku, joka tyydyttää epätasa-arvon. Siis kaikille
.
Se tarkoittaa sitä . Eli sarja on äärettömän suuri.

Esimerkki 2

Osoita se käyttämällä äärettömän suuren sekvenssin määritelmää
.

(2) .
Annetun sekvenssin yhteinen termi on muotoa:
.

Syötä numerot ja:
.
.

Silloin kenelle tahansa voidaan löytää luonnollinen luku, joka tyydyttää epätasa-arvon, niin että kaikille
.
Se tarkoittaa sitä .

.

Esimerkki 3

Osoita se käyttämällä äärettömän suuren sekvenssin määritelmää
.

Kirjoita miinus äärettömän sekvenssin rajan määritelmä:
(3) .
Annetun sekvenssin yhteinen termi on muotoa:
.

Syötä numerot ja:
.
Tämä osoittaa, että jos ja , sitten
.

Koska kenelle tahansa voi löytää luonnollisen luvun, joka täyttää epätasa-arvon , niin
.

Koska , N:nä, voit ottaa minkä tahansa luonnollisen luvun, joka täyttää seuraavan epäyhtälön:
.

Esimerkki 4

Osoita se käyttämällä äärettömän suuren sekvenssin määritelmää
.

Kirjoitetaan sekvenssin yhteinen termi:
.
Kirjataan muistiin sekvenssin rajan määritelmä, joka on yhtä suuri kuin ääretön:
(2) .

Koska n on luonnollinen luku, n = 1, 2, 3, ... , sitten
;
;
.

Esittelemme luvut ja M , yhdistäen ne epäyhtälöillä:
.
Tämä osoittaa, että jos ja , sitten
.

Joten mille tahansa luvulle M voit löytää luonnollisen luvun, joka täyttää epäyhtälön . Siis kaikille
.
Se tarkoittaa sitä .

Viitteet:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.