GEOMETRIA
Tuntisuunnitelmat luokille 10

Oppitunti 56

Aihe. Monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala

Oppitunnin tarkoitus: monikulmion ortogonaalisen projektion alueen lauseen tutkiminen, opiskelijoiden taitojen muodostaminen soveltaa tutkittua lausetta ongelmien ratkaisemiseen.

Varusteet: stereometriset sarjat, kuutiomalli.

Tuntien aikana

I. Kotitehtävien tarkistaminen

1. Kaksi opiskelijaa toistaa taululle tehtävien nro 42, 45 ratkaisut.

2. Frontaalikuulustelu.

1) Määritä kahden leikkaavan tason välinen kulma.

2) Mikä on kulma näiden välillä:

a) yhdensuuntaiset tasot;

b) kohtisuorat tasot?

3) Kuinka paljon kahden tason välinen kulma voi muuttua?

4) Onko totta, että taso, joka leikkaa yhdensuuntaisia ​​tasoja, leikkaa ne samoissa kulmissa?

5) Onko totta, että taso, joka leikkaa kohtisuorat tasot, leikkaa ne samoissa kulmissa?

3. Opiskelijoiden taululle luomien tehtävien nro 42, 45 ratkaisun oikeellisuuden tarkistaminen.

II. Uuden materiaalin havainnointi ja tietoisuus

Tehtävä opiskelijoille

1. Osoita, että kolmion projektiopinta-ala, jonka toinen sivu on projektiotasossa, on yhtä suuri kuin sen pinta-alan ja monikulmion tason ja projektiotason välisen kulman kosinin tulo.

2. Todista lause tapaukselle, jossa hilakolmion toinen sivu on yhdensuuntainen projektiotason kanssa.

3. Todista lause tapaukselle, jossa hilakolmion yksikään sivu ei ole yhdensuuntainen projektiotason kanssa.

4. Todista minkä tahansa monikulmion lause.

Ongelmanratkaisu

1. Etsi monikulmion, jonka pinta-ala on 50 cm2 ja monikulmion tason ja sen projektion välinen kulma on 60°, ortogonaalisen projektion pinta-ala.

2. Laske monikulmion pinta-ala, jos tämän monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala on 50 cm2 ja monikulmion tason ja sen projektion välinen kulma on 45°.

3. Monikulmion pinta-ala on 64 cm2 ja ortogonaalisen projektion pinta-ala on 32 cm2. Etsi monikulmion tasojen ja sen projektion välinen kulma.

4. Tai ehkä monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän monikulmion pinta-ala?

5. Kuution reuna on a. Etsi kuution poikkileikkausala tasosta, joka kulkee pohjan yläosan läpi 30° kulmassa tähän alustaan ​​nähden ja leikkaa kaikki sivureunat. (Vastaus.)

6. Tehtävä nro 48 (1, 3) oppikirjasta (s. 58).

7. Tehtävä nro 49 (2) oppikirjasta (s. 58).

8. Suorakulmion sivut ovat 20 ja 25 cm, ja sen projektio tasoon on samanlainen kuin se. Etsi projektion ympärysmitta. (Vastaus. 72 cm tai 90 cm.)

III. Kotitehtävät

§4, nro 34; turvakysymys nro 17; tehtävät nro 48 (2), 49 (1) (s. 58).

IV. Yhteenveto oppitunnista

Kysymys luokalle

1) Muotoile lause monikulmion ortogonaalisen projektion alueesta.

2) Voiko monikulmion ortogonaalisen projektion pinta-ala olla suurempi kuin monikulmion pinta-ala?

3) Suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusan AB kautta piirretään taso α, joka on 45° kulmassa kolmion tasoon nähden ja kohtisuorassa CO tasoon α nähden. AC \u003d 3 cm, BC \u003d 4 cm. Ilmoita, mitkä seuraavista väittämistä ovat oikein ja mitkä väärin:

a) tasojen ABC ja α välinen kulma on yhtä suuri kuin kulma CMO, jossa piste H on kolmion ABC korkeuden CM kanta;

b) SD = 2,4 cm;

c) kolmio AOC on kolmion ABC ortogonaalinen projektio tasolle α;

d) kolmion AOB pinta-ala on 3 cm2.

(Vastaus. a) Oikein; b) väärin; c) väärin; d) oikein.)

Geometrian ongelmissa menestys ei riipu vain teorian tuntemuksesta, vaan laadukkaasta piirustuksesta.
Litteissä piirustuksissa kaikki on enemmän tai vähemmän selvää. Mutta stereometriassa tilanne on monimutkaisempi. Loppujen lopuksi se on kuvattava kolmiulotteinen runko päällä tasainen piirtämistä ja siten, että sekä sinä itse että piirustustasi katsova näkisit saman kolmiulotteisen kehon.

Kuinka tehdä se?
Tietenkin mikä tahansa kuva kolmiulotteisesta kappaleesta tasossa on ehdollinen. On kuitenkin olemassa tietyt säännöt. On olemassa yleisesti hyväksytty tapa tehdä piirustuksia − rinnakkainen projektio.

Otetaan kiinteä runko.
Valitaan projektiotaso.
Tilavuuskappaleen jokaisen pisteen läpi vedämme suoria viivoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​​​toistensa kanssa ja leikkaavat projektiotasoa jossain kulmassa. Jokainen näistä viivoista leikkaa projektiotason jossain pisteessä. Yhdessä nämä pisteet muodostuvat projektio tilavuuskappale tasossa, eli sen litteä kuva.

Kuinka rakentaa tilavuuskappaleiden projektiota?
Kuvittele, että sinulla on kolmiulotteisen kappaleen runko - prisma, pyramidi tai sylinteri. Valaisemalla sitä rinnakkaisella valonsäteellä saamme kuvan - varjon seinälle tai näytölle. Huomaa, että erilaisia ​​kuvia saadaan eri kulmista, mutta joitain kuvioita on silti olemassa:

Jakson projektio on segmentti.

Tietenkin, jos segmentti on kohtisuorassa projektiotasoon nähden, se näytetään yhdessä pisteessä.

Yleisessä tapauksessa ympyrän projektio on ellipsi.

Suorakulmion projektio on suuntaviiva.

Kuution projektio tasoon näyttää tältä:

Tässä etu- ja takapinnat ovat yhdensuuntaiset projektiotason kanssa

Voit tehdä sen toisin:

Minkä kulman valitsemmekin, rinnakkaisten segmenttien projektiot piirustuksessa ovat myös yhdensuuntaisia ​​segmenttejä. Tämä on yksi rinnakkaisprojektion periaatteista.

Piirrämme pyramidin projektioita,

sylinteri:

Jälleen kerran toistamme rinnakkaisen projektion perusperiaatteen. Valitsemme projektiotaso ja piirrämme toistensa suuntaiset suorat tilavuuskappaleen jokaisen pisteen läpi. Nämä viivat leikkaavat projektiotason jossain kulmassa. Jos tämä kulma on 90°, se on suorakaiteen muotoinen projektio. Suorakaiteen muotoisen projektion avulla rakennetaan piirustuksia tekniikan kolmiulotteisista osista. Tässä tapauksessa puhumme ylhäältä, edestä ja sivukuvasta.

Yksityiskohtainen todiste monikulmion ortogonaalista projektiolauseesta

Jos - asunnon projektio n -kulmio tasoon, missä on monikulmion tasojen välinen kulma ja. Toisin sanoen litteän monikulmion projektioalue on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion alueen ja projektiotason ja projisoidun monikulmion tason välisen kulman kosinin tulo.

Todiste. minä vaiheessa. Todistetaan ensin kolmio. Tarkastellaan 5 tapausta.

1 tapaus. makaa projektiotasolla .

Antaa olla projektiot pisteitä koneeseen, vastaavasti. Meidän tapauksessamme. Oletetaan, että. Olkoon - korkeus, niin kolmen kohtisuoran lauseella voimme päätellä, että - korkeus (- kallistuksen projektio, - sen kanta ja suora kulkee lisäksi kaltevan kannan läpi).

Harkitse. Se on suorakaiteen muotoinen. Kosinin määritelmän mukaan:

Toisaalta, koska ja on siis määritelmän mukaan tasojen puolitasojen ja rajaviivan kanssa muodostaman dihedraalisen kulman lineaarinen kulma, ja siksi sen mitta on myös välisen kulman mitta. kolmion projektiotasot ja itse kolmio, eli.

Etsi alueen suhde:

Huomaa, että kaava pysyy tosi, vaikka . Tässä tapauksessa

2. tapaus. Se sijaitsee vain projektiotasossa ja on yhdensuuntainen projektiotason kanssa .

Antaa olla projektiot pisteitä koneeseen, vastaavasti. Meidän tapauksessamme.

Piirretään suora viiva pisteen läpi. Meidän tapauksessamme suora leikkaa projektiotason, mikä tarkoittaa, että lemman mukaan suora leikkaa myös projektiotason. Olkoon se pisteessä Koska, silloin pisteet sijaitsevat samassa tasossa, ja koska se on yhdensuuntainen projektiotason kanssa, niin suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkistä seuraa, että. Siksi on suuntaviiva. Harkitse ja. Ne ovat yhtä suuret kolmella sivulla (- yhteiset, kuten suunnikkaan vastakkaiset sivut). Huomaa, että nelikulmio on suorakulmio ja on yhtä suuri (jalkaa ja hypotenuusa pitkin), joten se on yhtä suuri kolmelta sivulta. Siksi.

Yhteen tapaukseen sovelletaan: eli

3 tapaus. Se sijaitsee vain projektiotasossa eikä ole yhdensuuntainen projektiotason kanssa .

Olkoon piste suoran leikkauspiste projektiotason kanssa. Huomattakoon, että i. 1 kertaa: i. Näin saamme sen

4 tapausta. Huippupisteet eivät sijaitse projektiotasossa . Harkitse kohtisuoraa. Ota pienin näistä kohtisuorasta. Olkoon se kohtisuorassa. Voi käydä niin, että joko vain tai vain. Otetaan se sitten silti.

Laitetaan syrjään piste janan pisteestä niin, että ja janan pisteestä piste, niin että. Tällainen rakenne on mahdollinen, koska - pienin kohtisuorasta. Huomaa, että se on projektio ja rakenteeltaan. Todistakaamme tämä ja olemme tasa-arvoisia.

Tarkastellaan nelikulmiota. Ehdolla - kohtisuorat yhteen tasoon, siis lauseen mukaan, siis. Koska rakentamalla, niin suunnikkaan perusteella (samansuuntaisilla ja yhtäläisillä vastakkaisilla puolilla) voimme päätellä, että - suuntaviiva. Tarkoittaa,. Samoin on todistettu, että . Siksi ja ovat yhtä suuret kolmelta puolelta. Niin. Huomaa, että ja suunnikkaan vastakkaisina puolina, siis tasojen yhdensuuntaisuuden perusteella . Koska nämä tasot ovat yhdensuuntaisia, ne muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.

Edellisiin tapauksiin sovelletaan:

5 tapausta. Projektitaso leikkaa sivut . Katsotaan suoria linjoja. Ne ovat kohtisuorassa projektiotasoon nähden, joten lauseen mukaan ne ovat yhdensuuntaisia. Yhteissuunnatuissa säteissä, joiden origo on pisteissä, jätämme sivuun vastaavasti yhtäläiset segmentit, jotta kärjet ovat projektiotason ulkopuolella. Huomaa, että se on projektio ja rakenteeltaan. Osoitetaan, että se on tasa-arvoinen.

Siitä lähtien ja rakentamisen myötä. Siksi suunnikkaan perusteella (kahdella yhtä suurella ja yhdensuuntaisella sivulla) - suunnikka. Voidaan todistaa samalla tavalla, että ja ovat suunnikkaat. Mutta sitten ja (vastakkaisina puolina) on siis yhtä suuri kolmella sivulla. Tarkoittaa,.

Lisäksi ja siksi tasojen yhdensuuntaisuuden perusteella. Koska nämä tasot ovat yhdensuuntaisia, ne muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.

Sovellettava tapaus 4:.

II vaiheessa. Jaetaan tasainen monikulmio kolmioiksi käyttämällä kärjestä vedettyjä diagonaaleja: Sitten edellisten kolmioiden tapausten mukaisesti: .

Q.E.D.

IV luku. Viivoja ja tasoja avaruudessa. Polyhedra

§ 55. Monikulmion projektioalue.

Muista, että suoran ja tason välinen kulma on tietyn suoran ja sen tasoon projektion välinen kulma (kuva 164).

Lause. Monikulmion tasoon kohdistuvan ortogonaalisen projektion pinta-ala on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion pinta-ala kerrottuna monikulmion tason ja projektiotason muodostaman kulman kosinilla.

Jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioihin, joiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin monikulmion pinta-ala. Siksi riittää todistamaan kolmion lause.

Anna olla /\ ABC projisoidaan tasoon R. Harkitse kahta tapausta:
a) yksi osapuolista /\ ABC on yhdensuuntainen tason kanssa R;
b) kukaan osapuolista /\ ABC ei ole rinnakkainen R.

Harkitse ensimmäinen tapaus: anna [AB] || R.

Piirrä (AB) tason läpi R 1 || R ja projisoi ortogonaalisesti /\ ABC päällä R 1 ja edelleen R(kuvio 165); saamme /\ ABC 1 ja /\ A"B"S".
Projisointiominaisuuden mukaan meillä on /\ ABC 1 /\ A"B"C" ja siksi

S /\ ABC1=S /\ A"B"C"

Piirretään _|_ ja jana D 1 C 1 . Tällöin _|_ , a = φ on tason välinen kulma /\ ABC ja lentokone R yksi . Niin

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

ja siksi S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Jatketaan harkintaa toinen tapaus. Piirrä lentokone R 1 || R tuon huipun yli /\ ABC, etäisyys, josta tasoon R pienin (olkoon se kärki A).
Suunnittelemme /\ ABC lentokoneessa R 1 ja R(kuvio 166); olkoon sen projektiot vastaavasti /\ AB 1 C 1 ja /\ A"B"S".

Anna (aurinko) p 1 = D. Sitten

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Tehtävä. Taso piirretään säännöllisen kolmiomaisen prisman kannan sivun läpi kulmassa φ = 30° kannan tasoon nähden. Etsi tuloksena olevan osan pinta-ala, jos prisman pohjan sivu a= 6 cm.

Kuvataan tämän prisman leikkaus (kuva 167). Koska prisma on säännöllinen, sen sivureunat ovat kohtisuorassa kannan tasoon nähden. tarkoittaa, /\ ABC on projektio /\ ADC, niin

Harkitse lentokonetta p ja sen leikkaava viiva . Anna olla MUTTA on mielivaltainen piste avaruudessa. Piirrä viiva tämän pisteen läpi , yhdensuuntainen linjan kanssa . Anna olla . Piste kutsutaan pisteprojektioksi MUTTA lentokoneeseen p rinnakkaisessa suunnittelussa tiettyä linjaa pitkin . Lentokone p , jolle avaruuden pisteet projisoidaan, kutsutaan projektiotasoksi.

p - projektiotaso;

- suora suunnittelu; ;

; ; ;

Ortogonaalinen muotoilu on rinnakkaissuunnittelun erikoistapaus. Ortogonaalinen projektio on yhdensuuntainen projektio, jossa projektioviiva on kohtisuorassa projektiotasoon nähden. Ortogonaalista projektiota käytetään laajalti teknisessä piirustuksessa, jossa kuva heijastetaan kolmelle tasolle - vaakasuoralle ja kahdelle pystysuoralle.

Määritelmä: Pisteen ortografinen projektio M lentokoneeseen p nimeltään tukikohta M 1 kohtisuorassa MM 1, laskettu pisteestä M lentokoneeseen p.

Nimitys: , , .

Määritelmä: Kuvan ortografinen projektio F lentokoneeseen p on joukko tason kaikkia pisteitä, jotka ovat ortogonaalisia projektioita kuvion pistejoukosta F lentokoneeseen p.

Ortogonaalisella suunnittelulla, rinnakkaisen suunnittelun erikoistapauksena, on samat ominaisuudet:

p - projektiotaso;

- suora suunnittelu; ;

1) ;

2) , .

1. Yhdensuuntaisten viivojen projektiot ovat yhdensuuntaisia.

LATAAN KUVAN PROJEKTIOALUE

Lause: Tasaisen monikulmion projektion pinta-ala tietylle tasolle on yhtä suuri kuin projisoidun monikulmion pinta-ala kerrottuna monikulmion tason ja projektiotason välisen kulman kosinilla.

Vaihe 1: Projisoitu kuva on kolmio ABC, jonka sivu AC on projektiotasolla a (samansuuntainen projektiotason a kanssa).

Annettu:

Todistaa:

Todiste:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Kolmen kohtisuoran lauseen mukaan;

ВD - korkeus; 1 D - korkeus;

5. - dihedral-kulman lineaarinen kulma;

6. ; ; ; ;

Vaihe 2: Projisoitu kuvio on kolmio ABC, jonka yksikään sivu ei ole projektiotasolla a eikä ole yhdensuuntainen sen kanssa.

Annettu:

Todistaa:

Todiste:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Vaihe 1);

5. ; ; ;

(Vaihe 1);

Vaihe: Suunniteltu hahmo on mielivaltainen monikulmio.

Todiste:

Monikulmio jaetaan yhdestä kärjestä vedetyillä diagonaaleilla äärelliseen määrään kolmioita, joista jokaiselle lause on tosi. Siksi lause pätee myös kaikkien niiden kolmioiden pinta-alojen summalle, joiden tasot muodostavat saman kulman projektiotason kanssa.

Kommentti: Todistettu lause pätee mille tahansa tasaiselle kuviolle, jota rajoittaa suljettu käyrä.

Harjoitukset:

1. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on säännöllinen kolmio, jonka sivu on a.

2. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden kulmassa, jos sen projektio on tasakylkinen kolmio, jonka sivu on 10 cm ja kanta 12 cm.

3. Etsi pinta-ala kolmiosta, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on kolmio, jonka sivut ovat 9, 10 ja 17 cm.

4. Laske puolisuunnikkaan pinta-ala, jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden, jos sen projektio on tasakylkinen puolisuunnikas, jonka suurempi kanta on 44 cm, sivu on 17 cm ja lävistäjä on 39 cm.

5. Laske säännöllisen kuusikulmion projektioala, jonka sivu on 8 cm ja jonka taso on vinossa projektiotasoon nähden.

6. Rombi, jonka sivu on 12 cm ja terävä kulma, muodostaa kulman tietyn tason kanssa. Laske rombin projektion pinta-ala tällä tasolla.

7. Rombi, jonka sivu on 20 cm ja lävistäjä 32 cm, muodostaa kulman tietyn tason kanssa. Laske rombin projektion pinta-ala tällä tasolla.

8. Katoksen projektio vaakatasossa on suorakulmio, jonka sivut ja . Selvitä kuomun pinta-ala, jos sivupinnat ovat yhtä suuret suorakulmiot, jotka ovat vinossa vaakatasoon nähden, ja kuomun keskiosa on projektiotason suuntainen neliö.

11. Harjoituksia aiheesta "Liivit ja tasot avaruudessa":

Kolmion sivut ovat 20 cm, 65 cm, 75 cm. Kolmion suuremman kulman kärjestä sen tasoon vedetään kohtisuora, jonka suuruus on 60 cm. Laske etäisyys kohtisuoran päistä suurempaan sivuun kolmiosta.

2. Tasosta cm:n etäisyydellä erotetusta pisteestä piirretään kaksi vinoa, jotka muodostavat kulmia tason kanssa, jotka ovat yhtä suuria kuin , ja keskenään - suoran kulman. Etsi kaltevan tason leikkauspisteiden välinen etäisyys.

3. Säännöllisen kolmion sivu on 12 cm. Piste M valitaan siten, että pisteen M ja kolmion kaikki kärjet yhdistävät janat muodostavat kulmia kolmion tason kanssa. Etsi etäisyys pisteestä M kolmion pisteisiin ja sivuihin.

4. Taso piirretään neliön sivun läpi kulmassa neliön lävistäjään nähden. Etsi kulmat, joissa neliön kaksi sivua ovat vinossa tasoon nähden.

5. Tasakylkinen suorakulmaisen kolmion jalka on kalteva hypotenuusan läpi kulkevaan tasoon a kulmassa. Todista, että tason a ja kolmion tason välinen kulma on .

6. Kolmioiden ABC ja DBC tasojen välinen dihedral kulma on . Etsi AD, jos AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Ohjauskysymykset aiheesta "Linjat ja tasot avaruudessa"

1. Listaa stereometrian peruskäsitteet. Muotoile stereometrian aksioomat.

2. Todista aksioomien seuraukset.

3. Mikä on kahden suoran suhteellinen sijainti avaruudessa? Määrittele leikkaavat, yhdensuuntaiset, leikkaavat suorat.

4. Todista leikkaavien suorien kriteeri.

5. Mikä on suoran ja tason suhteellinen sijainti? Määritä leikkaavat, yhdensuuntaiset suorat ja tasot.

6. Todista suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkki.

7. Mikä on näiden kahden tason suhteellinen sijainti?

8. Määrittele yhdensuuntaiset tasot. Todista kahden tason yhdensuuntaisuuden kriteeri. Muotoile lauseita yhdensuuntaisista tasoista.

9. Määritä viivojen välinen kulma.

10. Todista suoran ja tason kohtisuoran merkki.

11. Määritä kohtisuoran kanta, vinon kanta, vinon projektio tasolle. Muotoile yhdestä pisteestä tasoon lasketun kohtisuoran ja vinon ominaisuudet.

12. Määritä suoran ja tason välinen kulma.

13. Todista lause kolmella kohtisuoralla.

14. Määritä dihedraalinen kulma, dihedraalisen kulman lineaarinen kulma.

15. Todista kahden tason kohtisuoran merkki.

16. Määritä kahden eri pisteen välinen etäisyys.

17. Määritä pisteen ja suoran välinen etäisyys.

18. Määritä pisteen etäisyys tasoon.

19. Määritä suoran ja sen suuntaisen tason välinen etäisyys.

20. Määritä yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.

21. Määritä vinojen viivojen välinen etäisyys.

22. Määritä pisteen ortogonaalinen projektio tasolle.

23. Määritä kuvion ortogonaalinen projektio tasolle.

24. Muotoile projektioiden ominaisuudet tasoon.

25. Muotoile ja todista lause tasaisen monikulmion projektioalueesta.