Aiemmassa aineistossa pohdittiin derivaatan löytämistä ja esiteltiin sen erilaisia ​​sovelluksia: graafin tangentin kulmakertoimen laskeminen, optimointiongelmien ratkaiseminen, monotonisuuden ja äärimmäisyyksien funktioiden tutkiminen. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nlimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nlimits)$

Kuva 1.

Lisäksi tarkasteltiin ongelmaa hetkellisen nopeuden $v(t)$ löytämisessä käyttämällä derivaatta aiemmin tunnettua kuljettua reittiä pitkin, ilmaistuna funktiolla $s(t)$.

Kuva 2.

Käänteisongelma on myös hyvin yleinen, kun täytyy löytää ajankohdan $t$ kulkema polku $s(t)$, kun tiedetään pisteen $v(t)$ nopeus. Jos muistamme, hetkellinen nopeus $v(t)$ löytyy polkufunktion $s(t)$ derivaatana: $v(t)=s'(t)$. Tämä tarkoittaa, että käänteisen ongelman ratkaisemiseksi, eli polun laskemiseksi, on löydettävä funktio, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin nopeusfunktio. Mutta tiedämme, että polun derivaatta on nopeus, eli $s’(t) = v(t)$. Nopeus on yhtä suuri kuin kiihtyvyys kertaa aika: $v=at$. On helppo määrittää, että halutun polkufunktion muoto on $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Mutta tämä ei ole aivan täydellinen ratkaisu. Täydellinen ratkaisu on muotoa: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, jossa $C$ on jokin vakio. Miksi näin on, keskustellaan myöhemmin. Toistaiseksi tarkistetaan löydetyn ratkaisun oikeellisuus: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

On syytä huomata, että nopeuteen perustuvan polun löytäminen on antiderivaatin fyysinen merkitys.

Tuloksena olevaa funktiota $s(t)$ kutsutaan funktion $v(t)$ antiderivaataksi. Aika mielenkiintoinen ja epätavallinen nimi, eikö vain. Se sisältää suuren merkityksen, joka selittää tämän käsitteen olemuksen ja johtaa sen ymmärtämiseen. Huomaat, että se sisältää kaksi sanaa "ensimmäinen" ja "kuva". He puhuvat puolestaan. Toisin sanoen tämä on funktio, joka on meillä olevan derivaatan alkuperäinen funktio. Ja käyttämällä tätä johdannaista etsimme funktiota, joka oli alussa, oli "ensimmäinen", "ensimmäinen kuva", eli antiderivaatti. Sitä kutsutaan joskus myös primitiiviseksi funktioksi tai antiderivaatiiviseksi.

Kuten jo tiedämme, derivaatan löytämisprosessia kutsutaan differentiaatioksi. Ja antiderivaatin löytämisprosessia kutsutaan integraatioksi. Integraation operaatio on käänteinen differentiaatiooperaatiolle. Päinvastoin on myös totta.

Määritelmä. Antiderivaata funktiolle $f(x)$ tietyllä aikavälillä on funktio $F(x)$, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin tämä funktio $f(x)$ kaikille $x$ määritetyltä väliltä: $F' (x) = f (x) $.

Joku voi kysyä: mistä $F(x)$ ja $f(x)$ tulivat määritelmässä, jos alun perin puhuttiin $s(t)$:sta ja $v(t)$:sta. Tosiasia on, että $s(t)$ ja $v(t)$ ovat funktioiden nimeämisen erikoistapauksia, joilla on tässä tapauksessa erityinen merkitys, toisin sanoen ne ovat ajan funktioita ja vastaavasti nopeuden funktioita. Se on sama muuttujan $t$ kanssa - se tarkoittaa aikaa. Ja $f$ ja $x$ ovat funktion ja muuttujan yleisen nimityksen perinteinen muunnelma. Erityistä huomiota kannattaa kiinnittää antiderivaatin $F(x)$ merkintään. Ensinnäkin $F$ on pääomaa. Antijohdannaiset on merkitty isoilla kirjaimilla. Toiseksi kirjaimet ovat samat: $F$ ja $f$. Toisin sanoen funktion $g(x)$ antiderivaata merkitään $G(x)$, $z(x)$:lla $Z(x)$. Merkinnästä riippumatta säännöt antiderivatiivisen funktion löytämiselle ovat aina samat.

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä.

Esimerkki 1. Osoita, että funktio $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ on funktion $f(x)=\cos5x$ antiderivaata.

Tämän todistamiseksi käytämme määritelmää, tai pikemminkin sitä tosiasiaa, että $F'(x)=f(x)$, ja etsimme funktion $F(x)$ derivaatan: $F'(x)=( \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Tämä tarkoittaa, että $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ on $f(x)=\cos5x$:n antijohdannainen. Q.E.D.

Esimerkki 2. Selvitä, mitkä funktiot vastaavat seuraavia antiderivaatteja: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Löytääksesi tarvittavat funktiot, lasketaan niiden johdannaiset:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Esimerkki 3. Mikä on $f(x)=0$:n antijohdannainen?
Käytetään määritelmää. Mietitään, minkä funktion derivaatta voi olla yhtä suuri kuin $0$. Muistelemalla derivaattataulukkoa huomaamme, että jokaisella vakiolla on tällainen derivaatta. Havaitsemme, että etsimämme antijohdannainen on: $F(x)= C$.

Tuloksena oleva ratkaisu voidaan selittää geometrisesti ja fyysisesti. Geometrisesti se tarkoittaa, että graafin $y=F(x)$ tangentti on vaakasuora tämän kaavion jokaisessa pisteessä ja on siten yhteneväinen $Ox$-akselin kanssa. Fyysisesti se selittyy sillä, että piste, jonka nopeus on yhtä suuri kuin nolla, pysyy paikallaan, eli sen kulkema polku on muuttumaton. Tämän perusteella voimme muotoilla seuraavan lauseen.

Lause. (Merkki toimintojen pysyvyydestä). Jos jollain aikavälillä $F’(x) = 0$, niin tämän intervallin funktio $F(x)$ on vakio.

Esimerkki 4. Määritä, mitkä funktiot ovat antiderivaatat a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, missä $a$ on jokin luku.
Käyttämällä antiderivaatan määritelmää päättelemme, että tämän ongelman ratkaisemiseksi meidän on laskettava meille annettujen antiderivaatafunktioiden derivaatat. Muista laskettaessa, että vakion derivaatta eli minkä tahansa luvun derivaatta on yhtä suuri kuin nolla.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\vasen(\frac(x^7)(7) – 3\oikea)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)'= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Mitä me näemme? Useat eri funktiot ovat saman funktion primitiivejä. Tämä viittaa siihen, että millä tahansa funktiolla on äärettömän monta antiderivaatta, ja ne ovat muotoa $F(x) + C$, jossa $C$ on mielivaltainen vakio. Toisin sanoen integraation toiminta on moniarvoista, toisin kuin erilaistumisen toiminta. Muotoilkaamme tämän perusteella lause, joka kuvaa antiderivaalien pääominaisuutta.

Lause. (Antijohdannaisten tärkein ominaisuus). Olkoot funktiot $F_1$ ja $F_2$ funktion $f(x)$ antiderivaatat jollain aikavälillä. Sitten kaikille arvoille tästä intervallista on totta seuraava yhtälö: $F_2=F_1+C$, missä $C$ on jokin vakio.

Tosiasia, että on olemassa ääretön määrä antijohdannaisia, voidaan tulkita geometrisesti. Käyttämällä rinnakkaiskäännöstä pitkin $Oy$-akselia, voidaan saada toisistaan ​​graafit minkä tahansa kahden antiderivaatan $f(x)$:lle. Tämä on antiderivaatin geometrinen merkitys.

On erittäin tärkeää kiinnittää huomiota siihen, että valitsemalla vakion $C$ voit varmistaa, että antiderivaatan graafi kulkee tietyn pisteen läpi.

Kuva 3.

Esimerkki 5. Etsi antiderivaata funktiolle $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$, jonka kuvaaja kulkee pisteen $(3; 1)$ kautta.
Etsitään ensin kaikki $f(x)$:n antijohdannaiset: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Seuraavaksi löydämme luvun C, jonka kuvaaja $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ kulkee pisteen $(3; 1)$ läpi. Tätä varten korvaamme pisteen koordinaatit kuvaajayhtälössä ja ratkaisemme sen arvolla $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Saimme graafin $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, joka vastaa antiderivaavaa $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Taulukko antijohdannaisista

Taulukko kaavoista antijohdannaisten löytämiseksi voidaan laatia käyttämällä kaavoja johdannaisten löytämiseksi.

Taulukko antijohdannaisista

Toiminnot	Antijohdannaiset
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\in R$	$kirves+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctg x+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tg x+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arcctg x+C$

Voit tarkistaa taulukon oikeellisuuden seuraavalla tavalla: etsi jokaisesta oikeanpuoleisessa sarakkeessa olevasta antiderivaatajoukosta derivaatta, joka johtaa vastaavat funktiot vasempaan sarakkeeseen.

Joitakin sääntöjä antijohdannaisten löytämiseksi

Kuten tiedetään, monilla funktioilla on monimutkaisempi muoto kuin antiderivaatataulukossa esitetyt, ja ne voivat olla mikä tahansa mielivaltainen tämän taulukon funktioiden summien ja tulojen yhdistelmä. Ja tässä herää kysymys: kuinka laskea tällaisten toimintojen antijohdannaiset. Esimerkiksi taulukosta osaamme laskea antiderivaatat $x^3$, $\sin x$ ja $10$. Miten voidaan esimerkiksi laskea antiderivaata $x^3-10\sin x$? Tulevaisuudessa on syytä huomata, että se on yhtä suuri kuin $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Jos $F(x)$ on antiderivatiivi arvolle $f(x)$, $G(x)$ arvolle $g(x)$, silloin $f(x)+g(x)$:lle antiderivatiivi on yhtä suuri kuin $ F(x)+G(x)$.
2. Jos $F(x)$ on antiderivaata arvolle $f(x)$ ja $a$ on vakio, niin $af(x)$:lle antiderivaata on $aF(x)$.
3. Jos $f(x)$:n antiderivaata on $F(x)$, $a$ ja $b$ ovat vakioita, niin $\frac(1)(a) F(ax+b)$ on antiderivaata $f (ax+b)$:lle.
Saatujen sääntöjen avulla voimme laajentaa antiderivatiivien taulukkoa.

Toiminnot	Antijohdannaiset
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Esimerkki 5. Etsi antijohdannaisia:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Taulukko antijohdannaisista

Käyttämällä epämääräisten integraalien ominaisuuksia ja perusintegraalien taulukkoa,
Voit integroida joitain toimintoja.

INTEGRAATIOTEKNIIKAT
Korvausmenetelmä

Yleisin tapa integroida funktioita on menetelmä
substituutio, jota käytetään, kun haettu integraali
on taulukkomuotoinen, mutta se voi olla sarjan alkeismuunnoksia
pienennetty pöydäksi.

muuttuja t korvataan muuttujalla / kaavalla x=φ(t) ja
siksi dx on φ"(t)dt:n tulo.

Integrointi osien mukaan

Esimerkki: sinun on löydettävä integraali

Tässä kaksinkertaiset pystysuorat viivat sisältävät kaikki laskelmat
valmistelevat integrointikaavan soveltamista
osat. Valmistelevat merkinnät voidaan viedä yhtälön ulkopuolelle.

TÄRKEÄ INTEGRAALI

Tehtävä. Etsi sen funktion inkrementti, joka on funktion f(x) antiderivaata, when
argumentin x siirtyminen arvosta a arvoon b.
Ratkaisu. Oletetaan, että integraatiolla olemme löytäneet

Kuten näemme, antiderivatiivisen funktion F(x) + C 1 lisäyksen lausekkeessa
vakioarvoa C1 ei ole. Ja koska C 1 tarkoitti mitä tahansa
annettu numero, niin saatu tulos johtaa seuraavaan johtopäätökseen: milloin
argumentin x siirtyminen arvosta x=a arvoon x=b, kaikki funktiot F(x) + C,
antiderivaatat tietylle funktiolle f(x) ovat yhtä suuret kuin
F(b)-F(a).

Tätä lisäystä kutsutaan yleensä määrätyksi integraaliksi ja merkitään
symboli

Siten vaadittu integraali on yhtä suuri kuin 6.

Määrätyn integraalin geometrinen merkitys

1. Etsi yhden sinikaaren pinta-ala.

Vallankumouskappale on esitetty kuvassa.
Koneeksi valitsen xy-tason.

Esimerkki nro 2. Määrätyn integraalin löytäminen muuttujan muutosmenetelmällä
liittäminen

Esimerkki nro 3. Määrätyn integraalin löytäminen integroimalla yli
osat.

Massan m ja tiheyden p väliset suhteet:

Sähkövarauksen q ja virran I väliset suhteet:

Lämpökapasiteetin c ja lämmön määrän Q välinen suhde:

Kuvaus viskoosin nesteen, veren liikkeestä suonten läpi, jakautumisesta
verenpaine sydän- ja verisuonijärjestelmässä, lämpö-, sähkö-,
elämään liittyvät magneettiset, optiset prosessit
elimistöön, vaatii integroinnin käyttöä.

KOULUTUS: ESIMERKKEJEN RATKAISEMINEN

pisteet muuttuvat lain mukaan v = (6t +7) m/s

Selvitä, kuinka kuljettu matka riippuu ajasta, jos materiaalin nopeus
pisteet muuttuvat lain mukaan v = (6t +7) m/s, jos tiedetään, että alkuhetkellä

ajan (t=0), materiaalipiste oli etäisyydellä s 0 = 4m alusta

Etsi jousen tekemä työ, kun se on pidennetty x 1:stä x 2:een.
Ratkaisu.

Tämän toiminnon integroimiseksi sinun on tehtävä uusi
muuttuja

Koska janalla [-1;2] on 4 2 ≤2, lasketaan tämän kuvan pinta-ala S
seuraavalla tavalla:

Ratkaisu.
u = sinx
du = cosxdx

uudet integroinnin rajat: u 1 = 0 (koska x 1 = 0, korvataan tämä arvo uudella
funktio - u = sinx, u 1 = sinx 1 = 0)

induktiovirran esiintyminen siinä,

vastaus:

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Differentiaaliyhtälöt ovat yhtälöitä, jotka sisältävät vaaditun
funktiot, niiden eri kertaluvun johdannaiset ja riippumattomat muuttujat.
Differentiaaliyhtälöiden teoria syntyi 1600-luvun lopulla
mekaniikan ja muiden luonnontieteen alojen tarpeiden vaikutus,
olennaisesti samanaikaisesti integraalilaskennan ja
differentiaalilaskenta.

Yksinkertaisimmat differentiaaliyhtälöt kohdattiin jo I:n teoksissa.
Newton ja G. Leibniz; termi "differentiaaliyhtälöt"
kuuluu Leibnizille. Epämääräisen integraalin F (x) löytämisen ongelma
funktiot f(x) Newton pitää yksinkertaisesti toisensa erikoistapauksena
tehtäviä. Tämä oli Newtonin, perustan luojan, lähestymistapa
matemaattiset luonnontieteet ovat varsin perusteltuja: hyvin suuressa
Monissa tapauksissa luonnonlait, jotka hallitsevat tiettyjä prosesseja,
ilmaistaan ​​differentiaaliyhtälöiden muodossa ja näiden virtauksen laskennassa
prosessit pelkistyvät differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.

Seuraavat kaksi yksinkertaista esimerkkiä voivat havainnollistaa
mitä sanottiin.

1) Jos lämpötilaan T kuumennettu kappale asetetaan väliaineeseen, lämpötila
joka on yhtä suuri kuin nolla, niin tietyin ehdoin voimme olettaa sen
lisäys ΔT (negatiivinen, jos T> 0) sen lämpötilasta pienen yli
aikaväli Δt ilmaistaan ​​riittävällä tarkkuudella kaavalla

missä k on vakiokerroin. Käsiteltäessä tätä matemaattisesti
fyysinen tehtävä katsotaan suoritetuksi täsmälleen sen mukaan
erojen välinen suhde

eli differentiaaliyhtälö pätee

jossa T tarkoittaa derivaatta ei t.

venyttää jousta, tuo kuorman sisään
liikettä. Jos x(t) on
kehon poikkeaman määrä
tasapainotila tällä hetkellä
aika t, sitten kappaleen kiihtyvyys
ilmaistaan ​​toisella derivaatalla x" (t).
Kehoon vaikuttava voima tx" (t) on
pienillä jousen osuuksilla
kimmoisuusteorian lakien mukaan se on verrannollinen poikkeamaan x (t). Että.,
saamme differentiaaliyhtälön

Hänen ratkaisunsa näyttää tältä:

Tämä oppitunti on ensimmäinen integraatioon liittyvien videoiden sarjassa. Siinä analysoimme, mikä on funktion antiderivaata, ja tutkimme myös näiden aivan antiderivaalien peruslaskentamenetelmiä.

Itse asiassa tässä ei ole mitään monimutkaista: pohjimmiltaan kaikki riippuu johdannaisen käsitteestä, joka sinun pitäisi olla jo tuttu :)

Huomautan heti, että koska tämä on aivan ensimmäinen oppitunti uudessa aiheessamme, tänään ei tule olemaan monimutkaisia ​​laskelmia ja kaavoja, mutta se, mitä opimme tänään, muodostaa perustan paljon monimutkaisemmille laskelmille ja konstruktioille laskettaessa monimutkaisia ​​integraaleja ja alueita .

Lisäksi oletamme implisiittisesti integraation ja erityisesti integraalien opiskelun alkaessa, että opiskelija tuntee jo ainakin derivaatan käsitteet ja omaa vähintään perustaidot niiden laskemiseen. Ilman selkeää ymmärrystä tästä integraatiossa ei ole mitään tekemistä.

Tässä piilee kuitenkin yksi yleisimmistä ja salakavaliimmista ongelmista. Tosiasia on, että aloittaessaan ensimmäisten antiderivaattiensa laskemisen monet opiskelijat sekoittavat ne johdannaisiin. Tämän seurauksena tenttien ja itsenäisen työn aikana tehdään typeriä ja loukkaavia virheitä.

Siksi en nyt anna selkeää määritelmää antijohdannaiselle. Vastineeksi ehdotan, että katsot kuinka se lasketaan yksinkertaisella konkreettisella esimerkillä.

Mikä on antijohdannainen ja miten se lasketaan?

Tiedämme tämän kaavan:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Tämä johdannainen lasketaan yksinkertaisesti:

\[(f)"\vasen(x \oikea)=((\vasen(((x)^(3)) \oikea))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Katsotaanpa tarkkaan tuloksena olevaa lauseketta ja ilmaista $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\vasen(((x)^(3)) \oikea))^(\alkuluku )))(3)\]

Mutta voimme kirjoittaa sen näin, derivaatan määritelmän mukaan:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Ja nyt huomio: se, mitä juuri kirjoitimme, on antijohdannaisen määritelmä. Mutta kirjoittaaksesi sen oikein, sinun on kirjoitettava seuraava:

Kirjoitetaan seuraava lauseke samalla tavalla:

Jos yleistämme tämän säännön, voimme johtaa seuraavan kaavan:

\[((x)^(n))\\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nyt voimme muotoilla selkeän määritelmän.

Funktion antiderivaata on funktio, jonka derivaatta on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio.

Kysymyksiä antiderivatiivisestä toiminnosta

Se vaikuttaisi melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä määritelmältä. Sen kuultuaan tarkkaavaisella opiskelijalla on kuitenkin välittömästi useita kysymyksiä:

1. Sanotaan, okei, tämä kaava on oikea. Tässä tapauksessa $n=1$:lla on kuitenkin ongelmia: "nolla" näkyy nimittäjässä, emmekä voi jakaa "nollalla".
2. Kaava on rajoitettu vain asteisiin. Kuinka laskea esimerkiksi sinin, kosinin ja minkä tahansa muun trigonometrian antiderivaata sekä vakiot.
3. Eksistentiaalinen kysymys: onko aina mahdollista löytää antijohdannainen? Jos kyllä, entä summan, erotuksen, tuotteen jne. antijohdannainen?

Vastaan ​​heti viimeiseen kysymykseen. Valitettavasti antiderivaavaa, toisin kuin johdannaista, ei aina oteta huomioon. Ei ole olemassa universaalia kaavaa, jolla mistä tahansa alkuperäisestä konstruktiosta saamme funktion, joka on yhtä suuri kuin tämä samanlainen konstruktio. Mitä tulee voimiin ja vakioihin, puhumme siitä nyt.

Tehotoimintojen ongelmien ratkaiseminen

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kuten näet, tämä kaava $((x)^(-1))$ ei toimi. Herää kysymys: mikä sitten toimii? Emmekö voi laskea $((x)^(-1))$? Tietenkin me voimme. Muistetaanpa tämä ensin:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Ajatellaan nyt: minkä funktion derivaatta on yhtä suuri kuin $\frac(1)(x)$. Ilmeisesti jokainen opiskelija, joka on tutkinut tätä aihetta ainakin vähän, muistaa, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin luonnollisen logaritmin derivaatta:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Siksi voimme luottavaisin mielin kirjoittaa seuraavaa:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Sinun on tiedettävä tämä kaava, aivan kuten tehofunktion johdannainen.

Joten mitä tiedämme tähän mennessä:

• Potenttifunktiolle - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Vakiolle - $=const\to \cdot x$
• Potenttifunktion erikoistapaus on $\frac(1)(x)\to \ln x$

Ja jos alamme kertoa ja jakaa yksinkertaisimpia funktioita, kuinka sitten voimme laskea tuotteen tai osamäärän antiderivaatan. Valitettavasti analogiat tuotteen tai osamäärän johdannaisen kanssa eivät toimi tässä. Ei ole olemassa standardikaavaa. Joissakin tapauksissa on olemassa hankalia erityiskaavoja - tutustumme niihin tulevissa videotunteissa.

Muista kuitenkin: osamäärän ja tulon derivaatan laskentakaavaa vastaavaa yleiskaavaa ei ole.

Todellisten ongelmien ratkaiseminen

Tehtävä nro 1

Lasketaan jokainen tehofunktio erikseen:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Palataksemme lauseeseemme, kirjoitamme yleisen konstruktion:

Ongelma nro 2

Kuten jo totesin, teosten prototyyppejä ja yksityiskohtia "pisteeseen" ei oteta huomioon. Täällä voit kuitenkin tehdä seuraavan:

Jakoimme murto-osan kahden murto-osan summaksi.

Tehdään laskelma:

Hyvä uutinen on, että kun tiedät antiderivaalien laskentakaavat, voit jo laskea monimutkaisempia rakenteita. Mennään kuitenkin pidemmälle ja laajennetaan tietämystämme hieman enemmän. Tosiasia on, että monet rakenteet ja lausekkeet, joilla ei ensi silmäyksellä ole mitään tekemistä $((x)^(n))$:n kanssa, voidaan esittää potenssina rationaalisen eksponentin kanssa, nimittäin:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Kaikki nämä tekniikat voidaan ja pitäisi yhdistää. Voimailmaisut voivat olla

• kertoa (lisäastetta);
• jakaa (asteet vähennetään);
• kerro vakiolla;
• jne.

Teholausekkeiden ratkaiseminen rationaalisen eksponentin avulla

Esimerkki nro 1

Lasketaan jokainen juuri erikseen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Kaiken kaikkiaan koko rakentamisemme voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki nro 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \oikea))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Siksi saamme:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Kaiken kaikkiaan, kun keräämme kaiken yhdeksi lausekkeeksi, voimme kirjoittaa:

Esimerkki nro 3

Aluksi huomaamme, että olemme jo laskeneet $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Kirjoitetaan uudelleen:

Toivon, etten yllätä ketään, jos sanon, että juuri tutkimamme on vain yksinkertaisimpia laskelmia antiderivaatteista, alkeellisimmista rakenteista. Katsotaanpa nyt hieman monimutkaisempia esimerkkejä, joissa taulukkomuotoisten antiderivaatojen lisäksi tulee muistaa myös koulun opetussuunnitelma, nimittäin lyhennetyt kertolaskukaavat.

Monimutkaisempien esimerkkien ratkaiseminen

Tehtävä nro 1

Muistakaamme neliöeron kaava:

\[((\vasen(a-b \oikea))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Kirjoitetaan funktiomme uudelleen:

Meidän on nyt löydettävä tällaisen toiminnon prototyyppi:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Laitetaan kaikki yhteen yhteiseksi malliksi:

Ongelma nro 2

Tässä tapauksessa meidän on laajennettava erokuutiota. Muistetaan:

\[((\vasen(a-b \oikea))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Tämän tosiasian huomioon ottaen voimme kirjoittaa sen näin:

Muutetaan toimintoamme hieman:

Laskemme kuten aina - jokaiselle termille erikseen:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Kirjoitetaan tuloksena oleva konstruktio:

Tehtävä nro 3

Yläosassa on summan neliö, laajennataan sitä:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Kirjoitetaan lopullinen ratkaisu:

Nyt huomio! Erittäin tärkeä asia, johon liittyy suurin osa virheistä ja väärinkäsityksistä. Tosiasia on, että tähän asti laskeessamme antiderivaatat derivaattoja käyttämällä ja tuomalla muunnoksia, emme ajatellut, mitä vakion derivaatta on yhtä suuri. Mutta vakion derivaatta on yhtä suuri kuin "nolla". Tämä tarkoittaa, että voit kirjoittaa seuraavat vaihtoehdot:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Tämä on erittäin tärkeää ymmärtää: jos funktion derivaatta on aina sama, niin samalla funktiolla on ääretön määrä antiderivaataita. Voimme yksinkertaisesti lisätä mitä tahansa vakiolukuja antiderivaatteihimme ja saada uusia.

Ei ole sattumaa, että juuri ratkaistujen ongelmien selityksessä kirjoitettiin "Kirjoita ylös antijohdannaisten yleinen muoto." Nuo. On jo etukäteen oletettu, että niitä ei ole yksi, vaan koko joukko. Mutta itse asiassa ne eroavat vain vakiosta $C$ lopussa. Siksi korjaamme tehtävissämme sen, mitä emme saaneet valmiiksi.

Jälleen kerran kirjoitamme rakenteet uudelleen:

Tällaisissa tapauksissa sinun tulee lisätä, että $C$ on vakio - $C=const$.

Toisessa funktiossamme saamme seuraavan konstruktion:

Ja viimeinen:

Ja nyt saimme todella sen, mitä meiltä vaadittiin ongelman alkuperäisessä tilassa.

Tietyn pisteen antijohdannaisten löytämisen ongelmien ratkaiseminen

Nyt kun tiedämme vakioista ja antiderivaatojen kirjoittamisen erityispiirteistä, on aivan loogista, että seuraavan tyyppinen ongelma syntyy, kun kaikkien antiderivaatojen joukosta on löydettävä se yksi ja ainoa, joka kulkee tietyn pisteen läpi. . Mikä tämä tehtävä on?

Tosiasia on, että kaikki tietyn funktion antiderivataatit eroavat vain siinä, että niitä on siirretty pystysuunnassa tietyllä numerolla. Ja tämä tarkoittaa, että riippumatta siitä, minkä pisteen koordinaattitasolla otamme, yksi antiderivaata kulkee ehdottomasti ja lisäksi vain yksi.

Joten ongelmat, jotka nyt ratkaisemme, muotoillaan seuraavasti: älä vain löydä antiderivaavaa, tietäen alkuperäisen funktion kaavan, vaan valitse täsmälleen se, joka kulkee annetun pisteen läpi, jonka koordinaatit annetaan tehtävässä lausunto.

Esimerkki nro 1

Lasketaan ensin jokainen termi:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nyt korvaamme nämä ilmaisut rakenteestamme:

Tämän funktion täytyy kulkea pisteen $M\left(-1;4 \right)$ läpi. Mitä se tarkoittaa, että se kulkee pisteen läpi? Tämä tarkoittaa, että jos laitamme $x$ sijasta kaikkialle $-1$ ja $F\left(x \right)$ sijaan - $-4$, niin meidän pitäisi saada oikea numeerinen yhtälö. Tehdään tämä:

Näemme, että meillä on yhtälö $C$:lle, joten yritetään ratkaista se:

Kirjataan ylös juuri se ratkaisu, jota etsimme:

Esimerkki nro 2

Ensinnäkin on tarpeen paljastaa eron neliö lyhennetyn kertolaskukaavan avulla:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Alkuperäinen rakenne kirjoitetaan seuraavasti:

Etsitään nyt $C$: korvaa pisteen $M$ koordinaatit:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Ilmoitamme $C$:

Jää vielä näyttää lopullinen lauseke:

Trigonometristen tehtävien ratkaiseminen

Viimeisenä silauksena siihen, mitä juuri keskustelimme, ehdotan tarkastelemaan kahta monimutkaisempaa ongelmaa, joihin liittyy trigonometria. Niistä on samalla tavalla löydettävä antiderivaatat kaikille funktioille ja valittava sitten tästä joukosta ainoa, joka kulkee koordinaattitason pisteen $M$ läpi.

Tulevaisuudessa haluaisin huomauttaa, että tekniikka, jota käytämme nyt löytääksemme trigonometristen funktioiden antiderivaatteja, on itse asiassa universaali itsetestauksen tekniikka.

Tehtävä nro 1

Muistakaamme seuraava kaava:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Tämän perusteella voimme kirjoittaa:

Korvataan lausekkeeseemme pisteen $M$ koordinaatit:

\[-1=\teksti(tg)\frac(\teksti( )\!\!\pi\!\!\teksti( ))(\teksti(4))+C\]

Kirjoitetaan lauseke uudelleen ottaen tämä tosiasia huomioon:

Ongelma nro 2

Tämä tulee olemaan hieman vaikeampaa. Nyt näet miksi.

Muistakaamme tämä kaava:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Päästäksesi eroon "miinuksesta", sinun on tehtävä seuraava:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Tässä on suunnittelumme

Korvataan pisteen $M$ koordinaatit:

Yhteensä kirjoitamme lopullisen rakenteen:

Siinä kaikki, mistä halusin kertoa sinulle tänään. Tutkimme itse termiä antiderivaatat, kuinka laskea ne alkeisfunktioista ja myös kuinka löytää koordinaattitason tietyn pisteen läpi kulkeva antiderivaata.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua ymmärtämään tätä monimutkaista aihetta ainakin hieman. Joka tapauksessa antiderivaatteille konstruoidaan epämääräiset ja epämääräiset integraalit, joten ne on ehdottomasti laskettava. Siinä kaikki minulle. Nähdään taas!

Alla on lueteltu neljä tärkeintä integrointimenetelmää.

1) Sääntö summan tai erotuksen integroimiseksi.
.
Tässä ja alla u, v, w ovat integrointimuuttujan x funktioita.

2) Vakion siirtäminen integraalimerkin ulkopuolelle.
Olkoon c x:stä riippumaton vakio. Sitten se voidaan ottaa pois integraalimerkistä.

3) Muuttuva vaihtomenetelmä.
Tarkastellaan epämääräistä integraalia.
Jos löydämme sellaisen funktion φ (x) x:stä siis
,
niin korvaamalla muuttuja t = φ(x) , meillä on
.

4) Osien integroinnin kaava.
,
missä u ja v ovat integrointimuuttujan funktioita.

Epämääräisten integraalien laskemisen perimmäinen tavoite on muunnoksilla pelkistää annettu integraali yksinkertaisimmiksi integraaleiksi, joita kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Taulukkointegraalit ilmaistaan ​​perusfunktioiden kautta tunnettujen kaavojen avulla.
Katso Integraalitaulukko >>>

Esimerkki

Laske epämääräinen integraali

Ratkaisu

Huomaa, että integrandi on kolmen termin summa ja erotus:
, Ja.
Menetelmän soveltaminen 1 .

Seuraavaksi todetaan, että uusien integraalien integrandit kerrotaan vakioilla 5, 4, Ja 2 , vastaavasti. Menetelmän soveltaminen 2 .

Integraalitaulukosta löydämme kaavan
.
Olettaen n = 2 , löydämme ensimmäisen integraalin.

Kirjoitetaan toinen integraali muotoon
.
Huomaamme sen. Sitten

Käytetään kolmatta menetelmää. Muutetaan muuttuja t = φ (x) = log x.
.
Integraalitaulukosta löydämme kaavan

Koska integroinnin muuttuja voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella, niin

Kirjoitetaan kolmas integraali muotoon
.
Käytämme osien integroinnin kaavaa.
Laitetaanpa se.
Sitten
;
;

;
;
.

Lopulta meillä on
.
Kerätään termit x:llä 3 .
.

Vastaus

Viitteet:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma, "Lan", 2003.

Tältä sivulta löydät:

1. Itse asiassa antijohdannaisten taulukko - se voidaan ladata PDF-muodossa ja tulostaa;

2. Video tämän taulukon käytöstä;

3. Joukko esimerkkejä antiderivaatin laskemisesta eri oppikirjoista ja testeistä.

Itse videossa analysoimme monia ongelmia, joissa sinun on laskettava funktioiden antijohdannaiset, usein melko monimutkaisia, mutta mikä tärkeintä, ne eivät ole tehofunktioita. Kaikki yllä ehdotetussa taulukossa tiivistetyt funktiot on tunnettava ulkoa, kuten johdannaiset. Ilman niitä integraalien jatkotutkimus ja niiden soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisemiseen on mahdotonta.

Tänään jatkamme primitiivien tutkimista ja siirrymme hieman monimutkaisempaan aiheeseen. Jos viime kerralla tarkastelimme vain tehofunktioiden ja hieman monimutkaisempien rakenteiden antiderivaatteja, niin tänään tarkastellaan trigonometriaa ja paljon muuta.

Kuten sanoin viime oppitunnilla, antiderivaatteja, toisin kuin johdannaisia, ei koskaan ratkaista "suoraan" käyttämällä mitään vakiosääntöjä. Lisäksi huono uutinen on, että toisin kuin johdannainen, antiderivaasta ei ehkä oteta huomioon ollenkaan. Jos kirjoitamme täysin satunnaisen funktion ja yritämme löytää sen derivaatan, onnistumme erittäin suurella todennäköisyydellä, mutta antiderivaavaa ei tässä tapauksessa lasketa melkein koskaan. Mutta on hyviä uutisia: on olemassa melko suuri joukko funktioita, joita kutsutaan alkeisfunktioiksi, joiden antiderivataatit on erittäin helppo laskea. Ja kaikki muut monimutkaisemmat rakenteet, jotka annetaan kaikenlaisissa testeissä, itsenäisissä testeissä ja kokeissa, itse asiassa koostuvat näistä perusfunktioista yhteen-, vähennys- ja muiden yksinkertaisten toimien avulla. Tällaisten toimintojen prototyypit on laskettu pitkään ja koottu erityisiin taulukoihin. Juuri näiden funktioiden ja taulukoiden kanssa työskentelemme tänään.

Mutta aloitamme, kuten aina, toistolla: muistetaan, mitä antiderivaatit ovat, miksi niitä on äärettömän paljon ja kuinka määrittää niiden yleinen ulkonäkö. Tätä varten pohdin kaksi yksinkertaista ongelmaa.

Helppojen esimerkkien ratkaiseminen

Esimerkki nro 1

Huomaa heti, että $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja yleensä $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ vihjaa meille heti, että funktion vaadittu antiderivaata liittyy trigonometriaan. Ja todellakin, jos katsomme taulukkoa, huomaamme, että $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ei ole muuta kuin $\text(arctg)x$. Joten kirjoitetaan se ylös:

Löytääksesi sinun on kirjoitettava muistiin seuraavat asiat:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Esimerkki nro 2

Puhumme myös trigonometrisista funktioista. Jos katsomme taulukkoa, tapahtuu todellakin näin:

Meidän on löydettävä koko antijohdannaisten joukosta se, joka kulkee ilmoitetun pisteen läpi:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Kirjoitetaan lopuksi ylös:

Se on niin yksinkertaista. Ainoa ongelma on, että yksinkertaisten funktioiden antiderivaattien laskemiseksi sinun on opittava antiderivaattien taulukko. Kuitenkin, kun olen tutkinut johdannaistaulukon puolestasi, uskon, että tämä ei ole ongelma.

Eksponentiaalisen funktion sisältävien ongelmien ratkaiseminen

Aluksi kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\\frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Katsotaan kuinka tämä kaikki toimii käytännössä.

Esimerkki nro 1

Jos katsomme hakasulkeiden sisältöä, huomaamme, että antiderivaatataulukossa ei ole sellaista lauseketta, jossa $((e)^(x))$ olisi neliössä, joten tämä neliö on laajennettava. Tätä varten käytämme lyhennettyjä kertolaskukaavoja:

Etsitään jokaiselle termille antijohdannainen:

\[((e)^(2x))=((\vasen(((e)^(2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(((e)^(-2)) \oikea))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \oikea))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Kootaan nyt kaikki termit yhdeksi lausekkeeksi ja saadaan yleinen antijohdannainen:

Esimerkki nro 2

Tällä kertaa aste on suurempi, joten lyhennetty kertolasku on melko monimutkainen. Avataan siis sulut:

Yritetään nyt ottaa kaavamme antijohdannainen tästä konstruktiosta:

Kuten näette, eksponentiaalisen funktion antiderivaatteissa ei ole mitään monimutkaista tai yliluonnollista. Ne kaikki lasketaan taulukoiden avulla, mutta tarkkaavaiset opiskelijat huomaavat luultavasti, että antiderivaata $((e)^(2x))$ on paljon lähempänä yksinkertaisesti $((e)^(x))$ kuin $((a). )^(x ))$. Joten, ehkä on jokin erikoisempi sääntö, joka sallii antiderivaatin $((e)^(x))$ löytää $((e)^(2x))$? Kyllä, tällainen sääntö on olemassa. Ja lisäksi se on olennainen osa antideriivatiivitaulukon kanssa työskentelyä. Analysoimme sitä nyt käyttämällä samoja lausekkeita, joita olemme juuri työstäneet esimerkkinä.

Säännöt antijohdannaisten taulukon kanssa työskentelylle

Kirjoitetaan funktiomme uudelleen:

Edellisessä tapauksessa käytimme seuraavaa kaavaa ratkaisemaan:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaattorinimi(lna))\]

Mutta nyt tehdään se vähän toisin: muistetaan millä perusteella $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Kuten jo sanoin, koska johdannainen $((e)^(x))$ ei ole muuta kuin $((e)^(x))$, sen antiderivaata on siis sama $((e) ^ (x))$. Mutta ongelma on, että meillä on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Yritetään nyt löytää johdannainen $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(2x))\cdot ((\vasen(2x \oikea))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjoitetaan rakentaminen uudelleen:

\[((\vasen(((e)^(2x)) \oikea))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\vasen(\frac(((e)^(2x)))(2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Tämä tarkoittaa, että kun löydämme antijohdannaisen $((e)^(2x))$, saamme seuraavan:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Kuten näet, saimme saman tuloksen kuin aiemmin, mutta emme käyttäneet kaavaa löytääksemme $((a)^(x))$. Nyt tämä voi tuntua tyhmältä: miksi monimutkaistaa laskelmia, kun on vakiokaava? Hieman monimutkaisemmissa ilmaisuissa huomaat kuitenkin, että tämä tekniikka on erittäin tehokas, ts. käyttämällä johdannaisia ​​antijohdannaisten löytämiseen.

Lämmittelynä etsitään $((e)^(2x))$ antiderivaata samalla tavalla:

\[((\vasen(((e)^(-2x)) \oikea))^(\alkuluku ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\vasen(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \oikea))^(\alkuluku ))\]

Laskettaessa rakenteemme kirjoitetaan seuraavasti:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saimme täsmälleen saman tuloksen, mutta valitsimme eri polun. Juuri tämä polku, joka nyt näyttää meille hieman monimutkaisemmalta, osoittautuu myöhemmin tehokkaammaksi monimutkaisempien antiderivaalien laskemiseen ja taulukoiden käyttöön.

Huomautus! Tämä on erittäin tärkeä seikka: antiderivaatteja, kuten johdannaisia, voidaan laskea monella eri tavalla. Kuitenkin, jos kaikki laskelmat ja laskelmat ovat yhtä suuret, vastaus on sama. Olemme juuri nähneet tämän esimerkillä $((e)^(-2x))$ - toisaalta laskemme tämän antiderivaan "läpi" käyttämällä määritelmää ja toisaalta laskemalla sen muunnoksilla, muistimme, että $ ((e)^(-2x))$ voidaan esittää muodossa $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ ja vasta sitten käytimme funktion $( (a)^(x))$ antiderivaata. Kaikkien muutosten jälkeen tulos oli kuitenkin odotetusti sama.

Ja nyt kun ymmärrämme tämän kaiken, on aika siirtyä johonkin merkittävämpään. Nyt analysoimme kahta yksinkertaista rakennetta, mutta niiden ratkaisemisessa käytettävä tekniikka on tehokkaampi ja hyödyllisempi työkalu kuin pelkkä "juokseminen" vierekkäisten antiderivaalien välillä taulukosta.

Ongelmanratkaisu: funktion antiderivaatan löytäminen

Esimerkki nro 1

Jaetaan osoittajissa oleva määrä kolmeen erilliseen murto-osaan:

Tämä on melko luonnollinen ja ymmärrettävä siirtymä - useimmilla opiskelijoilla ei ole ongelmia sen kanssa. Kirjoitetaan lauseemme uudelleen seuraavasti:

Muistetaan nyt tämä kaava:

Meidän tapauksessamme saamme seuraavat:

Päästäksesi eroon kaikista näistä kolmikerroksisista jakeista, ehdotan seuraavaa:

Esimerkki nro 2

Toisin kuin edellinen murto-osa, nimittäjä ei ole tulo, vaan summa. Tässä tapauksessa emme voi enää jakaa murtolukuamme useiden yksinkertaisten murtolukujen summaan, vaan meidän on jotenkin yritettävä varmistaa, että osoittaja sisältää suunnilleen saman lausekkeen kuin nimittäjä. Tässä tapauksessa se on melko yksinkertaista:

Tämä merkintä, jota matemaattisessa kielessä kutsutaan "nollan lisäämiseksi", antaa meille mahdollisuuden jakaa murto-osa jälleen kahteen osaan:

Nyt etsitään mitä etsimme:

Siinä kaikki laskelmat. Huolimatta näennäisesti suuremmasta monimutkaisuudesta kuin edellisessä tehtävässä, laskelmien määrä osoittautui vielä pienemmäksi.

Ratkaisun vivahteet

Ja tässä piilee taulukkomuotoisten antijohdannaisten kanssa työskentelyn päävaikeus, tämä on erityisen havaittavissa toisessa tehtävässä. Tosiasia on, että voidaksemme valita joitain elementtejä, jotka on helppo laskea taulukon kautta, meidän on tiedettävä, mitä tarkalleen etsimme, ja juuri näiden elementtien etsinnästä koostuu koko antijohdannaisten laskenta.

Toisin sanoen ei riitä, että opetella ulkoa antijohdannaisten taulukko - sinun on pystyttävä näkemään jotain, jota ei vielä ole olemassa, mutta mitä tämän ongelman kirjoittaja ja kääntäjä tarkoitti. Siksi monet matemaatikot, opettajat ja professorit väittävät jatkuvasti: "Mitä on antiderivaatien ottaminen tai integrointi - onko se vain työkalu vai onko se todellinen taide?" Itse asiassa, henkilökohtaisesti, integraatio ei ole taidetta ollenkaan - siinä ei ole mitään ylevää, se on vain harjoittelua ja enemmän harjoittelua. Ja harjoitellaksemme ratkaistaan ​​kolme vakavampaa esimerkkiä.

Koulutamme integraatiota käytännössä

Tehtävä nro 1

Kirjoitetaan seuraavat kaavat:

\[((x)^(n))\\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjoitetaan seuraavaa:

Ongelma nro 2

Kirjoitetaan se uudelleen seuraavasti:

Kokonaisantijohdannainen on yhtä suuri kuin:

Tehtävä nro 3

Tämän ongelman vaikeus on se, että toisin kuin edelliset funktiot, muuttujaa $x$ ei ole ollenkaan, ts. Emme ymmärrä, mitä pitäisi lisätä tai vähentää saadaksemme vähintään jotain samanlaista kuin alla. Itse asiassa tätä lauseketta pidetään kuitenkin jopa yksinkertaisempana kuin mitä tahansa edellistä lauseketta, koska tämä funktio voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Saatat nyt kysyä: miksi nämä funktiot ovat samanarvoisia? Tarkistetaan:

Kirjoitetaan se uudestaan:

Muutetaanpa ilmaisuamme hieman:

Ja kun selitän kaiken tämän opiskelijoilleni, syntyy melkein aina sama ongelma: ensimmäisellä funktiolla kaikki on enemmän tai vähemmän selvää, toisella voit myös selvittää sen onnella tai harjoituksella, mutta millaista vaihtoehtoista tietoisuutta sinulla on tarvitaan kolmannen esimerkin ratkaisemiseksi? Itse asiassa, älä pelkää. Tekniikkaa, jota käytimme laskettaessa viimeistä antiderivaavaa, kutsutaan "funktion hajottamiseksi yksinkertaisimmiksi", ja tämä on erittäin vakava tekniikka, ja sille omistetaan erillinen videotunti.

Sillä välin ehdotan palaamista siihen, mitä juuri tutkimme, nimittäin eksponentiaalisiin funktioihin ja monimutkaistaan ​​jonkin verran ongelmia niiden sisällön kanssa.

Monimutkaisempia ongelmia antiderivatiivisten eksponentiaalisten funktioiden ratkaisemiseksi

Tehtävä nro 1

Huomioikaa seuraava:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Löytääksesi tämän lausekkeen antijohdannaisen, käytä standardikaavaa - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meidän tapauksessamme antijohdannainen on seuraava:

Tietysti tämä näyttää yksinkertaisemmalta verrattuna juuri ratkaisemamme suunnitteluun.

Ongelma nro 2

Jälleen on helppo nähdä, että tämä funktio voidaan helposti jakaa kahteen erilliseen termiin - kahteen erilliseen murto-osaan. Kirjoitetaan uudelleen:

On vielä löydettävä kunkin näistä termeistä antijohdannainen käyttämällä yllä kuvattua kaavaa:

Huolimatta siitä, että eksponentiaaliset funktiot olivat monimutkaisempia verrattuna tehofunktioihin, laskelmien ja laskelmien kokonaismäärä osoittautui paljon yksinkertaisemmiksi.

Tietenkin asiantunteville opiskelijoille se, mitä olemme juuri keskustelleet (etenkin sitä taustaa vasten, mitä olemme keskustelleet aiemmin), voivat tuntua alkeisilmaisuilta. Kun valitsin nämä kaksi tehtävää tämän päivän videotunnille, en kuitenkaan asettanut tavoitteeksi kertoa teille toisesta monimutkaisesta ja hienostuneesta tekniikasta - halusin vain näyttää, että sinun ei pitäisi pelätä käyttää tavallisia algebratekniikoita alkuperäisten funktioiden muuntamiseen. .

Käyttämällä "salaista" tekniikkaa

Lopuksi haluaisin tarkastella toista mielenkiintoista tekniikkaa, joka toisaalta ylittää sen, mitä tänään pääasiassa keskustelimme, mutta toisaalta se ei ole ensinnäkään ollenkaan monimutkaista, ts. Jo aloittelevat opiskelijat voivat hallita sen, ja toiseksi se löytyy melko usein kaikenlaisista testeistä ja itsenäisistä töistä, ts. sen tuntemus on erittäin hyödyllistä antijohdannaisten taulukon tuntemisen lisäksi.

Tehtävä nro 1

Ilmeisesti meillä on jotain hyvin samanlaista kuin tehofunktio. Mitä meidän pitäisi tehdä tässä tapauksessa? Ajatellaanpa sitä: $x-5$ ei eroa paljoa $x$:sta – he lisäsivät juuri $-5$. Kirjoitetaan se näin:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \oikea))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Yritetään löytää johdannainen $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\vasen(((\vasen(x-5 \oikea))^(5)) \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(\prime ))=5\cdot ((\vasen(x-5 \oikea))^(4))\]

Tämä tarkoittaa:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ oikea))^(\prime ))\]

Taulukossa ei ole tällaista arvoa, joten olemme nyt johtaneet tämän kaavan itse käyttämällä potenssifunktion standardia antiderivatiivista kaavaa. Kirjoitetaan vastaus näin:

Ongelma nro 2

Monet opiskelijat, jotka katsovat ensimmäistä ratkaisua, saattavat ajatella, että kaikki on hyvin yksinkertaista: korvaa vain $x$ potenssifunktiossa lineaarisella lausekkeella, niin kaikki loksahtaa paikoilleen. Valitettavasti kaikki ei ole niin yksinkertaista, ja nyt näemme tämän.

Analogisesti ensimmäisen lausekkeen kanssa kirjoitamme seuraavan:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(\alkuluku ))=\]

\[=10\cdot ((\vasen(4-3x \oikea))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) ^(9))\]

Palataksemme johdannaiseen, voimme kirjoittaa:

\[((\vasen(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)) \oikea))^(\prime ))=-30\cdot ((\vasen(4-3x \oikea)) )^(9))\]

\[((\vasen(4-3x \oikea))^(9))=((\vasen(\frac(((\vasen(4-3x \oikea))^(10)))(-30) \oikea))^(\prime ))\]

Tästä seuraa heti:

Ratkaisun vivahteet

Huomaa: jos mikään ei olennaisesti muuttunut viime kerralla, niin toisessa tapauksessa $ -10 $ sijasta ilmestyi -30 $. Mitä eroa on -10 dollarin ja -30 dollarin välillä? Ilmeisesti kertoimella -3 $. Kysymys: mistä se tuli? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että se on otettu kompleksisen funktion derivaatan laskemisen tuloksena - kerroin, joka oli $x$, näkyy alla olevassa antiderivaatassa. Tämä on erittäin tärkeä sääntö, jota en alun perin aikonut käsitellä ollenkaan tämän päivän videotunnilla, mutta ilman sitä taulukkomuotoisten antiderivaalien esittäminen olisi epätäydellistä.

Joten tehdään se uudelleen. Olkoon päätehotoimintomme:

\[((x)^(n))\\frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Korvataan nyt lausekkeen $x$ sijaan lauseke $kx+b$. Mitä sitten tapahtuu? Meidän on löydettävä seuraavat:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \oikea)\cdot k)\]

Millä perusteella väitämme tämän? Erittäin yksinkertainen. Etsitään edellä olevan konstruktion johdannainen:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \oikea))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\vasen(kx+b \oikea))^(n))\]

Tämä on sama ilmaisu, joka alun perin oli olemassa. Näin ollen tämä kaava on myös oikea, ja sitä voidaan käyttää täydentämään antijohdannaisten taulukkoa tai on parempi muistaa koko taulukko.

Päätelmät "salaisuudesta: tekniikka:

• Molemmat juuri tarkastelemamme funktiot voidaan itse asiassa pelkistää taulukossa esitettyihin antiderivaatteihin laajentamalla asteita, mutta jos pystymme enemmän tai vähemmän jotenkin selviytymään neljännestä astetta, en tekisi yhdeksättä astetta kaikki uskalsivat paljastaa.
• Jos laajennettaisiin astetta, päätyisimme niin suureen laskelmaan, että yksinkertainen tehtävä veisi meiltä tarpeettoman paljon aikaa.
• Siksi sellaisia ​​lineaarisia lausekkeita sisältäviä ongelmia ei tarvitse ratkaista "päänpäähän". Heti kun törmäät antiderivaattiin, joka eroaa taulukossa olevasta vain lausekkeen $kx+b$ sisällä, muista heti yllä kirjoitettu kaava, korvaa se taulukon antiderivaatteillasi, niin kaikki osoittautuu paljon. nopeammin ja helpommin.

Luonnollisesti tämän tekniikan monimutkaisuuden ja vakavuuden vuoksi palaamme sen tarkasteluun useaan otteeseen tulevilla videotunteilla, mutta siinä kaikki tältä päivältä. Toivon, että tämä oppitunti todella auttaa niitä opiskelijoita, jotka haluavat ymmärtää antiderivaatteja ja integraatiota.