Kuvio on mielivaltainen joukko pisteitä tasossa. Piste, viiva, jana, säde, kolmio, ympyrä, neliö ja niin edelleen ovat kaikki esimerkkejä geometrisistä muodoista.

Tärkeimmät geometriset luvut tasossa ovat piste ja viiva. Nämä geometrian luvut eivät ole määritelmiä.

Tasossa olevat määrittelemättömät geometriset hahmot ovat piste ja viiva.

On tapana merkitä pisteet isoilla latinalaisilla kirjaimilla: A, B, C, D .... Suorat viivat on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla: a, b, c, d ....

Planimetrialla tutkitut luvut:

3. Parallelogrammi (erikoistapaukset: neliö, suorakaide, rombi)

4. Trapetsi

5. Ympyrä

6. Kolmio

7. Monikulmio

Geometriassa, topologiassa ja niihin liittyvillä matematiikan aloilla piste on abstrakti objekti avaruudessa, jolla ei ole tilavuutta, pinta-alaa, pituutta tai muita vastaavia suurikokoisia ominaisuuksia. Siten nollaulotteista objektia kutsutaan pisteeksi. Pointti on yksi matematiikan peruskäsitteistä.

Piste on yksi geometrian peruskäsitteistä, joten "pisteellä" ei ole määritelmää. Eukleides määritteli pisteen joksikin, jota ei voida jakaa.

Myöskään geometriassa ei ole "suoraa" (tarkoittaa suoraa) määritelmää.

Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä.

Geometrinen suora (suora) on molemmilta puolilta sulkematon, pidennetty ei-kaartuva geometrinen esine, jonka poikkileikkaus pyrkii nollaan ja pituussuuntainen projektio tasoon antaa pisteen.

Geometrian systemaattisessa esityksessä yhdeksi alkukäsitteeksi otetaan yleensä suora, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti.

Jos geometrian rakentamisen perustana on kahden avaruuden pisteen välisen etäisyyden käsite, niin suora voidaan määritellä suoraksi, jota pitkin polku on yhtä suuri kuin kahden pisteen välinen etäisyys.

3) Parallelogrammi

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaisia, eli ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla viivoilla. Suunnikkaan erikoistapaukset ovat suorakulmio, neliö ja rombi.

Erikoistapaukset:

Neliö on säännöllinen nelikulmio tai rombi, jonka kaikki kulmat ovat suorassa, tai suunnikkaampi, jossa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret.

Neliö voidaan määritellä seuraavasti:

suorakulmio, jonka kaksi vierekkäistä sivua ovat yhtä suuret

§ Rombi, jossa on kaikki suorat kulmat (mikä tahansa neliö on rombi, mutta jokainen rombi ei ole neliö).

Suorakulmio on suuntaviiva, jossa kaikki kulmat ovat suoria kulmia (yhtä kuin 90 astetta).

Rombi on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret. Suorakulmaista rombista kutsutaan neliöksi.

4) Trapetsi

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa on täsmälleen yksi pari vastakkaisia ​​sivuja yhdensuuntaisesti.

Joskus puolisuunnikas määritellään nelikulmioksi, jossa vastakkaisten sivujen pari on yhdensuuntainen (toista ei ole määritelty), jolloin suunnikka on puolisuunnikkaan erikoistapaus. Erityisesti on olemassa käsite kaarevasta puolisuunnikasta.

Suorakaiteen muotoinen puolisuunnikkaan muotoinen

5) Ympyrä

Ympyrä on pisteiden paikka tasossa, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskustaksi, tietyllä nollasta poikkeavalla etäisyydellä, jota kutsutaan sen säteeksi.

6) Kolmio

Kolmio on yksinkertaisin monikulmio, jolla on 3 kärkeä (kulmaa) ja 3 sivua; osa tasosta, jota rajoittaa kolme pistettä ja kolme janaa, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Jos kolmion kaikki kolme pistettä ovat samalla suoralla, sitä kutsutaan rappeutuneeksi.

7) Monikulmio

Monikulmio on geometrinen kuvio, joka määritellään suljetuksi katkoviivaksi. On kolme erilaista määritelmää:

§ Tasaiset suljetut katkoviivat;

§ Tasaiset suljetut katkoviivat ilman risteyksiä;

§ Katkoviivojen rajoittamat tason osat.

Polylinjan pisteitä kutsutaan monikulmion kärjeksi ja segmenttejä polygonin sivuiksi.

Sivu 1/3

§yksi. testikysymykset
Kysymys 1. Anna esimerkkejä geometrisista muodoista.
Vastaus. Esimerkkejä geometrisistä muodoista: kolmio, neliö, ympyrä.

Kysymys 2. Nimeä tason geometriset perusmuodot.
Vastaus. Tärkeimmät geometriset luvut tasossa ovat piste ja viiva.

Kysymys 3. Miten pisteet ja suorat määritellään?
Vastaus. Pisteet on merkitty isoilla latinalaisilla kirjaimilla: A, B, C, D, .... Suorat viivat on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla: a, b, c, d, ....
Viiva voidaan merkitä kahdella sen päällä olevalla pisteellä. Esimerkiksi viiva a kuvassa 4 voitaisiin merkitä AC ja viiva b voisi olla BC.

Kysymys 4. Muotoile pisteiden ja suorien jäsenyyden perusominaisuudet.
Vastaus. Oli viiva mikä tahansa, on pisteitä, jotka kuuluvat tähän viivaan, ja pisteitä, jotka eivät kuulu siihen.
Minkä tahansa kahden pisteen kautta voit piirtää viivan ja vain yhden.
Kysymys 5. Selitä, mikä on jana, jonka päät ovat tietyissä kohdissa.
Vastaus. Jana on suoran osa, joka koostuu kaikista tämän suoran pisteistä, jotka sijaitsevat sen kahden tietyn pisteen välissä. Näitä pisteitä kutsutaan segmentin päiksi. Segmentti on osoitettu osoittamalla sen päät. Kun he sanovat tai kirjoittavat: "segmentti AB", he tarkoittavat segmenttiä, jonka päät ovat pisteissä A ja B.

Kysymys 6. Muotoile pisteiden sijainnin pääominaisuus suoralla viivalla.
Vastaus. Viivan kolmesta pisteestä yksi ja vain yksi on kahden muun välissä.
Kysymys 7. Muotoile mittaussegmenttien pääominaisuudet.
Vastaus. Jokaisella segmentillä on tietty pituus, joka on suurempi kuin nolla. Janan pituus on yhtä suuri kuin niiden osien pituuksien summa, joihin se on jaettu millä tahansa sen pisteellä.
Kysymys 8. Mikä on kahden annetun pisteen välinen etäisyys?
Vastaus. Janan AB pituutta kutsutaan pisteiden A ja B väliseksi etäisyydeksi.
Kysymys 9. Mitkä ovat tason jakamisen ominaisuudet kahteen puolitasoon?
Vastaus. Tason osiolla kahdeksi puolitasoksi on seuraava ominaisuus. Jos minkä tahansa janan päät kuuluvat samaan puolitasoon, segmentti ei leikkaa suoraa. Jos janan päätepisteet kuuluvat eri puolitasoihin, jana leikkaa suoran.

Geometriset hahmot ovat pisteiden, viivojen, kiinteiden tai pintojen kompleksia. Nämä elementit voivat sijaita sekä tasossa että avaruudessa muodostaen äärellisen määrän viivoja.

Termi "kuvio" tarkoittaa useita pisteitä. Niiden on sijaittava yhdellä tai useammalla tasolla ja samanaikaisesti rajoitettava tiettyyn määrään valmiita rivejä.

Tärkeimmät geometriset luvut ovat piste ja viiva. Ne ovat litteitä. Niiden lisäksi yksinkertaisista kuvioista erotetaan säde, katkoviiva ja segmentti.

Piste

Tämä on yksi geometrian päähahmoista. Se on hyvin pieni, mutta sitä käytetään aina rakentamaan erilaisia ​​muotoja tasoon. Piste on pääluku ehdottoman kaikille rakenteille, jopa kaikkein monimutkaisimmille. Geometriassa sitä merkitään yleensä latinalaisten aakkosten kirjaimella, esimerkiksi A, B, K, L.

Matematiikan näkökulmasta piste on abstrakti tilaobjekti, jolla ei ole sellaisia ​​ominaisuuksia kuin pinta-ala, tilavuus, mutta joka samalla pysyy geometrian peruskäsitteenä. Tällä nollaulotteisella objektilla ei yksinkertaisesti ole määritelmää.

Suoraan

Tämä hahmo on sijoitettu kokonaan yhteen tasoon. Suoralla ei ole erityistä matemaattista määritelmää, koska se koostuu valtavasta määrästä pisteitä, jotka sijaitsevat yhdellä äärettömällä suoralla, jolla ei ole rajaa ja rajoja.

Siellä on myös leikkaus. Tämä on myös suora, mutta se alkaa ja päättyy pisteeseen, mikä tarkoittaa, että sillä on geometrisia rajoituksia.

Myös viiva voi muuttua suunnatuksi säteeksi. Tämä tapahtuu, kun viiva alkaa pisteestä, mutta sillä ei ole selkeää loppua. Jos asetat pisteen linjan keskelle, se jaetaan kahdeksi säteeksi (lisäksi), lisäksi vastakkaiseen suuntaan.

Useita segmenttejä, jotka on yhdistetty peräkkäin toisiinsa päillä yhteisessä pisteessä ja jotka eivät sijaitse samalla suoralla, kutsutaan yleisesti katkoviivaksi.

Kulma

Geometrisiä muotoja, joiden nimiä käsittelimme edellä, pidetään avainelementteinä, joita käytetään monimutkaisempien mallien rakentamisessa.

Kulma on rakenne, joka koostuu kärjestä ja kahdesta siitä lähtevästä säteestä. Toisin sanoen tämän hahmon sivut on yhdistetty yhdessä pisteessä.

Lentokone

Harkitse toista ensisijaista käsitettä. Taso on kuvio, jolla ei ole loppua tai alkua, samoin kuin suora ja piste. Tätä geometrista elementtiä tarkasteltaessa otetaan huomioon vain osa siitä, jota rajoittavat katkenneen suljetun linjan ääriviivat.

Mitä tahansa tasaista rajattua pintaa voidaan pitää tasona. Se voi olla silityslauta, paperiarkki tai jopa ovi.

Nelikulmat

Suuntaviiva on geometrinen kuvio, jonka vastakkaiset sivut ovat pareittain yhdensuuntaiset. Tämän mallin yksityisistä tyypeistä erotetaan rombi, suorakulmio ja neliö.

Suorakulmio on suuntaviiva, jonka kaikki sivut koskettavat suorassa kulmassa.

Neliö on nelikulmio, jonka sivut ja kulmat ovat yhtä suuret.

Rombi on kuvio, jossa kaikki kasvot ovat samanarvoisia. Tässä tapauksessa kulmat voivat olla täysin erilaisia, mutta pareittain. Jokaista neliötä pidetään rombina. Mutta päinvastaiseen suuntaan, tämä sääntö ei aina toimi. Jokainen rombi ei ole neliö.

Trapetsi

Geometriset muodot ovat täysin erilaisia ​​ja outoja. Jokaisella niistä on ainutlaatuinen muoto ja ominaisuudet.

Puolisuunnikas on kuvio, joka on jossain määrin samanlainen kuin nelikulmio. Sillä on kaksi yhdensuuntaista vastakkaista sivua ja sitä pidetään kaarevana.

Ympyrä

Tämä geometrinen kuvio merkitsee pisteiden sijaintia samalla tasolla, jotka ovat yhtä kaukana sen keskustasta. Tässä tapauksessa tiettyä nollasta poikkeavaa segmenttiä kutsutaan yleensä säteeksi.

Kolmio

Tämä on yksinkertainen geometrinen hahmo, jota tavataan ja tutkitaan hyvin usein.

Kolmiota pidetään monikulmion alalajina, joka sijaitsee samassa tasossa ja jota rajoittaa kolme pintaa ja kolme kosketuspistettä. Nämä elementit on yhdistetty pareittain.

Monikulmio

Monikulmioiden kärjet ovat segmenttejä yhdistäviä pisteitä. Ja jälkimmäisiä puolestaan ​​pidetään puolueina.

Volumetriset geometriset muodot

• prisma;
• alalla;
• kartio;
• sylinteri;
• pyramidi;

Näillä ruumiilla on jotain yhteistä. Kaikki ne rajoittuvat suljettuun pintaan, jonka sisällä on monia pisteitä.

Volumetrisia kappaleita ei tutkita vain geometriassa, vaan myös kristallografiassa.

Mielenkiintoisia faktoja

Olet varmasti kiinnostunut lukemaan alla olevat tiedot.

• Geometria muodostettiin tieteenä muinaisina aikoina. Tämä ilmiö liittyy yleensä taiteen ja erilaisten käsitöiden kehitykseen. Ja geometristen muotojen nimet osoittavat samankaltaisuuden ja samankaltaisuuden määrittämisperiaatteiden käyttöä.
• Muinaisesta kreikasta käännetty termi "trapetsi" tarkoittaa ateriapöytää.
• Jos otat eri kuvioita, joiden kehä on sama, ympyrällä on taatusti suurin pinta-ala.
• Kreikasta käännetty termi "käpy" tarkoittaa männynkäpyä.
• Siellä on Kazemir Malevitšin kuuluisa maalaus, joka on herättänyt monien taiteilijoiden huomion viime vuosisadalta lähtien. Teos "Musta neliö" on aina ollut mystinen ja salaperäinen. Geometrinen hahmo valkoisella kankaalla ilahduttaa ja hämmästyttää samanaikaisesti.

Geometrisiä muotoja on suuri määrä. Kaikki ne eroavat parametreista ja joskus jopa yllättävät muodoilla.

1. Geometrisen hahmon käsite.

3. Yhdensuuntaiset ja kohtisuorat suorat.

4. Kolmiot.

5. Nelikulmat.

6. Monikulmiot.

7. Ympyrä ja ympyrä.

8. Geometristen kuvioiden rakentaminen tasoon.

9. Geometristen kuvioiden muunnokset. Muutoksen käsite

Pääkirjallisuus;

lisäkirjallisuutta

Geometrisen hahmon käsite

Geometrinen kuvio määritellään mille tahansa pistejoukoksi.

Jakso, suora, ympyrä, pallo- geometriset hahmot.

Jos geometrisen kuvion kaikki pisteet kuuluvat samaan tasoon, sitä kutsutaan tasainen .

Esimerkiksi segmentti, suorakulmio ovat litteitä kuvioita. On lukuja, jotka eivät ole tasaisia. Tämä on esimerkiksi kuutio, pallo, pyramidi.

Koska geometrisen hahmon käsite määritellään joukon käsitteen kautta, voidaan sanoa, että yksi kuvio sisältyy toiseen (tai sisältyy toiseen), voidaan tarkastella kuvioiden liittoa, leikkauskohtaa ja eroa.

Esimerkiksi, kahden palkin liitto AB ja MK(Kuva 1) on suora viiva KV, ja niiden leikkauspiste on segmentti OLEN.

K A M V

Kuperat hahmot ovat taso, viiva, säde, jana, piste. On helppo varmistaa, että kupera kuvio on ympyrä (kuva 3). Jos jatkamme janaa XY ympyrän leikkauskohtaan, saadaan sointu AB. Koska jänne sisältyy ympyrään, myös jana XY sisältyy ympyrään ja siksi ympyrä on kupera kuvio.

Monikulmioiden osalta tunnetaan toinen määritelmä: Monikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos se on jokaisen sen sivun sisältävän suoran toisella puolella. .

Koska tämän määritelmän ja edellä polygonille annetun määritelmän vastaavuus on todistettu, molempia voidaan käyttää.

Näiden käsitteiden pohjalta tarkastellaan muita koulun planimetrian kurssilla opittuja geometrisia muotoja. Tarkastellaanpa niiden määritelmiä ja perusominaisuuksia hyväksymällä ne ilman todisteita. Tämän materiaalin tuntemus ja kyky soveltaa sitä yksinkertaisten geometristen tehtävien ratkaisuun on perusta, jolle voit rakentaa metodologian alkeisgeometrian opettamiseen nuoremmille opiskelijoille.

kulmat

Muista tuo Kulma on geometrinen kuvio, joka koostuu pisteestä ja kahdesta siitä lähtevästä säteestä.

Säteitä kutsutaan kulman sivuiksi, ja niiden yhteinen alku on kulman kärki.

Kulma merkitään eri tavoin: osoita joko sen kärki tai sivut tai kolme pistettä: kärki ja kaksi pistettä kulman sivuilla: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

Kulma kutsutaan käyttöön , jos sen sivut ovat samalla suoralla.

Kulmaa, joka on puolet suorasta kulmasta, kutsutaan suoraan. Suoraa kulmaa pienempää kulmaa kutsutaan terävä. Kulmaa, joka on suurempi kuin suora kulma, mutta pienempi kuin suora kulma, kutsutaan tyhmä .

Yllä esitetyn kulman käsitteen lisäksi geometriassa tarkastellaan tasokulman käsitettä.

Tasainen kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi eri sädettä, jotka lähtevät samasta pisteestä.

Planimetriassa huomioidut kulmat eivät ylitä kehitettyä kulmaa.

Kaksi kulmaa kutsutaan vieressä, jos niillä on yksi yhteinen sivu ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tämän ominaisuuden pätevyys seuraa vierekkäisten kulmien määritelmästä.

Kaksi kulmaa kutsutaan pystysuora, jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä puoliviivoja. Kulmat AOB ja SOV sekä kulmat AOC ja D0B ovat pystysuorat (kuva 4).

2.1. Geometriset luvut tasossa

Viime vuosina on ollut taipumus sisällyttää matematiikan alkukurssiin merkittävä määrä geometristä materiaalia. Mutta voidakseen esitellä opiskelijat erilaisiin geometrisiin muotoihin, opettaa heille, kuinka kuvata ne oikein, hän tarvitsee asianmukaista matemaattista koulutusta. Opettajan tulee tuntea geometriakurssin johtavat ideat, tuntea geometristen muotojen perusominaisuudet ja osata rakentaa niitä.

Tasaista hahmoa kuvattaessa ei ole geometrisia ongelmia. Piirustus toimii joko tarkana kopiona alkuperäisestä tai edustaa sitä vastaavaa kuvaa. Kun otetaan huomioon piirustuksen ympyrän kuva, saamme saman visuaalisen vaikutelman kuin alkuperäistä ympyrää tarkasteltaessa.

Siksi geometrian tutkimus alkaa planimetrialla.

Planimetria on geometrian haara, joka tutkii kuvioita tasossa.

Geometrinen kuvio määritellään minkä tahansa pistejoukoksi.

Segmentti, viiva, ympyrä - geometriset muodot.

Jos geometrisen kuvion kaikki pisteet kuuluvat samaan tasoon, sitä kutsutaan tasaiseksi.

Esimerkiksi segmentti, suorakulmio ovat litteitä kuvioita.

On lukuja, jotka eivät ole tasaisia. Tämä on esimerkiksi kuutio, pallo, pyramidi.

Koska geometrisen hahmon käsite määritellään joukon käsitteen kautta, voidaan sanoa, että yksi kuvio sisältyy toiseen, voidaan tarkastella kuvioiden liittoa, leikkauskohtaa ja eroa.

Esimerkiksi kahden säteen AB ja MK liitto on suora KB ja niiden leikkauspiste on jana AM.

On kuperia ja ei-kupera kuvioita. Kuvaa kutsutaan kuperaksi, jos se sisältää yhdessä minkä tahansa kahden pisteensä kanssa myös niitä yhdistävän janan.

Kuvio F1 on kupera ja kuvio F2 on ei-kupera.

Kuperat hahmot ovat taso, viiva, säde, jana, piste. on helppo varmistaa, että kupera kuvio on ympyrä.

Jos jatkamme janaa XY ympyrän leikkauskohtaan, saadaan jänne AB. Koska jänne sisältyy ympyrään, myös jana XY sisältyy ympyrään, ja siksi ympyrä on kupera kuvio.

Tason yksinkertaisimpien kuvioiden pääominaisuudet ilmaistaan ​​seuraavilla aksioomeilla:

1. Riippumatta suorasta, on pisteitä, jotka kuuluvat tähän suoraan mutta eivät kuulu siihen.

Minkä tahansa kahden pisteen kautta voit piirtää viivan ja vain yhden.

Tämä aksiooma ilmaisee pisteiden ja suorien kuuluvuuden pääominaisuuden tasossa.

2. Suoran kolmesta pisteestä yksi ja vain yksi on kahden muun välissä.

Tämä aksiooma ilmaisee pisteiden sijainnin pääominaisuuden viivalla.

3. Jokaisen segmentin pituus on suurempi kuin nolla. Janan pituus on yhtä suuri kuin niiden osien pituuksien summa, joihin se on jaettu millä tahansa sen pisteellä.

Ilmeisesti aksiooma 3 ilmaisee segmenttien mittauksen pääominaisuuden.

Tämä lause ilmaisee pisteiden sijainnin pääominaisuuden suhteessa suoraan tasoon.

5. Jokaisella kulmalla on tietty astemitta, suurempi kuin nolla. Laajennettu kulma on 180 o. Kulman astemitta on yhtä suuri kuin niiden kulmien astemittojen summa, joihin se on jaettu millä tahansa sen sivujen välistä kulkevalla säteellä.

Tämä aksiooma ilmaisee kulmien mittauksen perusominaisuuden.

6. Millä tahansa puolisuoralla sen aloituspisteestä voidaan piirtää tietynpituinen segmentti, ja vain yksi.

7. Mistä tahansa tietyn puolitason puoliviivasta voit asettaa sivuun kulman, jonka astemitta on pienempi kuin 180 O, ja vain yksi.

Nämä aksioomit heijastavat kulmien ja segmenttien luopumisen perusominaisuuksia.

Yksinkertaisimpien kuvioiden pääominaisuuksiin kuuluu kolmion olemassaolo, joka on yhtä suuri kuin annettu annettu.

8. Oli kolmio mikä tahansa, tietyssä paikassa on yhtä suuri kolmio suhteessa annettuun puoliviivaan.

Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuudet ilmaistaan ​​seuraavalla aksioomalla.

9. Pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, voidaan tasolle piirtää korkeintaan yksi suoran kanssa samansuuntainen suora.

Harkitse joitain geometrisia muotoja, joita opiskellaan peruskoulussa.

Kulma on geometrinen kuvio, joka koostuu pisteestä ja kahdesta tästä pisteestä lähtevästä säteestä. Säteitä kutsutaan kulman sivuiksi, ja niiden yhteinen alku on kulman kärki.

Kulmaa kutsutaan suoraksi, jos sen sivut ovat samalla suoralla.

Kulmaa, joka on puolet suorasta kulmasta, kutsutaan suoraksi kulmaksi. Suoraa kulmaa pienempää kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi. Kulmaa, joka on suurempi kuin suora kulma, mutta pienempi kuin suora kulma, kutsutaan tylpäksi kulmaksi.

Yllä esitetyn kulman käsitteen lisäksi geometriassa tarkastellaan tasokulman käsitettä.

Tasainen kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi eri sädettä, jotka lähtevät samasta pisteestä.

On olemassa kaksi tasaista kulmaa, jotka muodostuvat kahdesta säteestä, joilla on yhteinen alkuperä. Niitä kutsutaan lisävarusteiksi. Kuvassa on kaksi litteää kulmaa sivuilla OA ja OB, joista toinen on varjostettu.

Kulmat ovat vierekkäiset ja pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen komplementaarisia puoliviivoja.

AOD- ja SOV-kulmat sekä AOS- ja DOV-kulmat ovat pystysuoria.

Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Yhdensuuntaiset ja kohtisuorat viivat.

Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan yhdensuuntaiseksi, jos ne eivät leikkaa.

Jos suora a on yhdensuuntainen suoran b kanssa, kirjoita a II c.

Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.

Jos suora a on kohtisuorassa suoraa b vastaan, kirjoita a.

Kolmiot.

Kolmio on geometrinen kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmesta niitä yhdistävästä segmentistä.

Mikä tahansa kolmio jakaa tason kahteen osaan: sisäiseen ja ulkoiseen.

Kaikissa kolmioissa erotetaan seuraavat elementit: sivut, kulmat, korkeudet, puolittajat, mediaanit, keskiviivat.

Tietystä kärjestä pudonneen kolmion korkeus on kohtisuora, joka on vedetty tästä kärjestä vastakkaisen sivun sisältävään viivaan.

Kolmion puolittaja on kolmion puolittaja, joka yhdistää kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen.

Tietystä kärjestä piirretyn kolmion mediaani on jana, joka yhdistää tämän kärjen vastakkaisen puolen keskipisteeseen.

Kolmion keskiviiva on jana, joka yhdistää kolmion kahden sivun keskipisteet.

Nelikulmat.

Nelikulmio on kuvio, joka koostuu neljästä pisteestä ja neljästä ne sarjaan yhdistävästä segmentistä, joista kolme ei saa olla samalla suoralla eivätkä niitä yhdistävät janat leikkaa toisiaan. Näitä pisteitä kutsutaan kolmion huipuiksi ja yhdistäviä segmenttejä sen sivuiksi.

Nelikulmion sivuja, jotka ovat peräisin samasta kärjestä, kutsutaan vastakkaisiksi sivuiksi.

Nelikulmaisessa ABCD kärjet A ja B ovat vierekkäin ja kärjet A ja C ovat vastakkaisia; sivut AB ja BC ovat vierekkäiset, BC ja AD vastakkaiset; janat AC ja BD ovat tämän nelikulmion lävistäjät.

On kuperia ja ei-kupera nelikulmiota. Siten nelikulmio ABCD on kupera, kun taas nelikulmio KRMT on ei-kupera.

Kuperista nelikulmista erotetaan suunnikkaat ja puolisuunnikkaat.

Suuntaviiva on nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.

Puolisuunnikas on nelikulmio, jossa vain kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaisia. Näitä yhdensuuntaisia ​​sivuja kutsutaan puolisuunnikkaan kannaksi. Kahta muuta puolta kutsutaan lateraaliseksi. Janaa, joka yhdistää sivujen keskipisteet, kutsutaan puolisuunnikkaan keskiviivaksi.

BC ja AD ovat puolisuunnikkaan kantat; AB ja SD - sivut; KM - puolisuunnikkaan keskiviiva.

Monista suunnikasista erotetaan suorakulmiot ja rombit.

Suorakulmio on suunnikas, jossa on kaikki suorat kulmat.

Rombi on suuntaviiva, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Suorakulmioiden joukosta valitaan neliöt.

Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä suuret.

Ympyrä.

Ympyrä on kuvio, joka koostuu kaikista tason pisteistä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan keskipisteeksi.

Etäisyyttä pisteistä sen keskustaan ​​kutsutaan säteeksi. Janaa, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä, kutsutaan jänteeksi. Keskustan läpi kulkevaa jännettä kutsutaan halkaisijaksi. OA on säde, SD on jänne, AB on halkaisija.

Ympyrän keskikulma on tasainen kulma, jonka keskellä on kärki. Tasaisen kulman sisällä olevaa ympyrän osaa kutsutaan tätä keskikulmaa vastaavan ympyrän kaareksi.

Uusien oppikirjojen mukaan uusissa ohjelmissa M.I. Moro, M.A. Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. Stepanova 4. luokalla saa rakennustehtäviä, joita ei aikaisemmin ollut peruskoulun matematiikan ohjelmassa. Nämä ovat tehtäviä, kuten:

Muodosta kohtisuora suoraa vastaan;

Jaa segmentti puoliksi;

Rakenna kolmio kolmelle sivulle;

Muodosta säännöllinen kolmio, tasakylkinen kolmio;

Rakenna kuusikulmio;

Rakenna neliö neliön diagonaalien ominaisuuksien avulla;

Muodosta suorakulmio käyttämällä suorakulmion diagonaalit-ominaisuutta.

Harkitse geometristen kuvioiden rakentamista tasoon.

Geometrian osaa, joka tutkii geometrisia rakenteita, kutsutaan konstruktiiviseksi geometriaksi. Konstruktiivisen geometrian peruskäsite on käsite "konstruoida kuvio". Tärkeimmät ehdotukset muodostetaan aksioomien muodossa ja rajoittuvat seuraaviin.

1. Jokainen annettu kuva on rakennettu.

2. Jos muodostetaan kaksi (tai useampia) kuvioita, myös näiden kuvioiden liitto muodostetaan.

3. Jos muodostetaan kaksi hahmoa, on mahdollista määrittää, onko niiden leikkauspiste tyhjä joukko vai ei.

4. Jos kahden konstruoidun hahmon leikkauspiste ei ole tyhjä, se on konstruoitu.

5. Jos muodostetaan kaksi hahmoa, on mahdollista määrittää, onko niiden ero tyhjä joukko vai ei.

6. Jos kahden konstruoidun hahmon erotus ei ole tyhjä joukko, niin se muodostetaan.

7. Voit piirtää piirrettyyn kuvioon kuuluvan pisteen.

8. Voit rakentaa pisteen, joka ei kuulu muodostettuun kuvioon.

Geometristen kuvioiden, joilla on joitain määritetyistä ominaisuuksista, rakentamiseen käytetään erilaisia ​​piirustustyökaluja. Yksinkertaisimmat niistä ovat: yksipuolinen viivain (jäljempänä yksinkertaisesti viivain), kaksipuolinen viivain, neliö, kompassit jne.

Erilaisten piirustustyökalujen avulla voit suorittaa erilaisia ​​​​rakenteita. Geometrisissa rakenteissa käytettävien piirustustyökalujen ominaisuudet ilmaistaan ​​myös aksioomien muodossa.

Koska koulun geometrian kurssilla tarkastellaan geometristen kuvioiden rakentamista kompassin ja viivaimen avulla, jäämme myös näiden tiettyjen piirustusten työkaluilla suorittamien päärakenteiden tarkasteluun.

Joten viivaimen avulla voit suorittaa seuraavat geometriset rakenteet.

1. rakentaa jana, joka yhdistää kaksi rakennettua pistettä;

2. rakentaa kahden rakennetun pisteen kautta kulkeva suora;

3. rakentaa säde, joka alkaa konstruoidusta pisteestä ja kulkee konstruoidun pisteen läpi.

Kompassin avulla voit suorittaa seuraavat geometriset rakenteet:

1. muodostaa ympyrän, jos sen keskipiste ja jana, joka on yhtä suuri kuin ympyrän säde, on muodostettu;

2. rakentaa mikä tahansa kahdesta lisäympyrän kaaresta, jos ympyrän keskipiste ja näiden kaarien päät on muodostettu.

Rakentamisen perustehtävät.

Rakennustehtävät ovat ehkä vanhimpia matemaattisia ongelmia, ne auttavat ymmärtämään paremmin geometristen muotojen ominaisuuksia, edistävät graafisten taitojen kehittymistä.

Rakennusongelma katsotaan ratkaistuksi, jos kuvion rakennustapa on määritelty ja osoitetaan, että esitettyjen rakenteiden toteutuksen tuloksena saadaan todellakin vaaditut ominaisuudet omaava kuvio.

Harkitse joitain perusrakennustehtäviä.

1. Muodosta jana SD tietylle suoralle, joka on yhtä suuri kuin jana AB.

Segmentin lykkäämisen aksioomasta seuraa pelkän rakentamisen mahdollisuus. Kompassin ja viivaimen avulla se suoritetaan seuraavasti. Olkoon suora a ja jana AB. Merkitsemme suoralle pisteen C ja rakennamme ympyrän, jonka suora a keskittää pisteeseen C ja merkitsee D. Jana SD on yhtä suuri kuin AB.

2. Piirrä annetun pisteen kautta viiva, joka on kohtisuora annettuun viivaan nähden.

Olkoon pisteet O ja suora a annettu. Kaksi tapausta on mahdollista:

1. Piste O on suoralla a;

2. Piste O ei ole suoralla a.

Ensimmäisessä tapauksessa merkitsemme pistettä C, joka ei ole suoralla a. Pisteestä C kuten keskustasta kirjoitetaan mielivaltaisen säteen ympyrä. Olkoot A ja B sen leikkauspisteet. Pisteistä A ja B kuvataan yhden säteen ympyrää. Olkoon piste O niiden leikkauspiste, joka on eri kuin C. Tällöin puolisuora CO on kehitetyn kulman puolittaja, samoin kuin kohtisuora suoraa a vastaan.

Toisessa tapauksessa piirretään pisteestä O kuten keskeltä ympyrä, joka leikkaa suoran a, ja sitten pisteistä A ja B samalla säteellä piirretään vielä kaksi ympyrää. Olkoon niiden leikkauspiste O, joka on eri puolitasossa kuin piste O. Suora OO/ on kohtisuora annettua suoraa a vastaan. Todistetaan se.

Merkitään C:llä suorien AB ja OO/ leikkauspiste. Kolmioilla AOB ja AO/B on kolme yhtä suurta sivua. Siksi kulma OAC on yhtä suuri kuin kulma O/AC ovat yhtä suuri kahdella sivulla ja niiden välinen kulma. Näin ollen kulmista ACO ja ACO/ ovat yhtä suuret. Ja koska kulmat ovat vierekkäisiä, ne ovat suoria kulmia. Siten OS on kohtisuora suoraa a vastaan.

3. Piirrä annetun pisteen kautta viiva annetun pisteen suuntaisesti.

Olkoon suora a ja piste A tämän suoran ulkopuolella. Otetaan jokin piste B suoralta a ja yhdistetään se pisteeseen A. Piirretään pisteen A kautta viiva C, joka muodostaa saman kulman AB:n kanssa kuin AB muodostaa annetun suoran a, mutta vastakkaiselle puolelle kuin AB. Muodostettu suora tulee olemaan yhdensuuntainen suoran a. kanssa, mikä seuraa suorien a ja leikkauspisteen AB kanssa muodostuneiden poikittaiskulmien yhtäläisyydestä.

4. Muodosta tangentti ympyrään, joka kulkee sen tietyn pisteen kautta.

Annettu: 1) ympyrä X (O, h)

2) piste A x

Rakenne: tangentti AB.

Rakentaminen.

2. ympyrä X (A, h), jossa h on mielivaltainen säde (kompassin aksiooma 1)

3. ympyrän x 1 ja suoran AO leikkauspisteet M ja N, eli (M, N) = x 1 AO (aksiooma 4 on yleinen)

4. ympyrä x (M, r 2), jossa r 2 on mielivaltainen säde, jolloin r 2 r 1 (kompassin aksiooma 1)

Ja ulkoisesti - avoimella käyttäytymisellään ja sisäisesti - henkisillä prosesseilla ja tunteilla. Johtopäätökset ensimmäisestä osiosta Nuoremman opiskelijan kaikkien kognitiivisten prosessien kehittymisen edellytyksenä on seuraavat ehdot: 1. Kasvatustoiminnan tulee olla tarkoituksenmukaista, herättää ja ylläpitää jatkuvaa kiinnostusta opiskelijoiden keskuudessa; 2. Laajenna ja kehitä...

Koko testi kokonaisuutena, mikä osoittaa, että heidän henkisten vertailu- ja yleistysoperaatioiden kehitystaso on korkeampi kuin huonosti suoriutuneiden koululaisten. Jos analysoimme yksittäisiä tietoja osatesteillä, vaikeudet vastata yksittäisiin kysymyksiin osoittavat näiden loogisten toimintojen huonoa tietämystä. Nämä vaikeudet esiintyvät useimmiten heikosti menestyvillä koululaisilla. Se...

Nuorempi opiskelija. Opintojakso: figuratiivisen ajattelun kehittäminen lukion nro 1025 2. luokan opiskelijoiden keskuudessa. Menetelmä: testaus. Luku 1. Kuvaajattelun tutkimuksen teoreettiset perusteet 1.1. Ajattelun käsite Tietomme ympäröivästä todellisuudesta alkaa aistimuksista ja havainnoista ja jatkuu ajatteluun. Ajattelun tehtävänä on laajentaa tiedon rajoja ylittämällä ...