Definition. Quadratic Form, joka vastaa symmetristä bilineaarista muotoa lineaarisessa avaruudessa V , kutsutaan yhden vektorin argumentin funktioksi .

Olkoon neliömuoto , sitä vastaava symmetrinen bilineaarinen muoto. Sitten

mistä seuraa, että neliömuodosta myös vastaava symmetrinen bilineaarinen muoto määräytyy yksiselitteisesti. Eli symmetristen bilineaaristen ja neliöllisten muotojen välillä lineaarisessa avaruudessa V muodostuu yksi-yhteen vastaavuus, joten neliömuotoja voidaan tutkia käyttämällä symmetrisiä bilineaarisia muotoja.

Harkitse n-ulotteinen lineaarinen avaruus. Neliöllisen muodon matriisi Tietyssä lineaarisen avaruuden kannassa kutsutaan vastaavan symmetrisen bilineaarisen muodon matriisia samassa kannassa. Neliömatriisi on aina symmetrinen.

Merkitse neliömuodon matriisia jossain avaruuskantauksessa . Jos, kuten tavallista, merkitsemme X vektorin koordinaattisarake samassa kannassa, niin yhtälöstä 5.5 saadaan neliömuodon matriisimuoto:

.

Lause 5.4. Olkoon kaksi kantaa lineaarisessa avaruudessa

(5.10)

, (5.11)

ja olkoon ja ovat neliömatriiseja emäksissä (5.10) ja (5.11). Sitten missä T on siirtymämatriisi välillä (5.10) arvoon (5.11).

Todistus seuraa Lauseen 5.2 ja neliömuodon matriisin määritelmästä.

Johtuen siitä, että siirtymämatriisi T on ei-degeneroitunut, silloin neliömuodon matriisin arvo ei muutu siirryttäessä uuteen kantaan. Siksi voimme muotoilla seuraavan määritelmän.

Määritelmä. sijoitus Lineaarisessa avaruudessa määritellyn neliöllisen muodon arvoa kutsutaan sen matriisin arvoksi joissakin, ja siten missä tahansa avaruuden perustassa (merkitty merkillä ).

Nyt kirjoitetaan neliömuoto koordinaattimuotoon. Tätä varten laajennetaan vektoria kannan (5.10) suhteen: . Jos on toisen asteen matriisi samassa kannassa, niin yhtälön (5.4) mukaisesti meillä on

– (5.12)

asteen muodon koordinaattimuoto. Kirjoita (5.12) yksityiskohtaisesti for n= 3, kun otetaan huomioon

Joten, jos kanta on annettu, niin toisen asteen toisen asteen homogeeninen polynomi näyttää koordinaattimerkinnässä oleva neliömuoto n muuttujat – vektorikoordinaatit annetussa kannassa. Tätä polynomia kutsutaan näkymä neliömuoto tietyssä kannassa. Mutta sovelluksissa tällaiset polynomit syntyvät usein itsenäisesti, ilman näkyvää yhteyttä lineaarisiin tiloihin (esimerkiksi funktioiden toiset differentiaalit), joten muotoilemme vielä yhden neliömuodon määritelmän.

Määritelmä. neliömuoto alkaen n muuttujia on homogeeninen toisen asteen polynomi näissä muuttujissa, eli muodon (5.12) funktio. Neliömuotoinen matriisi (5.12) on symmetrinen matriisi.

Esimerkki muodostaa neliömuotoisen matriisin. Anna olla

Kohdista (5.12) ja (5.13) voidaan nähdä, että kerroin at on sama kuin , eli neliömuodon matriisin diagonaaliset alkiot ovat neliöiden kertoimia. Samalla tavalla näemme, että se on puolet tuotteen kertoimesta. Siten neliömuotomatriisi (5.14) näyttää tältä:

.

Valitsemme nyt avaruudessa jälleen kaksi kantaa (5.10) ja (5.11) ja merkitsemme tavalliseen tapaan ovat vektorin koordinaattisarakkeita kannassa (5.10) ja (5.11). Siirtyessään kannasta (5.10) kantaan (5.11) vektorin koordinaatit muuttuvat lain mukaan:

missä on siirtymämatriisi välillä (5.10) arvoon (5.11). Huomaa, että matriisi ei ole rappeutunut. Kirjoitetaan yhtäläisyys (5.15) koordinaattimuodossa:

tai tarkemmin:

(5.17)

Yhtälön (5.17) (tai (5.16), joka on sama) avulla siirrytään muuttujista muuttujiin .

Määritelmä. Muuttujien lineaarinen ei-degeneroitu muunnos on yhtäläisyysjärjestelmän (5.16) tai (5.17) tai yhden matriisiyhtälön (5.15) määrittämien muuttujien muunnos, mikäli se on ei-singulaarinen matriisi. Matriisi T kutsutaan tämän muuttujien muunnoksen matriisiksi.

Jos kohdassa (5.12) korvataan muuttujien sijaan niiden lausekkeet muuttujilla kaavojen (5.17) mukaisesti, avataan sulut ja annetaan samanlaiset, niin saadaan toinen homogeeninen toisen asteen polynomi:

.

Tässä tapauksessa muuttujien lineaarisen ei-degeneroituneen muunnoksen (5.17) sanotaan ottavan neliömuodon neliömuotoon . Muuttujien arvot, jotka liittyvät suhteeseen (5.15) (tai suhteisiin (5.16) tai (5.17)) kutsutaan nimellä asiaankuuluvaa tietylle muuttujien lineaariselle ei-degeneroituneelle muunnokselle.

Määritelmä. Muuttujien joukkoa kutsutaan ei-triviaali , jos vähintään yhden siinä olevan muuttujan arvo on nollasta poikkeava. Muuten muuttujien joukkoa kutsutaan triviaali .

Lemma 5.2. Muuttujien lineaarisessa ei-degeneroidussa muunnoksessa triviaali muuttujien joukko vastaa triviaalijoukkoa.

Se ilmeisesti seuraa tasa-arvosta (5.15): jos , niin ja . Toisaalta käyttämällä matriisin epäsingulaarisuutta T, jälleen kohdasta (5.15) saadaan , josta on selvää, että , myös .◄

Seuraus. Lineaarisen ei-degeneroituneen muuttujien muunnoksen alla ei-triviaali muuttujien joukko vastaa ei-triviaalijoukkoa.

Lause 5.5. Jos lineaarinen ei-degeneroitu muunnos (5.15) saa neliömuodon matriisin kanssa MUTTA neliömuotoon matriisin kanssa MUTTA", sitten (lauseen 5.4 toinen muotoilu).

Seuraus. Lineaarisessa ei-degeneroituneessa muuttujien muunnoksessa neliömuotoisen matriisin determinantti ei muuta etumerkkiä.

Kommentti. Toisin kuin siirtymämatriisi ja lineaarisen operaattorin matriisi, muuttujien lineaarisen ei-degeneroituneen muunnoksen matriisi ei kirjoiteta sarakkeilla, vaan riveillä.

Olkoon kaksi lineaarista ei-degeneroitunutta muuttujien muunnosa:

Sovelletaan niitä järjestyksessä:

Muuttujien lineaaristen ei-degeneroituneiden muunnosten kokoonpano(5.18) ja (5.19) on niiden peräkkäinen sovellus eli muuttujien muunnos Kohdasta (5.20) on selvää, että muuttujien kahden lineaarisen ei-degeneroituneen muunnoksen koostumus on myös muuttujien lineaarinen ei-degeneroitunut muunnos.

Määritelmä. Neliömäisiä muotoja kutsutaan vastaava , jos on olemassa lineaarinen ei-degeneroitunut muuttujien muunnos, joka muuttaa yhden niistä toiseksi.

Kvadraattiset muodot

neliömuoto n muuttujan f(x 1, x 2,..., x n) kutsutaan summaksi, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan neliömuotomatriisiksi. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä toisen asteen muoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuotoon.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin muuttujien neliöiden kertoimet, ja loput alkiot ovat yhtä suuria kuin puolet neliömuodon vastaavista kertoimista. Niin

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on kertaluvun n ei-degeneroitunut matriisi. Sitten neliömuoto
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Siten ei-degeneroituneessa lineaarisessa muunnoksessa C neliömuodon matriisi saa muodon: A * = C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys) jos kaikki sen kertoimet a ij = 0 kun i ≠ j, ts.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei anneta tässä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Pelkistetään esimerkiksi neliömuoto kanoniseen muotoon
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin muuttujan x 1 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme muuttujan x 2 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 tuo tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f (y 1 , y 2, y 3) = 2 v 1 2 - 5 v 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että toisen asteen muodon kanoninen muoto on määritelty moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoksi eri tavoilla). Eri menetelmillä saaduilla kanonisilla muodoilla on kuitenkin useita yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu siitä, kuinka muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaki.

Varmistetaan tämä pelkistämällä sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, missä y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6) ) x 3 ja y 3 = x 1 . Tässä positiivinen kerroin 2 kohdassa y 3 ja kaksi negatiivista kerrointa (-3) kohdissa y 1 ja y 2 (ja käyttämällä toista menetelmää saimme positiivisen kertoimen 2 kohdassa y 1 ja kaksi negatiivista kerrointa - (-5) kohdassa y 2 ja (-1 /20) y:lle 3).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns toisen asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti (negatiivinen) varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti nollaa, se on positiivinen, ts. f(X) > 0 (negatiivinen, ts.
f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivinen määrätty, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon merkkimääräisyyden toteaminen on hieman vaikeampaa, joten tähän käytetään jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty silloin ja vain, jos kaikki sen matriisin ominaisarvot ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause (Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin päämollit ovat positiivisia.

Major (kulma) molli N:nnen kertaluvun matriisin A k:nnettä kertalukua kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisestä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivis-definitiivisissa kvadraattisissa muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollimerkin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkkimäärän suhteen.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli A D 1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun pää-molli D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Siksi Sylvester-kriteerin mukaan neliömuoto on positiivinen määrätty.

Tarkastelemme toista neliömuotoa merkkimäärityksestä, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka muoto on А = . Tunnusomaisella yhtälöllä on muoto = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

neliömuoto n muuttujan f(x 1, x 2,..., x n) kutsutaan summaksi, jonka jokainen termi on joko yhden muuttujan neliö tai kahden eri muuttujan tulo tietyllä kertoimella: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Näistä kertoimista koostuvaa matriisia A kutsutaan neliömuotomatriisiksi. Se on aina symmetrinen matriisi (eli matriisi, joka on symmetrinen päädiagonaalin suhteen, a ij = a ji).

Matriisimerkinnässä toisen asteen muoto on f(X) = X T AX, missä

Todellakin

Esimerkiksi kirjoitetaan neliömuoto matriisimuotoon.

Tätä varten löydämme neliömuotoisen matriisin. Sen diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin muuttujien neliöiden kertoimet, ja loput alkiot ovat yhtä suuria kuin puolet neliömuodon vastaavista kertoimista. Niin

Olkoon muuttujien X matriisisarake saatu matriisi-sarakkeen Y ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella, ts. X = CY, missä C on kertaluvun n ei-degeneroitunut matriisi. Sitten neliömuoto f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Siten ei-degeneroituneella lineaarisella muunnoksella C neliömuodon matriisi saa muodon: A * =C T AC.

Etsitään esimerkiksi neliömuoto f(y 1, y 2), joka saadaan neliömuodosta f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarimuunnoksen avulla.

Kvadraattista muotoa kutsutaan kanoninen(Sillä on kanoninen näkemys), jos kaikki sen kertoimet a ij \u003d 0 kohdassa i≠j, eli f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Sen matriisi on diagonaalinen.

Lause(todistetta ei anneta tässä). Mikä tahansa neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseen muotoon käyttämällä ei-degeneroitunutta lineaarimuunnosa.

Tuodaan esimerkiksi kanoniseen muotoon neliömuoto f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Voit tehdä tämän valitsemalla ensin muuttujan x 1 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Nyt valitsemme muuttujan x 2 koko neliön:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Sitten ei-degeneroitu lineaarinen muunnos y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 ja y 3 \u003d x 3 tuo tämän toisen asteen muodon kanoniseen muotoon f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2v 1 2 - 5 v 2 2 - (1/20) y 3 2 .

Huomaa, että toisen asteen muodon kanoninen muoto on määritelty moniselitteisesti (sama neliömuoto voidaan pelkistää kanoniseksi muotoon eri tavoin1). Eri menetelmillä saaduilla kanonisilla muodoilla on kuitenkin useita yhteisiä ominaisuuksia. Erityisesti neliömuodon positiivisilla (negatiivisilla) kertoimilla varustettujen termien määrä ei riipu siitä, kuinka muoto pelkistetään tähän muotoon (esimerkiksi tarkasteltavassa esimerkissä on aina kaksi negatiivista ja yksi positiivinen kerroin). Tätä ominaisuutta kutsutaan toisen asteen muotojen hitauslaki.

Varmistetaan tämä pelkistämällä sama neliömuoto kanoniseen muotoon eri tavalla. Aloitetaan muunnos muuttujalla x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3 v 1 2 - -3 v 2 2 + 2 v 3 2, missä y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 ja y 3 = x 1 . Tässä positiivinen kerroin 2 kohdassa y 3 ja kaksi negatiivista kerrointa (-3) kohdissa y 1 ja y 2 ).

On myös huomattava, että asteikolla matriisin neliömuotoinen, ns toisen asteen muodon arvo, on yhtä suuri kuin kanonisen muodon nollasta poikkeavien kertoimien lukumäärä eikä muutu lineaarisissa muunnoksissa.

Kutsutaan neliömuotoa f(X). positiivisesti(negatiivinen)varma, jos kaikille muuttujien arvoille, jotka eivät ole samanaikaisesti nollaa, se on positiivinen, eli f(X) > 0 (negatiivinen, eli f(X)< 0).

Esimerkiksi neliömuoto f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 on positiivinen määrätty, koska on neliöiden summa, ja neliömuoto f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivinen määrätty, koska edustaa sitä voidaan esittää muodossa f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Useimmissa käytännön tilanteissa toisen asteen muodon merkkimääräisyyden toteaminen on hieman vaikeampaa, joten tähän käytetään jotakin seuraavista lauseista (muotoilemme ne ilman todisteita).

Lause. Neliömuoto on positiivinen (negatiivinen) määrätty silloin ja vain, jos kaikki sen matriisin ominaisarvot ovat positiivisia (negatiivisia).

Lause (Sylvesterin kriteeri). Neliömuoto on positiivinen, jos ja vain jos kaikki tämän muodon matriisin päämollit ovat positiivisia.

Major (kulma) molli An:nnen kertaluvun matriisin k:nnettä kertalukua kutsutaan matriisin determinantiksi, joka koostuu matriisin A () ensimmäisestä k rivistä ja sarakkeesta.

Huomaa, että negatiivis-definitiivisissa kvadraattisissa muodoissa pää-mollin merkit vuorottelevat ja ensimmäisen asteen mollimerkin tulee olla negatiivinen.

Tarkastellaan esimerkiksi toisen asteen muotoa f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 merkkimäärän suhteen.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Siksi neliömuoto on positiivinen määrätty.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A  1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun päämolli  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Siksi Sylvester-kriteerin mukaan , neliömuoto on positiivinen määrätty.

Tarkastelemme toista neliömuotoa merkkimäärityksestä, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka muoto on А = . Tunnusomaisella yhtälöllä on muoto = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25-8 = 17 ; . Siksi neliömuoto on negatiivinen definitiivinen.

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun päämolli A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Sylvester-kriteerin mukaan neliömuoto on siis negatiivinen definitiivinen (päämollien merkit vuorottelevat, alkaen miinuksesta).

Ja toisena esimerkkinä tarkastelemme neliömuotoa f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 merkkimäärän suhteen.

Menetelmä 1. Muodostetaan matriisi, jonka muoto on А = . Tunnusomaisella yhtälöllä on muoto = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Toinen näistä luvuista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Ominaisuusarvojen merkit ovat erilaisia. Siksi neliömuoto ei voi olla negatiivinen tai positiivinen definiitti, ts. tämä neliömuoto ei ole merkkimääräinen (se voi ottaa minkä tahansa merkin arvoja).

Menetelmä 2. Matriisin ensimmäisen kertaluvun pää-molli A  1 = a 11 = 2 > 0. Toisen kertaluvun pää-molli  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Katsoteltua tapaa pelkistää neliömuoto kanoniseen muotoon on kätevä käyttää, kun muuttujien neliöiden alla esiintyy nollasta poikkeavia kertoimia. Jos niitä ei ole, muunnos on silti mahdollista suorittaa, mutta sinun on käytettävä joitain muita temppuja. Olkoon esimerkiksi f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2 x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 - 2 x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1) + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, missä y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Neliön muotoisia.
Lomakkeiden merkitys. Sylvesterin kriteeri

Adjektiivi "neliö" viittaa heti siihen, että jokin tässä liittyy neliöön (toinen aste), ja hyvin pian tiedämme tämän "jonkin" ja mikä muoto on. Selvisi heti :)

Tervetuloa uudelle tunnilleni ja välittömänä lämmittelynä katsotaan raidallinen muoto lineaarinen. Lineaarinen muoto muuttujia nimeltään homogeeninen 1. asteen polynomi:

- tiettyjä numeroita * (oletamme, että ainakin yksi niistä on eri kuin nolla), ja ovat muuttujia, jotka voivat ottaa mielivaltaisia ​​arvoja.

* Tässä aiheessa käsittelemme vain todellisia lukuja .

Olemme jo kohdanneet termin "homogeeninen" oppitunnilla aiheesta homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät , ja tässä tapauksessa se tarkoittaa, että polynomilla ei ole lisättyä vakiota.

Esimerkiksi: – kahden muuttujan lineaarinen muoto

Nyt muoto on neliömäinen. neliömuoto muuttujia nimeltään homogeeninen 2. asteen polynomi, jonka jokainen termi sisältää joko muuttujan neliön tai kaksinkertainen muuttujien tulo. Joten esimerkiksi kahden muuttujan neliömuodolla on seuraava muoto:

Huomio! Tämä on vakiomerkintä, eikä sinun tarvitse muuttaa siinä mitään! Huolimatta "kauheasta" ulkonäöstä, kaikki on täällä yksinkertaista - vakioiden kaksoisalaindeksit osoittavat, mitkä muuttujat sisältyvät yhteen tai toiseen termiin:
– tämä termi sisältää tuotteen ja (neliö);
- tässä on työ;
- ja tässä on työ.

- Odotan välittömästi törkeän virheen, kun he menettävät kertoimen "miinuksen" ymmärtämättä, että se viittaa termiin:

Joskus suunnittelusta on "koulu" -versio hengessä, mutta sitten vain joskus. Muuten, huomaa, että tässä olevat vakiot eivät kerro meille mitään, ja siksi on vaikeampi muistaa "helppo merkintä". Varsinkin kun muuttujia on enemmän.

Ja kolmen muuttujan neliömuoto sisältää jo kuusi termiä:

... miksi "kaksi" kerrointa laitetaan "sekatermeihin"? Tämä on kätevää, ja pian selviää miksi.

Kirjoitamme kuitenkin yleisen kaavan muistiin, on kätevää järjestää se "arkilla":

- tutki huolellisesti jokainen rivi - siinä ei ole mitään vikaa!

Neliömuoto sisältää termit neliöisillä muuttujilla ja termit niiden parituloineen (cm. yhdistelmien kombinatorinen kaava ) . Ei mitään muuta - ei "yksinäistä x" eikä lisättyä vakiota (silloin et saa neliömuotoa, vaan heterogeeninen 2. asteen polynomi).

Toisen muodon matriisimerkintä

Arvoista riippuen tarkastelumuoto voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, ja sama koskee mitä tahansa lineaarista muotoa - jos ainakin yksi sen kertoimista on nollasta poikkeava, se voi osoittautua joko positiiviseksi tai negatiiviseksi (riippuen arvoista).

Tätä muotoa kutsutaan vuorotellen. Ja jos kaikki on läpinäkyvää lineaarisella muodolla, niin asiat ovat paljon mielenkiintoisempia kvadraattisen muodon kanssa:

On aivan selvää, että tämä muoto voi ottaa minkä tahansa merkin arvot, joten neliömuoto voi olla myös vaihtuva.

Se ei ehkä ole:

– aina, elleivät molemmat ole nolla.

- kenelle tahansa vektori paitsi nolla.

Ja yleisesti ottaen, jos jollekin ei-nolla vektori , , niin neliömuotoa kutsutaan positiivinen selvä; jos sitten negatiivinen selvä.

Ja kaikki olisi hyvin, mutta neliömuodon määrällisyys näkyy vain yksinkertaisissa esimerkeissä, ja tämä näkyvyys katoaa jo pienellä mutkilla:
– ?

Voidaan olettaa, että muoto on positiivisesti määritelty, mutta onko se todella niin? Yhtäkkiä tulee arvoja, joilla se on pienempi kuin nolla?

Tällä tilillä, siellä lause: putoan ominaisarvot neliömuodon matriisit ovat positiivisia * , silloin se on positiivisesti määritelty. Jos kaikki ovat negatiivisia, se on negatiivinen.

* Teoriassa on todistettu, että kaikki todellisen symmetrisen matriisin ominaisarvot pätevä

Kirjoitetaan yllä olevan muodon matriisi:
ja yhtälöstä etsitään hänet ominaisarvot :

Ratkaisemme vanhan hyvän toisen asteen yhtälö :

, joten lomake on positiivisesti määritelty, ts. kaikille nollasta poikkeaville arvoille se on suurempi kuin nolla.

Tarkasteltu menetelmä näyttää toimivan, mutta siinä on yksi iso MUTTA. Jo "kolme x kolme" -matriisille ominaisarvojen etsiminen on pitkä ja epämiellyttävä tehtävä; suurella todennäköisyydellä saat 3. asteen polynomin, jolla on irrationaaliset juuret.

Kuinka olla? On helpompikin tapa!

Sylvesterin kriteeri

Ei, ei Sylvester Stallone :) Ensinnäkin, haluan muistuttaa, mitä kulmikkaat alaikäiset matriiseja. Tämä on määrääviä tekijöitä joka "kasvaa" vasemmasta yläkulmastaan:

ja viimeinen on täsmälleen yhtä suuri kuin matriisin determinantti.

Nyt itse asiassa kriteeri:

1) Määritetty neliömuoto positiivisesti jos ja vain jos KAIKKI sen kulma-alamerkit ovat suurempia kuin nolla: .

2) Quadratic muoto määritelty negatiivinen jos ja vain, jos sen kulma-mollit vuorottelevat etumerkissä, kun taas 1.-molli on pienempi kuin nolla: , , jos on parillinen tai , jos on pariton.

Jos ainakin yhdellä kulmikkaalla mollilla on päinvastainen merkki, niin muoto merkki-vuorottelu. Jos kulmikkaat alaikäiset ovat "se"-merkkisiä, mutta niiden joukossa on nollia, niin tämä on erikoistapaus, jota analysoin hieman myöhemmin, kun olemme käyneet läpi yleisempiä esimerkkejä.

Analysoidaan matriisin angular minorit :

Ja tämä kertoo heti, että muoto ei ole negatiivisesti määrätty.

Johtopäätös: kaikki kulman alamerkit ovat suurempia kuin nolla, joten muoto positiivisesti määritelty.

Onko ero ominaisarvomenetelmän kanssa? ;)

Kirjoitamme muotomatriisin Esimerkki 1:

sen ensimmäinen kulmikas molli ja toinen , josta seuraa, että muoto on merkkivuorotteleva, ts. arvoista riippuen, voi ottaa sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Tämä on kuitenkin niin ilmeistä.

Ota muoto ja sen matriisi kohteesta Esimerkki 2:

täällä ollenkaan ilman ymmärrystä ei ymmärrä. Mutta Sylvester-kriteerin kanssa emme välitä:
, joten muoto ei todellakaan ole negatiivinen.

, eikä todellakaan ole positiivista. (koska kaikkien kulmien alareunojen on oltava positiivisia).

Johtopäätös: muoto on vuorotteleva.

Esimerkkejä itseratkaisun alkulämmittelystä:

Esimerkki 4

Tutki neliömuotoja merkkien määrittämiseksi

a)

Näissä esimerkeissä kaikki on sujuvaa (katso oppitunnin loppu), mutta itse asiassa tällaisen tehtävän suorittaminen Sylvesterin kriteeri ei ehkä ole riittävä.

Asia on siinä, että on olemassa "rajatapauksia", nimittäin: jos jokin ei-nolla vektori , niin muoto määritellään ei-negatiivinen, jos sitten ei-positiivinen. Näillä lomakkeilla on ei-nolla vektorit, joille .

Täältä voit tuoda sellaisen "nappiharmonikka":

Korostaminen täysi neliö , näemme heti ei-negatiivisuus muoto: , lisäksi se on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa vektorille, jolla on samat koordinaatit, esimerkiksi: .

"Peili" esimerkki ei-positiivinen tietyssä muodossa:

ja vielä triviaalimpi esimerkki:
– tässä muoto on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa vektorille , jossa on mielivaltainen luku.

Kuinka paljastaa muodon ei-negatiivisuus tai ei-positiivisuus?

Tätä varten tarvitsemme konseptin suuret alaikäiset matriiseja. Pää-molli on molli, joka koostuu elementeistä, jotka ovat samannumeroisten rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa. Joten matriisissa on kaksi ensimmäisen kertaluvun päämoloria:
(elementti on 1. rivin ja 1. sarakkeen leikkauskohdassa);
(elementti on 2. rivin ja 2. sarakkeen leikkauskohdassa),

ja yksi iso 2. asteen sivu:
- koostuu 1., 2. rivin ja 1., 2. sarakkeen elementeistä.

Matriisi "kolme kolmella" Pääalaikäisiä on seitsemän, ja tässä sinun on jo heiluttaa hauis:
- kolme alaikäistä 1. luokkaa,
kolme alaikäistä 2. luokkaa:
- koostuu 1., 2. rivin ja 1., 2. sarakkeen elementeistä;
- koostuu 1., 3. rivin ja 1., 3. sarakkeen elementeistä;
- koostuu 2., 3. rivin ja 2., 3. sarakkeen elementeistä,
ja yksi 3. asteen alaikäinen:
- koostuu 1., 2., 3. rivin ja 1., 2. ja 3. sarakkeen elementeistä.
Harjoittele ymmärtääksesi: kirjoita ylös kaikki matriisin tärkeimmät alamerkit .
Tarkistamme oppitunnin lopussa ja jatkamme.

Schwarzeneggerin kriteeri:

1) Nollasta poikkeava* neliömuoto määritetty ei-negatiivinen jos ja vain jos KAIKKI sen tärkeimmät alaikäiset ei-negatiivinen(suurempi tai yhtä suuri kuin nolla).

* Nollan (degeneroituneen) neliömuodon kaikki kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla.

2) Nollasta poikkeava neliömuoto, jossa matriisi on määritelty ei-positiivinen jos ja vain jos se:
– 1. luokan alaikäiset pääasialliset ei-positiivinen(pienempi tai yhtä suuri kuin nolla);
ovat 2. luokan alaikäisiä ei-negatiivinen;
– 3. luokan alaikäiset pääasialliset ei-positiivinen(vuorottelu on alkanut);
…
– th:n molli ei-positiivinen, jos on pariton tai ei-negatiivinen, jos on parillinen.

Jos ainakin yksi alaikäinen on päinvastainen, muoto on merkkivuorotteleva.

Katsotaanpa, kuinka kriteeri toimii yllä olevissa esimerkeissä:

Tehdään muotomatriisi ja ensisijaisesti lasketaan kulmikkaat alaikäiset - entä jos se on positiivisesti tai negatiivisesti määritelty?

Saadut arvot eivät täytä Sylvester-kriteeriä, mutta toinen molli ei negatiivinen, ja tämä tekee tarpeelliseksi tarkistaa 2. kriteerin (2. kriteerin tapauksessa se ei täyty automaattisesti, eli lomakkeen vaihtamisesta tehdään heti johtopäätös).

1. luokan alaikäiset:
- ovat positiivisia
2. asteen pää-molli:
- ei negatiivinen.

Siten KAIKKI suuret alaikäiset ovat ei-negatiivisia, joten muoto ei-negatiivinen.

Kirjoitetaan muotomatriisi , jolle Sylvester-kriteeri ei tietenkään täyty. Mutta emme myöskään saaneet päinvastaisia ​​merkkejä (koska molemmat kulmikkaat alaikäiset ovat nolla). Siksi tarkistamme ei-negatiivisuuden / ei-positiivisuuden kriteerin täyttymisen. 1. luokan alaikäiset:
- ei positiivista
2. asteen pää-molli:
- ei negatiivinen.

Siten Schwarzeneggerin kriteerin (kohta 2) mukaan muoto määritetään ei-positiivisesti.

Nyt täysin aseistettuna analysoimme hauskempaa ongelmaa:

Esimerkki 5

Tutki neliömuotoa merkin määrittämiseksi

Tämä lomake on koristeltu järjestyksessä "alfa", joka voi olla yhtä suuri kuin mikä tahansa reaaliluku. Mutta siitä tulee vain hauskempaa päättää.

Ensin kirjoitetaan lomakematriisi, luultavasti monet ovat jo sopeutuneet tekemään sen suullisesti: päällä päädiagonaali laitamme kertoimet neliöihin ja symmetrisiin paikkoihin - vastaavien "sekoitettujen" tuotteiden puolikertoimet:

Lasketaan kulmikkaat alaikäiset:

Laajennan kolmatta determinanttia 3. rivillä: