numerot trigonometrisessa muodossa.
De Moivren kaava
Olkoon z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) ja z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2).
Kompleksiluvun trigonometristä muotoa on kätevä käyttää kerto-, jakolasjo-, kokonaislukupotenssiin nostamiseen ja n-asteen juuren erottamiseen.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
Kun kerrotaan kaksi kompleksilukua trigonometrisessa muodossa niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään. Jakaessaan niiden moduulit jaetaan ja argumentit vähennetään.
Seurauksena kompleksiluvun kertomista koskevasta säännöstä on sääntö kompleksiluvun nostamiseksi potenssiksi.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Tätä suhdetta kutsutaan De Moivren kaava.
Esimerkki 8.1 Etsi tulo ja lukujen osamäärä:
Ja
Ratkaisu
z1∙z2
∙
=
;
Esimerkki 8.2 Kirjoita luku trigonometrisessa muodossa
∙
-i) 7.
Ratkaisu
Merkitse
ja z2 =
– i.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg ;
z1 =
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg
;
z2 = 2
;
z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7
z = (
) 5 2 7
=
2 9
§ 9 Kompleksiluvun juuren erottaminen
Määritelmä. juurinkompleksiluvun potenssi z (merkitsee
) on kompleksiluku w siten, että w n = z. Jos z = 0, niin
= 0.
Olkoon z 0, z = r(cos + isin). Merkitään w = (cos + sin), sitten kirjoitetaan yhtälö w n = z seuraavassa muodossa
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).
Tästä syystä n = r,
=
Siten w k =
·
.
Näiden arvojen joukossa on tasan n erillistä arvoa.
Siksi k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Kompleksitasolla nämä pisteet ovat säännöllisen n-kulmion kärjet, jotka on piirretty säteellä varustettuun ympyrään
keskitetty pisteeseen O (kuva 12).
Kuva 12
Esimerkki 9.1 Etsi kaikki arvot
.
Ratkaisu.
Esitetään tämä luku trigonometrisessa muodossa. Etsi sen moduuli ja argumentti.
w k =
, jossa k = 0, 1, 2, 3.
w 0 =
.
w 1 =
.
w 2 =
.
w 3 =
.
Kompleksisella tasolla nämä pisteet ovat neliön kärjet, jotka on piirretty säteittäiseen ympyrään
keskitetty alkupisteeseen (kuva 13).
Kuva 13 Kuva 14
Esimerkki 9.2 Etsi kaikki arvot
.
Ratkaisu.
z = -64 = 64(cos + isin);
w k =
, jossa k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 =
; w 1 =
;
w 2 =
w 3 =
w4 =
; w 5 =
.
Kompleksitasolla nämä pisteet ovat säännöllisen kuusikulmion kärjet, jotka on piirretty ympyrään, jonka säde on 2 ja jonka keskipiste on pisteessä O (0; 0) - Kuva 14.
§ 10 Kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto.
Eulerin kaava
Merkitse
= cos + isin ja
= cos - isin . Näitä suhteita kutsutaan Eulerin kaavat .
Toiminto
sillä on eksponenttifunktion tavanomaiset ominaisuudet:
Kirjoitetaan kompleksiluku z trigonometriseen muotoon z = r(cos + isin).
Eulerin kaavan avulla voimme kirjoittaa:
z = r
.
Tämä merkintä on ns ohjeellinen muoto kompleksiluku. Sen avulla saamme säännöt kerto-, jako-, eksponentio- ja juurenpoistoa varten.
Jos z 1 = r 1
ja z2 = r2
?Että
z 1 z 2 = r 1 r 2
;
·
z n = r n
, jossa k = 0, 1, … , n – 1.
Esimerkki 10.1 Kirjoita luku algebrallisessa muodossa
z=
.
Ratkaisu.
Esimerkki 10.2 Ratkaise yhtälö z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0.
Ratkaisu.
Kaikille kompleksisille kertoimille tällä yhtälöllä on kaksi juurta z 1 ja z 1 (mahdollisesti yhteneväinen). Nämä juuret voidaan löytää käyttämällä samaa kaavaa kuin todellisessa tapauksessa. Koska
saa kaksi arvoa, jotka eroavat vain etumerkistä, niin tällä kaavalla on muoto:
Koska –9 \u003d 9 e i, sitten arvot
numerot tulee olemaan:
Sitten
Ja
.
Esimerkki 10.3 Ratkaise yhtälöt z 3 +1 = 0; z 3 = - 1. |
Ratkaisu.
Yhtälön halutut juuret ovat arvot
.
Kun z = –1 on r = 1, arg(-1) = .
w k =
, k = 0, 1, 2.
Harjoitukset
9 Esitä luvut eksponentiaalisessa muodossa:
b) |
G) |
10 Kirjoita luvun eksponentiaalisessa ja algebrallisessa muodossa:
A) |
V) |
b) |
d) 7(cos0 + isin0). |
11 Kirjoita numerot muistiin algebrallisiin ja geometrisiin muotoihin:
A) |
b) |
V) |
G) |
12 Annetut numerot
Esittämällä ne eksponentiaalisessa muodossa, etsi
.
13 Käytä kompleksiluvun eksponentiaalista muotoa seuraavasti:
A)
b)
V)
G)
e) | |
. |
Kanssa ja luonnollinen luku n 2 .
Monimutkainen luku Z nimeltään juurin– c, Jos Z n = c.
Etsi kaikki juuriarvot n–
astetta kompleksiluvusta Kanssa. Antaa c=|
c|·(cos
Arg
c+
i·
synti
ArgKanssa), A
Z
= |
Z|·(kanssaos
Arg
Z
+
i·
synti
Arg
Z)
, Missä Z juuri n-
astetta kompleksiluvusta Kanssa. Sitten sen täytyy olla
=
c
= |
c|·(cos
Arg
c+
i·
synti
ArgKanssa). Tästä seuraa siis
Ja n·
Arg
Z
=
ArgKanssa
Arg
Z
=
(k=0,1,…)
. Siten, Z
=
(cos
+
i·
synti
),
(k=0,1,…)
. On helppo nähdä, että jokin arvoista
,
(k=0,1,…)
erilainen kuin jokin vastaava arvo
,(k
= 0,1,…,
n-1)
moninkertaiseksi 2π. Siksi , (k
= 0,1,…,
n-1)
.
Esimerkki.
Laske (-1) juuri.
, ilmeisesti |-1| = 1, arg (-1) = π
-1 = 1 (cos π + i· synti π )
, (k = 0, 1).
= i
Aste mielivaltaisella rationaalisen eksponentin kanssa
Ota mielivaltainen kompleksiluku Kanssa. Jos n luonnollinen luku siis Kanssa n
= |
c|
n ·(Kanssaos
nArg+ kanssai·
synti
nArgKanssa)(6). Tämä kaava pätee myös tässä tapauksessa n
= 0
(c≠0)
. Antaa n
< 0
Ja n
Z Ja c ≠ 0, Sitten
Kanssa n
=
(cos nArgKanssa+I sin nArgKanssa)
=
(cos nArgKanssa+ i sin nArgKanssa)
. Siten kaava (6) pätee mille tahansa n.
Otetaan rationaalinen luku , Missä q luonnollinen luku ja R on kokonaisluku.
Sitten alle tutkinnon
c r Ymmärrämme numeron
.
Me ymmärrämme sen ,
(k = 0, 1, …, q-1). Nämä arvot q kappaletta, jos fraktiota ei vähennetä.
Luento №3 Kompleksilukujen sarjan raja
Luonnollisen argumentin kompleksiarvoista funktiota kutsutaan kompleksilukujen sarja ja merkitty (Kanssa n ) tai Kanssa 1 , Kanssa 2 , ..., Kanssa n . Kanssa n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) kompleksiluvut.
Kanssa 1 , Kanssa 2 , … - sekvenssin jäsenet; Kanssa n - yhteinen jäsen
Monimutkainen luku Kanssa
=
a+
b·
i nimeltään kompleksilukujen sarjan raja (c n )
, Missä Kanssa n
= a n +
b n ·
i
(n
= 1, 2, …)
, missä tahansa
, se kaikille n
>
N epätasa-arvoa
. Sekvenssiä, jolla on äärellinen raja, kutsutaan lähentyvä järjestys.
Lause.
Jotta kompleksilukujen sarja (ja n ) (Kanssa n = a n + b n · i) konvergoi luvuksi = a+ b· i, on välttämätön ja riittävä tasa-arvon kannaltalim a n = a, lim b n = b.
Todiste.
Todistamme lauseen seuraavan ilmeisen kaksois-epäyhtälön perusteella
, Missä Z = x + y· i (2)
Välttämättömyys. Antaa lim(Kanssa n ) = kanssa. Osoittakaamme, että tasa-arvo lim a n = a Ja lim b n = b (3).
Ilmeisesti (4)
Koska
, Kun n
→ ∞
, niin epäyhtälön (4) vasemmalta puolelta seuraa, että
Ja
, Kun n
→ ∞
. siksi yhtäläisyydet (3) pätevät. Tarve on todistettu.
Riittävyys. Anna yhtälöiden (3) nyt olla voimassa. Tasa-arvosta (3) seuraa, että
Ja
, Kun n
→ ∞
, siksi epätasa-arvon (4) oikean puolen vuoksi se tulee olemaan
, Kun n→∞
, tarkoittaa lim(Kanssa n )=s. Riittävyys on todistettu.
Joten kysymys kompleksilukujonon konvergenssista vastaa kahden reaalilukusekvenssin lähentymistä, joten kaikki reaalilukusekvenssien rajojen perusominaisuudet koskevat kompleksilukujen sarjoja.
Esimerkiksi kompleksilukusarjoille Cauchyn kriteeri on voimassa: kompleksilukujen sarjan (kanssa n ) lähentynyt, on välttämätöntä ja riittävää, että minkä tahansa
, että mille tahansan,
m
>
Nepätasa-arvoa
.
Lause.
Olkoon kompleksilukujen sarja (ja n ) ja (z n ) lähentyvät ja vastaavastiz, sitten tasa-arvolim(Kanssa n
z n )
=
c z,
lim(Kanssa n ·
z n )
=
c·
z. Jos se on varmaa tietoazei ole yhtä suuri kuin 0, niin tasa-arvo
.