Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat kasviksia, jotka on keitetty vedessä erityisen reseptin mukaan. Harkitsen kahta alkukomponenttia (kasvissalaatti ja vesi) ja lopputulosta - borssia. Geometrisesti sitä voidaan pitää suorakulmiona, jonka toinen puoli edustaa salaattia ja toinen puoli edustaa vettä. Näiden kahden puolen summa tarkoittaa borssia. Tällaisen "borscht"-suorakulmion diagonaali ja pinta-ala ovat puhtaasti matemaattisia käsitteitä, eikä niitä koskaan käytetä borssiresepteissä.
Miten salaatti ja vesi muuttuvat borssiksi matemaattisesta näkökulmasta? Kuinka kahden janan summasta voi tulla trigonometria? Tämän ymmärtämiseksi tarvitsemme lineaarisia kulmafunktioita.
Et löydä mitään lineaarisista kulmafunktioista matematiikan oppikirjoista. Mutta ilman niitä ei voi olla matematiikkaa. Matematiikan lait, kuten luonnonlait, toimivat riippumatta siitä, tiedämmekö niiden olemassaolosta vai emme.
Lineaariset kulmafunktiot ovat yhteenlaskulakeja. Katso kuinka algebra muuttuu geometriaksi ja geometria trigonometriaksi.
Onko mahdollista tehdä ilman lineaarisia kulmafunktioita? Se on mahdollista, koska matemaatikot pärjäävät edelleen ilman niitä. Matemaatikkojen temppu on, että he kertovat meille aina vain niistä ongelmista, jotka he itse osaavat ratkaista, eivätkä koskaan kerro meille ongelmista, joita he eivät voi ratkaista. Katso. Jos tiedämme yhteenlaskun ja yhden termin tuloksen, käytämme vähennyslaskua toisen termin löytämiseksi. Kaikki. Emme tiedä muita ongelmia emmekä tiedä kuinka ratkaista ne. Mitä meidän pitäisi tehdä, jos tiedämme vain lisäyksen tuloksen emmekä tiedä molempia termejä? Tässä tapauksessa summauksen tulos on jaettava kahdeksi termiksi käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Seuraavaksi valitsemme itse, mikä yksi termi voi olla, ja lineaariset kulmafunktiot osoittavat, mikä toisen termin tulisi olla, jotta yhteenlaskutulos on juuri se mitä tarvitsemme. Tällaisia termipareja voi olla ääretön määrä. Arkielämässä pärjäämme hienosti ilman, että summaa hajotetaan, vähennys riittää meille. Mutta luonnonlakeja koskevassa tieteellisessä tutkimuksessa summan hajottaminen komponentteihin voi olla erittäin hyödyllistä.
Toinen lisäyslaki, josta matemaatikot eivät halua puhua (toinen heidän temppunsa), edellyttää, että termeillä on samat mittayksiköt. Salaatin, veden ja borschtin osalta nämä voivat olla paino-, tilavuus-, arvo- tai mittayksiköitä.
Kuvassa on kaksi matemaattisen eron tasoa. Ensimmäinen taso on erot numerokentässä, jotka on ilmoitettu a, b, c. Näin tekevät matemaatikot. Toinen taso on mittayksiköiden kentän erot, jotka on esitetty hakasulkeissa ja merkitty kirjaimella U. Tätä fyysikot tekevät. Voimme ymmärtää kolmannen tason - erot kuvattavien kohteiden alueella. Eri kohteissa voi olla sama määrä identtisiä mittayksiköitä. Kuinka tärkeää tämä on, voimme nähdä borscht-trigonometrian esimerkissä. Jos lisäämme alaindeksit samaan yksikkötunnistukseen eri kohteille, voimme sanoa tarkalleen, mikä matemaattinen suure kuvaa tiettyä objektia ja kuinka se muuttuu ajan kuluessa tai toimiemme vuoksi. Kirje W Merkitsen vettä kirjaimella S Merkitsen salaatin kirjaimella B- borssi. Tältä näyttävät borssin lineaariset kulmafunktiot.
Jos otamme osan vedestä ja osan salaatista, niistä tulee yhdessä yksi annos borssia. Tässä ehdotan, että pidät pienen tauon borssista ja muistat kaukaisen lapsuutesi. Muistatko kuinka meidät opetettiin yhdistämään kaneja ja ankkoja? Oli tarpeen selvittää, kuinka monta eläintä siellä olisi. Mitä meitä sitten opetettiin tekemään? Meidät opetettiin erottamaan mittayksiköt luvuista ja lisäämään lukuja. Kyllä, mikä tahansa numero voidaan lisätä mihin tahansa toiseen numeroon. Tämä on suora tie modernin matematiikan autismiin - teemme sen käsittämättömästi, mitä, käsittämättömästi miksi, ja ymmärrämme erittäin huonosti, miten tämä liittyy todellisuuteen, kolmen eron vuoksi matemaatikot toimivat vain yhdellä. Olisi oikeampaa oppia siirtymään mittayksiköstä toiseen.
Puput, ankat ja pienet eläimet voidaan laskea kappaleiksi. Yksi yhteinen mittayksikkö eri kohteille mahdollistaa niiden laskemisen yhteen. Tämä on lasten versio ongelmasta. Katsotaanpa samanlaista tehtävää aikuisille. Mitä saat, kun lisäät kaneja ja rahaa? Tässä on kaksi mahdollista ratkaisua.
Ensimmäinen vaihtoehto. Määritämme kanien markkina-arvon ja lisäämme sen käytettävissä olevaan rahamäärään. Saimme varallisuutemme kokonaisarvon rahassa.
Toinen vaihtoehto. Voit lisätä pupujen määrän meillä olevien seteleiden määrään. Irtaimen omaisuuden saamme kappaleina.
Kuten näet, sama lisäyslaki antaa sinun saada erilaisia tuloksia. Kaikki riippuu siitä, mitä tarkalleen haluamme tietää.
Mutta palataanpa borssiin. Nyt voimme nähdä, mitä tapahtuu lineaaristen kulmafunktioiden eri kulmaarvoille.
Kulma on nolla. Meillä on salaattia, mutta ei vettä. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on myös nolla. Tämä ei tarkoita ollenkaan, että nolla borssi on yhtä kuin nolla vettä. Voi olla nollaborssia ja nollasalaattia (oikea kulma).
Minulle henkilökohtaisesti tämä on tärkein matemaattinen todiste siitä, että . Nolla ei muuta numeroa lisättäessä. Tämä johtuu siitä, että lisääminen itsessään on mahdotonta, jos on vain yksi termi ja toinen termi puuttuu. Voit tuntea tämän miten haluat, mutta muista - kaikki matemaattiset nollaoperaatiot ovat matemaatikoiden itsensä keksimiä, joten heitä logiikkasi pois ja täytä tyhmästi matemaatikoiden keksimiä määritelmiä: "nollalla jako on mahdotonta", "mikä tahansa luku kerrottuna nolla on nolla" , "puhkaisukohdan nolla ulkopuolella" ja muuta hölynpölyä. Riittää, kun muistat kerran, että nolla ei ole luku, etkä koskaan enää kysy, onko nolla luonnollinen luku vai ei, koska tällainen kysymys menettää merkityksensä: kuinka jotain, joka ei ole luku, voidaan pitää numerona ? Se on kuin kysyisi, mihin väriin näkymätön väri pitäisi luokitella. Nollan lisääminen numeroon on sama kuin maalaaminen maalilla, jota ei ole olemassa. Heilutimme kuivalla siveltimellä ja kerroimme kaikille, että "me maalasimme". Mutta poikkean hieman.
Kulma on suurempi kuin nolla, mutta pienempi kuin neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on paljon salaattia, mutta ei tarpeeksi vettä. Tuloksena saamme paksua borssia.
Kulma on neljäkymmentäviisi astetta. Meillä on yhtä paljon vettä ja salaattia. Tämä on täydellinen borssi (anteeksi, kokit, se on vain matematiikkaa).
Kulma on suurempi kuin neljäkymmentäviisi astetta, mutta pienempi kuin yhdeksänkymmentä astetta. Meillä on paljon vettä ja vähän salaattia. Saat nestemäistä borssia.
Oikea kulma. Meillä on vettä. Salaatista on jäljellä vain muistoja, kun jatkamme kulman mittaamista viivasta, joka merkitsi salaattia. Emme voi keittää borssia. Borschtin määrä on nolla. Tässä tapauksessa pidä kiinni ja juo vettä, kun sinulla on sitä)))
Tässä. Jotain tällaista. Voin kertoa täällä muita tarinoita, jotka olisivat enemmän kuin sopivat tähän.
Kahdella ystävällä oli osakkeita yhteisestä yrityksestä. Yhden heistä tappamisen jälkeen kaikki meni toiselle.
Matematiikan ilmaantuminen planeetallemme.
Kaikki nämä tarinat kerrotaan matematiikan kielellä käyttämällä lineaarisia kulmafunktioita. Toisen kerran näytän sinulle näiden funktioiden todellisen paikan matematiikan rakenteessa. Sillä välin palataan borssitrigonometriaan ja harkitaan ennusteita.
lauantaina 26.10.2019
Keskiviikkona 7.8.2019
Keskustelun päätteeksi meidän on tarkasteltava ääretöntä joukkoa. Asia on siinä, että "äärettömyyden" käsite vaikuttaa matemaatikoihin samalla tavalla kuin boa-konstriktori vaikuttaa kaniiniin. Äärettömyyden vapiseva kauhu riistää matemaatikoilta terveen järjen. Tässä on esimerkki:
Alkuperäinen lähde löytyy. Alfa tarkoittaa todellista numeroa. Yllä olevien lausekkeiden yhtäläisyysmerkki osoittaa, että jos lisäät luvun tai äärettömän äärettömyyteen, mikään ei muutu, tuloksena on sama ääretön. Jos otamme esimerkkinä luonnollisten lukujen äärettömän joukon, niin tarkasteltavat esimerkit voidaan esittää tässä muodossa:
Osoittaakseen selvästi, että he olivat oikeassa, matemaatikot keksivät monia erilaisia menetelmiä. Henkilökohtaisesti katson kaikkia näitä menetelmiä shamaaneina, jotka tanssivat tamburiinien kanssa. Pohjimmiltaan ne kaikki kiteytyvät siihen, että joko osa huoneista on tyhjillään ja uusia vieraita muuttaa sisään tai että osa vierailijoista heitetään ulos käytävälle tekemään tilaa vieraille (erittäin inhimillisesti). Esitin näkemykseni tällaisista päätöksistä blondia koskevan fantasiatarinan muodossa. Mihin perusteluni perustuu? Äärettömän kävijämäärän muuttaminen vie äärettömän paljon aikaa. Kun olemme vapauttaneet ensimmäisen huoneen vieraalle, yksi vierailijoista kävelee aina käytävää pitkin huoneestaan seuraavaan aikojen loppuun asti. Tietysti aikatekijä voidaan jättää huomioimatta, mutta tämä kuuluu kategoriaan "mitään lakia ei ole kirjoitettu tyhmille". Kaikki riippuu siitä, mitä teemme: sopeutamme todellisuutta matemaattisiin teorioihin tai päinvastoin.
Mikä on "loputon hotelli"? Ääretön hotelli on hotelli, jossa on aina kuinka monta tyhjiä sänkyjä on, riippumatta siitä, kuinka monta huonetta on varattu. Jos loputtoman "vieraskäytävän" kaikki huoneet ovat varattuja, on toinen loputon käytävä "vierashuoneineen". Tällaisia käytäviä tulee olemaan ääretön määrä. Lisäksi "äärettömässä hotellissa" on ääretön määrä kerroksia äärettömässä määrässä rakennuksia äärettömällä määrällä planeettoja äärettömässä määrässä universumeja, jotka ovat luoneet ääretön määrä jumalia. Matemaatikot eivät pysty ottamaan etäisyyttä banaaleihin arjen ongelmiin: aina on vain yksi Jumala-Allah-Buddha, on vain yksi hotelli, on vain yksi käytävä. Joten matemaatikot yrittävät jongleerata hotellihuoneiden sarjanumeroita vakuuttaen meidät siitä, että on mahdollista "työntää mahdottomaan".
Esitän sinulle päättelyni logiikan käyttämällä esimerkkiä äärettömästä luonnollisten lukujen joukosta. Ensin sinun on vastattava hyvin yksinkertaiseen kysymykseen: kuinka monta sarjaa luonnollisia lukuja on - yksi vai monta? Tähän kysymykseen ei ole oikeaa vastausta, koska olemme itse keksineet numerot; numeroita ei ole luonnossa. Kyllä, luonto on loistava laskemaan, mutta tähän hän käyttää muita matemaattisia työkaluja, jotka eivät ole meille tuttuja. Kerron teille toisella kertaa, mitä luonto ajattelee. Koska keksimme numerot, päätämme itse, kuinka monta luonnollisten lukujen joukkoa on. Harkitse molempia vaihtoehtoja, kuten todellisille tiedemiehille sopii.
Vaihtoehto yksi. "Annetaan meille" yksi luonnollinen lukusarja, joka lepää rauhallisesti hyllyssä. Otamme tämän setin hyllystä. Siinä kaikki, muita luonnollisia lukuja ei ole jäljellä hyllyssä eikä niitä ole hyllyssä. Emme voi lisätä yhtä tähän sarjaan, koska meillä on se jo. Mitä jos todella haluat? Ei ongelmaa. Voimme ottaa yhden jo ottamastamme setistä ja palauttaa sen hyllylle. Sen jälkeen voimme ottaa yhden hyllystä ja lisätä sen siihen, mitä meillä on jäljellä. Tämän seurauksena saamme jälleen äärettömän joukon luonnollisia lukuja. Voit kirjoittaa kaikki manipulaatiomme seuraavasti:
Kirjoitin toiminnot muistiin algebrallisessa merkinnässä ja joukkoteorian merkinnöissä sekä yksityiskohtaisen luettelon joukon elementeistä. Alaindeksi osoittaa, että meillä on yksi ja ainoa joukko luonnollisia lukuja. Osoittautuu, että luonnollisten lukujen joukko pysyy muuttumattomana vain, jos siitä vähennetään yksi ja lisätään sama yksikkö.
Vaihtoehto kaksi. Meillä on hyllyllämme monia erilaisia äärettömiä luonnollisia lukuja. Korostan - ERILAISIA huolimatta siitä, että ne ovat käytännössä erottamattomia. Otetaan yksi näistä sarjoista. Sitten otamme yhden toisesta luonnollisten lukujen joukosta ja lisäämme sen jo ottamamme joukkoon. Voimme jopa lisätä kaksi joukkoa luonnollisia lukuja. Tämän saamme:
Alaindeksit "yksi" ja "kaksi" osoittavat, että nämä elementit kuuluivat eri ryhmiin. Kyllä, jos lisäät yhden äärettömään joukkoon, tuloksena on myös ääretön joukko, mutta se ei ole sama kuin alkuperäinen joukko. Jos lisäät toisen äärettömän joukon yhteen äärettömään joukkoon, tuloksena on uusi ääretön joukko, joka koostuu kahden ensimmäisen joukon alkioista.
Luonnollisten lukujen joukkoa käytetään laskemiseen samalla tavalla kuin viivainta mittaamiseen. Kuvittele nyt, että lisäsit yhden sentin viivaimeen. Tämä on erilainen rivi, ei sama kuin alkuperäinen.
Voit hyväksyä tai olla hyväksymättä perusteluni - se on sinun oma asiasi. Mutta jos kohtaat matemaattisia ongelmia, mieti, seuraatko matemaatikoiden sukupolvien tallaamaa väärää päättelyä. Loppujen lopuksi matematiikan opiskelu muodostaa meissä ensinnäkin vakaan stereotyypin ajattelusta ja vasta sitten lisää henkisiä kykyjämme (tai päinvastoin, riistää meiltä vapaan ajattelun).
pozg.ru
sunnuntaina 4.8.2019
Olin viimeistelemässä artikkelin jälkikirjoitusta aiheesta ja näin tämän ihanan tekstin Wikipediassa:
Luemme: "... Babylonin matematiikan rikkaalla teoreettisella pohjalla ei ollut kokonaisvaltaista luonnetta, ja se pelkistettiin joukoksi erilaisia tekniikoita, joista puuttui yhteinen järjestelmä ja todiste."
Vau! Kuinka älykkäitä olemme ja kuinka hyvin voimme nähdä muiden puutteet. Onko meidän vaikeaa tarkastella nykyaikaista matematiikkaa samassa yhteydessä? Yllä olevaa tekstiä hieman mukaillen, sain henkilökohtaisesti seuraavan:
Nykyaikaisen matematiikan rikas teoreettinen perusta ei ole luonteeltaan kokonaisvaltainen, ja se on pelkistetty joukkoon erilaisia osia, joilla ei ole yhteistä järjestelmää ja todisteita.
En mene pitkälle vahvistaakseni sanojani - sillä on kieli ja käytännöt, jotka eroavat monien muiden matematiikan alojen kielestä ja käytännöistä. Samoilla nimillä matematiikan eri aloilla voi olla eri merkitys. Haluan omistaa koko sarjan julkaisuja modernin matematiikan ilmeisimmille virheille. Nähdään pian.
lauantaina 3.8.2019
Kuinka jakaa joukko osajoukkoihin? Tätä varten sinun on syötettävä uusi mittayksikkö, joka on joissakin valitun joukon elementeissä. Katsotaanpa esimerkkiä.
Olkoon meillä paljon A joka koostuu neljästä henkilöstä. Tämä joukko on muodostettu "ihmisten" perusteella. Merkitään tämän joukon elementtejä kirjaimella A, alaindeksi numerolla osoittaa jokaisen tässä sarjassa olevan henkilön sarjanumeron. Otetaan käyttöön uusi mittayksikkö "sukupuoli" ja merkitään se kirjaimella b. Koska seksuaaliset ominaisuudet ovat luontaisia kaikille ihmisille, kerromme jokaisen joukon elementin A sukupuolen perusteella b. Huomaa, että "ihmisistämme" on nyt tullut joukko "ihmisiä, joilla on sukupuoliominaisuuksia". Tämän jälkeen voimme jakaa seksuaaliset ominaisuudet miehiin bm ja naisten bw seksuaaliset ominaisuudet. Nyt voimme käyttää matemaattista suodatinta: valitsemme yhden näistä seksuaalisista ominaisuuksista riippumatta siitä, kumpi - mies tai nainen. Jos henkilöllä on se, kerromme sen yhdellä, jos sellaista merkkiä ei ole, kerromme sen nollalla. Ja sitten käytämme tavallista koulumatematiikkaa. Katso mitä tapahtui.
Kertomisen, vähentämisen ja uudelleenjärjestelyn jälkeen päädyimme kahteen osajoukkoon: miesten osajoukkoon Bm ja osa naisia Bw. Matemaatikot päättävät suunnilleen samalla tavalla soveltaessaan joukkoteoriaa käytännössä. Mutta he eivät kerro meille yksityiskohtia, vaan antavat meille lopullisen tuloksen - "monet ihmiset koostuvat osajoukosta miehiä ja osasta naisia." Tietysti sinulla voi olla kysymys: kuinka oikein matematiikkaa on sovellettu yllä kuvatuissa muunnoksissa? Uskallan vakuuttaa, että pohjimmiltaan kaikki on tehty oikein, riittää, että tunnet aritmeettisen, Boolen algebran ja muiden matematiikan osa-alueiden matemaattisen perustan. Mikä se on? Kerron tästä sinulle joskus joskus.
Mitä tulee supersarjoihin, voit yhdistää kaksi sarjaa yhdeksi supersarjaksi valitsemalla näiden kahden joukon elementeissä olevan mittayksikön.
Kuten näette, mittayksiköt ja tavallinen matematiikka tekevät joukkoteoriasta menneisyyden jäännöksen. Merkki siitä, että kaikki ei ole hyvin joukkoteorian kanssa, on se, että matemaatikot ovat keksineet oman kielensä ja merkintätapansa joukkoteorialle. Matemaatikot toimivat kuten shamaanit ennen. Vain shamaanit osaavat "oikein" soveltaa "tietoaan". He opettavat meille tämän "tiedon".
Lopuksi haluan näyttää sinulle, kuinka matemaatikot manipuloivat .
Maanantai 7.1.2019
500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisan aporiansa, joista kuuluisin on "Achilles ja kilpikonna" -aporia. Tältä se kuulostaa:
Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Sinä aikana, kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus juoksee sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.
Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... He kaikki pitivät Zenonin aporiaa tavalla tai toisella. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tähän päivään asti, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan..."[Wikipedia, "Zenon Aporia". Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mistä petos koostuu.
Matemaattisesta näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen määrästä . Tämä siirtymä edellyttää soveltamista pysyvien sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden käyttöön ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavanomaisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Ajattelun hitaudesta johtuen käytämme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta tämä näyttää ajan hidastumiselta, kunnes se pysähtyy kokonaan sillä hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.
Jos käännämme tavallisen logiikkamme, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen seuraava osa hänen polkunsa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos sovellamme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa: "Achilles tavoittaa kilpikonnan äärettömän nopeasti."
Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisyksikköihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:
Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan ensimmäisen aikavälin aikana Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.
Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden vastustamattomuudesta on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.
Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:
Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.
Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on jokaisella ajanhetkellä levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on syytä huomioida toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Jotta voit määrittää, onko auto liikkeessä, tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta et voi määrittää etäisyyttä niistä. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu eri pisteistä avaruudessa samaan aikaan, mutta niistä et voi määrittää liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua ). Haluan kiinnittää erityistä huomiota siihen, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat eri asioita, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia mahdollisuuksia tutkimukselle.
Näytän prosessin esimerkin avulla. Valitsemme "punaisen kiinteän aineen näppylässä" - tämä on "kokonaisuutemme". Samalla näemme, että nämä asiat ovat jousella, ja on ilman jousta. Sen jälkeen valitsemme osan "kokonaisuudesta" ja muodostamme joukon "jousella". Näin shamaanit saavat ruokansa sitomalla joukkoteoriansa todellisuuteen.
Tehdään nyt pieni temppu. Otetaan "kiinteä näppylällä ja rusetilla" ja yhdistetään nämä "kokonaisuudet" värin mukaan valitsemalla punaiset elementit. Meillä on paljon "punaista". Nyt viimeinen kysymys: ovatko tuloksena saadut joukot "jousella" ja "punainen" sama sarja vai kaksi eri sarjaa? Vain shamaanit tietävät vastauksen. Tarkemmin sanottuna he eivät itse tiedä mitään, mutta kuten he sanovat, niin se tulee olemaan.
Tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa, että joukkoteoria on täysin hyödytön todellisuudessa. Mikä on salaisuus? Muodostimme joukon "punaista kiinteää, jossa on näppylä ja rusetti". Muodostaminen tapahtui neljässä eri mittayksikössä: väri (punainen), lujuus (kiinteä), karheus (pimply), koristelu (jousella). Vain joukko mittayksiköitä mahdollistaa todellisten esineiden riittävän kuvaamisen matematiikan kielellä. Tältä se näyttää.
Kirjain "a" eri indekseillä tarkoittaa eri mittayksiköitä. Mittayksiköt, joilla "kokonaisuus" erotetaan alustavassa vaiheessa, on korostettu suluissa. Mittayksikkö, jolla joukko muodostetaan, otetaan pois suluista. Viimeinen rivi näyttää lopputuloksen - joukon elementin. Kuten näet, jos käytämme mittayksiköitä muodostaaksemme joukon, tulos ei riipu toimiemme järjestyksestä. Ja tämä on matematiikkaa, ei shamaanien tanssimista tamburiinien kanssa. Shamaanit voivat "intuitiivisesti" päätyä samaan tulokseen väittäen, että se on "ilmeinen", koska mittayksiköt eivät ole osa heidän "tieteellistä" arsenaaliaan.
Mittayksiköiden avulla on erittäin helppoa jakaa yksi sarja tai yhdistää useita joukkoja yhdeksi supersarjaksi. Katsotaanpa tarkemmin tämän prosessin algebraa.
Luento: Mielivaltaisen kulman sini, kosini, tangentti, kotangentti
Sini, mielivaltaisen kulman kosini
Ymmärtääksemme, mitä trigonometriset funktiot ovat, katsotaan ympyrää, jolla on yksikkösäde. Tämän ympyrän keskipiste on koordinaattitason origossa. Määrittämään annetut funktiot käytämme sädevektoria TAI, joka alkaa ympyrän keskeltä ja pisteestä R on piste ympyrässä. Tämä sädevektori muodostaa kulman alfa akselin kanssa VAI NIIN. Koska ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, niin TAI = R = 1.
Jos pisteestä R laske kohtisuoraa akseliin nähden VAI NIIN, niin saadaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on yhtä suuri.
Jos sädevektori liikkuu myötäpäivään, tätä suuntaa kutsutaan negatiivinen, jos se liikkuu vastapäivään - positiivinen.
Kulman sini TAI, on pisteen ordinaatti R vektori ympyrässä.
Toisin sanoen tietyn kulman alfa sinin arvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti U pinnalla.
Miten tämä arvo on saatu? Koska tiedämme, että suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman sini on vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan, saamme sen
Ja siitä lähtien R = 1, Tuo sin(α) = y 0 .
Yksikköympyrässä ordinaatin arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa
Sini saa positiivisen arvon yksikköympyrän ensimmäisellä ja toisella neljänneksellä ja negatiivisen kolmannella ja neljännellä.
Kulman kosini annettu sädevektorin muodostama ympyrä TAI, on pisteen abskissa R vektori ympyrässä.
Toisin sanoen tietyn kulman alfa kosiniarvon saamiseksi on tarpeen määrittää koordinaatti X pinnalla.
Suorakulmaisen kolmion mielivaltaisen kulman kosini on viereisen haaran suhde hypotenuusaan, saamme sen
Ja siitä lähtien R = 1, Tuo cos(α) = x 0 .
Yksikköympyrässä abskissa-arvo ei voi olla pienempi kuin -1 ja suurempi kuin 1, mikä tarkoittaa
Kosini saa positiivisen arvon yksikköympyrän ensimmäisellä ja neljännellä neljänneksellä ja negatiivisen arvon toisella ja kolmannella.
Tangenttimielivaltainen kulma Lasketaan sinin ja kosinin suhde.
Jos tarkastelemme suorakulmaista kolmiota, tämä on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Jos puhumme yksikköympyrästä, tämä on ordinaatin suhde abskissaan.
Näistä suhteista päätellen voidaan ymmärtää, että tangenttia ei voi olla olemassa, jos abskissa-arvo on nolla, eli 90 asteen kulmassa. Tangentti voi ottaa kaikki muut arvot.
Tangentti on positiivinen yksikköympyrän ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä ja negatiivinen toisessa ja neljännessä.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on koordinaattien alkupisteessä, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselikoordinaattia ja akselikoordinaattia. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Tätä varten meidän on muistettava harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mitä kolmio on yhtä suuri? Oikein. Lisäksi tiedämme, että se on yksikköympyrän säde, mikä tarkoittaa . Korvataan tämä arvo kosinin kaavaan. Tässä on mitä tapahtuu:
Mitä kolmio on yhtä suuri? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten voitko kertoa mitkä koordinaatit ympyrään kuuluvalla pisteellä on? No ei mitenkään? Mitä jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Ja mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinaatit! Eli piste.
Mitkä sitten ovat ja ovat yhtä suuria? Se on oikein, käytetään vastaavia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, että a.
Entä jos kulma on suurempi? Esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännytään jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mitkä ovat kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvot? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet pätevät mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn arvon kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria suuntaan tai suuntaan? No tottakai voit! Ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee siis yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täyttä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa jne. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitkä arvot ovat:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko sinulla vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Tästä määritämme tiettyjä kulmamittoja vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme sinulle yhden esimerkin melko helppo muistaa vastaavat arvot:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulmamitalle () sekä kulman tangentin arvo. Kun tiedät nämä arvot, on melko yksinkertaista palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat kaikki arvot taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tottakai voit! Otetaan se ulos yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Esimerkiksi tässä on ympyrä edessämme:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pistekoordinaatiksi.
Samaa logiikkaa käyttäen löydämme pisteen y-koordinaattiarvon. Täten,
Joten yleensä pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
Ympyrän säde,
Vektorin säteen kiertokulma.
Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä:
No, kokeillaanko näitä kaavoja harjoittelemalla pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
4. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai opi ratkaisemaan ne), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi huomata. Mutta me tiedämme, mikä vastaa lähtökohdan täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
2. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täyttä kierrosta. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Kun tiedämme tämän, löydämme pisteen tarvittavat koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukon arvoja. Muistamme niiden merkitykset ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Yksikköympyrä on keskitetty pisteeseen, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi huomata. Kuvataan kyseistä esimerkkiä kuvassa:
Säde muodostaa kulmat, jotka ovat yhtä suuria kuin akseli ja sen kanssa. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukon arvot ovat yhtä suuret ja olemme päättäneet, että kosini saa tässä negatiivisen arvon ja sini positiivisen arvon, meillä on:
Tällaisia esimerkkejä käsitellään tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Vektorin säteen kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvataan kaikki arvot kaavaan ja saadaan:
ja - taulukon arvot. Muistetaan ja korvataan ne kaavalla:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVAT
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde viereiseen (läheiseen) sivuun.
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) puolen ja vastakkaisen (kaukaisen) puolen suhde.
Muistetaan koulun matematiikan kurssi ja puhutaan siitä, mikä on tangentti ja kuinka kulman tangentti löydetään. Ensin määritellään mitä kutsutaan tangentiksi. Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Viereinen jalka on se, joka osallistuu kulman muodostukseen, vastakkainen jalka on se, joka sijaitsee kulmaa vastapäätä.
Myös terävän kulman tangentti on tämän kulman sinin ja sen kosinin suhde. Ymmärtääksemme, muistakaamme, mitä kulman sini ja kosini ovat. Suorakulmaisen kolmion terävän kulman sini on vastakkaisen sivun suhde hypotenuusaan, kosini on viereisen sivun suhde hypotenuusaan.
On myös kotangentti, se on tangentin vastainen. Kotangentti on viereisen sivun suhde vastakkaiseen sivuun ja vastaavasti kulman kosinin suhde sen siniin.
Sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat kulman trigonometrisiä funktioita; ne osoittavat kolmion kulmien ja sivujen välisen suhteen ja auttavat laskemaan kolmion sivut.
Laske terävän kulman tangentti
Kuinka löytää tangentti kolmiosta? Jotta et tuhlaa aikaa tangentin etsimiseen, voit löytää erityisiä taulukoita, jotka osoittavat monien kulmien trigonometriset funktiot. Koulun geometrian tehtävissä tietyt kulmat ovat hyvin yleisiä, ja opettajia pyydetään muistamaan sinien, kosinien, tangenttien ja kotangenttien arvot. Tarjoamme sinulle pienen levyn näiden kulmien vaadituilla arvoilla.
Jos kulmaa, jonka tangentti sinun on löydettävä, ei ole esitetty tässä taulukossa, voit käyttää kahta kaavaa, jotka esitimme yllä sanallisessa muodossa.
Ensimmäinen tapa laskea kulman tangentti on jakaa vastakkaisen jalan pituus viereisen jalan pituudella. Oletetaan, että vastakkainen puoli on 4 ja viereinen puoli on 8. Tangentin löytämiseksi tarvitset 4:8. Kulman tangentti on ½ tai 0,5.
Toinen tapa laskea tangentti on jakaa kulman siniarvo sen kosinin arvolla. Esimerkiksi meille annetaan 45 asteen kulma. Sen synti = kahdella jaettuna juuri; sen cos on sama luku. Nyt jaamme sinin kosinilla ja saamme tangentin, joka on yhtä suuri kuin yksi.
Tapahtuu, että sinun on käytettävä täsmälleen tätä kaavaa, mutta vain yksi elementti tunnetaan - joko sini tai kosini. Tässä tapauksessa on hyödyllistä muistaa kaava
sin2 α + cos2 α = 1. Tämä on trigonometrinen perusidentiteetti. Ilmaisemalla tuntemattoman elementin tunnetulla elementillä saat selville sen merkityksen. Ja kun tietää sinin ja kosinin, tangentin löytäminen ei ole vaikeaa.
Ja jos geometria ei selvästikään ole kutsumasi, mutta sinun on silti tehtävä kotitehtäväsi, voit käyttää online-laskinta kulman tangentin laskemiseen.
Kerroimme sinulle yksinkertaisilla esimerkeillä kuinka löytää tangentti. Tehtäväolosuhteet voivat kuitenkin olla vaikeampia, eikä kaikkia tarvittavia tietoja ole aina mahdollista saada nopeasti selville. Tässä tapauksessa Pythagoran lause ja erilaiset trigonometriset funktiot auttavat sinua.
Taulukko sisältää tangenttiarvot 0° - 360°.
Tangenttitaulukkoa tarvitaan, kun sinulla ei ole laskinta käsillä. Saadaksesi selville, mikä kulman tangentti on, katso se taulukosta. Ensinnäkin lyhyt versio taulukosta:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tangenttitaulukko 0°-180°
|
|
|
Tangenttitaulukko 180° - 360°
|
|
|
Geometriassa on myös seuraavat taulukot trigonometrisista funktioista: sinitaulukko, kosinitaulukko ja kotangenttitaulukko.
Kaikki opiskeluun » Matematiikka koulussa » Kulmien tangenttien taulukko (kulmat, arvot)
Voit merkitä sivun kirjanmerkillä painamalla Ctrl+D.
Ryhmä, jossa on paljon hyödyllistä tietoa (tilaa, jos sinulla on Unified State Exam tai Unified State Exam):
Trigonometristen funktioiden merkit
Trigonometrisen funktion etumerkki riippuu yksinomaan koordinaattineljännestä, jossa numeerinen argumentti sijaitsee.
Viime kerralla opimme muuttamaan argumentit radiaanimittasta astemittaksi (katso oppitunti "Kulman radiaani ja astemitta") ja määrittämään sitten tämän saman koordinaattineljänneksen. Määritetään nyt itse asiassa sinin, kosinin ja tangentin merkki.
kulma α on trigonometrisen ympyrän pisteen ordinaatti (y-koordinaatti), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulmalla α.
kulma α on trigonometrisen ympyrän pisteen abskissa (x-koordinaatti), joka syntyy, kun sädettä kierretään kulmalla α.
kulma α on sinin ja kosinin suhde.
Tai, mikä on sama asia, y-koordinaatin suhde x-koordinaattiin.
Merkintä: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Kaikki nämä määritelmät ovat sinulle tuttuja lukion algebrasta. Emme kuitenkaan ole kiinnostuneita itse määritelmistä, vaan trigonometrisen ympyrän seurauksista. Katso:
Sininen väri osoittaa OY-akselin positiivista suuntaa (ordinaattinen akseli), punainen osoittaa OX-akselin positiivista suuntaa (abskissa-akseli).
Tässä "tutkassa" trigonometristen funktioiden merkit tulevat ilmeisiksi. Erityisesti:
- sin α > 0, jos kulma α on I- tai II-koordinaattikvadrantissa. Tämä johtuu siitä, että määritelmän mukaan sini on ordinaatti (y-koordinaatti).
Ja y-koordinaatti on positiivinen juuri I- ja II-koordinaattineljänneksissä;
- cos α > 0, jos kulma α on 1. tai 4. koordinaattineljännessä. Koska vain siellä x-koordinaatti (alias abskissa) on suurempi kuin nolla;
- tan α > 0, jos kulma α on I- tai III-koordinaattikvadrantissa. Tämä seuraa määritelmästä: loppujen lopuksi tan α = y: x, joten se on positiivinen vain silloin, kun x:n ja y:n merkit ovat samat.
Tämä tapahtuu ensimmäisellä koordinaattineljänneksellä (tässä x > 0, y > 0) ja kolmannella koordinaattineljänneksellä (x< 0, y < 0).
Merkitään selvyyden vuoksi kunkin trigonometrisen funktion merkit - sini, kosini ja tangentti - erillisille "tutkaille". Saamme seuraavan kuvan:
Huomaa: keskusteluissani en koskaan puhunut neljännestä trigonometrisesta funktiosta - kotangentista.
Tosiasia on, että kotangenttimerkit ovat samat tangenttimerkkien kanssa - siellä ei ole erityisiä sääntöjä.
Nyt ehdotan pohtimaan esimerkkejä, jotka ovat samankaltaisia kuin ongelmat B11 matematiikan yhtenäisestä valtionkokeesta, joka pidettiin 27. syyskuuta 2011. Paras tapa ymmärtää teoriaa on loppujen lopuksi käytäntö. On suositeltavaa harjoitella paljon. Tehtävien ehtoja tietysti hieman muutettiin.
Tehtävä. Määritä trigonometristen funktioiden ja lausekkeiden merkit (itse funktioiden arvoja ei tarvitse laskea):
- sin(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5p/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Toimintasuunnitelma on seuraava: ensin muunnetaan kaikki kulmat radiaanimitoista asteina (π → 180°) ja sitten katsotaan missä koordinaattineljänneksessä saatu luku on.
Neljännekset tuntemalla voimme helposti löytää merkit - juuri kuvattujen sääntöjen mukaan. Meillä on:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Koska 135° ∈ , tämä on kulma II koordinaattineljänneksestä. Mutta sini toisella neljänneksellä on positiivinen, joten sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Koska 210° ∈ , tämä on kulma kolmannesta koordinaattikvadrantista, jossa kaikki kosinit ovat negatiivisia.
Siksi cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ lähtien olemme IV neljänneksellä, jossa tangentti saa negatiiviset arvot. Siksi rusketus (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Käsitellään siniä: koska 135° ∈ , tämä on toinen neljännes, jossa sinit ovat positiivisia, ts.
sin (3π/4) > 0. Nyt työskentelemme kosinin kanssa: 150° ∈ - jälleen toinen neljännes, kosinit siellä ovat negatiivisia. Siksi cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Katsomme kosinia: 120° ∈ on II koordinaattineljännes, joten cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Siellä oleva tangentti on positiivinen, joten tan (π/4) > 0. Jälleen saadaan tulo, jossa tekijöillä on eri etumerkit. Koska "miinus plus antaa miinuksen", meillä on: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Työskentelemme sinin kanssa: koska 150° ∈ , puhumme II koordinaattineljänneksestä, jossa sinit ovat positiivisia.
Siksi sin (5π/6) > 0. Samoin 315° ∈ on IV-koordinaattineljännes, siellä olevat kosinit ovat positiivisia.
Siksi cos (7π/4) > 0. Olemme saaneet kahden positiivisen luvun tulon - tällainen lauseke on aina positiivinen. Päättelemme: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Mutta kulma 135° ∈ on toinen neljännes, ts. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Koska "miinus plussalla antaa miinusmerkin", meillä on: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Tarkastellaan kotangenttiargumenttia: 240° ∈ on III-koordinaattineljännes, joten ctg (4π/3) > 0. Vastaavasti meillä olevalle tangentille: 30° ∈ on I-koordinaattineljännes, ts. yksinkertaisin kulma. Siksi tan (π/6) > 0. Meillä on jälleen kaksi positiivista lauseketta - niiden tulo on myös positiivinen.
Siksi pinnasänky (4π/3) tg (π/6) > 0.
Lopuksi tarkastellaan joitain monimutkaisempia ongelmia. Sen lisäksi, että selvität trigonometrisen funktion etumerkin, sinun on tässä tehtävä vähän matematiikkaa - aivan kuten todellisissa tehtävissä B11. Periaatteessa nämä ovat melkein todellisia ongelmia, jotka todella esiintyvät matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa.
Etsi sin α, jos sin2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].
Koska sin2 α = 0,64, meillä on: sin α = ±0,8.
Jää vain päättää: plus vai miinus? Ehdolla kulma α ∈ [π/2; π] on II koordinaattineljännes, jossa kaikki sinit ovat positiivisia. Näin ollen sin α = 0,8 - etumerkkien epävarmuus eliminoituu.
Tehtävä. Etsi cos α, jos cos2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].
Toimimme samalla tavalla, ts.
ota neliöjuuri: cos2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. Ehdolla kulma α ∈ [π; 3π/2], so. Puhumme kolmannesta koordinaattineljänneksestä. Kaikki kosinit ovat negatiivisia, joten cos α = −0,2.
Tehtävä. Etsi sin α, jos sin2 α = 0,25 ja α ∈ .
Meillä on: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Minkä tahansa kulman trigonometriset funktiot
Katsomme kulmaa uudelleen: α ∈ on IV koordinaattineljännes, jossa, kuten tiedämme, sini on negatiivinen. Tästä päätämme: sin α = −0,5.
Tehtävä. Etsi tan α, jos tan2 α = 9 ja α ∈ .
Kaikki on sama, vain tangentin osalta.
Poimi neliöjuuri: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Mutta ehdon mukaan kulma α ∈ on I-koordinaattineljännes. Kaikki trigonometriset funktiot, sis. tangentti, on positiivisia, joten tan α = 3. Siinä se!
