(kreikan kielestä λόγος - "sana", "suhde" ja ἀριθμός - "luku") b syystä a(log α b) kutsutaan sellaiseksi numeroksi c, ja b= a c, eli log α b=c ja b=ac ovat samanarvoisia. Logaritmi on järkevä, jos a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Toisin sanoen logaritmi numeroita b syystä a muotoiltu eksponenttiksi, johon luku on nostettava a saadaksesi numeron b(logaritmi on olemassa vain positiivisille luvuille).

Tästä formulaatiosta seuraa, että laskelma x= log α b, vastaa yhtälön a x =b ratkaisemista.

Esimerkiksi:

log 2 8 = 3, koska 8 = 2 3 .

Huomaa, että ilmoitettu logaritmin muotoilu mahdollistaa sen määrittämisen välittömästi logaritmin arvo kun logaritmin etumerkin alla oleva luku on kantajan tietty potenssi. Itse asiassa logaritmin muotoilu mahdollistaa sen, että jos b=a c, sitten luvun logaritmi b syystä a on yhtä suuri Kanssa. On myös selvää, että logaritmin aihe liittyy läheisesti aiheeseen numeron aste.

Tässä viitataan logaritmin laskemiseen logaritmi. Logaritmi on logaritmin ottamisen matemaattinen operaatio. Kun otetaan logaritmi, tekijöiden tulot muunnetaan termien summiksi.

Tehostaminen on logaritmille käänteinen matemaattinen operaatio. Potentioinnissa annettu kanta nostetaan sen lausekkeen potenssiin, jolla potentiointi suoritetaan. Tässä tapauksessa termien summat muunnetaan tekijöiden tuloksi.

Melko usein käytetään reaalilogaritmeja, joiden kanta on 2 (binääri), e Eulerin luku e ≈ 2,718 (luonnollinen logaritmi) ja 10 (desimaali).

Tässä vaiheessa sitä kannattaa harkita logaritmien näytteitä loki 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Ja merkinnöillä lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä sijoitetaan negatiivinen luku logaritmin merkin alle, toisessa - negatiivinen luku kanta, ja kolmannessa - ja negatiivinen luku logaritmin ja yksikön merkin alla kannassa.

Edellytykset logaritmin määrittämiselle.

Ehtoja a > 0, a ≠ 1, b > 0 kannattaa tarkastella erikseen. logaritmin määritelmä. Pohditaan, miksi nämä rajoitukset otetaan käyttöön. Tämä auttaa meitä yhtälössä muodossa x = log α b, jota kutsutaan logaritmiksi perusidentiteetiksi, mikä seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.

Ota ehto a≠1. Koska yksi on yhtä suuri kuin yksi mille tahansa potenssille, yhtälö x=log α b voi olla olemassa vain silloin, kun b = 1, mutta log 1 1 on mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden poistamiseksi otamme a≠1.

Todistakaamme ehdon tarpeellisuus a>0. klo a = 0 logaritmin muotoilun mukaan voi olla olemassa vain, kun b = 0. Ja sitten sen mukaan loki 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nollasta mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämän epäselvyyden poistamiseksi ehto a≠0. Ja milloin a<0 meidän on hylättävä logaritmin rationaalisten ja irrationaalisten arvojen analyysi, koska eksponentti rationaalisen ja irrationaalisen eksponentin kanssa määritellään vain ei-negatiivisille kantajille. Tästä syystä ehto a>0.

Ja viimeinen ehto b>0 seuraa eriarvoisuudesta a>0, koska x = log α b, ja tutkinnon arvo, jolla on positiivinen kanta a aina positiivinen.

Logaritmien ominaisuudet.

Logaritmit ominaista erottuva ominaisuudet, mikä johti niiden laajaan käyttöön helpottaen huomattavasti huolellisia laskelmia. Siirtymisessä "logaritmien maailmaan" kertominen muuttuu paljon helpommaksi yhteenlaskuksi, jako vähennykseksi ja potenssiin nostaminen ja juuren ottaminen muuttuvat kertoimeksi ja jakoksi eksponentin avulla.

Skotlantilainen matemaatikko John Napier julkaisi logaritmien muotoilun ja niiden arvojen taulukon (trigonometrisille funktioille) ensimmäisen kerran vuonna 1614. Muiden tutkijoiden suurentamia ja yksityiskohtaisia ​​logaritmisia taulukoita käytettiin laajalti tieteellisissä ja teknisissä laskelmissa, ja ne säilyivät merkityksellisinä, kunnes elektronisia laskimia ja tietokoneita alettiin käyttää.

Tämän artikkelin painopiste on logaritmi. Tässä annamme logaritmin määritelmän, näytämme hyväksytyn merkinnän, annamme esimerkkejä logaritmeista ja puhumme luonnollisista ja desimaalilogaritmeista. Harkitse sen jälkeen logaritmisen perusidentiteettiä.

Sivulla navigointi.

Logaritmin määritelmä

Logaritmin käsite syntyy, kun ratkaistaan ​​ongelma tietyssä mielessä käänteisesti, kun on löydettävä eksponentti tunnetusta asteen arvosta ja tunnetusta kannasta.

Mutta tarpeeksi johdanto, on aika vastata kysymykseen "mikä on logaritmi"? Annetaan sopiva määritelmä.

Määritelmä.

Logaritmi b:stä kantaan a, jossa a>0 , a≠1 ja b>0 on eksponentti, johon sinun täytyy nostaa luku a saadaksesi tuloksen b.

Tässä vaiheessa panemme merkille, että puhutun sanan "logaritmi" pitäisi heti herättää kaksi seuraavaa kysymystä: "mikä numero" ja "millä perusteella". Toisin sanoen, logaritmia ei yksinkertaisesti ole, vaan jossain kannassa on vain luvun logaritmi.

Esittelemme heti logaritmin merkintä: luvun b logaritmia kantaan a merkitään yleensä loga b : na. Luvun b logaritmilla kantaan e ja logaritmilla kantaan 10 on omat erikoisnimensä lnb ja lgb, eli ne eivät kirjoita log e b , vaan lnb , eivätkä log 10 b , vaan lgb .

Nyt voit tuoda: .
Ja levyt ei ole järkeä, koska ensimmäisessä niistä on negatiivinen luku logaritmin merkin alla, toisessa - negatiivinen luku kannassa ja kolmannessa - sekä negatiivinen luku logaritmin merkin alla että yksikkö pohjassa.

Nyt puhutaan logaritmien lukemisen säännöt. Kirjauslogi a b luetaan "logaritmina b:stä kantaan a". Esimerkiksi logaritmi 2 3 on logaritmi kolmesta kantaan 2 ja on kahden kokonaisluvun logaritmi kahden kantapään kolmanneksen viiden neliöjuuresta. Logaritmia kantaan e kutsutaan luonnollinen logaritmi, ja merkintä lnb luetaan "b:n luonnollisena logaritmina". Esimerkiksi ln7 on luvun seitsemän luonnollinen logaritmi, ja luemme sen pi:n luonnolliseksi logaritmiksi. Logaritmilla kantaan 10 on myös erityinen nimi - desimaalilogaritmi, ja merkintä lgb luetaan "desimaalilogaritmiksi b". Esimerkiksi lg1 on yhden desimaalilogaritmi ja lg2.75 on kahden pisteen seitsemänkymmenenviiden sadasosan desimaalilogaritmi.

Erikseen kannattaa keskittyä ehdoihin a>0, a≠1 ja b>0, joissa logaritmin määritelmä annetaan. Selvitetään, mistä nämä rajoitukset tulevat. Tämän tekemisessä meitä auttaa muodon yhtäläisyys, nimeltään , joka seuraa suoraan edellä annetusta logaritmin määritelmästä.

Aloitetaan a≠1:stä. Koska yksi on yhtä suuri kuin yksi minkä tahansa potenssin kanssa, yhtälö voi olla totta vain b=1:lle, mutta log 1 1 voi olla mikä tahansa reaaliluku. Tämän epäselvyyden välttämiseksi a≠1 hyväksytään.

Perustellaan ehdon a>0 tarkoituksenmukaisuus. Kun a=0, logaritmin määritelmän mukaan meillä olisi yhtäläisyys , mikä on mahdollista vain, kun b=0 . Mutta sitten log 0 0 voi olla mikä tahansa nollasta poikkeava reaaliluku, koska nolla mihin tahansa nollasta poikkeavaan potenssiin on nolla. Tämä epäselvyys voidaan välttää ehdolla a≠0 . Ja a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Lopuksi ehto b>0 seuraa epäyhtälöstä a>0 , koska , ja positiivisella kantalla a olevan asteen arvo on aina positiivinen.

Tämän kappaleen lopuksi sanomme, että logaritmin soinnillinen määritelmä antaa sinun ilmoittaa välittömästi logaritmin arvon, kun logaritmin merkin alla oleva luku on tietty kanta. Todellakin, logaritmin määritelmä antaa meille mahdollisuuden väittää, että jos b=a p , niin luvun b logaritmi kantaan a on yhtä suuri kuin p . Eli yhtälölogi a a p =p on tosi. Tiedämme esimerkiksi, että 2 3 = 8 , sitten log 2 8 = 3 . Puhumme tästä lisää artikkelissa.

Yhteiskunnan kehittyessä tuotannon monimutkaisuuden myötä myös matematiikka kehittyi. Liikkeet yksinkertaisesta monimutkaiseen. Tavanomaisesta yhteen- ja vähennyslaskumenetelmästä toistuvalla toistolla he päätyivät kerto- ja jakolaskujaan. Kerran toistetun operaation vähentämisestä tuli eksponentioimisen käsite. Intialainen matemaatikko Varasena laati ensimmäiset taulukot lukujen riippuvuudesta kantaan ja eksponentioluvusta 800-luvulla. Niistä voit laskea logaritmien esiintymisajan.

Historiallinen ääriviiva

Euroopan elpyminen 1500-luvulla vauhditti myös mekaniikan kehitystä. T vaati paljon laskentaa liittyy moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vanhat pöydät tekivät hyvää palvelua. Ne mahdollistivat monimutkaisten toimintojen korvaamisen yksinkertaisemmilla - yhteen- ja vähennyslaskulla. Iso askel eteenpäin oli matemaatikko Michael Stiefelin vuonna 1544 julkaistu työ, jossa hän toteutti monien matemaatikoiden ajatuksen. Tämä mahdollisti taulukoiden käytön asteille alkulukujen muodossa, vaan myös mielivaltaisille rationaalisille lukuille.

Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti näitä ajatuksia ja esitteli ensimmäisen kerran uuden termin "luvun logaritmi". Sinien ja kosinien logaritmien sekä tangenttien laskemiseen tehtiin uusia kompleksisia taulukoita. Tämä vähensi suuresti tähtitieteilijöiden työtä.

Uusia taulukoita alkoi ilmestyä, joita tutkijat käyttivät menestyksekkäästi kolmen vuosisadan ajan. Kului paljon aikaa ennen kuin uusi algebran operaatio sai lopullisen muotonsa. Logaritmi määriteltiin ja sen ominaisuuksia tutkittiin.

Vasta 1900-luvulla, laskimen ja tietokoneen tultua käyttöön, ihmiskunta hylkäsi muinaiset taulukot, jotka olivat toimineet menestyksekkäästi läpi 1200-luvun.

Nykyään kutsumme b:n logaritmia perustaa a lukua x, joka on a:n potenssi, jotta saadaan luku b. Tämä kirjoitetaan kaavana: x = log a(b).

Esimerkiksi log 3(9) on yhtä suuri kuin 2. Tämä on ilmeistä, jos noudatat määritelmää. Jos korotamme 3:n potenssiin 2, saamme 9.

Näin ollen muotoiltu määritelmä asettaa vain yhden rajoituksen, numeroiden a ja b on oltava todellisia.

Logaritmien lajikkeet

Klassista määritelmää kutsutaan todelliseksi logaritmiksi ja se on itse asiassa yhtälön a x = b ratkaisu. Vaihtoehto a = 1 on rajallinen, eikä sillä ole merkitystä. Huomaa: 1 mihin tahansa potenssiin on 1.

Logaritmin todellinen arvo määritellään vain, jos kanta ja argumentti ovat suurempia kuin 0 ja kantaluku ei saa olla yhtä suuri kuin 1.

Erityinen paikka matematiikan alalla pelaa logaritmeja, jotka nimetään niiden perustan arvon mukaan:

Säännöt ja rajoitukset

Logaritmien perusominaisuus on sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritminen summa. log abp = log a(b) + log a(p).

Tämän lausunnon muunnelmana se on: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), osamääräfunktio on yhtä suuri kuin funktioiden ero.

Kahdesta edellisestä säännöstä on helppo nähdä, että: log a(b p) = p * log a(b).

Muita ominaisuuksia ovat:

Kommentti. Älä tee yleistä virhettä - summan logaritmi ei ole sama kuin logaritmien summa.

Useiden vuosisatojen ajan logaritmin löytäminen oli melko aikaa vievä tehtävä. Matemaatikot käyttivät tunnettua logaritmisen teorian kaavaa polynomilaajennuksesta:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), jossa n on luonnollinen luku, joka on suurempi kuin 1, mikä määrittää laskennan tarkkuuden.

Logaritmit muiden kantalukujen kanssa laskettiin käyttämällä lausetta siirtymisestä kantasta toiseen ja tuotteen logaritmin ominaisuuteen.

Koska tämä menetelmä on erittäin työläs ja kun ratkaistaan ​​käytännön ongelmia vaikea toteuttaa, he käyttivät valmiiksi laadittuja logaritmitaulukoita, mikä nopeutti huomattavasti koko työtä.

Joissakin tapauksissa käytettiin erityisesti koottuja logaritmien kuvaajia, jotka antoivat vähemmän tarkkuutta, mutta nopeuttavat merkittävästi halutun arvon hakua. Useampaan pisteeseen rakennettu funktion y = log a(x) käyrä mahdollistaa tavanomaisen viivaimen avulla funktion arvojen löytämisen mistä tahansa muusta pisteestä. Insinöörit käyttivät pitkään ns. kaaviopaperia näihin tarkoituksiin.

1600-luvulla ilmestyivät ensimmäiset analogiset apulaskentaolosuhteet, jotka 1800-luvulle mennessä olivat saaneet valmiin muodon. Menestynein laite oli nimeltään slidesääntö. Laitteen yksinkertaisuudesta huolimatta sen ulkonäkö nopeuttaa merkittävästi kaikkien teknisten laskelmien prosessia, ja tätä on vaikea yliarvioida. Tällä hetkellä harvat ihmiset tuntevat tämän laitteen.

Laskimien ja tietokoneiden tulo teki turhaksi käyttää muita laitteita.

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Seuraavia kaavoja käytetään erilaisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen logaritmeilla:

• Siirtyminen emäksestä toiseen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Edellisen version seurauksena: log a(b) = 1 / log b(a).

Eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää:

• Logaritmin arvo on positiivinen vain, jos kanta ja argumentti ovat molemmat suurempia tai pienempiä kuin yksi; jos ainakin yksi ehto rikotaan, logaritmin arvo on negatiivinen.
• Jos logaritmifunktiota sovelletaan epäyhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle ja logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, niin epäyhtälön etumerkki säilyy; muuten se muuttuu.

Tehtäväesimerkkejä

Harkitse useita logaritmien ja niiden ominaisuuksien käyttövaihtoehtoja. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta:

Harkitse vaihtoehtoa logaritmin sijoittamiseksi asteeseen:

• Tehtävä 3. Laske 25^log 5(3). Ratkaisu: tehtävän olosuhteissa merkintätapa on samanlainen kuin (5^2)^log5(3) tai 5^(2 * log 5(3)). Kirjoitetaan se toisin: 5^log 5(3*2), tai luvun neliö funktion argumenttina voidaan kirjoittaa itse funktion neliöksi (5^log 5(3))^2. Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia tämä lauseke on 3^2. Vastaus: laskennan tuloksena saamme 9.

Käytännöllinen käyttö

Puhtaasti matemaattisena työkaluna näyttää olevan kaukana todellisesta elämästä, että logaritmilla on yhtäkkiä tullut suuri merkitys todellisen maailman esineiden kuvaamisessa. On vaikea löytää tiedettä, jossa sitä ei käytetä. Tämä pätee täysin ei vain luonnollisiin, vaan myös humanistisiin tietoihin.

Logaritmiset riippuvuudet

Tässä on esimerkkejä numeerisista riippuvuuksista:

Mekaniikka ja fysiikka

Historiallisesti mekaniikka ja fysiikka ovat aina kehittyneet käyttämällä matemaattisia tutkimusmenetelmiä ja samalla toimineet kannustimena matematiikan, myös logaritmien, kehitykselle. Useimpien fysiikan lakien teoria on kirjoitettu matematiikan kielellä. Annamme vain kaksi esimerkkiä fysikaalisten lakien kuvauksesta logaritmin avulla.

On mahdollista ratkaista ongelma sellaisen monimutkaisen suuren kuin raketin nopeuden laskemisessa käyttämällä Tsiolkovsky-kaavaa, joka loi perustan avaruustutkimuksen teorialle:

V = I * ln(M1/M2), missä

• V on lentokoneen lopullinen nopeus.
• Minä olen moottorin erityinen impulssi.
• M 1 on raketin alkumassa.
• M 2 - lopullinen massa.

Toinen tärkeä esimerkki- Tämä on toisen suuren tiedemiehen Max Planckin kaavassa, joka toimii termodynamiikan tasapainotilan arvioinnissa.

S = k * ln (Ω), missä

• S on termodynaaminen ominaisuus.
• k on Boltzmannin vakio.
• Ω on eri tilojen tilastollinen paino.

Kemia

Vähemmän ilmeistä olisi logaritmien suhteen sisältävien kaavojen käyttö kemiassa. Tässä on vain kaksi esimerkkiä:

• Nernstin yhtälö, väliaineen redox-potentiaalin ehto suhteessa aineiden aktiivisuuteen ja tasapainovakioon.
• Sellaisten vakioiden kuin autoprolyysiindeksin ja liuoksen happamuuden laskenta ei myöskään ole täydellinen ilman toimintoamme.

Psykologia ja biologia

Ja on täysin käsittämätöntä, mitä tekemistä psykologialla on sen kanssa. Osoittautuu, että tämä funktio kuvaa hyvin tunteen voimakkuutta ärsykkeen intensiteettiarvon käänteisenä suhteena alemman intensiteetin arvoon.

Yllä olevien esimerkkien jälkeen ei ole enää yllättävää, että logaritmien teemaa käytetään laajasti myös biologiassa. Logaritmisia spiraaleja vastaavista biologisista muodoista voidaan kirjoittaa kokonaisia ​​niteitä.

Muut alueet

Näyttää siltä, ​​​​että maailman olemassaolo on mahdotonta ilman yhteyttä tähän tehtävään, ja se hallitsee kaikkia lakeja. Varsinkin kun luonnonlait liittyvät geometriseen etenemiseen. Kannattaa katsoa MatProfin nettisivuja, joista on monia esimerkkejä seuraavilla toiminta-alueilla:

Lista voisi olla loputon. Kun olet oppinut tämän toiminnon peruslait, voit sukeltaa äärettömän viisauden maailmaan.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selitetään se helpommin. Esimerkiksi \(\log_(2)(8)\) on yhtä suuri kuin potenssi \(2\) on nostettava, jotta saadaan \(8\). Tästä on selvää, että \(\log_(2)(8)=3\).

Esimerkkejä:		\(\log_(5)(25)=2\)		koska \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		koska \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		koska \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentti ja logaritmin kanta

Jokaisella logaritmilla on seuraava "anatomia":

Logaritmin argumentti kirjoitetaan yleensä sen tasolla ja kanta kirjoitetaan alaindeksillä lähempänä logaritmin etumerkkiä. Ja tämä merkintä luetaan näin: "kahdeskymmenesviiden logaritmi viiden kantaan."

Miten logaritmi lasketaan?

Logaritmin laskemiseksi sinun on vastattava kysymykseen: missä määrin kantaa tulisi nostaa argumentin saamiseksi?

Esimerkiksi, laske logaritmi: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mihin potenssiin \(4\) on nostettava, jotta saadaan \(16\)? Ilmeisesti toinen. Siksi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mihin tehoon \(\sqrt(5)\) on nostettava, jotta saadaan \(1\)? Ja mikä aste tekee mistä tahansa numerosta yksikön? Nolla tietysti!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mihin tehoon \(\sqrt(7)\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(7)\)? Ensimmäisessä - mikä tahansa numero ensimmäisessä asteessa on yhtä suuri kuin itsensä.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mihin potenssiin \(3\) on nostettava, jotta saadaan \(\sqrt(3)\)? Tiedämme, että se on murtoluku, ja siksi neliöjuuri on \(\frac(1)(2)\) potenssi.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esimerkki : Laske logaritmi \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Ratkaisu :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Meidän on löydettävä logaritmin arvo, merkitään se x:llä. Käytetään nyt logaritmin määritelmää: \(\log_(a)(c)=b\) \(\nuoli vasen oikealle\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Mitkä linkit \(4\sqrt(2)\) ja \(8\)? Kaksi, koska molemmat numerot voidaan esittää kahdella: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Vasemmalla käytämme asteominaisuuksia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ja \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Perusteet ovat samat, siirrymme indikaattoreiden tasa-arvoon
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kerro yhtälön molemmat puolet \(\frac(2)(5)\)
		Tuloksena oleva juuri on logaritmin arvo

Vastaus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miksi logaritmi keksittiin?

Tämän ymmärtämiseksi ratkaistaan ​​yhtälö: \(3^(x)=9\). Yhdistä vain \(x\), jotta tasa-arvo toimii. Tietenkin \(x=2\).

Ratkaise nyt yhtälö: \(3^(x)=8\. Mikä on x yhtä suuri? Siitä on kysymys.

Nerokkain sanoo: "X on hieman vähemmän kuin kaksi." Miten tämä luku oikein kirjoitetaan? Vastatakseen tähän kysymykseen he keksivät logaritmin. Hänen ansiostaan ​​vastaus tähän voidaan kirjoittaa muodossa \(x=\log_(3)(8)\).

Haluan korostaa, että \(\log_(3)(8)\), samoin kuin mikä tahansa logaritmi on vain luku. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta se on lyhyt. Koska jos haluaisimme kirjoittaa sen desimaalilukuna, se näyttäisi tältä: \(1.892789260714.....\)

Esimerkki : Ratkaise yhtälö \(4^(5x-4)=10\)

Ratkaisu :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ja \(10\) eivät voi pelkistää samaan kantaan. Joten tässä et voi tehdä ilman logaritmia. Käytetään logaritmin määritelmää: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Käännä yhtälö niin, että x on vasemmalla
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Ennen meitä. Siirrä \(4\) oikealle. Älä pelkää logaritmia, vaan käsittele sitä normaalina numerona.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Jaa yhtälö 5:llä
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Tässä on juuremme. Kyllä, se näyttää epätavalliselta, mutta vastausta ei valita.

Vastaus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Desimaali- ja luonnonlogaritmit

Kuten logaritmin määritelmässä todetaan, sen kanta voi olla mikä tahansa positiivinen luku paitsi yksi \((a>0, a\neq1)\). Ja kaikkien mahdollisten perusteiden joukossa on kaksi, jotka esiintyvät niin usein, että logaritmille keksittiin erityinen lyhyt merkintätapa niiden kanssa:

Luonnollinen logaritmi: logaritmi, jonka kanta on Eulerin luku \(e\) (suunnilleen \(2,7182818…\)), ja logaritmi kirjoitetaan muodossa \(\ln(a)\).

Tuo on, \(\ln(a)\) on sama kuin \(\log_(e)(a)\)

Desimaalilogaritmi: Logaritmi, jonka kantaluku on 10, kirjoitetaan \(\lg(a)\).

Tuo on, \(\lg(a)\) on sama kuin \(\log_(10)(a)\), jossa \(a\) on jokin luku.

Peruslogaritminen identiteetti

Logaritmeilla on monia ominaisuuksia. Yksi niistä on nimeltään "Peruslogaritminen identiteetti" ja näyttää tältä:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Tämä ominaisuus seuraa suoraan määritelmästä. Katsotaan kuinka tämä kaava syntyi.

Muista logaritmin lyhyt määritelmä:

jos \(a^(b)=c\), niin \(\log_(a)(c)=b\)

Eli \(b\) on sama kuin \(\log_(a)(c)\). Sitten voimme kirjoittaa \(\log_(a)(c)\) \(b\) sijasta kaavaan \(a^(b)=c\) . Kävi ilmi, että \(a^(\log_(a)(c))=c\) - tärkein logaritminen identiteetti.

Löydät loput logaritmien ominaisuudet. Niiden avulla voit yksinkertaistaa ja laskea lausekkeiden arvot logaritmeilla, joita on vaikea laskea suoraan.

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(36^(\log_(6)(5))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(25\)

Kuinka kirjoittaa luku logaritmina?

Kuten edellä mainittiin, mikä tahansa logaritmi on vain numero. Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa luku voidaan kirjoittaa logaritmina. Tiedämme esimerkiksi, että \(\log_(2)(4)\) on yhtä kuin kaksi. Sitten voit kirjoittaa \(\log_(2)(4)\) kahden sijaan.

Mutta \(\log_(3)(9)\) on myös yhtä suuri kuin \(2\), joten voit kirjoittaa myös \(2=\log_(3)(9)\) . Vastaavasti \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. Eli se käy ilmi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Siten, jos tarvitsemme, voimme kirjoittaa nämä kaksi logaritmina millä tahansa kantalla missä tahansa (jopa yhtälössä, jopa lausekkeessa, jopa epäyhtälössä) - kirjoitamme vain neliön kantaluvun argumentiksi.

Se on sama kolminkertaisen kanssa - se voidaan kirjoittaa muodossa \(\log_(2)(8)\), tai \(\log_(3)(27)\) tai \(\log_(4)( 64) \) ... Kirjoita tähän kuution kanta argumentiksi:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljällä:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinuksella yksi:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja yhdellä kolmanneksella:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mikä tahansa luku \(a\) voidaan esittää logaritmina, jonka kanta on \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esimerkki : Etsi lausekkeen arvo \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Ratkaisu :

Vastaus : \(1\)

perusominaisuudet.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

samoilla perusteilla

log6 4 + log6 9.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman.

Esimerkkejä logaritmien ratkaisemisesta

Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Siirtyminen uudelle perustalle

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Katso myös:

Logaritmin perusominaisuudet

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi.

Logaritmien perusominaisuudet

Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.

3.

4. missä .

Esimerkki 2 Etsi x jos

Esimerkki 3. Annetaan logaritmien arvot

Laske log(x), jos

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä.

Logaritmien kaavat. Logaritmit ovat esimerkkejä ratkaisuista.

He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.

Katso myös:

Luvun b logaritmi kantaan a tarkoittaa lauseketta. Logaritmin laskeminen tarkoittaa sellaisen potenssin x () löytämistä, jolla yhtälö on tosi

Logaritmin perusominaisuudet

Yllä olevat ominaisuudet on tunnettava, koska niiden perusteella lähes kaikki tehtävät ja esimerkit ratkaistaan ​​logaritmien perusteella. Loput eksoottiset ominaisuudet voidaan johtaa matemaattisilla manipuloinneilla näillä kaavoilla

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Laskettaessa kaavoja logaritmien summalle ja erolle (3.4) kohdataan melko usein. Loput ovat melko monimutkaisia, mutta monissa tehtävissä ne ovat välttämättömiä monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistamiseksi ja niiden arvojen laskemiseksi.

Yleisiä logaritmien tapauksia

Jotkut yleisimmistä logaritmeista ovat sellaisia, joissa kanta on jopa kymmenen, eksponentiaalinen tai kakkonen.
Kymmenen kantalogaritmia kutsutaan yleensä kymmenen kantalogaritmiksi ja sitä merkitään yksinkertaisesti lg(x).

Tietueesta näkyy, että perusasiat eivät ole tietueessa kirjoitettuja. Esimerkiksi

Luonnollinen logaritmi on logaritmi, jonka perusta on eksponentti (merkitty ln(x)).

Eksponentti on 2,718281828…. Eksponentin muistamiseksi voit tutkia sääntöä: eksponentti on 2,7 ja kaksi kertaa Leo Tolstoin syntymävuosi. Kun tiedät tämän säännön, tiedät sekä eksponentin tarkan arvon että Leo Tolstoin syntymäajan.

Ja toinen tärkeä kahden peruslogaritmi on

Funktion logaritmin derivaatta on yhtä suuri kuin yksi jaettuna muuttujalla

Integraali tai antideriivatiivinen logaritmi määräytyy riippuvuuden mukaan

Yllä oleva materiaali riittää sinulle ratkaisemaan laajan luokan logaritmeihin ja logaritmeihin liittyviä ongelmia. Aineiston ymmärtämisen vuoksi annan vain muutaman yleisen esimerkin koulun opetussuunnitelma ja yliopistot.

Esimerkkejä logaritmeista

Ota lausekkeiden logaritmi

Esimerkki 1
a). x = 10ac^2 (a>0, c>0).

Ominaisuuksilla 3,5 laskemme

2.
Logaritmien erotusominaisuudella meillä on

3.
Käyttämällä ominaisuuksia 3.5 löydämme

4. missä .

Näennäisesti monimutkainen lauseke, jossa käytetään useita sääntöjä, yksinkertaistetaan muotoon

Logaritmiarvojen löytäminen

Esimerkki 2 Etsi x jos

Ratkaisu. Laskennassa hyödynnetään ominaisuuksia 5 ja 13 viimeiseen termiin asti

Korvaa pöytäkirjassa ja sure

Koska emäkset ovat yhtä suuret, yhtälöimme lausekkeet

Logaritmit. Ensimmäinen taso.

Olkoon logaritmien arvot annettu

Laske log(x), jos

Ratkaisu: Kirjoita muuttujan logaritmi termien summan läpi

Tämä on vasta alkua logaritmiin ja niiden ominaisuuksiin tutustumiselle. Harjoittele laskelmia, rikasta käytännön taitojasi - tarvitset pian hankittua tietoa logaritmisen yhtälöiden ratkaisemiseen. Tutkittuamme perusmenetelmiä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, laajennamme tietämyksesi toiselle yhtä tärkeälle aiheelle - logaritmisille epäyhtälöille ...

Logaritmien perusominaisuudet

Logaritmeja, kuten mitä tahansa lukua, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin mahdollisin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole aivan tavallisia lukuja, tässä on säännöt, joita kutsutaan perusominaisuudet.

Nämä säännöt on tunnettava - ilman niitä ei voida ratkaista vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - kaikki voidaan oppia yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.

Logaritmien yhteen- ja vähennyslasku

Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: logaksi ja logarit. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi, ja ero on osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on - samoilla perusteilla. Jos perusteet ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!

Nämä kaavat auttavat laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log6 4 + log6 9.

Koska logaritmien kantaluvut ovat samat, käytämme summakaavaa:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log2 48 − log2 3.

Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log3 135 − log3 5.

Jälleen, perusteet ovat samat, joten meillä on:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei käsitellä erikseen. Mutta muunnosten jälkeen tulee melko normaaleja lukuja. Monet testit perustuvat tähän tosiasiaan. Kyllä, kontrolli - samanlaisia ​​ilmaisuja kaikessa vakavuudessa (joskus - käytännössä ilman muutoksia) tarjotaan kokeessa.

Eksponentin poistaminen logaritmista

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kantaosassa tai argumentissa on aste? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:

On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa heidän kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissain tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Tietysti kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos ODZ-logaritmia noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja vielä yksi asia: opi soveltamaan kaikkia kaavoja paitsi vasemmalta oikealle, myös päinvastoin, ts. voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin.

Kuinka ratkaista logaritmit

Tätä vaaditaan useimmiten.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log7 496.

Päästään eroon argumentin asteesta ensimmäisen kaavan mukaan:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että nimittäjä on logaritmi, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 24; 49 = 72. Meillä on:

Mielestäni viimeinen esimerkki kaipaa selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. He esittivät siellä seisovan logaritmin kannan ja argumentin asteiden muodossa ja ottivat indikaattorit - he saivat "kolmikerroksisen" murto-osan.

Katsotaan nyt pääosaa. Osoittajalla ja nimittäjällä on sama luku: log2 7. Koska log2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä tehtiin. Tuloksena on vastaus: 2.

Siirtyminen uudelle perustalle

Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos pohjat ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?

Uuteen tukikohtaan siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilemme ne lauseen muodossa:

Olkoon logaritmin logaksi annettu. Sitten mille tahansa luvulle c, jonka c > 0 ja c ≠ 1, yhtälö on tosi:

Erityisesti, jos laitamme c = x, saamme:

Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa keskenään, mutta tässä tapauksessa koko lauseke "käännetään" ts. logaritmi on nimittäjässä.

Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta on mahdollista arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.

On kuitenkin tehtäviä, joita ei voida ratkaista ollenkaan muutoin kuin siirtymällä uudelle perustalle. Tarkastellaanpa paria näistä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log5 16 log2 25.

Huomaa, että molempien logaritmien argumentit ovat tarkat eksponentit. Otetaan indikaattorit pois: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Käännetään nyt toinen logaritmi:

Koska tulo ei muutu tekijöiden permutaatiosta, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten selvitimme logaritmit.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log9 100 lg 3.

Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjataan se ylös ja päästään eroon indikaattoreista:

Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:

Peruslogaritminen identiteetti

Usein ratkaisuprosessissa on esitettävä luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa kaavat auttavat meitä:

Ensimmäisessä tapauksessa luvusta n tulee argumentin eksponentti. Luku n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmin arvo.

Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan näin:

Todellakin, mitä tapahtuu, jos lukua b korotetaan siinä määrin, että tämän asteen luku b antaa luvun a? Aivan oikein: tämä on sama numero a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset "roikkuvat" siinä.

Kuten uudet perusmuunnoskaavat, logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Huomaa, että log25 64 = log5 8 - juuri poisti neliön kannasta ja logaritmin argumentin. Ottaen huomioon potenssien kertomisen säännöt samalla kantalla, saamme:

Jos joku ei ole perillä, tämä oli oikea tehtävä yhtenäisestä valtiokokeesta 🙂

Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla

Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita on vaikea kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin nämä ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Heitä löytyy jatkuvasti ongelmista ja yllättäen ne aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.

1. logaa = 1 on. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a itse tästä kannasta on yhtä suuri kuin yksi.
2. loga 1 = 0 on. Kanta a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti on yksi, logaritmi on nolla! Koska a0 = 1 on määritelmän suora seuraus.

Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.