Järjestetty järjestelmä kahdesta tai kolmesta toisiinsa nähden kohtisuorassa olevasta akselista, joilla on yhteinen origo (alkuperä) ja yhteinen pituusyksikkö. suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä .
Yleinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (affiininen koordinaattijärjestelmä) voi sisältää myös ei välttämättä kohtisuorassa olevia akseleita. Ranskalaisen matemaatikon Rene Descartesin (1596-1662) kunniaksi on nimetty sellainen koordinaattijärjestelmä, jossa kaikille akseleille lasketaan yhteinen pituusyksikkö ja akselit ovat suoria.
Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa on kaksi akselia suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa - kolme akselia. Jokainen piste tasossa tai avaruudessa määräytyy järjestetyllä koordinaattijoukolla - numeroilla koordinaattijärjestelmän yksikköpituuden mukaisesti.
Huomaa, että kuten määritelmästä seuraa, suoralla viivalla eli yhdessä ulottuvuudessa on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä. Karteesisten koordinaattien käyttöönotto suoralla on yksi tapa, jolla mille tahansa suoran pisteelle osoitetaan hyvin määritelty reaaliluku eli koordinaatti.
René Descartesin teoksissa syntynyt koordinaattimenetelmä merkitsi kaiken matematiikan vallankumouksellista uudelleenjärjestelyä. Tuli mahdolliseksi tulkita algebrallisia yhtälöitä (tai epäyhtälöitä) geometristen kuvien (kaavioiden) muodossa ja päinvastoin etsiä ratkaisua geometrisiin ongelmiin käyttämällä analyyttisiä kaavoja, yhtälöjärjestelmiä. Kyllä, eriarvoisuutta z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ja sijaitsee tämän tason yläpuolella 3 yksikköä.
Karteesisen koordinaattijärjestelmän avulla pisteen kuuluminen annettuun käyrään vastaa sitä, että luvut x ja y täyttää jonkin yhtälön. Joten ympyrän pisteen koordinaatit, jonka keskipiste on annettu tiettyyn pisteeseen ( a; b) täyttävät yhtälön (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa
Kaksi kohtisuoraa akselia tasossa, joilla on yhteinen origo ja sama mittayksikkö Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa . Yhtä näistä akseleista kutsutaan akseliksi Härkä, tai x-akseli , toinen - akseli Oy, tai y-akseli . Näitä akseleita kutsutaan myös koordinaattiakseleiksi. Merkitse Mx ja My vastaavasti mielivaltaisen pisteen projektio M akselilla Härkä ja Oy. Kuinka saada ennusteita? Kulje pisteen läpi M Härkä. Tämä viiva leikkaa akselin Härkä pisteessä Mx. Kulje pisteen läpi M suora viiva kohtisuorassa akseliin nähden Oy. Tämä viiva leikkaa akselin Oy pisteessä My. Tämä näkyy alla olevassa kuvassa.
x ja y pisteitä M kutsumme vastaavasti suunnattujen segmenttien suuruuksia OMx ja OMy. Näiden suuntasegmenttien arvot lasketaan vastaavasti x = x0 - 0 ja y = y0 - 0 . Suorakulmaiset koordinaatit x ja y pisteitä M abskissa ja ordinaattinen . Se, että piste M on koordinaatit x ja y, on merkitty seuraavasti: M(x, y) .
Koordinaattiakselit jakavat tason neljään osaan kvadrantti , jonka numerointi on esitetty alla olevassa kuvassa. Se osoittaa myös merkkien järjestelyn pisteiden koordinaateille riippuen niiden sijainnista yhdessä tai toisessa kvadrantissa.
Tason suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien lisäksi huomioidaan usein myös napakoordinaatisto. Tietoja siirtymämenetelmästä koordinaattijärjestelmästä toiseen - oppitunnilla napakoordinaattijärjestelmä .
Suorakaiteen muotoinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa
Suorakulmaiset koordinaatit avaruudessa otetaan käyttöön täysin analogisesti suorakulmaisten koordinaattien kanssa tasossa.
Kolme keskenään kohtisuoraa akselia avaruudessa (koordinaattiakselit), joilla on yhteinen origo O ja sama mittayksikkömuoto Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa .
Yhtä näistä akseleista kutsutaan akseliksi Härkä, tai x-akseli , toinen - akseli Oy, tai y-akseli , kolmas - akseli Oz, tai soveltaa akselia . Anna olla Mx, My Mz- mielivaltaisen pisteen projektiot M välilyönnit akselilla Härkä , Oy ja Oz vastaavasti.
Kulje pisteen läpi M HärkäHärkä pisteessä Mx. Kulje pisteen läpi M taso, joka on kohtisuorassa akseliin nähden Oy. Tämä taso leikkaa akselin Oy pisteessä My. Kulje pisteen läpi M taso, joka on kohtisuorassa akseliin nähden Oz. Tämä taso leikkaa akselin Oz pisteessä Mz.
Suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit x , y ja z pisteitä M kutsumme vastaavasti suunnattujen segmenttien suuruuksia OMx, OMy ja OMz. Näiden suuntasegmenttien arvot lasketaan vastaavasti x = x0 - 0 , y = y0 - 0 ja z = z0 - 0 .
Suorakulmaiset koordinaatit x , y ja z pisteitä M nimetään vastaavasti abskissa , ordinaattinen ja applikointi .
Pareittain otettuna koordinaattiakselit sijaitsevat koordinaattitasoissa xOy , yOz ja zOx .
Tehtäviä suorakulmaisen koordinaatiston pisteistä
Esimerkki 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Etsi näiden pisteiden projektioiden koordinaatit x-akselilta.
Päätös. Kuten tämän oppitunnin teoreettisesta osasta seuraa, pisteen projektio x-akselille sijaitsee itse x-akselilla, eli akselilla Härkä, ja siksi sillä on abskissa, joka on yhtä suuri kuin itse pisteen abskissa, ja ordinaatta (koordinaatti akselilla Oy, jonka x-akseli leikkaa pisteessä 0), on yhtä suuri kuin nolla. Joten saamme seuraavat x-akselin pisteiden koordinaatit:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx(-5;0).
Esimerkki 2 Pisteet on annettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Etsi näiden pisteiden projektioiden koordinaatit y-akselilta.
Päätös. Kuten tämän oppitunnin teoreettisesta osasta seuraa, pisteen projektio y-akselille sijaitsee itse y-akselilla, eli akselilla Oy, ja siksi sillä on ordinaatti, joka on yhtä suuri kuin itse pisteen ordinaatta ja abskissa (akselin koordinaatti Härkä, jonka y-akseli leikkaa pisteessä 0), on yhtä suuri kuin nolla. Joten saamme seuraavat y-akselin pisteiden koordinaatit:
Ay(0; 2);
By (0; 1);
Cy(0;-2).
Esimerkki 3 Pisteet on annettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Härkä .
Härkä Härkä Härkä, on sama abskissa kuin annetulla pisteellä ja ordinaatilla on absoluuttisesti sama kuin annetun pisteen ordinaatti ja sen etumerkillä vastakkainen. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä akselin ympärillä oleville piseille Härkä :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Ratkaise itse karteesisen koordinaattijärjestelmän tehtäviä ja katso sitten ratkaisuja
Esimerkki 4 Selvitä, missä neljänneksissä (neljännes, kuva kvadranteilla - kappaleen "Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä tasossa" lopussa) piste voi sijaita M(x; y) , jos
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Esimerkki 5 Pisteet on annettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Etsi näiden pisteiden kanssa symmetristen akselin ympärillä olevien pisteiden koordinaatit Oy .
Jatkamme ongelmien ratkaisemista yhdessä
Esimerkki 6 Pisteet on annettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Etsi näiden pisteiden kanssa symmetristen akselin ympärillä olevien pisteiden koordinaatit Oy .
Päätös. Kierrä 180 astetta akselin ympäri Oy suunnattu jana akselilta Oy tähän saakka. Kuvassa, jossa on esitetty tason neljännekset, näemme, että piste on symmetrinen annettuun kohtaan akselin suhteen Oy, on sama ordinaatta kuin annetulla pisteellä, ja abskissa on absoluuttisesti yhtä suuri kuin annetun pisteen abskissa ja vastakkainen sen etumerkillä. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä akselin ympärillä oleville piseille Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Esimerkki 7 Pisteet on annettu suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä tasossa
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Etsi niiden pisteiden koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä näiden pisteiden kanssa origon suhteen.
Päätös. Kierrämme 180 astetta suunnatun segmentin origon ympäri menemällä origosta annettuun pisteeseen. Kuvassa, jossa on esitetty tason neljännekset, näemme, että pisteen, joka on symmetrinen koordinaattien alkupisteen suhteen tietylle pisteelle, on abskissa ja ordinaatit, jotka ovat absoluuttisesti yhtä suuret kuin annetun pisteen abskissa ja ordinaatit , mutta niiden vastakkainen merkki. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä näiden pisteiden kanssa origon suhteen:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Esimerkki 8
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Etsi näiden pisteiden projektioiden koordinaatit:
1) lentokoneessa Oxy ;
2) lentokoneeseen Oxz ;
3) lentokoneeseen Oyz ;
4) abskissa-akselilla;
5) y-akselilla;
6) applikointiakselilla.
1) Pisteen projektio tasolle Oxy sijaitsee itse tällä tasolla, ja sen vuoksi sen abskissa ja ordinaatta ovat yhtä suuret kuin annetun pisteen abskissa ja ordinaatit, ja aplikaatti on nolla. Joten saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille Oxy :
Axy(4;3;0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Pisteen projektio tasolle Oxz sijaitsee itse tällä tasolla, ja sen vuoksi sen abskissa ja aplikaatti ovat yhtä suuret kuin annetun pisteen abskissa ja aplikaatti ja ordinaatta, joka on yhtä suuri kuin nolla. Joten saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz(2;0;0).
3) Pisteen projektio tasolle Oyz sijaitsee itse tällä tasolla, ja sen vuoksi sen ordinaatta ja applikaatti ovat yhtä suuret kuin tietyn pisteen ordinaatat ja applikaatti, ja abskissa on nolla. Joten saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz(0;-3;0).
4) Kuten tämän oppitunnin teoreettisesta osasta seuraa, pisteen projektio x-akselille sijaitsee itse x-akselilla, eli akselilla Härkä, ja sen vuoksi sen abskissa on yhtä suuri kuin itse pisteen abskissa, ja projektion ordinaatta ja applikaatti ovat nolla (koska ordinaatta- ja aplikaattiakselit leikkaavat abskissan pisteessä 0). Saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille x-akselilla:
Ax(4;0;0);
Bx(-3;0;0);
Cx(2;0;0).
5) Pisteen projektio y-akselilla sijaitsee itse y-akselilla eli akselilla Oy, ja siksi sen ordinaatta on yhtä suuri kuin itse pisteen ordinaatta, ja projektion abskissa ja aplikaatti ovat nolla (koska abskissa- ja aplikaattiakselit leikkaavat ordinaatta-akselin pisteessä 0). Saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille y-akselilla:
Ay(0;3;0);
By(0;2;0);
Cy(0;-3;0).
6) Pisteen projektio aplikaatioakselilla sijaitsee itse aplikaatioakselilla eli akselilla Oz, ja siksi sen aplikaatti on yhtä suuri kuin itse pisteen aplikaatti, ja projektion abskissa ja ordinaatta ovat nolla (koska abskissa- ja ordinaatta-akselit leikkaavat aplikaattiakselin pisteessä 0). Saamme seuraavat koordinaatit näiden pisteiden projektioille sovellusakselilla:
Az(0; 0; 5);
Bz(0;0;1);
Cz(0; 0; 0).
Esimerkki 9 Pisteet on annettu suorakulmaisessa avaruuden koordinaattijärjestelmässä
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Etsi niiden pisteiden koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä näiden pisteiden kanssa suhteessa:
1) lentokone Oxy ;
2) lentokone Oxz ;
3) lentokone Oyz ;
4) abskissa-akseli;
5) y-akseli;
6) applikaatioakseli;
7) koordinaattien origo.
1) "Siirrä" pistettä akselin toisella puolella Oxy Oxy, on abskissa ja ordinaatta, jotka ovat yhtä suuret kuin annetun pisteen abskissa ja ordinaatit, ja applikaatti, joka on suuruudeltaan yhtä suuri kuin annetun pisteen aplikaatti, mutta sen etumerkki on vastakkainen. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä datan suhteen tason suhteen Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Siirrä" pistettä akselin toisella puolella Oxz samalle etäisyydelle. Koordinaattiavaruutta esittävän kuvan mukaan näemme, että piste on symmetrinen annettuun kohtaan akselin suhteen Oxz, on abskissa ja aplikaatti, joka on yhtä suuri kuin annetun pisteen abskissa ja aplikaatti, ja ordinaatta, joka on suuruudeltaan yhtä suuri kuin annetun pisteen ordinaatit, mutta vastakkainen sen etumerkillä. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä datan suhteen tason suhteen Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Siirrä" pistettä akselin toisella puolella Oyz samalle etäisyydelle. Koordinaattiavaruutta esittävän kuvan mukaan näemme, että piste on symmetrinen annettuun kohtaan akselin suhteen Oyz, on ordinaatta ja applikaatti, jotka ovat yhtä suuret kuin annetun pisteen ordinaatat ja applikaatiot, ja abskissa, joka on suuruudeltaan samansuuruinen kuin annetun pisteen abskissa, mutta sen etumerkillä vastakkainen. Joten saamme seuraavat koordinaatit pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä datan suhteen tason suhteen Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogisesti tasossa olevien symmetristen pisteiden ja avaruuden pisteiden kanssa, jotka ovat symmetrisiä tiedoille tasojen suhteen, huomaamme, että jos symmetria on avaruuden suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän jonkin akselin suhteen, sen akselin koordinaatti, jonka ympärille symmetria asetetaan säilyttää etumerkkinsä, ja kahden muun akselin koordinaatit ovat absoluuttisesti samat kuin annetun pisteen koordinaatit, mutta etumerkillisesti vastakkaiset.
4) Abskissa säilyttää merkkinsä, kun taas ordinaatta ja aplikaatti vaihtavat merkkejä. Joten saamme seuraavat pisteiden koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä x-akselia koskevien tietojen kanssa:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinaatta säilyttää merkkinsä, kun taas abskissa ja aplikaatti vaihtavat merkkejä. Joten, saamme seuraavat y-akselia koskevien tietojen kanssa symmetriset pisteiden koordinaatit:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Hakemus säilyttää merkkinsä, ja abskissa ja ordinaatta vaihtavat merkkejä. Joten saamme seuraavat pisteiden koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä sovellutusakselia koskevien tietojen kanssa:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogisesti symmetrian kanssa tason pisteiden tapauksessa, jos kyseessä on symmetria koordinaattien alkupisteen suhteen, kaikki pisteen koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä tietylle pisteelle, ovat absoluuttisesti yhtä suuria kuin tietyn pisteen koordinaatit, mutta vastakkainen merkki heille. Joten, saamme seuraavat koordinaatit pisteistä, jotka ovat symmetrisiä datan suhteen origon suhteen.
Määritelmä 1. Numeerinen akseli ( numeroviiva, koordinaattiviiva) Ox:ta kutsutaan suoraksi, jolta piste O on valittu referenssipiste (koordinaattien alkuperä)(kuva 1), suunta
O → x
listattu nimellä positiivinen suunta ja merkitään segmentti, jonka pituudeksi otetaan pituusyksikkö.
Määritelmä 2. Janaa, jonka pituus otetaan pituuden yksikkönä, kutsutaan mittakaavaksi.
Jokaisella numeerisen akselin pisteellä on koordinaatti, joka on reaaliluku. Pisteen O koordinaatti on nolla. Säteellä Ox sijaitsevan mielivaltaisen pisteen A koordinaatti on yhtä suuri kuin janan OA pituus. Numeerisen akselin mielivaltaisen pisteen A koordinaatti, joka ei ole säteellä Ox , on negatiivinen, ja se on absoluuttisesti yhtä suuri kuin janan OA pituus.
Määritelmä 3. Suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Oxy tasossa soita molemmille toisilleen kohtisuorassa numeeriset akselit Ox ja Oy kanssa sama mittakaava ja yhteinen alkuperä pisteessä O lisäksi siten, että kierto Säteestä Ox 90° kulman kautta säteeseen Oy tapahtuu suunnassa vastapäivään(Kuva 2).
huomautus. Kuvassa 2 esitettyä suorakulmaista karteesista koordinaattijärjestelmää Oxy kutsutaan oikea koordinaattijärjestelmä, Toisin kuin vasen koordinaattijärjestelmä, jossa palkin Ox kierto 90° kulmassa palkkiin Oy:n suhteen suoritetaan myötäpäivään. Tässä oppaassa me harkitse vain oikeita koordinaattijärjestelmiä mainitsematta sitä erikseen.
Jos otamme käyttöön jonkin suorakulmaisen suorakulmaisten koordinaattien Oxy järjestelmän tasolle, niin jokainen tason piste saa kaksi koordinaattia – abskissa ja ordinaattinen, jotka lasketaan seuraavasti. Olkoon A tason mielivaltainen piste. Pudotetaan kohtisuorat pisteestä A AA 1 ja AA 2 viivoille Ox ja Oy, vastaavasti (kuva 3).
Määritelmä 4. Pisteen A abskissa on pisteen koordinaatti A 1 numeerisella akselilla Ox, pisteen A ordinaatti on pisteen koordinaatti A 2 numeroakselilla Oy .
Nimitys. Pisteen koordinaatit (abskissa ja ordinaatit). Suorakaiteen muotoisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy (kuva 4) on yleensä merkitty A(x;y) tai A = (x; y).
huomautus. Piste O, ns alkuperä, on koordinaatit O(0 ; 0) .
Määritelmä 5. Suorakaiteen muotoisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä Oxy Ox-numeerista akselia kutsutaan abskissa-akseliksi ja Oy numeerista akselia ordinaatta-akseliksi (kuva 5).
Määritelmä 6. Jokainen suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä jakaa tason neljään neljännekseen (neljännekseen), joiden numerointi on esitetty kuvassa 5.
Määritelmä 7. Tasoa, jolle on annettu suorakulmainen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä, kutsutaan koordinaattitaso.
huomautus. Abskissa-akseli on annettu yhtälöllä koordinaattitasolla y= 0 , y-akseli on annettu yhtälöllä koordinaattitasolla x = 0.
Lausuma 1. Kahden pisteen välinen etäisyys koordinaattitaso
A 1 (x 1 ;y 1) ja A 2 (x 2 ;y 2)
laskettu kaavan mukaan
Todiste . Harkitse kuvaa 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Siten,
Q.E.D.
Ympyrän yhtälö koordinaattitasolla
Tarkastellaan koordinaattitasolla Oxy (kuva 7) ympyrää, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä A 0 (x 0 ;y 0) .
Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä tasossa muodostuu kahdesta keskenään kohtisuorasta koordinaattiakselista X'X ja Y'Y. Koordinaattiakselit leikkaavat pisteessä O, jota kutsutaan koordinaattien origoksi, jokaiselle akselille valitaan positiivinen suunta.Akseleiden positiivinen suunta (oikeakätisessä koordinaatistossa) valitaan siten, että kun X'X-akseli on kierretty vastapäivään 90°, sen positiivinen suunta on sama kuin Y'Y-akselin positiivinen suunta. X'X- ja Y'Y-koordinaattiakseleiden muodostamia neljää kulmaa (I, II, III, IV) kutsutaan koordinaattikulmiksi (katso kuva 1).
Pisteen A sijainti tasossa määräytyy kahdella koordinaatilla x ja y. X-koordinaatti on yhtä suuri kuin OB-segmentin pituus, y-koordinaatti on OC-segmentin pituus valituissa yksiköissä. Jaksot OB ja OC määritetään viivoilla, jotka on vedetty pisteestä A yhdensuuntaisesti Y'Y- ja X'X-akselien kanssa, vastaavasti. X-koordinaattia kutsutaan pisteen A abskissaksi, y-koordinaatiksi pisteen A ordinaatiksi. Se kirjoitetaan näin: A (x, y).
Jos piste A on koordinaattikulmassa I, niin pisteellä A on positiivinen abskissa ja ordinaatta. Jos piste A on koordinaattikulmassa II, niin pisteellä A on negatiivinen abskissa ja positiivinen ordinaatta. Jos piste A on koordinaattikulmassa III, niin pisteellä A on negatiivinen abskissa ja ordinaatta. Jos piste A sijaitsee koordinaattikulmassa IV, niin pisteellä A on positiivinen abskissa ja negatiivinen ordinaatta.
Suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä avaruudessa muodostuu kolmesta keskenään kohtisuorasta koordinaattiakselista OX, OY ja OZ. Koordinaattiakselit leikkaavat pisteessä O, jota kutsutaan origoksi, kullakin akselilla valitaan nuolien osoittama positiivinen suunta ja akseleilla olevien segmenttien mittayksikkö. Mittayksiköt ovat samat kaikille akseleille. OX - abskissa-akseli, OY - ordinaattinen akseli, OZ - aplikaatioakseli. Akseleiden positiivinen suunta valitaan siten, että kun OX-akselia kierretään vastapäivään 90°, sen positiivinen suunta osuu yhteen OY-akselin positiivisen suunnan kanssa, jos tämä pyöriminen havaitaan OZ-akselin positiivisesta suunnasta. Tällaista koordinaattijärjestelmää kutsutaan oikeaksi. Jos oikean käden peukalo otetaan X-suunnaksi, etusormi Y-suunnaksi ja keskisormi Z-suunnaksi, muodostuu oikea koordinaattijärjestelmä. Vasemman käden samanlaiset sormet muodostavat vasemman koordinaattijärjestelmän. Oikeaa ja vasenta koordinaattijärjestelmää ei voi yhdistää siten, että vastaavat akselit osuvat yhteen (katso kuva 2).
Pisteen A sijainti avaruudessa määräytyy kolmella koordinaatilla x, y ja z. X-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan OB pituus, y-koordinaatti on yhtä suuri kuin janan OC pituus, z-koordinaatti on janan OD pituus valituissa yksiköissä. Janat OB, OC ja OD määritetään tasoilla, jotka on vedetty pisteestä A yhdensuuntaisesti tasojen YOZ, XOZ ja XOY kanssa, vastaavasti. X-koordinaattia kutsutaan pisteen A abskissaksi, y-koordinaatiksi pisteen A ordinaatiksi, z-koordinaatiksi pisteen A aplikaatioksi. He kirjoittavat sen näin: A (a, b, c).
Horts
Suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää (mikä tahansa ulottuvuus) kuvaa myös joukko ortteja, jotka on suunnattu yhdessä koordinaattiakselien kanssa. Orttien lukumäärä on yhtä suuri kuin koordinaattijärjestelmän mitta, ja ne ovat kaikki kohtisuorassa toisiinsa nähden.
Kolmiulotteisessa tapauksessa tällaisia vektoreita yleensä merkitään i j k tai e x e y e z . Tässä tapauksessa oikean koordinaattijärjestelmän tapauksessa seuraavat kaavat vektorien vektoritulolla ovat voimassa:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Tarina
René Descartes esitteli ensimmäisenä suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän Discourse on the Methodissa vuonna 1637. Siksi suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää kutsutaan myös - Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä. Geometristen kohteiden kuvaamisen koordinaattimenetelmä loi pohjan analyyttiselle geometrialle. Pierre Fermat osallistui myös koordinaattimenetelmän kehittämiseen, mutta hänen työnsä julkaistiin ensimmäisen kerran hänen kuolemansa jälkeen. Descartes ja Fermat käyttivät koordinaattimenetelmää vain tasossa.
Kolmiulotteisen avaruuden koordinaattimenetelmää käytti ensimmäisen kerran Leonhard Euler jo 1700-luvulla.
Katso myös
Linkit
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä
- karteesinen tutkinto
Katso, mitä "korteesiset koordinaatit" ovat muissa sanakirjoissa:
CARTSTIAN KOORDINAATIT- (Carteesinen koordinaattijärjestelmä) tasossa tai avaruudessa oleva koordinaattijärjestelmä, jossa on yleensä keskenään kohtisuorat akselit ja sama mittakaava akseleilla, suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit. Nimetty R. Descartesin mukaan... Suuri tietosanakirja
Suorakulmaiset koordinaatit- Koordinaatisto, joka koostuu kahdesta kohtisuorasta akselista. Pisteen sijainti tällaisessa järjestelmässä muodostetaan käyttämällä kahta numeroa, jotka määrittävät etäisyyden koordinaattien keskipisteestä kutakin akselia pitkin. Tiedotusaiheet ...... Teknisen kääntäjän käsikirja
Suorakulmaiset koordinaatit- (Carteesinen koordinaattijärjestelmä), tasossa tai avaruudessa oleva koordinaattijärjestelmä, jossa on yleensä keskenään kohtisuorat akselit ja sama mittakaava akseleilla, suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit. Nimetty R. Descartesin mukaan... tietosanakirja
Suorakulmaiset koordinaatit- Dekarto koordinatės statusas T ala Standartizacija ir metrologija definis Tiesinė plokštumos arba erdvs koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: engl. Suorakulmaiset koordinaatit vok. kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas
Suorakulmaiset koordinaatit- Dekarto koordinatės statusas T ala fizika atitikmenys: engl. suorakulmaiset koordinaatit; ruudukkokoordinaatit vok. kartesische Koordinaten, f rus. Suorakulmaiset koordinaatit, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas
CARTSTIAN KOORDINAATIT- menetelmä pisteiden sijainnin määrittämiseksi tasossa niiden etäisyyksien perusteella kahteen kiinteään kohtisuoraan suoraan akseliin. Tämä käsite on nähty jo Archimedesissa ja Pergan Appologiassa yli kaksituhatta vuotta sitten ja jopa muinaisten egyptiläisten keskuudessa. Ensimmäistä kertaa tämä…… Matemaattinen tietosanakirja
CARTSTIAN KOORDINAATIT- Karteesinen koordinaattijärjestelmä [nimetty ranskalaisten mukaan. filosofi ja matemaatikko R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], koordinaattijärjestelmä tasossa tai avaruudessa, yleensä keskenään kohtisuorat akselit ja sama asteikko akseleita pitkin, suorakulmainen D ... Suuri tietosanakirja ammattikorkeakoulun sanakirja
CARTSTIAN KOORDINAATIT- (Carteesinen koordinaattijärjestelmä), koordinaattijärjestelmä tasossa tai avaruudessa, yleensä keskenään kohtisuorassa akselissa ja samassa mittakaavassa akseleita pitkin, suorakulmainen D. - Nimetty R. Descartesin mukaan ... Luonnontiede. tietosanakirja
CARTSTIAN KOORDINAATIT- Minkä tahansa löydettyjen pisteiden sijaintijärjestelmä suhteessa kahteen suorassa kulmassa leikkaavaan akseliin. René Descartesin kehittämä järjestelmä tuli perustaksi standardimenetelmille tietojen graafista esittämistä varten. Vaakaviiva…… Psykologian selittävä sanakirja
Koordinaatit- Koordinaatit. Tasossa (vasemmalla) ja avaruudessa (oikealla). KOORDINAATIT (latinan sanasta co yhdessä ja ordinatus järjestys), numerot, jotka määrittävät pisteen sijainnin suoralla, tasolla, pinnalla, avaruudessa. Koordinaatit ovat etäisyyksiä... Kuvitettu tietosanakirja
Ohje
Kirjoita matemaattiset toiminnot muistiin tekstimuodossa ja kirjoita ne Google-sivuston pääsivun hakukyselykenttään, jos et voi käyttää laskinta, mutta sinulla on Internet-yhteys. Tässä hakukoneessa on sisäänrakennettu monitoimilaskin, joka on paljon helpompi käyttää kuin mikään muu. Painikkeilla ei ole käyttöliittymää - kaikki tiedot on syötettävä tekstimuodossa yhteen kenttään. Esimerkiksi jos tiedetään koordinaatitäärimmäisiä pisteitä segmentti kolmiulotteisessa koordinaattijärjestelmässä A(51,34 17,2 13,02) ja A(-11,82 7,46 33,5), sitten koordinaatit keskipiste segmentti C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Kirjoita hakukyselykenttään (51,34-11,82) / 2, sitten (17,2 + 7,46) / 2 ja (13,02 + 33,5) / 2, voit käyttää Googlea saadaksesi koordinaatit C (19,76 12,33 23,26).
Vakioympyräyhtälön avulla voit saada selville useita tärkeitä tietoja tästä kuvasta, esimerkiksi sen keskipisteen koordinaatit, säteen pituus. Joissakin tehtävissä päinvastoin vaaditaan yhtälö annetuille parametreille.
Ohje
Selvitä, onko sinulla tietoa piiristä sinulle annetun tehtävän perusteella. Muista, että lopullisena tavoitteena on määrittää keskipisteen koordinaatit sekä halkaisija. Kaikkien toimien tulee suunnata tämän tietyn tuloksen saavuttamiseen.
Käytä tietoja koordinaattiviivojen tai muiden viivojen leikkauspisteiden olemassaolosta. Huomaa, että jos ympyrä kulkee abskissa-akselin kautta, toisen koordinaatti on 0 ja jos ordinaattisen akselin läpi, niin ensimmäinen. Näiden koordinaattien avulla voit löytää ympyrän keskipisteen koordinaatit ja laskea myös säteen.
Älä unohda sekanttien ja tangenttien perusominaisuuksia. Erityisesti hyödyllisin lause on, että kosketuspisteessä säde ja tangentti muodostavat suoran kulman. Huomaa kuitenkin, että sinua voidaan pyytää todistamaan kaikki kurssilla käytetyt lauseet.
Ratkaise yleisimmät tyypit, jotta opit heti, kuinka tiettyjä tietoja käytetään ympyräyhtälössä. Joten jo osoitettujen suoraan annettujen koordinaattien ja niiden ongelmien lisäksi, joiden alla annetaan tietoa leikkauspisteiden läsnäolosta, voit käyttää ympyrän yhtälön laatimiseen tietoa ympyrän keskipisteestä, ympyrän pituudesta. sointu ja jolla tämä sointu on.
Ratkaisemiseksi rakenna tasakylkinen kolmio, jonka kanta on annettu jänne ja yhtäläiset sivut säteet. Make up, josta löydät helposti tarvittavat tiedot. Tätä varten riittää, että käytät kaavaa segmentin pituuden löytämiseksi tasossa.
Liittyvät videot
Ympyrä ymmärretään kuvioksi, joka koostuu joukosta pisteitä tasossa, joka on yhtä kaukana sen keskustasta. Etäisyys keskustasta pisteisiin ympyrät kutsutaan säteeksi.
Polaarikoordinaatit
Numeroon soitetaan napainen säde pisteitä tai ensimmäinen napakoordinaatti. Etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten minkä tahansa pisteen napasäde on . Ensimmäinen napakoordinaatti on myös merkitty kreikkalaisella kirjaimella ("rho"), mutta olen tottunut latinalaiseen versioon ja käytän sitä jatkossa.
Numeroon soitetaan napakulma annettu piste tai toinen napakoordinaatti. Napakulmaa muutetaan tavallisesti sisällä (ns kulman pääarvot). Alueen käyttö on kuitenkin varsin hyväksyttävää, ja joissakin tapauksissa on suora tarve ottaa huomioon kaikki kulma-arvot nollasta "plus äärettömyyteen". Suosittelen muuten tottumaan kulman radiaanimittaan, koska korkeammassa matematiikan asteilla operaatiota ei pidetä comme il fautina.
Pariskunta on ns polaarikoordinaatit pisteitä. Helppo löytää ja niiden erityiset merkitykset. Suorakulmaisen kolmion terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen jalkaan: siis itse kulma: 
. Pythagoraan lauseen mukaan hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa: siis napainen säde:
Täten, 
.
Yksi pingviini on hyvä, mutta parvi on parempi: 
Negatiiviset kulmat 
varmuuden vuoksi, merkitsin nuolilla, yhtäkkiä yksi lukijoista ei tiennyt tästä suunnasta vielä. Halutessasi voit "kiertää" 1 kierroksen jokaiseen (rad. tai 360 astetta) ja saat muuten mukavan taulukon arvot:
Mutta näiden "perinteisesti" suuntautuneiden kulmien haittana on, että ne ovat liian pitkälle (yli 180 astetta) "kierretty" vastapäivään. Ennakoin kysymyksen: "miksi puute ja miksi ylipäänsä tarvitsemme negatiivisia kulmia?" Matematiikassa arvostetaan lyhyimpiä ja järkeisimpiä polkuja. No, fysiikan kannalta pyörimissuunnalla on usein perustavanlaatuinen merkitys - jokainen meistä yritti avata oven vetämällä kahvasta väärään suuntaan =)
Pisteiden muodostamisen järjestys ja tekniikka napakoordinaateissa
Kauniit kuvat ovat kauniita, mutta napakoordinaatistoon rakentaminen on melko vaivalloista työtä. Vaikeuksia ei synny pisteissä, joiden napakulmat ovat 
, esimerkissämme nämä ovat pisteet 
; arvot, jotka ovat 45 asteen kerrannaisia, eivät myöskään aiheuta paljon ongelmia: . Mutta kuinka rakentaa esimerkiksi piste oikein ja taitavasti?
Tarvitset ruudullisen paperin, kynän ja seuraavat piirustustyökalut: viivain, kompassi, astelevy. Äärimmäisissä tapauksissa pärjäät yhdellä viivaimella tai jopa ... ilman sitä! Lue ja saat vielä yhden todisteen siitä, että tämä maa on voittamaton =)
Esimerkki 1
Muodosta piste napakoordinaatistossa.
Ensinnäkin sinun on selvitettävä kulman astemitta. Jos kulma on tuntematon tai sinulla on epäilyksiä, on aina parempi käyttää pöytä tai yleinen kaava radiaanien muuntamiseksi asteiksi. Kulmamme on siis (tai ).
Piirretään napakoordinaattijärjestelmä (katso oppitunnin alku) ja otetaan astemittari. Pyöreän instrumentin omistajille ei ole vaikeaa merkitä 240 astetta, mutta suurella todennäköisyydellä sinulla on käsissäsi puoliympyrän muotoinen versio laitteesta. Ongelma astelevyn täydellisestä puuttumisesta tulostimen ja saksien läsnä ollessa ratkaistu käsityönä.
On kaksi tapaa: käännä arkki ympäri ja merkitse 120 astetta tai "kierrä" puoli kierrosta ja harkitse päinvastaista kulmaa. Valitaan aikuisten menetelmä ja merkitään 60 astetta: 
Joko kääpiö astemittari tai jättiläinen häkki =) Kulman mittaamiseksi asteikko ei kuitenkaan ole tärkeä.
Piirrämme lyijykynällä ohuen suoran, joka kulkee tangon ja tehdyn merkin läpi: 
Selvitimme kulman, seuraava askel on napasäde. Otamme kompassin ja hallitsijan toimesta asetamme sen ratkaisun 3 yksikköön, useimmiten nämä ovat tietysti senttimetrejä: 
Nyt asetamme neulan varovasti tankoon ja teemme pyörivällä liikkeellä pienen loven (punainen). Haluttu piste rakennetaan: 
Voit tehdä ilman kompassia kiinnittämällä viivaimen suoraan rakennettuun viivaan ja mittaamalla 3 senttimetriä. Mutta kuten myöhemmin näemme, napakoordinaattijärjestelmän rakentamisen tehtävissä Tyypillinen tilanne on, kun joudut merkitsemään kaksi tai useampia pisteitä samalla napasäteellä, jolloin metallin kovettaminen on tehokkaampaa. Erityisesti piirustuksessamme kompassin jalkaa 180 astetta kääntämällä on helppo tehdä toinen lovi ja rakentaa napaan nähden symmetrinen piste. Tehdään siitä seuraavan kappaleen materiaali:
Suorakulmaisten ja napaisten koordinaattijärjestelmien suhde
Ilmeisesti liittyä seuraan"normaalin" koordinaattiruudukon napakoordinaattijärjestelmään ja piirrä piste piirustukseen: 
Tämä yhteys on aina hyödyllinen pitää mielessä, kun piirretään napakoordinaatteja. Vaikka, tahtomattaan, se ehdottaa itseään ilman liikoja vihjeitä.
Perustetaan napaisten ja suorakulmaisten koordinaattien välinen suhde tietyn pisteen esimerkin avulla. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota, jossa hypotenuusa on yhtä suuri kuin napasäde: , ja jalat ovat pisteen "x" ja "peli" koordinaatit karteesisessa koordinaatistossa: 
.
Terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan: 
Terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan: 
Samalla he toistivat peruskoulun 9. luokan ohjelmasta sinin, kosinin (ja hieman aikaisemman tangentin) määritelmät.
Ole hyvä ja lisää hakukirjaasi työkaavat, jotka ilmaisevat pisteen suorakulmaiset koordinaatit sen napakoordinaateina - meidän on käsiteltävä niitä useammin kuin kerran, ja seuraavan kerran heti =)
Etsitään pisteen koordinaatit suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä: 
Täten:
Tuloksena olevat kaavat avaavat toisen porsaanreiän rakennusongelmaan, kun ilman astetta voi pärjätä ollenkaan: ensin etsitään pisteen karteesiset koordinaatit (luonnoksesta tietysti), sitten löydetään henkisesti oikea paikka piirustuksessa. ja merkitse tämä kohta. Viimeisessä vaiheessa piirrämme ohuen suoran, joka kulkee rakennetun pisteen ja navan läpi. Tämän seurauksena käy ilmi, että kulman väitetään mitattavan astelevyllä.
Hassua, että aivan epätoivoiset opiskelijat pärjäävät jopa ilman viivainta, käyttämällä sen sijaan oppikirjan, vihkon tai arvosanakirjan sileää reunaa - vihkojen valmistajathan ovat huolehtineet metriikasta, 1 solu = 5 millimetriä.
Kaikki tämä muistutti minua tunnetusta anekdootista, jossa kekseliäät lentäjät suunnittelivat kurssin Belomor-laulla \u003d) Vaikka vitsit ovat vitsejä, eikä anekdootti ole niin kaukana todellisuudesta, muistan, että yhdellä kotimaan lennolla yli Venäjän federaatiossa kaikki navigointilaitteet epäonnistuivat linjassa, ja miehistö laskeutui onnistuneesti laudalle tavallisella vesilasilla, joka osoitti lentokoneen kaltevuuskulman suhteessa maahan. Ja kiitorata - tässä se on, näkyy tuulilasista.
Käyttämällä oppitunnin alussa lainattua Pythagoraan lausetta on helppo saada käänteisiä kaavoja: , siksi:
Itse kulma "phi" ilmaistaan tavallisesti arctangentin kautta - täsmälleen sama kuin kompleksiluvun argumentti kaikilla sen omituisuuksilla.
On myös suositeltavaa sijoittaa toinen ryhmä kaavoja vertailumatkatavaroihin.
Kun on analysoitu yksityiskohtaisesti lentoja yksittäisillä pisteillä, siirrytään aiheen luonnolliseen jatkoon:
Viivayhtälö napakoordinaateissa
Pohjimmiltaan napakoordinaattijärjestelmän suoran yhtälö on napakulman napasädefunktio (argumentti). Tässä tapauksessa napakulma otetaan huomioon radiaaneina(!) ja jatkuvasti ottaa arvot välillä - (joskus sitä tulisi harkita loputtomaksi tai useissa ongelmissa mukavuuden vuoksi alkaen - ). Jokainen kulman "phi" arvo, joka sisältyy verkkotunnus funktio, vastaa yhtä napasäteen arvoa.
Napatoimintoa voidaan verrata eräänlaiseen tutkaan - kun napasta lähtevä valonsäde pyörii vastapäivään ja "havaitsee" (piirtää) viivan.
Yleinen esimerkki napakäyrästä on Archimedean spiraali. Seuraava kuva esittää hänet ensimmäinen käännös– kun napakulmaa seuraava napasäde saa arvot välillä 0 - : 
Lisäksi ylittäessään napa-akselin pisteessä spiraali jatkaa purkamista, äärettömän kaukana navasta. Mutta tällaiset tapaukset ovat käytännössä harvinaisia; tyypillisempi tilanne, kun kaikilla myöhemmillä kierroksilla "kävelemme samaa linjaa", joka saadaan alueella .
Ensimmäisessä esimerkissä kohtaamme myös käsitteen verkkotunnuksia napafunktio: koska napainen säde ei ole negatiivinen, negatiivisia kulmia ei voida ottaa huomioon tässä.
! Huomautus : joissain tapauksissa on tapana käyttää yleistetyt napakoordinaatit, jossa säde voi olla negatiivinen, ja tutkimme tätä lähestymistapaa lyhyesti hieman myöhemmin
Archimedes-spiraalin lisäksi on monia muitakin tuttuja käyriä, mutta kuten sanotaan, taidetta ei tule olemaan täynnä, joten poimin esimerkkejä, jotka ovat hyvin yleisiä todellisissa käytännön tehtävissä.
Ensinnäkin yksinkertaisimmat yhtälöt ja yksinkertaisimmat suorat:
Muodon yhtälö määrittää navasta lähtevän säde. Todellakin, ajattele sitä, jos arvo kulman aina(mikä "er" on) jatkuvasti, mikä sitten on viiva?
Huomautus : yleisessä napakoordinaatistossa tämä yhtälö määrittelee navan läpi kulkevan suoran
Muodon yhtälö määrittää ... arvaa ensimmäisen kerran - jos kenelle tahansa kulman "phi" säde pysyy vakiona? Itse asiassa tämä määritelmä ympyrät keskitetty säteen napaan.
Esimerkiksi, . Selvyyden vuoksi etsitään tämän suoran yhtälö suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä. Edellisessä kappaleessa saatua kaavaa käyttämällä suoritamme korvauksen:
Nelitetään molemmat puolet:
– ympyräyhtälö keskitetty säteen 2 koordinaattien alkupisteeseen, mikä oli tarkistettava.
Artikkelin luomisesta ja julkaisemisesta lähtien vektorien lineaarisesta riippuvuudesta ja lineaarisesta riippumattomuudesta Sain useita kirjeitä sivuston vierailijoilta, jotka esittivät kysymyksen hengessä: "Tässä on yksinkertainen ja kätevä suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, miksi tarvitsemme jotain muuta vinoa affiinia?". Vastaus on yksinkertainen: matematiikka pyrkii ottamaan vastaan kaiken ja kaiken! Lisäksi tässä tai tuossa tilanteessa mukavuus on tärkeää - kuten näet, on paljon kannattavampaa työskennellä ympyrän kanssa napakoordinaateissa yhtälön äärimmäisen yksinkertaisuuden vuoksi.
Ja joskus matemaattinen malli ennakoi tieteellisiä löytöjä. Joten kerralla Kazanin yliopiston rehtori N.I. Lobatševski tiukasti todistettu, tason mielivaltaisen pisteen kautta on mahdollista piirtää ääretön määrä rivejä yhdensuuntainen annetun kanssa. Tämän seurauksena koko tiedemaailma herjasi hänet, mutta ... kukaan ei voinut kumota tätä tosiasiaa. Vasta reilun vuosisadan jälkeen tähtitieteilijät huomasivat, että valo avaruudessa etenee kaarevia lentoratoja pitkin, joissa Lobatševskin ei-euklidinen geometria, jonka hän oli muodollisesti kehittänyt kauan ennen tätä löytöä, alkaa toimia. Oletetaan, että tämä on itse avaruuden ominaisuus, jonka kaarevuus on meille näkymätön pienten (astronomisten standardien mukaan) etäisyyksien vuoksi.
Harkitse mielekkäämpiä rakennustehtäviä:
Esimerkki 2
rakentaa linja
Päätös: ensimmäinen löytö verkkotunnus. Koska napainen säde ei ole negatiivinen, epäyhtälön on oltava voimassa. Voit muistaa koulun säännöt trigonometristen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi, mutta tällaisissa yksinkertaisissa tapauksissa suosittelen nopeampaa ja visuaalisempaa ratkaisutapaa:
Kuvittele kosinikaavio. Jos häntä ei ole vielä onnistunut tallettamaan muistiin, etsi hänet sivulta Perusfunktioiden kaaviot. Mitä eriarvoisuus kertoo meille? Se kertoo meille, että kosinigraafin tulee sijaita ei vähempää abskissa-akseli. Ja tämä tapahtuu segmentillä. Ja vastaavasti väli ei sovi.
Siten funktiomme toimialue on: , eli graafi sijaitsee navan oikealla puolella (Carteesisen järjestelmän terminologian mukaan oikealla puolitasolla).
Napakoordinaateissa on usein epämääräinen käsitys siitä, mikä viiva määrittää tämän tai toisen yhtälön, joten sen rakentamiseksi sinun on löydettävä siihen kuuluvat pisteet - ja mitä enemmän, sitä parempi. Yleensä rajoitetaan tusinaan tai kahteen (tai jopa vähemmän). Helpoin tapa on tietysti ottaa taulukkokulman arvot. Selvyyden vuoksi "kiinnitän" yhden käännöksen negatiivisiin arvoihin: 
Johtuen kosinin pariteetista 
vastaavat positiiviset arvot voidaan jälleen jättää pois: 
Kuvataan napakoordinaattijärjestelmä ja jätetään syrjään löydetyt pisteet, kun taas on kätevää jättää samat "er":n arvot syrjään kerrallaan tekemällä parillisia serifejä kompassilla edellä käsitellyn tekniikan mukaisesti: 
Periaatteessa viiva on piirretty selkeästi, mutta arvauksen ehdottoman vahvistamiseksi etsitään sen yhtälö suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä. Voit käyttää uusia johdettuja kaavoja 
, mutta kerron sinulle hankalamman tempun. Kerromme keinotekoisesti molemmat yhtälön osat "er":llä: ja käytämme kompaktimpia siirtymäkaavoja:
Kun valitset täyden neliön, saamme suoran yhtälön tunnistettavaan muotoon: 
– ympyräyhtälö keskitetty pisteeseen , säde 2.
Koska ehdon mukaan rakentaminen oli yksinkertaisesti välttämätöntä saada valmiiksi ja se on siinä, yhdistämme löydetyt pisteet sujuvasti viivalla: 
Valmis. Ei haittaa, jos siitä tulee vähän epätasaista, ei tarvinnut tietää, että se oli ympyrä ;-)
Miksi emme huomioineet intervallin ulkopuolella olevia kulma-arvoja? Vastaus on yksinkertainen: siinä ei ole järkeä. Toiminnon jaksottomuuden vuoksi odotamme loputonta juoksua pitkin rakennettua ympyrää.
On helppo tehdä yksinkertainen analyysi ja päätyä siihen tulokseen, että muodon yhtälö määrittelee halkaisijaltaan ympyrän, jonka keskipiste on pisteessä. Kuvannollisesti sanottuna kaikki tällaiset ympyrät "istuvat" napa-akselilla ja kulkevat välttämättä navan läpi. Jos , niin iloinen seura siirtyy vasemmalle - napa-akselin jatkoon (mieti miksi).
Samanlainen ongelma itsenäiselle ratkaisulle:
Esimerkki 3
Piirrä suora ja etsi sen yhtälö suorakaiteen muotoisesta koordinaattijärjestelmästä.
Järjestämme menettelyn ongelman ratkaisemiseksi:
Ensinnäkin löydämme toiminnon verkkotunnuksen, joten sitä on kätevä tarkastella sinusoidi ymmärtää heti, missä sini on ei-negatiivinen.
Toisessa vaiheessa laskemme pisteiden napakoordinaatit käyttämällä kulmien taulukkoarvot; analysoida, onko mahdollista vähentää laskelmien määrää?
Kolmannessa vaiheessa asetamme syrjään napakoordinaattijärjestelmän pisteet ja yhdistämme ne varovasti viivalla.
Ja lopuksi löydämme suoran yhtälön suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä.
Esimerkkiratkaisu oppitunnin lopussa.
Kerromme yksityiskohtaisesti yleisen algoritmin ja tekniikan polaaristen koordinaattien muodostamiseksi
ja nopeuttaa huomattavasti luennon toisessa osassa, mutta sitä ennen tutustutaan vielä yhteen yhteiseen linjaan:
polaarinen ruusu
Aivan oikein, puhumme kukasta, jossa on terälehtiä:
Esimerkki 4
Piirrä yhtälöiden antamat suorat napakoordinaateissa
Polarruusun rakentamiseen on kaksi lähestymistapaa. Ensin mennään uurrettua raitaa pitkin olettaen, että napa säde ei voi olla negatiivinen:
Päätös:
a) Etsi funktion toimialue: 
Tällainen trigonometrinen epäyhtälö on helppo ratkaista myös graafisesti: artikkelin materiaaleista Geometrisen kuvaajan muunnokset Tiedetään, että jos funktion argumentti kaksinkertaistuu, sen kaavio kutistuu y-akselille 2 kertaa. Etsi funktion kaavio määritetyn oppitunnin ensimmäisestä esimerkistä. Missä tämä sinusoidi sijaitsee x-akselin yläpuolella? Väliajoin 
. Siksi vastaavat segmentit täyttävät epäyhtälön ja verkkotunnus toimintomme: 
.
Yleisesti ottaen tarkasteltavana olevien epäyhtälöiden ratkaisu on äärettömän määrän segmenttien liitto, mutta jälleen kerran olemme kiinnostuneita vain yhdestä jaksosta.
Ehkä joillekin lukijoille on helpompi löytää analyyttinen menetelmä määritelmäalueen löytämiseksi, kutsun sitä ehdollisesti "pyöreän piirakan leikkaamiseksi". Leikkaamme yhtä suuriin osiin ja ensinnäkin löytää ensimmäisen kappaleen rajat. Väittelemme seuraavasti: sini ei ole negatiivinen, kun hänen argumenttinsa vaihtelee välillä 0 - rad. mukaan lukien. Esimerkissämme: . Jakamalla kaikki kaksois-epäyhtälön osat kahdella, saadaan vaadittu väli:
Nyt aloitamme peräkkäisen "leikkaa 90 asteen paloiksi" vastapäivään:
- löydetty segmentti sisältyy luonnollisesti määritelmäalueeseen;
– seuraava intervalli – ei sisälly;
- seuraava segmentti - tulee;
- ja lopuksi väli - ei sisälly.
Aivan kuten kamomilla - "rakastaa, ei rakasta, rakastaa, ei rakasta" =) Sillä erolla, että tämä ei ole ennustamista. Kyllä, vain jonkinlainen rakkaus kiinaksi osoittautuu ....
Niin, 
ja viiva edustaa ruusua, jossa on kaksi identtistä terälehteä. Piirustus on täysin mahdollista piirtää kaavamaisesti, mutta on erittäin toivottavaa löytää ja merkitä oikein terälehtien yläosat. Huiput vastaavat määritelmäalueen segmenttien keskipisteet, joilla on tässä esimerkissä ilmeiset kulmakoordinaatit 
. Jossa terälehden pituus ovat: 
Tässä on huolehtivan puutarhurin luonnollinen tulos: 
On huomattava, että terälehden pituus on helppo nähdä välittömästi yhtälöstä - koska sini on rajoitettu: , niin "er": n enimmäisarvo ei varmasti ylitä kahta.
b) Muodostetaan yhtälön antama suora. Ilmeisesti myös tämän ruusun terälehden pituus on kaksi, mutta ensinnäkin olemme kiinnostuneita määritelmäalueesta. Käytämme "viipalointi" analyyttistä menetelmää: sini on ei-negatiivinen, kun sen argumentti on alueella nolla - "pi" mukaan lukien, tässä tapauksessa: . Jaamme kaikki epäyhtälön osat kolmella ja saamme ensimmäisen välin:
Seuraavaksi aloitamme "piirakan leikkaamisen paloiksi" rad:n mukaan. (60 astetta):
– segmentti tulee määrittelyalueelle;
– intervalli – ei tule sisään;
- segmentti - tulee sisään;
– intervalli – ei tule sisään;
- segmentti - tulee sisään;
- intervalli - ei tule sisään.
Prosessi on suoritettu onnistuneesti 360 asteen kohdalla.
Laajuus on siis: 
.
Kokonaan tai osittain suoritetut toimet on helppo toteuttaa henkisesti.
Rakentaminen. Jos edellisessä kappaleessa kaikki meni hyvin suorien kulmien ja 45 asteen kulmien kanssa, niin tässä täytyy vähän näpertää. Etsitään terälehtien yläosat. Niiden pituus oli näkyvissä heti tehtävän alusta lähtien, on vielä laskettava kulmakoordinaatit, jotka ovat yhtä suuria kuin määritelmäalueen segmenttien keskipisteet: 
Huomaa, että terälehtien yläosien välissä on välttämättä oltava yhtä suuret raot, tässä tapauksessa 120 astetta.
Piirustus kannattaa merkitä 60 asteen sektoreihin (vihreillä viivoilla rajattuina) ja piirtää terälehtien latvojen suunnat (harmaat viivat). Itse kärjet on kätevä merkitä kompassin avulla - mittaa kerran 2 yksikön etäisyys ja tee kolme lovia piirrettyihin suuntiin 30, 150 ja 270 astetta: 
Valmis. Ymmärrän, että tehtävä on hankala, mutta jos haluat järjestää kaiken järkevästi, sinun on käytettävä aikaa.
Muotoilemme yleisen kaavan: muodon yhtälö on luonnollinen luku), määrittelee polaariterälehtiruusun, jonka terälehden pituus on .
Esimerkiksi yhtälö määrittelee nelikantisen ruusun, jonka terälehden pituus on 5 yksikköä, yhtälö - 5-terälehden ruusun, jonka terälehden pituus on 3 yksikköä. jne.
