Determinantti lasketaan vain neliömatriiseille ja on n:nnen kertaluvun termien summa. Yksityiskohtainen algoritmi sen laskemiseksi kuvataan valmiissa ratkaisussa, jonka saat heti ehdon syöttämisen jälkeen tähän verkkolaskimeen. Tämä on saatavilla oleva ja helppo tilaisuus saada yksityiskohtainen teoria, koska ratkaisu esitetään yksityiskohtaisen selityksen kanssa jokaisesta vaiheesta.

Tämän laskimen käyttöohjeet ovat yksinkertaiset. Löytääksesi matriisin determinantin verkosta, sinun on ensin päätettävä matriisin koko ja valittava siinä olevien sarakkeiden ja vastaavasti rivien lukumäärä. Voit tehdä tämän napsauttamalla "+" tai "-" -kuvaketta. Jäljelle jää vain syöttää tarvittavat numerot ja napsauttaa "Laske". Voit syöttää sekä kokonaisia ​​että murtolukuja. Laskin tekee kaikki vaaditut työt ja antaa sinulle lopullisen tuloksen.

Jotta voit tulla matematiikan asiantuntijaksi, sinun on harjoitettava paljon ja sinnikkäästi. Eikä koskaan ole kipeää tarkistaa itsesi uudelleen. Siksi, kun sinulle annetaan tehtäväksi laskea matriisin determinantti, on suositeltavaa käyttää online-laskinta. Hän selviää hyvin nopeasti, ja muutamassa sekunnissa näyttöön ilmestyy valmis ratkaisu. Tämä ei tarkoita, että online-laskimen pitäisi korvata perinteiset laskelmat puolestasi. Mutta se on erinomainen apu, jos olet kiinnostunut ymmärtämään matriisin determinantin laskenta-algoritmia. Lisäksi tämä on erinomainen tilaisuus tarkistaa, onko koe suoritettu oikein, ja vakuuttaa epäonnistuneen arvioinnin varalta.

Muut ominaisuudet liittyvät molli- ja algebrallisen komplementin käsitteisiin

Pieni elementtiä kutsutaan determinantiksi, joka koostuu elementeistä, jotka jäävät jäljelle sen rivin ja sarakkeen yliviivauksen jälkeen, jonka leikkauskohdassa tämä elementti sijaitsee. Järjestysmääritteen sivuelementillä on järjestys . Merkitsemme sen symbolilla .

Esimerkki 1. Antaa , Sitten .

Tämä molli saadaan A:sta yliviivattuna toinen rivi ja kolmas sarake.

Algebrallinen komplementti elementtiä kutsutaan vastaavaksi molliksi kerrottuna , ts. , jossa on sen rivin ja sarakkeen numero, jonka leikkauskohdassa tämä elementti sijaitsee.

VIII.(Determinantin hajoaminen tietyn merkkijonon elementeiksi). Determinantti on yhtä suuri kuin tietyn rivin alkioiden ja niitä vastaavien algebrallisten komplementtien tulojen summa.

Esimerkki 2. Antaa , Sitten

Esimerkki 3. Etsitään matriisin determinantti , jakaa sen ensimmäisen rivin elementeiksi.

Muodollisesti tämä lause ja muut determinanttien ominaisuudet ovat sovellettavissa vain korkeintaan kolmannen asteen matriisien determinanteille, koska emme ole tarkastelleet muita determinantteja. Seuraava määritelmä antaa meille mahdollisuuden laajentaa nämä ominaisuudet minkä tahansa järjestyksen determinantteihin.

Matriisin determinantti Tilaus on luku, joka on laskettu soveltamalla peräkkäin laajennuslausetta ja muita determinanttien ominaisuuksia.

Voit tarkistaa, että laskelmien tulos ei riipu siitä, missä järjestyksessä yllä olevia ominaisuuksia käytetään ja mille riveille ja sarakkeille. Tätä määritelmää käyttämällä determinantti löytyy yksiselitteisesti.

Vaikka tämä määritelmä ei sisällä eksplisiittistä kaavaa determinantin löytämiseksi, sen avulla voidaan löytää se pelkistämällä se alemman kertaluvun matriisien determinanteiksi. Tällaisia ​​määritelmiä kutsutaan toistuva.

Esimerkki 4. Laske determinantti:

Vaikka tekijöiden jakolausetta voidaan soveltaa mihin tahansa tietyn matriisin riviin tai sarakkeeseen, saadaan vähemmän laskelmia ottamalla huomioon sarake, joka sisältää mahdollisimman monta nollaa.

Koska matriisissa ei ole nollaelementtejä, hankimme ne ominaisuuden avulla VII. Kerro ensimmäinen rivi peräkkäin numeroilla ja lisää se riveille ja saat:

Laajennetaan tuloksena olevaa determinanttia ensimmäistä saraketta pitkin ja saadaan:

koska determinantti sisältää kaksi suhteellista saraketta.

Jotkut matriisityypit ja niiden determinantit

Kutsutaan neliömatriisia, jossa on nolla alkiota päädiagonaalin () ala- tai yläpuolella kolmion muotoinen.

Niiden kaavamainen rakenne näyttää vastaavasti tältä: tai

.

Neljännen asteen tai korkeamman matriisin determinantin laskemiseksi voit laajentaa determinanttia riviä tai saraketta pitkin tai soveltaa Gaussin menetelmää ja pienentää determinantin kolmion muotoon. Tarkastellaan determinantin hajoamista rivissä tai sarakkeessa.

Matriisin determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin elementtien summa kerrottuna niiden algebrallisilla komplementeilla:

Laajennus i- se linja.

Matriisin determinantti on yhtä suuri kuin determinanttisarakkeen elementtien summa kerrottuna niiden algebrallisilla komplementeilla:

Laajennus j- se linja.

Matriisin determinantin hajotuksen helpottamiseksi valitaan yleensä se rivi/sarake, jossa on suurin määrä nollaelementtejä.

Esimerkki

Etsitään neljännen kertaluvun matriisin determinantti.

Laajennamme tätä määräävää tekijää sarake sarakkeelta №3

Tehdään nolla elementin sijaan a 4 3 =9. Voit tehdä tämän riviltä №4 vähennetään rivin vastaavista elementeistä №1 kerrottuna 3 .
Tulos kirjoitetaan riville №4 Kaikki muut rivit kirjoitetaan uudelleen ilman muutoksia.

Joten teimme kaikista elementeistä nollia, paitsi a 1 3 = 3 sarakkeessa № 3 . Nyt voimme jatkaa tämän sarakkeen takana olevan determinantin laajentamiseen.

Näemme, että vain termi №1 ei muutu nollaksi, kaikki muut termit ovat nollia, koska ne kerrotaan nollalla.
Tämä tarkoittaa, että meidän on laajennettava edelleen vain yhtä determinanttia:

Laajennamme tätä määräävää tekijää rivi riviltä №1 . Tehdään joitain muunnoksia lisälaskelmien helpottamiseksi.

Näemme, että tällä rivillä on kaksi identtistä numeroa, joten vähennämme sarakkeesta №3 sarakkeessa №2 , ja kirjoita tulos sarakkeeseen №3 , tämä ei muuta determinantin arvoa.

Seuraavaksi meidän on tehtävä nolla elementin sijaan a 1 2 = 4. Tätä varten meillä on sarakeelementtejä №2 Kerro 3 ja vähennä siitä vastaavat sarakkeen elementit №1 kerrottuna 4 . Tulos kirjoitetaan sarakkeeseen №2 Kaikki muut sarakkeet kirjoitetaan uudelleen ilman muutoksia.

Mutta emme saa unohtaa sitä, jos kerromme sarakkeen №2 päällä 3 , niin koko determinantti kasvaa 3 . Ja jotta se ei muutu, se tarkoittaa, että se on jaettava 3 .

Harjoittele. Laske determinantti jakamalla se jonkin rivin tai jonkin sarakkeen elementeiksi.

Ratkaisu. Tehdään ensin alkeismuunnokset determinantin riveille tekemällä mahdollisimman monta nollaa joko riville tai sarakkeeseen. Tee tämä vähentämällä ensin yhdeksän kolmasosaa ensimmäisestä rivistä, viisi kolmasosaa toisesta ja kolme kolmasosaa neljännestä, saamme:

Jaetaan tuloksena oleva determinantti ensimmäisen sarakkeen elementeiksi:

Laajennamme myös tuloksena olevan kolmannen asteen determinantin rivin ja sarakkeen elementteihin saatuamme aiemmin esimerkiksi nollia ensimmäiseen sarakkeeseen. Voit tehdä tämän vähentämällä kaksi toista riviä ensimmäisestä rivistä ja toinen rivi kolmannesta:

Vastaus.

12. Slough 3. tilaus

1. Kolmisääntö

Kaavamaisesti tämä sääntö voidaan kuvata seuraavasti:

Ensimmäisen determinantin elementtien tulo, jotka on yhdistetty suorilla viivoilla, otetaan plusmerkillä; samoin toiselle determinantille vastaavat tulot otetaan miinusmerkillä, ts.

2. Sarrusin sääntö

Lisää determinantin oikealle puolelle kaksi ensimmäistä saraketta ja ota plusmerkillä päädiagonaalin ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot; ja toissijaisen lävistäjän ja sen suuntaisten diagonaalien elementtien tulot miinusmerkillä:

3. Determinantin laajentaminen rivissä tai sarakkeessa

Determinantti on yhtä suuri kuin determinantin rivin alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa. Yleensä valitaan se rivi/sarake, joka sisältää nollia. Rivi tai sarake, jota pitkin hajottaminen suoritetaan, on merkitty nuolella.

Harjoittele. Laajenna ensimmäistä riviä ja laske determinantti

Ratkaisu.

Vastaus.

4. Determinantin pelkistäminen kolmion muotoon

Käyttämällä alkeismuunnoksia riveillä tai sarakkeilla determinantti pelkistetään kolmiomaiseen muotoon ja sitten sen arvo determinantin ominaisuuksien mukaan on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.

Esimerkki

Harjoittele. Laske determinantti saattamalla se kolmion muotoon.

Ratkaisu. Ensin tehdään nollia ensimmäiseen sarakkeeseen päädiagonaalin alle. Kaikki muunnokset on helpompi suorittaa, jos elementti on yhtä suuri kuin 1. Tätä varten vaihdamme determinantin ensimmäisen ja toisen sarakkeen, mikä saa sen determinantin ominaisuuksien mukaan muuttamaan etumerkkinsä vastapäätä: