6. luokka

AIHE: "Tavallisten jakeiden jako", luokka 6.

TUNNIN TARKOITUS: Tee yhteenveto ja systematisoi teoreettinen ja käytännöllinen

opiskelijoiden tiedot, taidot ja kyvyt. Järjestä työtä varten

täyttämällä aukkoja opiskelijoiden tiedoissa. parantaa, laajentaa

ja syventää opiskelijoiden tietämystä aiheesta.

Oppitunnin TYYPPI: Tietojen, taitojen ja kykyjen yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Laitteet: Taululla on aihe, tavoite, tuntisuunnitelma.

TUTKIEN AIKANA.

Jokaisen opiskelijan työpöydällä on tarkistuslista.

1. kotitehtävät -

2. tarkistuskysymykset -

3. sanallinen tili -

4. luokkatyö -

5. itsenäinen työ -

1. Kotitehtävien tarkistaminen:

a) työskentele pareittain seuraavien kysymysten parissa:

1) Tavallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku;

2) Kuinka kertoa murto-osa murtoluvulla;

3) Kahden murtoluvun kertolasku;

4) Sekaosien kertominen;

5) Murtolukujen jakamissääntö;

6) Sekafraktioiden jako;

7) Mitä kutsutaan. fraktioiden vähentäminen.

b) kotitehtävien tarkistaminen taululla olevan valmiin ratkaisun mukaan:

nro 620 (a), 624, 619 (d).

Tarkoitus: määrittää kotitehtävien assimilaatioaste. Tunnista yleiset heikkoudet.

Laita arvosanat tarkistuslistalle

Ilmoita oppitunnin tarkoitus: Yleistää ja systematisoida tietoja, taitoja ja kykyjä

aihe: "Tavallisten murtolukujen jako."

Teoria toistettiin, tarkistamme tiedot käytännössä.

2. Sanallinen laskenta.

a) Korteissa: 1) Pienennä murto-osaa:; ; ; …

2) Muunna vääräksi murtoluvuksi: ; ; …

3) Valitse kokonaislukuosa: ; ; …

b) Numeeriset tikkaat. Se, joka pääsee nopeammin 6. kerrokseen, tietää:

geometrian rakentaminen (Euclid)

Vaihtoehto 2 - henkilö, joka halusi olla lakimies, upseeri ja filosofi, mutta

tuli matemaatikko (Descartes)

l 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

i d e l k c a v r e t

Arvosanat tarkistuslomakkeessa: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Se, joka on suorittanut "tikkaat", tekee vihkoissa numeron 606. Ensimmäinen taulun siivessä olevista oppilaista tekee numeron 606. Sitten hän tarkistaa luokan.

3.

a) Nro 581 (b, d), 587 (kommentti), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

Tehtävä tehdään vihkoissa ja taululla.

b) ratkaise ongelma: Maksettiin tuhat ruplaa kilosta makeisia. Kuinka paljon on

Kg sellaisia ​​makeisia?

4.

№ 1 . Suorita toiminnot:

: vastaukset: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Esitä murto-osa tavallisena murtolukuna ja toimi seuraavasti:

0,375: vastaukset: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Ratkaise yhtälö: vastaukset: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . Ensimmäisenä päivänä turisti käveli koko matkan ja toisena päivänä loput. Sisään

kuinka monta kertaa enemmän turisti kulkee ensimmäisenä päivänä tieosuutta kuin matkalla

toinen? Vastaukset: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Esitä murto-osa:

: vastaus: 1) 2) 3) 4)

Tarkista ratkaisu mallin mukaan: Nro 1 -4; nro 2 - 1; nro 3 - 4; nro 4 - 4; Nro 5-3.

Laita arvosanat tarkistuslistalle.

Kerää tarkistuslistoja. Yhteenvetona. Ilmoita oppitunnin arvosanat.

5. Oppitunnin yhteenveto:

Mitä perussääntöjä toistimme tänään?

6. Kotitehtävät:

Nro 619 (c), 620 (b), 627, yksittäistehtävä nro 617 (a, e, g).

Ladata:

Esikatselu:

MOU "Gymnasium nro 7"

Torzhok, Tverin alue

AVOIN Oppitunti AIHEESTA:

"tavallisten murto-osien jako"

6. luokka

Avoin oppitunti Torzhokin kaupungin kunnassa

(todistus, 2001)

Matematiikan opettaja: Ufimtseva N.A.

2001

AIHE: " Tavallisten murtolukujen jako, 6. luokka.

TUNNIN TARKOITUS : Tee yhteenveto ja systematisoi teoreettinen ja käytännöllinen

Opiskelijoiden tiedot, taidot ja kyvyt. Järjestä työtä varten

Täyttää aukot opiskelijoiden tiedoissa. parantaa, laajentaa

Ja syventää opiskelijoiden tietämystä aiheesta.

Oppitunnin TYYPPI : Tietojen, taitojen ja kykyjen yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti.

Laitteet : Taululla on aihe, tavoite, tuntisuunnitelma.

TUTKIEN AIKANA.

Jokaisen opiskelijan työpöydällä on tarkistuslista.

1. kotitehtävät -
2. toistokysymykset -
3. sanallinen laskenta -
4. luokka työ -
5. itsenäinen työ -

1. Kotitehtävien tarkistaminen:

A) työskentele pareittain seuraavien kysymysten parissa:

1) Tavallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku;

2) Kuinka kertoa murto-osa murtoluvulla;

3) Kahden murtoluvun kertolasku;

4) Sekaosien kertominen;

5) Murtolukujen jakamissääntö;

6) Sekafraktioiden jako;

7) Mitä kutsutaan. fraktioiden vähentäminen.

B) kotitehtävien tarkistaminen taululla olevan valmiin ratkaisun mukaan:

nro 620 (a), 624, 619 (d).

Kohde : määrittää kotitehtävien assimilaatioaste. Tunnista yleiset heikkoudet.

Laita arvosanat tarkistuslistalle

Ilmoita oppitunnin tarkoitus: Yleistää ja systematisoida tietoja, taitoja ja kykyjä

Aihe: "Tavallisten murtolukujen jako."

Teoria toistettiin, tarkistamme tiedot käytännössä.

1. Sanallinen laskenta.

A) Korteissa: 1) Pienennä murtolukua:; ; ; …

2) Muunna vääräksi murtoluvuksi: ; ; …

3) Valitse kokonaislukuosa: ; ; …

B) Numeeriset tikkaat. Se, joka pääsee nopeammin 6. kerrokseen, tietää:

Geometrian rakenteet (Euclid)

Vaihtoehto 2 - henkilö, joka halusi olla lakimies, upseeri ja filosofi, mutta

Hänestä tuli matemaatikko (Descartes)

D t

I p

L 0,1: ½ 0,4: 0,1 a

K to

Julkaisussa e

E d

3 2 4 5

I d e l k c a v r e t

Arvosanat tarkistuslomakkeessa: 2 "-"5", 3" - "4", 4" - "3".

Se, joka on suorittanut "tikkaat", tekee vihkoissa numeron 606. Ensimmäinen taulun siivessä olevista oppilaista tekee numeron 606. Sitten hän tarkistaa luokan.

1. Tärkeimpien teoreettisten määräysten toisto ja systematisointi:

a) Nro 581 (b, d), 587 (kommentti), 591 (l, m, j), 600, 602, 593 (d, c, e, i)

Tehtävä tehdään vihkoissa ja taululla.

B) ratkaise ongelma: Maksettiin tuhat ruplaa kilosta makeisia. Kuinka paljon on

Kg sellaisia ​​makeisia?

1. Itsenäinen työ. Tarkoitus: tarkistaa tämän aiheen hallinta.

№ 1 . Suorita toiminnot:

: vastaukset: 1) 2) 3) 4) .

№ 2 . Esitä murto-osa tavallisena murtolukuna ja toimi seuraavasti:

0,375: vastaukset: 1) 2) 3) 4)

№ 3 . Ratkaise yhtälö: vastaukset: 1) 2) 3) 4) 2

№ 4 . Ensimmäisenä päivänä turisti käveli koko matkan ja toisena päivänä loput. Sisään

Kuinka monta kertaa enemmän turisti kulkee ensimmäisenä päivänä tieosuutta kuin matkalla

Toinen? Vastaukset: 1) 2) 5 3) 4)

№ 5. Esitä murto-osa:

: vastaus: 1) 2) 3) 4)

Tarkista ratkaisu mallin mukaan: Nro 1 -4; nro 2 - 1; nro 3 - 4; nro 4 - 4; Nro 5-3.

Laita arvosanat tarkistuslistalle.

Kerää tarkistuslistoja. Yhteenvetona. Ilmoita oppitunnin arvosanat.

1. Oppitunnin yhteenveto:

Mitä perussääntöjä toistimme tänään?

1. Kotitehtävät:

Nro 619 (c), 620 (b), 627, henkilökohtainen tehtävä nro 617 (a, e, g)

KURSSITYÖT

ALGEBRASTA JA ANALYYSIPERIAATTEISTA

TÄSSÄ AIHEESSA

"TRIGONOMETRISET TOIMINNOT"

Matemaatikoiden laitoksen luova ryhmä

"Gymnasium nro 3", Udomlya.

Oppitunti 3-4 on matematiikan opettajan suunnittelema

Ufimtseva N.A.

2000

MOU "Gymnasium nro 7"

Torzhok, Tverin alue

JULKINEN Oppitunti

Luokka: 6

Esitys oppitunnille

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutuksellinen puoli:

• toistaa ja syventää tietoa aiheesta "Tavallisten murtolukujen jako"

Kehitysnäkökulma:

• kehittää taitoja analysoida, vertailla materiaalia;
• kehittää huomiota, muistia, puhetta, loogista ajattelua, itsenäisyyttä;
• edistää koulutustoiminnan itsearviointitaitojen kehittymistä.

Koulutuksellinen puoli:

• juurruttaa opiskelijoihin itsenäisyyden taitoa työssä, opettaa ahkeruutta, tarkkuutta;
• kouluttaa tarvetta arvioida omaa toimintaansa ja luokkatovereiden työtä;
• viljellä puhekulttuuria, kiinnittää huomiota sanantarkkuuteen.

Koulutustoiminnan järjestämismuodot:

• frontaalinen, yksilöllinen, peli

Käytetyt tekniikat:

• yhteistyö teknologia;
• Tietotekniikka;
• peliteknologiat.

Laitteet:

1. tietokone;
2. multimediaprojektori;
3. Microsoft Office PowerPoint -esitys;
4. tehtäväkortit

Tuntien aikana

I. Organisatorinen hetki

II. Sanallinen laskenta

1. Laske lausekkeiden arvot, kerää palapeli.

Opettaja: Kaverit, tunnistatko mitä tässä kuvassa näkyy?

Usolje Sibirskoye on yksi Angaran alueen vanhimmista kaupungeista, se perustettiin asutukseksi vuonna 1669 Siperian laajuuksien valloittajien Jenisein kasakkojen ja Mihalevien veljien ansiosta, jotka löysivät suolalähteen Angarajoen rannalta. ja rakensi suolapannun

2. Vertaa osamäärää osinkoon suorittamatta mitään:

III. Aiemmin opitun materiaalin toisto

1. Ilmaise desimaali murtolukuna. Syötä taulukkoon kirjaimet, jotka vastaavat löydettyjä vastauksia (työ pareittain).

0,4 - A	1,2 - R	0,006 - P
3.6 - Ja	0,9 - Z	5.008 - T
0,05 - U	2.16 - O	0,37 - D
4,44 - C	5.08 - K	2.15 - M

Irkutskin kaupungin nimi tulee Irkut-joesta, joka virtaa Angaraan. Kaupunki alkaa ensimmäisestä Irkutskin vankilasta, jonka kasakat perustivat Jakov Pokhabovin johdolla 6.7.1661. Syyskuuhun 1670 mennessä vankilan paikalle rakennettiin Kremliksi kutsuttu linnoitus, jossa oli neljä tornia. Irkutsk oli lähes alusta alkaen Kiinan-kaupan tärkein tukikohta. Kaikki venäläis-kiinalaiset kauppavaunut kulkivat kaupungin läpi.

2. Kirjoita yhteinen murto desimaalilukuna. Järjestä saadut numerot nousevaan järjestykseen ja lue sana (itse, myöhemmän vahvistuksen kanssa).

Vastaukset: 0,8; 0,5; 0,25; 0,12; 0,032; 0,07, sana on Baikal (hyperlinkki yhtenäiseen DER-kokoelmaan).

IV. Tutkitun materiaalin konsolidointi

1. Täytä tyhjät kohdat:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

2. Peli "Lotto" (oppilaiden on ratkaistava ensimmäinen esimerkki, siirry sitten esimerkkiin, joka alkaa edellisen ratkaisemisen yhteydessä saadulla numerolla, tee lause).

I vaihtoehto			II vaihtoehto
					lähteellä
jäkälä		päällystetty

Vastaukset: Rock Shamanka - marmoria peitetty punaisella jäkälällä;

Shamaanikivi - Angaran lähteellä oleva kivi.

V. Liikuntakasvatus

Kädet sivuilla, käsivarret - leveämmät.
Yksi kaksi kolme neljä.
Nyt päätimme hypätä.
Yksi kaksi kolme neljä.
Venytetty - korkeammalle, korkeammalle ...
Kyykkymme - alemmas, alemmas.
Nouse ylös - istu alas...
Nouse ylös - istu alas...
Ja nyt he istuivat pöydän ääreen.

VI. Ongelman ratkaisu

Tehtävän ratkaisemiseksi: kaksi autoa ajoi samanaikaisesti toisiaan kohti Usolje-Sibirskoen ja Irkutskin kaupungeista, joiden välinen etäisyys on 80 km. Ensimmäisen auton nopeus on toisen auton nopeus. Etsi kunkin auton nopeudet, jos ne kohtaavat neljänkymmenen minuutin kuluttua.

Päästää x (km/h)- toisen auton nopeus

Sitten x (km/h)- ensimmäisen auton nopeus

x+ x (km/h)- lähestymisnopeus

Tietäen, että autot kohtasivat h ja ajoi yhdessä 80 km, tehdään yhtälö:

(x+X) * =80

(x+X) =80:

x = 120:1

1

Vastaus:

• 1 vaihtoehto FRY
• Vaihtoehto 2 OMUL

VIII. Kotitehtävät

Laadi tehtävä

Viime kerralla opimme lisäämään ja vähentämään murtolukuja (katso oppitunti "Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku"). Vaikein hetki näissä toimissa oli murto-osien tuominen yhteiselle nimittäjälle.

Nyt on aika käsitellä kerto- ja jakolaskua. Hyvä uutinen on, että nämä operaatiot ovat jopa helpompia kuin yhteen- ja vähennyslasku. Aluksi harkitse yksinkertaisinta tapausta, jossa on kaksi positiivista murtolukua ilman erottuvaa kokonaislukuosaa.

Jos haluat kertoa kaksi murtolukua, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät erikseen. Ensimmäinen numero on uuden murtoluvun osoittaja ja toinen on nimittäjä.

Kahden murto-osan jakamiseksi sinun on kerrottava ensimmäinen murto-osa "käänteisellä" toisella.

Nimitys:

Määritelmästä seuraa, että murtolukujen jako pelkistetään kertolaskuksi. Jos haluat kääntää murto-osan, vaihda osoittaja ja nimittäjä. Siksi koko oppitunnin käsittelemme pääasiassa kertolaskua.

Kertomisen seurauksena voi syntyä (ja usein syntyy) vähentynyt murto-osa - tietysti sitä on vähennettävä. Jos kaikkien vähennysten jälkeen murto-osa osoittautui vääräksi, koko osa tulee erottaa siinä. Mutta mitä tarkalleen kertolaskussa ei tapahdu, on pelkistys yhteiseen nimittäjään: ei ristikkäisiä menetelmiä, maksimikertoimia ja pienimmät yhteiset kerrannaiset.

Määritelmän mukaan meillä on:

Murtolukujen kertominen kokonaislukuosalla ja negatiivisilla murtoluvuilla

Jos murtoluvuissa on kokonaislukuosa, ne on muutettava virheellisiksi - ja vasta sitten kerrottava edellä esitettyjen kaavioiden mukaisesti.

Jos murtoluvun osoittajassa, nimittäjässä tai sen edessä on miinus, se voidaan ottaa pois kertolaskurajoista tai poistaa kokonaan seuraavien sääntöjen mukaisesti:

1. Plus-ajat miinus antaa miinuksen;
2. Kaksi negatiivista tekee myöntävän.

Tähän asti näitä sääntöjä on kohdattu vain negatiivisia murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä, kun koko osasta oli päästävä eroon. Tuotteelle ne voidaan yleistää useiden miinusten "polttamiseksi" kerralla:

1. Yliviivaamme miinukset pareittain, kunnes ne katoavat kokonaan. Äärimmäisessä tapauksessa yksi miinus voi selviytyä - se, joka ei löytänyt ottelua;
2. Jos miinuksia ei ole jäljellä, toimenpide on valmis - voit aloittaa kertomisen. Jos viimeistä miinusta ei ole yliviivattu, koska se ei löytänyt paria, poistamme sen kertolaskurajoista. Saat negatiivisen murto-osan.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Käännämme kaikki murtoluvut vääriksi ja poistamme sitten kertolaskurajojen ulkopuolella olevat miinukset. Jäljelle jäävä kerrotaan tavanomaisten sääntöjen mukaan. Saamme:

Muistutan vielä kerran, että miinus, joka tulee ennen murtolukua, jossa on korostettu kokonaislukuosa, viittaa nimenomaan koko murto-osaan, ei vain sen kokonaislukuosaan (tämä koskee kahta viimeistä esimerkkiä).

Kiinnitä huomiota myös negatiivisiin lukuihin: kerrottuna ne on suljettu suluissa. Tämä tehdään miinusten erottamiseksi kertomerkeistä ja koko merkinnän tarkentamiseksi.

Murtolukujen vähentäminen lennossa

Kertominen on erittäin työläs operaatio. Tässä olevat luvut ovat melko suuria, ja tehtävän yksinkertaistamiseksi voit yrittää pienentää murto-osaa entisestään ennen kertolaskua. Todellakin, pohjimmiltaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät ovat tavallisia tekijöitä, ja siksi niitä voidaan pienentää murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo:

Määritelmän mukaan meillä on:

Kaikissa esimerkeissä vähennetyt numerot ja niistä jäljellä olevat on merkitty punaisella.

Huomaa: ensimmäisessä tapauksessa kertoimia pienennettiin kokonaan. Yksiköt jäivät paikoilleen, mikä voidaan yleisesti ottaen jättää pois. Toisessa esimerkissä ei ollut mahdollista saavuttaa täydellistä vähennystä, mutta laskelmien kokonaismäärä kuitenkin pieneni.

Älä kuitenkaan missään tapauksessa käytä tätä tekniikkaa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja! Kyllä, joskus on samanlaisia ​​lukuja, joita haluat vain vähentää. Tässä, katso:

Et voi tehdä sitä!

Virhe johtuu siitä, että murtolukua lisättäessä summa näkyy murtoluvun osoittajassa, ei lukujen tulo. Siksi on mahdotonta soveltaa murtoluvun pääominaisuutta, koska tämä ominaisuus koskee nimenomaan lukujen kertomista.

Murtolukujen pienentämiseen ei yksinkertaisesti ole muuta syytä, joten oikea ratkaisu edelliseen ongelmaan näyttää tältä:

Oikea päätös:

Kuten näette, oikea vastaus ei osoittautunut niin kauniiksi. Yleisesti ottaen ole varovainen.

Oppitunnin sisältö

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen lisäämistä on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä;
2. Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä.

Ensin tutkitaan murtolukujen yhteenlaskua samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisäämme osoittajat ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2 Lisää murtoluvut ja .

Vastaus on väärä murto-osa. Jos tehtävän loppu tulee, on tapana päästä eroon vääristä murtoluvuista. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava koko osa siitä. Meidän tapauksessamme koko osa erottuu helposti - kaksi jaettuna kahdella on yksi:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Lisää jälleen osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaan lisää pizzoja, saat pizzat:

Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä ei ole vaikeaa. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat lisätä murtolukuja samoilla nimittäjillä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opimme lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja lisättäessä näiden murtolukujen nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä kerralla, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on siinä, että molempien murtolukujen nimittäjistä etsitään ensimmäinen (LCM). Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Sitten murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisää jakeet ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nyt takaisin murtolukuihin ja . Ensin jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja saamme ensimmäisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisätekijä. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tätä varten teemme murto-osan yläpuolelle pienen vinon viivan ja kirjoitamme sen yläpuolelle löydetyn lisätekijän:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisätekijä. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinon viivan toisen murto-osan yläpuolelle ja kirjoitamme löydetyn lisätekijän sen yläpuolelle:

Nyt olemme valmiita lisäämään. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Näin esimerkki päättyy. Lisääminen käy ilmi.

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzaviipaleet. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kuudesta). Laittamalla nämä palaset yhteen saadaan (seitsemän kuudesta kappaletta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten olemme korostaneet siinä kokonaislukuosan. Tuloksena oli (yksi koko pizza ja toinen kuudes pizza).

Huomaa, että olemme maalanneet tämän esimerkin liian yksityiskohtaisesti. Oppilaitoksissa ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan nopeasti osoittajien ja nimittäjien löytämät lisätekijät. Koulussa ollessamme meidän pitäisi kirjoittaa tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos yksityiskohtaisia ​​muistiinpanoja ei tehdä matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, niin kysymyksiä "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Saimme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saimme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät lisätekijöilläsi

Kerromme osoittajat ja nimittäjät lisätekijöillämme:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. On vielä lisättävä nämä jakeet. Lisää yhteen:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisella rivillä oleva yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautui vääräksi murtoluvuksi, valitse koko osa siitä

Vastauksemme on väärä murto-osa. Meidän on erotettava siitä koko osa. Korostamme:

Sain vastauksen

Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Murtolukuvähennystä on kahta tyyppiä:

1. Samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opitaan vähentämään murtolukuja samoilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi on tarpeen vähentää toisen murto-osan osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta ja jättää nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos ajattelemme pizzaa, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
2. Jos vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi, sinun on valittava koko osa siitä.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Esimerkiksi murto-osa voidaan vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta murto-osaa ei voida vähentää murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy saman periaatteen mukaan, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan päälle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan päälle.

Murtoluvut kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on saatettava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt takaisin murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Kirjoitamme neljän ensimmäisen murtoluvun päälle:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12, ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmio toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme kaikki valmiita vähentämään. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Täydennetään tämä esimerkki loppuun:

Sain vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme kuvan avulla. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat.

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Koulussa meidän täytyisi ratkaista tämä esimerkki lyhyemmällä tavalla. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen vähentäminen ja yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Tuomalla nämä murtoluvut yhteiseen nimittäjään, saamme murtoluvut ja . Näitä murto-osia edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan samoihin jakeisiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäinen piirros näyttää murto-osan (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osaa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin saatava ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsi näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tätä varten jaamme LCM:n kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun päälle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisäkerroin 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun päälle:

Nyt kaikki on valmis vähennettäväksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla on samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä helpompaa. Mitä voidaan tehdä? Voit pienentää tätä osuutta.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (gcd) luvuilla 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 GCD: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä GCD:llä, eli 10:llä

Sain vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava annetun murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Ilmoittautumisen voidaan ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Esimerkiksi jos otat pizzan kerran, saat pizzan

Kertolaskujen laeista tiedämme, että jos kertoja ja kertoja vaihdetaan keskenään, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämän merkinnän voidaan ymmärtää vievän puolet yksiköstä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzat 4 kertaa, saat kaksi kokonaista pizzaa.

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen paikoin, saamme lausekkeen. Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtoluvulla kerrottu luku ja murtoluvun nimittäjä ratkaistaan, jos niillä on yhteinen jakaja, joka on suurempi kuin yksi.

Esimerkiksi lauseke voidaan arvioida kahdella tavalla.

Ensimmäinen tapa. Kerro luku 4 murtoluvun osoittajalla ja jätä murtoluvun nimittäjä ennalleen:

Toinen tapa. Kerrottavaa nelinkertaista ja murtoluvun nimittäjässä olevaa nelinkertaista voidaan pienentää. Voit pienentää näitä neliöitä 4:llä, koska kahden nelon suurin yhteinen jakaja on itse neljä:

Saimme saman tuloksen 3. Nelosten pienentämisen jälkeen niiden tilalle muodostetaan uudet numerot: kaksi ykköstä. Mutta yhden kertominen kolminkertaisella ja sitten yhdellä jakaminen ei muuta mitään. Siksi ratkaisu voidaan kirjoittaa lyhyemmin:

Vähentäminen voidaan suorittaa myös silloin, kun päätimme käyttää ensimmäistä menetelmää, mutta luvun 4 ja osoittajan 3 kertomisvaiheessa päätimme käyttää vähennystä:

Mutta esimerkiksi lauseke voidaan laskea vain ensimmäisellä tavalla - kerro 7 murtoluvun nimittäjällä ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä johtuu siitä, että numerolla 7 ja murtoluvun nimittäjällä ei ole yhtä suurempaa yhteistä jakajaa kuin yksi, ja vastaavasti niitä ei vähennetä.

Jotkut opiskelijat lyhentävät erehdyksessä kerrottavaa lukua ja murtoluvun osoittajaa. Et voi tehdä tätä. Esimerkiksi seuraava merkintä ei ole oikein:

Murtoluvun pienentäminen tarkoittaa sitä sekä osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Lauseketilanteessa jako suoritetaan vain osoittajassa, koska tämän kirjoittaminen on sama kuin kirjoittaminen. Näemme, että jako suoritetaan vain osoittajassa, eikä jakamista tapahdu nimittäjässä.

Murtolukujen kertolasku

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus on väärä murto-osa, sinun on valittava siitä koko osa.

Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo.

Sain vastauksen. Tätä osuutta on toivottavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos on seuraavanlainen:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puoliskosta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Haetaan pizzaa. Muista miltä pizza näyttää jaettuna kolmeen osaan:

Yhdellä siivulla tästä pizzasta ja kahdella ottamistamme viipaleella on samat mitat:

Toisin sanoen puhumme samasta pizzan koosta. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus on väärä murto-osa. Otetaan siitä kokonainen osa:

Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui oikeaksi murto-osaksi, mutta on hyvä, jos sitä pienennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Joten etsitään numeroiden 105 ja 450 GCD:

Nyt jaamme nyt löytämämme GCD:n vastauksemme osoittajan ja nimittäjän, eli 15:llä

Esittää kokonaisluvun murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tästä viisi ei muuta sen merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedätte, on yhtä suuri kuin viisi:

Käänteiset numerot

Nyt tutustumme erittäin mielenkiintoiseen matematiikan aiheeseen. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yksikön.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yksikön.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että voit. Esitetään viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain käänteisesti:

Mitä tästä tulee? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisarvo on luku, koska kun 5 kerrotaan yhdellä, saadaan yksi.

Käänteisluku voidaan löytää myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää käänteisluvun mille tahansa muulle murtoluvulle. Tätä varten riittää sen kääntäminen.

Murtoluvun jako luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka monta pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolikkaan pizzan jakamisen jälkeen saatiin kaksi samansuuruista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.