Mandelbrot tarjosi seuraavan alustavan määritelmän fraktaalista:

Fraktaali on joukko, jonka Hausdorff-Besikovich-ulottuvuus on ehdottomasti suurempi kuin sen topologinen ulottuvuus

Tämä määritelmä puolestaan ​​edellyttää määritelmät termeille joukko, Hausdorff-Besikowitz-mitta ja topologinen ulottuvuus, joka on aina kokonaisluku. Käytämme tarkoituksessamme näiden termien hyvin väljiä määritelmiä ja havainnollistavia havainnollistavia kuvia (käyttämällä yksinkertaisia ​​esimerkkejä) samojen käsitteiden tiukemman mutta muodollisen esittelyn sijaan. Mandelbrot kavensi alustavaa määritelmäään ehdottamalla sen korvaamista seuraavalla

Fraktaali on rakenne, joka koostuu osista, jotka ovat jossain mielessä samanlaisia ​​kuin kokonaisuus.

Tarkkaa ja täydellistä fraktaalien määritelmää ei vielä ole olemassa. Tosiasia on, että ensimmäinen määritelmä on kaikesta oikeellisuudestaan ​​ja tarkkuudestaan ​​huolimatta liian rajoittava. Se sulkee pois monet fysiikassa kohdattavat fraktaalit. Toinen määritelmä sisältää olennaisen erottavan piirteen, jota kirjassamme korostetaan ja joka havaitaan kokeessa: fraktaali näyttää samalta riippumatta siitä, missä mittakaavassa se havaitaan. Ota ainakin kauniita kumpupilviä. Ne koostuvat valtavista "kumpuista", joissa pienemmät "kumpet" kohoavat, niissä - vielä vähemmän "kumpuja" jne. pienimmässä mittakaavassa, jonka voit ratkaista. Itse asiassa pilvien kokoa on mahdotonta arvioida, koska pilvet ovat ilmaantuneet ilman lisätietoa.

Tässä kirjassa käsiteltyjä fraktaaleja voidaan pitää avaruuteen sisäkkäisinä pisteiden ryhminä. Esimerkiksi pistejoukolla, joka muodostaa suoran tavallisessa euklidisessa avaruudessa, on topologinen ulottuvuus ja Hausdorff-Besikovich-ulottuvuus. määritelmän järkevyyttä. Samoin pistejoukolla, joka muodostaa pinnan avaruudessa c, on topologinen ulottuvuus. Näemme, että tavallinen pinta ei ole fraktaali, vaikka se olisi kuinka monimutkainen. Lopuksi, pallo tai täydellinen pallo on.Näiden esimerkkien avulla voimme määritellä joitain tarkastelemiamme sarjoja.

Keskeinen Hausdorff-Besicovichin ulottuvuuden ja siten myös fraktaaliulottuvuuden määrittelyssä on käsite avaruuden pisteiden välisestä etäisyydestä. Kuinka mitata "magnitudi"

asettaa Y pistettä avaruuteen? Helppo tapa mitata käyrien pituutta, pintojen pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta on jakaa tila pieniksi kuutioiksi, joiden reuna on 8, kuten kuvasta näkyy. 2.5. Kuutioiden sijasta voitaisiin ottaa pieniä palloja, joiden halkaisija on 8. Jos asetamme pienen pallon keskipisteen johonkin kohtaan joukossa, niin tämä pallo peittää kaikki etäisyyden päässä keskustasta sijaitsevat pisteet. Laskemalla pallojen lukumäärä, joka tarvitaan peittämään meille kiinnostavien kohteiden joukko, saadaan joukon koko. Käyrä voidaan mitata määrittämällä sen peittämiseen tarvittavien 8 pituisten suorien osien lukumäärä. Tietysti tavalliselle käyrälle käyrän pituus määräytyy rajan ylityksen mukaan

Rajassa esimerkistä tulee asymptoottisesti yhtä suuri kuin käyrän pituus, eikä se riipu 8:sta.

Joukko pisteitä voidaan määrittää alueelle. Esimerkiksi käyrän pinta-ala voidaan määrittää määrittämällä sen peittämiseen tarvittavien ympyröiden tai neliöiden lukumäärä. Jos on näiden neliöiden lukumäärä ja on kunkin niiden pinta-ala, käyrän pinta-ala on

Vastaavasti käyrän tilavuus V voidaan määritellä arvoksi

Riisi. 2.5. Käyrän "suuruuden" mittaaminen.

Tietenkin tavallisilla käyrillä häviää kohdassa , ja ainoa kiinnostava mitta on käyrän pituus.

Kuten on helppo nähdä, tavalliselle pinnalle sen peittämiseen tarvittavien neliöiden lukumäärä määräytyy rajassa lausekkeella missä on pinta-ala.

Pinnoille voidaan määrittää tilavuus, joka muodostaa pinnan peittämiseen tarvittavien kuutioiden tilavuuksien summan:

Tällä määrällä, kuten odotettiin, katoaa.

Voiko pinnoille määrittää minkä tahansa pituuden? Muodollisesti voimme ottaa tällaisen pituuden määrän

Tämä tulos on järkevä, koska pintaa ei voi peittää äärellisellä määrällä suoria osia. Päättelemme, että kolmiulotteisessa avaruudessa pinnan muodostavien pisteiden joukon ainoa merkityksellinen mitta on alue.

On helppo nähdä, että käyriä muodostavat pistejoukot voivat

Riisi. 2.6. Pinnan "koon" mittaaminen.

olla kierretty niin voimakkaasti, että niiden pituus osoittautuu äärettömäksi, ja todellakin on käyriä (Peano käyrät), jotka täyttävät tason. On myös pintoja, jotka ovat kaarevia niin oudolla tavalla, että ne täyttävät tilan. Jotta voimme tarkastella myös tällaisia ​​epätavallisia pistejoukkoja, on hyödyllistä yleistää käyttöönottamamme joukon suuruusmitat.

Tähän asti avaruuden pistejoukon Y koon mittaa määritettäessä olemme valinneet tietyn testifunktion - janan, neliön, ympyrän, pallon tai kuution - ja peittäneet joukon muodostaen mittan suoralle viivalla. segmentit, neliöt ja kuutiot, ympyröiden ja pallojen geometrinen kerroin Päättelemme, että yleisessä tapauksessa mitta on yhtä suuri kuin nolla tai ääretön, riippuen mitan -ulottuvuuden valinnasta. Joukon Hausdorff-Besikovich-mitta on kriittinen ulottuvuus, jossa mitta muuttaa arvoaan nollasta äärettömään:

Kutsumme joukon -mitan. At:n arvo on usein äärellinen, mutta se voi olla nolla tai ääretön; on tärkeää millä arvolla määrä muuttuu äkillisesti. Huomaa, että yllä olevassa määritelmässä Hausdorff-Besikovich-mitta esiintyy paikallisena ominaisuutena siinä mielessä, että tämä ulottuvuus luonnehtii rajan pistejoukkojen ominaisuuksia, joiden halkaisija on katoavan pieni tai koko 8 testifunktiosta, jota käytetään peittämään. setti. Siksi fraktaaliulottuvuus voi olla myös joukon paikallinen ominaisuus. Itse asiassa tässä on useita hienovaraisia ​​kohtia, jotka ansaitsevat huomion. Erityisesti Hausdorff-Besikovich-mitan määritelmä mahdollistaa sen, että pallot eivät välttämättä ole samankokoisia, jos kaikkien pallojen halkaisijat ovat pienempiä kuin 8. Tässä tapauksessa -mitta on infimum, eli karkeasti sanottuna minimiarvo, joka saadaan kaikilla mahdollisilla kattauksilla. Katso esimerkkejä kohdasta. 5.2. Kiinnostuneet löytävät tiukan matemaattisen esityksen kysymyksestä Falconerin kirjasta.

Johdatus fraktaaleihin

Fraktaaliteorian perusteet

Menetelmät esineiden fraktaaliominaisuuksien määrittämiseksi

Ymmärtääkseen luontoa ihminen rakentaa eri geometrisiä esineitä. Luonnossa esineitä löytyy eri kokoisina - atomimitoista maailmankaikkeuteen. Hiukkasten liikeradat, virtaviivat hydrodynamiikassa, aallot, laivojen rungot ja rannikot, maisemat, vuoret, saaret, joet, jäätiköt ja sedimentit, kivien jyvät, metallit ja komposiittimateriaalit, kasvit, hyönteiset ja elävät solut sekä geometriset kiteiden rakenne, kemikaalimolekyylit ja erityisesti proteiinit - lyhyesti sanottuna luonnon geometria on keskeistä useilla luonnontieteen aloilla, ja siksi ihmiset pitävät geometrisia näkökohtia itsestäänselvyytenä. Jokaisen alan edustajat pyrkivät kehittämään omia konseptejaan, jotka on mukautettu sen tarpeisiin (esimerkiksi morfologia, neliulotteinen tila, tekstuuri), joita tällä alalla työskentelevät tutkijat käyttivät intuitiivisesti. Perinteen mukaan euklidiset viivat, ympyrät, pallot, tetraedrit jne. toimivat perustana luonnon geometrian intuitiiviselle ymmärtämiselle.

Matemaatikot kehittivät myös matemaattisia käsitteitä, jotka ylittivät perinteisen geometrian, mutta aiemmin nämä käsitteet eivät herättäneet riittävästi huomiota luonnontieteiden edustajilta johtuen hyvin abstraktista ja "pedanttisesta" esityksestä ja varoituksista "vaarasta". käyttämällä tällaisia ​​epäperinteisiä geometrisia esityksiä.

Hämmästyttävällä ja perustavanlaatuisella työllään Benoit Mandelbrot herätti yleisen kiinnostuksen fraktaaligeometriaan, jonka Mandelbrot itse esitteli. Erityisesti hän kertoi maailmalle esineistä, joita hän kutsui fraktaaleiksi ja valitsi tähän hyvin epätavallisen esitystavan. Benoit Mandelbrotin kirja "The Fractal Geometry of Nature" on yleisesti tunnustettu peruskäsite fraktaaleista, joka sisältää sekä alkeellisia käsitteitä että epätavallisen laajan valikoiman uusia ja ei mitenkään alkeellisia ideoita, jotka ovat nyt alan toimijoiden huomion keskipisteessä. fraktaalien geometria. Synteettiset fraktaalimaisemat näyttävät niin realistisilta, että useimmat ihmiset pitävät niitä luonnollisina. Tietokoneiden ja tietokonegrafiikan tulo viime vuosina on johtanut epäperinteisten geometristen esineiden tutkimukseen monilla luonnontieteiden alueilla.

Mandelbrot kirjoitti valtavan määrän tieteellisiä artikkeleita monilla ihmisen toiminnan alueilla havaittujen ilmiöiden geometriasta. Hän tutki hinnanmuutosten ja palkkajakaumien fraktaaligeometriaa, puhelinvaihteiden puheluvirhetilastoja, painettujen tekstien sanataajuuksia, erilaisia ​​matemaattisia objekteja ja paljon muuta. Mandelbrot kirjoitti kolme kirjaa fraktaaligeometriasta, jotka tekivät hänen erikoistuneesta työstään helpommin saavutettavia ja inspiroivat monia soveltamaan fraktaaligeometriaa omilla tutkimusalueillaan.

"Fraktaalien" käsite on vanginnut monilla tieteenaloilla työskentelevien tiedemiesten mielikuvituksen, ja teoksia, joissa käsitellään fraktaaleja eri näkökulmista, ilmestyy nykyään lähes päivittäin. Mandelbrotin kirjat ovat merkittäviä monessa suhteessa. Ja ennen kaikkea ne ovat poikkitieteellisiä: kirjailija tutkii puiden geometriaa, jokiuomaa, keuhkoja sekä vedenpinnan muutoksia, turbulenssia, taloutta, sanataajuuksia eri teksteissä ja paljon muuta. Mandelbrot yhdistää kaikki nämä näennäisesti heterogeeniset kysymykset geometrisiin ideoihinsa. Hän välttelee kirjoissaan tietoisesti johdantoja ja johtopäätöksiä ja korostaa näin syvää vakaumustaan ​​siitä, että fraktaaligeometrian alan työskentelyn laajentuessa hänen ajatuksensa antavat yhä syvemmälle mahdollisuuden ymmärtää luonnon geometrian ydintä. Hän tarjoaa vain alustavan määritelmän "fraktaalin" käsitteelle ja ilmoittaa sitten hätäisesti, ettei hänen ehdottamasa määritelmä ole missään nimessä lopullinen! Lisäksi hän myöhemmin peruuttaa määritelmänsä. Kirjoissaan Mandelbrot yrittää saada lukijan vakuuttuneeksi siitä, että fraktaaligeometria on tärkeä luonnon kuvaamisessa, mutta välttelee lukijaa, kun hän yrittää seurata kirjoittajan argumentin yksityiskohtia. Matemaattiset todisteet sekoittuvat Mandelbrotin kirjojen sivuille anekdoottien ja historiallisen tiedon kanssa. Hänen kirjoissaan sekoitetaan täysin erilaisia ​​aiheita niin, että niiden erottaminen on lähes mahdotonta. Mutta kärsivällisyydellä aseistettu utelias lukija löytää Mandelbrotin kirjoista epätavallisen laajan valikoiman upeita ideoita, syviä huomautuksia ja voi ammentaa niistä aitoa inspiraatiota - nämä kirjat ovat todella upeita!

Värikuvitukset tekevät voimakkaimman vaikutuksen. Ne kuvaavat fraktaali "planeetta", joka nousee kuun horisontin yläpuolelle, vuoret, laaksot ja saaret, joita ei koskaan ollut olemassa. Nämä kuvat, jotka on tehnyt R.F. Foss, saatu käyttämällä algoritmeja, jotka tarjoavat maisemien fraktaaliluonteen. Kaikki maisemat näyttävät hyvin luonnollisilta, ilmeisesti fraktaalit vangitsevat jotenkin maan pinnan topografian olemuksen.

70-luvun lopulla, 80-luvun puolivälistä lähtien ilmestyneet käsitteet "fraktaali" ja "fraktaaligeometria" ovat tulleet lujasti matemaatikoiden ja ohjelmoijien arkeen. Sana fraktaali on johdettu latinan sanasta fractus ja tarkoittaa "palasista koostuvaa". Benoit Mandelbrot ehdotti vuonna 1975 viittaamaan hänen tutkimiinsa epäsäännöllisiin, mutta samankaltaisiin rakenteisiin. Hänen töissään käytettiin vuosina 1875-1925 samalla alalla työskennelleiden tiedemiesten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff ym.) tieteellisiä tuloksia. Mutta vain meidän aikanamme oli mahdollista yhdistää heidän työnsä yhdeksi järjestelmäksi.

Fraktaalien houkuttelemalla huomiolla näyttää olevan useita syitä. Ensinnäkin fraktaalit ovat hyvin yksinkertaisia ​​mallintamaan monia ilmiöitä ja prosesseja, joita on vaikea erottaa luonnollisista. Toiseksi, fraktaalianalyysissä monimutkaisen muotoiset prosessit esitetään melko yksinkertaisessa ja visuaalisessa muodossa, mikä mahdollistaa lisäinformaation saamisen prosessista.

Tällä hetkellä fraktaaleja käytetään laajimmin tietokonegrafiikassa ja tietojärjestelmissä tiedon pakkaamiseen. Ne tulevat apuun esimerkiksi silloin, kun on tarpeen määritellä hyvin monimutkaisen muotoisia viivoja ja pintoja useiden kertoimien avulla. Tietokonegrafiikan näkökulmasta fraktaaligeometria on välttämätön keinopilvien, vuorten ja merenpinnan synnyttämisessä. Itse asiassa on löydetty tapa edustaa helposti monimutkaisia ​​ei-euklidisia esineitä, joiden kuvat ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin luonnolliset.

Mandelbrotin määritelmän mukaan fraktaali on objekti, jonka ulottuvuus ei ole sama kuin sen topologinen ulottuvuus ja joka voi ottaa ei-kokonaislukuarvoja. Tätä ulottuvuutta kutsutaan Hausdorff-Besikovich-ulottuvuudeksi tai fraktaaliulottuvuudeksi. Lukuisat tutkimukset osoittavat, että fraktaaligeometria on euklidisen yleistys, joka käsittelee kokonaislukujen topologisia ulottuvuuksia (O - piste, 1 - viiva, 2 - taso, 3 - tilavuus). Fraktaaliobjekteja ovat kaikki luonnonkohteet, kuten esimerkiksi rantaviiva, jonka mitat on 1,52 (Norjan rannikko), pilvet - 2,31, ihmisen verenkierto - 2,7 jne. Tällä hetkellä murto-osan ulottuvuudesta ei ole järkevää fyysistä tulkintaa, vaikka sitä yritetään luoda.

Fraktaalien pääominaisuus on itsensä samankaltaisuus . Yksinkertaisimmassa tapauksessa pieni osa fraktaaleja sisältää tietoa koko kohteesta, ts. fraktaalien muoto ei käytännössä muutu millään suurennuksella. Mandelbrotin fraktaalin määritelmä on seuraava: "Fraktaali on rakenne, joka koostuu osista, jotka ovat jossain mielessä samanlaisia ​​kokonaisuuden kanssa." Prosesseja, jotka synnyttävät itse samankaltaisia ​​rakenteita ovat olleet tiedossa jo pitkään. Nämä ovat palauteprosesseja. , jossa sama operaatio toistetaan yhä uudelleen ja uudelleen, jolloin yhden iteroinnin tulos on seuraavan aloitusarvo. Mutta tässä se on erittäin tärkeää tuloksen ja alkuarvon välinen suhde oli epälineaarinen. Yksi fraktaalien tutkijoista oli Gaston Julia, joka löysi Julia-joukko, joka on raja, jossa eri osissa esiintyy sama eri mittakaavamuoto. Hän vahvisti sen on mahdollista palauttaa minkä tahansa sen koko raja osat. Siitä lähtien matematiikkaa ja fysiikkaa on tutkittu laajasti itse samankaltaiset rakenteet, mukaan lukien fraktaalit.

Fraktaalien koko valikoima on jaettu geometrinen, algebrallinen ja stokastinen.

geometriset fraktaalit näkyvin. Jos geometriset fraktaalit ovat kaksiulotteisia, ne saadaan käyttämällä jotain katkoviivaa (tai pintaa, jos fraktaalit ovat kolmiulotteisia), kutsutaan siemen- tai alkugeneraattoriksi. Algoritmin yhdessä vaiheessa jokainen segmentti, jotka muodostavat katkoviivan, korvataan rikkinäisellä linjageneraattorilla sopivassa mittakaavassa. Tämän menettelyn loputtoman toistamisen seurauksena saadaan geometrinen fraktaali . Kuvat 1.1-1.6 esittävät tunnetuimmat geometriset fraktaalit ja niiden alkuperäiset generaattorit.

Riisi. 1.2. Kochin käyrä (a) ja sen alkuperäinen generaattori (b)

Algebralliset fraktaalit. Tämä on suurin fraktaalien ryhmä. Ne saadaan käyttämällä epälineaarisia prosesseja n-ulotteisissa tiloissa. Kaksiulotteiset prosessit ovat eniten tutkittuja. Kun epälineaarista iteratiivista prosessia tulkitaan diskreetiksi dynaamiseksi järjestelmäksi, voidaan käyttää näiden järjestelmien teorian terminologiaa: vaihemuotokuva, vakaan tilan prosessi, attraktori jne. Tiedetään, että epälineaarisilla dynaamisilla järjestelmillä on useita stabiileja tiloja. Tila, johon dynaaminen järjestelmä on tietyn iteraatiomäärän jälkeen, riippuu sen alkutilasta. Siksi jokaisella vakaalla tilassa (tai, kuten sanotaan, houkuttimella) on tietty alkutilojen alue, josta järjestelmä välttämättä putoaa harkittuihin lopputiloihin. Siten järjestelmän vaiheavaruus on jaettu attraktoreiden vetoalueisiin. Jos vaiheavaruus on kaksiulotteinen, niin värittämällä vetoalueet eri väreillä saadaan värillinen vaihekuva järjestelmästä (iteratiivinen prosessi). Muuttamalla värinvalintaalgoritmia voit saada monimutkaisia ​​fraktaalikuvioita hienoilla monivärisillä kuvioilla. Yllätys matemaatikoille oli kyky luoda erittäin monimutkaisia ​​ei-triviaaleja rakenteita primitiivisten algoritmien avulla. Tämän fraktaaliluokan tyypillisiä edustajia ovat Julia-joukot (kuva 1.7) ja Mandelbrot-joukot (kuva 1.8).

Stokastiset fraktaalit saadaan, jos jokin sen parametreista muuttuu satunnaisesti iteratiivisessa prosessissa. Tämä johtaa esineisiin, jotka ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin luonnolliset: epäsymmetrisiä puita, sisennettyjä rantaviivoja jne. Kaksiulotteisia stokastisia fraktaaleja käytetään maaston ja merenpinnan mallintamiseen.

Fraktaaleilla on muitakin luokituksia, esimerkiksi fraktaalien jako deterministisiin (algebrallinen ja geometrinen) ja ei-deterministisiin (stokastisiin).

testikysymykset

1. Kuka ja milloin esitteli käsitteet "fraktaali" ja "fraktaaligeometria"?

2. Mitä sana "fraktaali" tarkoittaa?

3. Miksi fraktaalit löysivät sovelluksensa ihmisen toiminnassa?

4. Mikä on fraktaalien pääominaisuus?

5. Mihin luokkiin fraktaalit jaetaan?

6. Miten geometriset fraktaalit muodostuvat?

7. Mikä on geometristen fraktaalien alkugeneraattori?

8. Esimerkkejä geometrisista fraktaaleista.

9. Miten algebralliset fraktaalit muodostuvat?

10. Mikä on houkutin?

11. Esimerkkejä algebrallisista fraktaaleista.

12. Miten stokastiset fraktaalit muodostuvat?

13. Esimerkkejä stokastisista fraktaaleista.

Ymmärtääksesi mikä fraktaalimitta on esimerkiksi, harkitse Norjan rannikkoa (kuva 1.9).

Mikä on sen pituus? Kartan mittakaavassa länsirannikon syvät vuodot näkyvät selvästi. Rannikolla kävellessä voi silloin tällöin kohdata kiviä, saaria, lahtia ja kallioita, jotka ovat samankaltaisia, vaikka niitä ei olisikaan merkitty yksityiskohtaisimmilla kartoilla. Ennen kuin vastataan esitettyyn kysymykseen, on päätettävä, sisällytetäänkö saaret rantaviivaan. Entä joet? Missä vuono lakkaa olemasta vuono ja missä se tarkalleen muuttuu joeksi? Näihin kysymyksiin vastaaminen on joskus helppoa, joskus ei. Mutta vaikka pystyisimmekin vastaamaan tyydyttävästi kaikkiin tämänkaltaisiin kysymyksiin, yksi vaikeus on silti olemassa. Tosiasia on, että rantaviivan pituutta mitattaessa kompassille voidaan antaa km vastaava ratkaisu ja laskea kuinka monta askelta tarvittaisiin kulkea karttaa pitkin koko rannikkoa päästä päähän.

Kiireessä voisi valita niin suuren kompassin aukon, ettei syvimmistä vuonoistakaan tarvitsisi huolehtia, ja ottaa arvoksi rantaviivan pituuden. Jos tällainen arvio ei tyydytä, voit valita hieman pienemmän kompassiratkaisun ja toistaa kaikki uudelleen. Tällä kertaa rantaviivan pituus sisältää syvimmät vuonot. Tarkempia karttoja tarvitaan, jotta rantaviivan pituus voidaan laskea entistä tarkemmin. On selvää, että kun tällaisia ​​kysymyksiä ratkaistaan, tarkennuksia voidaan tehdä loputtomasti. Aina kun lisäämme resoluutiota, rantaviivan pituus kasvaa. Lisäksi kompassia käytettäessä tulee ongelmia saarten ja jokien kanssa. Vaihtoehtoinen tapa mitata rantaviivan pituus on peittää kartta ruudukolla, kuten kuvan 1.9 yläosassa näkyy. Olkoon neliöruudukon soluilla mitat. Tällaisten solujen määrä, joka tarvitaan rannikon peittämiseen kartalla, on suunnilleen yhtä monta askelta, jolla voit kiertää kartan rannikkoa kompassilla ratkaisulla. Vähennys lisää rannikon peittämiseen tarvittavien solujen määrää. Jos Norjan rannikolla olisi hyvin määritelty pituus, niin voisi olettaa, että kompassiaskelmien määrä tai rannikon peittämiseen tarvittavien neliösolujen määrä kartalla olisi kääntäen verrannollinen arvoon , ja arvo kun se pienenee, se pyrkii muuttumaan vakioksi. Se ei kuitenkaan ole.

Kuva 1.11 toistaa kaavion (tiedot otettu Mandelbrotin kirjasta What Is the Length of the British Coastline?), joka näyttää rannikkoviivojen ja maarajojen näennäisen pituuden. Kaikki pisteet on kohdistettu (kaksinkertaisella logaritmisella asteikolla) suoria viivoja pitkin. Näiden viivojen kaltevuus on yhtä suuri kuin 1 - D, jossa D on rannikon (tai maarajan) fraktaalimitta. Yhdistyneen kuningaskunnan rannikolla on D~ 1,3. Mandelbrot antaa myös tietoja ympyrästä ja löytää sen.

Testikysymykset:

1. Mikä on kohteen mitat?

2. Mikä on topologinen ulottuvuus?

3. Miten luonnon esineiden fraktaaliulottuvuus määritetään?

4. Mitkä ovat ympyrän fraktaali- ja topologiset mitat,
ympyrä, neliö, pallo ja pallo?

5. Mikä on rantaviivan topologinen ulottuvuus?

Melko usein kuulee puhuttavan eri valuuttojen välisestä yhteydestä Forex-markkinoilla.

Tässä tapauksessa pääkeskustelu tulee yleensä perustavanlaatuisista tekijöistä, käytännön kokemuksesta tai yksinkertaisesti spekulaatiosta, joka johtuu puhujan henkilökohtaisista stereotypioista. Äärimmäisenä tapauksena on hypoteesi yhdestä tai useammasta "maailman" valuutasta, joka "vetää" kaikki muut.

Todellakin, mikä on eri lainausten välinen suhde? Liikkuvatko ne koordinoidusti vai eivät tiedot yhden valuutan liikesuunnasta kerro mitään toisen valuutan liikkeistä? Tämä artikkeli yrittää ymmärtää tätä ongelmaa käyttämällä epälineaarisen dynamiikan ja fraktaaligeometrian menetelmiä.

1. Teoreettinen osa

1.1. Riippuvat ja riippumattomat muuttujat

Tarkastellaan kahta muuttujaa (lainausmerkkejä) x ja y. Milloin tahansa näiden muuttujien hetkelliset arvot määrittelevät pisteen XY-tasolla (kuva 1). Pisteen liike ajassa muodostaa lentoradan. Tämän liikeradan muoto ja tyyppi määräytyvät muuttujien välisen suhteen tyypin mukaan.

Esimerkiksi jos x-muuttuja ei liity millään tavalla y-muuttujaan, emme näe mitään säännöllistä rakennetta: riittävällä määrällä pisteitä ne täyttävät XY-tason tasaisesti (kuva 2).

Jos x:n ja y:n välillä on suhde, niin jokin säännöllinen rakenne tulee näkyviin: yksinkertaisimmassa tapauksessa se on käyrä (kuva 3),

Kuva 3. Korrelaatioiden esiintyminen-käyrä

vaikka rakenne voi olla monimutkaisempi (kuva 4).

Sama pätee kolmiulotteiseen tai moniulotteiseen avaruuteen: jos kaikkien muuttujien välillä on yhteys tai riippuvuus, niin pisteet muodostavat käyrän (kuva 5), ​​jos joukossa on kaksi riippumatonta muuttujaa, niin pisteet muodostavat pinnan (kuva 6) , jos kolme - niin pisteet täyttävät kolmiulotteisen tilan jne.

Jos muuttujien välillä ei ole yhteyttä, pisteet jakautuvat tasaisesti kaikille saatavilla oleville mitoille (kuva 7). Näin ollen voimme arvioida muuttujien välisen suhteen luonnetta määrittämällä kuinka pisteet täyttävät tilan.

Lisäksi tuloksena olevan rakenteen muodosta (viivat, pinnat, kolmiulotteiset hahmot jne.) tässä tapauksessa ei ole väliä.

Tärkeä fraktaali ulottuvuus tämä rakenne: viivan mitta on 1, pinnan mitta 2, tilavuusrakenteen mitta 3 ja niin edelleen. Yleensä voidaan ajatella, että fraktaalidimension arvo vastaa riippumattomien muuttujien määrää tietojoukossa.

Voimme tavata myös murto-osan, esimerkiksi 1,61 tai 2,68. Tämä voi tapahtua, jos tuloksena oleva rakenne on fraktaali- itsestään samankaltainen joukko ei-kokonaislukumittauksella. Esimerkki fraktaalista on esitetty kuvassa 8, sen mitta on suunnilleen 1,89, ts. se ei ole enää viiva (ulottuvuus 1), mutta ei vielä pinta (ulottuvuus 2).

Fraktaaliulottuvuus voi olla erilainen samalle joukolle eri mittakaavassa.

Esimerkiksi, jos katsot kuvassa 9 esitettyä joukkoa "kaukaa", näet selvästi, että tämä on viiva, ts. tämän joukon fraktaaliulottuvuus on yhtä suuri kuin yksi. Jos katsomme samaa joukkoa "lähellä", huomaamme, että tämä ei ole ollenkaan viiva, vaan "epämääräinen putki" - pisteet eivät muodosta selkeää viivaa, vaan ne kerätään satunnaisesti sen ympärille. Tämän "putken" fraktaalimitan tulisi olla yhtä suuri kuin sen tilan mitta, jossa tarkastelemme rakennettamme, koska "putken" pisteet täyttävät kaikki saatavilla olevat mitat tasaisesti.

Fraktaalimitan kasvattaminen pienissä mittakaavassa mahdollistaa sen koon määrittämisen, jossa muuttujien väliset suhteet tulevat erottumattomiksi järjestelmässä esiintyvän satunnaisen kohinan vuoksi.

Kuva 9. Esimerkki fraktaali "putkesta"

1.2. Fraktaaliulottuvuuden määritelmä

Fraktaalimitan määrittämiseen voidaan käyttää laatikkolaskenta-algoritmia, joka perustuu joukon pisteitä sisältävien kuutioiden lukumäärän riippuvuuden tutkimukseen kuution reunan koosta (tässä emme välttämättä tarkoita kolmiulotteista kuutiot: yksiulotteisessa avaruudessa "kuutio" on segmentti, kaksiulotteisessa avaruudessa - neliö jne. .d.).

Teoreettisesti tämä riippuvuus on muotoa N(ε)~1/ε D , jossa D on joukon fraktaalimitta, ε on kuution reunan koko, N(ε) on niiden kuutioiden lukumäärä, jotka sisältävät joukon pisteitä. joukko kuution koolla ε. Tämän avulla voimme määrittää fraktaaliulottuvuuden

Menemättä algoritmin yksityiskohtiin, sen toimintaa voidaan kuvata seuraavasti:

Tutkittava pistejoukko jaetaan ε-kokoisiksi kuutioiksi ja lasketaan niiden kuutioiden lukumäärä N, jotka sisältävät vähintään yhden joukon pisteen.

Eri e:lle määritetään vastaava N:n arvo, ts. tiedot kerätään kuvaamaan riippuvuus N(e).

Riippuvuus N(ε) muodostetaan kaksoislogaritmisiksi koordinaatteiksi ja määritetään sen kaltevuuskulma, joka tulee olemaan fraktaalimitan arvo.

Esimerkiksi kuvassa 10 on kaksi sarjaa: litteä kuva (a) ja viiva (b). Asetuspisteitä sisältävät solut näkyvät harmaina. Laskemalla eri solukokoisten "harmaiden" solujen lukumäärän saadaan kuvan 11 mukaiset riippuvuudet. Määrittämällä näitä riippuvuuksia approksimoivien suorien kaltevuuden saadaan fraktaalimitat: Dа≈2, Db≈1.

Käytännössä fraktaalimitan määrittämiseen ei yleensä käytetä laatikkolaskentaa, vaan Grassberg-Procaccia-algoritmia, koska se antaa tarkempia tuloksia suuriulotteisissa tiloissa. Algoritmin ideana on saada riippuvuus C(ε) - todennäköisyys, että joukon kaksi pistettä putoaa e-kokoiseen soluun solun koosta ja määrittää tämän riippuvuuden lineaarisen leikkauksen kaltevuuden.

Valitettavasti ulottuvuuden määritelmän kaikkien näkökohtien tarkastelu on mahdotonta tämän artikkelin puitteissa. Halutessasi voit löytää tarvittavat tiedot erikoiskirjallisuudesta.

1.3. Esimerkki fraktaaliulottuvuuden määrittämisestä

Varmistaaksemme ehdotetun tekniikan toimivuuden, yritetään määrittää melutaso ja riippumattomien muuttujien lukumäärä kuvassa 9 esitetylle joukolle. Tämä kolmiulotteinen joukko koostuu 3000 pisteestä ja on viiva (yksi riippumaton muuttuja), jossa on kohinaa päällekkäin sen päälle. Kohinan normaalijakauma RMS on 0,01.

Kuva 12 esittää C(ε)-riippuvuuden logaritmisella asteikolla. Siinä näemme kaksi lineaarista leikkausta, jotka leikkaavat pisteessä ε≈2 -4,6 ≈0,04. Ensimmäisen suoran kaltevuus on ≈2,6 ja toisen on ≈1,0.

Saadut tulokset tarkoittavat, että testijoukossa on yksi riippumaton muuttuja asteikolla, joka on suurempi kuin 0,0, ja "lähes kolme" riippumatonta muuttujaa tai aliasoitua kohinaa asteikolla alle 0,04. Tämä on hyvin sopusoinnussa alkuperäisen tiedon kanssa: "kolmen sigman" säännön mukaan 99,7% pisteistä muodostaa "putken", jonka halkaisija on 2*3*0,01≈0,06.

Kuva 12. Riippuvuus C(e) logaritmisella asteikolla

2. Käytännön osa

2.1. Alkutiedot

Forex-markkinoiden fraktaaliominaisuuksien tutkimiseen käytettiin julkisesti saatavilla olevia tietoja,kattaa ajanjakson 2000–2009 mukaan lukien. Tutkimus tehtiin seitsemän suuren valuuttaparin päätöskursseista: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Toteutus

Algoritmit fraktaaliulottuvuuden määrittämiseen on toteutettu MATLAB-ympäristön funktioina professori Michael Smallin (Dr Michael Small) kehitykseen perustuen. ). Toiminnot ja käyttöesimerkit ovat saatavilla tämän artikkelin liitteenä olevassa frac.rar-arkistossa.

Laskelmien nopeuttamiseksi aikaa vievin vaihe suoritetaan C-kielellä. Ennen kuin voit käyttää sitä, sinun on käännettävä C-funktio "interbin.c" MATLAB-komennolla "mex interbin.c".

2.3. Tutkimustulokset

Kuva 13 esittää EURUSD:n ja GBPUSD:n yhteisen liikkeen vuosina 2000–2010. Itse lainausarvot on esitetty kuvissa 14 ja 15.

Kuvassa 13 esitetyn joukon fraktaalimitta on noin 1,7 (kuva 16). Tämä tarkoittaa, että EURUSD + GBPUSD liike ei muodosta "puhdasta" satunnaista kävelyä, muuten ulottuvuus olisi yhtä suuri kuin 2 (satunnaisen kävelyn ulottuvuus kahdessa tai useammassa ulottuvuudessa on aina 2).

Kuitenkin, koska lainausten liike on hyvin samanlainen kuin satunnainen kävely, emme voi suoraan tutkia itse noteerausten arvoja - kun uusia valuuttapareja lisätään, fraktaaliulottuvuus muuttuu hieman (taulukko 1) eikä siitä voi tehdä johtopäätöksiä.

Taulukko 1. Dimensiomuutos valuuttojen määrän lisääntyessä

Saadaksesi mielenkiintoisempia tuloksia, sinun tulee siirtyä itse lainauksista niiden muutoksiin.

Taulukossa 2 on esitetty dimensioarvot eri lisäysväleille ja eri valuuttaparien lukumäärälle.

	Päivämäärät	Pisteiden määrä	EURUSD GBPUSD	+USDJPY	+USDUSD	+ USDCHF	+USDCAD	+NZDUSD
M5	14. elokuuta 2008 - 31. joulukuuta 2009	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18.11.2005 - 31.12.2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	16.11.2001 - 31.12.2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	3. tammikuuta 2000 - 31. joulukuuta 2009	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	3. tammikuuta 2000 - 31. joulukuuta 2009	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	3. tammikuuta 2000 - 31. joulukuuta 2009	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

Taulukko 2. Mittojen muutos eri välein

Jos valuutat ovat yhteydessä toisiinsa, niin jokaisen uuden valuuttaparin lisäämisen myötä fraktaaliulottuvuuden pitäisi kasvaa yhä vähemmän ja sen seurauksena lähentyä tiettyyn arvoon, joka näyttää "vapaiden muuttujien" määrän valuuttamarkkinoilla .

Lisäksi, jos oletetaan, että "markkinamelu" on päällekkäin tarjousten päällä, niin pienin väliajoin (M5, M15, M30) on mahdollista täyttää kaikki saatavilla olevat mittaukset kohinalla, ja tämän vaikutuksen pitäisi heiketä suurilla aikajaksoilla, "paljastaen" lainausmerkkien väliset riippuvuudet (samalla tavalla kuin testiesimerkissä).

Kuten taulukosta 2 voidaan nähdä, tämä hypoteesi ei vahvistunut todellisilla tiedoilla: kaikilla aikajaksoilla sarja täyttää kaikki saatavilla olevat mittaukset, ts. Kaikki valuutat ovat toisistaan ​​riippumattomia.

Tämä on jossain määrin vastoin intuitiivisia uskomuksia valuuttojen yhteydestä. Vaikuttaa siltä, ​​että läheisten valuuttojen, kuten GBP ja CHF tai AUD ja NZD, pitäisi näyttää samanlaista dynamiikkaa. Esimerkiksi kuva 17 esittää NZDUSD-lisäysten riippuvuuden AUDUSD:sta viiden minuutin (korrelaatiokerroin 0,54) ja päivittäisen (korrelaatiokerroin 0,84) välein.

Kuva 17. NZDUSD:n lisäysten riippuvuudet AUDUSD:sta M5 (0,54) ja D1 (0,84) -väleillä

Tästä kuvasta voidaan nähdä, että intervallin kasvaessa riippuvuus venyy yhä enemmän diagonaalisesti ja korrelaatiokerroin kasvaa. Mutta fraktaaliulottuvuuden "näkökulmasta" kohinataso on liian korkea, jotta tätä riippuvuutta voitaisiin pitää yksiulotteisena viivana. Ehkä pidemmillä aikaväleillä (viikkoja, kuukausia) fraktaalimitat konvergoivat tiettyyn arvoon, mutta meillä ei ole mitään keinoa tarkistaa tätä - ulottuvuuden määrittämiseen on liian vähän pisteitä.

Johtopäätös

Tietysti olisi mielenkiintoisempaa vähentää valuuttojen liikettä yhteen tai useampaan riippumattomaan muuttujaan - tämä yksinkertaistaisi huomattavasti markkinoiden houkuttimen palauttamista ja hintatarjousten ennustamista. Mutta markkinat näyttävät toisenlaisen tuloksen: riippuvuudet ovat heikosti ilmaistuja ja "hyvin piilossa" suuressa melussa. Tässä suhteessa markkinat ovat erittäin tehokkaat.

Epälineaarisen dynamiikan menetelmät, jotka osoittavat jatkuvasti hyviä tuloksia muilla aloilla: lääketieteessä, fysiikassa, kemiassa, biologiassa jne., vaativat erityistä huomiota ja tulosten huolellista tulkintaa markkinanoteerauksia analysoitaessa.

Saatujen tulosten perusteella ei voida yksiselitteisesti todeta valuuttojen välisen suhteen olemassaoloa tai puuttumista. Voimme vain todeta, että tarkasteltavilla aikaväleillä melutaso on verrattavissa yhteyden "vahvuuteen", joten kysymys valuuttojen välisestä yhteydestä jää avoimeksi.

Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta

Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.

Isännöi osoitteessa http://www.allbest.ru/

Testata

Fraktaalipintojen mitat

1. Johdatus ulottuvuuteen

3. Luonnonfraktaalit

6. Fraktaaliulottuvuus

7. Samankaltaisuus ja skaalaus

9. Hurst-eksponentti

Bibliografia

1. Johdatus ulottuvuuteen

Muokatun pinnan tärkeä ominaisuus standardikarheusparametrien ohella on fraktaalimitta. Tarkastellaan yhtä menetelmää pinnan fraktaalimitan määrittämiseksi "kehä-ala" -suhteella.

Kuten tiedetään, pisteen euklidinen ulottuvuus on DE=d=0. Etsitään geometristen kuvioiden mitat ottamalla esimerkkinä pallon halkaisijaleikkaus, jonka säde on r:

pituus (halkaisija) L = 2r (L = Vd = 1),

leikkauspinta-ala A=r2 (A=Vd=2),

pallon tilavuus V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Nämä tunnetut mitatut suureet voidaan määrittää yleisellä kaavalla

missä G(x)? gammafunktio yhtä suuri kuin

Jos n? kokonaisluku siis

kohdassa n = 0,1,2,…

2. Geometristen esineiden mitat

Fraktaaliobjektin ulottuvuus määritetään fraktaalin käsitteen perusteella. Fraktaali on joukko, jonka Hausdorff-Besikovich-mitta on ehdottomasti suurempi kuin topologinen ulottuvuus. Fraktaalin ulottuvuus on murto-osa.

Kaksiulotteisessa tapauksessa fraktaalikäyrä saadaan käyttämällä jotain katkoviivaa (tai pintaa kolmiulotteisessa tapauksessa), jota kutsutaan generaattoriksi. Algoritmin yhdessä vaiheessa jokainen katkoviivan muodostava segmentti korvataan katkoviivalla - generaattorilla, sopivassa mittakaavassa. Tämän menettelyn loputtoman toistamisen seurauksena saadaan geometrinen fraktaali.

Tarkastellaanpa yhtä sellaisista fraktaaliobjekteista - triadista Koch-käyrää. Käyrän rakentaminen alkaa yksikköpituisesta segmentistä (kuva 1) tämä on käyrän 0. sukupolvi.

Riisi. 1. Menettely Koch-käyrän muodostamiseksi

Lisäksi jokainen linkki (yksi segmentti nollasukupolvessa) korvataan generoivalla elementillä, jota merkitään n=1. Tällaisen vaihdon tuloksena saadaan Koch-käyrän seuraava sukupolvi. Ensimmäisessä sukupolvessa tämä on neljän suoran lenkin käyrä, joista jokaisen pituus on 1/

Kolmannen sukupolven saamiseksi suoritetaan samat toiminnot: jokainen linkki korvataan pienennetyllä muodostuselementillä. Joten jokaisen seuraavan sukupolven saamiseksi kaikki edellisen sukupolven linkit on korvattava supistetulla muodostuselementillä.

Kochin käyrä on rakenne, joka koostuu osista, jotka ovat jossain mielessä samanlaisia ​​kuin kokonaisuus. Tällaisia ​​geometrisia esineitä kutsutaan itsekaltaisiksi esineiksi. Tämä tarkoittaa, että topografiset piirteet ja objektien toistot ovat samat monilla mittakaava-alueilla.

Joten Koch-käyrälle valitsemalla fragmentin, joka on yhtä suuri kuin 1/3 viivasegmentistä, jonka pituus on yksi, ja lisäämällä sitä kolme kertaa, saamme alkuperäisen segmentin, joka on yhtä suuri. Tällaisilla kohteilla on skaalaus- tai mitta-asteikko.

Kuvassa Kuva 1 esittää käyrän kolme sukupolvea. Jos otamme pohjaksi ei suoraa, vaan kolmiota ja käytämme samaa algoritmia jokaiselle sivulle, niin saadaan fraktaalin nimi, Kochin lumihiutale (saari) (kuva 2).

Riisi. 2. Saari ("lumihiutale") Koch

Seuraavia sukupolvia rakennettaessa sääntö täyttyy: aivan ensimmäinen vasemmanpuoleinen linkki korvataan generoivalla elementillä siten, että linkin keskiosa siirtyy liikesuunnan vasemmalle, ja seuraavia linkkejä vaihdettaessa suunnat segmenttien keskipisteiden siirtymän tulisi vaihdella. Kuvassa Kuva 2 esittää kuvatun periaatteen mukaisesti muodostetun käyrän ensimmäiset sukupolvet.

Rajavaa fraktaalikäyrää (n > ?) kutsutaan Harter-Hatewayn "lohikäärmeeksi" (kuva 3). Kuvassa Kuvassa 4 on puolalaisen matemaatikon Sierpinskin "matto".

Riisi. 3. Menettely "lohikäärmeen" "Harter-Hatewayn" rakentamiseksi

Riisi. 4. Sierpinskin "maton" rakentaminen

3. Luonnonfraktaalit

Pilvillä, vuorilla, pensailla, puilla ja muilla kasveilla on myös fraktaalirakenne. Harkitse pensaan kasvuprosessia (kuva 5). Ensin ilmestyi oksa, sitten se vapautti kaksi versoa, seuraavassa vaiheessa jokainen verso haarautui uudelleen, sama tapahtuu seuraavassa vaiheessa, ja seurauksena alkuperäisestä "haarukasta" kasvaa outo itsekseen samanlainen kasvi. kaksi versoa.

Riisi. 5. Bush-malli

Se saatiin toistamalla toistuvasti alkuperäistä standardia (n = 1). Kuvassa Kuvissa 5 ja 6 on esimerkkejä luonnonmuodostelmien kaltaisten fraktaaliobjektien rakentamisesta (kuva 7).

Riisi. 6. Fraktaaliobjektin rakentaminen

Riisi. 7. Luonnolliset fraktaaliesineet:

a - munuaiskiipeilijä; b? tammi; sisään? cudweed; g - korte

4. Hausdorff-Besikovich-ulottuvuus

Hausdorff-Besikovich-ulottuvuuden arvioimiseksi harkitse pistejoukon mittaamista? metrinen avaruus (kuva 8).

Riisi. 8. Pisteet metriavaruudessa

Jaetaan tila neliösoluihin, joiden solusivun koko on q, ja lasketaan tämän joukon peittävien solujen määrä. Solun koon pienentäminen johtaa joukon peittävien solujen lukumäärän kasvuun. Jokaisella solulla on alue q2, sitten joukon pinta-ala

missä N(q) on joukon peittävien solujen lukumäärä.

Harkitse joitain joukkoa luonnehtivia määriä. Siten pinnan "pituus" määräytyy lausekkeen mukaan

Koska silloin pinnan "pituus", joka määräytyy rajan kulkemisen perusteella, on yhtä suuri:

Pinta "tilavuus"

Siten joukon "pituus" pyrkii äärettömyyteen, ja "tilavuus"? nollaan.

Pistejoukon "arvon" (pituus, tilavuus) ominaisuudet? käytetään jotain testifunktiota, joka määrittää solun mitat: pituus kohdassa d=1, pinta-ala kohdassa d=2, tilavuus kohdassa d= "Arvo", vai joukon mitta? määritellään kaikkien metriavaruuden kattavien solujen "arvojen" summana?:

Vakio riippuu solujen muodosta (neliösolulle).

Joillekin eksponenteille d mitta Md arvolle q > 0 on joko nolla tai ääretön tai jokin (ei välttämättä kokonaisluku) äärellinen positiivinen luku. Arvo d, jossa mitta Md ei ole nolla tai ääretön, heijastaa riittävästi joukon topologista ulottuvuutta?.

Numero dcr on sellainen

kutsutaan Hausdorff-Besikovich-ulottuvuudeksi.

"Yksinkertaisten" (ei-fraktaalien) geometristen kohteiden osalta Hausdorff-Besikovitsin ulottuvuus on sama kuin topologinen ulottuvuus. Fraktaaliobjekteilla mittarin Md hyppy nollasta äärettömään tapahtuu d:n murto-arvoilla.

Olkoon funktion N(q) riippuvainen q:sta potenssisingulaarisuuden ollessa nolla

missä b(d)dd >0, kun q>0.

Kirjoitamme äärettömän pieniin arvoihin asti

Näin ollen meillä on

5. Epätasaisen (katkonaisen) viivan pituuden mittaaminen

Kuinka mitata rantaviivan pituus?

Harkitse seuraavia suhteellisen yksinkertaisia ​​mittausmenetelmiä.

Merkitsemme mitatun osan alun ja lopun pisteillä A ja B (kuva 9).

Riisi. 9. Viivan pituuden mittaaminen kompassiratkaisulla tai ruudukon avulla

Yksi pituuden mittausmenetelmistä on seuraava.

Mittaamme pisteestä A pisteeseen B kulkevan suoran pituuden segmenteillä, joiden pituus on d.

Laskettuamme segmenttien lukumäärän, löydämme pituuden. Kompassin q aukon pienentyessä segmenttien lukumäärä N(q) kasvaa. Tyypillinen L(q):n riippuvuus q:stä logaritmisissa koordinaateissa on esitetty kuvassa 1. kymmenen.

Riisi. 10. Katkoviivan (rantaviivan) mitatun pituuden riippuvuus asteikosta (segmentin pituus d)

Käsittelemättä tämän menetelmän puutteita, varsinkin kun määritetään karkean pintaprofiilin fraktaalimitta, harkitaan toista (vaihtoehtoista) menetelmää.

Peitetään tarkasteltava alue neliöruudukolla (kuvan 9 oikea puoli) ja lasketaan tarkasteltavana olevan viivan peittävien solujen määrä.

Solujen koon pienentäminen johtaa AB-linjan peittävien solujen lukumäärän kasvuun. On odotettavissa, että mittauskompassin askelmäärä tai viivan peittävien solujen lukumäärä on kääntäen verrannollinen d:een tai d*x d*:iin ja arvolla on taipumus olla vakioarvo annetulla viivalla L(d) . Kuitenkin, kun q tai ruudukon solujen koko pienenee, viivan pituus ei yleensä muutu vakioarvoksi. Kun q > 0, mitattu pituus kasvaa jatkuvasti, ts. arvolle q>0 L(q):n arvo ei ole raja.

Mitattu viivan pituus voidaan kuvata seuraavalla likimääräisellä kaavalla:

missä D on suoran fraktaalimitta.

On helppo osoittaa, että suoralla ja esimerkiksi ympyrällä D=1. Ympärysmitta, jossa q pienenee, pyrkii vakioarvoon, joka on yhtä suuri kuin 2pR, missä R on ympyrän säde.

fraktaalimitan pinnan skaalaus

6. Fraktaaliulottuvuus

B. B. Mandelbrot ehdotti seuraavaa fraktaalin määritelmää. Fraktaali on joukko, jonka Hausdorff-Besikovich (Kh-B) -ulottuvuus on ehdottomasti suurempi kuin sen topologinen ulottuvuus (E. Feder, 1991). Ei-tiukka määritelmä, joka ei vaadi joukon, XB-ulottuvuuden, topologisen ulottuvuuden käsitteiden selventämistä, on muotoiltu seuraavasti: fraktaali? se on rakenne, joka koostuu osista kuin kokonaisuus. Tai vielä yksinkertaisempi: fraktaali on rakenne, jolla on murto-osa.

Segmenttien lukumäärän q (tai viivan peittävien solujen lukumäärän) riippuvuutta N(q) segmentin koosta (tai solujen koosta) kuvaa seuraava relaatio kertoimeen asti:

missä D on fraktaalimitta.

Jos piirretään lgN(d)-lg(d) -riippuvuus, niin fraktaalimitta on yhtä suuri kuin graafin kaltevuus eli kaltevuus.

Mitta, joka määritetään laskemalla viivan peittävien solujen (solujen) lukumäärä solun koosta riippuen, kutsutaan soludimensioksi.

Pinnan fraktaalimitta. Peitetään pinnan tutkittu alue identtisten kolmioiden järjestelmällä ja lasketaan kokonaispeittoalue, joka on yhtä suuri kuin

missä AD on kolmion pinta-ala. Jaetaan saatu pinta-ala todellisen pinnan tasolle nimellispinta-alaprojektion arvolla, joka määräytyy tutkittavan alueen geometristen ääriviivojen mukaan.

Sitten, kun on piirretty kaksinkertaisilla logaritmisilla koordinaatteilla pinnoitteen suhteellisen alueen riippuvuus päällyselementin pinta-alasta, on mahdollista löytää tietyllä alueella elementin alueen muutoksia, suoran kaltevuus tai kaltevuus, jonka arvo otetaan miinusmerkillä.

Laskennan tuloksena saadaan pinnan fraktaalimitta, joka on yhtä suuri kuin

Pinnan fraktaalimitta vaihtelee 2:n sisällä

7. Samankaltaisuus ja skaalaus

Määritetään geometrinen samankaltaisuus.

Kahta geometristä kuviota kutsutaan samanlaisiksi, jos: 1) kummankin kahden suoran välinen kulma on yhtä suuri kuin toisen vastaavien viivojen välinen kulma ja 2) jokainen suoran jana toisessa on vakiossa suhteessa vastaava viivan segmentti toisessa.

Näin ollen kaksi monikulmiota ovat samanlaisia, jos niiden vastaavat kulmat ovat yhtä suuret ja näitä kulmia ympäröivien sivujen pituudet ovat verrannollisia.

Geometrisen samankaltaisuuden lisäksi mallinnusmenettelyjen taustalla olevilla mekaanisilla ilmiöillä on kinemaattisia ja dynaamisia yhtäläisyyksiä.

Suora viiva rinnakkaisella käännöksellä pysyy itsestään.

Voidaan väittää, että viiva on invariantti rinnakkaiskäännöksen ja skaalauksen (skaalauksen) aikana, ts. hän on itsensäkaltainen.

Siten skaalaus heijastaa asteikon invarianssia.

Yksikköpituiselle suoralle segmentille voit valita samankaltaisuuskertoimen

jossa N on mikä tahansa kokonaisluku (N>1).

Tason suorakaiteen muotoinen leikkaus voidaan peittää supistetuilla kopioilla, jos niiden pituutta muutetaan r(N)=(1/N)1/2 kertaa.

Vastaavasti suorakaiteen muotoinen suuntaissärmiö voidaan peittää sen pienemmillä kopioilla valitsemalla mittakerroin r(N)=(1/N)1/ Yleisessä tapauksessa mittakerroin tulee valita yhtä suureksi kuin

missä d on samankaltaisuusmitta, yhtä suuri kuin 1 suoralle, 2 tasolle ja 3 kolmiulotteisille kuvioille.

Fraktaaligeometrisille rakenteille samankaltaisuusmitta Dp määräytyy lausekkeen avulla

8. Itsesamankaltaisuus ja -affiniteetti

Otetaan esimerkkinä Brownin hiukkasen liike. Sen koordinaatit tasossa (x, y) ja aika (t) ovat fyysisiä suureita, joilla on eri mitat. Siksi koordinaateilla ja kellonajoilla on erilaiset samankaltaisuuskertoimet. Affiinimuunnos muuttaa pisteen x=(x1,x2,…,xE) uudeksi pisteeksi x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), jossa kaikki samankaltaisuuskertoimet r1, …,rE eivät ole samat. .

Omakohtaista profiilia varten voi kirjoittaa

Tässä b on suurennusasteikko; H-eksponentti (Hurst-eksponentti).

Hurst-eksponentti muuttuu alueella 0

9. Hurst-eksponentti

Hurst-eksponentti mahdollistaa mittaussarjan fraktaaliulottuvuuden määrittämisen, erityisesti sitä käytettiin työkaluna aallonkorkeuksien tilastolliseen estimointiin [E. Feder]. Hurst-eksponentin ja aallon ja pinnan korkeuksien fraktaalimittojen välisen suhteen katsotaan muodostuneen, mikä ilmaistaan ​​seuraavilla yksinkertaisilla profiilin ja pinnan suhteilla: D=2-H; DS = 3-H. Harkitse menetelmää Hurst-eksponentin määrittämiseksi.

1. Etsi N korkeutta ulkonemien H=(h1, h2,…,hN)T ja määritä näiden korkeuksien suhteelliset arvot x1, x2,…, xN, xi, missä. Jos ulkonemien korkeudet noudattavat beeta-jakaumaa, arvot хi хi.

2. Etsi otoksen keskiarvo (ulokkeiden N korkeudesta).

Määritä kertynyt poikkeama

Kuviossa 1 on esitetty kaavio kumuloituneen poikkeaman muutoksista niiden ulkonemien korkeuksille, joiden beeta-jakauma on N=50. yksitoista.

Riisi. 11. Kertyneen poikkeaman X(n,N) riippuvuus N:stä

Kaaviosta löydämme alueen R.

4. Laske keskihajonta? ulkonemien suhteellisten korkeuksien keskihajonnan näyte

5. Edustamme Hurst-eksponentista riippuvaa suhdetta R/S muodossa

jossa H on Hurst-eksponentti.

Edustavalla ulkonemien korkeuksien otoksella eksponentti H voidaan löytää käyttämällä yllä olevaa empiiristä Hurst-lauseketta. On mielenkiintoista löytää R/S:n riippuvuus tarkasteltujen ulkonemien lukumäärästä N. Tämä riippuvuus logaritmisissa koordinaateissa on suora, jonka kaltevuus määräytyy Hurst-eksponentin avulla. Ulkonemien korkeuksien suhteellisten arvojen sarjan fraktaalimitta on yhtä suuri kuin D=2-H.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä. Pintaprofiilin ordinaatit (10 µm askeleella) otettiin lähtötiedoksi. Reitin pituus oli 800 µm. Ordinaattien pystysuurennus oli 50 000. Kuvassa Kuvassa 12 on esitetty pintaprofiili (käyrä 1) ja ordinaattien kumuloitunut poikkeama keskiviivasta (käyrä 2).

Riisi. 12. Pintaprofiili (1) ja ordinaattien kumuloitunut poikkeama (2) profiilin keskiviivasta

Alue riippuu profilogrammin arvioidusta pituudesta (ordinaattalukujen määrä). On selvää, että vaihteluväli kasvaa kasvaessa. Lausekkeen (R/S) määrittämän normaalialueen riippuvuus on esitetty logaritmisina koordinaatteina tarkasteltavalle teräspinnalle kuvassa 1. yksi.

Riisi. 13 Normalisoidun alueen menetelmä profiilin fraktaalimitan arvioimiseksi

Harkitse algoritmia Hurst-eksponentin määrittämiseksi pienimmän neliösumman menetelmällä (LSM). Etsimme regressioyhtälöä muodossa

jossa y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(f/2).

Syöte: N (pisteiden määrä), (оi, зi), i=1,2,…,N (pisteiden koordinaatit)

Tulos: b=lg(a) (siirto), m=H (kallistus)

Algoritmi:

Kuvassa esitetty riippuvuuden approksimoiva funktio. 13, on muodon tehoriippuvuus:

Siten Hurst-eksponentti on yhtä suuri kuin H=0,35 ja profiilin fraktaalimitta on D=2 H=2 0,35=1,65.

Tilastollinen itseaffiniteetti johtuu profiilin ulkonäön samankaltaisuudesta eri mittakaavassa. Toisin sanoen karkea pinta on aina epätasainen, kun sitä tarkastellaan eri suurennoksilla.

Klo 0.5

Klo 0

Esimerkkinä kuvassa Kuvassa 14 on esitetty aikasarjan järjestys (tai karkean pintaprofiilin ordinaatit) ja normalisoidun alueen riippuvuus ajasta (profiilin pituus).

Riisi. 14. Ordinaattien järjestys ja normalisoidun alueen riippuvuus pituudesta

Huomio kiinnitetään Hurst-eksponentin erilaisiin arvoihin R/S-analyysin kolmessa osassa. Pienellä määrällä elementtejä Hurst-eksponentti on lähellä yksikköä eikä heijasta aivan kohteen fraktaalirakennetta.

Sayles ja Thomas (R.S. Sayles, T.R. Thomas) mittasivat ja analysoivat erilaisten esineiden pinnan karheutta, mukaan lukien tekniset metallipinnat.

Pintakorkeus z mitattiin eri pisteistä x jossain suunnassa. Kun koko pinta-alalta on tehty suuri määrä mittauksia, on mahdollista laskea dispersion määräämä pinnan karheus:

Tässä kulmasulkeet osoittavat pintatopografian keskiarvoa useiden (joskus useiden toistuvien) mittaussarjojen aikana. Pystysuora vertailupiste valitaan siten, että

Tärkeä pinnan tilastollisten ominaisuuksien mitta on suhteella määritelty korrelaatiofunktio:

Kiinteillä pinnoilla korrelaatiofunktio voidaan ilmaista tehospektrin G() avulla käyttämällä Fourier-muunnosta.

Tässä u on taajuus.

Karkealla pinnalla integroinnin ala- ja ylärajat vastaavat arvoja u min ja u max.

Taajuusestimaattia luonnehtivat ensimmäinen ja toinen jako (kuva 1.3).

Itsesaffiiniselle tai itsesamankaltaiselle pintaprofiilille spektritiheydellä on potenssilain muoto

Tässä f on näytteenottotaajuus; a ja b ovat regressiokertoimia.

Kerrointa a kutsutaan karheuskertoimeksi ja b kuvaa profiilin fraktaalimittausta.

10. "Kehä-ala"-suhde

Verrataan ei-fraktaalien (taulukko 1) ja fraktaalien geometristen kohteiden "kehä-ala" -suhdetta.

1. Ei-fraktaaliobjektit.

Taulukko 1. Suhde "kehä - alue" euklidisessa geometriassa

2. Fraktaaliobjektit.

Analogisesti ei-fraktaaliobjektien kanssa kirjoitamme muotoon "kehä-ala" -suhteen

Tässä P on ympärysmitta; A - alue; R(d) - mittausasteikosta riippuva parametri (neliön solukoko); D - "rannikko" -viivan fraktaalimitta (1< D < 2).

Ottaen huomioon, että kehän määrää lauseke

kirjoitamme relaatio (1) muotoon

Tässä c on kerroin.

Kehyksen muutos eri mitta-asteikoilla määritetään kaavalla

Relaatio (2) ilmaisee "saarten" itsensä samankaltaisuuden ehdon fraktaalirajojen kanssa (tässä tapauksessa mitta-asteikon q on oltava riittävän pieni pienimmän saaren alueen mittaamiseksi tarkasti).

Otetaan suhteen (2) logaritmi

Muuntamalla tuloksena olevaa lauseketta kirjoitamme:

Kuvassa Kuva 15 esittää "kehä-alue" -riippuvuutta, esitettynä logaritmisina koordinaatteina.

Kuvassa näkyvän suoran kaltevuus. 15 on yhtä suuri kuin 2/D.

Riisi. 3.15. Riippuvuus "alue - ympärysmitta"

Lausekkeen (3) analyysi osoittaa, että arvo

2lg(c1/Dd1-D)/D),

joka riippuu mitta-asteikosta q, voidaan jättää huomiotta, koska riittävän suurella mitta-asteikolla "saaresta" tulee ei-fraktaalikohde. Todellakin, kun D=DE=1 ja asteikolla c=1, meillä on:

Kirjoitetaan vihdoin ylös

Lausekkeesta (4) löydämme "rannikko" -viivan fraktaaliulottuvuuden

Kaavio (kuva 15), joka on rakennettu kaksoislogaritmisille koordinaateille, heijastaa itsesamalaisuusehtoa ja mahdollistaa fraktaaliulottuvuuden löytämisen.

Fraktaalimitan määritysmenettely on peittää fraktaaliobjekti? "saaret" - neliöruudukko, jonka solukoko on d.

Tässä tapauksessa kuvion ympärysmitta ja pinta-ala voidaan määrittää kaavoilla

missä on "rannikko"-viivan täyttämien solujen lukumäärä; - "saaren" alueen kattavien solujen lukumäärä.

Näin ollen laskennan jälkeen ja kaavojen (5) ja (4) mukaisesti lasketaan fraktaalimitta D.

Pinnan fraktaalimitan määrittämiseksi käytämme B. Mandelbrotin ehdottamaa lähestymistapaa

11. Fraktaalipintojen mitat

Kehä-alue-suhdetta käytetään luonnehtimaan erilaisia ​​fraktaaliobjekteja, joita käytetään monenlaisissa tieteellisissä ja teknisissä ongelmissa.

Erityisesti tätä suhdetta käytetään tehokkaasti töissä, jotka luonnehtivat teräksen murtumispintoja ja tekniikkaa tiettyjen murtumapintojen määrittämiseksi.

Teknisten pintojen osalta tätä suhdetta käytetään harvoin. Pohjimmiltaan pinnan fraktaalimittoja määritettäessä käytetään pinnoitusmenetelmää. Kuvassa Kuvassa 16 on esitetty malleja fraktaalipinnoista fraktaalimitan eri arvoille.

Pinnan fraktaalimitan määrittämiseksi harkitse fraktaalipinnan kosketusta sileän pinnan kanssa.

Otetaan esimerkiksi leikkaus pinnasta keskitason kanssa yhdensuuntaisella tasolla. Kuvassa Kuvassa 17 on esitetty tällainen leikkaus fraktaalipinnasta, jonka DS = 2,6.

Riisi. 16. Fraktaalipintojen mallit

Riisi. 17. Fraktaalipinnan leikkaus

Uskotaan, että kaikki kuvassa olevat "saaret". 17 ovat itsensäkaltaisia. Tämän jälkeen kehän pinta-alan suhteen analysoimiseksi erottelemme ominaisen "saaren" (kuva 18).

Riisi. 18. Kuva "saaresta"

Kuvassa Kuva 19 esittää menetelmän fraktaalimitan määrittämiseksi solumenetelmällä.

Riisi. 19. Fraktaalimitan arvioiminen: Fraktaaliobjektin peittäminen neliöverkolla (Paul S. Addison)

Kuvassa Kuva 20 on kuvion 2 perusteella rakennettu käyrä alue-kehäkäyrästä kaksoislogaritmisina koordinaatteina. yhdeksäntoista.

Samanaikaisesti katsomme, että neliöiden lukumäärä on verrannollinen vastaaviin parametreihin: pinta-ala ja ympärysmitta

"saaren" NA:n alueen peittävien solujen lukumäärän riippuvuus niiden solujen lukumäärästä, joihin saaren NP "rannikko" putosi, rakennettu logaritmisiksi koordinaatteiksi neliömäisen solun eri kokoisille sivuille , arvioidaan tässä esimerkissä regressioyhtälön avulla

NA = -69,14 + 3,303 NP.

Riisi. 20. Riippuvuudet "alue-kehä"

Fraktaalimitta määräytyy lausekkeen avulla

Kun tutkitaan kahden fraktaalipinnan kosketusta omilla fraktaalimitoillaan, houkutteleva kohta on kahden fraktaalipinnan korvaaminen sileän pinnan kosketuksella pelkistetyn fraktaalipinnan kanssa.

Tätä varten käytämme aiemmin käsiteltyä menettelyä. Simuloillaan kahden pinnan kosketusta ja määritetään kosketuspisteet jollain lähestymistavalla.

Kuvassa Kuva 21 esittää kuvan kahden pinnan kosketuksesta tutkimukseen valitun "saaren" kanssa.

Riisi. 21. Fraktaalipintojen kosketus

Bibliografia

1. Mandelbrot B. Luonnon fraktaaligeometria / B. Mandelbrot: [käännös. englannista]. - M.: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2012. - 656 s.

2. Feder E. Fractals / E. Feder: [käänn. englannista]. - M.: Mir, 1991. - 254 s.

3. Mandelbrot B.B. Metallien murtumispintojen fraktaaliluonne / B.B. Mandelbrot //Luonto, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Teräksen fraktaalimitta- ja murtolujuustutkimukset / Z.Q. Mu, C.W. Lung // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Pintatopografia ei-stationaarisena satunnaisena prosessina / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Luonto, 1978. - V. 271. - S. 431-434.

6. Addison P.S. Fraktaalit ja kaaos - Kuvitettu kurssi / P.S. Addison. - Inst. of Physics Publishing. - Bristol, 2007.

Isännöi Allbest.ru:ssa

Samanlaisia ​​asiakirjoja

"Fraktaali"-käsitteen ydin. Fraktaaliulottuvuuden olemus. Hausdorffin ulottuvuus ja sen ominaisuudet. Kantorin joukko ja sen yleistys. Lumihiutale ja Kochin käyrä. Curve Peano ja Gosper, niiden ominaisuudet. Matto ja lautasliina Sierpinski. Harter-Hatewayn lohikäärme.

lukukausityö, lisätty 23.7.2011


Pintojen keskinäisen järjestelyn esitys avaruudessa. Vallankumouksen hallitut ja hallitsemattomat pinnat. Kaarevien pintojen leikkauspiste. Yleistä tietoa pinnoista. Yleinen menetelmä yhden pinnan ja toisen pinnan leikkausviivan rakentamiseksi.

tiivistelmä, lisätty 10.1.2009


Ominaista pintaperheelle. Tangenttiviiva ja taso. Käyräviivaiset koordinaatit. Käyrän kaaren pituuden laskeminen pinnalla ja sen pinta-ala. Kahden pinnan viivan välinen kulma. Pinnalla olevien viivojen normaali kaarevuus.

opinnäytetyö, lisätty 18.5.2013


Tilattujen sarjojen mittasuhteen peruskäsitteet. Tilatun sarjan mitan määrittäminen. Äärillisten järjestysjoukkojen ulottuvuusominaisuudet. Algebrallisen hilateorian järjestysrakenne ja elementit.

opinnäytetyö, lisätty 8.8.2007


Lyhyt katsaus geometrian kehitykseen. Prisma. Prisman pinta-ala. Prisma ja pyramidi. Pyramidi ja sen pinta-ala. Tilavuuksien mittaus. Tietoja pyramidista ja sen tilavuudesta. Tietoja prismasta ja suuntaissärmiöstä. Symmetria avaruudessa.

tiivistelmä, lisätty 5.8.2003


Pintojen muotoilu- ja esittelytavat. Pinnan muodostumisen laki. Kierrospinnan muodostumislaista johtuvat perusominaisuudet. Viivatut pinnat yhdensuuntaisuustasolla. Syklisten pintojen rungon muodostuminen.

tiivistelmä, lisätty 19.5.2014


Kaarevat ja toisen asteen pintamuodot. Toisen asteen käyrien ja pintojen ominaisuuksien analyysi. Pintamuotojen tutkimus poikkileikkausmenetelmällä tasojen mukaan, osissa saadun suoran rakentaminen. Pinnan rakentaminen kanonisessa koordinaatistossa.

lukukausityö, lisätty 28.6.2009


klassiset fraktaalit. Itsen samankaltaisuus. Lumihiutale Koch. Sierpinski matto. L-järjestelmät. Kaoottinen dynamiikka. Lorenzin houkutin. Mandelbrot ja Julia sarjat. Fraktaalien käyttö tietotekniikassa.

lukukausityö, lisätty 26.5.2006


Etsi kaikista suorakulmioista, joiden pinta-ala on 9 dm2, se, jonka ympärysmitta on pienin. Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala (piirtämällä). Laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala.

tehtävä, lisätty 11.1.2004


Yksityiskohtainen analyysi Katalonian pinnoista ja olosuhteista, jotka erottavat tämän luokan hallittujen pintojen luokasta. Kaavat KA-luokan pintojen ensimmäisen ja toisen neliöllisen muodon laskemiseksi. Todistus väitteille käyrien tyypin vaikutuksesta pintatyyppiin.

Fraktaaleista puhutaan paljon. Internetissä on satoja fraktaaleille omistettuja sivustoja. Mutta suurin osa tiedoista perustuu siihen tosiasiaan, että fraktaalit ovat kauniita. Fraktaalien mysteeri selittyy niiden murto-ulottuvuudella, mutta harvat ymmärtävät, mikä murto-ulottuvuus on.

Jossain vuonna 1996 kiinnostuin siitä, mitä murto-ulottuvuus on ja mikä sen merkitys on. Kuvittele ihmetystäni, kun huomasin, että tämä ei ole niin monimutkainen asia, ja jokainen opiskelija voi ymmärtää sen.

Yritän tässä ilmaista kansantajuisesti mikä murto-ulottuvuus on. Kompensoidakseen akuuttia tiedon puutetta tästä aiheesta.

Kehon mittaus

Ensinnäkin pieni johdatus tuodaksemme jokapäiväiset ajatuksemme ruumiiden mittaamisesta johonkin järjestykseen.

Pyrkimättä muotoilujen matemaattiseen tarkkuuteen, selvitetään, mikä koko, mitta ja mitta ovat.

Esineen koon voi mitata viivaimella. Useimmissa tapauksissa koko osoittautuu epätietoiseksi. Kumpi "vuori" on isompi?

Jos vertaamme korkeuksia, niin enemmän punaista, jos leveydet - vihreää.

Kokovertailu voi olla hyödyllistä, jos tuotteet ovat samankaltaisia:

Nyt riippumatta siitä, mitä mittoja vertaamme: leveys, korkeus, sivu, ympyrä, piirretyn ympyrän säde tai mikä tahansa muu, aina käy ilmi, että vihreä vuori on suurempi.

Mitta palvelee myös esineiden mittaamista, mutta sitä ei mitata viivaimella. Puhumme tarkalleen kuinka se mitataan, mutta toistaiseksi huomaamme sen pääominaisuuden - mitta on additiivinen.

Arkikielessä, kun kaksi objektia yhdistetään, objektien summan mitta on yhtä suuri kuin alkuperäisten objektien mittojen summa.

Yksiulotteisten objektien mitta on verrannollinen kokoon. Jos otat segmenttejä, joiden pituus on 1 cm ja 3 cm, "taita" ne yhteen, niin "kokonais" -segmentin pituus on 4 cm (1 + 3 = 4 cm).

Ei-yksiulotteisille kappaleille mitta lasketaan joidenkin sääntöjen mukaan, jotka valitaan siten, että mitta säilyttää additiivisuuden. Jos esimerkiksi otat neliöitä, joiden sivut ovat 3 cm ja 4 cm, ja "taitat" ne (yhdistät ne yhteen), alueet (9 + 16 = 25 cm²) lasketaan yhteen, eli tuloksen sivu (koko) olla 5cm.

Sekä termit että summa ovat neliöitä. Ne ovat samanlaisia ​​keskenään ja voimme vertailla niiden kokoa. Osoittautuu, että summan koko ei ole yhtä suuri kuin termien kokojen summa (5≄4+3).

Miten mitta ja koko liittyvät toisiinsa?

Ulottuvuus

Vain mitta ja mahdollistaa koon ja koon yhdistämisen.

Merkitään mitta - D, mitta - M, koko - L. Sitten nämä kolme suuretta yhdistävä kaava näyttää tältä:

Meille tutuille toimenpiteille tämä kaava saa tuttuja muotoja. Kaksiulotteisten kappaleiden (D=2) mitta (M) on pinta-ala (S), kolmiulotteisten kappaleiden (D=3) tilavuus (V):

S \u003d L 2, V \u003d L 3

Huomaavainen lukija kysyy, millä oikeudella kirjoitimme yhtäläisyysmerkin? No, neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivun neliö, mutta ympyrän pinta-ala? Toimiiko tämä kaava millekään kohteelle?

Kyllä ja ei. Voit korvata yhtälöt suhteilla ja syöttää kertoimet tai voit olettaa, että syötetään kappaleiden mitat vain, jotta kaava toimii. Esimerkiksi ympyrän kohdalla kutsumme kaaren pituuden kokoa, joka on yhtä suuri kuin "pi" radiaanien juuri. Miksi ei?

Joka tapauksessa kertoimien olemassaolo tai puuttuminen ei muuta lisäpäättelyn olemusta. Yksinkertaisuuden vuoksi en ota käyttöön kertoimia; Voit halutessasi lisätä ne itse, toistaa kaikki perustelut ja varmistaa, että ne (päättely) eivät ole menettäneet pätevyyttään.

Kaikesta sanotusta on tehtävä yksi johtopäätös, että jos lukua pienennetään N kertaa (skaalataan), niin se mahtuu alkuperäiseen N D kertaan.

Todellakin, jos segmenttiä (D=1) pienennetään 5 kertaa, niin se mahtuu täsmälleen viisi kertaa alkuperäiseen (5 1 =5); Jos kolmiota (D = 2) pienennetään 3 kertaa, se mahtuu alkuperäiseen 9 kertaa (3 2 = 9).

Jos kuutiota (D = 3) pienennetään 2 kertaa, se mahtuu alkuperäiseen 8 kertaa (2 3 = 8).

Myös päinvastoin: jos kuvion kokoa N kertaa pienennettäessä kävi ilmi, että se sopii alkuperäiseen n kertaa (eli sen mitta on pienentynyt n kertaa), niin mitta voidaan laskea kaavan mukaan.