abstrakti

Absoluuttinen ja suhteellinen virhe

Johdanto

Absoluuttinen virhe - on arvio absoluuttisesta mittausvirheestä. Se lasketaan eri tavoin. Laskentamenetelmä määräytyy satunnaismuuttujan jakauman mukaan. Näin ollen absoluuttisen virheen suuruus riippuu satunnaismuuttujan jakautumisesta voi olla erilainen. Jos on mitattu arvo, ja on todellinen arvo, sitten epätasa-arvo täytyy tyydyttää jollain todennäköisyydellä lähellä 1. Jos satunnaismuuttuja jaettu normaalilain mukaan, niin yleensä sen keskihajonna otetaan absoluuttiseksi virheeksi. Absoluuttinen virhe mitataan samoissa yksiköissä kuin itse arvo.

On olemassa useita tapoja kirjoittaa määrä sekä sen absoluuttinen virhe.

· Yleensä käytetään allekirjoitettua merkintää ± . Esimerkiksi vuonna 1983 tehty 100 metrin ennätys on 9,930±0,005 s.

· Erittäin suurella tarkkuudella mitattujen arvojen tallentamiseen käytetään toista merkintää: suluissa lisätään mantissan viimeisten numeroiden virhettä vastaavat numerot. Esimerkiksi Boltzmannin vakion mitattu arvo on 1,380 6488 (13) × 10?23 J/K, joka voidaan kirjoittaa myös paljon pidempään nimellä 1,380 6488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/K.

Suhteellinen virhe- mittausvirhe, joka ilmaistaan ​​absoluuttisen mittausvirheen suhteena mitatun suuren todelliseen tai keskiarvoon (RMG 29-99):.

Suhteellinen virhe on dimensioton suure, tai se mitataan prosentteina.

1. Mitä kutsutaan likimääräiseksi arvoksi?

Liikaa ja liian vähän? Laskentaprosessissa joutuu usein käsittelemään likimääräisiä lukuja. Päästää MUTTA- tietyn määrän tarkka arvo, jäljempänä nimitys tarkka numero a.Määrän likimääräisen arvon alle MUTTA,tai likimääräisiä lukujasoitti numeroon a, joka korvaa määrän tarkan arvon MUTTA.Jos a< MUTTA,sitten akutsutaan luvun likimääräiseksi arvoksi Ja puutteesta.Jos a> MUTTA,- sitten liiassa määrin.Esimerkiksi 3,14 on likimääräinen luku ? puutteella ja 3,15 ylimäärällä. Tämän approksimoinnin tarkkuusasteen karakterisoimiseksi käytetään käsitettä virheitä tai virheitä.

virhe ?alikimääräinen luku akutsutaan muodon eroksi

?a = A - a,

missä MUTTAon vastaava tarkka luku.

Kuvasta näkyy, että segmentin AB pituus on 6 cm ja 7 cm välillä.

Tämä tarkoittaa, että 6 on segmentin AB pituuden likimääräinen arvo (senttiä)\u003e, jossa on puute, ja 7 on ylijäämä.

Merkitsemällä segmentin pituutta kirjaimella y, saamme: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmenttiAB (ks. kuva 149) on lähempänä 6 cm kuin 7 cm. Se on suunnilleen 6 cm. Sanotaan, että luku 6 saatiin pyöristämällä janan pituus kokonaislukuihin.

. Mikä on approksimaatiovirhe?

A) ehdoton?

B) Sukulainen?

A) Approksimaation absoluuttinen virhe on suuren todellisen arvon ja sen likimääräisen arvon välisen erotuksen moduuli. |x - x_n|, jossa x on todellinen arvo, x_n on likimääräinen arvo. Esimerkiksi: A4-paperiarkin pituus on (29,7 ± 0,1) cm ja etäisyys Pietarista Moskovaan on (650 ± 1) km. Absoluuttinen virhe ensimmäisessä tapauksessa ei ylitä yhtä millimetriä ja toisessa - yhtä kilometriä. Kysymys on verrata näiden mittausten tarkkuutta.

Jos luulet, että arkin pituus mitataan tarkemmin, koska absoluuttinen virhe ei ylitä 1 mm. Sitten olet väärässä. Näitä arvoja ei voi suoraan verrata. Tehdään vähän perusteluja.

Arkin pituutta mitattaessa absoluuttinen virhe ei ylitä 0,1 cm x 29,7 cm, eli prosentteina se on 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% mitatusta arvosta.

Kun mitataan etäisyyttä Pietarista Moskovaan, absoluuttinen virhe ei ylitä 1 km / 650 km, mikä on 1/650 * 100% = 0,15% mitatusta arvosta prosentteina. Näemme, että kaupunkien välinen etäisyys mitataan tarkemmin kuin A4-arkin pituus.

B) Approksimaation suhteellinen virhe on absoluuttisen virheen suhde suuren likimääräisen arvon moduuliin.

matemaattinen virhemurto

missä x on todellinen arvo, x_n on likimääräinen arvo.

Suhteellista virhettä kutsutaan yleensä prosentteina.

Esimerkki. Pyöristämällä luvun 24,3 yksiköihin saadaan luku 24.

Suhteellinen virhe on yhtä suuri. He sanovat, että suhteellinen virhe tässä tapauksessa on 12,5%.

) Millaista pyöristystä kutsutaan pyöristämiseksi?

A) haitalla?

b) liikaa?

A) pyöristys alaspäin

Kun desimaalimurtolukuna ilmaistu luku pyöristetään tarkkuudella 10^(-n), jossa on puutetta, desimaalipilkun jälkeiset ensimmäiset n numeroa säilytetään ja seuraavat hylätään.

Esimerkiksi luvun 12,4587 pyöristäminen lähimpään tuhannesosaan huonolla tuloksella saadaan 12,458.

B) Pyöristys ylöspäin

Pyöristettäessä desimaalilukuna ilmaistua lukua 10^(-n) asti, desimaalipilkun jälkeiset n ensimmäistä numeroa säilytetään ylimääräisenä ja seuraavat hylätään.

Esimerkiksi 12,4587:n pyöristäminen lähimpään tuhannesosaan huonolla tuloksella saadaan 12,459.

) Desimaalien pyöristyssääntö.

Sääntö. Desimaaliluvun pyöristämiseksi tiettyyn kokonaisluvun tai murto-osan numeroon kaikki pienemmät numerot korvataan nolilla tai hylätään, ja pyöristyksen aikana hylättyä numeroa edeltävä numero ei muuta arvoaan, jos sitä seuraa numerot 0, 1, 2, 3, 4 ja kasvaa 1:llä (yksi), jos luvut ovat 5, 6, 7, 8, 9.

Esimerkki. Pyöristä murtoluku 93,70584 arvoon:

kymmenen tuhannesosa: 93,7058

tuhannesosa: 93,706

sadasosat: 93,71

kymmenesosat: 93,7

kokonaisluku: 94

kymmeniä: 90

Huolimatta absoluuttisten virheiden yhtäläisyydestä, koska mitatut määrät ovat erilaisia. Mitä suurempi mitattu koko, sitä pienempi suhteellinen virhe vakiolla absoluuttisella tasolla.

Tutorointi

Tarvitsetko apua aiheen oppimisessa?

Asiantuntijamme neuvovat tai tarjoavat tutorointipalveluita sinua kiinnostavista aiheista.
Lähetä hakemus ilmoittamalla aiheen juuri nyt saadaksesi selville mahdollisuudesta saada konsultaatio.

Fysikaalisten suureiden mittausvirheet

1. Johdanto (mittaukset ja mittausvirheet)

2. Satunnaiset ja systemaattiset virheet

3. Absoluuttiset ja suhteelliset virheet

4. Mittauslaitteiden virheet

5. Sähköisten mittauslaitteiden tarkkuusluokka

6. Lukuvirhe

7. Suorien mittausten absoluuttinen kokonaisvirhe

8. Suoran mittauksen lopputuloksen kirjaaminen

9. Epäsuorien mittausten virheet

10.Esimerkki

1. Johdanto (mittaukset ja mittausvirheet)

Fysiikka tieteenä syntyi yli 300 vuotta sitten, jolloin Galileo loi pohjimmiltaan fysikaalisten ilmiöiden tieteellisen tutkimuksen: fysikaalisia lakeja vahvistetaan ja varmistetaan kokeellisesti keräämällä ja vertaamalla kokeellista dataa, jota edustaa lukujoukko, lait muotoillaan fysikaalisten ilmiöiden kielellä. matematiikka, ts. kaavojen avulla, jotka yhdistävät fyysisten määrien numeeriset arvot toiminnallisen riippuvuuden perusteella. Siksi fysiikka on kokeellista tiedettä, fysiikka on kvantitatiivista tiedettä.

Tutustutaan joihinkin mittojen ominaispiirteisiin.

Mittaus on fysikaalisen suuren numeerisen arvon löytämistä empiirisesti mittausvälineillä (viivat, volttimittarit, kellot jne.).

Mittaukset voivat olla suoria ja epäsuoria.

Suora mittaus on fyysisen suuren numeerisen arvon määrittämistä suoraan mittauslaitteilla. Esimerkiksi pituus - viivaimella, ilmanpaine - barometrilla.

Epäsuora mittaus on fyysisen suuren numeerisen arvon määrittämistä kaavan mukaan, joka suhteuttaa halutun arvon muihin suorilla mittauksilla määritettyihin suureisiin. Esimerkiksi johtimen resistanssi määritetään kaavalla R=U/I, jossa U ja I mitataan sähköisillä mittauslaitteilla.

Harkitse esimerkkiä mittauksesta.

Mittaa tangon pituus viivaimella (jako 1 mm). Voidaan vain todeta, että tangon pituus on 22-23 mm. "Tuntemattoman" intervallin leveys on 1 mm, eli se on yhtä suuri kuin jakoarvo. Viivaimen korvaaminen herkemmällä instrumentilla, kuten jarrusatulalla, lyhentää tätä väliä, mikä parantaa mittaustarkkuutta. Esimerkissämme mittaustarkkuus ei ylitä 1 mm.

Siksi mittaukset eivät koskaan voi olla täysin tarkkoja. Minkä tahansa mittauksen tulos on likimääräinen. Mittauksen epävarmuudelle on ominaista virhe - fyysisen suuren mitatun arvon poikkeama sen todellisesta arvosta.

Luettelemme joitain syitä, jotka johtavat virheiden esiintymiseen.

1. Rajoitettu tarkkuus mittauslaitteiden valmistuksessa.

2. Vaikutus ulkoisten olosuhteiden mittaamiseen (lämpötilan muutos, jännitteen vaihtelu...).

3. Kokeen suorittajan toimet (viivästys sekuntikellon käynnistämisessä, silmän eri asento...).

4. Mitattujen suureiden löytämiseen käytettyjen lakien likimääräinen luonne.

Lueteltuja syitä virheiden esiintymiseen ei voida poistaa, vaikka ne voidaan minimoida. Tieteellisen tutkimuksen tuloksena saatujen johtopäätösten luotettavuuden varmistamiseksi on olemassa menetelmiä näiden virheiden arvioimiseksi.

2. Satunnaiset ja systemaattiset virheet

Mittauksista aiheutuvat virheet jaetaan systemaattisiin ja satunnaisiin.

Systemaattiset virheet ovat virheitä, jotka vastaavat mitatun arvon poikkeamaa fyysisen suuren todellisesta arvosta aina yhteen suuntaan (lisäys tai lasku). Toistuvilla mittauksilla virhe pysyy samana.

Syyt järjestelmällisiin virheisiin:

1) mittauslaitteet eivät ole standardin mukaisia;

2) mittauslaitteiden virheellinen asennus (kallistus, epätasapaino);

3) laitteiden alkuperäisten indikaattoreiden yhteensopimattomuus nollan kanssa ja siihen liittyvien korjausten huomiotta jättäminen;

4) ristiriita mitatun kohteen ja sen ominaisuuksista tehdyn oletuksen välillä (tyhjiöiden esiintyminen jne.).

Satunnaisvirheet ovat virheitä, jotka muuttavat numeerista arvoaan arvaamattomalla tavalla. Tällaiset virheet johtuvat suuresta määrästä hallitsemattomia syitä, jotka vaikuttavat mittausprosessiin (esineen pinnan epäsäännöllisyydet, tuulen puhallus, virtapiikit jne.). Satunnaisvirheiden vaikutusta voidaan vähentää toistamalla koetta.

3. Absoluuttiset ja suhteelliset virheet

Mittausten laadun kvantitatiivista arviointia varten otetaan käyttöön absoluuttisen ja suhteellisen mittausvirheen käsitteet.

Kuten jo mainittiin, mikä tahansa mittaus antaa vain likimääräisen fyysisen suuren arvon, mutta voit määrittää välin, joka sisältää sen todellisen arvon:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

D arvo A:ta kutsutaan absoluuttiseksi virheeksi suuren A mittauksessa. Absoluuttinen virhe ilmaistaan ​​mitatun suuren yksiköissä. Absoluuttinen virhe on yhtä suuri kuin fyysisen suuren arvon suurimman mahdollisen poikkeaman moduuli mitatusta arvosta. A pr - kokeellisesti saadun fysikaalisen suuren arvo, jos mittaus suoritettiin toistuvasti, niin näiden mittausten aritmeettinen keskiarvo.

Mutta mittauksen laadun arvioimiseksi on tarpeen määrittää suhteellinen virhe e. e \u003d D A / A pr tai e \u003d (DA / A pr) * 100%.

Jos mittauksen aikana saadaan suhteellinen virhe yli 10 %, niin sanotaan, että mitatusta arvosta on tehty vain arvio. Fyysisen konepajan laboratorioissa on suositeltavaa suorittaa mittauksia suhteellisella virheellä jopa 10 %. Tieteellisissä laboratorioissa jotkin tarkat mittaukset (kuten valon aallonpituuden määrittäminen) suoritetaan prosentin miljoonasosien tarkkuudella.

4. Mittauslaitteiden virheet

Näitä virheitä kutsutaan myös instrumentaaliseksi tai instrumentaaliseksi. Ne johtuvat mittauslaitteen suunnittelusta, sen valmistuksen ja kalibroinnin tarkkuudesta. Yleensä he ovat tyytyväisiä sallittuihin instrumenttivirheisiin, jotka valmistaja ilmoittaa tämän laitteen passissa. Näitä sallittuja virheitä säätelevät GOST:t. Tämä koskee myös standardeja. Yleensä absoluuttista instrumentaalivirhettä merkitään D ja A.

Jos sallitusta virheestä ei ole tietoa (esim. viivaimella), niin virheeksi voidaan pitää puolet jakohinnasta.

Punnituksessa absoluuttinen instrumentaalivirhe on vaakojen ja painojen instrumentaalivirheiden summa. Taulukossa näkyvät useimmin sallitut virheet

koulukokeissa havaittuja mittalaitteita.

Mittaus	Mittausraja	Jaon arvo	Sallittu virhe
opiskelijan hallitsija
mielenosoitus hallitsija
mittanauha
dekantterilasi
paino 10,20, 50 mg
paino 100.200mg
paino 500mg
jarrusatulat
mikrometri
dynamometri
koulutusvaa'at
Sekuntikello			1s 30 min
aneroid barometri	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
laboratorion lämpömittari	0-100 astetta C
koulun ampeerimittari
volttimittarin koulu

5. Sähköisten mittauslaitteiden tarkkuusluokka

Sallittujen virhearvojen mukaan osoitinsähköiset mittauslaitteet on jaettu tarkkuusluokkiin, jotka on merkitty mitta-asteikolla numeroilla 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Tarkkuusluokka g pr instrumentti näyttää kuinka monta prosenttia on instrumentin koko asteikon absoluuttinen virhe.

g pr \u003d (D ja A / A max) * 100 % .

Esimerkiksi luokan 2.5 instrumentin absoluuttinen instrumentaalivirhe on 2,5 % sen asteikosta.

Jos laitteen tarkkuusluokka ja sen mittakaava tunnetaan, voidaan määrittää absoluuttinen mittausvirhe

D ja A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Mittaustarkkuuden parantamiseksi osoitinsähköisellä mittauslaitteella on valittava laite, jonka mittakaava on sellainen, että mittausprosessin aikana ne sijaitsevat laitteen asteikon toisella puoliskolla.

6. Lukuvirhe

Lukuvirhe saadaan mittauslaitteiden lukemien riittämättömästä tarkkuudesta.

Useimmissa tapauksissa absoluuttinen lukuvirhe on yhtä suuri kuin puolet jakoarvosta. Poikkeuksena ovat mittaukset analogisilla kelloilla (osoittimet liikkuvat nykäyksissä).

Absoluuttinen lukuvirhe on yleensä merkitty D oA

7. Suorien mittausten absoluuttinen kokonaisvirhe

Kun suoritat fyysisen suuren A suoria mittauksia, on tarpeen arvioida seuraavat virheet: D uA, D oA ja D sA (satunnainen). Tietenkin muut virhelähteet, jotka liittyvät instrumenttien virheelliseen asennukseen, instrumentin osoittimen alkuperäisen sijainnin virheelliseen kohdistamiseen 0:n kanssa, on suljettava pois.

Suoran mittauksen absoluuttisen kokonaisvirheen tulee sisältää kaikki kolme virhetyyppiä.

Jos satunnaisvirhe on pieni verrattuna pienimpään tällä mittauslaitteella mitattavaan arvoon (verrattuna jakoarvoon), niin se voidaan jättää huomiotta ja silloin yksi mittaus riittää määrittämään fyysisen suuren arvon. Muussa tapauksessa todennäköisyysteoria suosittelee mittaustuloksen löytämistä koko monimittaussarjan tulosten aritmeettiseksi keskiarvoksi, tulosvirhe lasketaan matemaattisen tilaston menetelmällä. Näiden menetelmien tuntemus ylittää koulun opetussuunnitelman.

8. Suoran mittauksen lopputuloksen kirjaaminen

Fysikaalisen suuren A mittauksen lopputulos tulee kirjoittaa tähän muotoon;

A = A pr + D A, e \u003d (DA / A pr) * 100 %.

A pr - kokeellisesti saadun fysikaalisen suuren arvo, jos mittaus suoritettiin toistuvasti, niin näiden mittausten aritmeettinen keskiarvo. D A on suoran mittauksen absoluuttinen kokonaisvirhe.

Absoluuttinen virhe ilmaistaan ​​yleensä yhtenä merkitsevänä lukuna.

Esimerkki: L=(7.9 + 0,1) mm, e = 13 %.

9. Epäsuorien mittausten virheet

Käsiteltäessä suoraan mitattaviin fyysisiin suureisiin A, B ja C toiminnallisesti liittyvän fyysisen suuren epäsuorien mittausten tuloksia, määritetään ensin epäsuoran mittauksen suhteellinen virhe. e = D X / X pr käyttäen taulukossa annettuja kaavoja (ilman todisteita).

Absoluuttinen virhe määräytyy kaavan mukaan D X \u003d X pr * e,

missä e ilmaistaan ​​desimaaleina, ei prosentteina.

Lopputulos kirjataan samalla tavalla kuin suorien mittausten tapauksessa.

Toiminnan tyyppi	Kaava
X = A+B+C
X = A-B
X = A*B*C
X = A n
X = A/B

Esimerkki: Lasketaan kitkakertoimen mittausvirhe dynamometrillä. Kokemus on, että tankoa vedetään tasaisesti vaakasuoraa pintaa pitkin ja siihen kohdistuva voima mitataan: se on yhtä suuri kuin liukukitkavoima.

Dynamometrin avulla punnitsemme tangon painoilla: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33. Dynamometrin instrumentaalivirhe (löydä taulukosta) on Δ ja = 0,05N, lukuvirhe (puolet asteikon jaosta)

Δ o = 0,05 N. Absoluuttinen virhe painon ja kitkavoiman mittauksessa on 0,1 N.

Suhteellinen mittausvirhe (taulukon 5. rivi)

, siksi μ:n epäsuoran mittauksen absoluuttinen virhe on 0,22*0,33=0,074

Mittauslaitteeseen sisältyvistä virheistä, valitusta menetelmästä ja mittaustekniikasta, mittauksen suorittamisen ulkoisten olosuhteiden erosta vakiintuneisiin ja muista syistä johtuen lähes jokaisen mittauksen tulos on virheellinen. Tämä virhe lasketaan tai arvioidaan ja liitetään saatuun tulokseen.

Mittausvirhe(lyhyesti - mittausvirhe) - mittaustuloksen poikkeama mitatun suuren todellisesta arvosta.

Virheistä johtuvan määrän todellinen arvo jää tuntemattomaksi. Sitä käytetään metrologian teoreettisten ongelmien ratkaisemiseen. Käytännössä käytetään suuren todellista arvoa, joka korvaa todellisen arvon.

Mittausvirhe (Δx) saadaan kaavasta:

x = x mitta. - x todellinen (1.3)

missä x tarkoittaa. - mittausten perusteella saadun suuren arvo; x todellinen on todelliseksi otetun suuren arvo.

Yksittäisten mittausten todelliseksi arvoksi otetaan usein esimerkillisen mittauslaitteen avulla saatu arvo, toistuvissa mittauksissa - tähän sarjaan sisältyvien yksittäisten mittausten arvojen aritmeettinen keskiarvo.

Mittausvirheet voidaan luokitella seuraavien kriteerien mukaan:

Ilmentymisen luonteen mukaan - systemaattinen ja satunnainen;

Ilmaisutapana - absoluuttinen ja suhteellinen;

Mitatun arvon muuttamisen ehtojen mukaan - staattinen ja dynaaminen;

Käsittelymenetelmän mukaan useita mittauksia - aritmeettiset ja keskimääräiset neliöt;

Mittaustehtävän kattavuuden mukaan - yksityinen ja täydellinen;

Fyysisen määrän yksikköön liittyen - yksikön toiston, yksikön varastoinnin ja yksikön koon siirron virhe.

Systemaattinen mittausvirhe(lyhyesti - systemaattinen virhe) - mittaustuloksen virheen komponentti, joka pysyy vakiona tietyn mittaussarjan ajan tai muuttuu säännöllisesti saman fyysisen suuren toistuvien mittausten aikana.

Ilmiön luonteen mukaan systemaattiset virheet jaetaan jatkuviin, progressiivisiin ja jaksollisiin. Pysyviä systemaattisia virheitä(lyhyesti - jatkuvat virheet) - virheet, jotka säilyttävät arvonsa pitkään (esimerkiksi koko mittaussarjan ajan). Tämä on yleisin virhetyyppi.

Progressiiviset systemaattiset virheet(lyhyesti - progressiiviset virheet) - jatkuvasti kasvavat tai pienenevät virheet (esimerkiksi virheet mittakärkien kulumisesta, jotka joutuvat kosketuksiin hionnan aikana osan kanssa, kun sitä ohjataan aktiivisella ohjauslaitteella).

Jaksottainen systemaattinen virhe(lyhyesti - jaksollinen virhe) - virhe, jonka arvo on ajan funktio tai mittalaitteen osoittimen liikkeen funktio (esimerkiksi epäkeskisyyden esiintyminen pyöreän asteikon goniometreissä aiheuttaa systemaattisen virheen joka vaihtelee jaksollisen lain mukaan).

Systeemaattisten virheiden ilmaantumisen syiden perusteella on mittausvirheitä, menetelmävirheitä, subjektiivisia virheitä ja virheitä, jotka johtuvat ulkoisten mittausolosuhteiden poikkeamisesta vakiintuneista menetelmistä.

Instrumentaalinen mittausvirhe(lyhyesti - instrumentaalivirhe) johtuu useista syistä: instrumentin osien kulumisesta, instrumentin mekanismin liiallisesta kitkasta, epätarkoista asteikon iskuista, mittauksen todellisen ja nimellisarvon eroista jne.

Mittausmenetelmän virhe(lyhyesti - menetelmän virhe) voi johtua mittausmenetelmän epätäydellisyydestä tai sen yksinkertaistuksista. Tällainen virhe voi johtua esimerkiksi nopeiden prosessien parametrien mittauksessa käytettävien mittauslaitteiden riittämättömästä nopeudesta tai huomioimattomista epäpuhtauksista määritettäessä aineen tiheyttä sen massan ja tilavuuden mittaustulosten perusteella.

Subjektiivinen mittausvirhe(lyhyesti - subjektiivinen virhe) johtuu operaattorin yksittäisistä virheistä. Joskus tätä virhettä kutsutaan henkilökohtaiseksi eroksi. Se johtuu esimerkiksi viiveestä tai edistymisestä signaalin vastaanottamisessa operaattorin toimesta.

Poikkeamavirhe(yhteen suuntaan) ulkoiset mittausolosuhteet mittausmenettelyllä määritellyistä olosuhteista johtavat mittausvirheen systemaattisen komponentin esiintymiseen.

Systemaattiset virheet vääristävät mittaustulosta, joten ne on mahdollisuuksien mukaan eliminoitava tekemällä korjauksia tai säätämällä laitetta niin, että systemaattiset virheet saadaan mahdollisimman pieneksi.

Ei poissuljettu systemaattinen virhe(lyhyesti - ei-suljettu virhe) - tämä on mittaustuloksen virhe, joka johtuu virheestä laskettaessa ja otettaessa käyttöön systemaattisen virheen vaikutusta tai pieni systemaattinen virhe, jonka korjausta ei tehdä virheen vuoksi. pienuus.

Tämän tyyppistä virhettä kutsutaan joskus nimellä ei-suljetut bias-jäännökset(lyhyesti - poissuljemattomat saldot). Esimerkiksi mitattaessa viivamittarin pituutta vertailusäteilyn aallonpituuksilla, paljastui useita ei-suljettuja systemaattisia virheitä (i): epätarkan lämpötilan mittauksen takia - 1 ; johtuen ilman taitekertoimen epätarkasta määrityksestä - 2, aallonpituuden epätarkan arvon vuoksi - 3.

Yleensä huomioidaan ei-suljettujen systemaattisten virheiden summa (niille asetetaan rajat). Kun termien määrä N ≤ 3, ei-suljettujen systemaattisten virheiden rajat lasketaan kaavalla

Kun termien lukumäärä on N ≥ 4, laskennassa käytetään kaavaa

(1.5)

jossa k on ei-sulkemattomien systemaattisten virheiden riippuvuuskerroin valitusta luottamustodennäköisyydestä P niiden tasaisella jakautumisella. Kun P = 0,99, k = 1,4, kun P = 0,95, k = 1,1.

Satunnainen mittausvirhe(lyhyesti - satunnainen virhe) - mittaustuloksen virheen komponentti, joka muuttuu satunnaisesti (etumerkissä ja arvossa) fyysisen suuren samankokoisessa mittaussarjassa. Satunnaisvirheiden syyt: pyöristysvirheet lukemia luettaessa, lukemien vaihtelut, satunnaiset muutokset mittausolosuhteissa jne.

Satunnaisvirheet aiheuttavat mittaustulosten hajaantumista sarjassa.

Virheteoria perustuu kahteen käytännön vahvistamaan säännökseen:

1. Suurilla mittausmäärillä sattuu yhtä usein satunnaisvirheitä, joilla on sama lukuarvo mutta eri etumerkki;

2. Suuret (absoluuttisesti mitattuna) virheet ovat vähemmän yleisiä kuin pienet.

Ensimmäisestä asennosta seuraa käytännön kannalta tärkeä johtopäätös: mittausten lukumäärän kasvaessa mittaussarjasta saadun tuloksen satunnaisvirhe pienenee, koska tämän sarjan yksittäisten mittausten virheiden summa pyrkii nollaan, eli

(1.6)

Esimerkiksi mittausten tuloksena saadaan sarja sähkövastusarvoja (jotka on korjattu systemaattisten virheiden vaikutuksilla): R 1 \u003d 15,5 Ohm, R 2 \u003d 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 ohmia, R 4 \u003d 15, 6 ohmia ja R 5 = 15,4 ohmia. Näin ollen R = 15,5 ohmia. Poikkeamat R:stä (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R 3 \u003d -0,1 Ohm, R 4 \u003d +0,1 Ohm ja R 5 \u003d -0,1 Ohm) ovat yksittäisten mittausten satunnaisia ​​virheitä. annettu sarja. On helppo nähdä, että summa R i = 0,0. Tämä osoittaa, että tämän sarjan yksittäisten mittausten virheet on laskettu oikein.

Huolimatta siitä, että mittausten määrän kasvaessa satunnaisvirheiden summa pyrkii nollaan (tässä esimerkissä se vahingossa osoittautui nollaksi), mittaustuloksen satunnaisvirhe on välttämättä arvioitu. Satunnaismuuttujien teoriassa o2:n dispersio toimii ominaisuutena satunnaismuuttujan arvojen hajoamiselle. "| / o2 \u003d a kutsutaan yleisen perusjoukon keskihajonnan tai keskihajonnan.

Se on kätevämpi kuin dispersio, koska sen mitta on sama kuin mitatun suuren mitta (esimerkiksi suuren arvo saadaan voltteina, keskihajonta on myös voltteina). Koska mittauskäytännössä käsitellään termiä "virhe", tulee siitä johdettua termiä "rms error" käyttää kuvaamaan useita mittauksia. Useita mittauksia voidaan luonnehtia aritmeettisella keskivirheellä tai mittaustulosten alueella.

Mittaustulosten alue (lyhyesti - alue) on algebrallinen ero yksittäisten mittausten suurimman ja pienimmän tuloksen välillä, jotka muodostavat n mittauksen sarjan (tai näytteen):

R n \u003d X max - X min (1,7)

jossa Rn on alue; X max ja X min - suuren suurin ja pienin arvo tietyssä mittaussarjassa.

Esimerkiksi viidestä reiän halkaisijan d mittauksesta arvot R 5 = 25,56 mm ja R 1 = 25,51 mm osoittautuivat sen maksimi- ja minimiarvoiksi. Tässä tapauksessa R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. Tämä tarkoittaa, että tämän sarjan jäljellä olevat virheet ovat alle 0,05 mm.

Sarjan yksittäisen mittauksen keskimääräinen aritmeettinen virhe(lyhyesti - aritmeettinen keskivirhe) - yksittäisten mittaustulosten (saman arvoisten) yleinen sirontaominaisuus (satunnaisista syistä), joka sisältyy n yhtä tarkan itsenäisen mittauksen sarjaan, lasketaan kaavalla

(1.8)

jossa X i on sarjaan sisältyvän i:nnen mittauksen tulos; x on suuren n arvon aritmeettinen keskiarvo: |X i - X| on i:nnen mittauksen virheen itseisarvo; r on aritmeettinen keskivirhe.

Aritmeettisen keskivirheen p todellinen arvo määritetään suhteesta

p = lim r, (1,9)

Mittausten lukumäärällä n > 30, aritmeettisen keskiarvon (r) ja keskineliön välissä (s) korrelaatioita on

s = 1,25r; r ja = 0,80 s. (1.10)

Aritmeettisen keskivirheen etuna on sen laskennan yksinkertaisuus. Mutta silti useammin määritä keskimääräinen neliövirhe.

Juuren keskimääräinen neliövirhe yksittäinen mittaus sarjassa (lyhyesti - neliövirhe) - yksittäisten mittaustulosten (saman arvoisten) yleinen sirontaominaisuus (satunnaisista syistä), jotka sisältyvät sarjaan P yhtä tarkat riippumattomat mittaukset laskettuna kaavan mukaan

(1.11)

Yleisen otoksen o neliövirhe, joka on S:n tilastollinen raja, voidaan laskea /i-mx >:lle kaavalla:

Σ = lim S (1.12)

Todellisuudessa dimensioiden lukumäärä on aina rajoitettu, joten σ ei lasketa , ja sen likimääräinen arvo (tai arvio), joka on s. Sitä enemmän P, sitä lähempänä s on rajaansa σ .

Normaalijakaumalla todennäköisyys, että yhden sarjan mittauksen virhe ei ylitä laskettua neliövirhettä, on pieni: 0,68. Siksi 32 tapauksessa 100:sta tai 3 tapauksessa 10:stä todellinen virhe voi olla suurempi kuin laskettu.

Kuva 1.2 Useiden mittausten tuloksen satunnaisvirheen arvon pieneneminen sarjan mittausten lukumäärän kasvaessa

Mittaussarjassa yksittäisen mittauksen rms-virheen ja aritmeettisen keskiarvon S x rms-virheen välillä on suhde:

jota usein kutsutaan "Y n:n säännöksi". Tästä säännöstä seuraa, että satunnaisten syiden vaikutuksesta johtuvaa mittausvirhettä voidaan pienentää n kertaa, jos tehdään n samankokoista mittausta mistä tahansa suuresta ja lopputuloksena otetaan aritmeettinen keskiarvo (kuva 1.2). ).

Suorittamalla vähintään 5 mittausta sarjassa voidaan vähentää satunnaisvirheiden vaikutusta yli 2 kertaa. 10 mittauksella satunnaisvirheen vaikutus pienenee kertoimella 3. Mittausmäärän lisääminen edelleen ei ole aina taloudellisesti mahdollista, ja se tehdään pääsääntöisesti vain kriittisissä, suurta tarkkuutta vaativissa mittauksissa.

Yhden mittauksen neliövirheen keskiarvo homogeenisten kaksoismittausten sarjasta S α lasketaan kaavalla

(1.14)

missä x" i ja x"" i ovat i:nnet tulokset samankokoisista mittauksista eteenpäin ja taaksepäin yhdellä mittauslaitteella.

Epätasaisilla mittauksilla aritmeettisen keskiarvon neliövirhe sarjassa määritetään kaavalla

(1.15)

missä p i on i:nnen mittauksen paino erilaisten mittausten sarjassa.

Suuren Y epäsuorien mittausten tuloksen neliövirhe, joka on Y \u003d F (X 1, X 2, X n) funktio, lasketaan kaavalla

(1.16)

missä S 1 , S 2 , S n ovat mittaustulosten keskiarvovirheitä X 1 , X 2 , X n .

Jos tyydyttävän tuloksen saamisen luotettavuuden lisäämiseksi suoritetaan useita mittaussarjoja, m-sarjan yksittäisen mittauksen neliövirhe (S m) saadaan kaavalla

(1.17)

missä n on sarjan mittausten lukumäärä; N on mittausten kokonaismäärä kaikissa sarjoissa; m on sarjan lukumäärä.

Kun mittauksia on rajoitettu määrä, on usein tarpeen tietää RMS-virhe. Voit määrittää kaavalla (2.7) lasketun virheen S ja kaavalla (2.12) lasketun virheen S m käyttämällä seuraavia lausekkeita

(1.18)

(1.19)

missä S ja S m ovat S:n ja S m:n keskimääräiset neliövirheet.

Esimerkiksi, kun prosessoimme pituuden x mittaussarjan tuloksia, saimme

= 86 mm 2 kohdassa n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm tai S = ±0,7 mm

Arvo S = ±0,7 mm tarkoittaa, että s on laskentavirheen vuoksi välillä 2,4-3,8 mm, joten millimetrin kymmenesosat ovat tässä epäluotettavia. Tarkasteltavassa tapauksessa on tarpeen kirjoittaa muistiin: S = ±3 mm.

Jotta mittaustuloksen virheen estimoinnissa olisi suurempi luottamus, lasketaan virheen luottamusvirhe tai luottamusrajat. Normaalijakauman lailla virheen luottamusrajat lasketaan muodossa ±t-s tai ±t-s x, missä s ja s x ovat sarjan yksittäisen mittauksen neliövirheiden keskiarvo ja aritmeettinen keskiarvo; t on luku, joka riippuu luottamustasosta P ja mittausten lukumäärästä n.

Tärkeä käsite on mittaustuloksen luotettavuus (α), ts. todennäköisyys, että mitatun suuren haluttu arvo osuu tietylle luottamusvälille.

Esimerkiksi työstökoneilla osia stabiilissa teknologisessa tilassa työstössä virheiden jakautuminen noudattaa normaalia lakia. Oletetaan, että osan pituustoleranssiksi on asetettu 2a. Tässä tapauksessa luottamusväli, jossa osan a pituuden haluttu arvo sijaitsee, on (a - a, a + a).

Jos 2a = ±3s, niin tuloksen luotettavuus on a = 0,68, eli 32 tapauksessa 100:sta osakoon tulisi olettaa ylittävän 2a:n toleranssin. Arvioitaessa osan laatua toleranssin 2a = ±3s mukaan tuloksen luotettavuus on 0,997. Tässä tapauksessa vain kolmen osan 1000:sta voidaan olettaa ylittävän vahvistetun toleranssin. Luotettavuuden lisääminen on kuitenkin mahdollista vain osan pituuden virheen pienentyessä. Joten luotettavuuden lisäämiseksi arvosta a = 0,68 arvoon a = 0,997, osan pituuden virhettä on vähennettävä kertoimella kolme.

Viime aikoina termi "mittauksen luotettavuus" on yleistynyt. Joissakin tapauksissa sitä käytetään kohtuuttomasti ilmaisun "mittaustarkkuus" sijaan. Joistakin lähteistä löytyy esimerkiksi ilmaus "mittausten yhtenäisyyden ja luotettavuuden vahvistaminen maassa". Sen sijaan olisi oikeampaa sanoa "ykseyden muodostaminen ja vaadittu mittaustarkkuus". Luotettavuus on mielestämme laadullinen ominaisuus, joka heijastaa satunnaisten virheiden nollan läheisyyttä. Kvantitatiivisesti se voidaan määrittää mittausten epäluotettavuuden kautta.

Mittausten epävarmuus(lyhyesti - epäluotettavuus) - arvio mittaussarjan tulosten välisestä erosta, joka johtuu satunnaisvirheiden kokonaisvaikutuksen vaikutuksesta (määritetty tilastollisilla ja ei-tilastollisilla menetelmillä), jolle on tunnusomaista arvoalue jossa mitatun suuren todellinen arvo sijaitsee.

Kansainvälisen paino- ja mittatoimiston suositusten mukaisesti epävarmuus ilmaistaan ​​mittausten kokonaisstandardivirheenä - Su sisältäen keskivirheen S (määritetty tilastollisilla menetelmillä) ja keskivirheen u (määritetty ei-tilastollisilla menetelmillä). ), eli

(1.20)

Rajoita mittausvirhe(lyhyesti - marginaalivirhe) - suurin mittausvirhe (plus, miinus), jonka todennäköisyys ei ylitä P:n arvoa, kun taas ero 1 - P on merkityksetön.

Esimerkiksi normaalijakaumalla satunnaisvirheen ±3 s todennäköisyys on 0,997 ja ero 1-P = 0,003 on merkityksetön. Siksi monissa tapauksissa rajaksi otetaan luottamusvirhe ±3s, ts. pr = ±3 s. Tarvittaessa pr:llä voi olla myös muita suhteita s:n kanssa riittävän suurelle P:lle (2s, 2,5s, 4s jne.).

Sen yhteydessä, että GSI-standardeissa käytetään termin "neliövirheen keskiarvo" sijaan termiä "neliökeskipoikkeama", jatkoperusteluissa noudatetaan tätä termiä.

Absoluuttinen mittausvirhe(lyhyesti - absoluuttinen virhe) - mittausvirhe, ilmaistuna mitatun arvon yksiköissä. Joten osan X pituuden mittausvirhe X mikrometreinä ilmaistuna on absoluuttinen virhe.

Käsitteitä "absoluuttinen virhe" ja "absoluuttinen virhearvo" ei pidä sekoittaa, mikä ymmärretään virheen arvona etumerkkiä ottamatta huomioon. Eli jos absoluuttinen mittausvirhe on ±2 μV, niin virheen absoluuttinen arvo on 0,2 μV.

Suhteellinen mittausvirhe(lyhyesti - suhteellinen virhe) - mittausvirhe ilmaistuna murto-osana mitatun arvon arvosta tai prosentteina. Suhteellinen virhe δ saadaan suhteista:

(1.21)

Esimerkiksi osan pituuden x = 10,00 mm todellinen arvo ja virheen absoluuttinen arvo x = 0,01 mm. Suhteellinen virhe tulee olemaan

Staattinen virhe on mittaustuloksen virhe, joka johtuu staattisen mittauksen olosuhteista.

Dynaaminen virhe on mittaustuloksen virhe, joka johtuu dynaamisen mittauksen olosuhteista.

Yksikön toistovirhe- fyysisen suuren yksikköä toistettaessa suoritettujen mittausten tulosten virhe. Joten virhe yksikön toistamisessa tilastandardia käyttämällä ilmaistaan ​​sen komponenttien muodossa: ei-suljettu systemaattinen virhe, jolle on tunnusomaista sen raja; satunnaisvirhe, jota luonnehtivat keskihajonnat s ja vuosittainen epävakaus ν.

Yksikkökoon lähetysvirhe on virhe mittaustuloksessa, joka on suoritettu siirrettäessä yksikön kokoa. Yksikkökoon lähetysvirhe sisältää ei-poissuljetut systemaattiset virheet sekä yksikkökoon siirtomenetelmän ja -välineen (esimerkiksi vertailijan) satunnaiset virheet.

Absoluuttinen laskentavirhe löydetään kaavasta:

Modulo-merkki osoittaa, että emme välitä kumpi arvo on suurempi ja mikä pienempi. Tärkeä, kuinka kaukana likimääräinen tulos poikkesi tarkasta arvosta suuntaan tai toiseen.

Suhteellinen laskentavirhe löydetään kaavasta:
tai sama:

Suhteellinen virhe näkyy millä prosentilla likimääräinen tulos poikkesi tarkasta arvosta. Kaavasta on versio ilman 100%:lla kertomista, mutta käytännössä näen melkein aina yllä olevan version prosentteina.

Lyhyen taustan jälkeen palataan ongelmaamme, jossa laskettiin funktion likimääräinen arvo käyttämällä differentiaalia.

Lasketaan funktion tarkka arvo mikrolaskimella:
Tarkkaan ottaen arvo on edelleen likimääräinen, mutta pidämme sitä tarkana. Tällaisia ​​tehtäviä tulee vastaan.

Laske absoluuttinen virhe:

Lasketaan suhteellinen virhe:
, saadaan prosentin tuhannesosia, joten differentiaali antoi vain suuren likiarvon.

Vastaus: , absoluuttinen laskentavirhe , suhteellinen laskentavirhe

Seuraava esimerkki on erilliselle ratkaisulle:

Esimerkki 4

kohdassa. Laske funktion tarkempi arvo tietyssä pisteessä, arvioi absoluuttiset ja suhteelliset laskentavirheet.

Karkea esimerkki työn viimeistelystä ja vastaus oppitunnin lopussa.

Monet ovat huomanneet, että juuret näkyvät kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä. Tämä ei ole sattumaa, useimmissa tapauksissa tarkasteltavassa ongelmassa todellakin ehdotetaan toimintoja, joilla on juuret.

Mutta kärsiville lukijoille kaivoin pienen esimerkin arcsinuksesta:

Esimerkki 5

Laske likimäärin differentiaalin avulla funktion arvo pisteessä

Tämä lyhyt mutta informatiivinen esimerkki on myös itsenäistä päätöstä varten. Ja lepäsin vähän harkitakseni erityistehtävää uudella tarmolla:

Esimerkki 6

Laske likimääräisesti differentiaalista, pyöristä tulos kahden desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu: Mitä uutta tehtävässä on? Ehdon mukaan tulos on pyöristettävä kahden desimaalin tarkkuudella. Mutta siitä ei ole kysymys, koulun pyöristysongelma ei mielestäni ole vaikea sinulle. Asia on siinä, että meille annetaan argumentin tangentti, joka ilmaistaan ​​asteina. Mitä tehdä, kun sinua pyydetään ratkaisemaan trigonometrinen funktio asteilla? Esimerkiksi , jne.

Ratkaisualgoritmi säilyy pohjimmiltaan, eli on tarpeen, kuten edellisissä esimerkeissä, soveltaa kaavaa

Kirjoita muistiin ilmeinen funktio

Arvo on esitettävä muodossa . Vakavaa apua tulee trigonometristen funktioiden arvotaulukko . Muuten, jos et ole tulostanut sitä, suosittelen tekemään niin, sillä sinun täytyy etsiä sieltä koko korkeamman matematiikan opiskelujakson ajan.

Taulukkoa analysoimalla huomaamme tangentin "hyvän" arvon, joka on lähellä 47 astetta:

Tällä tavalla:

Alustavan analyysin jälkeen asteet on muutettava radiaaneiksi. Kyllä, ja vain niin!

Tässä esimerkissä voit selvittää sen suoraan trigonometrisesta taulukosta. Kaava asteiden muuntamiseksi radiaaneiksi on: (kaavat löytyvät samasta taulukosta).

Lisämalli:

Tällä tavalla: (laskelmissa käytämme arvoa ). Tulos pyöristetään ehdon edellyttämällä tavalla kahteen desimaaliin.

Vastaus:

Esimerkki 7

Laske likimääräisesti differentiaalista, pyöristä tulos kolmen desimaalin tarkkuudella.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kuten näet, ei mitään monimutkaista, käännämme asteet radiaaneiksi ja noudatamme tavallista ratkaisualgoritmia.

Likimääräiset laskelmat käyttämällä kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalia

Kaikki on hyvin, hyvin samanlaista, joten jos tulit tälle sivulle tämän tehtävän kanssa, suosittelen ensin katsomaan ainakin pari esimerkkiä edellisestä kappaleesta.

Kappaleen tutkimiseksi sinun on kyettävä löytämään toisen asteen osittaiset johdannaiset , missä ilman niitä. Yllä olevassa oppitunnissa merkitsin kahden muuttujan funktiota kirjaimella . Tarkasteltavan tehtävän osalta on kätevämpää käyttää vastaavaa merkintää .

Kuten yhden muuttujan funktion tapauksessa, ongelman ehto voidaan muotoilla eri tavoin, ja yritän ottaa huomioon kaikki kohtaamat formulaatiot.

Esimerkki 8

Ratkaisu: Riippumatta siitä, kuinka ehto kirjoitetaan, itse ratkaisussa funktion osoittamiseksi, toistan, on parempi käyttää ei kirjainta "Z", vaan .

Ja tässä on työskentelykaava:

Edessämme on itse asiassa edellisen kappaleen kaavan vanhempi sisar. Muuttuja vain kasvoi. Mitä voin sanoa itselleni ratkaisualgoritmi on pohjimmiltaan sama!

Ehdon mukaan on löydettävä funktion likimääräinen arvo pisteestä .

Esitetään luku 3.04 muodossa . Piparkakkumies pyytää syötävänsä:
,

Esitetään lukua 3,95 muodossa . Käänne on tullut Kolobokin toiselle puoliskolle:
,

Ja älä katso kaikenlaisia ​​kettutemppuja, siellä on piparkakkumies - sinun täytyy syödä se.

Lasketaan funktion arvo pisteessä:

Funktion differentiaali pisteessä saadaan kaavasta:

Kaavasta seuraa, että sinun on löydettävä osittaiset johdannaiset ensimmäisen kertaluvun ja laske niiden arvot kohdassa .

Lasketaan ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat pisteessä:

Kokonaisero pisteessä:

Siten kaavan mukaan funktion likimääräinen arvo pisteessä:

Lasketaan funktion tarkka arvo pisteessä:

Tämä arvo on täysin oikea.

Virheet lasketaan käyttämällä vakiokaavoja, joita on jo käsitelty tässä artikkelissa.

Absoluuttinen virhe:

Suhteellinen virhe:

Vastaus: , absoluuttinen virhe: , suhteellinen virhe:

Esimerkki 9

Laske funktion likimääräinen arvo Arvioi absoluuttinen ja suhteellinen virhe jossain pisteessä, jossa käytetään täyttä differentiaalia.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Se, joka asuu yksityiskohtaisemmin tässä esimerkissä, kiinnittää huomiota siihen, että laskentavirheet osoittautuivat erittäin, hyvin havaittaviksi. Tämä tapahtui seuraavasta syystä: ehdotetussa tehtävässä argumenttien lisäykset ovat riittävän suuria: .

Yleinen malli on a - mitä suuremmat nämä lisäykset itseisarvoissa ovat, sitä pienempi on laskelmien tarkkuus. Joten esimerkiksi samanlaisen pisteen lisäykset ovat pieniä: , ja likimääräisten laskelmien tarkkuus on erittäin korkea.

Tämä ominaisuus pätee myös yhden muuttujan funktion tapauksessa (oppitunnin ensimmäinen osa).

Esimerkki 10

Ratkaisu: Lasketaan tämä lauseke likimäärin käyttämällä kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalia:

Ero esimerkeistä 8-9 on se, että meidän on ensin muodostettava funktio kahdesta muuttujasta: . Se, miten funktio muodostuu, on mielestäni intuitiivisesti kaikille selvää.

Arvo 4,9973 on lähellä "viisi", joten: , .
Arvo 0,9919 on lähellä "yksi", joten oletetaan: , .

Lasketaan funktion arvo pisteessä:

Löydämme differentiaalin pisteestä kaavalla:

Tätä varten laskemme ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat pisteessä .

Tässä olevat johdannaiset eivät ole yksinkertaisimpia, ja sinun tulee olla varovainen:

;

.

Kokonaisero pisteessä:

Näin ollen tämän lausekkeen likimääräinen arvo:

Lasketaan tarkempi arvo mikrolaskimella: 2.998899527

Etsitään suhteellinen laskentavirhe:

Vastaus: ,

Vain esimerkki yllä olevasta, tarkasteltavassa ongelmassa argumenttien lisäykset ovat hyvin pieniä, ja virhe osoittautui fantastisen vähäiseksi.

Esimerkki 11

Laske likimäärin tämän lausekkeen arvo käyttämällä kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalia. Laske sama lauseke mikrolaskimella. Arvioi laskelmien suhteellinen virhe prosentteina.

Tämä on tee-se-itse-esimerkki. Likimääräinen näyte viimeistelystä oppitunnin lopussa.

Kuten jo todettiin, yleisin vieras tämäntyyppisissä tehtävissä on jonkinlainen juuret. Mutta silloin tällöin on muitakin toimintoja. Ja viimeinen yksinkertainen esimerkki rentoutumiseen:

Esimerkki 12

Laske likimäärin funktion if arvo käyttämällä kahden muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalia

Ratkaisu on lähempänä sivun alaosaa. Jälleen kerran kiinnitä huomiota oppitunnin tehtävien sanamuotoon, eri esimerkeissä käytännössä sanamuoto voi olla erilainen, mutta tämä ei muuta olennaisesti ratkaisun olemusta ja algoritmia.

Rehellisesti sanottuna olin hieman väsynyt, koska materiaali oli tylsää. Ei ollut pedagogista sanoa artikkelin alussa, mutta nyt se on jo mahdollista =) Laskennallisen matematiikan ongelmat eivät todellakaan ole yleensä kovin vaikeita, eivät kovin mielenkiintoisia, tärkeintä ehkä ei ole tehdä virhe tavallisissa laskelmissa.

Älkääkä pyyhkikö laskimen näppäimiä pois!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2:

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:
Tässä tapauksessa: , ,

Tällä tavalla:

Vastaus:

Esimerkki 4:

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:
Tässä tapauksessa: , ,

Tällä tavalla:

Lasketaan funktion tarkempi arvo mikrolaskimella:

Absoluuttinen virhe:

Suhteellinen virhe:

Vastaus: , absoluuttinen laskentavirhe , suhteellinen laskentavirhe

Esimerkki 5:

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:

Tässä tapauksessa: , ,

Tällä tavalla:

Vastaus:

Esimerkki 7:

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:
Tässä tapauksessa: , ,

Mittattaessa jotain on otettava huomioon, että saatu tulos ei ole vielä lopullinen. Halutun arvon laskemiseksi tarkemmin on otettava huomioon virhe. Sen laskeminen on melko yksinkertaista.

Kuinka löytää virhe - laskenta

Virhetyypit:

• suhteellinen;
• ehdoton.

Mitä sinun tarvitsee laskea:

• laskin;
• useiden saman suuren mittausten tulokset.

Virheen löytäminen - toimintosarja

• Mittaa arvo 3-5 kertaa.
• Laske yhteen kaikki tulokset ja jaa saatu luku niiden numerolla. Tämä luku on todellinen arvo.
• Laske absoluuttinen virhe vähentämällä mittaustuloksista edellisessä vaiheessa saatu arvo. Kaava: ∆X = Hisl - Hist. Laskelmien aikana voit saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Kummassakin tapauksessa otetaan tuloksen moduuli. Jos on tarpeen tietää kahden suuren summan absoluuttinen virhe, niin laskelmat suoritetaan seuraavan kaavan mukaan: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Se toimii myös silloin, kun on tarpeen laskea kahden suuren eron virhe: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Selvitä kunkin mittauksen suhteellinen virhe. Tässä tapauksessa sinun on jaettava saatu absoluuttinen virhe todellisella arvolla. Kerro sitten osamäärä 100 %:lla. e(x)=Ax/x0*100 %. Arvo voidaan muuntaa prosentteiksi tai ei.
• Virheen tarkemman arvon saamiseksi on tarpeen löytää keskihajonta. Sitä etsitään yksinkertaisesti: laske absoluuttisen virheen kaikkien arvojen neliöt ja etsi sitten niiden summa. Saatu tulos on jaettava luvulla (N-1), jossa N on kaikkien mittausten lukumäärä. Viimeinen vaihe on poimia juuri tuloksesta. Tällaisten laskelmien jälkeen saadaan standardipoikkeama, joka yleensä kuvaa mittausvirhettä.
• Rajoittavan absoluuttisen virheen löytämiseksi on löydettävä pienin luku, joka arvossaan on yhtä suuri tai suurempi kuin absoluuttisen virheen arvo.
• Rajavaa suhteellista virhettä etsitään samalla menetelmällä, vain on löydettävä luku, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin suhteellisen virheen arvo.

Mittausvirheet syntyvät eri syistä ja vaikuttavat saadun arvon tarkkuuteen. Kun tiedät, mikä virhe on yhtä suuri, voit saada tarkemman mittausarvon.