1. vuoden opiskelijan itsenäinen työskentely aiheesta Tutkinnot voimassa olevalla mittarilla. Tutkintoominaisuudet reaalieksponentilla (6 tuntia)
Teoreettisen materiaalin opiskelu ja muistiinpanojen tekeminen (2 tuntia)
Ratkaise ristisanatehtävä (2 tuntia)
Tee läksyt (2 tuntia)
Viite- ja didaktinen materiaali on alla.
Tutkinnon käsitteestä rationaalisen eksponentin kanssa
Jotkut enitenyleinen
Transsendenttisten toimintojen tyypit ennen
Täysin ohjeellinen, avoin pääsy
Monet tutkimukset.
L. Eiler
Yhä monimutkaisempien algebrallisten ongelmien ratkaisemisen ja potenssien kanssa operoinnin harjoittelusta tuli tarpeelliseksi yleistää asteen käsite ja laajentaa sitä ottamalla eksponenttinä käyttöön nolla-, negatiivi- ja murtolukuja.
Tasa-arvoa a 0 = 1 (for ) käytettiin hänen kirjoituksissaan 1400-luvun alussa. Samarkandin tiedemies al-Kashi. Hänestä riippumatta N. Shuke otti käyttöön nolla-indikaattorin 1400-luvulla. Jälkimmäinen toi myös negatiiviset eksponentit. Ajatus murto-osien eksponenteista sisältyy ranskalaisen matemaatikon N. Oremin (XIV vuosisata) teokseensa.
teos "Muhtasuhteiden algorismi". Merkimme sijasta hän kirjoitti , sen sijaan 4. Orem muotoilee sanallisesti säännöt asteittaisille toimille, esimerkiksi (nykyaikaisessa merkinnässä): , 
jne.
Myöhemmin sekä murto- että negatiiviset eksponentit löytyvät saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin ja S. Stevinin teoksesta "Täydellinen aritmetiikka" (1544). Jälkimmäinen kirjoittaa, että tutkinnon juuri P numerosta a voidaan laskea tutkintoksi a murto-osan kanssa.
Englantilainen matemaatikko John Vallis kirjoitti ensimmäisen kerran yksityiskohtaisesti vuonna 1665 nolla-, negatiivi- ja murto-indikaattoreiden sekä nykyaikaisten symbolien käyttöönoton tarkoituksenmukaisuuden. Hänen työnsä viimeisteli I. Newton, joka alkoi systemaattisesti soveltaa uusia symboleja, minkä jälkeen ne tulivat yleiseen käyttöön.
Tutkinnon käyttöönotto rationaalisen eksponentin kanssa on yksi monista esimerkeistä matemaattisen toiminnan käsitteen yleistämisestä. Aste, jossa on nolla-, negatiivinen ja murto-eksponentti, määritellään siten, että siihen pätevät samat toimintasäännöt kuin luonnollisen eksponentin asteella, eli siten, että alunperin määritellyn astekäsitteen perusominaisuudet säilyvät. , nimittäin:
Uusi rationaalisen eksponentin tutkinnon määritelmä ei ole ristiriidassa luonnollisella eksponentilla varustetun tutkinnon vanhan määritelmän kanssa, eli uuden rationaalisen eksponentin tutkinnon määritelmän merkitys säilyy tutkinnon erityistapauksessa, jossa on rationaalinen eksponentti. luonnollinen eksponentti. Tätä matemaattisten käsitteiden yleistämisessä havaittua periaatetta kutsutaan pysyvyysperiaatteeksi (säilyvyys, pysyvyys). Englantilainen matemaatikko J. Peacock ilmaisi sen epätäydellisessä muodossa vuonna 1830, ja saksalainen matemaatikko G. Hankel vahvisti sen täysin ja selkeästi vuonna 1867. Pysyvyysperiaatetta noudatetaan myös yleistettäessä luvun käsitettä ja laajennettaessa se reaaliluvun käsitteeseen ja ennen sitä murtoluvulla kertomisen käsitteen käyttöönotto jne.
Virtatoiminto jagraafinenyhtälöiden ratkaiseminen jaepätasa-arvoa
Koordinaattimenetelmän ja analyyttisen geometrian löytämisen ansiosta aloita 1600-luvulta. Yleisesti soveltuva funktioiden graafinen tutkimus ja yhtälöiden graafinen ratkaisu tuli mahdolliseksi.
Tehoa funktio on muodon funktio
missä α on vakio reaaliluku. Aluksi kuitenkin rajoitumme rationaalisiin α:n arvoihin ja kirjoitamme tasa-arvon (1) sijaan:
missä - rationaalinen luku. Meillä on vastaavasti ja määritelmän mukaan:
klo=1, y = x.
ajoittaa ensimmäinen näistä funktioista tasossa on akselin suuntainen suora Vai niin, ja toinen on 1. ja 3. koordinaattikulman puolittaja.
Kun funktiokaavio on paraabeli . Descartes, joka merkitsi ensimmäistä tuntematonta z, toinen - läpi y, kolmas - läpi x:, kirjoitti paraabeliyhtälön näin: ( z- abskissa). Hän käytti usein paraabelia yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi 4. asteen yhtälön ratkaisemiseksi
Descartes vaihdon kautta
sai toisen asteen yhtälön kahdella tuntemattomalla:
joka kuvaa yhdessä tasossa olevaa ympyrää (zx) kanssa paraabeli (4). Siten Descartes esittelee toisen tuntemattoman (X), jakaa yhtälön (3) kahdeksi yhtälöksi (4) ja (5), joista kumpikin edustaa tiettyä pisteen paikkaa. Niiden leikkauspisteiden ordinaatit antavat yhtälön (3) juuret.
”Eräänä päivänä kuningas päätti valita ensimmäisen apulaisensa hovimiesten joukosta. Hän johti kaikki suureen linnaan. "Se, joka avaa sen ensin, on ensimmäinen auttaja." Kukaan ei edes koskenut linnaan. Vain yksi visiiri tuli ylös ja työnsi lukon, joka avautui. Se ei ollut lukossa.
Sitten kuningas sanoi: "Saat tämän aseman, koska et luota vain siihen, mitä näet ja kuulet, vaan luotat omaan voimaan etkä pelkää yrittää."
Ja tänään yritämme, yritämme tehdä oikean päätöksen.
1. Mihin matemaattiseen käsitteeseen sanat liittyvät:
Pohja
Indikaattori (tutkinto)
Mitkä sanat voivat yhdistää sanat:
rationaalinen luku
Kokonaisluku
Luonnollinen luku
Irrationaalinen luku (todellinen luku)
Muotoile oppitunnin aihe. (Power reaalieksponentilla)
- toista tutkinnon ominaisuudet
– harkita asteominaisuuksien käyttöä laskelmissa ja lausekkeiden yksinkertaistamista
- laskennallisten taitojen kehittäminen.
Joten a p, jossa p on reaaliluku.
Anna esimerkkejä (valitse lausekkeista 5–2, , 43, ) astetta
- luonnollisella indikaattorilla
- kokonaislukuarvolla
- järkevällä indikaattorilla
- irrationaalisella indikaattorilla
Mille a:n arvoille lauseke on järkevä?
a n , missä n (a on mikä tahansa)
a m , missä m (eikä yhtä kuin 0) Kuinka siirtyä negatiivisesta eksponentista positiiviseen eksponenttiin?
Missä p, q (a > 0)
Mitä toimintoja (matemaattisia operaatioita) voidaan suorittaa asteilla?
Aseta ottelu:
|
Kun potenssit kerrotaan yhtäläisillä emäksillä |
Kantaukset kerrotaan, mutta eksponentti pysyy samana |
|
Kun voimat jaetaan yhtäläisillä emäksillä |
Kantakohdat jaetaan, mutta eksponentti pysyy samana |
Sen jälkeen kun se on päätetty aste, on loogista puhua asteen ominaisuudet. Tässä artikkelissa annamme luvun asteen perusominaisuudet, samalla kun kosketamme kaikkia mahdollisia eksponenteja. Tässä annamme todisteet kaikista tutkinnon ominaisuuksista ja näytämme myös kuinka näitä ominaisuuksia käytetään esimerkkejä ratkaistaessa.
Sivulla navigointi.
Asteiden ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla
Tekijä: tutkinnon määrittäminen luonnollisella indikaattorilla a n:n potenssi on n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a . Tämän määritelmän perusteella ja käyttämällä reaalilukujen kertolaskuominaisuudet, voimme saada ja perustella seuraavan asteen ominaisuudet luonnollisen eksponentin kanssa:
- asteen pääominaisuus a m ·a n =a m+n , sen yleistys ;
- samoilla kantakantoilla olevien osapotenssien ominaisuus a m:a n =a m−n ;
- tuotteen asteen ominaisuus (a b) n =a n b n , sen laajennus ;
- luontoissuorituksen osamäärä (a:b) n =a n:b n ;
- eksponentio (a m) n =a m n , sen yleistys (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- vertaa astetta nollaan:
- jos a>0, niin a n >0 mille tahansa luonnolliselle n:lle;
- jos a=0, niin an=0;
- jos<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jos a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- jos a ja b ovat positiivisia lukuja ja a
- jos m ja n ovat luonnollisia lukuja, joissa m>n , niin 0:ssa
- jos m ja n ovat luonnollisia lukuja, joissa m>n , niin 0:ssa
Huomaamme heti, että kaikki kirjoitetut yhtäläisyydet ovat identtinen määritetyissä olosuhteissa, ja niiden oikea ja vasen osa voidaan vaihtaa keskenään. Esimerkiksi murto-osan pääominaisuus a m a n = a m + n kanssa ilmaisujen yksinkertaistaminen käytetään usein muodossa a m+n = a m a n .
Katsotaanpa nyt jokaista niistä yksityiskohtaisesti.
Aloitetaan kahden saman kantavan potenssin tulon ominaisuudesta, jota kutsutaan tutkinnon pääominaisuus: mille tahansa reaaliluvulle a ja kaikille luonnollisille luvuille m ja n yhtälö a m ·a n =a m+n on tosi.
Todistakaamme tutkinnon pääominaisuus. Luonnollisella eksponentilla varustetun asteen määritelmän mukaan muodon a m a n samoilla kantakantoilla olevien potenssien tulo voidaan kirjoittaa tuloksi. Kertolaskuominaisuuksien vuoksi tuloksena oleva lauseke voidaan kirjoittaa muodossa 
, ja tämä tulo on a:n potenssi luonnollisella eksponentilla m+n , eli a m+n . Tämä täydentää todistuksen.
Annetaan esimerkki, joka vahvistaa tutkinnon pääominaisuuden. Otetaan asteet, joilla on sama kantakanta 2 ja luonnolliset potenssit 2 ja 3, asteen pääominaisuuden mukaan voidaan kirjoittaa yhtälö 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Tarkastetaan sen pätevyys, jolle lasketaan lausekkeiden 2 2 · 2 3 ja 2 5 arvot. Täyttää eksponentio, meillä on 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 ja 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, koska saadaan yhtäläiset arvot, yhtälö 2 2 2 3 \u003d 2 5 on oikea, ja se vahvistaa tutkinnon pääominaisuuden.
Kertolaskuominaisuuksiin perustuva asteen pääominaisuus voidaan yleistää kolmen tai useamman asteen tuloksi samoilla kanta- ja luonnollisilla eksponenteilla. Joten mille tahansa luvulle k luonnollisten lukujen n 1 , n 2 , …, n k yhtälö a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Esimerkiksi, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Voit siirtyä seuraavaan asteiden ominaisuuteen luonnollisella indikaattorilla - samoilla perusteilla olevien osittaisten valtuuksien ominaisuus: mille tahansa nollasta poikkeavalle reaaliluvulle a ja mielivaltaisille luonnollisille luvuille m ja n, jotka täyttävät ehdon m>n , yhtälö a m:a n =a m−n on tosi.
Ennen kuin annat todisteen tästä ominaisuudesta, keskustellaan lausunnon lisäehtojen merkityksestä. Ehto a≠0 on välttämätön nollalla jakamisen välttämiseksi, koska 0 n =0, ja kun tutustuimme jakoon, sovittiin, että nollalla jakaminen on mahdotonta. Ehto m>n otetaan käyttöön, jotta emme ylitä luonnollisia eksponenteja. Todellakin, kun eksponentti m>n a m-n on luonnollinen luku, muuten se on joko nolla (m-n:lle) tai negatiivinen luku (m-n kohdalla Todiste. Murtoluvun pääominaisuus antaa meille mahdollisuuden kirjoittaa yhtäläisyys a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Saadusta yhtälöstä a m−n ·a n =a m ja siitä seuraa, että m−n on potenssien a m ja a n osamäärä. Tämä todistaa osittaisten potenssien ominaisuuden samoilla perusteilla. Otetaan esimerkki. Otetaan kaksi astetta samoilla kantakantoilla π ja luonnollisilla eksponenteilla 5 ja 2, asteen tarkasteltu ominaisuus vastaa yhtälöä π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Harkitse nyt tuotteen tutkinnon omaisuus: minkä tahansa kahden reaaliluvun a ja b tulon luonnollinen aste n on yhtä suuri kuin asteiden a n ja b n tulo, eli (a b) n =a n b n . Itse asiassa meillä on luonnollisen eksponentin asteen määritelmä Tässä on esimerkki: Tämä ominaisuus ulottuu kolmen tai useamman tekijän tulon asteeseen. Eli k tekijän tulon luonnollinen tehoominaisuus n kirjoitetaan muodossa (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Selvyyden vuoksi näytämme tämän ominaisuuden esimerkin avulla. Kolmen tekijän tulolle potenssilla 7 meillä on . Seuraava kiinteistö on luonnon omaisuutta: reaalilukujen a ja b, b≠0 osamäärä luonnolliseen potenssiin n on yhtä suuri kuin potenssien a n ja b n osamäärä, eli (a:b) n =a n:b n . Todistus voidaan suorittaa käyttämällä edellistä ominaisuutta. Niin (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, ja yhtälö (a:b) n b n =a n tarkoittaa, että (a:b) n on a n:n osamäärä jaettuna luvulla b n . Kirjoitetaan tämä ominaisuus tiettyjen numeroiden esimerkillä: Nyt ääneen eksponentioominaisuus: mille tahansa reaaliluvulle a ja mille tahansa luonnolliselle luvulle m ja n, potenssi a m:n potenssiin n on yhtä suuri kuin a:n potenssi, jonka eksponentti on m·n, eli (a m) n =a m·n . Esimerkiksi (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 . Todiste tehoominaisuudesta asteella on seuraava yhtälöketju: Tarkasteltavaa ominaisuutta voidaan laajentaa asteen sisällä asteen sisällä ja niin edelleen. Esimerkiksi kaikille luonnollisille luvuille p, q, r ja s yhtälö Jää vielä miettiä asteiden vertaamisen ominaisuuksia luonnollisen eksponentin kanssa. Aloitetaan todistamalla nollan ja potenssin vertailuominaisuus luonnollisella eksponentilla. Perustellaan ensin, että a n >0 mille tahansa a>0:lle. Kahden positiivisen luvun tulo on positiivinen luku, kuten kertolaskun määritelmästä seuraa. Tämä tosiasia ja kertolaskuominaisuudet antavat meille mahdollisuuden väittää, että minkä tahansa positiivisten lukujen kertomisen tulos on myös positiivinen luku. Ja a:n potenssi luonnollisella eksponentilla n on määritelmän mukaan n tekijän tulo, joista jokainen on yhtä suuri kuin a. Nämä argumentit antavat meille mahdollisuuden väittää, että millä tahansa positiivisella kannalla a n:n aste on positiivinen luku. Todistetun ominaisuuden perusteella 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 ja On aivan selvää, että minkä tahansa luonnollisen n:n kohdalla, jonka a=0, a n:n aste on nolla. Todellakin, 0 n = 0·0·…·0=0. Esimerkiksi 0 3 =0 ja 0 762 =0 . Siirrytään negatiivisiin perusteisiin. Aloitetaan tapauksesta, jossa eksponentti on parillinen luku, merkitse se 2 m , missä m on luonnollinen luku. Sitten Lopuksi, kun a:n kanta on negatiivinen luku ja eksponentti on pariton luku 2 m−1, niin Siirrymme ominaisuuteen verrata asteita samojen luonnollisten eksponentien kanssa, jolla on seuraava muotoilu: kahden asteen, joilla on samat luonnolliset eksponentit, n on pienempi kuin se, jonka kanta on pienempi, ja enemmän kuin se, jonka kanta on suurempi. Todistetaan se. Epätasa-arvo a n eriarvoisuuksien ominaisuudet epäyhtälö on todistettu muotoa a n (2,2) 7 ja On vielä todistettava viimeinen luetelluista voimien ominaisuuksista luonnollisilla eksponenteilla. Muotoillaan se. Kahdesta asteesta, joilla on luonnolliset indikaattorit ja samat positiiviset kantat, vähemmän kuin yksi, aste on suurempi, jonka indikaattori on pienempi; ja kahden asteen luonnollisilla indikaattoreilla ja samoilla kantaluvuilla, jotka ovat suurempia kuin yksi, aste, jonka indikaattori on suurempi, on suurempi. Siirrymme tämän ominaisuuden todisteeseen. Todistetaan, että m>n ja 0 Vielä on todistettava omaisuuden toinen osa. Osoitetaan, että m>n:lle ja a>1:lle a m >a n on tosi. Ero a m −a n, kun n on otettu pois suluista, on muotoa a n ·(a m−n −1) . Tämä tulo on positiivinen, koska a>1:lle n:n aste on positiivinen luku ja ero a m−n −1 on positiivinen luku, koska m−n>0 alkuehdon vuoksi, ja kun a>1, m−n:n aste on suurempi kuin yksi . Siksi a m − a n >0 ja a m >a n , joka oli todistettava. Tätä ominaisuutta kuvaa epäyhtälö 3 7 >3 2 .
. Viimeinen tulo, joka perustuu kertolaskuominaisuuksiin, voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon 
, joka on yhtä suuri kuin a n b n .
.
.
.
. Selvyyden vuoksi tässä on esimerkki tietyillä numeroilla: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Jokaiselle muodon a·a tulolle on yhtä suuri kuin lukujen a moduulien tulo ja a on siksi positiivinen luku. Siksi tuote on myös positiivinen. 
ja aste a 2 m. Tässä on esimerkkejä: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 ja .
. Kaikki tulot a·a ovat positiivisia lukuja, myös näiden positiivisten lukujen tulo on positiivinen, ja sen kertominen jäljellä olevalla negatiivisella luvulla a johtaa negatiiviseen luvun. Tämän ominaisuuden ansiosta (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponenteilla
Koska positiiviset kokonaisluvut ovat luonnollisia lukuja, kaikki positiivisten kokonaislukueksponenttien potenssien ominaisuudet ovat täsmälleen samat kuin edellisessä kappaleessa lueteltujen ja todistettujen potenssien ominaisuudet.
Aste negatiivisella kokonaisluvulla, samoin kuin nollaeksponentin asteen, määritimme siten, että kaikki yhtälöillä ilmaistujen luonnollisten eksponenttien asteiden ominaisuudet pysyvät voimassa. Siksi kaikki nämä ominaisuudet pätevät sekä nollaeksponenteille että negatiivisille eksponenteille, kun taas tietysti asteiden kantakohdat ovat nollia poikkeavat.
Joten kaikki todelliset ja nollasta poikkeavat luvut a ja b sekä kaikki kokonaisluvut m ja n ovat totta asteiden ominaisuudet kokonaislukueksponenteilla:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m-n;
- (ab) n = anbn;
- (a:b) n =a n:bn;
- (a m) n = a mn;
- jos n on positiivinen kokonaisluku, a ja b ovat positiivisia lukuja ja a b-n;
- jos m ja n ovat kokonaislukuja ja m>n , niin kohdassa 0
Kun a=0, potenssit a m ja a n ovat järkeviä vain, kun sekä m että n ovat positiivisia kokonaislukuja, eli luonnollisia lukuja. Näin ollen juuri kirjoitetut ominaisuudet pätevät myös niissä tapauksissa, joissa a=0 ja luvut m ja n ovat positiivisia kokonaislukuja.
Kaikkien näiden ominaisuuksien todistaminen ei ole vaikeaa, tätä varten riittää, että käytetään asteen määritelmiä luonnollisella ja kokonaislukueksponentilla sekä toimintojen ominaisuuksia reaaliluvuilla. Osoitetaan esimerkkinä, että tehoominaisuus pätee sekä positiivisille kokonaisluvuille että ei-positiivisille kokonaisluvuille. Tätä varten meidän on osoitettava, että jos p on nolla tai luonnollinen luku ja q on nolla tai luonnollinen luku, yhtälöt (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) ja (a-p)-q =a (-p) (-q). Tehdään se.
Positiivisille p:lle ja q:lle yhtäläisyys (a p) q =a p·q todistettiin edellisessä alaluvussa. Jos p=0, niin meillä on (a 0) q =1 q =1 ja a 0 q =a 0 =1, josta (a 0) q =a 0 q . Vastaavasti, jos q = 0, niin (a p) 0 = 1 ja a p 0 =a 0 = 1, mistä (a p) 0 = a p 0 . Jos sekä p=0 että q=0, niin (a 0) 0 =1 0 =1 ja a 0 0 =a 0 =1, mistä (a 0) 0 =a 0 0.
Osoitetaan nyt, että (a −p) q =a (−p) q . Negatiivisen kokonaislukueksponentin asteen määritelmän mukaan siis 
. Asteen osamäärän ominaisuudella meillä on 
. Koska 1 p =1·1·…·1=1 ja , niin . Viimeinen lauseke on määritelmän mukaan potenssi muotoa a −(p q) , joka kertolaskusääntöjen nojalla voidaan kirjoittaa muodossa (−p) q .
samoin 
.
Ja 
.
Samalla periaatteella voidaan todistaa kaikki muut asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla, joka on kirjoitettu yhtäläisyyksiin.
Tallennetuista ominaisuuksista toiseksi viimeisessä kannattaa keskittyä epäyhtälön a −n >b −n todistukseen, joka pätee mille tahansa negatiiviselle kokonaisluvulle −n ja mille tahansa positiiviselle a ja b, jolle ehto a . Koska ehdolla a 0 . Tulo a n ·b n on myös positiivinen positiivisten lukujen a n ja b n tulona. Tällöin saatu murto-osa on positiivinen positiivisten lukujen b n − a n ja a n b n osamääränä. Siten mistä a −n >b −n , joka oli todistettava.
Asteiden viimeinen ominaisuus kokonaislukueksponenteilla todistetaan samalla tavalla kuin asteiden analoginen ominaisuus luonnollisilla eksponenteilla.
Potenssien ominaisuudet rationaalisilla eksponenteilla
Aste murtoluvulla määritimme laajentamalla siihen asteen ominaisuudet kokonaislukueksponentilla. Toisin sanoen asteilla, joissa on murto-eksponentti, on samat ominaisuudet kuin asteikolla kokonaislukueksponenteilla. Nimittäin:
Asteiden ominaisuuksien todistaminen murto-eksponenteilla perustuu asteen määrittelyyn murto-eksponentilla, kokonaislukueksponentilla varustetun asteen ominaisuuksiin ja ominaisuuksiin. Annetaan todiste.
Asteen määritelmän mukaan murto-eksponentti ja , sitten 
. Aritmeettisen juuren ominaisuudet antavat meille mahdollisuuden kirjoittaa seuraavat yhtälöt. Lisäksi käyttämällä asteen ominaisuutta kokonaislukueksponentin kanssa saamme , josta murto-eksponentin asteen määritelmän mukaan meillä on 
, ja saadun asteen eksponentti voidaan muuntaa seuraavasti: . Tämä täydentää todistuksen.
Toinen potenssien ominaisuus murto-osien eksponenteilla todistetaan täsmälleen samalla tavalla: 
Loput yhtäläisyydet todistetaan vastaavilla periaatteilla: 
Siirrymme seuraavan ominaisuuden todisteeseen. Osoittakaamme, että mille tahansa positiiviselle a ja b , a b p . Kirjoitamme rationaaliluvun p muodossa m/n , missä m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku. Ehdot s<0 и p>0 tässä tapauksessa vastaa ehtoja m<0 и m>0 vastaavasti. m>0 ja a
Samoin m<0 имеем a m >b m , mistä , eli ja a p >b p .
On vielä todistettava viimeinen listatuista ominaisuuksista. Osoitetaan, että rationaalisille luvuille p ja q p>q arvolla 0 
ja 
. Ja asteen määritelmä rationaalisella eksponentilla antaa meille mahdollisuuden siirtyä epäyhtälöihin ja vastaavasti. Tästä teemme lopullisen johtopäätöksen: p>q:lle ja 0:lle
Asteiden ominaisuudet irrationaalisilla eksponenteilla
Siitä, miten se määritellään aste irrationaalisella eksponentilla, voimme päätellä, että sillä on kaikki potenssien ominaisuudet rationaalisilla eksponenteilla. Joten mille tahansa a>0 , b>0 ja irrationaalisille luvuille p ja q seuraavat ovat totta asteiden ominaisuudet irrationaalisilla eksponenteilla:
- a p aq = ap + q;
- a p:a q = a p-q;
- (a b) p = ap bp;
- (a:b) p =a p:bp;
- (a p) q = a pq;
- kaikille positiivisille luvuille a ja b , a 0 epätasa-arvo a p bp;
- irrationaalisille luvuille p ja q , p>q 0:ssa
Tästä voidaan päätellä, että potenssilla, jolla on mikä tahansa reaalieksponentti p ja q a>0:lle, on samat ominaisuudet.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematiikan Zh oppikirja 5 solulle. koulutusinstituutiot.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 7 solulle. koulutusinstituutiot.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 8 solulle. koulutusinstituutiot.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: oppikirja 9 solulle. koulutusinstituutiot.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja muut Algebra ja analyysin alku: Oppikirja yleisten oppilaitosten luokille 10-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (käsikirja teknisiin kouluihin hakijoille).
Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteen ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Rationaalisilla mittareilla varustettuja tutkintoja ja niiden ominaisuuksia käsitellään luokan 8 tunneilla.
Eksponentilla, jossa on luonnollinen eksponentti, on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voit yksinkertaistaa laskelmia eksponentiesimerkeissä.
Kiinteistö nro 1
Voimien tuote
Muistaa!
Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit lisätään.
a m a n \u003d a m + n, jossa "a" - mikä tahansa luku ja" m", " n" - mikä tahansa luonnollinen luku.
Tämä tehojen ominaisuus vaikuttaa myös kolmen tai useamman potenssin tuloon.
- Yksinkertaista ilmaisu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Esitä tutkinnona.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Esitä tutkinnona.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Tärkeä!
Huomaa, että ilmoitetussa ominaisuudessa oli kyse vain voimien kertomisesta samoilla perusteilla . Se ei koske niiden lisäämistä.
Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5 . Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243
Kiinteistö nro 2
Yksityiset tutkinnot
Muistaa!
Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 - 4
Vastaus: t = 3 4 = 81Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.
- Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5 - Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo asteominaisuuksien avulla.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Tärkeä!
Huomaa, että kiinteistö 2 käsitteli vain toimivallan jakoa samoilla perusteilla.
Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1 . Tämä on ymmärrettävää, jos ajattelemme (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , ja 4 1 = 4
Ole varovainen!
Kiinteistö nro 3
EksponentointiMuistaa!
Kun potenssi nostetaan potenssiksi, potenssin kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.
(a n) m \u003d a n m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.
Ominaisuudet 4
TuotetutkintoMuistaa!
Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen tekijä korotetaan potenssiin. Sitten tulokset kerrotaan.
(a b) n \u003d a n b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja; "n" - mikä tahansa luonnollinen luku.
- Esimerkki 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - Esimerkki 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Tärkeä!
Huomaa, että ominaisuutta nro 4, kuten muitakin asteen ominaisuuksia, sovelletaan myös käänteisessä järjestyksessä.
(a n b n) = (a b) nToisin sanoen, jos haluat kertoa asteet samoilla eksponenteilla, voit kertoa kantakannat ja jättää eksponentin ennalleen.
- Esimerkki. Laskea.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Esimerkki. Laskea.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Monimutkaisemmissa esimerkeissä voi olla tapauksia, joissa kertominen ja jako on suoritettava potenssien kanssa, joilla on eri kanta ja eri eksponentti. Tässä tapauksessa suosittelemme toimimaan seuraavasti.
Esimerkiksi, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Esimerkki desimaaliluvun eksponentioinnista.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = neljäOminaisuudet 5
Osamäärän potenssi (murtoluvut)Muistaa!
Nostaaksesi osamäärän potenssiin voit nostaa osinkoa ja jakajaa erikseen tähän potenssiin ja jakaa ensimmäisen tuloksen toisella.
(a: b) n \u003d a n: b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja, b ≠ 0, n on mikä tahansa luonnollinen luku.
- Esimerkki. Ilmaise lauseke osapotenssina.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.
- Esimerkki 1
Tämä oppitunti on osa aihetta "Voteja ja juuria sisältävien lausekkeiden muunnokset".
Yhteenveto on tutkinnon ominaisuuksia käsittelevän oppitunnin yksityiskohtainen kehitys rationaalisella ja todellisella indikaattorilla. Käytetään tietokone-, ryhmä- ja pelioppimistekniikoita.
Ladata:
Esikatselu:
Algebran oppitunnin menetelmällinen kehittäminen
matematiikan opettaja GAU KO PO KST
Pekhova Nadezhda Jurievna
aiheesta: "Tutkinnon ominaisuudet rationaalisella ja todellisella eksponentilla."
Oppitunnin tavoitteet:
- koulutus: tutkinnon ominaisuuksien tietämyksen vahvistaminen ja syventäminen rationaalisella indikaattorilla ja niiden soveltaminen harjoituksissa; tutkintojen kehityshistorian tietämyksen parantaminen;
- kehittäminen: itse- ja keskinäisen hallinnan taidon kehittäminen; älyllisten kykyjen, ajattelutaitojen kehittäminen,
- kasvatus: kognitiivisen kiinnostuksen kasvatus aihetta kohtaan, vastuunkasvatus tehdystä työstä, auttaa luomaan aktiivisen luovan työn ilmapiiriä.
Oppitunnin tyyppi: Oppitunteja tietojen, taitojen ja kykyjen parantamiseksi.
Johtamismenetelmät: verbaalinen - visuaalinen.
Pedagogiset tekniikat: tietokone-, ryhmä- ja pelioppimistekniikat.
Oppituntivälineet: projektiolaitteet, tietokone, esitys oppitunnille, työskentely
muistikirjat, oppikirjoja, kortteja ristisanatehtävän tekstillä ja heijastustestillä.
Oppitunnin kesto: 1 tunti 20 min.
Oppitunnin päävaiheet:
1. Organisatorinen hetki. Viestien aiheet, oppitunnin tavoitteet.
2. Perustiedon toteuttaminen. Asteen ominaisuuksien toisto rationaalisen eksponentin kanssa.
3. Matemaattinen sanelu rationaalisen eksponentin asteen ominaisuuksista.
4. Opiskelijoiden viestit tietokoneesityksen avulla.
5. Työskentele ryhmissä.
6. Ristisanatehtävä.
7. Yhteenveto, arvosana. Heijastus.
8. Kotitehtävät.
Tuntien aikana:
1. Org. hetki. Viesti aiheesta, oppitunnin tavoitteet, tuntisuunnitelma. Diat 1, 2.
2. Perustietojen päivittäminen.
1) Tutkinnon ominaisuuksien toisto rationaalisella indikaattorilla: opiskelijoiden tulee jatkaa kirjallisia ominaisuuksia - frontaalikysely. Dia 3.
2) Opiskelijat taululla - harjoitusten analyysi oppikirjasta (Alimov Sh.A.): a) nro 74, b) nro 77.
C) nro 82-a, b, c.
nro 74: a) = = a;
B) + = ;
B) : = = = b.
nro 77: a) = = ;
B) = = = b.
nro 82: a) = = = ;
B) = = y;
B) () () = .
3. Matemaattinen sanelu molemminpuolisella tarkastuksella. Oppilaat jakavat työnsä, vertaavat vastauksia ja antavat arvosanoja.
Diat 4-5
4. Opiskelijoiden viestit joistakin historiallisista faktoista tutkittavasta aiheesta.
Diat 6-12:
Ensimmäinen oppilas: Dia 6
Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite muodostui jopa muinaisten kansojen keskuudessa. neliö ja kuutionumeroita käytettiin pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseen. Muinaisen Egyptin ja Babylonin tiedemiehet käyttivät joidenkin lukujen voimavaroja tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen.
Kolmannella vuosisadalla julkaistiin kreikkalaisen tutkijan Diophantuksen kirja"Aritmetiikka", jossa aakkosymbolien käyttöönotto aloitettiin. Diophantus esittelee symbolit tuntemattoman kuudelle ensimmäiselle voimalle ja niiden käänteisluvuille. Tässä kirjassa neliö on merkitty merkillä ja indeksillä; esimerkiksi kuutio on merkki k indeksillä r jne.
Toinen oppilas: Dia 7
Muinainen kreikkalainen tiedemies Pythagoras antoi suuren panoksen tutkinnon käsitteen kehittämiseen. Hänellä oli kokonainen koulu, ja kaikkia hänen oppilaitaan kutsuttiin pythagoralaisiksi. He keksivät, että jokainen numero voidaan esittää lukujen muodossa. Esimerkiksi ne edustivat numeroita 4, 9 ja 16 neliöinä.
Ensimmäinen oppilas: Diat 8-9
Dia 8
Dia 9
XVI vuosisadalla. Tällä vuosisadalla tutkinnon käsite on laajentunut: sitä alettiin liittää paitsi tiettyyn numeroon myös muuttujaan. Kuten silloin sanottiin "luvuille yleensä" englantilainen matemaatikko S. Stevin loi merkinnän astetta osoittamaan: merkintä 3(3)+5(2)–4 merkitsi sellaista nykyaikaista merkintää 3 3 + 5 2 – 4.
Toinen oppilas: Dia 10
Myöhemmin murto- ja negatiiviset eksponentit löytyvät saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin ja S. Stevinin teoksesta "Täydellinen aritmetiikka" (1544).
S. Stevin ehdotti tarkoittavan astetta muodon indikaattorilla juuri, ts. .
Ensimmäinen oppilas: Dia 11
1500-luvun lopulla Francois Vietotettiin käyttöön kirjaimet osoittamaan paitsi muuttujia, myös niiden kertoimia. Hän käytti lyhenteitä: N, Q, C - ensimmäistä, toista ja kolmatta astetta.
Mutta nykyaikaiset nimitykset (esim, ) esitteli René Descartes 1600-luvulla.
Toinen oppilas: Dia 12
Nykyajan määritelmätja asteen merkintä nollalla, negatiivisella ja murto-eksponentilla ovat peräisin englantilaisten matemaatikoiden työstä John Wallis (1616-1703) ja Isaac Newton.
5. Ristisanatehtävä ratkaisu.
Oppilaille annetaan ristisanatehtäviä. Ratkaise pareittain. Pari, joka päättää ensin, saa pisteet. Diat 13-15.
6. Ryhmätyö. dia 16.
Opiskelijat tekevät itsenäistä työtä, työskentelevät 4 hengen ryhmissä toisiaan neuvoen. Tämän jälkeen teos lähetetään tarkastettavaksi.
7. Yhteenveto, arvosana.
Heijastus.
Oppilaat suorittavat heijastustestin. Merkitse "+", jos olet samaa mieltä, ja "-" muussa tapauksessa.
Heijastava testi:
1. Opin paljon uutta.
2. Siitä on minulle hyötyä tulevaisuudessa.
3. Oppitunnilla oli ajateltavaa.
4. Sain (a) vastaukset kaikkiin oppitunnin aikana heränneisiin kysymyksiin.
5. Työskentelin tunnilla tunnollisesti ja saavutin oppitunnin tavoitteet.
8. Kotitehtävät: Dia 17.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Valinnainen: tee ristisanatehtävä tutkitun aiheen pääkäsitteistä.
Viitteet:
- Alimov Sh.A. algebra ja analyysin alku luokat 10-11, oppikirja - M .: Koulutus, 2010.
- Algebra ja analyysin alku Arvosana 10. Didaktiset materiaalit. Valaistus, 2012.
Internet-resurssit:
- Koulutussivusto - RusCopyBook.Com - Sähköiset oppikirjat ja GDZ
- Sivusto Internetin koulutusresurssit - koululaisille ja opiskelijoille. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
- Verkkosivusto opettajaportaali - http://www.uchportal.ru/
