Jotkut algebralliset esimerkit voivat kauhistuttaa koululaisia. Pitkät ilmaisut eivät ole vain pelottavia, vaan myös erittäin vaikeita laskea. Yrittää heti ymmärtää, mitä seuraa ja mitä seuraa, jotta ei hämmentyisi pitkään. Tästä syystä matemaatikot yrittävät aina yksinkertaistaa "kauheaa" tehtävää mahdollisimman paljon ja vasta sitten ryhtyä ratkaisemaan sitä. Kummallista kyllä, tällainen temppu nopeuttaa prosessia huomattavasti.

Yksinkertaistaminen on yksi algebran peruskohdista. Jos yksinkertaisissa tehtävissä on vielä mahdollista pärjätä ilman sitä, niin vaikeammat laskettavat esimerkit voivat olla "liian kovia". Tässä nämä taidot ovat hyödyllisiä! Lisäksi ei vaadita monimutkaista matemaattista tietoa: riittää, kun muistat ja opit soveltamaan muutamia perustekniikoita ja kaavoja.

Laskelmien monimutkaisuudesta riippumatta se on tärkeää mitä tahansa lauseketta ratkaistaessa seuraa toimintojen järjestystä numeroiden kanssa:

1. suluissa;
2. eksponentio;
3. kertolasku;
4. jako;
5. lisäys;
6. vähennyslasku.

Kaksi viimeistä pistettä voidaan turvallisesti vaihtaa, eikä tämä vaikuta tulokseen millään tavalla. Mutta kahden vierekkäisen luvun lisääminen, kun yhden vieressä on kertomerkki, on täysin mahdotonta! Vastaus, jos sellainen on, on väärä. Siksi sinun on muistettava järjestys.

Sellaisten käyttö

Tällaisia ​​elementtejä ovat numerot, joiden muuttuja on samaa kertaluokkaa tai samaa astetta. On myös niin sanottuja vapaita jäseniä, joiden vieressä ei ole tuntemattoman kirjainmerkintää.

Tärkeintä on, että sulkujen puuttuessa Voit yksinkertaistaa lauseketta lisäämällä tai vähentämällä tykkää.

Muutama havainnollistava esimerkki:

• 8x 2 ja 3x 2 - molemmilla luvuilla on sama toisen asteen muuttuja, joten ne ovat samankaltaisia ​​ja kun ne lisätään yhteen, ne yksinkertaistuvat arvoon (8+3)x 2 =11x 2, kun taas vähennettynä saadaan (8-3) x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 ja 6x - ja tässä "x":llä on eri aste;
• 2y 7 ja 33x 7 - sisältävät erilaisia ​​muuttujia, joten, kuten edellisessä tapauksessa, ne eivät kuulu samanlaisiin muuttujiin.

Numeron laskeminen

Tämä pieni matemaattinen temppu, jos opit käyttämään sitä oikein, auttaa sinua selviytymään hankalasta ongelmasta useammin kuin kerran tulevaisuudessa. Ja on helppo ymmärtää, kuinka "järjestelmä" toimii: hajoaminen on useiden elementtien tulo, joiden laskeminen antaa alkuperäisen arvon. Siten 20 voidaan esittää muodossa 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 tai jollain muulla tavalla.

muistiinpanolla: kertoimet ovat aina samat kuin jakajat. Joten sinun on etsittävä toimiva ”pari” laajentaaksesi lukujen joukosta, joilla alkuperäinen on jaollinen ilman jäännöstä.

Voit suorittaa tällaisen toiminnon sekä vapailla jäsenillä että muuttujaan liitetyillä numeroilla. Tärkeintä ei ole menettää jälkimmäistä laskelmien aikana - jopa hajoamisen jälkeen tuntematon ei voi ottaa ja "mennä minnekään". Se jää yhteen tekijöistä:

• 15x = 3(5x);
• 60v 2 \u003d (15v 2) 4.

Alkuluvut, jotka voidaan jakaa vain itsestään tai 1 ei kerro - siinä ei ole järkeä..

Yksinkertaistamisen perusmenetelmät

Ensimmäinen asia, joka pistää silmään:

• kiinnikkeiden läsnäolo;
• fraktiot;
• juuret.

Algebralliset esimerkit koulun opetussuunnitelmassa suunnitellaan usein sillä oletuksella, että ne voidaan kauniisti yksinkertaistaa.

Kiinnityslaskelmat

Kiinnitä huomiota kiinnikkeiden edessä olevaan kylttiin! Kerto- tai jakolaskua käytetään jokaiseen sisällä olevaan elementtiin, ja miinus - kääntää olemassa olevat "+"- tai "-"-merkit.

Sulut lasketaan sääntöjen mukaan tai lyhennettyjen kertolaskujen kaavojen mukaan, minkä jälkeen annetaan samanlaiset.

Fraktion vähentäminen

Pienennä fraktioita on myös helppoa. He itse "pakenevat mielellään" silloin tällöin, tällaisten jäsenten mukaan kannattaa toimia. Mutta voit yksinkertaistaa esimerkkiä jo ennen tätä: kiinnitä huomiota osoittajaan ja nimittäjään. Ne sisältävät usein eksplisiittisiä tai piilotettuja elementtejä, joita voidaan vähentää keskenään. Totta, jos ensimmäisessä tapauksessa sinun on vain poistettava tarpeeton, toisessa joudut ajattelemaan ja tuomaan osan lausekkeesta muotoon yksinkertaistamiseksi. Käytetyt menetelmät:

• osoittajan ja nimittäjän suurimman yhteisen jakajan haku ja sulkeminen;
• jakamalla kunkin ylimmän elementin nimittäjällä.

Kun lauseke tai osa siitä on juuren alla, ensisijainen yksinkertaistamisongelma on lähes sama kuin murtolukujen tapauksessa. On tarpeen etsiä tapoja päästä eroon siitä kokonaan tai, jos tämä ei ole mahdollista, minimoida laskelmia häiritsevä merkki. Esimerkiksi huomaamattomaan √(3) tai √(7).

Varma tapa yksinkertaistaa radikaalia ilmaisua on yrittää ottaa se huomioon, joista osa on merkin ulkopuolella. Havainnollistava esimerkki: √(90)=√(9×10) = √(9)×√(10)=3√(10).

Muita pieniä temppuja ja vivahteita:

• tämä yksinkertaistusoperaatio voidaan suorittaa murtoluvuilla poistamalla se merkistä sekä kokonaisuutena että erikseen osoittajana tai nimittäjänä;
• on mahdotonta hajottaa ja ottaa pois osa summasta tai erosta juuren yli;
• Kun työskentelet muuttujien kanssa, muista ottaa huomioon sen aste, sen on oltava yhtä suuri tai monikertainen juurilla, jotta toiston mahdollisuus: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 x x)=x√(x);
• joskus radikaalimuuttujasta saa päästä eroon nostamalla se murto-osaan: √ (y 3)=y 3/2.

Tehoilmaisun yksinkertaistaminen

Jos yksinkertaisissa miinus- tai pluslaskelmissa esimerkit yksinkertaistetaan tuomalla samanlaisia, niin entä kertomalla tai jakamalla muuttujia eri potenssien kanssa? Niitä voidaan helposti yksinkertaistaa muistamalla kaksi pääkohtaa:

1. Jos muuttujien välillä on kertomerkki, eksponentit lisätään.
2. Kun ne jaetaan keskenään, sama nimittäjä vähennetään osoittajan astetta.

Ainoa ehto tällaiselle yksinkertaistamiselle on, että molemmilla termeillä on sama perusta. Esimerkkejä selvyyden vuoksi:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4) x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 + z × z 2 -(3 × z 8 /z 5) = 2z 3 +z 1 + 2 -(3 × z 8-5) = 2z 3 + z 3 - 3z 3 = 3z 3 - 3z 3 = 0.

Huomaa, että operaatiot, joissa on numeeriset arvot muuttujien edessä, tapahtuvat tavallisten matemaattisten sääntöjen mukaisesti. Ja jos katsot tarkasti, käy selväksi, että ilmaisun "toimivat" voimaelementit samalla tavalla:

• jäsenen nostaminen potenssiin tarkoittaa sen kertomista itsestään tietyn määrän kertoja, eli x 2 \u003d x × x;
• jako on samanlainen: jos laajennat osoittajan ja nimittäjän astetta, osa muuttujista pienenee, kun taas loput "kerätään", mikä vastaa vähennyslaskua.

Kuten missä tahansa liiketoiminnassa, algebrallisia lausekkeita yksinkertaistettaessa tarvitaan paitsi perusasioiden tuntemista, myös harjoittelua. Muutaman oppitunnin jälkeen monimutkaisilta tuntuneet esimerkit vähenevät ilman suurempia vaikeuksia ja muuttuvat lyhyiksi ja helposti ratkaistaviksi.

Video

Tämä video auttaa sinua ymmärtämään ja muistamaan, kuinka ilmaisuja yksinkertaistetaan.

Etkö saanut vastausta kysymykseesi? Ehdota aihetta kirjoittajille.

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta jäljessä. Sinä aikana, jona Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; yhdestäkään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisestä näkökulmasta näyttää siltä, ​​että aika hidastuu täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus tavoittaa kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee vielä tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli lepää joka hetki avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (luonnollisesti tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua). Haluan erityisesti korostaa, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat kaksi eri asiaa, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Olipa kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä alkioita. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumeroita, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko muistelee kiihkeästi fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kunkin kolikon kiderakenne ja atomien järjestely on ainutlaatuinen ...

Ja nyt minulla on mielenkiintoisin kysymys: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi luvut ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään, mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitse kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan numerojärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa lukujärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella luvulla 12345 en halua huijata päätäni, harkitse artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme tarkastele jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia ​​tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan ​​sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat eri tuloksiin niiden vertailun jälkeen, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse pyrin näkemään miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Ensimmäinen taso

Lausekkeen muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Lausekkeen muuntaminen

Usein kuulemme tämän epämiellyttävän lauseen: "yksinkertaistaa ilmaisua". Yleensä tässä tapauksessa meillä on jonkinlainen hirviö, kuten tämä:

"Kyllä, paljon helpompaa", sanomme, mutta tällainen vastaus ei yleensä toimi.

Nyt opetan sinua olemaan pelkäämättä sellaisia ​​tehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistat itse tämän esimerkin (vain!) tavalliseksi numeroksi (kyllä, helvettiin näillä kirjaimilla).

Mutta ennen kuin aloitat tämän oppitunnin, sinun on kyettävä käsittelemään murto- ja kerroinpolynomeja. Siksi ensin, jos et ole tehnyt tätä aiemmin, muista hallita aiheet "" ja "".

Lukea? Jos kyllä, olet valmis.

Yksinkertaistamisen perustoiminnot

Nyt analysoimme päätekniikoita, joita käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Yksinkertaisin niistä on

1. Tuo samankaltainen

Mitkä ovat samanlaisia? Kävit tämän läpi 7. luokalla, kun matematiikassa ilmestyi kirjaimet numeroiden sijaan. Samanlaisia ​​ovat termit (monomiaalit), joilla on sama kirjainosa. Esimerkiksi summassa, kuten termit ovat ja.

Muistatko?

Samankaltaisten termien tuominen tarkoittaa useiden samankaltaisten termien lisäämistä toisiinsa ja yhden termin saamista.

Mutta kuinka voimme yhdistää kirjaimet? - kysyt.

Tämä on erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat jonkinlaisia ​​esineitä. Esimerkiksi kirje on tuoli. Mikä ilmaisu sitten on? Kaksi tuolia plus kolme tuolia, paljonko se maksaa? Aivan oikein, tuolit: .

Kokeile nyt tätä ilmaisua:

Jotta et joutuisi hämmennyksiin, anna eri kirjainten merkitä eri esineitä. Esimerkiksi - tämä on (tavallisen) tuoli ja - tämä on pöytä. Sitten:

tuolit pöydät tuolipöydät tuolit tuolit pöydät

Numeroita, joilla tällaisten termien kirjaimet kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi monomiaalissa kerroin on yhtä suuri. Ja hän on tasa-arvoinen.

Eli sääntö samankaltaisten tuomiseksi:

Esimerkkejä:

Tuo samanlainen:

Vastaukset:

2. (ja ovat samankaltaisia, koska siksi näillä termeillä on sama kirjainosa).

2. Faktorisointi

Tämä on yleensä tärkein osa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet antanut samankaltaisia, useimmiten tuloksena oleva lauseke on otettava huomioon, eli esitettävä tuotteena. Tämä on erityisen tärkeää murtoluvuissa: murto-osan pienentämiseksi osoittaja ja nimittäjä on esitettävä tulona.

Kävit läpi yksityiskohtaiset lausekkeiden laskentamenetelmät aiheesta "", joten tässä sinun on vain muistettava, mitä olet oppinut. Voit tehdä tämän ratkaisemalla muutaman esimerkkejä(jätetään pois):

Ratkaisut:

3. Fraktion vähentäminen.

No, mikä voisi olla mukavampaa kuin yliviivata osa osoittajasta ja nimittäjästä ja heittää ne pois elämästäsi?

Se on lyhenteen kauneus.

Se on yksinkertaista:

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat tekijät, niitä voidaan pienentää eli poistaa murtoluvusta.

Tämä sääntö seuraa murtoluvun perusominaisuutta:

Eli vähennysoperaation ydin on se Jaamme murtoluvun osoittajan ja nimittäjän samalla luvulla (tai samalla lausekkeella).

Murto-osan pienentämiseksi tarvitset:

1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä

2) jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät yhteisiä tekijöitä, ne voidaan poistaa.

Periaate on mielestäni selvä?

Haluaisin kiinnittää huomionne yhteen tyypilliseen lyhenteen virheeseen. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, monet ihmiset tekevät kaiken väärin ymmärtämättä sitä leikata- Tämä tarkoittaa jakaa osoittaja ja nimittäjä samalla numerolla.

Ei lyhenteitä, jos osoittaja tai nimittäjä on summa.

Esimerkiksi: sinun on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät näin: mikä on täysin väärin.

Toinen esimerkki: vähennä.

"Älykkäin" tekee tämän:.

Kerro mikä tässä on vialla? Vaikuttaa: - Tämä on kerroin, joten voit vähentää.

Mutta ei: - tämä on vain yhden termin tekijä osoittajassa, mutta itse osoittajaa kokonaisuutena ei ole jaettu tekijöiksi.

Tässä on toinen esimerkki: .

Tämä lauseke on jaettu tekijöiksi, mikä tarkoittaa, että voit pienentää eli jakaa osoittajan ja nimittäjän seuraavalla:

Voit heti jakaa seuraavasti:

Tällaisten virheiden välttämiseksi muista helppo tapa määrittää, onko lauseke huomioitu:

Aritmeettinen operaatio, joka suoritetaan viimeisenä lausekkeen arvoa laskettaessa, on "pää". Eli jos korvaat joitain (mitä tahansa) numeroita kirjainten sijasta ja yrität laskea lausekkeen arvon, niin jos viimeinen toiminto on kertolasku, meillä on tulo (lauseke jaetaan tekijöiksi). Jos viimeinen toiminto on yhteen- tai vähennyslasku, tämä tarkoittaa, että lauseketta ei oteta huomioon (ja siksi sitä ei voida pienentää).

Voit korjata sen ratkaisemalla sen itse muutaman esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et heti kiirehtinyt leikkaamaan ja? Ei vieläkään riittänyt "vähentämään" yksiköitä näin:

Ensimmäinen askel pitäisi olla tekijöiden lisääminen:

4. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään.

Tavallisten murtolukujen lisääminen ja vähentäminen on tuttu operaatio: etsitään yhteinen nimittäjä, kerrotaan jokainen murto puuttuvalla kertoimella ja lasketaan/vähennetään osoittajat. Muistetaan:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ja ovat koprime, eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Siksi näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Tästä tulee yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yhteinen nimittäjä:

3. Tässä ensinnäkin muutetaan sekafraktiot sopimattomiksi ja sitten - tavallisen järjestelmän mukaan:

On aivan eri asia, jos murtoluvut sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan yksinkertaisesta:

a) Nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Täällä kaikki on sama kuin tavallisilla numeerisilla murtoluvuilla: löydämme yhteisen nimittäjän, kerromme jokaisen murto-osan puuttuvalla kertoimella ja lisäämme / vähennämme osoittajat:

nyt voit tuoda osoittajaan samanlaisia, jos sellaisia ​​on, ja kertoa ne:

Kokeile itse:

b) Nimittäjät sisältävät kirjaimia

Muistakaamme periaate yhteisen nimittäjän löytämisestä ilman kirjaimia:

Ensinnäkin määritämme yhteiset tekijät;

Sitten kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

ja kerro ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Määrittääksemme nimittäjien yhteiset tekijät, hajotamme ne ensin yksinkertaisiin tekijöihin:

Korostamme yleisiä tekijöitä:

Kirjoitamme nyt yleiset tekijät kerran ja lisäämme niihin kaikki epätavalliset (ei alleviivatut) tekijät:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Palataan kirjaimiin. Nimittäjät annetaan täsmälleen samalla tavalla:

Jaamme nimittäjät tekijöiksi;

määrittää yhteiset (identtiset) kertoimet;

kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran;

Kerromme ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Eli järjestyksessä:

1) jaa nimittäjät tekijöiksi:

2) määritä yhteiset (identtiset) tekijät:

3) kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran ja kerro ne kaikilla muilla (ei alleviivatuilla) kertoimilla:

Yhteinen nimittäjä on siis tässä. Ensimmäinen murto-osa on kerrottava, toinen -:

On muuten yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme nimittäjissä samat tekijät, vain kaikilla eri indikaattoreilla. Yhteinen nimittäjä tulee olemaan:

siinä määrin

siinä määrin

siinä määrin

asteessa.

Monimutkaistaan ​​tehtävää:

Kuinka saada murtoluvuilla sama nimittäjä?

Muistetaan murtoluvun perusominaisuus:

Missään ei sanota, että sama luku voidaan vähentää (tai lisätä) murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä. Koska se ei ole totta!

Katso itse: ota esimerkiksi mikä tahansa murtoluku ja lisää osoittajaan ja nimittäjään jokin luku, esimerkiksi . Mitä on opittu?

Joten, toinen horjumaton sääntö:

Kun tuot murtoluvut yhteiseen nimittäjään, käytä vain kertolaskua!

Mutta mitä sinun täytyy kertoa saadaksesi?

Tässä ja kerrotaan. Ja kerrotaan:

Lausekkeita, joita ei voi kertoa, kutsutaan "alkutekijöiksi". Esimerkiksi se on perustekijä. - myös. Mutta - ei: se on jaettu tekijöiksi.

Entä ilmaisu? Onko se alkeellista?

Ei, koska se voidaan jakaa tekijöihin:

(luit jo faktorointia aiheesta "").

Joten perustekijät, joihin jaat lausekkeen kirjaimilla, ovat analogeja yksinkertaisille tekijöille, joihin jaat numerot. Ja teemme samoin heidän kanssaan.

Näemme, että molemmilla nimittäjillä on tekijä. Se menee valtaan yhteiselle nimittäjälle (muistatko miksi?).

Kerroin on alkeisosa, eikä heillä ole sitä yhteistä, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen murtoluku on yksinkertaisesti kerrottava sillä:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Ennen kuin kerrot nämä nimittäjät paniikkiin, sinun on mietittävä, kuinka ne otetaan huomioon? Molemmat edustavat:

Erinomainen! Sitten:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Kuten tavallista, laitamme nimittäjät tekijöihin. Ensimmäisessä nimittäjässä laitamme sen yksinkertaisesti pois suluista; toisessa - neliöiden ero:

Vaikuttaa siltä, ​​että yhteisiä tekijöitä ei ole. Mutta jos katsot tarkasti, ne ovat jo niin samanlaisia ​​... Ja totuus on:

Joten kirjoitetaan:

Eli siitä tuli näin: suluissa vaihdoimme termejä, ja samalla murto-osan edessä oleva merkki vaihtui päinvastaiseksi. Huomaa, että sinun on tehtävä tämä usein.

Nyt päästään yhteiseen nimittäjään:

Sain sen? Nyt tarkistetaan.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Vastaukset:

Tässä meidän on muistettava vielä yksi asia - kuutioiden ero:

Huomaa, että toisen murto-osan nimittäjä ei sisällä kaavaa "summan neliö"! Summan neliö näyttäisi tältä:

A on summan niin kutsuttu epätäydellinen neliö: sen toinen termi on ensimmäisen ja viimeisen tulo, ei niiden kaksinkertainen tulo. Summan epätäydellinen neliö on yksi kuutioiden eron laajenemisen tekijöistä:

Entä jos murto-osia on jo kolme?

Kyllä, sama! Ensinnäkin varmistamme, että tekijöiden enimmäismäärä nimittäjissä on sama:

Kiinnitä huomiota: jos vaihdat yhden hakasulkeen sisällä olevia merkkejä, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu päinvastaiseksi. Kun vaihdamme toisen hakasulkeen merkkejä, murtoluvun edessä oleva merkki käännetään jälleen. Tämän seurauksena hän (merkki murto-osan edessä) ei ole muuttunut.

Kirjoitetaan ensimmäinen nimittäjä kokonaisuudessaan yhteiseen nimittäjään, ja sitten lisätään siihen kaikki tekijät, joita ei ole vielä kirjoitettu, toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos murtolukuja on enemmän). Eli se menee näin:

Hmm... Murtolukujen kanssa on selvää, mitä tehdä. Mutta entä ne kaksi?

Se on yksinkertaista: osaat lisätä murtolukuja, eikö niin? Joten sinun on varmistettava, että kakkosesta tulee murto-osa! Muista: murtoluku on jakooperaatio (osoittaja jaetaan nimittäjällä, jos unohdat yhtäkkiä). Ja mikään ei ole helpompaa kuin luvun jakaminen. Tässä tapauksessa itse numero ei muutu, vaan muuttuu murto-osaksi:

Juuri sitä mitä tarvitaan!

5. Murtolukujen kertominen ja jako.

No, vaikein osa on nyt ohi. Ja edessämme on yksinkertaisin, mutta samalla tärkein:

Menettely

Miten numeerinen lauseke lasketaan? Muista, kun otetaan huomioon tällaisen lausekkeen arvo:

Laskitko?

Sen pitäisi toimia.

Muistutan siis.

Ensimmäinen vaihe on tutkinnon laskeminen.

Toinen on kerto- ja jakolasku. Jos kerto- ja jakolaskuja on useita samanaikaisesti, voit tehdä ne missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme yhteen- ja vähennyslaskun. Jälleen missä järjestyksessä tahansa.

Mutta: suluissa oleva lauseke on arvioitu epäjärjestyksessä!

Jos useat hakasulkeet kerrotaan tai jaetaan keskenään, arvioimme ensin kunkin suluissa olevan lausekkeen ja sitten kerromme tai jaamme ne.

Entä jos suluissa on muita sulkeita? No, ajatellaanpa: jokin ilmaus on kirjoitettu suluissa. Mikä on ensimmäinen asia, joka on tehtävä ilmaisua arvioitaessa? Aivan oikein, laske sulut. No, me selvitimme sen: ensin laskemme sisäsulut, sitten kaikki muu.

Joten yllä olevan lausekkeen toimintojen järjestys on seuraava (nykyinen toiminto on korostettu punaisella, eli toiminto, jonka suoritan juuri nyt):

Okei, kaikki on yksinkertaista.

Mutta se ei ole sama kuin ilmaisu kirjaimilla, eihän?

Ei, se on sama! Vain aritmeettisten operaatioiden sijasta on tarpeen tehdä algebrallisia operaatioita, eli edellisessä osiossa kuvatut operaatiot: tuovat samanlaisia, fraktioiden lisääminen, fraktioiden vähentäminen ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien faktorointi (käytämme sitä usein työskennellessämme murtolukujen kanssa). Useimmiten tekijöihin lisäämistä varten sinun on käytettävä i-kirjainta tai yksinkertaisesti poistettava yhteinen tekijä suluista.

Yleensä tavoitteemme on esittää lauseke tuotteena tai osamääränä.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistetaan ilmaisua.

1) Ensin yksinkertaistetaan lauseke suluissa. Siellä meillä on murto-osien ero, ja tavoitteemme on esittää se tulona tai osamääränä. Joten tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja lisäämme:

Tätä ilmaisua on mahdotonta yksinkertaistaa edelleen, kaikki tekijät ovat alkeellisia (muistatko vielä, mitä tämä tarkoittaa?).

2) Saamme:

Murtolukujen kertominen: mikä voisi olla helpompaa.

3) Nyt voit lyhentää:

OK, nyt kaikki on ohi. Ei mitään monimutkaista, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Yritä ensin ratkaista se itse, ja vasta sitten katso ratkaisua.

Ensinnäkin määritellään menettely. Ensin lisätään murtoluvut suluissa, kahden murtoluvun sijaan tulee yksi. Sitten teemme murto-osien jaon. No, lisäämme tuloksen viimeisellä murto-osalla. Numeroin vaiheet kaavamaisesti:

Nyt näytän koko prosessin sävyttämällä nykyisen toiminnon punaisella:

Lopuksi annan sinulle kaksi hyödyllistä vinkkiä:

1. Jos vastaavia on, ne on tuotava välittömästi. Milloin tahansa meillä on samanlaisia, ne kannattaa tuoda heti mukaan.

2. Sama pätee murto-osien vähentämiseen: heti kun tulee mahdollisuus pienentää, se on käytettävä. Poikkeuksena ovat murtoluvut, jotka lisäät tai vähennät: jos niillä on nyt samat nimittäjät, vähennys tulee jättää myöhempään.

Tässä on muutamia tehtäviä, jotka voit ratkaista itse:

Ja lupasi heti alussa:

Ratkaisut (lyhyesti):

Jos selvisit ainakin kolmesta ensimmäisestä esimerkistä, olet sitä mieltä, että hallitset aiheen.

Nyt opiskelemaan!

LAUMAMUUNNOS. YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Yksinkertaistamisen perustoiminnot:

• Tuo samanlainen: lisätäksesi (vähentääksesi) samankaltaisia ​​termejä, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja määritettävä kirjainosa.
• Faktorisointi: yhteisen tekijän poistaminen suluista, soveltaminen jne.
• Fraktion vähentäminen: murto-osan osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla ei-nolla-luvulla, josta murto-osan arvo ei muutu.
  1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä
  2) jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteisiä tekijöitä, ne voidaan yliviivata.

  TÄRKEÄÄ: vain kertoimia voidaan vähentää!

• Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku:
  ;
• Murtolukujen kerto- ja jako:
  ;

Usein tehtävissä vaaditaan yksinkertaistettu vastaus. Vaikka sekä yksinkertaistetut että ei-yksinkertaistetut vastaukset ovat oikeita, opettajasi voi alentaa arvosanaasi, jos et yksinkertaista vastaustasi. Lisäksi yksinkertaistetun matemaattisen lausekkeen kanssa on paljon helpompi työskennellä. Siksi on erittäin tärkeää oppia yksinkertaistamaan ilmaisuja.

Askeleet

Matemaattisten operaatioiden oikea järjestys

1. Muista matemaattisten operaatioiden oikea järjestys. Matemaattista lauseketta yksinkertaistettaessa on noudatettava tiettyä järjestystä, sillä jotkin matemaattiset toiminnot ovat etusijalla toisiin nähden ja ne on tehtävä ensin (itse asiassa oikean operaatiojärjestyksen noudattamatta jättäminen johtaa väärään tulokseen). Muista seuraava matemaattisten toimintojen järjestys: lauseke suluissa, eksponentio, kertolasku, jako, yhteen- ja vähennyslasku.

   • Huomaa, että operaatioiden oikean järjestyksen tunteminen mahdollistaa useimpien yksinkertaisten lausekkeiden yksinkertaistamisen, mutta polynomin (muuttujalausekkeen) yksinkertaistamiseksi sinun on tiedettävä erityisiä temppuja (katso seuraava osa).

2. Aloita ratkaisemalla suluissa oleva lauseke. Matematiikassa sulut osoittavat, että suljettu lauseke on ensin arvioitava. Siksi, kun yksinkertaistat mitä tahansa matemaattista lauseketta, aloita ratkaisemalla suluissa oleva lauseke (ei väliä, mitä toimintoja sinun tulee suorittaa suluissa). Mutta muista, että kun työskentelet suluissa olevan lausekkeen kanssa, sinun tulee noudattaa toimintojen järjestystä, eli suluissa olevat termit ensin kerrotaan, jaetaan, lisätään, vähennetään ja niin edelleen.

   • Yksinkertaistetaan esimerkiksi lauseke 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tässä aloitetaan suluissa olevilla lausekkeilla: 5 + 2 = 7 ja 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Toisen sulkuparin lauseke yksinkertaistuu viiteen, koska 4/2 on jaettava ensin (oikean operaatiojärjestyksen mukaan). Jos et noudata tätä järjestystä, saat väärän vastauksen: 3 + 4 = 7 ja 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jos suluissa on toinen sulkupari, aloita yksinkertaistaminen ratkaisemalla sisäsuluissa oleva lauseke ja siirry sitten ulompien sulkeiden lausekkeen ratkaisemiseen.

3. Nosta tehoon. Kun olet ratkaissut suluissa olevat lausekkeet, siirry potenssiin korotukseen (muista, että potenssilla on eksponentti ja kanta). Nosta vastaava lauseke (tai luku) potenssiin ja korvaa tulos sinulle annetulla lausekkeella.

   • Esimerkissämme ainoa lauseke (luku) potenssissa on 3 2: 3 2 = 9. Korvaa sinulle annetussa lausekkeessa 9 luvun 3 2 sijasta ja saat: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Kerro. Muista, että kertolasku voidaan merkitä seuraavilla symboleilla: "x", "∙" tai "*". Mutta jos luvun ja muuttujan välissä (esimerkiksi 2x) tai luvun ja luvun välissä ei ole symboleja (esim. 4(7)), tämä on myös kertolasku.

   • Esimerkissämme on kaksi kertolaskua: 2x (kaksi kertaa x) ja 4(7) (neljä kertaa seitsemän). Emme tiedä x:n arvoa, joten jätämme lausekkeen 2x sellaisenaan. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Nyt voit kirjoittaa sinulle annetun lausekkeen uudelleen seuraavasti: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Jakaa. Muista, että jakotoimintoa voidaan merkitä seuraavilla symboleilla: "/", "÷" tai "-" (näet viimeisen symbolin murtolukuina). Esimerkiksi 3/4 on kolme jaettuna neljällä.

   • Esimerkissämme ei ole enää jakoa, koska olet jo jakanut 4:llä kahdella (4/2), kun ratkaisit suluissa olevaa lauseketta. Siksi voit siirtyä seuraavaan vaiheeseen. Muista, että useimmissa lausekkeissa ei ole kaikkia matemaattisia operaatioita kerralla (vain osa niistä).

6. Taittaa kokoon. Kun lisäät lausekkeen termejä, voit aloittaa uloimmalla (vasemmalla) termillä tai lisätä ensin termit, jotka sopivat yhteen helposti. Esimerkiksi lausekkeessa 49 + 29 + 51 +71 on ensin helpompi lisätä 49 + 51 = 100, sitten 29 + 71 = 100 ja lopuksi 100 + 100 = 200. Näin lisääminen on paljon vaikeampaa : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Esimerkissämme 2x + 28 + 9 + 5 on kaksi yhteenlaskutoimintoa. Aloitetaan äärimmäisimmällä (vasemmalla) termillä: 2x + 28; et voi lisätä 2x ja 28, koska et tiedä x:n arvoa. Lisää siis 28 + 9 = 37. Nyt lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: 2x + 37 - 5.

7. Vähentää. Tämä on viimeinen operaatio oikea järjestys suorittaa matemaattisia operaatioita. Tässä vaiheessa voit lisätä myös negatiivisia lukuja tai voit tehdä sen jäsenten lisäysvaiheessa - tämä ei vaikuta lopputulokseen millään tavalla.

   • Esimerkissämme 2x + 37 - 5 on vain yksi vähennysoperaatio: 37 - 5 = 32.

8. Tässä vaiheessa, kun olet tehnyt kaikki matemaattiset toiminnot, sinun pitäisi saada yksinkertaistettu lauseke. Mutta jos sinulle annettu lauseke sisältää yhden tai useamman muuttujan, muista, että muuttujan sisältävä jäsen pysyy sellaisena kuin se on. Muuttujalla olevan lausekkeen ratkaiseminen (eikä yksinkertaistaminen) edellyttää kyseisen muuttujan arvon löytämistä. Joskus lausekkeita, joissa on muuttuja, voidaan yksinkertaistaa erityisillä menetelmillä (katso seuraava osa).

   • Esimerkissämme lopullinen vastaus on 2x + 32. Et voi lisätä kahta termiä ennen kuin tiedät x:n arvon. Kun tiedät muuttujan arvon, voit helposti yksinkertaistaa tätä binomia.

   Monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistaminen

   1. Samankaltaisten jäsenten lisäys. Muista, että voit vähentää ja lisätä vain samanlaisia ​​termejä, eli termejä, joilla on sama muuttuja ja sama eksponentti. Voit esimerkiksi lisätä 7x ja 5x, mutta et voi lisätä 7x ja 5x 2 (koska eksponentit ovat erilaisia).

      • Tämä sääntö koskee myös jäseniä, joilla on useita muuttujia. Voit esimerkiksi lisätä 2xy 2 ja -3xy 2 , mutta et voi lisätä 2xy 2 ja -3x 2 y tai 2xy 2 ja -3y 2 .
      • Harkitse esimerkkiä: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tässä samankaltaiset termit ovat 3x ja 8x, joten ne voidaan laskea yhteen. Yksinkertaistettu lauseke näyttää tältä: x 2 - 5x + 6.

   2. Yksinkertaista numero. Tällaisessa murto-osassa sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät numeroita (ilman muuttujaa). Numeerista murtolukua yksinkertaistetaan useilla tavoilla. Ensin vain jaa nimittäjä osoittajalla. Toiseksi, kerro osoittaja ja nimittäjä ja peruuta samat tekijät (koska kun jaat luvun itsellään, saat 1). Toisin sanoen, jos sekä osoittajalla että nimittäjällä on sama kerroin, voit hylätä sen ja saada yksinkertaistetun murtoluvun.

      • Ajatellaan esimerkiksi murto-osaa 36/60. Jaa 36 laskimella 60:llä ja saat 0,6. Mutta voit yksinkertaistaa tätä murtolukua toisella tavalla ottamalla huomioon osoittaja ja nimittäjä: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Koska 6/6 \u003d 1, sitten yksinkertaistettu murto-osa: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Mutta tätä murto-osaa voidaan myös yksinkertaistaa: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Jos murto-osa sisältää muuttujan, voit pienentää samat tekijät muuttujalla. Kerro sekä osoittaja että nimittäjä ja peruuta samat tekijät, vaikka ne sisältävät muuttujan (muista, että tässä samat tekijät voivat sisältää muuttujan tai eivät).

      • Harkitse esimerkkiä: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Tämä lauseke voidaan kirjoittaa (kerroin) uudelleen muotoon: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Koska 3x-termi on sekä osoittajassa että nimittäjässä, sitä voidaan pienentää, jotta saat yksinkertaistetun lausekkeen: (x + 1)/(5 - x). Harkitse toista esimerkkiä: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Huomaa, että et voi peruuttaa mitään termejä - vain samat tekijät, jotka ovat sekä osoittajassa että nimittäjässä, peruutetaan. Esimerkiksi lausekkeessa (x(x + 2))/x muuttuja (kertoja) "x" on sekä osoittajassa että nimittäjässä, joten "x" voidaan pienentää ja saada yksinkertaistettu lauseke: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Lausekkeessa (x + 2)/x muuttujaa "x" ei kuitenkaan voida pienentää (koska osoittajassa "x" ei ole tekijä).

   4. Avaa sulkumerkki. Voit tehdä tämän kertomalla hakasulkujen ulkopuolella oleva termi jokaisella suluissa olevalla termillä. Joskus monimutkaisen ilmaisun yksinkertaistaminen auttaa. Tämä koskee sekä jäseniä, jotka ovat alkulukuja, että jäseniä, jotka sisältävät muuttujan.

      • Esimerkiksi 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ja 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Huomaa, että murtolausekkeissa sulkuja ei tarvitse avata, jos sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät saman kertoimen. Esimerkiksi lausekkeessa (3(x 2 + 8)) / 3x sinun ei tarvitse laajentaa sulkeita, koska täällä voit pienentää tekijää 3 ja saada yksinkertaistetun lausekkeen (x 2 + 8) / x. Tämän ilmaisun kanssa on helpompi työskennellä; jos laajentaisit sulkeita, saat seuraavan monimutkaisen lausekkeen: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Kerroin polynomit. Tällä menetelmällä voit yksinkertaistaa joitain lausekkeita ja polynomeja. Factoring on sulujen laajennuksen vastakohta, toisin sanoen lauseke kirjoitetaan kahden lausekkeen tulona, ​​joista jokainen on suljettu suluissa. Joissakin tapauksissa factoring mahdollistaa saman lausekkeen lyhentämisen. Erikoistapauksissa (yleensä toisen asteen yhtälöillä) faktorointi mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen.

      • Tarkastellaan lauseketta x 2 - 5x + 6. Se jaetaan tekijöiksi: (x - 3) (x - 2). Jos siis esimerkiksi annetaan lauseke (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), voit kirjoittaa sen uudelleen muotoon (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), pienennä lauseketta (x - 2) ja saat yksinkertaistetun lausekkeen (x - 3) / 2.
      • Polynomien faktorointia käytetään yhtälöiden ratkaisemiseen (juurien etsimiseen) (yhtälö on polynomi, joka on yhtä suuri kuin 0). Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Laskemalla se pois, saat (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Koska mikä tahansa lauseke kerrottuna 0:lla on 0, voimme kirjoittaa sen kuten tämä : x - 3 \u003d 0 ja x - 2 \u003d 0. Siten x \u003d 3 ja x \u003d 2, eli löysit sinulle annetun yhtälön kaksi juuria.

Algebrassa tarkasteltavien eri lausekkeiden joukossa monomiaalien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7v^2 + 6x + 5v - 2 \)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin jäseniksi. Mononomeja kutsutaan myös polynomeiksi, kun monomia pidetään polynomina, joka koostuu yhdestä jäsenestä.

Esimerkiksi polynomi
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Esitämme kaikki termit vakiomuodon monomialeina:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Annamme samanlaiset termit tuloksena olevaan polynomiin:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuotoisia monomeja, eikä niiden joukossa ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.

Per polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten valtuuksista suurin. Joten binomiaalilla \(12a^2b - 7b \) on kolmas aste ja trinomilla \(2b^2 -7b + 6 \) toinen aste.

Yleensä yhden muuttujan sisältävien vakiomuotoisten polynomien termit on järjestetty sen eksponentin mukaan laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä merkitään sulkeisiin. Koska sulut ovat sulkeiden vastakohta, se on helppo muotoilla sulkujen avaussäännöt:

Jos +-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos "-"-merkki on asetettu sulujen eteen, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulo polynomiksi. Esimerkiksi:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.

Jotta monomi voidaan kertoa polynomilla, tämä monomi on kerrottava kullakin polynomin ehdolla.

Olemme toistuvasti käyttäneet tätä sääntöä summalla kertomiseen.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.

Käytä yleensä seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Summa-, ero- ja erotusneliöt

Joitakin algebrallisten muunnosten lausekkeita on käsiteltävä useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), eli summan neliö, eron neliö ja neliöero. Olet huomannut, että näiden lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, joten esimerkiksi \((a + b)^2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan summan neliö. a ja b. A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan ole niin yleinen, sillä se sisältää yleensä kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus varsin monimutkaisia ​​lausekkeita.

Lausekkeet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) on helppo muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi, itse asiassa olet jo kohdannut tällaisen tehtävän kertoessasi polynomeja :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Tuloksena saadut identiteetit ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summan neliö on yhtä suuri kuin neliöiden ja kaksoistulon summa.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erotuksen neliö on neliöiden summa ilman tulon kaksinkertaistamista.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - neliöiden erotus on yhtä suuri kuin erotuksen ja summan tulo.

Nämä kolme identiteettiä sallivat muunnoksissa korvata vasemman osansa oikeilla ja päinvastoin - oikeat osat vasemmalla. Vaikeinta tässä tapauksessa on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, mitä muuttujat a ja b niissä korvataan. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.