Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F(9)-F(5), missä F(x) on yksi f(x:n) antiderivaataista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=9 ja x=5. Kaavion mukaan määritämme, että määritetty kaareva puolisuunnikas on puolisuunnikkaan kanta, jonka kanta on 4 ja 3 ja jonka korkeus on 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on käyrä funktiosta y=F(x) - yhdestä välissä (-5; 5) määritellyn funktion f(x) antiderivaataista. Määritä kuvion avulla yhtälön f(x)=0 ratkaisujen lukumäärä janalla [-3; neljä].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Antiderivaatan määritelmän mukaan yhtäläisyys pätee: F "(x) \u003d f (x). Siksi yhtälö f (x) \u003d 0 voidaan kirjoittaa muodossa F "(x) \u003d 0. Koska kuvassa on funktion y=F(x) kaavio, meidän on löydettävä ne intervallipisteet [-3; 4], jossa funktion F(x) derivaatta on nolla. Kuvasta voidaan nähdä, että nämä ovat F(x)-graafin ääripisteiden (maksimi tai minimi) abskissoja. Niitä on täsmälleen 7 ilmoitetulla aikavälillä (neljä minimipistettä ja kolme maksimipistettä).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F(5)-F(0), jossa F(x) on yksi f(x:n) antiderivaataista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(5)-F(0), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=5 ja x=0. Kaavion mukaan määritämme, että määritetty kaareva puolisuunnikas on puolisuunnikkaan kanta, jonka kanta on 5 ja 3 ja jonka korkeus on 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=F(x) — yhdestä jonkin funktion f(x) antiderivaataista, joka on määritelty välillä (-5; 4). Määritä kuvion avulla yhtälön f (x) = 0 ratkaisujen lukumäärä segmentillä (-3; 3]).

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Antiderivaatan määritelmän mukaan yhtäläisyys pätee: F "(x) \u003d f (x). Siksi yhtälö f (x) \u003d 0 voidaan kirjoittaa muodossa F "(x) \u003d 0. Koska kuvassa on funktion y=F(x) kaavio, meidän on löydettävä ne intervallipisteet [-3; 3], jossa funktion F(x) derivaatta on nolla.

Kuvasta voidaan nähdä, että nämä ovat F(x)-graafin ääripisteiden (maksimi tai minimi) abskissoja. Niitä on täsmälleen 5 määritetyllä aikavälillä (kaksi minimipistettä ja kolme maksimipistettä).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Funktio F(x)=-x^3+4.5x^2-7 on yksi funktion f(x) antiderivaatteista.

Etsi varjostetun hahmon alue.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Varjostettu kuvio on kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa funktion y=f(x) kuvaaja, suorat y=0, x=1 ja x=3. Newton-Leibnizin kaavan mukaan sen pinta-ala S on yhtä suuri kuin erotus F(3)-F(1), missä F(x) on ehdossa määritellyn funktion f(x) antiderivaata. Siksi S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Funktio F(x)=x^3+6x^2+13x-5 on yksi funktion f(x) antiderivaatteista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Esitetään derivaatan etumerkin suhde funktion monotonisuuden luonteeseen.

Ole erittäin varovainen seuraavassa. Katso, aikataulu MITÄ sinulle annetaan! Funktio tai sen johdannainen

Annettu derivaatan kaavio, niin meitä kiinnostavat vain funktiomerkit ja nollat. Mikään "koppaa" ja "ontelo" ei periaatteessa kiinnosta meitä!

Tehtävä 1.

Kuvassa on aikavälille määritetyn funktion kaavio. Määritä niiden kokonaislukupisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on negatiivinen.

Ratkaisu:

Kuvassa pienenevän toiminnon alueet on korostettu värillä:

Näille laskevan funktion alueille kuuluu 4 kokonaislukuarvoa.

Tehtävä 2.

Kuvassa on aikavälille määritetyn funktion kaavio. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen tai sama kuin suora.

Ratkaisu:

Koska funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa (tai joka on sama, ), jolla on kaltevuus, on yhtä suuri kuin nolla, silloin tangentilla on kaltevuus .

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että tangentti on yhdensuuntainen akselin kanssa, koska kaltevuus on tangentin kaltevuuskulman tangentti akseliin nähden.

Siksi löydämme kaaviosta ääripisteet (maksimi- ja minimipisteet), - juuri niissä kaaviota tangentit funktiot ovat yhdensuuntaisia ​​akselin kanssa.

Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 3.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen tai sama kuin suora.

Ratkaisu:

Koska funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen (tai osuu yhteen) suoran kanssa, jolla on kaltevuus, tangentilla on kaltevuus.

Tämä puolestaan ​​tarkoittaa, että kosketuspisteissä.

Siksi tarkastelemme kuinka monen kaavion pisteen ordinaatit ovat yhtä suuria kuin .

Kuten näet, tällaisia ​​kohtia on neljä.

Tehtävä 4.

Kuvassa on aikavälille määritetyn funktion kaavio. Etsi pisteiden lukumäärä, joissa funktion derivaatta on 0.

Ratkaisu:

Derivaata on nolla ääripisteissä. Meillä on niitä 4:

Tehtävä 5.

Kuvassa on funktiokaavio ja yksitoista pistettä x-akselilla:. Kuinka monessa näistä pisteistä funktion derivaatta on negatiivinen?

Ratkaisu:

Laskevan funktion aikaväleillä sen derivaatta saa negatiiviset arvot. Ja funktio pienenee pisteissä. Tällaisia ​​pisteitä on 4.

Tehtävä 6.

Kuvassa on aikavälille määritetyn funktion kaavio. Etsi funktion ääripistepisteiden summa.

Ratkaisu:

ääripisteet ovat maksimipisteet (-3, -1, 1) ja vähimmäispisteet (-2, 0, 3).

Ääripisteiden summa: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tehtävä 7.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi kasvavan funktion välit. Ilmoita vastauksessasi näiden välien sisältämien kokonaislukupisteiden summa.

Ratkaisu:

Kuvassa näkyvät intervallit, joilla funktion derivaatta on ei-negatiivinen.

Pienellä kasvuvälillä ei ole kokonaislukupisteitä, kasvuvälillä on neljä kokonaislukuarvoa: , , ja .

Niiden summa:

Tehtävä 8.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Etsi kasvavan funktion välit. Kirjoita vastaukseesi niistä suurimman pituus.

Ratkaisu:

Kuvassa on korostettu kaikki ne intervallit, joilla derivaatta on positiivinen, mikä tarkoittaa, että itse funktio kasvaa näillä aikaväleillä.

Niistä suurimman pituus on 6.

Tehtävä 9.

Kuvassa on kaavio välille määritetyn funktion derivaatasta. Missä segmentin kohdassa se saa suurimman arvon.

Ratkaisu:

Katsomme, kuinka kaavio käyttäytyy segmentillä, nimittäin olemme kiinnostuneita vain johdannainen merkki .

Derivaatan etumerkki on miinus, koska tämän segmentin kuvaaja on akselin alapuolella.

Hei ystävät! Tässä artikkelissa tarkastelemme tehtäviä primitiivisille. Nämä tehtävät sisältyvät matematiikan tenttiin. Huolimatta siitä, että itse osat - eriyttäminen ja integrointi ovat varsin tilavia algebran aikana ja vaativat vastuullista lähestymistapaa ymmärtämiseen, itse tehtävät, jotka sisältyvät matematiikan avoimeen tehtäväpankkiin ja ovat tentissä, ovat erittäin yksinkertaisia ​​ja ne ratkaistaan ​​yhdessä tai kahdessa vaiheessa.

On tärkeää ymmärtää antiderivaatin olemus ja erityisesti integraalin geometrinen merkitys. Mieti lyhyesti teoreettisia perusteita.

Integraalin geometrinen merkitys

Lyhyesti integraalista voidaan sanoa näin: integraali on alue.

Määritelmä: Olkoon välillä annetun positiivisen funktion f kuvaaja koordinaattitasolla. Osakuvaaja (tai kaareva puolisuunnikkaan) on kuvio, jota rajoittavat funktion f kuvaaja, suorat x \u003d a ja x \u003d b ja x-akseli.

Määritelmä: Olkoon äärelliselle välille määritetty positiivinen funktio f. Janan funktion f integraali on sen aligraafin alue.

Kuten jo mainittiin, F(x) = f(x).Mitä voimme päätellä?

Hän on yksinkertainen. Meidän on määritettävä, kuinka monta pistettä tässä kuvaajassa on, joissa F′(x) = 0. Tiedämme, että niissä pisteissä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Näytetään nämä pisteet välillä [–2;4]:

Nämä ovat annetun funktion F(x) ääripisteet. Niitä on kymmenen.

Vastaus: 10

323078. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y = f (x) (kaksi sädettä, joilla on yhteinen aloituspiste). Laske kuvion avulla F(8) – F(2), missä F(x) on yksi f(x) antiderivaataista.

Uudelleenkirjoitetaan Newton-Leibnizin lause:Olkoon f annettu funktio, F sen mielivaltainen antiderivaatti. Sitten

Ja tämä, kuten jo mainittiin, on funktion aligraafin alue.

Siten tehtävä rajoittuu puolisuunnikkaan alueen löytämiseen (väli 2 - 8):

Sen laskeminen solujen mukaan ei ole vaikeaa. Saamme 7. Etumerkki on positiivinen, koska kuva sijaitsee x-akselin yläpuolella (tai y-akselin positiivisella puolitasolla).

Jopa tässä tapauksessa voisi sanoa näin: pisteissä olevien antiderivaalien arvojen ero on kuvan pinta-ala.

Vastaus: 7

323079. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y = f (x). Funktio F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 on yksi funktion y \u003d f (x) antiderivaatteista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Kuten integraalin geometrisestä merkityksestä jo mainittiin, tämä on funktion f (x) kaavion, suorien x \u003d a ja x \u003d b ja akselin rajoittama kuvion alue. härkä.

Lause (Newton–Leibniz):

Siten tehtävä rajoittuu laskemaan tämän funktion kiinteä integraali välillä -11 - -9, tai toisin sanoen, meidän on löydettävä ero annetuista pisteistä laskettujen antiderivaalien arvojen välillä:

Vastaus: 6

323080. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y = f (x).

Funktio F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 on yksi funktion f (x) antiderivaatteista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Lause (Newton–Leibniz):

Tehtävä rajoittuu laskemaan tämän funktion kiinteä integraali välillä -10 - -8:

Vastaus: 4

Toinen ratkaisu tähän ongelmaan sivustolta.

Johdannaiset ja eriyttämissäännöt ovat edelleen voimassa. Ne on tiedettävä, ei vain tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi.

Voit myös katsoa ohjetietoja sivustolta ja.

Katso lyhyt video, tämä on ote elokuvasta "The Blind Side". Voimme sanoa, että tämä on elokuva opinnoista, armosta, oletettavasti "satunnaisten" tapaamisten merkityksestä elämässämme ... Mutta nämä sanat eivät riitä, suosittelen itse elokuvan katsomista, suosittelen sitä.

Toivon sinulle menestystä!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh

P.S: Olisin kiitollinen, jos kertoisit sivustosta sosiaalisessa mediassa.

Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) on yksi funktion \(f(x) antijohdannaisista )\). Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323383. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5) )\) on yksi funktion \(f(x)\) antijohdannaisista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323385. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) on yksi funktion \(f(x)\) antiderivaatat. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323387. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) on yksi funktion \(f(x)\) antiderivaatat. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323389. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2) )\) on yksi funktion \(f(x)\) antijohdannaisista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323391. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) on yksi funktion \(f(x)\) antiderivaatat. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323393. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) on yksi funktion \(f(x)\) antijohdannaisista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323395. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) on yksi funktion \(f(x)\) antijohdannaisista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323397. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) on yksi funktion \(f(x)\) antiderivaatat. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Tehtävä #: 323399. Prototyyppi nro:
Kuvassa on kaavio jostain funktiosta \(y=f(x)\). Funktio \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) on yksi funktion \(f(x)\) antijohdannaisista. Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus:

Siirry sivulle: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 3 4 4 4 3 8 4 3 3 49 51 51 52 53 54 55 57 58 58 59 60 61 62 63 64 65 66 68 68 69 70 71 72 72 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 85 86 87 88 88 88 89 90 92 94 95 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 95 96 96 95 96 95 96 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 108 108 109 110 111 112 112 113 114 115 116 118 118 119 121 122 122 122 124 125 125 127 128 129 130 131 132 134 135 137 138 138 139 140 141 142 144 145 145 146 146 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 158 159 160 161 162 163 164 165 167 167 168 168 171 171 174 174 175 177 178 179 180 181 184 185 187 187 188 188 189 191 192 193 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 195 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 21 8 219 220 220 221 222 223 224 225 226 228 228 229 230 231 232 232 233 234 235 236 238 238 240 240 241 242 242 244 245 246 247 248 249 250 251 252 254 255 256 257 257 258 259 260 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 277 278 279 279 281 282 283 284 285 286 287 287 288 289 290 292 293 294 295 296 297 298 299 301 302 303 304 305 307 307 309 310 310 313 313 318 329 320 321 322 323 324 324 325 326 327 328 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 343 344 345 346 347 348 350 351 353 354 355 363 357 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 358 35L 368 369 370 371 372 372 373 374 375 376 377 378 378 379 381 382 382 383 384 385 386 387 388 389 397 398 391 411 4114 394 393 409 393 409 393 409 397 397 397 397 397 387