Bernoullin kaava- todennäköisyysteorian kaava, jonka avulla voit löytää tapahtuman todennäköisyyden A (\näyttötyyli A) riippumattomissa testeissä. Bernoullin kaavan avulla voit päästä eroon suuresta määrästä laskelmia - todennäköisyyksien yhteen- ja kertolaskuja - riittävän suurella määrällä testejä. Nimetty erinomaisen sveitsiläisen matemaatikon Jacob Bernoullin mukaan, joka johti tämän kaavan.
Tietosanakirja YouTube
1 / 3
✪ Todennäköisyysteoria. 22. Bernoullin kaava. Ongelmanratkaisu
✪ Bernoullin kaava
✪ 20 toista testiä Bernoulli Formula
Tekstitykset
Sanamuoto
Lause. Jos todennäköisyys p (\displaystyle p) tapahtuma A (\näyttötyyli A) on vakio jokaisessa kokeessa, sitten todennäköisyys P k , n (\displaystyle P_(k,n)) että tapahtuma A (\näyttötyyli A) tulee täsmälleen k (\displaystyle k) kerran n (\displaystyle n) riippumattomat testit on yhtä suuri kuin: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), missä q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Todiste
Anna sen pitää n (\displaystyle n) riippumattomia testejä, ja tiedetään, että jokaisen testin tuloksena tapahtuma A (\näyttötyyli A) tulee todennäköisyydellä P (A) = p (\näyttötyyli P\left(A\oikea)=p) ja siksi sitä ei tapahdu todennäköisyydellä P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Olkoon myös todennäköisyystestien aikana p (\displaystyle p) ja q (\displaystyle q) pysyä muuttumattomana. Mikä on todennäköisyys, että seurauksena n (\displaystyle n) riippumaton testi, tapahtuma A (\näyttötyyli A) tulee täsmälleen k (\displaystyle k) yhden kerran?
Osoittautuu, että on mahdollista laskea tarkasti niiden testitulosten "onnistuneiden" yhdistelmien lukumäärä, joille tapahtuma A (\näyttötyyli A) tulee k (\displaystyle k) kerran n (\displaystyle n) riippumattomia kokeita, on juuri niiden yhdistelmien lukumäärä n (\displaystyle n) päällä k (\displaystyle k) :
C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
Samaan aikaan, koska kaikki kokeet ovat riippumattomia ja niiden tulokset eivät ole yhteensopivia (tapahtuma A (\näyttötyyli A) joko tapahtuu tai ei), niin todennäköisyys saada "onnistunut" yhdistelmä on täsmälleen: .
Lopuksi sen todennäköisyyden selvittämiseksi n (\displaystyle n) riippumaton testitapahtuma A (\näyttötyyli A) tulee täsmälleen k (\displaystyle k) kertaa, sinun on laskettava yhteen todennäköisyydet saada kaikki "onnistuneet" yhdistelmät. Todennäköisyys saada kaikki "onnistuneet" yhdistelmät ovat samat ja yhtä suuret p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), "onnistuneiden" yhdistelmien määrä on C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), joten lopulta saamme:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Viimeinen lauseke on vain Bernoullin kaava. On myös hyödyllistä huomata, että tapahtumaryhmän täydellisyyden vuoksi se on totta:
∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\näyttötyyli \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
Todennäköisyysteorian käytännön soveltamisessa kohtaa usein ongelmia, joissa sama koe tai vastaavat kokeet toistetaan useammin kuin kerran. Jokaisen kokemuksen seurauksena tapahtuma saattaa ilmestyä tai ei. MUTTA, emmekä ole kiinnostuneita kunkin yksittäisen kokeen tuloksesta, mutta kokonaiset esiintymiset kehitystä MUTTA koesarjan tuloksena. Jos esimerkiksi laukausryhmä ammutaan samaan maaliin, meitä ei kiinnosta kunkin laukauksen tulos, vaan osumien kokonaismäärä. Tällaiset ongelmat ratkaistaan melko yksinkertaisesti, jos kokeet ovat riippumaton.
Määritelmä. Tapahtumasta A riippumattomia kokeita ovat ne, joissa tapahtuman A todennäköisyys kussakin kokeessa on riippumaton muiden kokeiden tuloksista.
Esimerkki. Useat peräkkäiset kortin vedot pakasta ovat itsenäisiä kokeita edellyttäen, että vedetty kortti palautetaan pakkaan joka kerta ja kortit sekoitetaan; muuten ne ovat riippuvaisia kokemuksia.
Esimerkki. Useat laukaukset ovat itsenäisiä kokeita vain, jos tähtäys tehdään uudelleen ennen jokaista laukausta; siinä tapauksessa, että tähtäys suoritetaan kerran ennen koko ampumista tai sitä suoritetaan jatkuvasti ampumisen aikana (purskeammunta, sarjapommitukset), laukaukset ovat riippuvaisia kokeita.
Riippumattomat testit voidaan suorittaa samoissa tai erilaisissa olosuhteissa. Ensimmäisessä tapauksessa tapahtuman todennäköisyys MUTTA kaikissa kokeissa sama, toisessa tapauksessa tapahtuman todennäköisyys MUTTA vaihtelee kokemuksesta toiseen. Ensimmäinen tapaus liittyy moniin luotettavuusteorian, ammuntateorian ongelmiin ja johtaa ns Bernoullin kaava, joka on seuraava:
1) sekvenssi suoritetaan n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa MUTTA saattaa esiintyä tai ei;
2) tapahtuman todennäköisyys MUTTA jokaisessa testissä on vakio ja yhtä suuri kuin , sekä todennäköisyys, että se ei toteudu 
.
Bernoullin kaava tapahtuman todennäköisyyden selvittämiseksi A k kerran n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa MUTTA ilmestyy todennäköisyydellä s:
. (1)
Huomautus 1. Lisääntyessä n ja k Bernoullin kaavan soveltamiseen liittyy laskennallisia vaikeuksia, joten kaavaa (1) käytetään pääasiassa, jos k ei ylitä 5 ja n ei hyvä.
Huomautus 2. Koska muodon todennäköisyydet ovat binomilaajennuksen jäseniä, muodon (1) todennäköisyysjakauma on ns. binomiaalinen jakelu.
Esimerkki. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,8. Etsi viiden osuman todennäköisyys kuudella laukauksella.
Ratkaisu. Siitä lähtien 
, lisäksi ja . Bernoullin kaavalla saadaan:
Esimerkki. Neljä erillistä laukausta ammutaan samaan maaliin eri etäisyyksiltä. Näiden laukausten osumistodennäköisyydet ovat vastaavasti:
Etsi todennäköisyydet ei yhtään, yksi, kaksi, kolme ja neljä osumaa:
Ratkaisu. Laadimme generointifunktion:
Esimerkki. Viisi itsenäistä laukausta ammutaan maaliin osumistodennäköisyydellä 0,2. Kolme osumaa riittää tuhoamaan kohteen. Selvitä todennäköisyys, että kohde tuhoutuu.
Ratkaisu. Kohteen tuhoutumisen todennäköisyys lasketaan kaavalla:
Esimerkki. Kohteeseen ammutaan kymmenen itsenäistä laukausta, todennäköisyys osua siihen yhdellä laukauksella on 0,1. Yksi osuma riittää osumaan kohteeseen. Etsi todennäköisyys osua kohteeseen.
Ratkaisu. Vähintään yhden osuman todennäköisyys lasketaan kaavalla:
3. Paikallinen Moivre-Laplace-lause
Sovelluksissa on usein tarpeen laskea erilaisten tapahtumien todennäköisyydet, jotka liittyvät tapahtuman esiintymismäärään n Bernoullin kaavion testit suurilla arvoilla n. Tässä tapauksessa laskelmat kaavalla (1) vaikeutuvat. Vaikeudet lisääntyvät, kun nämä todennäköisyydet on laskettava yhteen. Vaikeuksia laskuissa syntyy myös pienille arvoille s tai q.
Laplace sai tärkeän likimääräisen kaavan tapahtuman todennäköisyydelle MUTTA tarkalleen m kertaa, jos on riittävän suuri määrä, eli milloin .
Paikallinen de Moivre–Laplace-lause. Jos todennäköisyys p tapahtuman A esiintymiselle kussakin kokeessa on vakio ja eri kuin nolla ja yksi, , arvo rajoittuu tasaisesti m:iin ja n:iin, niin tapahtuman A todennäköisyys sattua täsmälleen m kertaa n riippumattomassa kokeessa on suunnilleen yhtä suuri kuin
Tehdään n koetta tapahtuman A suhteen. Esitellään seuraavat tapahtumat: Аk -- tapahtuma А toteutui k:nnen testin aikana, $ k=1,2,\dots , n$. Tällöin $\bar(A)_(k) $ on päinvastainen tapahtuma (tapahtuma A ei tapahtunut k:nnen testin aikana, $k=1,2,\dots , n$).
Mitä ovat vertais- ja riippumattomat kokeilut
Määritelmä
Testejä kutsutaan samantyyppisiksi tapahtuman A suhteen, jos tapahtumien $A1, A2, \dots , An$ todennäköisyydet ovat samat: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (eli tapahtuman A esiintymistodennäköisyys yhdessä kokeessa on vakio kaikissa kokeissa).
Ilmeisesti tässä tapauksessa myös vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet ovat samat: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Määritelmä
Kokeita kutsutaan riippumattomiksi tapahtuman A suhteen, jos tapahtumat $A1, A2, \dots , An$ ovat riippumattomia.
Tässä tapauksessa
Tässä tapauksessa tasa-arvo säilyy, kun mikä tahansa tapahtuma Ak korvataan $\bar(A)_(k) $:lla.
Tehdään sarja n samanlaista riippumatonta koetta tapahtuman A suhteen. Käytämme merkintää: p - tapahtuman A todennäköisyys yhdessä testissä; q on päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys. Siten P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ mille tahansa k:lle ja p+q=1.
Todennäköisyys, että n:n kokeen sarjassa tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa (0 ≤ k ≤ n), lasketaan kaavalla:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Tasa-arvoa (1) kutsutaan Bernoullin kaavaksi.
Todennäköisyys, että n samantyyppisen riippumattoman kokeen sarjassa tapahtuma A tapahtuu vähintään k1 kertaa ja enintään k2 kertaa, lasketaan kaavalla:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Bernoullin kaavan soveltaminen suurille n:n arvoille johtaa hankalia laskelmiin, joten näissä tapauksissa on parempi käyttää muita kaavoja - asymptoottisia.
Bernoullin kaavion yleistäminen
Harkitse Bernoullin kaavion yleistystä. Jos sarjassa n riippumatonta koetta, joista jokaisessa on m pareittain yhteensopimaton ja mahdolliset tulokset Ak vastaavilla todennäköisyyksillä Рk= рk(Аk). Tällöin polynomijakauman kaava on voimassa:
Esimerkki 1
Todennäköisyys saada flunssa epidemian aikana on 0,4. Laske todennäköisyys, että yrityksen 6 työntekijästä sairastuu
- täsmälleen 4 työntekijää;
- enintään 4 työntekijää.
Ratkaisu. 1) Ilmeisesti tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan soveltaa Bernoullin kaavaa, jossa n=6; k = 4; p = 0,4; q = 1 - p = 0,6. Käyttämällä kaavaa (1) saamme: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \noin 0.138$.
Tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan käyttää kaavaa (2), jossa k1=0 ja k2=4. Meillä on:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cpiste 0.4^(0) \cpiste 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cpiste 0.4 ^(1) \cpiste 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ noin 0.959.) \end(array)\]
On huomattava, että tämä tehtävä on helpompi ratkaista käyttämällä päinvastaista tapahtumaa - yli 4 työntekijää sairastui. Sitten, kun otetaan huomioon kaava (7) vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksistä, saadaan:
Vastaus: $ \ $ 0,959.
Esimerkki 2
Urna sisältää 20 valkoista ja 10 mustaa palloa. Poistetaan 4 palloa ja jokainen ulos otettu pallo palautetaan uurnaan ennen kuin seuraava arvotaan ja uurnassa olevat pallot sekoitetaan. Laske todennäköisyys, että neljästä vedetystä pallosta on 2 valkoista palloa kuvassa 1.
Kuva 1.
Ratkaisu. Olkoon tapahtuma A se, että valkoinen pallo vedetään. Sitten todennäköisyydet $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Bernoullin kaavan mukaan vaadittu todennäköisyys on $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \oikea)^(2) =\frac(8)(27) $.
Vastaus: $\frac(8)(27) $.
Esimerkki 3
Määritä todennäköisyys, että perheessä, jossa on 5 lasta, syntyy enintään 3 tyttöä. Pojan ja tytön saamisen todennäköisyydet oletetaan olevan samat.
Ratkaisu. Todennäköisyys saada tyttö $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-todennäköisyys saada poika. Tyttöjä perheessä ei ole enempää kuin kolme, mikä tarkoittaa, että perheeseen syntyi joko yksi, kaksi tai kolme tyttöä tai kaikki pojat.
Laske todennäköisyydet, että perheessä ei ole tyttöjä, yksi, kaksi tai kolme tyttöä syntyi: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Siksi vaadittu todennäköisyys on $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Vastaus: $\frac(13)(16)$.
Esimerkki 4
Ensimmäinen ampuja yhdellä laukauksella voi osua kymmenen parhaan joukkoon todennäköisyydellä 0,6, yhdeksän todennäköisyydellä 0,3 ja kahdeksan todennäköisyydellä 0,1. Millä todennäköisyydellä hän osuu kymmenellä laukauksella kymmenen kuusi kertaa, yhdeksän kolmesti ja kahdeksan kahdeksan kertaa?
n koetta suoritetaan Bernoullin kaavion mukaisesti onnistumistodennäköisyydellä p. Olkoon X onnistumisten lukumäärä. Satunnaismuuttujan X alue on (0,1,2,...,n). Näiden arvojen todennäköisyydet saadaan kaavasta: , jossa C m n on yhdistelmien lukumäärä välillä n - m . 
Jakelusarjan muoto on:
| x | 0 | 1 | ... | m | n |
| s | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
Palvelutehtävä. Piirtämiseen käytetään verkkolaskinta binomiaalinen jakaumasarja ja sarjan kaikkien ominaisuuksien laskeminen: matemaattinen odotus, varianssi ja keskihajonta. Päätöksen sisältävä raportti laaditaan Word-muodossa (esimerkki).
Video-ohje
Bernoullin testikaavio
Binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan numeeriset ominaisuudet
Binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan X matemaattinen odotus.M[X] = np
Binomilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan X dispersio.
D[X] = npq
Esimerkki #1. Tuote voi olla viallinen todennäköisyydellä p = 0,3 kukin. Erästä valitaan kolme tuotetta. X on viallisten osien lukumäärä valittujen osien joukossa. Etsi (kirjoita kaikki vastaukset desimaalilukuina): a) jakaumasarja X; b) jakaumafunktio F(x) .
Ratkaisu. Satunnaismuuttujalla X on alue (0,1,2,3).
Etsitään jakelusarja X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3 (1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Matemaattinen odotus saadaan kaavasta M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Tutkimus: m = ∑ x i p i .
Matemaattinen odotus M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Dispersio saadaan kaavasta D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Tutkimus: d = ∑x2 i p i - M[x]2.
Dispersio D[X].
D[X] = 0 2 * 0,34 + 1 2 * 0,44 + 2 2 * 0,19 + 3 2 * 0,027 - 0,9 2 = 0,63
Keskihajonta σ(x).
Jakaumafunktio F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3)) = 1
- Tapahtuman todennäköisyys yhdessä kokeessa on 0,6. Testejä tehdään 5 kpl. Laadi satunnaismuuttujan X jakautumislaki - tapahtuman esiintymistiheys.
- Laadi neljän laukauksen osumien lukumäärän satunnaismuuttujan X jakautumislaki, jos todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,8.
- Kolikkoa heitetään 7 kertaa. Selvitä vaakunan esiintymismäärän matemaattinen odotus ja varianssi. Huomaa: tässä vaakunan ilmestymisen todennäköisyys on p = 1/2 (koska kolikolla on kaksi puolta).
Esimerkki #2. Tapahtuman todennäköisyys yksittäisessä kokeessa on 0,6. Määritä Bernoullin lausetta soveltaen riippumattomien kokeiden lukumäärä, joista alkaen tapahtuman frekvenssin todennäköisyys poikkeaa sen todennäköisyydestä absoluuttisena arvona on pienempi kuin 0,1, suurempi kuin 0,97 . (Vastaus: 801)
Esimerkki #3. Opiskelijat suorittavat kokeita tietojenkäsittelyn tunnilla. Työ koostuu kolmesta tehtävästä. Hyvän arvosanan saamiseksi sinun on löydettävä oikeat vastaukset vähintään kahteen tehtävään. Jokaisessa tehtävässä on 5 vastausta, joista vain yksi on oikea. Opiskelija valitsee vastauksen satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä hän saa hyvän arvosanan?
Ratkaisu. Todennäköisyys vastata kysymykseen oikein: p=1/5=0,2; n = 3.
Nämä tiedot on syötettävä laskimeen. Katso vastaus P(2)+P(3).
Esimerkki #4. Todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin yhdellä laukauksella, on (m+n)/(m+n+2) . n + 4 laukausta ammutaan. Selvitä todennäköisyys, että hän jättää väliin enintään kaksi kertaa.
Merkintä. Todennäköisyys, että hän jättää väliin korkeintaan kaksi kertaa, sisältää seuraavat tapahtumat: ei koskaan missaa P(4), ei koskaan missaa P(3), epäonnistuu kahdesti P(2).
Esimerkki numero 5. Määritä epäonnistuneiden lentokoneiden lukumäärän todennäköisyysjakauma, jos 4 lentokonetta lentää. Ilma-aluksen toimintahäiriöttömän toiminnan todennäköisyys Р=0,99. Kussakin sarjassa epäonnistuneiden lentokoneiden lukumäärä jaetaan binomilain mukaan.
Jos suoritetaan useita kokeita ja tapahtuman A todennäköisyys kussakin kokeessa ei riipu muiden kokeiden tuloksista, tällaisia kokeita kutsutaan ns. riippumaton tapahtumasta A .
Eri riippumattomissa kokeissa tapahtumalla A voi olla joko eri todennäköisyydet tai sama todennäköisyys. Tarkastellaan edelleen vain sellaisia riippumattomia kokeita, joissa tapahtumalla A on sama todennäköisyys.
Alla käytämme käsitettä monimutkainen tapahtumia, ymmärrystä sen kautta useiden erillisten tapahtumien yhdistelmä, joita kutsutaan ns yksinkertainen .
Anna sen tuottaa n riippumattomia kokeita, joissa jokaisessa tapahtumassa A voi tapahtua tai ei. Oletetaan, että tapahtuman A todennäköisyys jokaisessa kokeessa on sama, eli se on yhtä suuri kuin R . Siksi myös tapahtuman A toteutumisen todennäköisyys kussakin kokeessa on vakio ja yhtä suuri kuin q = 1 - s .
Asetetaan itsellemme tehtäväksi laskea todennäköisyys, että n testit, tapahtuma A tapahtuu täsmälleen k kertaa, ja siksi niitä ei toteuteta n-k yhden kerran. On tärkeää korostaa, että tapahtuman A ei tarvitse toistua tarkasti k kertaa tietyssä järjestyksessä.
Esimerkiksi, jos puhumme tapahtuman tapahtumisesta MUTTA kolme kertaa neljässä kokeessa seuraavat monimutkaiset tapahtumat ovat mahdollisia: AAA, AAA, AAA, AAA. Äänite AAA tarkoittaa, että ensimmäisessä, toisessa ja kolmannessa kokeessa tapahtuma MUTTA tuli, mutta neljännessä testissä se ei ilmestynyt, ts. kävi päinvastoin MUTTA; muilla merkinnöillä on vastaava merkitys.
Merkitse haluttu todennäköisyys R p (k) . Esimerkiksi symboli R 5 (3) tarkoittaa todennäköisyyttä, että viidessä kokeessa tapahtuma toistuu tasan 3 kertaa ja siksi ei tapahdu 2 kertaa.
Ongelma voidaan ratkaista käyttämällä niin sanottua Bernoullin kaavaa.
Bernoullin kaavan johtaminen. Yhden yhdistetyn tapahtuman todennäköisyys, joka koostuu siitä, että P testitapahtuma MUTTA tulee k kerran eikä tule n - k kertaa, riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulauseen mukaan on yhtä suuri p k q n - k . Tällaisia monimutkaisia tapahtumia voi olla niin monta kuin on niiden yhdistelmiä P elementtejä k elementtejä, ts. C n k .
Näiden monimutkaisten tapahtumien jälkeen yhteensopimaton, sitten yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulauseen mukaan haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin kaikkien mahdollisten monimutkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa. Koska kaikkien näiden monimutkaisten tapahtumien todennäköisyydet ovat samat, haluttu todennäköisyys (tapahtuman k tapahtuma-ajat MUTTA sisään P testit) on yhtä suuri kuin yhden monimutkaisen tapahtuman todennäköisyys kerrottuna niiden lukumäärällä:
Tuloksena olevaa kaavaa kutsutaan Bernoullin kaava .
Esimerkki 1. Todennäköisyys, että yhden päivän sähkönkulutus ei ylitä vahvistettua normia, on yhtä suuri p = 0,75 . Laske todennäköisyys, että seuraavan 6 päivän aikana sähkönkulutus ei ylitä 4 päivää normaalia.
Ratkaisu. Todennäköisyys normaalille sähkönkulutukselle kunkin 6 päivän aikana on vakio ja yhtä suuri kuin p = 0,75 . Siksi myös sähkön ylikulutuksen todennäköisyys päivittäin on vakio ja yhtä suuri q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Haluttu todennäköisyys Bernoullin kaavan mukaan on yhtä suuri kuin:
