Matriisien transponointi

Matriisitransponointi kutsutaan matriisin rivien korvaamiseksi sen sarakkeilla säilyttäen samalla niiden järjestys (tai, mikä on sama, korvaamalla matriisin sarakkeet sen riveillä).

Olkoon alkuperäinen matriisi annettu V:

Sitten määritelmän mukaan transponoitu matriisi A" on muotoa:

Lyhennetty merkintätapa matriisin transponointiin: Transponoitua matriisia merkitään usein

Esimerkki 3. Olkoon matriisit annettu A ja B:

Sitten vastaavilla transponoiduilla matriiseilla on muoto:

On helppo havaita kaksi matriisitransponointitoiminnan mallia.

1. Kaksi kertaa transponoitu matriisi on yhtä suuri kuin alkuperäinen matriisi:

2. Neliömatriiseja transponoitaessa päädiagonaalilla sijaitsevat alkiot eivät muuta paikkaansa, ts. Neliömatriisin päädiagonaali ei muutu transponoitaessa.

Matriisin kertolasku

Matriisin kertolasku on erityinen operaatio, joka muodostaa matriisialgebran perustan. Matriisien rivejä ja sarakkeita voidaan pitää sopivan mittaisina rivi- ja sarakevektoreina; toisin sanoen mikä tahansa matriisi voidaan tulkita rivivektoreiden tai sarakevektoreiden kokoelmaksi.

Olkoon kaksi matriisia: A- koko T X P Ja SISÄÄN- koko p x k. Harkitsemme matriisia A kokonaisuutena T rivivektorit A) mitat P jokainen ja matriisi SISÄÄN - kokonaisuutena Vastaanottaja sarakevektorit b Jt joka sisältää jokaisen P koordinaatit kukin:

Matriisirivivektorit A ja matriisin sarakevektorit SISÄÄN on esitetty näiden matriisien merkinnöissä (2.7). Matriisirivin pituus A yhtä suuri kuin matriisisarakkeen korkeus SISÄÄN, ja siksi näiden vektorien skalaaritulo on järkevä.

Määritelmä 3. Matriisien tulo A Ja SISÄÄN kutsutaan matriisiksi C, jonka alkiot Su ovat yhtä suuria kuin rivivektorien skalaaritulot A ( matriiseja A sarakevektoreihin bj matriiseja SISÄÄN:

Matriisien tulo A Ja SISÄÄN- matriisi C - on kokoinen T X Vastaanottaja, koska rivivektoreiden ja sarakevektorien pituus l häviää, kun näiden vektorien koordinaattien tulot lasketaan yhteen niiden skalaarituloissa, kuten kaavoissa (2.8) esitetään. Näin ollen matriisin C ensimmäisen rivin elementtien laskemiseksi on tarpeen saada peräkkäin matriisin ensimmäisen rivin skalaaritulot A kaikkiin matriisin sarakkeisiin SISÄÄN matriisin C toinen rivi saadaan matriisin toisen rivivektorin skalaaritulona A matriisin kaikkiin sarakevektoreihin SISÄÄN, ja niin edelleen. Matriisien tulon koon muistamisen helpottamiseksi sinun on jaettava tekijämatriisien kokojen tulot: - , sitten loput luvut suhteessa antavat tuotteen koon Vastaanottaja

dsnia, t.s. matriisin C koko on yhtä suuri kuin T X Vastaanottaja.

Matriisin kertolaskuoperaatiolla on ominaisuus: matriisien tulo A Ja SISÄÄN on järkevää, jos sarakkeiden määrä A yhtä suuri kuin rivien määrä sisään SISÄÄN. Sitten jos A ja B - suorakaiteen muotoiset matriisit, sitten tuote SISÄÄN Ja A ei ole enää järkeä, koska skalaarituloissa, jotka muodostavat vastaavan matriisin elementit, tulee sisältää vektoreita, joilla on sama määrä koordinaatteja.

Jos matriisit A Ja SISÄÄN neliö, koko l x l, on järkevä matriisien tulona AB, ja matriisien tulo VA, ja näiden matriisien koko on sama kuin alkuperäisten tekijöiden koko. Tässä tapauksessa yleisessä matriisikertolaskussa permutaatiosääntöä (kommutatiivisuutta) ei noudateta, ts. AB * VA.

Katsotaanpa esimerkkejä matriisin kertomisesta.

Koska matriisin sarakkeiden määrä A yhtä suuri kuin matriisin rivien lukumäärä SISÄÄN, matriisien tulo AB on merkitys. Kaavojen (2.8) avulla saamme tuotteeseen matriisin, jonka koko on 3x2:

Tehdä työtä VA ei ole järkevää, koska matriisin sarakkeiden määrä SISÄÄN ei vastaa matriisirivien määrää A.

Täältä löydät matriisituotteet AB Ja VA:

Kuten tuloksista voidaan nähdä, tulomatriisi riippuu tuotteen matriisien järjestyksestä. Molemmissa tapauksissa matriisituloilla on sama koko kuin alkuperäisillä kertoimilla: 2x2.

Tässä tapauksessa matriisi SISÄÄN on sarakevektori, ts. matriisi, jossa on kolme riviä ja yksi sarake. Yleensä vektorit ovat matriisien erikoistapauksia: pituuden rivivektori P on matriisi, jossa on yksi rivi ja P sarakkeet ja korkeussarakevektori P- matriisi kanssa P rivit ja yksi sarake. Annettujen matriisien koot ovat vastaavasti 2 x 3 ja 3 x I, joten näiden matriisien tulo on määritelty. Meillä on

Tuote tuottaa matriisin, jonka koko on 2 x 1, tai sarakevektorin, jonka korkeus on 2.

Kertomalla matriiseja peräkkäin saamme:

Matriisien tulon ominaisuudet. Antaa A, B ja C ovat sopivan kokoisia matriiseja (jotta matriisitulot voidaan määrittää), ja a on reaaliluku. Sitten seuraavat matriisien tulon ominaisuudet ovat voimassa:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B)C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) a (AB) = (aA)B = A(aB).

Identiteettimatriisin käsite E otettiin käyttöön kohdassa 2.1.1. On helppo nähdä, että matriisialgebrassa se toimii yksikön roolissa, ts. Voimme huomata kaksi muuta ominaisuutta, jotka liittyvät kertomiseen tällä matriisilla vasemmalla ja oikealla:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Toisin sanoen minkä tahansa matriisin tulo identiteettimatriisilla, jos se on järkevää, ei muuta alkuperäistä matriisia.

Kun työskentelet matriisien kanssa, sinun on joskus transponoitava ne, eli yksinkertaisin sanoin käännettävä ne. Tietenkin voit syöttää tiedot manuaalisesti, mutta Excel tarjoaa useita tapoja tehdä tämä helpommin ja nopeammin. Katsotaanpa niitä yksityiskohtaisesti.

Matriisitransponointi on sarakkeiden ja rivien vaihtoprosessi. Excelillä on kaksi vaihtoehtoa transponointiin: funktion käyttäminen TRANSSP ja käyttämällä erikoistyökalua. Katsotaanpa kutakin näistä vaihtoehdoista yksityiskohtaisemmin.

Tapa 1: TRANSPOSE-operaattori

Toiminto TRANSSP kuuluu operaattoreiden luokkaan "Linkit ja taulukot". Erikoisuus on, että muiden taulukoiden kanssa toimivien funktioiden tavoin tulos ei ole solun sisältö, vaan kokonainen tietojoukko. Funktioiden syntaksi on melko yksinkertainen ja näyttää tältä:

SIIRTO (joukko)

Toisin sanoen tämän operaattorin ainoa argumentti on viittaus taulukkoon, tässä tapauksessa matriisiin, joka tulisi muuntaa.

Katsotaan kuinka tätä funktiota voidaan soveltaa esimerkin avulla todellisen matriisin kanssa.

1. Valitsemme arkilta tyhjän solun, josta aiomme tehdä muunnetun matriisin vasemman yläkulman solun. Napsauta seuraavaksi kuvaketta "Lisää toiminto", joka sijaitsee lähellä kaavapalkkia.



2. Käynnistys käynnissä Toimintovelhot. Avaa siinä oleva luokka "Linkit ja taulukot" tai "Täydellinen aakkosellinen luettelo". Nimen löytymisen jälkeen "TRANSP", valitse se ja napsauta painiketta "OK".



3. Funktion argumenttien ikkuna avautuu TRANSSP. Tämän operaattorin ainoa argumentti vastaa kenttää "Matriisi". Sinun on syötettävä käännettävän matriisin koordinaatit. Voit tehdä tämän asettamalla kohdistimen kenttään ja pitämällä hiiren vasenta painiketta painettuna ja valitsemalla arkin koko matriisin alueen. Kun alueen osoite on näkyvissä argumenttiikkunassa, napsauta painiketta "OK".



4. Mutta kuten näemme, solussa, jonka on tarkoitus näyttää tulos, näytetään virheellinen arvo virheen muodossa "#ARVO!". Tämä johtuu taulukkooperaattorien työskentelystä. Korjaa tämä virhe valitsemalla solualue, jossa rivien lukumäärän tulee olla yhtä suuri kuin alkuperäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä ja sarakkeiden lukumäärän tulee olla yhtä suuri kuin rivien lukumäärä. Tällainen vastaavuus on erittäin tärkeää, jotta tulos näytetään oikein. Tässä tapauksessa lausekkeen sisältävä solu "#ARVO!" pitäisi olla valitun taulukon vasemman yläkulman solu, ja tästä solusta valintaprosessi tulee aloittaa pitämällä hiiren vasenta painiketta painettuna. Kun olet tehnyt valinnan, aseta kohdistin kaavapalkkiin välittömästi operaattorilausekkeen jälkeen TRANSSP, jonka pitäisi näkyä siinä. Tämän jälkeen laskennan suorittamiseksi sinun on painettava -painiketta Tulla sisään, kuten tavanomaisissa kaavoissa on tapana, ja valitse yhdistelmä Ctrl+Shift+Enter.



5. Näiden toimien jälkeen matriisi näytettiin tarpeen mukaan, eli transponoidussa muodossa. Mutta on toinenkin ongelma. Tosiasia on, että nyt uusi matriisi on matriisi, joka on linkitetty kaavalla, jota ei voi muuttaa. Kun yrität tehdä muutoksia matriisin sisältöön, näkyviin tulee virheilmoitus. Jotkut käyttäjät ovat melko tyytyväisiä tähän tilanteeseen, koska he eivät aio tehdä muutoksia taulukkoon, mutta toiset tarvitsevat matriisin, jonka kanssa he voivat toimia täysin.

   Tämän ongelman ratkaisemiseksi valitsemme koko transponoidun alueen. Siirtyminen välilehdelle "Koti" napsauta kuvaketta "Kopio", joka sijaitsee ryhmän nauhassa "Leikepöytä". Määritetyn toiminnon sijaan voit valinnan jälkeen asettaa vakiopikanäppäimen kopiointia varten Ctrl+C.



6. Napsauta sitten sitä hiiren kakkospainikkeella poistamatta valintaa transponoidulta alueelta. Ryhmän kontekstivalikossa "Lisää asetukset" napsauta kuvaketta "Arvot", joka näyttää numeroita kuvaavalta piktogrammilta.

   

   Tämän jälkeen taulukkokaava TRANSSP poistetaan, ja soluihin jää vain yksi arvo, jota voidaan käsitellä samalla tavalla kuin alkuperäisen matriisin kanssa.

Tapa 2: Matriisitransponoi käyttämällä Paste Special -toimintoa

Lisäksi matriisi voidaan transponoida käyttämällä yhtä kontekstivalikon kohtaa nimeltä "Lisää erikois".

Näiden vaiheiden jälkeen arkille jää vain muunnettu matriisi.

Samoilla kahdella edellä käsitellyllä menetelmällä voit siirtää matriisien lisäksi myös täysimittaiset taulukot Exceliin. Menettely tulee olemaan lähes identtinen.

Joten saimme selville, että Excelissä matriisi voidaan transponoida, eli kääntää sarakkeita ja rivejä vaihtamalla, kahdella tavalla. Ensimmäinen vaihtoehto sisältää toiminnon käyttämisen TRANSSP, ja toinen on Liitä erikoistyökalut. Yleisesti ottaen molempia menetelmiä käytettäessä saatu lopputulos ei eroa toisistaan. Molemmat menetelmät toimivat lähes kaikissa tilanteissa. Joten valittaessa muunnosvaihtoehtoa tietyn käyttäjän henkilökohtaiset mieltymykset tulevat etualalle. Eli mikä näistä menetelmistä on sinulle henkilökohtaisempi, käytä sitä.

Transponoidaksesi matriisin, sinun on kirjoitettava matriisin rivit sarakkeiksi.

Jos , niin transponoitu matriisi

Jos sitten

Harjoitus 1. löytö

1. Neliömatriisien determinantit.

Neliömatriiseille otetaan käyttöön luku, jota kutsutaan determinantiksi.

Toisen kertaluvun matriiseille (dimensio ) determinantti saadaan kaavalla:

Esimerkiksi matriisille sen determinantti on

Esimerkki . Laske matriisien determinantit.

Kolmannen kertaluvun neliömatriiseille (ulottuvuus ) on "kolmion" sääntö: kuvassa katkoviiva tarkoittaa niiden numeroiden kertomista, joiden läpi katkoviiva kulkee. Kolme ensimmäistä numeroa on laskettava yhteen ja kolme seuraavaa numeroa vähennettävä.

Esimerkki. Laske determinantti.

Determinantin yleisen määritelmän saamiseksi on tarpeen ottaa käyttöön molli ja algebrallinen komplementti.

Pieni Matriisin elementtiä kutsutaan determinantiksi, joka saadaan yliviivattuna - tuo rivi ja - sarake.

Esimerkki. Etsitään matriisin A alamoreita.

Algebrallinen komplementti elementtiä kutsutaan numeroksi.

Tämä tarkoittaa, että jos indeksien summa on parillinen, ne eivät eroa toisistaan. Jos indeksien summa on pariton, ne eroavat vain etumerkillään.

Edelliseen esimerkkiin.

Matriisin determinantti on tietyn merkkijonon alkioiden tulojen summa

(sarake) niiden algebrallisiin komplementteihin. Tarkastellaan tätä määritelmää kolmannen asteen matriisilla.

Ensimmäistä merkintää kutsutaan ensimmäisen rivin determinantin laajennukseksi, toista on toisen sarakkeen laajennus ja viimeistä kolmannen rivin laajennusta. Yhteensä tällaiset laajennukset voidaan kirjoittaa kuusi kertaa.

Esimerkki. Laske determinantti käyttämällä "kolmio" -sääntöä ja laajentamalla sitä ensimmäistä riviä pitkin, sitten kolmatta saraketta pitkin ja sitten toista riviä pitkin.

Laajennataan determinanttia ensimmäisellä rivillä:

Laajennetaan determinanttia kolmannessa sarakkeessa:

Laajennataan determinanttia toisella rivillä:

Huomaa, että mitä enemmän nollia, sitä yksinkertaisempia laskelmia. Esimerkiksi laajentamalla ensimmäisellä sarakkeella saamme

Determinanttien ominaisuuksien joukossa on ominaisuus, jonka avulla voit vastaanottaa nollia, nimittäin:

Jos lisäät toisen rivin (sarakkeen) elementtejä tietyn rivin (sarakkeen) elementteihin kerrottuna nollasta poikkeavalla luvulla, determinantti ei muutu.

Otetaan sama determinantti ja saadaan ensimmäiselle riville esimerkiksi nollia.

Korkeampien tilausten determinantit lasketaan samalla tavalla.

Tehtävä 2. Laske neljännen asteen determinantti:

1) levittämällä mille tahansa riville tai sarakkeelle

2) saanut aiemmin nollia

Saamme ylimääräisen nollan esimerkiksi toiseen sarakkeeseen. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin elementit -1:llä ja lisäämällä ne neljännelle riville:

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Näytämme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun Cramerin menetelmällä.

Tehtävä 2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä.

Meidän on laskettava neljä determinanttia. Ensimmäistä kutsutaan tärkeimmäksi ja se koostuu tuntemattomien kertoimista:

Huomaa, että jos , järjestelmää ei voida ratkaista Cramerin menetelmällä.

Kolme jäljellä olevaa determinanttia on merkitty , , ja saadaan korvaamalla vastaava sarake oikeanpuoleisella sarakkeella.

Löydämme. Voit tehdä tämän muuttamalla päämääritteen ensimmäisen sarakkeen oikeanpuoleiseksi sarakkeeksi:

Löydämme. Voit tehdä tämän muuttamalla päämääritteen toisen sarakkeen oikeanpuoleiseksi sarakkeeksi:

Löydämme. Muuta päämääritteen kolmas sarake oikeanpuoleiseksi sarakkeeksi:

Löydämme ratkaisun järjestelmään käyttämällä Cramerin kaavoja: , ,

Siten järjestelmän ratkaisu on , ,

Tehdään tarkistus; tätä varten korvaamme löydetyn ratkaisun kaikkiin järjestelmän yhtälöihin.

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä.

Jos neliömatriisilla on nollasta poikkeava determinantti, on olemassa sellainen käänteimatriisi, että . Matriisia kutsutaan identiteettimatriiksi ja sillä on muoto

Käänteinen matriisi löytyy kaavasta:

Esimerkki. Etsi matriisin käänteisarvo

Ensin lasketaan determinantti.

Algebrallisten komplementtien löytäminen:

Kirjoitamme käänteisen matriisin:

Tarkistaaksesi laskelmat, sinun on varmistettava, että .

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Merkitään

Tällöin yhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa muodossa , ja siten . Saatua kaavaa kutsutaan matriisimenetelmäksi järjestelmän ratkaisemiseksi.

Tehtävä 3. Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmällä.

On tarpeen kirjoittaa järjestelmän matriisi, löytää sen käänteiskappale ja sitten kertoa se oikeanpuoleisella sarakkeella.

Olemme jo löytäneet käänteisen matriisin edellisestä esimerkistä, mikä tarkoittaa, että voimme löytää ratkaisun:

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Cramerin menetelmää ja matriisimenetelmää käytetään vain neliöjärjestelmille (yhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä), eikä determinantti saa olla nolla. Jos yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä tai järjestelmän determinantti on nolla, käytetään Gaussin menetelmää. Gaussin menetelmää voidaan käyttää minkä tahansa järjestelmän ratkaisemiseen.

Ja korvataan se ensimmäisellä yhtälöllä:

Tehtävä 5. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.

Palautamme järjestelmän tuloksena olevan matriisin avulla:

Löydämme ratkaisun:

Korkeammassa matematiikassa tutkitaan sellaista käsitettä kuin transponoitu matriisi. On huomattava: monet ihmiset ajattelevat, että tämä on melko monimutkainen aihe, jota on mahdoton hallita. Se ei kuitenkaan ole. Ymmärtääksesi tarkalleen kuinka tällainen helppo toimenpide suoritetaan, sinun tarvitsee vain tutustua peruskonseptiin - matriisiin. Jokainen opiskelija voi ymmärtää aiheen, jos hän käyttää aikaa sen tutkimiseen.

Mikä on matriisi?

Matriisit ovat melko yleisiä matematiikassa. On huomattava, että niitä löytyy myös tietojenkäsittelytieteestä. Niiden ansiosta ja heidän avullaan ohjelmistojen ohjelmointi ja luominen on helppoa.

Mikä on matriisi? Tämä on taulukko, johon elementit on sijoitettu. Sen on oltava suorakaiteen muotoinen. Yksinkertaisimmillaan matriisi on lukutaulukko. Se on merkitty joillain latinalaisilla isoilla kirjaimilla. Se voi olla suorakaiteen tai neliön muotoinen. On myös erillisiä rivejä ja sarakkeita, joita kutsutaan vektoreiksi. Tällaiset matriisit saavat vain yhden numerorivin. Ymmärtääksesi, kuinka suuri taulukko on, sinun on kiinnitettävä huomiota rivien ja sarakkeiden määrään. Ensimmäinen on merkitty kirjaimella m ja toinen kirjaimella n.

Sinun pitäisi ehdottomasti ymmärtää, mikä matriisilävistäjä on. On sivu ja pää. Toinen on se numeronauha, joka kulkee vasemmalta oikealle ensimmäisestä viimeiseen elementtiin. Tässä tapauksessa sivulinja on oikealta vasemmalle.

Matriiseilla voit tehdä lähes kaikki yksinkertaisimmat aritmeettiset operaatiot eli lisätä, vähentää, kertoa keskenään ja erikseen numerolla. Ne voidaan myös siirtää.

Transponointiprosessi

Transponoitu matriisi on matriisi, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan. Tämä tehdään mahdollisimman helposti. Merkitään A:lla yläindeksillä T (AT). Periaatteessa on sanottava, että korkeammassa matematiikassa tämä on yksi yksinkertaisimmista matriisien operaatioista. Pöydän koko säilyy. Tällaista matriisia kutsutaan transponoiduksi.

Transponoitujen matriisien ominaisuudet

Transponointiprosessin suorittamiseksi oikein on tarpeen ymmärtää, mitä ominaisuuksia tällä toiminnolla on.

• Jokaiselle transponoidulle taulukolle on oltava alkuperäinen matriisi. Niiden determinanttien on oltava samat keskenään.
• Jos skalaariyksikkö on olemassa, tämän toiminnon aikana se voidaan poistaa.
• Kun matriisi on kaksoistransponoitu, se on yhtä suuri kuin alkuperäinen.
• Jos vertaat kahta taitettua taulukkoa, joissa on vaihdettu sarakkeita ja rivejä, niiden elementtien summaan, joille tämä toiminto suoritettiin, ne ovat samat.
• Viimeinen ominaisuus on, että jos transponoit keskenään kerrottuja taulukoita, arvon tulee olla yhtä suuri kuin tulokset, jotka saadaan kertomalla transponoidut matriisit yhteen käänteisessä järjestyksessä.

Miksi transponoida?

Matriisi matematiikassa on välttämätön tiettyjen ongelmien ratkaisemiseksi sen kanssa. Jotkut niistä edellyttävät käänteistaulukon laskemista. Tätä varten sinun on löydettävä determinantti. Seuraavaksi lasketaan tulevan matriisin elementit ja sitten ne transponoidaan. Jäljelle jää vain suoraan käänteinen taulukko. Voimme sanoa, että tällaisissa ongelmissa sinun on löydettävä X, ja tämä on melko helppo tehdä yhtälöteorian perustietojen avulla.

Tulokset

Tässä artikkelissa tarkasteltiin, mitä transponoitu matriisi on. Tämä aihe on hyödyllinen tuleville insinööreille, joiden on pystyttävä laskemaan oikein monimutkaisia ​​rakenteita. Joskus matriisi ei ole niin helppo ratkaista, sinun täytyy raahata aivosi. Opiskelijamatematiikan aikana tämä operaatio suoritetaan kuitenkin mahdollisimman helposti ja ilman vaivaa.

Nämä operaatiot matriiseilla eivät ole lineaarisia.

MÄÄRITELMÄ. Transponoitu matriisi matriisia varten koko
kutsutaan kokomatriisiksi
, saatu osoitteesta korvaamalla kaikki sen rivit sarakkeilla, joilla on samat sarjanumerot.

Eli jos =
, Tuo
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

ESIMERKKI.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

MÄÄRITELMÄ. Jos =, sitten matriisi A nimeltään symmetrinen.

Kaikki diagonaalimatriisit ovat symmetrisiä, koska niiden elementit ovat yhtä suuria, symmetrisiä päädiagonaalin suhteen.

Ilmeisesti seuraavat transponointitoiminnon ominaisuudet ovat voimassa:

MÄÄRITELMÄ. Antaa =
– kokomatriisi
,=
– kokomatriisi
. Näiden matriisien tulo
- matriisi =
koko
, jonka elementit lasketaan kaavalla:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

eli elementti rivi ja matriisisarakkeessa yhtä suuri kuin vastaavien elementtien tulojen summa matriisin rivi Ja matriisisarakkeessa .

ESIMERKKI.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Tehdä työtä
- ei ole olemassa.

MATRIISIKERTOMUKSEN TOIMINNAN OMINAISUUDET

1.
, vaikka molemmat tuotteet olisi määritelty.

ESIMERKKI.
,

, Siitä huolimatta

MÄÄRITELMÄ. Matriisit Ja kutsutaan muuttuva, Jos
, muuten Ja kutsutaan ei-muuttumaton.

Määritelmästä seuraa, että vain samankokoiset neliömatriisit voivat olla permutoitavia.

ESIMERKKI.

matriiseja Ja muuttuva.

Tuo on
,

tarkoittaa, Ja – permutaatiomatriisit.

Yleensä identiteettimatriisi kommutoi minkä tahansa saman kertaluvun neliömatriisin kanssa ja minkä tahansa matriisin kanssa
. Tämä on matriisiominaisuus selittää, miksi sitä kutsutaan yksiköksi: kun kerrotaan lukuja, luvulla 1 on tämä ominaisuus.

Jos vastaavat tuotteet on määritelty, niin:

5.

ESIMERKKI.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

KOMMENTTI. Matriisin elementit voivat olla paitsi numeroita myös funktioita. Tällaista matriisia kutsutaan toimiva.

ESIMERKKI.

Determinantit ja niiden ominaisuudet

Jokainen neliömatriisi voidaan tiettyjen sääntöjen mukaan liittää tiettyyn numeroon, jota kutsutaan sen determinantiksi.

Harkitse toisen asteen neliömatriisia:

Sen determinantti on luku, joka kirjoitetaan ja lasketaan seuraavasti:

(1.1)

Sellaista determinanttia kutsutaan toisen asteen determinantti ja ehkä

nimetään eri tavalla:
tai
.

Kolmannen asteen determinantti on neliömatriisia vastaava luku
, joka lasketaan säännön mukaan:

Tätä kolmannen kertaluvun determinantin laskentasääntöä kutsutaan kolmiosäännöksi ja se voidaan esittää kaavamaisesti seuraavasti:

ESIMERKKI.
;

Jos asetamme ensimmäisen ja sitten toisen sarakkeen determinantin oikealle puolelle, kolmiosääntöä voidaan muokata:

Ensin kerrotaan päälävistäjän ja sen kanssa yhdensuuntaisen diagonaalin luvut, sitten kerrotaan toisen (sivu)lävistäjän ja sen suuntaiset luvut. Jäljellä olevien tuotteiden summa vähennetään kolmen ensimmäisen tuotteen summasta.

Ryhmittelemällä termit kohtaan (1.2) ja käyttämällä (1.1) huomaamme sen

(1.3)

Eli laskettaessa kolmannen kertaluvun determinanttia käytetään toisen asteen determinantteja, ja
on matriisideterminantti, joka on saatu yliviivaamalla elementin (tarkemmin sanottuna ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake, joiden risteyksessä on ),
– yliviivaamalla elementin ,
– elementti .

MÄÄRITELMÄ. Ylimääräinen alaikäinen
elementti neliömatriisi on matriisin determinantti, joka on saatu yliviivaamalla - rivi ja sarake.

ESIMERKKI.

MÄÄRITELMÄ. Algebrallinen komplementti elementti neliömatriisi kutsuttu numero
.

ESIMERKKI.

Matriisille :

Matriisille :
ja niin edelleen.

Joten, ottaen huomioon muotoillut määritelmät, (1.3) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon: .

Siirrytään nyt yleiseen tapaukseen.

MÄÄRITELMÄ. Determinantti neliömatriisi Tilaus on luku, joka kirjoitetaan ja lasketaan seuraavasti:

(1.4)

Tasa-arvoa (1.4) kutsutaan determinantin laajentaminen ensimmäisen elementeiksi rivit. Tässä kaavassa algebralliset komplementit lasketaan determinantteina
- järjestys. Näin ollen laskettaessa 4. kertaluvun determinanttia kaavalla (1.4) on yleisesti ottaen laskettava 4 3. kertaluvun determinanttia; laskettaessa 5. asteen determinanttia - 5 4. asteen determinanttia jne. Jos esimerkiksi 4. kertaluvun determinantissa ensimmäinen rivi sisältää 3 nollaalkiota, niin kaavaan (1.4) jää vain yksi nollasta poikkeava termi.

ESIMERKKI.

Mietitään (ilman todisteita) determinanttien ominaisuudet:

Determinantti voidaan laajentaa ensimmäisen sarakkeen elementteihin:

ESIMERKKI.

KOMMENTTI. Tarkastettujen esimerkkien avulla voimme päätellä: kolmiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin alkioiden tulo.

Tästä seuraa, että determinantin rivit ja sarakkeet ovat yhtä suuret.

Etenkin tästä seuraa se minkä tahansa merkkijonon yhteinen tekijä (sarake) voidaan ottaa pois determinantin merkin yli. Myös determinantti, jolla on nolla rivi tai nollasarake, on yhtä suuri kuin nolla.

Tasa-arvoa (1.6) kutsutaan rivi.

Tasa-arvoa (1.7) kutsutaan determinantin laajentaminen elementeiksi sarake.

Tietyn rivin (sarakkeen) kaikkien elementtien tulojen summa

toisen rivin vastaavien elementtien algebralliset komplementit

(sarake) on yhtä suuri kuin nolla, eli milloin
Ja
klo
.

ESIMERKKI.
, koska tämän determinantin ensimmäisen ja toisen rivin elementit ovat vastaavasti verrannollisia (ominaisuus 6).

Ominaisuutta 9 käytetään erityisen usein determinantteja laskettaessa, koska sen avulla mikä tahansa determinantti voi saada rivin tai sarakkeen, jossa kaikki alkiot yhtä lukuun ottamatta ovat nollia.

ESIMERKKI.