Tämä on melko mielenkiintoinen matematiikan osa, jonka ehdottomasti kaikki valmistuneet ja opiskelijat kohtaavat. Kaikki eivät kuitenkaan pidä matanista. Jotkut eivät ymmärrä edes perusasioita, kuten näennäisen tavanomaista toimintotutkimusta. Tämän artikkelin tarkoituksena on korjata tällainen virhe. Haluatko oppia lisää funktioanalyysistä? Haluatko tietää, mitä ääripisteet ovat ja miten ne löytää? Sitten tämä artikkeli on sinua varten.
Funktion kaavion tutkiminen
Ensinnäkin on syytä ymmärtää, miksi kaaviota on ylipäänsä tarpeen analysoida. On yksinkertaisia toimintoja, joita ei ole vaikea piirtää. Näyttävä esimerkki tällaisesta funktiosta on paraabeli. Kaavion piirtäminen ei ole vaikeaa. Tarvitset vain yksinkertaisen muunnoksen avulla löytää luvut, joilla funktio saa arvon 0. Ja periaatteessa tämä on kaikki mitä sinun tarvitsee tietää, jotta voit piirtää paraabelin kaavion.
Mutta entä jos funktio, joka meidän on piirrettävä, on paljon monimutkaisempi? Koska monimutkaisten funktioiden ominaisuudet eivät ole aivan ilmeisiä, on tarpeen suorittaa koko analyysi. Vasta tämän jälkeen toiminto voidaan kuvata graafisesti. Miten tämä tehdään? Löydät vastauksen tähän kysymykseen tästä artikkelista.
Toiminnan analysointisuunnitelma
Ensimmäinen asia, joka meidän on tehtävä, on suorittaa funktion pinnallinen tutkimus, jonka aikana löydämme määritelmäalueen. Joten aloitetaan järjestyksessä. Määritelmäalue on arvojoukko, jolla funktio määritellään. Yksinkertaisesti sanottuna nämä ovat numeroita, joita voidaan käyttää funktiossa x:n sijasta. Määrittääksesi laajuuden, sinun tarvitsee vain katsoa tietuetta. On esimerkiksi selvää, että funktiolla y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 on määritelmäalue, joka on reaalilukujen joukko. No, funktiolla kuten (x 2 - 2x)/x kaikki on hieman erilaista. Koska nimittäjässä oleva luku ei saa olla 0, tämän funktion määritelmäalue on kaikki muut reaaliluvut kuin nolla.
Seuraavaksi sinun on löydettävä funktion niin sanotut nollat. Nämä ovat argumenttiarvoja, joilla koko funktio saa arvon nolla. Tätä varten funktio on rinnastettava nollaan, harkittava sitä yksityiskohtaisesti ja suoritettava joitain muunnoksia. Otetaan jo tuttu funktio y(x) = (x 2 - 2x)/x. Koulukurssista tiedämme, että murtoluku on yhtä suuri kuin 0, kun osoittaja on nolla. Siksi hylkäämme nimittäjän ja alamme työskennellä osoittajan kanssa samastaen sen nollaan. Saamme x 2 - 2x = 0 ja laitamme x suluissa. Tästä syystä x (x - 2) = 0. Tämän seurauksena huomaamme, että funktiomme on nolla, kun x on 0 tai 2.
Kun tutkitaan funktion kuvaajaa, monet ihmiset kohtaavat ongelmia ääripisteiden muodossa. Ja se on outoa. Loppujen lopuksi äärimmäisyydet ovat melko yksinkertainen aihe. Etkö usko minua? Katso itse lukemalla tämän osan artikkelista, jossa puhumme vähimmäis- ja enimmäispisteistä.
Ensinnäkin on syytä ymmärtää, mikä ääripää on. Ekstreemi on raja-arvo, jonka funktio saavuttaa kaaviossa. Osoittautuu, että on olemassa kaksi ääriarvoa - maksimi ja minimi. Selvyyden vuoksi voit katsoa yllä olevaa kuvaa. Tutkittavalla alueella piste -1 on funktion y (x) = x 5 - 5x maksimi ja vastaavasti piste 1 minimi.
Älä myöskään sekoita käsitteitä. Funktion ääripisteet ovat argumentteja, joissa tietty funktio saa ääriarvot. Ekstreemi puolestaan on funktion minimi- ja maksimiarvo. Harkitse esimerkiksi yllä olevaa kuvaa uudelleen. -1 ja 1 ovat funktion ääripisteet ja 4 ja -4 ovat itse ääripisteitä.
Ääripisteiden löytäminen
Mutta miten löydät funktion ääripisteet? Kaikki on melko yksinkertaista. Ensimmäinen asia on löytää yhtälön derivaatta. Oletetaan, että saimme tehtävän: ”Etsi funktion y (x) ääripisteet, x on argumentti. Otetaan selvyyden vuoksi funktio y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Erotetaan ja. saa seuraavan yhtälön: 3x 2 + 4x + 1. Tuloksena meillä on standardi neliöyhtälö. Seuraavaksi tarvitsee vain rinnastaa se nollaan ja löytää juuret, koska erotin on suurempi kuin nolla = 16 - 12 = 4), tämä yhtälö määritetään kahdella juurilla: 1/3 ja -1. Nämä ovat kuitenkin funktion ääripisteitä on kuka on maksimipiste ja mikä on vähimmäispiste. 1. Korvaa tämä arvo yhtälöimme y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Tuloksena saadaan positiivinen luku Tämä tarkoittaa, että välissä 1/3 arvoon -1 funktio kasvaa. Tämä puolestaan tarkoittaa, että intervalleilla miinus äärettömyydestä 1/3 ja -1:stä plus äärettömään funktio pienenee. Siten voidaan päätellä, että luku 1/3 on funktion minimipiste tutkitulla aikavälillä ja -1 on maksimipiste.
On myös syytä huomata, että yhtenäinen valtionkoe ei vaadi vain ääripisteiden löytämistä, vaan myös jonkinlaisen toiminnon suorittamista niillä (lisääminen, kertominen jne.). Tästä syystä on syytä kiinnittää erityistä huomiota ongelman olosuhteisiin. Loppujen lopuksi huomaamattomuuden vuoksi voit menettää pisteitä.
Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytön ominaisuuksista käytännön toiminnassa. Tällaisen käsitteen tutkiminen on erittäin tärkeää korkeamman matematiikan perusteiden ymmärtämiseksi. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.
Yhteydessä
Mikä on ääripää?
Koulukurssilla annetaan monia määritelmiä käsitteelle "extremum". Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.
Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tätä käsitettä käyttävät tieteet ovat:
- tilastot;
- koneen ohjaus;
- ekonometria.
Ääripisteillä on tärkeä rooli tietyn funktion järjestyksen määrittämisessä. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.
Johdannaisen funktion ääriarvo
On myös sellainen ilmiö kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä korkeimpiin ja pienimpiin arvoihin. Nämä ovat erilaisia käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.
Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannainen ei muodostu arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta jossakin järjestyksessä.
Itse derivaatta määritetään näiden ääripisteiden perusteella, ei suurimman tai pienimmän arvon perusteella. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.
Tarkastellaan nyt sellaista käsitettä kuin "akuutti ääripää". Nykyään on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle graafista.
Sellaisen käsitteen määrittelemiseksi he turvautuvat Fermatin lauseeseen. Se on tärkein ääripisteiden tutkimisessa ja antaa selkeän käsityksen niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai kasvulle.
Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä ohjeita:
- Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
- Hae funktion derivaatta ja ääriarvopiste.
- Ratkaise vakioepäyhtälöt toimialueelle, josta argumentti löytyy.
- Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.
Huomio! Funktion kriittisen pisteen etsiminen on mahdollista vain, jos on olemassa vähintään toissijainen derivaatta, jonka takaa ääripisteen läsnäolon suuri osuus.
Funktion ääripään välttämätön ehto
Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.
Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste menee nollaan, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.
Akuutti ääriarvo, samoin kuin funktion minimi, on erittäin tärkeä näkökohta matemaattisen ongelman ratkaisemisessa ääriarvoja käyttämällä. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata toimintojen määrittämiseen taulukkoarvoihin.
| Täyden merkityksen tutkimus | Arvokaavion piirtäminen |
| 1. Nousevien ja laskevien arvojen pisteiden määrittäminen. 2. Epäjatkuvuuspisteiden, ääripisteiden ja koordinaattiakseleiden leikkauspisteiden löytäminen. 3. Prosessi kaavion sijainnin muutosten määrittämiseksi. 4. Kuperuuden ja kuperuuden indikaattorin ja suunnan määrittäminen ottaen huomioon asymptoottien esiintyminen. 5. Tutkimuksen yhteenvetotaulukon luominen sen koordinaattien määrittämisen kannalta. 6. Löytää äärimmäisten ja terävien pisteiden kasvu- ja laskuvälit. 7. Käyrän kuperuuden ja koveruuden määritys. 8. Piirrä kuvaaja ottaen huomioon tutkimuksen, voit löytää minimi- tai maksimiarvon. |
Tärkein elementti, kun on tarpeen työskennellä ääripisteiden kanssa, on sen kaavion tarkka rakentaminen. Koulujen opettajat eivät usein kiinnitä mahdollisimman paljon huomiota niin tärkeään näkökohtaan, joka on koulutusprosessin törkeä rikkomus. Kaavion rakentaminen tapahtuu vain toiminnallisten tietojen tutkimisen, akuutin ääripään tunnistamisen sekä kaavion pisteiden perusteella. Johdannausfunktion terävät ääripäät näytetään tarkkojen arvojen kuvaajalla käyttämällä tavallista asymptootien määrittämismenettelyä. Funktion maksimi- ja minimipisteisiin liittyy monimutkaisempia graafirakenteita. Tämä johtuu syvemmästä tarpeesta käsitellä akuutin ääripään ongelmaa. On myös tarpeen löytää monimutkaisen ja yksinkertaisen funktion derivaatta, koska tämä on yksi tärkeimmistä käsitteistä ääripääongelmassa. |
Toiminnan ääripää
Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:
- määrittää äärimmäisen suhteen välttämätön ehto;
- ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
- suorittaa akuutin ääripään laskennan.
Käytetään myös sellaisia käsitteitä kuin heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskelmaa. Samanaikaisesti akuutti toiminnallisuus on kaikkien tarvittavien edellytysten etsiminen ja luominen funktion kaavion kanssa työskentelemiseen.
Johdanto
Monilla tieteen aloilla ja käytännön toiminnassa joutuu usein käsittelemään funktion ääripään löytämisen ongelmaa. Tosiasia on, että monet tekniset, taloudelliset jne. prosessit mallinnetaan funktiolla tai useilla funktioilla, jotka riippuvat muuttujista - mallinnettavan ilmiön tilaan vaikuttavista tekijöistä. Tällaisten toimintojen ääripäät on löydettävä optimaalisen (rationaalisen) tilan ja prosessin ohjauksen määrittämiseksi. Joten taloustieteessä kustannusten minimoimisen tai voiton maksimoimisen ongelmat ratkaistaan usein - yrityksen mikrotaloudellinen ongelma. Tässä työssä ei käsitellä mallinnuskysymyksiä, vaan tarkastellaan vain algoritmeja funktioiden äärimmäisyyksien etsimiseen yksinkertaisimmassa versiossa, jolloin muuttujia ei ole rajoitettu (ehdoton optimointi) ja ääripäätä haetaan vain yhdelle tavoitefunktiolle.
TOIMINNON EXTREMA
Tarkastellaan jatkuvan funktion kuvaajaa y=f(x) näkyy kuvassa. Funktioarvo pisteessä x 1 on suurempi kuin funktioarvot kaikissa vierekkäisissä pisteissä sekä vasemmalla että oikealla x 1 . Tässä tapauksessa sanomme, että funktiolla on piste x 1 maksimi. Pisteessä x Toiminnalla 3 on ilmeisesti myös maksimi. Jos ajattelemme asiaa x 2, silloin funktion arvo on pienempi kuin kaikki naapuriarvot. Tässä tapauksessa sanomme, että funktiolla on piste x 2 vähintään. Samoin asian kannalta x 4 .
Toiminto y=f(x) pisteessä x 0 on enimmäismäärä, jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin sen arvot jonkin pisteen sisältävän välin kaikissa kohdissa x 0 eli jos on sellainen pisteen lähialue x 0, joka on kaikille x≠x 0 , kuuluessa tähän naapurustoon, epätasa-arvo pätee f(x)<f(x 0 ) .
Toiminto y=f(x) Sillä on minimi pisteessä x 0 , jos on sellainen pisteen lähialue x 0 , se on kaikille x≠x 0 tähän naapurustossa, epätasa-arvo pätee f(x)>f(x 0.
Pisteitä, joissa funktio saavuttaa maksiminsa ja miniminsä, kutsutaan ääripisteiksi, ja funktion arvoja näissä kohdissa kutsutaan funktion ääripisteiksi.
Kiinnitetään huomiota siihen, että janalle määritelty funktio voi saavuttaa maksimin ja minimin vain tarkasteltavana olevan janan sisältämissä pisteissä.
Huomaa, että jos funktiolla on maksimi jossain pisteessä, tämä ei tarkoita, että funktiolla on kyseisessä pisteessä suurin arvo koko määritelmäalueella. Yllä käsitellyssä kuvassa funktio pisteessä x 1:llä on maksimi, vaikka on pisteitä, joissa funktion arvot ovat suurempia kuin pisteessä x 1 . Erityisesti, f(x 1) < f(x 4) eli funktion minimi on suurempi kuin maksimi. Maksimin määritelmästä seuraa vain, että tämä on funktion suurin arvo pisteissä, jotka ovat riittävän lähellä maksimipistettä.
Lause 1. (Edellytys ääripään olemassaololle.) Jos differentioituva funktio y=f(x) on kohdassa x = x 0 ääripää, niin sen derivaatasta tulee tässä vaiheessa nolla.
Todiste. Olkoon varmuuden vuoksi paikalla x 0-funktiolla on maksimi. Sitten riittävän pienillä lisäyksillä Δ x meillä on f(x 0 + Δ x)
Siirretään nämä epäyhtälöt rajaan kohdassa Δ x→ 0 ja ottaen huomioon, että derivaatta f "(x 0) on olemassa, ja siksi vasemmanpuoleinen raja ei riipu siitä, kuinka Δ x→ 0, saamme: kohdassa Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a kohdassa Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Alkaen f"(x 0) määrittelee luvun, niin nämä kaksi epäyhtälöä ovat yhteensopivia vain jos f"(x 0) = 0.
Todistetussa lauseessa sanotaan, että maksimi- ja minimipisteet voivat olla vain niiden argumentin arvojen joukossa, joissa derivaatasta tulee nolla.
Tarkastelimme tapausta, jossa funktiolla on derivaatta tietyn segmentin kaikissa kohdissa. Mikä on tilanne tapauksissa, joissa johdannaista ei ole olemassa? Katsotaanpa esimerkkejä.
y=|x|.
Funktiolla ei ole derivaattia pisteessä x=0 (tässä vaiheessa funktion kuvaajalla ei ole määriteltyä tangenttia), mutta tässä vaiheessa funktiolla on minimi, koska y(0) = 0 ja kaikille x≠ 0y > 0.
ei ole johdannaista at x=0, koska se menee äärettömyyteen kohdassa x=0. Mutta tässä vaiheessa funktiolla on maksimi. ei ole johdannaista at x=0, alkaen klo x→0. Tässä vaiheessa funktiolla ei ole maksimi- eikä minimiarvoa. Todella, f(x)=0 ja at x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.Siten annetuista esimerkeistä ja muotoillusta lauseesta on selvää, että funktiolla voi olla ääriarvo vain kahdessa tapauksessa: 1) pisteissä, joissa derivaatta on olemassa ja on yhtä suuri kuin nolla; 2) kohdassa, jossa johdannaista ei ole olemassa.
Jos kuitenkin jossain vaiheessa x 0 tiedämme sen f "(x 0 ) =0, niin tästä ei voi päätellä, että pisteessä x 0 funktiolla on ääriarvo.
Esimerkiksi.
.Mutta aika x=0 ei ole ääripiste, koska tämän pisteen vasemmalla puolella funktioarvot sijaitsevat akselin alapuolella Härkä, ja oikealla ylhäällä.
Argumentin arvoja funktion alueelta, jossa funktion derivaatta katoaa tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat.
Kaikesta edellä olevasta seuraa, että funktion ääripisteet ovat kriittisten pisteiden joukossa, eikä jokainen kriittinen piste ole kuitenkaan ääripiste. Siksi funktion ääripisteen löytämiseksi sinun on löydettävä kaikki funktion kriittiset pisteet ja tutkittava sitten jokaista näistä pisteistä erikseen maksimi- ja minimipisteiden suhteen. Seuraava lause palvelee tätä tarkoitusta.
Lause 2. (Riittävä ehto ääripään olemassaololle.) Olkoon funktio jatkuva jollain kriittisen pisteen sisältävällä aikavälillä x 0, ja se on differentioituva tämän välin kaikissa pisteissä (paitsi ehkä itse pisteen x 0). Jos siirryttäessä vasemmalta oikealle tämän pisteen läpi derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, niin pisteessä x = x 0-funktiolla on maksimi. Jos läpi kulkiessa x 0 vasemmalta oikealle, derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussaan, niin funktiolla on tässä vaiheessa minimi.
Eli jos
f "(x)> 0 klo x<x 0 ja f "(x)< 0 klo x>x 0 siis x 0 – maksimipiste;
klo x<x 0 ja f "(x)> 0 klo x>x 0 siis x 0 – minimipiste.Todiste. Oletetaan ensin, että kun kuljemme läpi x 0 derivaatta muuttaa etumerkin plussasta miinusmerkkiin, ts. kaikkien edessä x, lähellä kohtaa x 0 f "(x)> 0 puolesta x< x 0 , f "(x)< 0 puolesta x>x 0 . Sovelletaan Lagrangen lausetta eroon f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), missä c on välillä x Ja x 0 .
Antaa x< x 0 . Sitten c< x 0 ja f "(c)> 0. Siksi f "(c)(x-x 0)< 0 ja siksi
f(x) - f(x 0 )< 0 eli f(x)< f(x 0 ).
Antaa x > x 0 . Sitten c>x 0 ja f "(c)< 0. Keinot f "(c)(x-x 0)< 0. Siksi f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .
Siis kaikille arvoille x tarpeeksi lähellä x 0 f(x)< f(x 0 ) . Ja tämä tarkoittaa sitä pisteessä x 0-funktiolla on maksimi.
Minimilauseen toinen osa todistetaan samalla tavalla.
Havainnollistetaan tämän lauseen merkitys kuvassa. Antaa f "(x 1 ) =0 ja mille tahansa x, tarpeeksi lähellä x 1, epätasa-arvot täyttyvät
f "(x)< 0 klo x< x 1 , f "(x)> 0 klo x>x 1 .
Sitten pisteen vasemmalle puolelle x 1 funktio kasvaa ja pienenee oikealla, siis kun x = x 1-funktio siirtyy kasvavasta laskevaan, eli sillä on maksimi.
Samoin voimme tarkastella pisteitä x 2 ja x 3 .
Kaikki edellä mainitut voidaan kuvata kaavamaisesti kuvassa:
Sääntö funktion y=f(x) tutkimiseksi ääriarvolle
Etsi funktion toimialue f(x).
Etsi funktion ensimmäinen derivaatta f "(x).
Määritä kriittiset kohdat tälle:
löytää yhtälön todelliset juuret f "(x)=0;
löytää kaikki arvot x jolle johdannainen f "(x) ei ole olemassa.
Määritä derivaatan etumerkki kriittisen pisteen vasemmalla ja oikealla puolella. Koska derivaatan etumerkki pysyy vakiona kahden kriittisen pisteen välillä, riittää, että derivaatan etumerkki määritetään yhdessä pisteessä kriittisen pisteen vasemmalla ja pisteen oikealla puolella.
Laske funktion arvo ääripisteissä.
Etsi funktion y=(7x^2-56x+56)e^x suurin arvo janasta [-3; 2].
Näytä ratkaisuRatkaisu
Etsitään alkuperäisen funktion derivaatta käyttämällä tulojohdannaisen kaavaa y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\oikea)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Lasketaan derivaatan nollat: y"=0;
7x(x-6)e^x=0,
x_1=0, x_2=6.
Järjestetään derivaatan etumerkit ja määritetään alkuperäisen funktion monotonisuusvälit tietyllä segmentillä.
Kuvasta on selvää, että segmentillä [-3; 0] alkuperäinen funktio kasvaa ja segmentillä se pienenee. Siten segmentin suurin arvo [-3; 2] saavutetaan arvolla x=0 ja on yhtä suuri kuin y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.
Vastaus
Kunto
Etsi janan funktion y=12x-12tg x-18 suurin arvo \vasen.
Näytä ratkaisuRatkaisu
y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. Tämä tarkoittaa, että alkuperäinen funktio on ei-nouseva tarkasteluvälillä ja ottaa suurimman arvon intervallin vasemmassa päässä, eli kohdassa x=0. Suurin arvo on y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.
Vastaus
Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Kunto
Etsi funktion y=(x+8)^2e^(x+52) minimipiste.
Näytä ratkaisuRatkaisu
Löydämme funktion minimipisteen derivaatta käyttämällä. Etsitään tietyn funktion derivaatta käyttämällä tuotteen derivaatan kaavoja, x^\alpha ja e^x:n derivaatta:
y"(x)= \vasen((x+8)^2\oikea)"e^(x+52)+(x+8)^2\vasen(e^(x+52)\oikea)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).
Järjestetään derivaatan etumerkit ja määritetään alkuperäisen funktion monotonisuusvälit. e^(x+52)>0 mille tahansa x:lle. y"=0 at x=-8, x = -10.
.png)
Kuvasta näkyy, että funktiolla y=(x+8)^2e^(x+52) on yksi minimipiste x=-8.
Vastaus
Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Kunto
Etsi funktion maksimipiste y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.
Näytä ratkaisuRatkaisu
ODZ: x \geqslant 0. Etsitään alkuperäisen funktion derivaatta:
y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.
Lasketaan derivaatan nollat:
8-\sqrt x=0;
\sqrt x=8;
x = 64.
Järjestetään derivaatan etumerkit ja määritetään alkuperäisen funktion monotonisuusvälit.
.png)
Kuvasta näkyy, että piste x=64 on annetun funktion ainoa maksimipiste.
Vastaus
Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Kunto
Etsi segmentin funktion y=5x^2-12x+2\ln x+37 pienin arvo \left[\frac35; \frac75\right].
Näytä ratkaisuRatkaisu
ODZ: x>0.
Etsitään alkuperäisen funktion johdannainen:
y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).
Määritellään derivaatan nollat: y"(x)=0;
\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,
5x^2-6x+1=0,
x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),
x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],
x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].
Järjestetään derivaatan etumerkit ja määritetään alkuperäisen funktion monotonisuusvälit tarkasteltavana olevalle välille.
.png)
Kuvasta on selvää, että segmentillä \left[\frac35; 1\oikea] alkuperäinen funktio pienenee, ja segmentillä \vasen lisääntyy. Näin ollen segmentin pienin arvo \left[\frac35; \frac75\right] saavutetaan arvolla x=1 ja on yhtä suuri kuin y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.
Vastaus
Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.
Kunto
Etsi funktion y=(x+4)^2(x+1)+19 suurin arvo janasta [-5; -3].
Näytä ratkaisuRatkaisu
Etsitään alkuperäisen funktion derivaatta käyttämällä tulojohdannaiskaavaa.
Voidaan myös sanoa, että näissä pisteissä funktion liikesuunta muuttuu: jos funktio lakkaa putoamasta ja alkaa kasvaa, tämä on minimipiste, päinvastoin maksimipiste.
Minimiä ja maksimiarvoja kutsutaan yhteisesti funktion ääripää.
Toisin sanoen kaikki viisi yllä olevassa kaaviossa korostettua pistettä ovat äärimmäisyyksiä.
Tämän ansiosta näiden pisteiden löytäminen ei ole ongelma, vaikka sinulla ei olisi funktion kuvaajaa.
Huomio! Kun he kirjoittavat ääripäät tai maksimi/minimi tarkoittaa funktion arvoa eli funktion arvoa. \(y\). Kun he kirjoittavat äärimmäisiä pisteitä tai maksimi-/minimipisteet tarkoittavat X:itä, joissa maksimi/minimi saavutetaan. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa \(-5\) on minimipiste (tai ääriarvopiste) ja \(1\) on minimipiste (tai ääriarvo).
Kuinka löytää funktion ääripisteet derivaattagraafista (Unified State Exam tehtävä 7)?
Etsitään yhdessä funktion ääripisteiden lukumäärä derivaattakaavion avulla esimerkin avulla:
Meille on annettu graafi, mikä tarkoittaa, että etsimme missä kaavion kohdissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla. Ilmeisesti nämä ovat pisteet \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ja \(3\). Funktion ääripisteiden määrä on \(5\).
Huomio! Jos aikataulu annetaan johdannainen toimintoja, mutta sinun on löydettävä funktion ääripisteet, emme laske derivaatan maksimi- ja minimiarvoja! Laskemme pisteet, joissa funktion derivaatta katoaa (eli leikkaa \(x\)-akselin).
Kuinka löytää funktion maksimi- tai minimipisteet derivaattagraafista (Unified State Exam tehtävä 7)?
Jotta voit vastata tähän kysymykseen, sinun on muistettava kaksi muuta tärkeää sääntöä:
- Derivaata on positiivinen, kun funktio kasvaa.
- Derivaata on negatiivinen, jos funktio pienenee.
Etsitään näitä sääntöjä käyttäen funktion minimi- ja maksimipisteet derivaattagraafista.
On selvää, että minimit ja maksimit on etsittävä ääripisteistä, ts. joukosta \(-13\), \(-11\), \(-9\), \(-7\) ja \(3\).
Jotta ongelman ratkaiseminen olisi helpompaa, laitetaan kuvioon ensin plus- ja miinusmerkit, jotka osoittavat derivaatan etumerkin. Sitten nuolet - osoittavat kasvavia ja pieneneviä toimintoja.
Aloitetaan \(-13\): \(-13\) asti derivaatta on positiivinen, ts. funktio kasvaa, niin derivaatta on negatiivinen ts. toiminto kaatuu. Jos kuvittelet tämän, käy selväksi, että \(-13\) on maksimipiste.
\(-11\): derivaatta on ensin positiivinen ja sitten negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio kasvaa ja sitten pienenee. Yritä vielä kerran piirtää tämä henkisesti, niin sinulle tulee ilmeiseksi, että \(-11\) on minimi.
\(- 9\): funktio kasvaa ja sitten pienenee - maksimi.
\(-7\): minimi.
\(3\): maksimi.
Kaikki yllä oleva voidaan tiivistää seuraaviin johtopäätöksiin:
- Funktiolla on maksimi, jossa derivaatta on nolla ja muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen.
- Funktiolla on minimi, jossa derivaatta on nolla ja vaihtaa etumerkkiä miinuksesta plussaan.
Kuinka löytää maksimi- ja minimipisteet, jos funktion kaava on tiedossa (Yhdistyneen valtionkokeen 12 tehtävää)?
Vastataksesi tähän kysymykseen sinun on tehtävä sama kuin edellisessä kappaleessa: etsitään missä derivaatta on positiivinen, missä se on negatiivinen ja missä se on nolla. Selvyyden vuoksi kirjoitan algoritmin esimerkkiratkaisulla:
- Etsi funktion \(f"(x)\ derivaatta).
- Etsi yhtälön \(f"(x)=0\ juuret).
- Piirrä akseli \(x\) ja merkitse siihen vaiheessa 2 saadut pisteet, piirrä kaarilla välit, joihin akseli on jaettu. Merkitse akselin yläpuolelle \(f"(x)\) ja akselin alapuolelle \(f(x)\).
- Määritä derivaatan etumerkki kussakin välissä (käyttämällä intervallimenetelmää).
- Sijoita derivaatan etumerkki jokaiseen intervalliin (akselin yläpuolelle) ja käytä nuolta funktion lisäyksen (↗) tai vähennyksen (↘) osoittamiseen (akselin alapuolelle).
- Selvitä, kuinka derivaatan etumerkki muuttui kulkiessaan vaiheessa 2 saatujen pisteiden läpi:
- jos \(f'(x)\) muutti merkin "\(+\)":sta "\(-\)", niin \(x_1\) on maksimipiste;
- jos \(f'(x)\) muutti merkin "\(-\)":sta "\(+\)", niin \(x_3\) on minimipiste;
- jos \(f'(x)\) ei ole vaihtanut etumerkkiä, \(x_2\) voi olla käännepiste.
Kaikki! Enimmäis- ja minimipisteet on löydetty.
Kuvattaessa akselin pisteitä, joissa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, asteikko voidaan jättää huomiotta. Toiminnon käyttäytyminen voidaan näyttää alla olevan kuvan mukaisesti. Näin on selvempää, missä on maksimi ja missä minimi.
Esimerkki(KÄYTTÄÄ). Etsi funktion \(y=3x^5-20x^3-54\) maksimipiste.
Ratkaisu:
1. Etsi funktion derivaatta: \(y"=15x^4-60x^2\).
2. Yhdistätään se nollaan ja ratkaistaan yhtälö:
\(15x^4-60x^2=0\) \(|:15\)
\(x^4-4x^2=0\)
\(x^2 (x^2-4)=0\)
\(x=0\) \(x^2-4=0\)
\(x=±2\)
3. – 6. Piirretään pisteet numeroviivalle ja selvitetään kuinka derivaatan etumerkki muuttuu ja miten funktio liikkuu:
Nyt on selvää, että maksimipiste on \(-2\).
Vastaus. \(-2\).
