Ensimmäinen taso

Funktiojohdannainen. Kattava opas (2019)

Kuvittele suora tie, joka kulkee mäkisen alueen läpi. Eli se menee ylös ja alas, mutta ei käänny oikealle tai vasemmalle. Jos akseli on suunnattu vaakasuunnassa tietä pitkin ja pystysuoraan, tieviiva on hyvin samanlainen kuin jonkin jatkuvan funktion kaavio:

Akseli on tietty nollakorkeus, elämässä käytämme merenpintaa sellaisena.

Tällaista tietä eteenpäin liikkuessamme liikumme myös ylös tai alas. Voidaan myös sanoa: kun argumentti muuttuu (liikkuen abskissa-akselia pitkin), funktion arvo muuttuu (liikkuu ordinaatta-akselia pitkin). Mietitään nyt, kuinka tiemme "jyrkkyys" määritetään? Mikä tämä arvo voisi olla? Hyvin yksinkertaista: kuinka paljon korkeus muuttuu liikuttaessa eteenpäin tietyn matkan. Tien eri osuuksilla, kulkiessamme eteenpäin (abskissaa pitkin) yhden kilometrin, nousemme tai laskemme eri määrän metrejä merenpinnan suhteen (ordinaatta pitkin).

Merkitsemme edistymistä eteenpäin (lue "delta x").

Kreikan kirjainta (delta) käytetään yleisesti matematiikassa etuliitteenä, joka tarkoittaa "muutosta". Eli - tämä on suuruusmuutos, - muutos; mikä se sitten on? Aivan oikein, koon muutos.

Tärkeää: lauseke on yksi entiteetti, yksi muuttuja. Älä koskaan revi pois "deltaa" "x":stä tai mistään muusta kirjaimesta! Eli esimerkiksi.

Olemme siis siirtyneet eteenpäin, vaakatasossa, eteenpäin. Jos vertaamme tien linjaa funktion kuvaajaan, niin miten merkitsemme nousua? Varmasti,. Eli kun kuljemme eteenpäin, nousemme korkeammalle.

Arvo on helppo laskea: jos olimme alussa korkeudessa ja siirron jälkeen olimme korkealla, niin silloin. Jos päätepiste osoittautui alhaisemmaksi kuin aloituspiste, se on negatiivinen - tämä tarkoittaa, että emme ole nouseva, vaan laskeva.

Takaisin "jyrkkyyteen": tämä on arvo, joka osoittaa kuinka paljon (jyrkästi) korkeus kasvaa liikuttaessa eteenpäin matkan yksikköä kohti:

Oletetaan, että jollain polun osuudella kilometriä eteenpäin tie nousee km ylöspäin. Silloin jyrkkyys tässä paikassa on yhtä suuri. Ja jos tie uppoaa km:llä eteneessään? Silloin kaltevuus on yhtä suuri.

Mieti nyt mäen huippua. Kun ottaa osuuden alkua puoli kilometriä huipulle ja loppu - puoli kilometriä sen jälkeen, huomaa, että korkeus on melkein sama.

Eli logiikkamme mukaan käy ilmi, että kaltevuus on melkein yhtä suuri kuin nolla, mikä ei selvästikään ole totta. Paljon voi muuttua vain muutaman kilometrin päässä. Pienempiä alueita on harkittava riittävän ja tarkemman jyrkkyyden arvioimiseksi. Jos esimerkiksi mittaat korkeuden muutoksen metrin liikuttaessa, tulos on paljon tarkempi. Mutta tämäkään tarkkuus ei välttämättä riitä meille - loppujen lopuksi, jos keskellä tietä on pylväs, voimme yksinkertaisesti liukua sen läpi. Mikä etäisyys meidän sitten pitäisi valita? Senttimetri? Millimetri? Vähemmän on parempi!

Tosielämässä etäisyyden mittaaminen lähimpään millimetriin on enemmän kuin tarpeeksi. Mutta matemaatikot pyrkivät aina täydellisyyteen. Siksi konsepti oli äärettömän pieni, eli modulo-arvo on pienempi kuin mikään numero, jonka voimme nimetä. Sanot esimerkiksi: biljoonasosa! Kuinka paljon vähemmän? Ja jaat tämän luvun - ja se on vielä pienempi. Jne. Jos haluamme kirjoittaa, että arvo on äärettömän pieni, kirjoitamme näin: (luetaan "x pyrkii nollaan"). On erittäin tärkeää ymmärtää että tämä luku ei ole nolla! Mutta hyvin lähellä sitä. Tämä tarkoittaa, että se voidaan jakaa.

Käsite äärettömän pienen vastakohta on äärettömän suuri (). Olet luultavasti kohdannut sen jo työskennellessäsi eriarvoisuuksien parissa: tämä luku on moduuliltaan suurempi kuin mikään luku, jota voit ajatella. Jos saat suurimman mahdollisen luvun, kerro se kahdella ja saat vielä enemmän. Ja äärettömyys on vielä enemmän kuin mitä tapahtuu. Itse asiassa äärettömän suuret ja äärettömän pienet ovat käänteisiä toisilleen, eli at ja päinvastoin: at.

Nyt takaisin tiellemme. Ihannetapauksessa laskettu kaltevuus on kaltevuus, joka on laskettu polun äärettömän pienelle osalle, eli:

Huomaan, että äärettömän pienellä siirtymällä myös korkeuden muutos on äärettömän pieni. Mutta haluan muistuttaa, että äärettömän pieni ei tarkoita yhtä kuin nolla. Jos jaat äärettömän pienet luvut keskenään, saat esimerkiksi täysin tavallisen luvun. Eli yksi pieni arvo voi olla täsmälleen kaksi kertaa niin suuri kuin toinen.

Miksi tämä kaikki? Tie, jyrkkyys... Emme ole menossa ralliin, mutta opettelemme matematiikkaa. Ja matematiikassa kaikki on täsmälleen samaa, vain kutsutaan eri tavalla.

Johdannaisen käsite

Funktion derivaatta on funktion inkrementin suhde argumentin inkrementin inkrementin äärettömällä pienellä lisäyksellä.

Lisäys matematiikassa sitä kutsutaan muutokseksi. Kutsutaan kuinka paljon argumentti () on muuttunut liikkuessaan akselia pitkin argumentin lisäys ja ilmaistaan ​​kuinka paljon funktio (korkeus) on muuttunut, kun akselia pitkin etäisyys eteenpäin liikkuu, kutsutaan funktion lisäys ja on merkitty.

Joten funktion derivaatta on suhde milloin. Merkitsemme derivaatta samalla kirjaimella kuin funktio, vain vedolla oikeasta yläkulmasta: tai yksinkertaisesti. Joten kirjoitetaan johdannaiskaava käyttämällä näitä merkintöjä:

Kuten analogisesti tien kanssa, tässä, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen.

Mutta onko derivaatta yhtä suuri kuin nolla? Varmasti. Jos esimerkiksi ajat tasaisella vaakatasolla, jyrkkyys on nolla. Itse asiassa korkeus ei muutu ollenkaan. Joten derivaatan kanssa: vakiofunktion derivaatta (vakio) on yhtä suuri kuin nolla:

koska tällaisen funktion inkrementti on nolla mille tahansa.

Otetaan esimerkki kukkulan huipulta. Kävi ilmi, että segmentin päät oli mahdollista järjestää kärjen vastakkaisille puolille siten, että korkeus päissä on sama, eli segmentti on yhdensuuntainen akselin kanssa:

Mutta suuret segmentit ovat merkki epätarkoista mittauksista. Nostamme segmenttiämme yhdensuuntaisesti itsensä kanssa, sitten sen pituus pienenee.

Lopulta, kun olemme äärettömän lähellä huippua, segmentin pituus tulee äärettömän pieneksi. Mutta samaan aikaan se pysyi yhdensuuntaisena akselin kanssa, eli korkeusero sen päissä on yhtä suuri kuin nolla (ei taipu, mutta on yhtä suuri). Siis johdannainen

Tämä voidaan ymmärtää seuraavasti: kun seisomme aivan huipulla, pieni siirtymä vasemmalle tai oikealle muuttaa korkeuttamme merkityksettömästi.

On myös puhtaasti algebrallinen selitys: yläosan vasemmalla puolella funktio kasvaa ja oikealla pienenee. Kuten olemme jo aiemmin havainneet, kun funktio kasvaa, derivaatta on positiivinen ja kun se pienenee, se on negatiivinen. Mutta se muuttuu sujuvasti, ilman hyppyjä (koska tie ei muuta kaltevuuttaan jyrkästi missään). Siksi negatiivisten ja positiivisten arvojen välillä on oltava. Se on paikka, jossa funktio ei kasva eikä pienene - kärkipisteessä.

Sama pätee laaksoon (alue, jossa funktio pienenee vasemmalla ja kasvaa oikealla):

Hieman lisää lisäyksistä.

Muutamme siis argumentin arvoksi. Mistä arvosta muutetaan? Mikä hänestä (argumentista) on nyt tullut? Voimme valita minkä tahansa pisteen, ja nyt tanssimme siitä.

Harkitse pistettä, jolla on koordinaatti. Siinä olevan funktion arvo on yhtä suuri. Sitten teemme saman lisäyksen: lisää koordinaattia. Mikä nyt on argumentti? Erittäin helppoa: . Mikä on funktion arvo nyt? Minne argumentti menee, sinne menee funktio: . Entä funktion lisäys? Ei mitään uutta: tämä on edelleen määrä, jolla toiminto on muuttunut:

Harjoittele lisäysten etsimistä:

1. Etsi funktion lisäys pisteestä, jonka argumentin lisäys on yhtä suuri kuin.
2. Sama funktiolle pisteessä.

Ratkaisut:

Eri kohdissa, samalla argumentin lisäyksellä, funktion kasvu on erilainen. Tämä tarkoittaa, että derivaatalla jokaisessa pisteessä on omansa (keskustelimme tästä aivan alussa - tien jyrkkyys eri kohdissa on erilainen). Siksi, kun kirjoitamme johdannaista, meidän on ilmoitettava, missä vaiheessa:

Virtatoiminto.

Tehofunktiota kutsutaan funktioksi, jossa argumentti on jossain määrin (looginen, eikö?).

Ja - missä tahansa määrin: .

Yksinkertaisin tapaus on, kun eksponentti on:

Etsitään sen johdannainen pisteestä. Muista johdannaisen määritelmä:

Joten argumentti muuttuu arvosta toiseen. Mikä on funktion lisäys?

Lisäys on. Mutta funktio missä tahansa kohdassa on yhtä suuri kuin sen argumentti. Niin:

Johdannainen on:

Johdannainen on:

b) Tarkastellaan nyt neliöfunktiota (): .

Muistetaan nyt se. Tämä tarkoittaa, että lisäyksen arvo voidaan jättää huomiotta, koska se on äärettömän pieni ja siksi merkityksetön toisen termin taustalla:

Joten meillä on toinen sääntö:

c) Jatkamme loogista sarjaa: .

Tätä lauseketta voidaan yksinkertaistaa eri tavoilla: avaa ensimmäinen hakasulke summan kuution lyhennetyn kertolaskukaavan avulla tai jaa koko lauseke tekijöiksi käyttämällä kuutioiden erotuskaavaa. Yritä tehdä se itse millä tahansa ehdotetuista tavoista.

Sain siis seuraavan:

Ja vielä kerran, muista se. Tämä tarkoittaa, että voimme jättää huomiotta kaikki termit, jotka sisältävät:

Saamme: .

d) Samat säännöt voidaan saada suurille tehoille:

e) Osoittautuu, että tämä sääntö voidaan yleistää potenssifunktiolle, jolla on mielivaltainen eksponentti, ei edes kokonaisluku:

(2)

Voit muotoilla säännön sanoilla: "aste tuodaan eteenpäin kertoimena ja laskee sitten".

Todistamme tämän säännön myöhemmin (melkein aivan lopussa). Katsotaanpa nyt muutamia esimerkkejä. Etsi funktioiden derivaatta:

1. (kahdella tavalla: kaavalla ja käyttämällä derivaatan määritelmää - laskemalla funktion inkrementti);

1. . Usko tai älä, tämä on tehotoiminto. Jos sinulla on kysymyksiä, kuten "Miten se menee? Ja missä on tutkinto? ”, Muista aihe" "!
   Kyllä, kyllä, juuri on myös aste, vain murto-osa:.
   Joten neliöjuuremme on vain potenssi, jossa on eksponentti:
   .
   Etsimme johdannaista käyttämällä äskettäin opittua kaavaa:

   Jos tässä vaiheessa asia jäi taas epäselväksi, toista aihe "" !!! (noin aste negatiivisella indikaattorilla)

2. . Nyt eksponentti:

   Ja nyt määritelmän kautta (oletko unohtanut?):
   ;
   .
   Nyt, kuten tavallista, jätämme huomiotta termin, joka sisältää:
   .

3. . Aiempien tapausten yhdistelmä: .

trigonometriset funktiot.

Tässä käytämme yhtä faktaa korkeammasta matematiikasta:

Kun ilmaisu.

Todistuksen opit instituutin ensimmäisenä vuonna (ja päästäksesi sinne, sinun on läpäistävä tentti hyvin). Näytän sen nyt vain graafisesti:

Näemme, että kun funktiota ei ole olemassa - kaavion piste on punkturoitu. Mutta mitä lähempänä arvoa, sitä lähempänä funktio on.Tämä on juuri se "pyrkimys".

Lisäksi voit tarkistaa tämän säännön laskimella. Kyllä, kyllä, älä ole ujo, ota laskin, emme ole vielä kokeessa.

Joten kokeillaan: ;

Älä unohda vaihtaa laskinta radiaanitilaan!

jne. Näemme, että mitä pienempi, sitä lähempänä suhdeluku on.

a) Tarkastellaan funktiota. Kuten tavallista, löydämme sen lisäyksen:

Käännetään sinien ero tuotteeksi. Tätä varten käytämme kaavaa (muista aihe ""):.

Nyt johdannainen:

Tehdään vaihto: . Sitten äärettömän pienelle se on myös äärettömän pieni: . Ilmaisu for saa muotoa:

Ja nyt muistamme sen ilmauksella. Ja myös, entä jos äärettömän pieni arvo voidaan jättää huomiotta summassa (eli at).

Joten saamme seuraavan säännön: sinin derivaatta on yhtä suuri kuin kosini:

Nämä ovat perusjohdannaisia ​​("taulukko"). Tässä ne ovat yhdessä listassa:

Myöhemmin lisäämme niihin muutaman lisää, mutta nämä ovat tärkeimmät, koska niitä käytetään useimmin.

Harjoitella:

1. Etsi funktion derivaatta pisteessä;
2. Etsi funktion derivaatta.

Ratkaisut:

1. Ensin löydämme johdannaisen yleisessä muodossa ja korvaamme sen arvon sen sijaan:
   ;
   .
2. Tässä meillä on jotain samanlaista kuin tehofunktio. Yritetään tuoda hänet luokse
   normaali näkymä:
   .
   Ok, nyt voit käyttää kaavaa:
   .
   .
3. . Eeeeeee… Mikä se on????

Okei, olet oikeassa, emme vieläkään tiedä, kuinka löytää tällaisia ​​johdannaisia. Tässä meillä on useiden erityyppisten toimintojen yhdistelmä. Jotta voit työskennellä heidän kanssaan, sinun on opittava vielä muutama sääntö:

Eksponentti ja luonnollinen logaritmi.

Matematiikassa on sellainen funktio, jonka derivaatta mille tahansa on yhtä suuri kuin itse funktion arvo samalle. Sitä kutsutaan "eksponentiksi" ja se on eksponentiaalinen funktio

Tämän funktion kanta - vakio - on ääretön desimaaliluku, eli irrationaalinen luku (kuten). Sitä kutsutaan "Euler-numeroksi", minkä vuoksi se on merkitty kirjaimella.

Joten sääntö on:

Se on erittäin helppo muistaa.

No, emme mene pitkälle, harkitsemme heti käänteisfunktiota. Mikä on eksponentiaalisen funktion käänteisarvo? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme kanta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi" ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mikä on yhtä suuri? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Eksponentti ja luonnollinen logaritmi ovat funktioita, jotka ovat derivaatan suhteen ainutlaatuisen yksinkertaisia. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on erilainen derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

mitkä säännöt? Taas uusi termi?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Vain ja kaikki. Mikä toinen sana on tälle prosessille? Ei proizvodnovanie... Matematiikan differentiaalia kutsutaan funktion erittäin lisäykseksi. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä.

Jos - jokin vakioluku (vakio), niin.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Anna, tai helpompaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden johdannaiset:

1. pisteessä;
2. pisteessä;
3. pisteessä;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa pisteissä, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: esittelemme uuden toiminnon ja löydämme sen lisäyksen:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi derivaatat funktioista ja;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalifunktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponenttia (oletko unohtanut, mikä se on?).

Joten missä on joku numero.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään tuoda funktiomme uudelle perustalle:

Tätä varten käytämme yksinkertaista sääntöä: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden johdannaiset:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi jätämme sen tässä muodossa vastaukseen.

Logaritmisen funktion derivaatta

Tässä se on samanlainen: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää logaritmista mielivaltaisen, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on saatettava tämä logaritmi perustalle. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt sen sijaan kirjoitamme:

Nimittäjä osoittautui vain vakioksi (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen on hyvin yksinkertainen:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei kokeesta löydy lähes koskaan, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arkitangentti. Näitä toimintoja voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi näyttää vaikealta, lue aihe "Logaritmit" ja kaikki selviää), mutta matematiikan kannalta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetin: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Sellainen yhdistelmäesine osoittautuu: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukkaa, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: ensin etsitään luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten, he antavat meille numeron (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliötät sen, minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi suoritamme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujan kanssa ja sitten toisen toisen toiminnon sen kanssa, mitä tapahtui ensimmäisen seurauksena.

Voimme hyvinkin tehdä samat toimet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliö, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinia:. On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Monimutkaisten funktioiden tärkeä ominaisuus: kun toimintojen järjestys muuttuu, toiminto muuttuu.

Toisin sanoen, Monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Ensimmäisessä esimerkissä .

Toinen esimerkki: (sama). .

Viimeinen toimintamme on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottaminen on hyvin samanlaista kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mihin toimiin ryhdymme ensin? Ensin laskemme sinin ja vasta sitten nostamme sen kuutioksi. Se on siis sisäinen toiminto, ei ulkoinen.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaamme - etsi johdannainen. Proseduuri on aina päinvastainen: ensin etsitään ulkofunktion derivaatta, sitten kerrotaan tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäisessä esimerkissä se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Kaikki näyttää olevan yksinkertaista, eikö?

Tarkastetaan esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(älä vain yritä vähentää tähän mennessä! Kosinin alta ei oteta mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tässä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on jo itsessään monimutkainen toiminto, ja silti poimimme siitä juuren, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa oleva nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: joka tapauksessa "purkamme" tämän toiminnon samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys - kuten aiemmin:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sinus. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Funktiojohdannainen- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen äärettömän pienellä argumentin lisäyksellä:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaatan etumerkistä:

Summan johdannainen:

Johdannainen tuote:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion, löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

Johdannainen laskelma on yksi tärkeimmistä differentiaalilaskennan operaatioista. Alla on taulukko yksinkertaisten funktioiden johdannaisten löytämiseksi. Katso monimutkaisemmat erottelusäännöt muista oppitunneista:

• Taulukko eksponentiaalisten ja logaritmisten funktioiden derivaatoista

Käytä annettuja kaavoja viitearvoina. Ne auttavat ratkaisemaan differentiaaliyhtälöitä ja ongelmia. Kuvassa yksinkertaisten funktioiden johdannaisten taulukossa on "huijauslehti" tärkeimmistä derivaatan löytämisen tapauksista käytettäväksi ymmärrettävässä muodossa, sen vieressä on selitykset jokaiselle tapaukselle.

Yksinkertaisten funktioiden johdannaiset

1. Luvun derivaatta on nolla
с´ = 0
Esimerkki:
5' = 0

Selitys:
Derivaata näyttää nopeuden, jolla funktion arvo muuttuu argumentin muuttuessa. Koska luku ei muutu millään tavalla missään olosuhteissa, sen muutosnopeus on aina nolla.

2. Muuttujan johdannainen yhtä suuri kuin yksi
x' = 1

Selitys:
Jokaisella argumentin (x) lisäyksellä yhdellä, funktion arvo (laskennan tulos) kasvaa saman verran. Siten funktion y = x arvon muutosnopeus on täsmälleen sama kuin argumentin arvon muutosnopeus.

3. Muuttujan ja tekijän derivaatta on yhtä suuri kuin tämä tekijä
сx´ = с
Esimerkki:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Selitys:
Tässä tapauksessa joka kerta, kun funktion argumentti ( X) sen arvo (y) kasvaa kanssa kerran. Siten funktion arvon muutosnopeus suhteessa argumentin muutosnopeuteen on täsmälleen sama kuin arvo kanssa.

Mistä se seuraa
(cx + b)" = c
eli lineaarifunktion y=kx+b differentiaali on yhtä suuri kuin suoran (k) kaltevuus.

4. Muuttujan modulojohdannainen on yhtä suuri kuin tämän muuttujan ja sen moduulin osamäärä
|x|"= x / |x| edellyttäen, että x ≠ 0
Selitys:
Koska muuttujan derivaatta (katso kaava 2) on yhtä suuri kuin yksi, niin moduulin derivaatta eroaa vain siinä, että funktion muutosnopeuden arvo muuttuu päinvastaiseksi alkupisteen ylittäessä (kokeile piirtää kuvaaja funktion y = |x| ja katso itse. Tämä on täsmälleen arvo ja palauttaa lausekkeen x / |x| Kun x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - yksi. Toisin sanoen muuttujan x negatiivisilla arvoilla, jokaisella argumentin muutoksen lisäyksellä, funktion arvo pienenee täsmälleen samalla arvolla ja positiivisilla arvoilla se päinvastoin kasvaa, mutta täsmälleen sama arvo.

5. Muuttujan tehoderivaata on yhtä suuri kuin tämän tehon luvun ja tehon muuttujan tulo, vähennettynä yhdellä
(x c)" = cx c-1, edellyttäen, että x c ja cx c-1 on määritelty ja c ≠ 0
Esimerkki:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Kaavan muistamiseen:
Ota muuttujan "alas" eksponentti kertoimeksi ja pienennä sitten itse eksponenttia yhdellä. Esimerkiksi x 2:lla kaksi oli x:n edellä, ja sitten vähennetty teho (2-1=1) antoi meille vain 2x. Sama tapahtui x 3:lle - laskemme kolminkertaista, pienennämme sitä yhdellä, ja kuution sijasta meillä on neliö, eli 3x 2 . Hieman "epätieteellistä", mutta erittäin helppo muistaa.

6.Fraktiojohdannainen 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Esimerkki:
Koska murto-osa voidaan esittää nostavana negatiiviseen potenssiin
(1/x)" = (x -1)" , niin voit soveltaa kaavaa johdannaistaulukon säännöstä 5
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Fraktiojohdannainen mielivaltaisen asteen muuttujalla nimittäjässä
(1/x c)" = - c / x c+1
Esimerkki:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. juurijohdannainen(neliöjuuren alaisen muuttujan johdannainen)
(√x)" = 1 / (2√x) tai 1/2 x -1/2
Esimerkki:
(√x)" = (x 1/2)", joten voit soveltaa kaavaa säännöstä 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Muuttujan johdannainen mielivaltaisen asteen juuren alla
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Jos noudatamme määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyssuhteen raja. y argumentin Δ lisäykseen x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä laskea tällä kaavalla esimerkiksi funktion derivaatta f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomautamme, että niin sanotut alkeisfunktiot voidaan erottaa funktioiden kokonaisuudesta. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia ​​lausekkeita, joiden johdannaisia ​​on laskettu ja syötetty taulukkoon pitkään. Tällaiset funktiot ja niiden johdannaiset ovat riittävän helppoja muistaa.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla lueteltuja. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niitä ei ole vaikea muistaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Nimi	Toiminto	Johdannainen
Jatkuva	f(x) = C, C ∈ R	0 (kyllä, kyllä, nolla!)
Aste rationaalisen eksponentin kanssa	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synti x	cos x
Kosini	f(x) = cos x	- synti x(miinus sini)
Tangentti	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentti	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
luonnollinen logaritmi	f(x) = loki x	1/x
Mielivaltainen logaritmi	f(x) = loki a x	1/(x ln a)
Eksponentti funktio	f(x) = e x	e x(mikään ei muuttunut)

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa ja paljon muuta. Näin ilmaantuu uusia toimintoja, jotka eivät enää ole kovin alkeellisia, mutta myös erotettavissa tiettyjen sääntöjen mukaan. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Anna toiminnot f(x) ja g(x), joiden johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa "negatiivisen elementin" käsite. Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2+ synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cosx;

Väittelemme samalla tavalla funktion puolesta g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko"\u003e yhtä suuri kuin johdannaisten tulo. Mutta viikunat sinulle! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta usein unohtuu. Eikä vain koululaiset, vaan myös opiskelijat. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaavio ei muutu tästä. Ilmeisesti funktion ensimmäinen kerroin g(x) on polynomi, ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että viimeisessä vaiheessa johdannainen faktoroidaan. Muodollisesti tämä ei ole välttämätöntä, mutta useimpia johdannaisia ​​ei lasketa yksinään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen merkit selvitetään ja niin edelleen. Tällaisessa tapauksessa on parempi, että lauseke on jaettu tekijöihin.

Jos toimintoja on kaksi f(x) ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös johdannaisen:

Ei heikko, eikö? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Mutta näin! Tämä on yksi monimutkaisimmista kaavoista - et voi selvittää sitä ilman pulloa. Siksi on parempi tutkia sitä erityisillä esimerkeillä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Jokaisen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä on alkeisfunktiot, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteisesti laskemme osoittajan tekijöihin - tämä yksinkertaistaa vastausta suuresti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puoli kilometriä pitkä kaava. Esimerkiksi funktion ottaminen riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2+ln x. Se käy ilmi f(x) = synti ( x 2+ln x) on monimutkainen funktio. Hänellä on myös johdannainen, mutta sen löytäminen ei onnistu yllä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti.

Kuinka olla? Tällaisissa tapauksissa muuttujan korvaaminen ja kompleksisen funktion derivaatan kaava auttavat:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan merkillä t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se erityisillä esimerkeillä ja yksityiskohtaisella kuvauksella jokaisesta vaiheesta.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2+ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin saadaan alkeisfunktio f(x) = e x. Siksi teemme korvauksen: olkoon 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Käänteisen vaihdon suorittaminen: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti pitää vaihtaa. x 2+ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2+ln x. Sitten:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut summan derivaatan laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän termin "johdannainen" sijaan sanaa "halvaus". Esimerkiksi summan veto on yhtä suuri kuin vetojen summa. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Täten johdannaisen laskennassa päästään eroon juuri näistä vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvinkin olla murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0,5 . Mutta entä jos juuren alla on jotain hankalaa? Jälleen tulee monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisia ​​rakenteita testeissä ja kokeissa.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme vaihdon: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Teemme käänteisen vaihdon: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille:

1- Johdannainen, merkitys eri tehtävissä ja ominaisuuksissa

1.1. Johdannaisen käsite

Anna toiminnon klo– f(x) määritelty aikavälillä D. Ota jokin arvo X0 D ja ota huomioon lisäys ∆ X: x0 +∆x D. Jos funktion muutoksen (lisäyksen) suhteelle argumentin vastaavaan lisäykseen on raja, kun jälkimmäinen pyrkii kohtaan nolla, niin sitä kutsutaan johdannainen funktio klo= f(x) pisteessä x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Johdannaisten löytämisprosessia kutsutaan erilaistuminen .

Jos f"(x) on rajallinen jokaiselle x D, sitten toiminto klo= f(x) nimeltään erottuva sisään D. Tarkka formulaatio funktion differentiatiivisuudesta ja funktion differentiaatiokriteeri annetaan luvussa 1.5.

Derivaatan määritelmää käyttämällä saadaan joitain perusfunktioiden differentiaatiosääntöjä ja derivaattoja, jotka sitten tiivistetään taulukoihin.

10. Vakion derivaatta on nolla:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Todella,

Erityisesti,

30 . Toiminnan vuoksi y = x2 johdannainen y' = 2x.

Tämän kaavan johtamiseksi löydämme funktion lisäyksen:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Käyttämällä kaavabinomiaali Newton, voidaan osoittaa, että potenssifunktiolle

1.2. Yksipuolisen johdannaisen käsite

Funktion laskennan perusteissa klo=f(x) otettiin käyttöön käsitteet vasen ja oikea raja jossain pisteessä a:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

oikeanpuoleinen johdannainen -

Muista tämä funktion äärellisen rajan olemassaololle klo= f(x) pisteessä x = a on välttämätöntä ja riittävää, että funktion vasen ja oikea raja ovat tässä pisteessä äärelliset ja yhtä suuret:

(x - 0) = f’(x + 0).

1.3. Korkeamman asteen johdannaisten käsite

Anna toiminnon vuoksi klo= f(x) määritelty sarjassa D, on johdannainen klo"= f"(x) jokaisessa x D,t. e. derivaatta on funktio, ja sille voidaan esittää kysymys derivaatan olemassaolosta. Ensimmäisen derivaatan johdannainen, jos se on olemassa - tämän funktion toinen derivaatta tai toisen asteen johdannainen

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

n:nnen kertaluvun johdannainen

0, y"" = 0,...y(n) = 0. Funktiolle y = x2 johdannainen sinä= 2x. Sitten klo"= 2, klo""= 0,..., y(n) = 0.

1.4. Derivaatan geometriset ja mekaaniset tulkinnat

1.4.1. Johdannan mekaaninen merkitys. Epätasaisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden ongelma

Olkoon kehon kulkeman polun riippuvuus ajassa t, kuvataan funktiolla s = s(t), ja liikenopeus ja vastaavasti kiihtyvyys funktioiden mukaan v = v(t), a = a(t). Jos keho liikkuu tasaisesti, niin, kuten fysiikasta tiedetään, s = vּt, eli v = s/ t. Jos keho liikkuu tasaisella kiihtyvyydellä ja vo= 0, sitten kiihtyvyys a = v/ t.

Jos liike ei ole tasaista ja tasaisesti kiihtynyt, niin nopeuden ja kiihtyvyyden keskiarvo tietyn ajanjakson aikana Δ t ovat ilmeisen samat.

Anna olla v(t)- liikenopeus, a(t)- kiihtyvyys aikaan t.

Sitten näin,

Edellyttäen, että viimeiset rajat ovat olemassa.

Johdannan mekaaninen merkitys: polun derivaattas = s(t) eiaikaton ainepisteen hetkellinen nopeus, ts.v(t)= s"(t). Reitin toinen derivaatta ajan suhteen- kiihtyvyys, ts.s""(t)= v"(t)=a(t).

F. Engelsin mukaan funktion derivaatan käsitteen käyttöönoton myötä liike tuli matematiikkaan, koska derivaatalla tarkoitetaan minkä tahansa prosessin muutosnopeutta, esimerkiksi: kehon kuumennus- tai jäähdytysprosessi, nopeus kemiallisesta tai ydinreaktiosta jne.

Esimerkki 1.1. Johtimen läpi virtaavan sähkön määrä (kuloneina) määräytyy lain mukaan K = 2 t2 + 3 t + 4 . Etsi virta kolmannen sekunnin lopussa.

Päätös. Nykyinen vahvuus minä = K" = 4 t+3. klo t = 3 minä=15 k/s = 15 A.

1.4.2.3 Tangenttiongelma. Johdannan geometrinen merkitys

Anna toiminnon klo= f(x) määritelty ja jatkuva jossakin pisteessä X= x0 ja jossain tämän pisteen ympäristössä. Selvitetään funktion derivaatan geometrinen merkitys.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi toimimme seuraavasti. Ota piste funktion kaaviosta (kuva 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу) ja piirrä sekantti M0M. Tehdään kohta M pisteeseen M0, eli Δ x → 0. piste M() on kiinteä, joten rajan sekantti ottaa tangentin aseman TO.

Tangentti funktion y kuvaajalle= f(x) ekohtaM0 kutsutaan sekantin M0M raja-asemaksi edellyttäen, että piste M suuntautuu pisteeseen M0 käyrää G pitkinf- toimintografiikkay = f(x).

Sitten sekantin kaltevuus M0M

rajassa tulee yhtä suureksi kuin tangentin kaltevuus:

{ x0 ) = tga, jossa α on tangentin ja Ox-akselin positiivisen suunnan välinen kulma(katso kuva 1.1).

Kuten analyyttisestä geometriasta tiedetään, pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö ( x0, y0) ja kaltevuus k tahtoa

y – y0 =k(x-x0).

Sitten, kun otetaan huomioon derivaatan geometrinen merkitys, tangenttiyhtälö (TO) funktion kuvaajaan klo= f(x) pisteessä (x0, y0) on muotoa

(K) y =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

Normaali yhtälö (N) - kohtisuorassa kosketuspisteen tangenttia vastaan:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Vai niin)- noin-pieni Δx).

Lause. Toiminnon vuoksi klo= f(x) oli differentioituva pisteessä x D), on välttämätöntä ja riittävää, että sillä tässä vaiheessa on äärellinen derivaatta y' =f"(x).

Todiste . Tarve. Anna toiminnon y= f(x) erotettavissa x:llä D, eli relaatio (1.1) pätee. Sitten johdannaisen määritelmän mukaan ottaen huomioon (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Sitten funktion, sen rajan ja äärettömän pienen määrän välistä yhteyttä koskevan lauseen perusteella

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

voidaan esittää kahden termin summana, joista ensimmäinen on verrannollinen argumentin kasvuun Δх suhteellisuustekijällä f'(X), ja toinen on äärettömästi korkeampi kertaluokka kuin Δх, eli (1.1) pätee, joten funktio on differentioituva pisteessä x D.

Huomaa, että suhde

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, mutta funktio on jatkuva for X= 0.

1.6. Erottamisen säännöt

yksi . Funktioiden algebrallisen summan differentiointi. Äärillisen määrän differentioituvien funktioiden algebrallinen summa on differentioituva funktio, ja funktioiden algebrallisen summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen algebrallinen summa. Esimerkiksi: kahdelle toiminnolle

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Harkitse toiminnon vaihtamista ja ±v kun vaihdat argumenttia Δ X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Koska kunkin termin raja on olemassa ja se on ehdon mukaan äärellinen, algebrallisen summan raja on yhtä suuri kuin rajojen algebrallinen summa. eli toiminto (ja ±v) erottuva mielivaltaisessa pisteessä X ja (u± v)" = u’ ± v’ . Väite on todistettu.

2° Funktioiden tulon differentiointi . Kahden differentioituvan funktion tulo on differentioituva funktio, kun taas tuotteen derivaatta on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän derivaatan tulo toisella ilman muutosta, plus ensimmäinen tekijä kerrottuna toisen derivaatalla:

(jav) = ja"v + uv".

Yllä oleva sääntö voidaan helposti yleistää esimerkiksi minkä tahansa äärellisen määrän differentioituvien funktioiden tuloksi.

Todiste. Ehdolla mielivaltaisessa pisteessä x D

Kun vaihdat Δ X funktion muutos

edustaa muodossa

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Koska erilaisuuden vuoksi ja

lim Δ v = 0 johtuen funktion jatkuvuudesta, sitten rajojen ominaisuuksista

Δх→ O

(uv)" = u"v + uv".

Funktioiden tulon erottamista koskevan säännön seurauksena kehotamme lukijoita hankkimaan potenssifunktion derivaatan un,n N :

(jan)’ = nunna-1 ja'

3° Seuraus 2°:sta. Vakiotekijä voidaan ottaa pois merkistä

johdannainen:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Todiste. Kun vaihdat Δ X harkita muutoksia differentioituvissa funktioissa u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - niitä)],Δ v = [ v(x+ Δх) - v(x)].

Muokatut funktioarvot ovat: ja + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Toiminnot ja= w(x),v = v(x) ≠ 0 ovat ehdon mukaan differentioitavissa ja siksi myös jatkuvia, ts.

Rajojen ominaisuuksien mukaan

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Monimutkainen toimintojen erottelu . Anna toiminnon klo= f(ja) on erilainen suhteessa X, toiminto ja= niitä) suhteen erottuva X. Sitten monimutkainen funktio klo= f(u(x)) suhteen erottuva X, ja

y"=f"(u)∙ u"

Todiste . Johtuen toimintojen erilaisuudesta f(u), u(x) ja rajoittaa ominaisuuksia

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Käänteinen funktion erottelu . Anna toiminnon y=f(x) suhteen erottuva X ja y "x ≠ 0. Sitten käänteisfunktio x =g(klo) on erilainen suhteessa klo ja x "y \u003d 1 / y" x

Todiste. Todella,

Käytön helpottamiseksi esittelemme erottelun perussäännöt taulukossa 1.

pöytä 1

Erottamisen säännöt

Kaavan numero
	c =const, c" = 0.
	(u± v)" =u"± v", ja= niitä),v = v(x).
	(u ∙ v)= c ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",kanssa = konst.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"klo =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Käyttämällä funktion derivaatan määritelmää ja differentiaatiosääntöjä, löydämme perusalkeisfunktioiden derivaatat, jotka on esitetty alla olevassa taulukossa 2.

taulukko 2

Alkeisfunktioiden johdannaiset

	Yksinkertaiset toiminnot	Monimutkaiset toiminnot

Määritelmä. Olkoon funktio \(y = f(x) \) määritelty jossain välissä, jonka sisällä on piste \(x_0 \). Kasvatetaan \(\Delta x \) argumenttiin, jotta emme jätä tätä väliä. Etsi funktion \(\Delta y \) vastaava lisäys (siirryttäessä pisteestä \(x_0 \) pisteeseen \(x_0 + \Delta x \)) ja muodosta relaatio \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Jos tälle suhteelle on raja kohdassa \(\Delta x \rightarrow 0 \), niin määritetty raja kutsutaan johdannainen funktio\(y=f(x) \) pisteessä \(x_0 \) ja merkitse \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbolia y käytetään usein merkitsemään derivaatta. Huomaa, että y" = f(x) on uusi funktio, mutta liittyy luonnollisesti funktioon y = f(x), joka on määritelty kaikissa pisteissä x, joissa yllä oleva raja on olemassa. Tätä toimintoa kutsutaan seuraavasti: funktion y \u003d f (x) derivaatta.

Johdannan geometrinen merkitys koostuu seuraavista. Jos tangentti, joka ei ole yhdensuuntainen y-akselin kanssa, voidaan piirtää funktion y \u003d f (x) kuvaajaan pisteessä, jossa on abskissa x \u003d a, niin f (a) ilmaisee tangentin kaltevuuden:
\(k = f"(a)\)

Koska \(k = tg(a) \), yhtälö \(f"(a) = tg(a) \) on tosi.

Ja nyt tulkitsemme derivaatan määritelmää likimääräisten yhtälöiden kannalta. Olkoon funktiolla \(y = f(x) \) derivaatta tietyssä pisteessä \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tämä tarkoittaa, että pisteen x lähellä likimääräinen yhtälö \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), eli \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Saadun likimääräisen yhtälön merkityksellinen merkitys on seuraava: funktion inkrementti on "melkein verrannollinen" argumentin kasvuun ja suhteellisuuskerroin on derivaatan arvo tietyssä pisteessä x. Esimerkiksi funktiolle \(y = x^2 \) likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin 2x \cdot \Delta x \) on tosi. Jos analysoimme derivaatan määritelmää huolellisesti, huomaamme, että se sisältää algoritmin sen löytämiseksi.

Muotoillaan se.

Kuinka löytää funktion y \u003d f (x) derivaatta?

1. Korjaa arvo \(x \), etsi \(f(x) \)
2. Kasvata \(x \) argumenttia \(\Delta x \), siirry uuteen pisteeseen \(x+ \Delta x \), etsi \(f(x+ \Delta x) \)
3. Etsi funktion inkrementti: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Muodosta relaatio \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Laske $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Tämä raja on funktion derivaatta kohdassa x.

Jos funktiolla y = f(x) on derivaatta pisteessä x, niin sitä kutsutaan differentioituvaksi pisteessä x. Kutsutaan menetelmä funktion y \u003d f (x) derivaatan löytämiseksi erilaistuminen funktiot y = f(x).

Tarkastellaan seuraavaa kysymystä: miten funktion jatkuvuus ja differentioituvuus pisteessä liittyvät toisiinsa?

Olkoon funktio y = f(x) differentioituva pisteessä x. Tällöin funktion kuvaajalle voidaan piirtää tangentti pisteessä M (x; f (x)) ja, muistaakseni, tangentin kaltevuus on yhtä suuri kuin f "(x). Tällainen graafi ei voi "murtua" kohdassa pisteen M eli funktion on oltava jatkuva kohdassa x.

Se oli päättelyä "sormilla". Esitetään tiukempi argumentti. Jos funktio y = f(x) on differentioituva pisteessä x, niin likimääräinen yhtälö \(\Delta y \noin f"(x) \cdot \Delta x \) pätee. nolla, sitten \(\Delta y \ ) pyrkii myös nollaan, ja tämä on ehto funktion jatkuvuudelle pisteessä.

Niin, jos funktio on differentioituva pisteessä x, niin se on myös jatkuva tässä pisteessä.

Päinvastoin ei pidä paikkaansa. Esimerkiksi: funktio y = |x| on jatkuva kaikkialla, erityisesti pisteessä x = 0, mutta funktion kaavion tangenttia "liitospisteessä" (0; 0) ei ole olemassa. Jos jossain vaiheessa on mahdotonta piirtää tangenttia funktiokaavioon, niin derivaatta ei ole tässä vaiheessa.

Vielä yksi esimerkki. Funktio \(y=\sqrt(x) \) on jatkuva koko lukuviivalla, mukaan lukien pisteessä x = 0. Ja funktion kaavion tangentti on olemassa missä tahansa pisteessä, myös pisteessä x = 0 Mutta tässä vaiheessa tangentti osuu yhteen y-akselin kanssa, eli se on kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan, sen yhtälön muoto on x \u003d 0. Tällaisella suoralla ei ole kaltevuutta, mikä tarkoittaa, että \ ( f "(0) \) ei myöskään ole olemassa

Joten tutustuimme funktion uuteen ominaisuuteen - differentiaatioon. Mistä tiedät, onko funktio erotettavissa funktion kaaviosta?

Vastaus on itse asiassa annettu yllä. Jos funktion kuvaajaan voidaan jossain vaiheessa piirtää tangentti, joka ei ole kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin tässä vaiheessa funktio on differentioituva. Jos jossain vaiheessa funktion kuvaajan tangenttia ei ole olemassa tai se on kohtisuorassa x-akselia vastaan, niin funktio ei tässä vaiheessa ole differentioituva.

Erottamisen säännöt

Operaatiota derivaatan löytämiseksi kutsutaan erilaistuminen. Kun suoritat tätä toimintoa, joudut usein työskentelemään osamääräjen, summien, funktioiden tulojen sekä "funktioiden funktioiden" eli monimutkaisten funktioiden kanssa. Derivaatan määritelmän perusteella voimme johtaa tätä työtä helpottavia differentiointisääntöjä. Jos C on vakioluku ja f=f(x), g=g(x) ovat joitain differentioituvia funktioita, niin seuraavat ovat totta eriyttämissäännöt:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Yhdistelmäfunktion derivaatta:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Taulukko joidenkin funktioiden johdannaisista

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\teksti(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $