Tässä materiaalissa analysoimme, kuinka murtoluvut saadaan oikein uuteen nimittäjään, mikä on lisätekijä ja miten se löydetään. Sen jälkeen muotoillaan perussääntö murtolukujen pelkistämiseksi uusiin nimittäjiin ja havainnollistetaan sitä esimerkein ongelmista.

Käsite murtoluvun vähentämisestä eri nimittäjään

Muista murto-osan perusominaisuus. Hänen mukaansa tavallisella murtoluvulla a b (jossa a ja b ovat mitä tahansa lukuja) on ääretön määrä murtolukuja, jotka ovat yhtä suuria kuin se. Tällaisia ​​murtolukuja voidaan saada kertomalla osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla m (luonnollinen). Toisin sanoen kaikki tavalliset murtoluvut voidaan korvata muilla muotoa a m b m . Tämä on alkuperäisen arvon vähentäminen murto-osaan halutulla nimittäjällä.

Voit tuoda murtoluvun eri nimittäjään kertomalla sen osoittajan ja nimittäjän millä tahansa luonnollisella luvulla. Pääehto on, että kertoimen on oltava sama murto-osan molemmissa osissa. Tuloksena on alkuperäistä vastaava murto-osa.

Havainnollistetaan tätä esimerkillä.

Esimerkki 1

Muunna murtoluku 11 25 uudeksi nimittäjäksi.

Ratkaisu

Otetaan mielivaltainen luonnollinen luku 4 ja kerrotaan molemmat osat alkuperäisestä murtoluvusta sillä. Otamme huomioon: 11 4 \u003d 44 ja 25 4 \u003d 100. Tulos on murto-osa 44 100:sta.

Kaikki laskelmat voidaan kirjoittaa tähän muotoon: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

Osoittautuu, että mikä tahansa murto-osa voidaan pelkistää valtavaan määrään erilaisia ​​nimittäjiä. Neljän sijasta voisimme ottaa toisen luonnollisen luvun ja saada toisen murtoluvun, joka vastaa alkuperäistä.

Mutta mikään luku ei voi tulla uuden murtoluvun nimittäjäksi. Joten a b:n nimittäjä voi sisältää vain lukuja b · m, jotka ovat b:n kerrannaisia. Muista jaon peruskäsitteet - kerrannaiset ja jakajat. Jos luku ei ole b:n kerrannainen, mutta se ei voi olla uuden murtoluvun jakaja. Selitämme ajatuksemme esimerkillä ongelman ratkaisemisesta.

Esimerkki 2

Laske, onko mahdollista vähentää murto-osaa 5 9 nimittäjiin 54 ja 21.

Ratkaisu

54 on yhdeksän kerrannainen, joka on uuden murtoluvun nimittäjä (eli 54 voidaan jakaa 9:llä). Näin ollen tällainen vähennys on mahdollista. Emme voi jakaa 21:tä 9:llä, joten tällaista toimintoa ei voida suorittaa tälle murtoluvulle.

Lisäkertoimen käsite

Muotoilkaamme, mikä on lisätekijä.

Määritelmä 1

Lisäkerroin on luonnollinen luku, jolla murtoluvun molemmat osat kerrotaan, jotta se saadaan uuteen nimittäjään.

Nuo. kun suoritamme tämän toiminnon murto-osalle, otamme sille lisäkertoimen. Esimerkiksi murto-osan 7 10 vähentämiseksi muotoon 21 30 tarvitsemme lisäkertoimen 3 . Ja voit saada murto-osan 15 40 luvusta 3 8 käyttämällä kerrointa 5.

Vastaavasti, jos tiedämme nimittäjä, johon murto-osa on vähennettävä, voimme laskea sille lisäkertoimen. Selvitetään, miten se tehdään.

Meillä on murto-osa a b , joka voidaan pelkistää johonkin nimittäjään c ; laske lisäkerroin m . Meidän on kerrottava alkuperäisen murtoluvun nimittäjä m:llä. Saadaan b · m , ja tehtävän ehdon mukaan b · m = c . Muista kuinka kerto- ja jakolasku liittyvät toisiinsa. Tämä yhteys johtaa meidät seuraavaan johtopäätökseen: lisätekijä on vain c:n jakaminen b:llä, toisin sanoen m = c: b.

Siten lisätekijän löytämiseksi meidän on jaettava vaadittu nimittäjä alkuperäisellä.

Esimerkki 3

Etsi lisäkerroin, jolla murto 17 4 tuotiin nimittäjään 124 .

Ratkaisu

Yllä olevan säännön avulla jaamme yksinkertaisesti 124 alkuperäisen murtoluvun nimittäjällä neljä.

Otamme huomioon: 124: 4 \u003d 31.

Tämän tyyppistä laskentaa tarvitaan usein, kun murtoluvut pienennetään yhteiseksi nimittäjäksi.

Sääntö murtolukujen vähentämiseksi tiettyyn nimittäjään

Siirrytään perussäännön määrittelyyn, jolla voit tuoda murtoluvut määritettyyn nimittäjään. Niin,

Määritelmä 2

Murtoluvun tuomiseksi määritettyyn nimittäjään tarvitset:

1. määritä lisäkerroin;
2. kerro sillä sekä alkuperäisen murtoluvun osoittaja että nimittäjä.

Kuinka soveltaa tätä sääntöä käytännössä? Otetaan esimerkki ongelman ratkaisemisesta.

Esimerkki 4

Suorita murtoluvun 7 16 pelkistys nimittäjään 336 .

Ratkaisu

Aloitetaan laskemalla lisäkerroin. Jako: 336: 16 = 21.

Kerromme saadun vastauksen alkuperäisen murtoluvun molemmilla osilla: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Joten siirsimme alkuperäisen murtoluvun haluttuun nimittäjään 336.

Vastaus: 7 16 = 147 336.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Halusin alun perin sisällyttää yhteisen nimittäjän menetelmät "Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen" -kohtaan. Mutta tietoa oli niin paljon ja sen merkitys on niin suuri (ei vain numeerisilla murtoluvuilla ole yhteisiä nimittäjiä), että on parempi tutkia tätä asiaa erikseen.

Oletetaan siis, että meillä on kaksi murtolukua eri nimittäjillä. Ja haluamme varmistaa, että nimittäjistä tulee samat. Murto-osan pääominaisuus tulee apuun, mikä, haluan muistuttaa, kuulostaa tältä:

Murtoluku ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla.

Siten, jos valitset tekijät oikein, murto-osien nimittäjät ovat yhtä suuret - tätä prosessia kutsutaan vähentämiseksi yhteiseksi nimittäjäksi. Ja haluttuja lukuja, "tasoittaa" nimittäjiä, kutsutaan lisätekijöiksi.

Miksi murtoluvut pitää yhdistää yhteiseen nimittäjään? Tässä on vain muutama syy:

1. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen yhteen- ja vähennys. Ei ole muuta tapaa suorittaa tätä toimintoa;
2. Murtolukuvertailu. Joskus pelkistys yhteiseen nimittäjään yksinkertaistaa tätä tehtävää huomattavasti;
3. Osake- ja prosenttiongelmien ratkaiseminen. Prosentit ovat itse asiassa tavallisia lausekkeita, jotka sisältävät murtolukuja.

On monia tapoja löytää lukuja, jotka tekevät nimittäjistä yhtä suuret, kun ne kerrotaan. Tarkastelemme niistä vain kolmea - lisääntyvän monimutkaisuuden ja tietyssä mielessä tehokkuuden järjestyksessä.

Kertominen "ristikkäin"

Yksinkertaisin ja luotettavin tapa, joka taatusti tasoittaa nimittäjät. Toimimme "edessä": kerromme ensimmäisen murto-osan toisen murto-osan nimittäjällä ja toisen ensimmäisen murto-osan nimittäjällä. Tämän seurauksena molempien murto-osien nimittäjät ovat yhtä suuret kuin alkuperäisten nimittäjien tulo. Katso:

Lisätekijöinä harkitse viereisten murtolukujen nimittäjiä. Saamme:

Kyllä, se on niin yksinkertaista. Jos olet vasta alkamassa oppia murtolukuja, on parempi työskennellä tällä menetelmällä - näin vakuutat itsesi monilta virheiltä ja saat taatusti tuloksen.

Tämän menetelmän ainoa haittapuoli on, että sinun on laskettava paljon, koska nimittäjät kerrotaan "edessä", ja seurauksena voidaan saada erittäin suuria lukuja. Se on luotettavuuden hinta.

Yleinen jakajamenetelmä

Tämä tekniikka auttaa vähentämään laskelmia huomattavasti, mutta valitettavasti sitä käytetään harvoin. Menetelmä on seuraava:

1. Katso nimittäjiä ennen kuin menet "läpi" (eli "ristiriittäin"). Ehkä yksi niistä (se, joka on suurempi) on jaollinen toisella.
2. Tällaisesta jaosta saatu luku on lisätekijä murtoluvulle, jolla on pienempi nimittäjä.
3. Samaan aikaan murto-osaa, jolla on suuri nimittäjä, ei tarvitse kertoa millään - tämä on säästö. Samalla virheiden todennäköisyys pienenee jyrkästi.

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvot:

Huomaa, että 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Koska molemmissa tapauksissa yksi nimittäjä on jaollinen ilman jäännöstä toisella, käytämme yhteisten tekijöiden menetelmää. Meillä on:

Huomaa, että toista murto-osaa ei kerrottu millään. Itse asiassa olemme puolittaneet laskelmien määrän!

Muuten, otin tämän esimerkin murtoluvut syystä. Jos olet kiinnostunut, kokeile laskea ne ristiinmenetelmällä. Vähennyksen jälkeen vastaukset ovat samat, mutta työtä on paljon enemmän.

Tämä on yhteisten jakajien menetelmän vahvuus, mutta jälleen kerran, sitä voidaan soveltaa vain, kun yksi nimittäjistä jaetaan toisella ilman jäännöstä. Mitä tapahtuu melko harvoin.

Vähiten yleinen moninkertainen menetelmä

Kun vähennämme murtoluvut yhteiseen nimittäjään, yritämme pohjimmiltaan löytää luvun, joka on jaollinen jokaisella nimittäjällä. Sitten tuomme molempien murtolukujen nimittäjät tähän numeroon.

Tällaisia ​​lukuja on paljon, ja pienin niistä ei välttämättä ole yhtä suuri kuin alkuperäisten murtolukujen nimittäjien suora tulo, kuten "ristikkäisessä" menetelmässä oletetaan.

Esimerkiksi nimittäjille 8 ja 12 luku 24 on varsin sopiva, koska 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Tämä luku on paljon pienempi kuin tulo 8 12 = 96 .

Pienintä lukua, joka on jaollinen kullakin nimittäjällä, kutsutaan niiden pienimmäksi yhteiseksi kerrannaiseksi (LCM).

Merkintä: A:n ja b:n pienin yhteinen kerrannainen on merkitty LCM(a ; b ) . Esimerkiksi LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24 .

Jos onnistut löytämään tällaisen luvun, laskelmien kokonaismäärä on minimaalinen. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Etsi lausekkeen arvot:

Huomaa, että 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Tekijät 2 ja 3 ovat koprime (ei ole yhteisiä jakajia 1 lukuun ottamatta), ja tekijä 117 on yhteinen. Siksi LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Vastaavasti 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Tekijät 3 ja 4 ovat suhteellisen suuria, ja tekijä 5 on yleinen. Siksi LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Tuodaan nyt murtoluvut yhteisiin nimittäjiin:

Huomaa, kuinka hyödylliseksi alkuperäisten nimittäjien kertoimet osoittautuivat:

1. Kun samat tekijät löydettiin, saavutimme välittömästi pienimmän yhteisen kerrannaisen, mikä on yleisesti ottaen ei-triviaali ongelma;
2. Tuloksena olevasta laajennuksesta voit selvittää, mitkä tekijät "puuttuvat" kustakin murto-osasta. Esimerkiksi 234 3 \u003d 702, joten ensimmäisen murto-osan lisäkerroin on 3.

Ymmärtääksesi kuinka paljon voittoa vähiten yleinen moninkertainen menetelmä antaa, yritä laskea samat esimerkit ristiinmenetelmällä. Tietysti ilman laskinta. Uskon, että sen jälkeen kommentit ovat tarpeettomia.

Älä usko, että tällaiset monimutkaiset murtoluvut eivät ole todellisissa esimerkeissä. He kohtaavat koko ajan, eivätkä yllä olevat tehtävät ole rajana!

Ainoa ongelma on kuinka löytää tämä NOC. Joskus kaikki löytyy muutamassa sekunnissa, kirjaimellisesti "silmällä", mutta yleensä tämä on monimutkainen laskennallinen ongelma, joka vaatii erillistä harkintaa. Tässä emme puutu tähän.

Jotta murtoluvut saadaan alimpaan yhteiseen nimittäjään, sinun on: 1) löydettävä näiden murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen, se on pienin yhteinen nimittäjä. 2) etsi jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin, jonka uusi nimittäjä jaetaan kunkin murtoluvun nimittäjällä. 3) kerro kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sen lisäkertoimella.

Esimerkkejä. Pienennä seuraavat murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään.

Löydämme nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen: LCM(5; 4) = 20, koska 20 on pienin luku, joka on jaollinen sekä 5:llä että 4:llä. Löydämme 1. murtoluvulle lisäkertoimen 4 (20). : 5=4). Toisen murto-osan lisäkerroin on 5 (20 : 4=5). Kerromme ensimmäisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 4:llä ja toisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 5:llä. Vähensimme nämä murtoluvut alimpaan yhteiseen nimittäjään ( 20 ).

Näiden murtolukujen pienin yhteinen nimittäjä on 8, koska 8 on jaollinen 4:llä ja itsellään. 1. murto-osaan ei tule lisäkerrointa (tai voidaan sanoa, että se on yhtä suuri kuin yksi), 2. murto-osaan lisäkerroin on 2 (8 : 4=2). Kerromme toisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 2:lla. Vähensimme nämä murtoluvut alimpaan yhteiseen nimittäjään ( 8 ).

Nämä jakeet eivät ole redusoitumattomia.

Vähennämme ensimmäistä murto-osaa 4:llä ja pienennämme toista murto-osaa 2:lla. ( katso esimerkkejä tavallisten jakeiden vähentämisestä: Sivustokartta → 5.4.2. Esimerkkejä tavallisten jakeiden pelkistämisestä). Etsi LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Ensimmäisen murto-osan lisäkerroin on 5 (80 : 16=5). Toisen murto-osan lisäkerroin on 4 (80 : 20=4). Kerromme ensimmäisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 5:llä ja toisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 4:llä. Vähensimme nämä murtoluvut alimpaan yhteiseen nimittäjään ( 80 ).

Etsi NOC:n pienin yhteinen nimittäjä(5 ; 6 ja 15) = LCM(5 ; 6 ja 15) = 30. Lisäkerroin 1. murtoluvulle on 6 (30 : 5=6), toisen murto-osan lisäkerroin on 5 (30 : 6=5), kolmannen murto-osan lisäkerroin on 2 (30 : 15=2). Kerrotaan ensimmäisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 6:lla, toisen murto-osan osoittaja ja nimittäjä 5:llä, kolmannen murto-osan osoittaja ja nimittäjä kahdella. Vähensimme nämä murtoluvut alimpaan yhteiseen nimittäjään ( 30 ).

Sivu 1/1 1

Aritmeettisen murtoluvun a / b nimittäjä on luku b, joka osoittaa murto-osan muodostavien yksikön murto-osien koon. Algebrallisen murtoluvun A / B nimittäjä on algebrallinen lauseke B. Jotta murtoluvuilla voidaan suorittaa aritmeettisia operaatioita, ne on vähennettävä pienimpään yhteiseen nimittäjään.

Tarvitset

• Jotta voit työskennellä algebrallisten murtolukujen kanssa pienimmän yhteisen nimittäjän löytämisessä, sinun on tiedettävä polynomien tekijöiden laskentamenetelmät.

Ohje

Harkitse kahden aritmeettisen murtoluvun n/m ja s/t pienentämistä pienimpään yhteiseen nimittäjään, missä n, m, s, t ovat kokonaislukuja. On selvää, että nämä kaksi murtolukua voidaan vähentää mihin tahansa nimittäjään, joka on jaollinen m:llä ja t:llä. Mutta he yrittävät tuoda pienimmän yhteisen nimittäjän. Se on yhtä suuri kuin annettujen murtolukujen nimittäjien m ja t pienin yhteinen kerrannainen. Lukujen pienin kerrannainen (LCM) on pienin, joka on jaollinen kaikilla annetuilla luvuilla samanaikaisesti. Nuo. meidän tapauksessamme on tarpeen löytää lukujen m ja t pienin yhteinen kerrannainen. Merkitään LCM:nä (m, t). Lisäksi fraktiot kerrotaan vastaavilla: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Etsitään kolmen murtoluvun pienin yhteinen nimittäjä: 4/5, 7/8, 11/14. Ensin laajennetaan nimittäjiä 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Seuraavaksi lasketaan LCM (5, 8, 14), kertomalla kaikki ainakin yhteen laajennukseen sisältyvät luvut. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Huomaa, että jos tekijä esiintyy useiden lukujen laajennuksessa (tekijä 2 nimittäjien 8 ja 14 laajennuksessa), otetaan kerroin suurempi aste (2^3 meidän tapauksessamme).

Joten kenraali vastaanotetaan. Se on yhtä kuin 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tästä saadaan luvut, joilla murtoluvut, joilla on vastaava nimittäjä, on kerrottava, jotta ne saadaan alimmalle yhteiselle nimittäjälle. Saamme 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Algebrallisten murtolukujen pelkistys pienimpään yhteiseen nimittäjään suoritetaan analogisesti aritmeettisen kanssa. Selvyyden vuoksi harkitse ongelmaa esimerkissä. Olkoon kaksi murtolukua (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) ja (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Otetaan molemmat nimittäjät kertoimiin. Huomaa, että ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on täydellinen neliö: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. varten