KURSSITYÖT

aiheesta:

"Merkittävien käyrien ominaisuuksien käytännön soveltaminen"

Johdanto

Aiheen relevanssi on havainnollistaa matemaattisen tiedon soveltamista käytännön ihmisten toiminnassa. Analyyttisen geometrian kurssi ei sisällä elämässä laajalti käytettyjen ihmeellisten käyrien ominaisuuksien huomioimista.

Hypoteesi : Tämän materiaalin käyttö laajentaa opiskelijoiden näköaloja käyriin ja niiden ominaisuuksiin sekä näyttää niiden käytännön sovelluksen ihmiselämässä.

Tämän työn tarkoitus : Kerää materiaalia käytettäväksi upeiden käyrien itsenäisen tutkimuksen aikana.

Tehtävät : Auttamaan opiskelijaa. Käytä mahdollisimman vähän aikaa, niin saat suurimman hyödyn.

Työn käytännön merkitys: Uskon, että työstäni on hyötyä opiskelijoille, jotta he ymmärtävät materiaalin helposti ja selkeästi. Näyttää merkittävien käyrien ominaisuuksien käytännön soveltamisen, opettaa käyrien rakentamisen.

Teeman valinta

Teknisen ajattelun nykyisellä kehitystasolla tarvitaan tietoa merkittävistä käyristä. Ne eivät ole niin harvinaisia ​​luonnossa, vaan niillä on käytännön sovelluksia ihmiselämässä. Tietoa niiden merkittävistä ominaisuuksista käytetään erilaisissa mekanismeissa, joita ihmiset käyttävät elämässään.

Valitsin tämän aiheen, koska se on mielestäni mielenkiintoinen ja merkityksellinen, kehittää kognitiivista kiinnostusta analyyttista geometriaa kohtaan ja avaa geometrian käytännön soveltamista elämässä. Tämän materiaalin käyttö geometrian luennoilla laajentaa opiskelijoiden näkemystä ohjelmassa tutkituista käyristä. Matematiikan eri osa-alueilla ja opintojen eri vaiheissa kohtaamme sekä kolmannen että toisen asteen käyriä. Mutta missään ei puhuta näiden käyrien merkittävistä ominaisuuksista, saati sitten niiden käytännön soveltamisesta. Uskon, että opiskelijoiden on erittäin tärkeää tietää näiden elämässä laajasti käytettyjen käyrien ihanat ominaisuudet. Opiskelemalla ja jopa tutustumalla näihin ominaisuuksiin opiskelija näkee geometrian todella käytännöllisiä sovelluksia.

Tätä varten tutustuin materiaaliin upeista käyristä ja niiden ominaisuuksista erilaisissa matematiikan oppikirjoissa ja tietosanakirjoissa.

1. Linjaopin kehityshistoriasta

Viivan käsite syntyi ihmisen tietoisuudessa esihistoriallisina aikoina. Heitetyn kiven liikerata, kasvien kukkien ja lehtien ääriviivat, joenvarren mutkitteleva linja ja muut luonnonilmiöt ovat herättäneet ihmisten huomion jo pitkään. Useita kertoja havaittuina ne toimivat perustana linjan käsitteen asteittaiselle luomiselle. Mutta kesti huomattavan ajan, ennen kuin esi-isämme alkoivat vertailla kaarevien viivojen muotoja toisiinsa. Ensimmäiset luolien seinien piirustukset, kodinvälineiden primitiiviset koristeet osoittavat, että ihmiset eivät vain pystyneet erottamaan suoraa linjaa kaaresta, vaan myös erottamaan yksittäisiä käyriä. Muinaisten aikojen muistomerkit osoittavat, että kaikilla kansoilla oli jossain kehitysvaiheessaan käsitys suorasta viivasta ja ympyrästä. Näiden linjojen rakentamiseen käytettiin yksinkertaisia ​​työkaluja.

Kuitenkin vasta matemaattisten teorioiden ilmaantumisen myötä linjojen tutkimus alkoi kehittyä. Kreikkalaiset tiedemiehet loivat teorian toisen asteen linjoista. Taso piti näitä viivoja kartion osana, minkä seurauksena niitä muinaisina aikoina kutsuttiin kartioleikkauksiksi. Kartioleikkauksia käsitteli ensimmäisenä Menaechmus, joka asui 4. vuosisadalla eKr. Ensimmäisen systemaattisen esityksen näiden linjojen teoriasta esitti Apollonius Pergalainen (III-II vuosisatoja eKr.) teoksessaan "Kartioleikkaukset", joka lähes kokonaan saapui meille. Etsiessään ratkaisuja erilaisiin ongelmiin kreikkalaiset tiedemiehet harkitsivat myös joitain transsendenttisia linjoja.

Keskiajalla kreikkalaisten tiedemiesten tärkeät saavutukset unohdettiin. Matemaattinen tiede kääntyi jälleen käyrien tutkimiseen vasta 700-luvulla. Viivojen tutkimuksen kannalta Descartesin ja Fermatin löytämä koordinaattimenetelmä, joka vaikutti infinitesimaalilaskennan syntymiseen, oli ensiarvoisen tärkeää. Koordinaattimenetelmä yhdistettynä infinitesimaalien analysointiin mahdollisti siirtymisen suorien tutkimukseen yleisellä tasolla. Erilaiset mekaniikan, tähtitieteen, geodesian ja optiikan ongelmat, jotka syntyivät 7.-8. vuosisadalla, johtivat monien uusien linjojen löytämiseen ja niiden geometristen mekaanisten ominaisuuksien tutkimiseen. Aikakauden suurimmat matemaatikot - Descartes, Huygens, Leibniz ja Bernoullin veljekset - käsittelivät näitä kysymyksiä suurella innolla.

Seuraavan tärkeän askeleen linjojen tutkimuksessa teki Newton, joka alkoi kehittää kolmannen asteen käyrien teoriaa. Myöhemmin asetettiin seuraavat tehtävät: tutkia neljännen ja korkeamman asteen käyriä, luoda yleinen teoria algebrallisista käyristä tasolla, aloittaa algebrallisten pintojen systemaattinen tutkimus aloittaen toisen kertaluvun pinnoista. Viimeisen ongelman ratkaisemisessa suuren panoksen antoi kuuluisa matemaatikko VIII Leonard Euler, Pietarin tiedeakatemian akateemikko. Hän kuvaili ensimmäistä analyyttisen geometrian käsikirjaa, jossa hahmoteltiin toisen kertaluvun viivojen ja pintojen teoriaa.

. Merkittävät kolmannen asteen rivit

Kaikki suorat ja toisen asteen käyrät (ympyrät, ellipsit, paraabelit, hyperbelit) ovat kolmannen kertaluvun käyrien erikoistapauksia.

Yleisesti ottaen kolmannen asteen kaarevan viivan yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Oletetaan, että kertoimet eivät katoa samanaikaisesti (muuten tuloksena olisi toisen asteen yhtälö) Jos kaikki toisen kertaluvun hajoamattomat suorat tyhjennetään ympyrän, ellipsin, hyperbolin, paraabelin avulla, niin joukko kolmannen asteen rivit on rikkaampi - se sisältää. Yli 70 tyyppiä näitä linjoja. Tässä käsitellään vain muutamia niistä, jotka ovat merkittäviä ominaisuuksiltaan ja sovellutuksiltaan.

Karteesinen arkki

. Lomakkeen ominaisuudet. Karteesinen arkki on 3. asteen käyrä, jonka yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä on muoto

Joskus on kätevää käyttää parametrisia karteesisia yhtälöitä, jotka voidaan saada asettamalla y= tx, lisätään tasa-arvo (1) tähän yhtäläisyyteen ja ratkaistaan ​​tuloksena oleva järjestelmä suhteessa X Ja y, seurauksena meillä on:

mistä seuraa, että karteesinen arkki on rationaalinen käyrä.

Huomaa myös, että karteesisen arkin napayhtälöllä on muoto

(3)

Koordinaatit X Ja klo syötä karteesinen yhtälö symmetrisesti, mikä tarkoittaa sitä käyrä on symmetrinen puolittajan y=x suhteen. Tavallinen singulaaripisteiden tutkimus johtaa johtopäätökseen, että origo on karteesisen arkin solmupiste. Algebrallisen käyrän tangenttien yhtälöt sen singulaaripisteessä, joka osuu yhteen koordinaattien alkupisteen kanssa, voidaan saada, kuten tiedetään, rinnastamalla nollaan tämän käyrän yhtälöstä alimman asteen termien ryhmä. Meidän tapauksessamme on Z ahu = 0, mistä saamme x = 0 ja y = 0 - solmupisteen tangenttien vaaditut yhtälöt. Nämä tangentit osuvat yhteen koordinaattiakseleiden kanssa ja siksi käyrä leikkaa itsensä origossa suorassa kulmassa. On helppo nähdä, että ensimmäisessä koordinaattikulmassa käyrä muodostaa silmukan, joka leikkaa suoran y = X pisteessä

Tämän silmukan pisteillä, joissa tangentit ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattiakseleiden kanssa, on koordinaatit

Ja (katso kuva 1)

Lopullisen johtopäätöksen tekemiseksi käyrän muodosta on löydettävä myös asymptootti.Korvaamalla y käyrän yhtälössä saamme tuloksena olevassa yhtälössä kahden suuremman potenssin termin kertoimet nollaan X. Saamme

ja b = - a. Siten karteesisella lehdellä on asymptootti

y = - x - a; siksi 2. ja 4. koordinaattikulmassa karteesisen arkin haarat menevät äärettömyyteen.

Riisi. 1

Usein ajatellaan 135 astetta kierrettyä käyrää. Hänen yhtälönsä näyttävät tältä. Suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä: , Missä

Parametrinen:

Kierretyn käyrän yhtälöiden johtaminen:

XOY-koordinaattijärjestelmä muunnetaan UOV-koordinaatistoksi, joka saadaan kiertämällä OX- ja OY-akseleita myötäpäivään kulman verran ja suuntaamalla OX-akselia vastakkaiseen suuntaan:

Vanhojen XY-koordinaattien ilmaiseminen uusilla UV-säteilyillä näyttää tältä:

Kun vanhojen koordinaattien lausekkeet on korvattu uusilla, karteesinen yhtälö muunnetaan seuraavaan muotoon: .

Esittelemme parametrin, viimeinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

Tai .

Korvaamme muuttujat u ja v tavanomaisilla x ja y ja saamme karteesisen yhtälön uudessa koordinaattijärjestelmässä:

Korvaamalla edellinen yhtälöön, saadaan karteesinen arkkiyhtälö napakoordinaatistossa:

Ratkaisemalla tämän lausekkeen ρ:lle, saamme:

.

2. Ominaisuudet. Maclaurinin lauseen mukaan, jos tämän käyrän tangentit piirretään 3. kertaluvun algebrallisen käyrän kolmeen pisteeseen, jotka ovat samalla suoralla, niin niiden leikkauspisteet käyrän kanssa ovat myös suoralla viivalla. Suhteessa karteesiseen arkkiin tämä lause todistetaan yksinkertaisesti. Tätä tarkoitusta varten johdetaan alustava ehto kolmen arvoja vastaavien karteesisen arkin pisteen olemassaololle. t 1 , t 2 Ja t 3 parametri, yhdellä suoralla. Jos suoran yhtälöllä on muoto y= kx+ b, sitten parametriarvojen, jotka vastaavat tämän suoran ja käyrän leikkauspisteitä, on tyydytettävä järjestelmää

Tämä järjestelmä johtaa yhtälöön

jonka juuret ovat halutut arvot t 1 , t 2 Ja t 3 parametri, mikä tarkoittaa sitä

Tämä tasa-arvo on edellytys kolmen pisteen olemassaololle M 1 (t 1) , M 2 (t 2 ), M 3 (t 3) Suorakulmainen arkki yhdellä suoralla.

Kun tämä ehto otetaan huomioon, näytämme Maclaurinin lauseen pätevyyden karteesiselle arkille. Todellakin, tangentti pisteessä M 1 (t 1 ) voidaan pitää suorana, joka leikkaa karteesisen arkin kahdessa pisteessä, jotka osuvat yhteen toistensa kanssa, t 2 = t 1 , ja kolmannessa pisteessä, jolle vastaava parametriarvo on merkitty T1:llä. Ehto (4) saa muotonsa t 1 2 T 1 = - 1. Tangenteille pisteissä M 2 Ja M 3 saamme samanlaiset suhteet t 2 2 T 2 = -1 ja t 3 2 T 3 = -1 . Kerrotaan nämä kolme yhtäläisyyttä, meillä on

(t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . mistä (4) perusteella päättelemme sen T 1 T 2 T 3 = -1, nuo. pisteitä N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) ja N 3 (T 3) ovat samalla suoralla.

Määrittämällä karteesisen arkin silmukan rajoittaman alueen saamme:

. Rakennusmenetelmä. Huomioikaa ensin, että jos karteesisen arkin symmetria-akseli otetaan abskissa-akseliksi, niin sen yhtälö saa muodon

(5)

Olkoon nyt ympyrä, jonka säde on r ja jonka keskipiste on pisteessä

ja suoraan x= -h. Otetaan tämän ympyrän mielivaltainen piste Q ja piirretään suora viiva QA ja suora QN, kohtisuorassa abskissa-akselia vastaan ​​(kuva 2). Risteyspisteestä R suoraan QA suoralla viivalla x= - h suoritamme suoran R.O. kunnes se leikkaa pisteen K 1 suoralla viivalla QN. Joten, pointti K ympyrään määrätään piste K 1. Pisteiden Q 1 lokus on suorakulmainen arkki.

Todistaaksesi sen, huomaa, että pisteen koordinaatit K voidaan kirjoittaa lomakkeeseen

kulma, jonka muodostaa pisteeseen piirretyn ympyrän säde Q, x-akselin positiivisella suunnalla. Tämän mukaisesti suoran yhtälö QA voidaan kirjoittaa nimellä

Olettaen tässä yhtälössä x= -h, löytää ordinaatin

pisteitä R. Tästä seuraa, että yhtälö linja RQ 1 kirjoitetaan lomakkeeseen

(6)

Samaan aikaan yhtälö suora K 1 N näyttää

(7)

Parametrin poissulkeminen yhtälöistä (6) ja (7) w, löydämme pisteiden Q 1 lokuksen yhtälön muodossa

Vertaamalla sitä yhtälöön (5) päättelemme, että löydetty pisteiden lokus on karteesinen lehti.

Ympyrän pisteiden muunnos karteesisen arkin pisteiksi, joka suoritetaan sen rakentamisen aikana tällä tavalla, on ns. Maclaurinin muunnos.

4. Historiallinen tausta. Ensimmäistä kertaa matematiikan historiassa käyrä, jota myöhemmin kutsuttiin karteesiseksi lehdeksi, määriteltiin Descartesin kirjeessä Fermatille vuonna 1638 käyräksi, jolle kunkin abskissalle ja ordinaatille muodostettujen kuutioiden tilavuuksien summa. piste on yhtä suuri kuin abskissalle rakennetun suuntaissärmiön tilavuus, ordinaatta ja jokin vakio . Käyrän muodon määrittää ensin Roberval, joka löytää käyrän solmupisteen, mutta hänen esityksessään käyrä koostuu vain silmukasta. Toistamalla tätä silmukkaa neljässä kvadrantissa hän saa hahmon, joka muistuttaa häntä neljästä terälehdestä. Kaaren runollinen nimi ”jasmiinin terälehti” ei kuitenkaan saanut kiinni. Huygens ja I. Bernoulli määrittelivät myöhemmin (1692) käyrän täyden muodon asymptootin läsnä ollessa. Nimi "Karteesinen arkki" vakiintui lujasti vasta 1700-luvun alusta.

Cissoid Diokles

1. Lomakkeen ominaisuudet. Monien koulutustapojen joukossa cissoidit - käyrä, jonka muinaiset löysivät etsiessään ratkaisua kuuluisaan kuution kaksinkertaistamisen ongelmaan, keskitymme ensin yksinkertaisimpiin. Otetaan ympyrä (ns tuottaa) halkaisijalla OA=2a ja tangentilla AB Hänelle. Piirretään pisteen O kautta säde OB ja piirretään sille jana OM=VS. Tällä tavalla rakennettu piste M kuuluu cissoidiin. Palkin kääntäminen 0V tiettyyn kulmaan ja suoritettuaan ilmoitetun rakenteen, löydämme cissoidin toisen pisteen jne. (Kuva 3).

Jos piste O otetaan napaksi, niin mistä saamme cissoidin napayhtälön

Käyttämällä kaavoja siirtymiseksi polaarisista koordinaateista suorakulmaisiin koordinaatteihin löydämme cissoidin yhtälön suorakaiteen muotoisesta järjestelmästä:

(2)

Cissoidin parametriset yhtälöt saadaan olettamalla x=ty, jolloin yhtälön (2) perusteella päädytään järjestelmään

Riisi. 3

Yhtälö (2) osoittaa, että cissoidi on 3. kertaluvun algebrallinen käyrä, ja yhtälöistä (3) seuraa, että se on rationaalinen käyrä.

Cissoidi on symmetrinen x-akselin suhteen ja siinä on loputtomia oksia; generoivan ympyrän tangentti, ts. suoraan x = 2a toimii sen asymptootina; koordinaattien origo on ensimmäisen tyypin huippupiste.

2. Ominaisuudet. Kinemaattisesti cissoidi voidaan saada keskikohdan liikeradana M jalka Aurinko kolmio ABC, liikkuu piirustuksen tasossa niin, että sen kärki SISÄÄN liukuu ordinaatta-akselia pitkin ja toinen jalka AC kulkee aina kiinteän pisteen läpi E abskissa-akselilla. (Kuva 4)

Todellakin, nimettyään segmentin keskikohdan OE kautta D, huomaamme sen siitä lähtien BC = EO,ê KAIKKI=ê VEO, missä /_ VEO = /_ SVE, ja siksi ê NBE - tasakylkinen, ja siitä lähtien ED=EO/2=BC/2=VM, sitten segmentti DM yhdensuuntainen segmentin kanssa OLLA. Osoita edelleen TO janan jatkon kanssa on leikkauspiste DM pisteen läpi kulkeva suora viiva SISÄÄN yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Kuvataan ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on yhtä suuri kuin OD , ja piirrä sille tangentti toiseen leikkauspisteeseen suoran kanssa EO. Ilmeisesti se menee pisteen läpi TO. Viivan leikkauspisteen merkitseminen DMK ympyrän läpi F, Huomaa, että kolmiot DOF Ja MVK ovat keskenään tasavertaisia. Heidän tasa-arvoisuudestaan ​​se seuraa DF= MK, ja siksi DM= FK. Viimeinen yhtälö osoittaa, että pisteen paikka M tulee cissoidi.

Muut tavat muodostaa cissoid perustuvat sen suhteisiin paraabeliin. Osoittakaamme se ensin Cissoidi on paraabelin osa-aika suhteessa sen kärkeen.

Tämän paraabelin yhtälö. Tangentin yhtälö mielivaltaisessa pisteessä M(x, h ) tämä paraabeli voidaan kirjoittaa muotoon origosta tähän tangenttiin pudonneen kohtisuoran yhtälö on pisteen koordinaatit N sen leikkauspiste tangentin kanssa määritetään kaavoilla

(4)

Eliminoimalla parametrin h näistä yhtälöistä saadaan yhtälö

Ilmaisee cissoidia.

Huomaa lisäksi, että pisteen koordinaatit, jotka ovat symmetrisiä origoon nähden paraabelin tangentin suhteen klo 2 = 2 px, saadaan, jos kaavojen (4) oikeat puolet kaksinkertaistetaan, ja siksi ne määritetään kaavoilla

Jättämällä parametrin h pois näistä yhtälöistä, saadaan taas yhtälöllä varustettu cissoidi, josta seuraa, että cissoidi on paraabelin kärjen kanssa symmetristen pisteiden paikka sen tangenttien suhteen.

On huomattava, että origoon symmetristen pisteiden paikkaa suhteessa paraabelin tangenttiin voidaan pitää toisen paraabelin kanssa identtisen paraabelin kärjen liikeradana, joka pyörii tätä paraabelia pitkin. Siten syntyy uusi menetelmä cissoidin kinemaattiseen muodostukseen kuin paraabelin huipun liikerata, joka vierii toista samanlaista paraabelia pitkin liukumatta.

Strophoid

Strophoid (kreikaksi stróphos - kierretty nauha ja éidos - näkymä)

Olkoon kiinteä suora AB ja sen ulkopuolella piste C etäisyydellä CO = A; suora, joka leikkaa AB muuttuvassa pisteessä N, pyörii C:n ympäri. Jos pisteestä N piirretään janat NM = NM" = NO suoran AB molemmille puolille, niin pisteiden M ja M" paikka kaikille pyörivä säde CN on strofoidi. Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina: ; napakoordinaateissa: r = - a cos 2j/cosj. Strophoidaa tutki ensimmäisenä E. Torricelli (1645), nimi otettiin käyttöön 1800-luvun puolivälissä. Riisi. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( joskus Agnesin kihara) on litteä käyrä, pisteiden M paikka, jolle suhde toteutuu, missä OA on ympyrän halkaisija, BC on tämän ympyrän puolijohdin, joka on kohtisuorassa OA:ta vastaan. Versière Agnesi sai nimensä italialaisen matemaatikon Maria Gaetana Agnesin kunniaksi, joka tutki tätä käyrää.

Yhtälöt

O = (0,0), A = (0, a)

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä:

Versieressä olevan pisteen M koordinaatit ovat x = BM, y = OB. OA = a ja määritelmän mukaan muodostamme osuuden

Täältä

Toisaalta BC löytyy ympyrän yhtälöstä:

Tiedämme, että y = OB, joten ilmaisemme:

Yhdistämme molemmat lausekkeet BC:lle:

Neliöimme sen, käännämme sen ja laitamme sen pois suluista:

Ilmaisemme y:n (y=0 ei ole määritelmän mukaan sopiva):

, missä on OA:n ja OC:n välinen kulma.

Ominaisuudet:

1. Verzière - kolmannen asteen käyrä.

Halkaisija OA on käyrän ainoa symmetria-akseli.

Käyrällä on yksi maksimi - A (0; a) ja kaksi käännepistettä -

Vertexin A läheisyydessä verzière lähestyy ympyrää, jonka halkaisija on OA. Pisteessä A on kosketin ja käyrä osuu ympyrän kanssa. Tämä näkyy kaarevuussäteen arvona pisteessä A: .

Kuvaajan alla oleva pinta-ala S = πa2. Se lasketaan integroimalla yhtälö kaikkiin.

Versièren kiertokappaleen tilavuus asymptoottinsa ympäri (OX-akseli).

Anhé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), s. 16.5.1718, Milano - k. 01.09.1799, ibid. Italialainen matemaatikko, Bolognan yliopiston professori (vuodesta 1750). Agnesin teos "Analysoinnin perusteet italialaisten nuorten käyttöön" ("Instituzioni analitiche ad uso della gioventú italiana", v. 1-2, Mil., 1748) sisältää analyyttisen geometrian esittelyn, erityisesti se pohtii kolmatta- järjestyskäyrä nimeltä “Agnesi curl” (tai verzier), jonka yhtälö on y=a 3 / (x 2 +a 2).

Tämän suoran rakentamiseksi sinun on piirrettävä säde a ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä (0, a). Sitten piirretään suoria viivoja origosta ja merkitään kaksi pistettä. Piste A (x1, y1) on suoran ja ympyrän leikkauspiste, piste B (x2,2a) on suoran ja ympyrän ylemmän vaakatangentin leikkauspiste. Sitten käyrän piste (x2, y1) piirretään.

Englantilainen matemaatikko John Colson otti tehtäväkseen kääntää "Principia of Analysis" -teoksen italiasta. Hänelle, 1700-luvun eurooppalaiselle, ei kuitenkaan ollut helppoa ymmärtää, että kirjan kirjoittaja oli nainen ja että hänelle, kirjoittajalle, kaarevuus voisi liittyä kampaukseen. Tämän seurauksena englanninkielisessä kirjallisuudessa käyrää kutsuttiin Agnesin noidiksi. - jotain lentämisen kentältä Bald Mountainiin...

3. Neljännen ja korkeamman luokan huomionarvoiset rivit

Neljännen kertaluvun viiva (käyrä). jota kutsutaan neljännen asteen algebrallisen yhtälön määrittelemäksi suoraksi suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien suhteen. Viidennen, kuudennen ja muiden järjestysten viivat (käyrät) määritetään samalla tavalla.

Neljännen kertaluvun viivojen (käyrien) joukko ei enää sisällä kymmeniä, vaan tuhansia tietyn tyyppisiä juovia. Vielä monipuolisempia ovat viidennen ja kuudennen kertaluvun rivisarjat. Tässä tarkastellaan tietyntyyppisiä neljännen ja korkeamman luokan linjoja, joilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia ja käytännön sovelluksia.

Bernoullin lemniskaatti

Käännytään tason pisteen M kuvaamaan käyrään siten, että tämän pisteen etäisyyksien tulo p kahteen saman tason pisteeseen F 1 ja F 2 pysyy muuttumattomana. Tällaista käyrää kutsutaan lemniskaateiksi (kreikaksi lemniscate tarkoittaa "nauhaa"). Jos janan F 1 F 2 pituus on c, niin etäisyydet janan F 1 F 2 keskipisteestä O F1:een ja F2:een ovat yhtä suuria kuin c/2 ja näiden etäisyyksien tulo on yhtä suuri kuin c 2 /4 . Vaaditaan ensin, että muuttumattoman tulon arvo p on täsmälleen c 2/4; Sitten

piste O makaa lemniskaatilla, ja itse lemniskaatti näyttää "makaavalta kahdeksalta hahmolta" (kuva 8). Jos jatkamme janaa F 1 F 2 molempiin suuntiin, kunnes se leikkaa lemniskaatin, saadaan kaksi pistettä A 1 ja A 2. Esitetään etäisyys A 1 A 2 = x tunnetun etäisyyden c kautta:

Lemniskaatin polttopisteet ovat F1 (− c; 0) ja F2 (c; 0). Otetaan mielivaltainen piste M (x; y). Polttopisteen ja pisteen M välisten etäisyyksien tulo on

Ja määritelmän mukaan se on yhtä kuin c2:

Neliöimme tasa-arvon molemmat puolet:

Laajenna vasemmalla puolella olevia kiinnikkeitä:

Avaa sulut ja taita uusi summaneliö:

Otamme yhteisen tekijän ja siirrämme sen eteenpäin:

Tässä tapauksessa a on lemniskaattia kuvaavan ympyrän säde. Suorittamalla yksinkertaisia ​​muunnoksia voimme saada eksplisiittisen yhtälön:

Neliöimme ja avaamme sulut:

Laitetaan se mieleen

Tämä on toisen asteen yhtälö y:lle." Ratkaisemalla sen saamme

Ottamalla juuri ja hylkäämällä vaihtoehdon negatiivisella toisella termillä, saamme:

jossa positiivinen vaihtoehto määrittää lemniskaatin ylemmän puoliskon, negatiivinen - alemman.

Jos vakiotulon p arvo ei ole yhtä suuri kuin c 2/4, niin lemniskaatti muuttaa ulkonäköään. Ja kun p on pienempi kuin c 2 /4, lemniskaatti koostuu kahdesta soikeasta, joista jokainen sisältää pisteet F 1 ja F 2, vastaavasti (kuva 9).

Että. Asettamalla erilaisia ​​ehtoja p:lle ja c 2 /4:lle saadaan erityyppisiä lemniskaatteja (kuva 10).

Riisi. 10

Otetaan nyt mikä tahansa määrä pisteitä koneessa. F 1, F 2,…, F n ja saa pisteen M liikkumaan siten, että sille kunkin pisteen etäisyyksien tulo pysyy muuttumattomana. Saadaan käyrä, jonka muoto riippuu siitä, kuinka pisteet F 1, F 2,..., F n sijaitsevat suhteessa toisiinsa ja mikä on vakiotulon arvo. Tätä käyrää kutsutaan lemniskaatiksi, jossa on n polttopistettä.

Yllä tarkastelimme lemniskaateja, joissa on kaksi polttopistettä. Ottamalla eri määrän polttimia, järjestämällä ne eri tavoin ja antamalla etäisyyksien tulolle yhden tai toisen arvon, voidaan saada mitä omituisimman muotoisia lemniskaatteja. Piirrämme kynän kärjen tietystä pisteestä A nostamatta sitä paperilta, jotta se lopulta palaa alkupisteeseen A. Sitten se kuvaa tietyn käyrän; vaadimme vain, että tämä käyrä ei leikkaa missään

sinä itse. Ilmeisesti tällä tavalla voidaan saada käyriä, joissa on esimerkiksi ihmisen pään tai linnun ääriviivat (kuva 11). Osoittautuu, että kun on tällainen mielivaltainen käyrä, voimme valita luvun n ja polttopisteiden sijainnin seuraavasti:

F 1, F 2,…, F n

ja määritä tällainen arvo etäisyyksien vakiotulolle

MF 1 MF 2 … MF n = p

että vastaava lemniskaatti silmän mukaan ei poikkea tästä käyrästä. Toisin sanoen lemniskaattia kuvaavan pisteen M mahdolliset poikkeamat piirretystä käyrästä eivät ylitä lyijykynän vedon leveyttä (lyijykynä voidaan teroittaa etukäteen ja haluttaessa niin, että vedosta tulee hyvin kapea). Tämä merkittävä tosiasia, joka puhuu lemniskaatisten muotojen poikkeuksellisesta monimuotoisuudesta ja rikkaudesta monien temppujen avulla, on todistettu melko tiukasti, mutta erittäin vaikeaksi korkeamman matematiikan avulla.

Pascalin etana

Pisteiden M ja M" geometrinen sijainti, joka sijaitsee säteen suorilla linjoilla (jonka keskipiste O on säteellä R) etäisyydellä a molemmilla puolilla pistettä P, jossa suorat viivat leikkauspisteen kanssa. ympyrä; eli PM = PM" = A. yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2-a 2(x 2 + y 2) = 0, napakoordinaateissa: r = 2 R cos j + A. klo a = 2R silmukka supistuu johonkin pisteeseen, tässä tapauksessa Pascalin simpukka muuttuu kardioidiksi. Nimi on nimetty ranskalaisen tiedemiehen B. Pascalin (1588-1651) mukaan, joka tutki sitä ensimmäisenä.

Sykloidiset käyrät

Kuvitellaan, että tietty käyrä rullaa liukumatta toista käyrää pitkin; mikä tahansa piste, joka aina liittyy ensimmäiseen käyrään, kuvaa uutta käyrää. Joten voit kuvitella ellipsin vierivän toisella ellipsillä ja tutkia linjaa, jota pitkin sen keskipiste liikkuu, tai määrittää suoraa linjaa pitkin vierivän paraabelin fokuksen liikeradan jne.

Tällä menetelmällä muodostettujen käyrien joukossa on käyriä, jotka ovat pisteen liikeradat, jotka on aina yhdistetty ympyrällä, joka vierii liukumatta toisella ympyrällä. Tuloksena olevia viivoja kutsutaan sykloidinen.

Kun muodostuu sykloidisia käyriä, vetopiste sijaitsee tietyllä etäisyydellä muodostavan (liikkuvan) ympyrän keskustasta. Tietyssä tapauksessa se sijaitsee generoivan ympyrän kehällä. Tässä tilanteessa saadut käyrät jaetaan episykloideiksi ja hyposykloideiksi riippuen siitä, sijaitseeko generoiva ympyrä paikallaan olevan ympyrän ulkopuolella vai sisäpuolella.

Algebralliset käyrät sisältävät sellaiset hyvin tunnetut käyrät kuin kardioidi ja astroidi; tarkastellaanpa näitä käyriä.

Kardioidi

1. Yhtälö. Kardioidi voidaan määritellä sellaisen pisteen liikeradana, joka sijaitsee säteen r ympyrän kehällä ja joka vierii samalla säteellä liikkumattoman ympyrän kehää pitkin. Se edustaa siten episykloidia, jonka moduuli m on 1.

Tämä seikka mahdollistaa sen, että voimme välittömästi kirjoittaa muistiin kardioidin parametriset yhtälöt korvaamalla moduulin m yhdellä aiemmin annetuissa episykloidin parametrisissa yhtälöissä. Tulee olemaan:

(1)

Kardioidin napayhtälön saamiseksi on kätevää ottaa piste A napaksi (kuva 13) ja suunnata napa-akseli abskissa-akselia pitkin. Koska nelikulmio AOO 1 M on tasakylkinen puolisuunnikas, pisteen M napakulma j on yhtä suuri kuin generoivan ympyrän kiertokulma, ts. parametri t. Kun otetaan tämä seikka huomioon, korvataan y järjestelmän (1) toisessa yhtälössä r sin t:llä. Pienentämällä näin saatua yhtälöä sin t:llä saamme kardioidin napayhtälön

Tämän yhtälön muodon mukaan

voimme päätellä, että kardioidi on yksi Pascalin etanoista. Siksi se voidaan määritellä ympyrän konchoidiksi.

Tästä yhtälöstä seuraa, että kardioidi on 4. kertaluvun algebrallinen käyrä.

2. Ominaisuudet. Ensinnäkin, koska kardioidi on episykloidi, jonka m = 1, kaikki edellisessä kappaleessa tarkasteltujen episykloidien ominaisuudet voidaan siirtää siihen.

Nämä ovat ominaisuuksia ja ominaisuuksia.

Kardioidin mielivaltaisen pisteen tangentti kulkee generoivan ympyrän ympyrän pisteen läpi, joka on diametraalisesti ympyröiden kosketuspistettä vastapäätä, ja normaali - niiden kosketuspisteen kautta.

Kardioidin tangentin ja tangenttipisteen sädevektorin muodostama kulma m on yhtä suuri kuin puolet tämän sädevektorin muodostamasta kulmasta napa-akselin kanssa. Todella

Tästä suhteesta seuraa suoraan, että kardioidin tangentin muodostama kulma abskissa-akselin kanssa on yhtä suuri (kuten kolmion AMN ulkokulma, kuva 14). Kaavan avulla voimme todistaa, että navan läpi kulkevan jänteen päihin piirretyt kardioidin tangentit ovat keskenään kohtisuorassa.

Todellakin, siitä lähtien

Riisi. 14

Huomattakoon myös, että näiden tangenttien leikkauspisteiden geometrinen paikka on ympyrä, joten ensimmäisen tangentin yhtälö, joka perustuu kardioidin yhtälöihin (1), on muotoa

Ja toinen tangentti: Eliminoimalla parametrin näistä yhtälöistä saadaan ilmoitetun ympyrän yhtälö.

Kaarevuussäde mielivaltaisessa kardioidin pisteessä määritetään kaavalla

Voidaan myös osoittaa, että kaarevuussäde on 2/3 napanormaalista N tietyssä pisteessä.

Todellakin, mistä (4:n perusteella) saadaan Tämä relaatio voidaan käyttää kardioidin kaarevuuskeskuksen muodostamiseen.

Kardioidin evoluutio on episykloidievoluutien yleisen ominaisuuden mukaan myös kardioidi, joka on samanlainen kuin annettu, jonka samankaltaisuuskerroin on 1/3 ja jota kierretään suhteessa annettuun 180° kulmaan.

Kardioidikaarin pituus pisteestä A mielivaltaiseen pisteeseen M määräytyy kaavan mukaan

Jos kaaren pituus mitataan pisteestä A 1, diametraalisesti vastapäätä pistettä A, niin kaaren pituuden määrittämiskaava voidaan kirjoittaa muotoon

(6)

Kardioidin luonnollinen yhtälö saadaan, jos parametri eliminoidaan yhtälöistä (4) ja (6). Se näyttää siltä

(7)

Kardioidin rajoittama alue määräytyy kaavan mukaan

ja, kuten voidaan nähdä, on yhtä suuri kuin generoivan ympyrän kuusinkertainen pinta-ala.

Koko kardioidin pituus määritetään kaavalla

ja, kuten voidaan nähdä, on yhtä suuri kuin generoivan ympyrän kahdeksan halkaisijaa. Kehon tilavuus, joka saadaan pyörittämällä kardioidia akselinsa ympäri, on yhtä suuri kuin

Kehon pinta, joka saadaan pyörittämällä kardioidia akselinsa ympäri, on yhtä suuri kuin

Olemme nähneet, että kardioidi liittyy orgaanisesti ympyrään. Hän on ympyrän konchoidi ja episykloidi. Sillä on erilainen suhde ympyrään - kardioidi on ympyrän subera suhteessa tähän ympyrään kuuluvaan pisteeseen.

Todellakin, olkoon OM kohtisuora, joka on pudotettu pisteeseen N piirretyn ympyrän tangentille, jonka säde on 2r.

Koska OM = OB + BM tai r == 2r cos j + 2r, niin pisteiden M geometrinen paikka on kardioidi, jonka yhtälö on r = 2r (1 + cos j)

Todettakoon lopuksi, että myös kardioidi kuuluu sinimuotoisten spiraalien perheeseen ja sen yksittäiset ominaisuudet toistavat näiden käyrien yleiset ominaisuudet. Näistä ominaisuuksista seuraa erityisesti, että kardioidin inversio suhteessa kärkipisteeseen antaa paraabelin.

Astroid

1. Ominaisuudet. Astroidi on hyposykloidin erikoistapaus, nimittäin hyposykloidi, jonka moduuli m on 1/4. Se edustaa siis sellaisen pisteen liikerataa, joka sijaitsee säteisen r ympyrän kehällä ja joka vierii toisen, kiinteän ympyrän sisäpuolelle, jonka säde R on neljä kertaa suurempi.

Parametriset yhtälöt astroidille voidaan saada olettamalla yhtälöissä hyposykloidi, m=1/4. Nämä ovat yhtälöt:

missä t, kuten aiemmin, on generoivan ympyrän kiertokulma (kuva 16)

Jättämällä parametrin t pois yhtälöistä (1), saamme:

Yhtälöstä (2) seuraa, että astroidi on kuudennen kertaluvun algebrallinen käyrä.

Astroidin parametriset yhtälöt (1) voidaan pelkistää muotoon

(3)

Kun parametri t jätetään pois näistä yhtälöistä, saadaan usein käytetty astroidiyhtälön muoto

(4)

Olettaen sykloidisten käyrien aiemmin johdetuissa yleisissä suhteissa moduuli

m = -1/4, saamme vastaavat suhteet astroidille:

) kaarevuussäde mielivaltaisessa astroidin pisteessä määritetään kaavalla

(5)

) pisteestä A mielivaltaiseen pisteeseen M(t) kulkevan astroidikaaren pituus määritetään kaavalla

yhden haaran pituus on yhtä suuri kuin ja koko käyrän pituus on 6R;

) saadaksemme astroidin luonnollisen yhtälön, huomioimme ensin, että jos kaaren pituuden origo ei ole otettu pisteeseen A, jossa t = 0, vaan pisteeseen, jossa t = p, niin kaaren pituus määräytyy kaavan mukaan

jättäen parametrin t pois yhtälöistä (5) ja (6), saamme astroidin luonnollisen yhtälön

) astroidin evoluutio on myös astroidi, joka on samankaltainen kuin annettu, jonka samankaltaisuuskerroin on 2, kierretty suhteessa annettuun kulmaan p/4 (kuva 16)

) koko astroidin rajoittama alue on yhtä suuri kuin astroidin pyörityksestä saatu kehon tilavuus, joka on 32/105p R 3

astroidin pyörimisen muodostaman kehon pinta on yhtä suuri kuin

Siirrytään nyt tarkastelemaan joitain astroidin erityisiä ominaisuuksia.

Astroidi on vakiopituisen segmentin, päiden, verhokäyrä. joka liu'utetaan kahta keskenään kohtisuoraa suoraa pitkin.

Otamme nämä suorat koordinaattiakseleiksi ja osoittaen liukuvan segmentin ND=R kaltevuuskulmaa a:n kautta (kuva 4), saamme suoran ND yhtälön muodossa

Erottamalla tämä yhtälö parametrin a suhteen, saamme:

Käytännössä ND-segmentin liike voidaan suorittaa niin sanotuilla kardaaniympyröillä. Yksi näistä ympyröistä, joiden säde on R, on liikkumaton, ja toinen, jonka säde on r, puolet niin suuri, vierii paikallaan olevan ympyrän sisäsivua pitkin. Kaikki kaksi diametraalisesti vastakkaista pistettä N ja D vierintäympyrässä liikkuvat paikallaan olevan ympyrän kahta keskenään kohtisuoraa halkaisijaa Ox ja Oy pitkin. On selvää, että vierintäympyrän halkaisijan verhokäyrä on astroidi.

Riisi. 17

Riisi. 18

Tarkasteltu astroidimuodostusmenetelmä voidaan tulkita myös seuraavasti. Suorakulmio ODCN, jonka kaksi sivua ovat kahdella keskenään kohtisuoralla viivalla, on muotoiltu niin, että sen lävistäjä säilyttää pituuden, joka on yhtä suuri kuin R, diagonaalin verhokäyrä on astroidi. Koska tässä tapauksessa kärjestä C diagonaaliin DN pudotettu kohtisuora toimii verhokäyrän normaalina, astroidi on suorakulmion kärjestä C sen diagonaaliin pudonneiden kohtisuorien kantamien geometrinen paikka.

Kun nämä yhtälöt ilmaisevat aiemmin pidetyn suoran astroidin.

. Jotkut transsendenttiset linjat

Transsendenttinen ovat suoria, joiden yhtälöt suorakulmaisissa karteesisissa koordinaateissa eivät ole algebrallisia. Yksinkertaisimpia esimerkkejä transsendentaalisista viivoista ovat funktioiden kaaviot, y=, y= ja muut trigonometriset funktiot. Katsotaanpa joitain muita transsendenttisia linjoja.

Archimedes-spiraali

Kuvitellaanpa äärettömän pitkä sekuntiosoitin, jota pitkin kellotaulun keskeltä alkaen pieni bugi juoksee väsymättä vakionopeudella v cm/s. Minuutin kuluttua bugi on 60v cm:n etäisyydellä keskustasta, kahdessa minuutissa - 120v jne. Yleensä t sekuntia juoksun alkamisen jälkeen vian etäisyys keskustasta on vt cm. Tänä aikana nuoli kääntyy kulman läpi, joka sisältää 6 t° (sekunnissa se onnistuu kääntymään 360°:n kulman läpi: 60 = 6°). Siksi vian sijainti kellotaulun tasossa minkä tahansa luvun t jälkeen liikkeen alkamisen jälkeen löydetään näin. On tarpeen asettaa sivuun kulma a, joka sisältää 6t° nuolen alkuasennosta sen pyörimissuunnassa, ja mitata etäisyys r = vt cm keskustasta nuolen uutta sijaintia pitkin. Tässä ohitetaan bugi (kuva 21).

Riisi. 21.

Ilmeisesti nuolen kiertokulman a (asteina) ja kuljetun matkan r (senttiä) välinen suhde on seuraava:

Toisin sanoen r on suoraan verrannollinen a:han suhteellisuuskertoimella k = v/6.

Kiinnitetään pieni mutta ehtymätön purkki mustaa maalia juoksijaamme ja oletetaan, että maali, joka valuu ulos pienen reiän kautta, jättää paperiin jäljen nuolen mukana kulkeutuneesta bugista. Sitten Arkhimedesen (287 - 212 eKr.) ensin tutkima käyrä ilmestyy vähitellen paperille. Sitä kutsutaan hänen kunniakseen Archimedes-spiraaliksi. On vain sanottava, että Arkhimedes ei puhunut sekuntiosoittimesta (tuohon aikaan ei ollut kelloja jousella: ne keksittiin vasta 1600-luvulla) eikä bugista. Olemme sisällyttäneet ne tähän selvyyden vuoksi.

Riisi. 22 Kuva. 23.

Archimedes-spiraali koostuu äärettömän monesta kierroksesta. Se alkaa kellon keskeltä ja siirtyy yhä kauemmaksi siitä kierrosten määrän kasvaessa. Kuvassa 22 esittää ensimmäisen kierroksen ja osan toisesta.

Olet varmaan kuullut, että kompassin ja viivaimen avulla on mahdotonta jakaa satunnaisesti otettua kulmaa kolmeen yhtä suureen osaan (erikoistapauksissa, kun kulma sisältää esim. 180°, 135° tai 90°, tämä ongelma on helppo ratkaista). Mutta jos käytät huolellisesti piirrettyä Arkhimedeen spiraalia, mikä tahansa kulma voidaan jakaa mihin tahansa määrään yhtä suuria osia.

Jaetaan esimerkiksi kulma AOB kolmeen yhtä suureen osaan (kuva 23). Jos oletetaan, että nuoli on kääntynyt täsmälleen tähän kulmaan, niin vika sijaitsee pisteessä N kulman sivulla. Mutta kun kiertokulma oli kolme kertaa pienempi, vika oli kolme kertaa lähempänä keskustaa O. Löytääksesi tämän sijainnin, jaa ensin segmentti ON kolmeen yhtä suureen osaan. Tämä voidaan tehdä käyttämällä kompassia ja viivainta. Saamme segmentin ON 1, jonka pituus on kolme kertaa pienempi kuin ON. Palauttaaksesi vian spiraaliin, sinun on tehtävä lovi tälle käyrälle säteellä ON 1 (kompassi jälleen!). Saamme pisteen M. Kulma AOM on kolme kertaa pienempi kuin kulma AON.

Cycloid

Kiinnitetään viivain taulun alareunaan ja pyöritetään sitä pitkin vanne tai ympyrä (pahvi tai puu) painamalla sitä viivainta ja lautaa vasten. Jos kiinnität liidunpalan vanteeseen tai ympyrään (kosketuspisteeseen viivaimen kanssa), liitu piirtää käyrän (kuva 24), jota kutsutaan sykloidiksi (joka tarkoittaa kreikaksi "pyöreää"). Yksi renkaan kierros vastaa sykloidin MM"M""N yhtä "kaaria", jos vanne rullaa edelleen, saadaan yhä enemmän saman sykloidin kaaria.

Riisi. 24.

Rakentaaksemme paperille suunnilleen yhden sykloidin kaaren, jota kuvataan pyörittämällä vanne, jonka halkaisija on esimerkiksi kolme senttimetriä, piirretään se suoralle segmentille, joka on 3x3,14 = 9,42 cm.

Saadaan segmentti, jonka pituus on yhtä suuri kuin vanteen pituus, ts. ympyrän pituus, jonka halkaisija on kolme senttimetriä. Jaetaan tämä segmentti edelleen tiettyyn määrään yhtä suuria osia, esimerkiksi 6, ja jokaiselle jakopisteelle kuvaamme vannemme asemassaan, kun se lepää tässä tietyssä pisteessä (kuva 24), numeroimalla nämä paikat numeroilla. :

Voi, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Siirtyäkseen asennosta toiseen, vanteen on käännyttävä kuudesosa täydestä kierroksesta (koska vierekkäisten jakopisteiden välinen etäisyys on yhtä suuri kuin kuudesosa ympyrästä). Siksi, jos kohdassa 0 liitu on pisteessä M 0, niin asennossa 1 se sijaitsee pisteessä M 1 - ympyrän kuudesosassa kosketuspisteestä, asemassa 2 - pisteessä M 2 - kaksi kuudesosaa yhteyspiste jne. .d. Pisteiden M 1, M 2, M 3 jne. saamiseksi sinun tarvitsee vain tehdä lovia vastaavaan ympyrään kosketuspisteestä alkaen, jonka säde on yhtä suuri kuin

Riisi. 25.

5 cm, ja asennossa 1 tarvitaan yksi lovi, asennossa 2 - kaksi peräkkäin tehtyä lovea, asennossa 3 - kolme lovea jne. Nyt piirtää sykloidi vain yhdistää pisteet

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

sileä käyrä (silmällä).

Lyhin laskeutumiskäyrä

Sykloidin monien merkittävien ominaisuuksien joukossa mainitaan yksi, jonka vuoksi se on ansainnut äänekäs, hienostuneen nimen: "brachistochrone". Tämä nimi koostuu kahdesta kreikan sanasta, jotka tarkoittavat "lyhyintä" ja "aikaa".

Pohditaanpa seuraavaa kysymystä: millainen muoto pitäisi antaa hyvin kiillotetulle metallikanavalle, joka yhdistää kaksi annettua pistettä A ja B (kuva 26.), jotta kiillotettu metallipallo vierii tätä kanavaa pitkin pisteestä A pisteeseen B lyhyimmillään mahdollinen aika? Ensi silmäyksellä näyttää siltä, ​​että sinun on pysähdyttävä suoralle uralle, koska vain sitä pitkin pallo kulkee lyhimmän polun A:sta B:hen. Emme kuitenkaan puhu lyhyimmästä tiestä, vaan lyhyimmästä ajasta; aika ei riipu vain polun pituudesta, vaan myös nopeudesta, jolla pallo juoksee. Jos kourun taivutetaan alas, sen osa pisteestä A alkaen laskee alas jyrkemmin kuin suorassa kourun tapauksessa ja sitä pitkin putoava pallo saavuttaa suuremman nopeuden kuin samanpituisella osuudella. suorasta kourusta. Mutta jos teet alkuperäisestä osasta hyvin jyrkän ja suhteellisen pitkän, pisteen B vieressä oleva osa on hyvin tasainen ja myös suhteellisen pitkä; Pallo ohittaa ensimmäisen osan nopeasti, toisen hyvin hitaasti ja pallo voi olla myöhässä saapuessaan pisteeseen B. Joten kourun täytyy ilmeisesti saada kovera muoto, mutta mutka ei saa olla liian merkittävä

Riisi. 26.

Riisi. 27.

Italialainen fyysikko ja tähtitieteilijä Galileo (1564-1642) ajatteli, että lyhimmän ajan kaivannon tulisi olla taivutettu ympyrän kaarella. Mutta sveitsiläiset matemaatikot Bernoullin veljekset osoittivat noin kolmesataa vuotta sitten tarkoilla laskelmilla, että näin ei ole ja että kaivannon tulisi olla taivutettu sykloidin kaarta pitkin (käännetty alas, kuva 27.). Sittemmin sykloidi on ansainnut lempinimen brachistochrone, ja Bernoullin todistukset toimivat alkuna uudelle matematiikan haaralle - variaatiolaskentalle. Jälkimmäinen etsii sen tyyppisiä käyriä, joilla yksi tai toinen meitä kiinnostava määrä saavuttaa minimi- (ja joissakin tapauksissa suurimman) arvonsa.

Logaritminen spiraali

Tätä käyrää voisi kutsua Descartesin mukaan, koska se mainittiin ensimmäisen kerran yhdessä hänen kirjeistään (1638). Kuitenkin vain puoli vuosisataa myöhemmin Jacob Bernoulli suoritti yksityiskohtaisen tutkimuksen sen ominaisuuksista. Nämä ominaisuudet tekivät vahvan vaikutuksen hänen aikansa matemaatikoihin. Tämän kuuluisan matemaatikon haudalle pystytetty kivilaatta kuvaa logaritmisen spiraalin käänteitä.

Arkhimedeen spiraalia kuvaa piste, joka liikkuu sädettä pitkin (”ääretön nuoli”) siten, että etäisyys säteen alusta kasvaa suhteessa sen kiertokulmaan: r = ka. Logaritminen spiraali saadaan, jos vaadimme, ettei itse etäisyys, vaan sen logaritmi kasva suoraan suhteessa kiertokulmaan. Yleensä logaritmisen spiraalin yhtälö kirjoitetaan käyttämällä ei-sulkalukua e logaritmijärjestelmän perustana (luku 25). Tätä luvun r logaritmia kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi ja merkitään r:llä. Joten logaritminen spiraaliyhtälö kirjoitetaan muodossa ln r = ka

Tietysti kiertokulma a voidaan edelleen mitata asteina. Mutta matemaatikot mieluummin mittaavat sen radiaaneina, ts. ota kulman mittana keskikulman sivujen välisen ympyrän kaaren pituuden suhde tämän ympyrän säteeseen. Sitten nuolen käännös suorassa kulmassa mitataan luvulla l 1,57, käännös taittamattoman kulman määrällä mitataan luvulla l 3,14 ja täydellinen käännös asteina mitattuna numerolla 360, mitataan radiaaneina luvulla 2 l 6.28.

Riisi. 28.

Logaritmisen spiraalin monista ominaisuuksista huomaamme yhden: mikä tahansa alusta tuleva säde leikkaa minkä tahansa spiraalin käänteen samassa kulmassa. Tämän kulman suuruus riippuu vain spiraaliyhtälön luvusta k. Tässä tapauksessa säteen ja spiraalin välinen kulma ymmärretään tämän säteen ja leikkauspisteeseen piirretyn spiraalin tangentin väliseksi kulmaksi (kuva 28).

Johtopäätös

Kun tarkastellaan kolmannen ja neljännen kertaluvun käyriä

tutustuimme joihinkin todella merkittäviin käyriin, jotka elävät analyyttisen geometrian upeassa maailmassa ja joita löytyy elämässämme paljon useammin kuin miltä näyttää. Tutkimme niiden käytännön sovellutuksia ihmiselämässä, niiden merkittävien ominaisuuksien merkitystä erilaisissa ihmisen elämässä käyttämissä mekanismeissa. Tässä työssä keräsimme materiaalia, jossa keskityttiin käyrien käytännön rakentamiseen.

Siten asetettu tavoite saavutettiin ja tavoitteen mukaan määritellyt tehtävät ratkesivat.

Kirjallisuus

linjajärjestyksen transsendenttinen spiraali

1. Markushevich A.I. Upeat kaaret. - M.: Krasnoproletarskaya, 1951. -23 s.; 1978., - 48 s. kuvineen.

Matematiikan historia antiikin ajoista 1800-luvun alkuun / Toim. A.P. Juskevitš. - M.: Nauka, 1970, osa 1 - 352 s.; 1970, osa 2 - 300 s.; 1972, osa 3 - 496 s.

Nikiforovski V.A., Freiman L.S. Uuden matematiikan synty. - M.: Nauka, 1976. - 198 s.

Savelov A.A. Tasaiset kaaret. - M.: Fizmatgiz, 1960 - 294 s.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analyyttinen geometria. - M.: Nauka, 1971. - 232 s.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Lineaarinen algebra ja analyyttinen geometria. - 2. painos - Minsk: Vysh. Koulu, 1976. 544 s.

Pisteen B vastausrata - astroidi s t)

Sykloidikäyrät sisältävät sykloidin, epi- ja hyposykloidin lisäksi myös trokoidin, kardioidin ja astroidin, jotka kuvataan alla.

Koordinaatit X, y täyttävät tässä tapauksessa astroidiyhtälön (kuva 91)

Poikkeus antaa (astroid)

Kun p = r = (m = 3), hyposykloidia kutsutaan astroidiksi (kuva 64), ja yhtälöt ovat muotoa x = R os i y = R sin "i tai x -y = R.

Kun p = r = - (t = 3), hyposykloidia kutsutaan astroidiksi (kuva 64), ja yhtälöt ovat muotoa

Kuvassa 72 segmentti AB = I on kiinnitetty linkkiin AB = I kulmassa 0 = 180°. Siksi pisteen Bi piirtämää astroidia kierretään suhteessa pisteen B piirtämään astroidiin kulmalla t6,

Tarkastellaan kysymystä tämän käyrän tangenttien piirtämisestä tarkasteltavana olevan mekanismin avulla. Yllä formuloidun säännön mukaisesti astroidin tangentti katkaisee kampilinjan OA segmentin, joka on yhtä suuri kuin lausekkeen oikealla puolella olevan murto-osan nimittäjä (160). Mitä tulee kuvassa esitettyyn mekanismiin. 72, leikatun segmentin koko määritetään kaavalla (172)

Käytännössä astroidien rakentamiseen tuotantoolosuhteissa jokainen suora viiva, jossa liikkuu

Kuvassa Kuvassa 72 näytimme mekanismin, joka saa linkin 10 päille S ja Si liikkumaan kahta astroidia pitkin, kierrettynä toisiaan suhteessa toisiinsa 45°.

Yhtälöillä (57) ja (58) kuvattu käyrä on astroidityyppinen käyrä. Tämän käyrän symmetria-akselit muodostuvat Ax-akseleiden kanssa

Esitetään astroidin ulkopuoli puolitasolla Re5>0, kuten tehtiin vuonna .

Ottaen a = p = 1, muodostamme ääriviivan, jossa astroidi on vääntynyt (kuva 24).

Liukusäätimet / ja 2 liukuvat kiinteissä ohjaimissa p ja q, joiden akselit ovat keskenään kohtisuorassa. Prosessit a ja 6 liukusäädintä 1 - 2 liukuvat ristinmuotoisessa liukusäätimessä 3, jonka akselit ovat myös keskenään kohtisuorassa. Linkki 4 siirtyy kiertopariin C liukusäätimellä 3 ja liukuu ristinmuotoisessa liukusäätimessä 5, joka liukuu pitkin linkin 6 akselia, joka sisältyy kiertopareihin L ja B liukukappaleilla I ja 2. Kun liukusäätimet I - 2 liikkua ohjaimia pitkin ja piste K kuvaa kaariastroidia, jonka yhtälö = missä 1 - AB. Suora viiva taipuu ympäri

Hyposykloidissa on n - -1 kärkipistettä, joista jokainen vastaa jännityksen keskittymisen kannalta halkeaman loppua (kuva PZO esittää astroidin, jonka n = 3). Tämän tyyppiset viat voivat määrittää haurauden lujuuden

Etsi astroidin tangentin yhtälö.

Kuvassa Kuva 72 esittää kymmenen lenkin mekanismia, joka on suunniteltu astroidien lisääntymiseen. Astroidi on tavallinen hyposykloidi, jonka moduuli on m = ja se on kuudennen kertaluvun algebrallinen käyrä. Astroid nimi

Siten yhden piirustuksessa esitetyn astroidin tangentti kulkee pisteiden C ja 5 kautta ja toisen tangentti - pisteiden C ja S kautta. Mutta pisteet B ja B ovat lambdan kiertokangen B B päät. -muotoinen ryhmä Harten suorassa linjassa. Siksi pää B liukuu aina linkkiä DDj pitkin ja pää B - kohtisuoraa pitkin, joka palautetaan kohtaan DDj pisteestä C. Tästä seuraa, että pisteen B piirtämä astroidi on linkin DD kaikkien asemien verhokäyrä. Yllä oleva voidaan myös laajentaa koskemaan astroideja, jotka toistetaan pisteellä B tai missä tahansa ympyrän pisteessä, joka on rajattu A:sta säteellä I.

Kuten tiedetään, astroidin kukka, jos viimeksi mainitun symmetriakeskus valitaan napaksi, on neliterälehtinen ruusu. Siten riittää pidentää segmenttejä ABi = AB kuvassa. 72 (tai kuvassa 73) kokoon AB = ABi = L, saadaan tällä

KUL ISIO-RY TÄRKEÄ VYATKIN-MEKANISMI ASTROITIN LISÄÄNTYMISEEN

Lopuksi työn, joka liittyy suoraan siiven teoriaan, panemme merkille G.N. Babaeva Flettner-roottoreista (Tieteellinen huomautus. Saratovin valtionyliopisto, Pedagoginen tiedekunta. T. VH. Numero 11, 1929), jossa kirjoittaja soveltaa tavanomaista siipien tutkimismenetelmää kahden Flettner-roottorin tapauksessa. Muuten, kirjoittaja osoitti, että hetkien linja tässä tapauksessa on astroidi. Mitä tulee

Miksi maailmamme on kaunis? Koska elävän luonnon muodot ja värit noudattavat pitkälti yleisiä harmonian lakeja, jotka paljastuvat tiukan matemaattisen analyysin kautta. Luontoa tutkiessamme löydämme siitä yhä enemmän esteettisiä piirteitä, jotka pääsääntöisesti paljastuvat ei heti, vaan yksityiskohtaisen matemaattisen analyysin jälkeen.

Ihminen erottaa ympärillään olevat esineet niiden muodon perusteella. Kiinnostus esineen muotoa kohtaan voi johtua elintärkeästä välttämättömyydestä tai sen voi aiheuttaa muodon kauneus. Muoto, jonka rakenne perustuu symmetrian ja kultaisen leikkauksen yhdistelmään, edistää parhaan visuaalisen havainnoinnin sekä kauneuden ja harmonian tunteen ilmaantumista.

Kokonaisuus koostuu aina osista, erikokoiset osat ovat tietyssä suhteessa toisiinsa ja kokonaisuuteen. Kultaisen leikkauksen periaate on korkein ilmentymä kokonaisuuden ja sen osien rakenteellisesta ja toiminnallisesta täydellisyydestä taiteessa, tieteessä, tekniikassa ja luonnossa.

Käytettäessä luonnongeometrian lakeja uudessa tilanteessa, opiskella geometrisiin rakenteisiin liittyvien aineiden kursseja, pohdimme tutkittuja geometrisia lakeja ja kehitämme geometrista intuitiota.

Erisisältöisten luovien tehtävien suorittamisen aikana tutustuimme geometrisen tiedon mahdollisiin sovellusalueisiin (taiteilijat, arkkitehdit, suunnittelijat jne.).

Graafisia tiedon esittämiskeinoja käytetään kaikilla yhteiskunnan aloilla. Niillä on täydellinen kuva, niille on ominaista symboliikka, tiiviys ja suhteellisen helppolukuisuus. Nämä graafisten kuvien ominaisuudet määräävät niiden laajemman käytön. Lähitulevaisuudessa yli puolet esitetystä tiedosta esitetään graafisesti. Kuvailevan geometrian, teknisen grafiikan ja muiden lähitieteiden teoreettisten perusteiden kehittyminen on laajentanut graafisten kuvien hankintamenetelmiä. Manuaalisten graafisten kuvien generointimenetelmien ja suunnitteludokumentaation laatimisen ohella käytetään yhä enemmän tietokonemenetelmiä. Uusien tietoteknologioiden käyttö varmistaa graafisten kuvien luomisen, muokkaamisen, tallentamisen ja replikoinnin erilaisilla ohjelmistotyökaluilla.

I. Perustietoa algebrallisista käyristä

1. Astroid

Astroidi (kreikan sanasta >-tähti) on käyrä, jota kuvaa liikkuvan ympyrän piste, joka koskettaa sisältä nelinkertaisen säteen kiinteää ympyrää ja vierii sitä pitkin liukumatta. Astroidin rajoittama alue on kahdeksasosa kiinteän ympyrän pinta-alasta, ja astroidin kokonaispituus on kuusi kertaa tämän ympyrän säde.

Astroidin yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:

x + y = R.

Astroidikuvaaja on rakennettu > seuraavalla tavalla:

:: Muodosti funktion kuvaaja y > 0 (säde R = 5);

:: Rakensi funktiosta kaavion.

2. Kardioidi

Kardioidi (kreikan sanasta >-sydän ja eidos-näkymä) on tasainen käyrä, jota kuvaa ympyrän kiinteä piste, joka ulkopuolelta koskettaa samansäteistä kiinteää ympyrää ja vierii sitä pitkin liukumatta. Käyrä sai nimensä, koska se muistuttaa sydäntä.

Kardioidikaavioiden rakentaminen suoritettiin myös vuonna >.

3. Nefroidi

Nefroidi (kreikan sanasta hephros-kidney, eidos-species) on käyrä, jota kuvaa kaksi kertaa suuremman ympyrän ulkopuolella vierivän ympyrän kiinteä piste. Saksilainen aatelismies E. V. Tschirnhaus tutki nefroidin ominaisuuksia ensimmäisen kerran 1600-luvulla. Nefroidi koostuu kahdesta sydänlihaksesta.

4. Pascalin etana.

Pascalin etana on taso algebrallinen käyrä. Nimetty Etienne Pascalin (Blaise Pascalin isän) mukaan, joka tutki sen ensimmäisenä. Yhtälö napakoordinaateissa. Kun l = 2a, saadaan kardioidi.

II. Matemaattisen mallinnuksen soveltaminen.

1. Merkkijonografiikan luomisen historia

Lankagrafiikka (tai isothread) on graafinen kuva, joka on tehty erityisellä tavalla langoilla pahville tai muulle kiinteälle alustalle. Lankagrafiikkaa kutsutaan joskus myös isografiaksi tai kirjonta pahville.

Termiä > (langallinen grafiikka tai isolanka) käytetään Venäjällä, englanninkielisissä maissa käytetään lausetta - kirjonta paperille, saksankielisissä maissa - termiä.

Lankagrafiikka koriste- ja soveltavan taiteen lajina ilmestyi ensimmäisen kerran Englannissa 1600-luvulla. Englantilaiset kutojat keksivät erityisen tavan kutoa lankoja. He vasaroivat nauloja lautoihin ja vetivät lankoja niihin tietyssä järjestyksessä. Tuloksena oli harjakattoisia pitsituotteita, joita käytettiin kodin sisustamiseen. (Niin syntyi versio, että nämä teokset olivat jonkinlaisia ​​luonnoksia kankaalle tehtyjä kuvioita varten). Nykyaikaisten kulutustarvikkeiden avulla on mahdollista saada erittäin vaikuttavia tuotteita.

Lankagrafiikan alkuperäisen tekniikan ohella on toinenkin lankasuunnittelun suunta - kirjonta pahville (isolanka) samoilla tekniikoilla (kulmien ja ympyröiden täyttötekniikka).

Kiinnostus filamenttigrafiikkaa kohtaan ilmaantui ja sitten katosi. Yksi suosion huipuista oli 1800-luvun lopulla. Käsityöstä julkaistiin kirjoja, joissa kuvattiin epätavallinen kirjontamenetelmä paperille, yksinkertainen ja helppo, lasten saatavilla. Työssä käytettiin rei'itettyjä kortteja (valmiit mallit) ja kulman täyttötekniikkaa, ompeleita >, > (käyrien kirjontaan). Vähimmäisvaroilla kuka tahansa (ja mikä tärkeintä lapset) voisi tehdä upeita matkamuistoja lomaa varten.

Nyt tätä taidetta harjoitetaan monissa maissa ympäri maailmaa.

Maassamme on vähän tietoa isolangasta, lähinnä tiedotustarkoituksiin: yksittäisiä julkaisuja aikakauslehdissä > Vuonna 1995 julkaistiin Minskin professorin G. A. Branitskyn kirja > ja M. I. Nagibinan kirja >, jossa on pieni luku isolangasta .

Käytettävissä olevien tietojen analysoinnin jälkeen onnistuimme havaitsemaan, että tämäntyyppisestä käsityöstä julkaistaan ​​monia kirjoja vaiheittaisten ohjeiden ja ideaalbumien muodossa, joissa kaikkialla käytetään vain lisääntymismenetelmää.

Isolangan etuna on, että se valmistuu nopeasti ja voit keksiä monia mielenkiintoisia kuvioita. Tämäntyyppinen luovuus kehittää mielikuvitusta, silmää, sormien hienomotoriikkaa, taiteellisia kykyjä ja esteettistä makua. Lankagrafiikkatekniikalla voit tehdä koristepaneelien lisäksi myös onnittelukortteja, matkamuistokuoria ja kirjanmerkkejä.

Isothreadilla (langan grafiikalla tai lankasuunnittelulla) voi olla useita suuntauksia:

1) lisääntymismenetelmä: työskentely mallin mukaan, vaiheittaiset ohjeet, valmiiden kuvioiden ja kirjontasarjojen jakelu

2) osittainen etsintä (projekti): pahville laskemisen oppiminen (eli omien mestariteosten luominen), omien tekniikoiden ja yhdistelmien etsiminen, taustalla "leikkiminen", säikeet - suoritusmateriaalilla

3) yhdistetty - kun kaikki alkaa "ABC:stä", työskentelemme valmiiden kaavioiden kanssa, mutta muutamme materiaalin tyyppiä (väriä) ja saavutamme "mestariteoksen".

2. Jousigrafiikan perustekniikat

Lankagrafiikka tunnetaan myös muilla nimillä: isothread (eli kuva langalla), graafinen kirjonta. Tekniikan hallitsemiseksi riittää tietää, kuinka kulma, ympyrä ja kaari täytetään.

Tekniikka 1. Kulman täyttö.

Piirrä kulma kartongin taakse ja jaa kumpikin puoli yhtä suureen määrään osia. Lävistämme kohdat neulalla tai ohuella naskalilla, pujottelemme neulaan ja täytämme kaavion mukaan.

Tekniikka 2. Ympyrän täyttäminen.

Piirretään ympyrä kompassilla. Jaetaan se 12 yhtä suureen osaan ja täytetään kaavion mukaan.

Tekniikka 3. Kaaren täyttö.

Piirretään kaari, jaetaan se yhtä suuriin osiin ja tehdään jakopisteisiin reikiä. Pujota lanka neulaan ja täytä kaavion mukaan

III. Tutkimustyö.

Rakennukset ohjelmassa >.

Tehtävä 1. Janan jakaminen n yhtä suureen osaan.

Ratkaisu 1. Jako 2, 4, 8, 16 jne. osiin tehtiin > rakentamalla janan keskipisteet.

Ratkaisu 2. Suoritimme myös segmentin jaon mielivaltaiseen määrään osia Thalesin lauseella.

Tehtävä 2. Ympyrän jakaminen 6, 12, 24 osaan.

Ratkaisu 1. Etsimme erilaisia ​​tapoja jakaa ympyrä osiin. Ohjelmassa > piirrettiin ympyrä, asetettiin pisteet satunnaiseen järjestykseen, mitattiin tuloksena olevat kulmat ja sitten > siirrettiin pisteitä ympyrää pitkin kunnes haluttu arvo saatiin. Se oli yksitoikkoista ja epäkiinnostavaa työtä. Ensimmäisen 12 osaan jaon virhe oli + 0,15 cm sointujen pituudessa. Aloimme analysoida tilannetta ja etsiä optimaalisia tapoja ratkaista ongelmia. Tuloksena löysimme useita ratkaisuja ympyrän jakamiseksi 6, 12, 24 osaan.

Ratkaisu 2. Merkitse ympyrään 6 pistettä, mittaa kaikki kulmat, kohdista pisteet niin, että jokainen kulma on 60 [o]. Sitten ohjelman avulla piirrettiin kunkin kulman puolittajat. Tuloksena oli jako 12 osaan. Ja jakaaksemme 24 osaan, piirsimme taas saatujen kulmien puolittajat. Tämän rakenteen virheeksi osoittautui +0,01 astetta.

Ratkaisu 3. Rakensimme ohjelman avulla 3 samansäteistä ympyrää (kopioimalla), yhdistämme ne kuvan osoittamalla tavalla. Merkitse ympyröiden leikkauspisteet. Mittasimme tuloksena saadut kulmat, ne osoittautuivat 60 [o]. Seuraavaksi rakensimme kulman puolittajat 12 ja 24 osaan jakamista varten. Tällaisen ratkaisun virhe on nolla.

Tehtävä 3. Ympyrän jakaminen 9, 18, 36 osaan.

Löysimme optimaalisen tavan edellisen ongelman ratkaisemiseksi, aloimme samalla tavalla etsiä tapoja jakaa ympyrä 9, 18 ja 36 osaan. Jako 18 ja 36 osaan voidaan suorittaa vasta 9 pisteen rakentamisen jälkeen käyttämällä puolittajien konstruktiota.

Ratkaisu. 360 [o]: 9 = 40 [o]. Jaoimme puoliympyrän neljään kaareen, joiden kaari on noin 40 [o] ja kaareksi 20 [o]. Ohjelman avulla suoritimme kaikki tarvittavat kulmamittaukset siirtämällä pisteitä. Seuraavaksi valitsimme rakennetut pisteet ja heijastimme >-komennolla pisteet 180 astetta suhteessa ympyrän keskipisteeseen toiseen puoliympyrään. Tämän rakenteen virhe oli + 0,04 astetta.

Tehtävä 4. Algebrallisten käyrien rakentaminen

Astroid

Ratkaisu 1. Astroidi rakennetaan koordinaattitasolle seuraavalla algoritmilla:

:: Ordinaatta-akselin pisteet on yhdistettävä abskissa-akselin pisteisiin siten, että jakolukujen summa antaa 10 (esimerkiksi: 1 ja 9, 2 ja 8, 3 ja 7 jne.).

:: Yhdistä pisteet samassa järjestyksessä koordinaattitason jäljellä olevissa neljänneksissä.

Ratkaisu 2. Piirrä ympyrä, rakenna kohtisuorat halkaisijat ja jaa jokainen säde parilliseen määrään osia. Yhdistimme pisteet segmenteillä edellisen algoritmin mukaisesti.

Ratkaisu 3. Oppittuamme optimaalisen tekniikan jakaa ympyrä kuuteen osaan rakensimme 6 tähden astroidin.

Ratkaisu 4. 8 tähden astroidin rakentaminen suoritettiin rakentamalla suoran kulman puolittajat.

Kardioidi

Ratkaisu. Kardioidin rakentamiseksi pohja on ympyrä. Kardioidi rakennettiin seuraavan suunnitelman mukaan:

:: piirsi ympyrän ja jakoi sen 36 osaan (kukin 10 astetta);

:: numeroitu ulkopisteet 1:stä 36:een vastapäivään;

:: sisäiset pisteet on numeroitu kaavion 1 mukaisesti;

:: yhdistetyt pisteet, joilla on samat sisäiset ja ulkoiset numerot;

:: kirjekuori on kardioidi.

Kaavio 1 Kaavio 2

IV. Meidän luovuutemme.

Hallittuamme suunnittelun ja mallinnuksen perustekniikat >, yritimme toteuttaa itseämme suunnittelijoina ja taiteilijoina. Olemme kehittäneet ja toteuttaneet seuraavat työt:

Johtopäätös, johtopäätökset

>", Aristoteles huomautti 2500 vuotta sitten. Meidän aikalainen Sukhomlinsky uskoi, että >. Ja matematiikka on ihana yllätysaine.

Tutkittuamme saatavilla olevaa materiaalia perusteellisesti tutustuimme uuteen käyrien muodostamismenetelmään - matemaattiseen kirjontaan, jossa käytetään tuttuja geometristen kuvioiden rakentamistekniikoita (kulman rakentaminen, segmentin jakaminen yhtä suuriin osiin, pisteiden yhdistäminen tietyssä järjestyksessä, jakaminen ympyrä yhtä suureksi osaksi ohjelmassa >). Löysimme hämmästyttävän yhtäläisyyden matemaattisen kirjonta ja pitkään tunnetun koriste- ja taidetaiteen tyypin – isolangan – välillä.

Internetissä ja erikoiskirjallisuudessa on paljon valokuvia, joissa on isolankakirjonta, mutta niihin ei ole liitetty kaavioita. Tulimme siihen tulokseen, että matemaattinen kirjonta on luova prosessi. Tietäen työssämme esitetyt matemaattisen mallintamisen perusteet, luovaa ajattelua, logiikkaa ja kärsivällisyyttä käyttäen pystyt tekemään yksilöllistä > taideteollisuutta.

Matemaattinen kirjonta ei kiinnostanut vain meitä, vaan myös monia koululaisia ​​(sekä tyttöjä että poikia). Uskomme, että nykyaikainen tietotekniikka mahdollistaa matematiikan ja taiteen yhdistämisen.

Käyrä tai viiva on geometrinen käsite, joka määritellään eri tavalla eri osissa.

KÄYRÄ (viiva), liikkuvan pisteen tai kappaleen jättämä jälki. Yleensä käyrä esitetään vain tasaisesti kaarevana viivana, kuten paraabeli tai ympyrä. Mutta käyrän matemaattinen käsite kattaa sekä suoran että suorista segmenteistä koostuvat luvut, esimerkiksi kolmion tai neliön.

Käyrät voidaan jakaa tasoihin ja spatiaalisiin. Tasokäyrä, kuten paraabeli tai suora, muodostuu kahden tason tai tason ja kappaleen leikkauspisteestä ja on siten kokonaan yhdessä tasossa. Tilakäyrää, esimerkiksi kierrejousen muotoista heliksiä, ei voida saada jonkin pinnan tai kappaleen leikkauspisteeksi tason kanssa, eikä se ole samassa tasossa. Käyrät voidaan myös jakaa suljettuihin ja avoimiin. Suljetulla käyrällä, kuten neliöllä tai ympyrällä, ei ole päitä, ts. liikkuva piste, joka muodostaa tällaisen käyrän, toistaa ajoittain polkuaan.

Käyrä on paikka tai joukko pisteitä, jotka täyttävät jonkin matemaattisen ehdon tai yhtälön.

Esimerkiksi ympyrä on tason pisteiden sijainti, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä. Algebrallisten yhtälöiden määrittelemiä käyriä kutsutaan algebrallisiksi käyriksi.

Esimerkiksi suoran y = mx + b yhtälö, jossa m on kaltevuus ja b on y-akselilla leikattu jana, on algebrallinen.

Käyriä, joiden yhtälöt sisältävät transsendenttisia funktioita, kuten logaritmeja tai trigonometrisiä funktioita, kutsutaan transsendentaalisiksi käyriksi.

Esimerkiksi y = log x ja y = tan x ovat transsendenttisten käyrien yhtälöitä.

Algebrallisen käyrän muoto voidaan määrittää sen yhtälön asteen mukaan, joka on yhtäpitävä yhtälön ehtojen korkeimman asteen kanssa.

Jos yhtälö on ensimmäisen asteen, esimerkiksi Ax + By + C = 0, käyrä on suoran muotoinen.

Jos toisen asteen yhtälö on esim.

Kun Ax 2 + By + C = 0 tai Ax 2 + By 2 + C = 0, käyrä on neliöllinen, ts. edustaa yhtä kartioleikkauksista; Näihin käyriin kuuluvat paraabelit, hyperbolit, ellipsit ja ympyrät.

Listataan kartioleikkausten yhtälöiden yleiset muodot:

x 2 + y 2 = r 2 - ympyrä,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - ellipsi,

y = ax 2 - paraabeli,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - hyperbola.

Käyrät, jotka vastaavat kolmannen, neljännen, viidennen, kuudennen jne. yhtälöitä. asteita kutsutaan kolmannen, neljännen, viidennen, kuudennen jne. käyriksi. Tilaus. Yleensä mitä korkeampi yhtälön aste, sitä enemmän mutkia avoimella käyrällä on.

Monet monimutkaiset käyrät ovat saaneet erityisnimet.

Sykloidi on tasokäyrä, jota kuvaa kiinteä piste ympyrässä, joka vierii pitkin suoraa, jota kutsutaan sykloidin generaattoriksi; sykloidi koostuu sarjasta toistuvia kaaria.

Episykloidi on tasokäyrä, jota kuvaa ympyrän kiinteä piste, joka vierii toisella kiinteällä ympyrällä sen ulkopuolella.

Hyposykloidi on tasokäyrä, jota kuvaa ympyrän kiinteä piste, joka vierii sisäpuolelta kiinteää ympyrää pitkin.

Kierre on tasainen kaarre, joka kiertyy, käännös käännökseltä, kiinteästä pisteestä (tai kiertyy sen ympärille).

Matemaatikot ovat tutkineet käyrien ominaisuuksia muinaisista ajoista lähtien, ja monien epätavallisten käyrien nimet liittyvät niiden nimiin, jotka ovat ensin tutkineet niitä. Näitä ovat esimerkiksi Arkhimedes-spiraali, Agnesi-kihara, Diokles-kissoidi, Nikomedes-kokoidi ja Bernoulli-lemniskaatti.

Perusgeometrian puitteissa käyrän käsite ei saa selkeää muotoilua, ja se määritellään joskus "pituudeksi ilman leveyttä" tai "kuvion rajaksi". Pohjimmiltaan perusgeometriassa käyrien tutkiminen rajoittuu esimerkkien tarkasteluun (, , , jne.). Yleisten menetelmien puuttuessa alkeisgeometria tunkeutui melko syvälle tiettyjen käyrien ominaisuuksien tutkimukseen (, jonkin verranja myös), käyttämällä kussakin tapauksessa erityisiä tekniikoita.

Useimmiten käyrä määritellään jatkuvaksi kartoitukseksi segmentistä:

Samaan aikaan käyrät voivat olla erilaisia, vaikka ne olisivatkintäsmätä. Tällaisia ​​käyriä kutsutaanparametroidut käyrättai jos[ a , b ] = , tavoilla.

Joskus käyrä määritetään aina , eli minimiekvivalenssisuhteeseen asti siten, että parametriset käyrät

ovat samanarvoisia, jos on jatkuva (joskus ei-laskeva) h segmentistä [ a 1 ,b 1 ] segmenttiä kohden [ a 2 ,b 2 ], niin että

Tämän suhteen määrittelemiä kutsutaan yksinkertaisesti käyriksi.

Analyyttiset määritelmät

Analyyttisen geometrian kursseilla todistetaan, että suorakulmaisilla suorakulmaisilla (tai jopa yleisillä affineilla) koordinaatteilla kirjoitettujen rivien joukossa toisen asteen yleinen yhtälö

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(jos ainakin yksi kertoimista A, B, C on eri kuin nolla) löytyy vain seuraavat kahdeksan tyyppistä viivaa:

a) ellipsi;

b) hyperboli;

c) paraabeli (toisen asteen ei-degeneroituneet käyrät);

d) pari leikkaavia viivoja;

e) yhdensuuntaisten viivojen pari;

f) pari samankaltaisia ​​viivoja (yksi suora);

g) yksi piste (toisen asteen rappeutuneet suorat);

h) "viiva", jossa ei ole pisteitä.

Sitä vastoin mikä tahansa rivi jokaisesta kahdeksasta esitetystä tyypistä on kirjoitettu suorakulmaisina suorakaiteen muotoisina koordinaatteina jollakin toisen asteen yhtälöllä. (Analyyttisen geometrian kursseilla puhutaan yleensä yhdeksästä (ei kahdeksasta) kartioleikkaustyypistä, koska niissä erotetaan "kuvitteellinen ellipsi" ja "imaginaarisen yhdensuuntaisen viivan pari" - geometrisesti nämä "viivat" ovat samat, koska molemmat eivät sisällä yhtä pistettä, vaan analyyttisesti ne on kirjoitettu eri yhtälöillä.) Siksi (degeneroituneet ja ei-degeneroituneet) kartioleikkaukset voidaan määritellä myös toisen kertaluvun viivoiksi.

SISÄÄNtasossa oleva käyrä määritellään joukoksi pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälönF ( x , y ) = 0 . Samalla funktiolleF asetetaan rajoituksia, jotka takaavat, että tällä yhtälöllä on ääretön määrä erilaisia ​​ratkaisuja ja

tämä ratkaisusarja ei täytä "palaa tasosta".

Algebralliset käyrät

Tärkeä käyräluokka ovat ne, joille funktioF ( x , y ) Onkahdesta muuttujasta. Tässä tapauksessa yhtälön määrittelemä käyräF ( x , y ) = 0 , nimeltään.

Algebralliset käyrät, jotka määritellään 1. asteen yhtälöllä, ovat .

Asteen 2 yhtälö, jolla on ääretön määrä ratkaisuja, määrittää , eli rappeutuneen ja ei-degeneroituneen.

Esimerkkejä 3. asteen yhtälöillä määritellyistä käyristä: , .

Esimerkkejä 4. asteen käyristä: ja.

Esimerkki kuudennen asteen käyrästä: .

Esimerkki käyrästä, joka määritellään parillisen asteen yhtälöllä: (multifocal).

Algebralliset käyrät, jotka on määritelty korkeamman asteen yhtälöillä, otetaan huomioon. Samalla heidän teoriansa muuttuu harmonisemmiksi, jos harkintaan tehdään. Tässä tapauksessa algebrallinen käyrä määräytyy muodon yhtälöllä

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Missä F- polynomi, jossa on kolme muuttujaa, jotka ovat pisteitä.

Käyrien tyypit

Tasokäyrä on käyrä, jonka kaikki pisteet ovat samassa tasossa.

(yksinkertainen viiva tai Jordanin kaari, myös ääriviiva) - joukko tason tai avaruuden pisteitä, jotka ovat yksi-yhteen ja keskenään jatkuvassa vastaavuudessa viivaosien kanssa.

Polku on segmentti .

analyyttiset käyrät, jotka eivät ole algebrallisia. Tarkemmin sanottuna käyriä, jotka voidaan määritellä analyyttisen funktion (tai moniulotteisessa tapauksessa funktiojärjestelmän) tasoviivan kautta.

Siniaalto,

Cycloid,

Archimedes-spiraali,

Traktori,

ketjulinja,

Hyperbolinen spiraali jne.

1. Menetelmät käyrien määrittämiseksi:

analyyttinen – käyrä saadaan matemaattisella yhtälöllä;

graafinen – käyrä määritellään visuaalisesti graafiselle tietovälineelle;

taulukko - käyrä määritellään peräkkäisen pistesarjan koordinaatteilla.

parametrinen (yleisin tapa määrittää käyrän yhtälö):

Missä - sujuvat parametritoiminnott, ja

(x") 2 + (y") 2 + (z") 2 > 0 (säännöllisyysehto).

Usein on kätevää käyttää käyrän yhtälön muuttumatonta ja kompaktia esitystä käyttämällä:

jossa vasemmalla puolella on käyrän pisteet ja oikea puoli määrittää sen riippuvuuden jostakin parametrista t. Laajentamalla tätä merkintää koordinaatteina saamme kaavan (1).

1. Cycloid.

Sykloidin tutkimuksen historia liittyy sellaisten suurten tiedemiesten, filosofien, matemaatikoiden ja fyysikkojen nimiin kuin Aristoteles, Ptolemaios, Galileo, Huygens, Torricelli ja muut.

Cycloid(alkaenκυκλοειδής - pyöreä) -, joka voidaan määritellä sellaisen pisteen liikeradana, joka sijaitsee ympyrän rajalla, joka vierii liukumatta suorassa linjassa. Tätä ympyrää kutsutaan generoimiseksi.

Yksi vanhimmista käyrien muodostamismenetelmistä on kinemaattinen menetelmä, jossa käyrä saadaan pisteen liikeradana. Käyrää, joka saadaan ympyrään kiinnitetyn pisteen liikeradana, joka vierii liukumatta suoraa pitkin, ympyrää tai muuta käyrää pitkin, kutsutaan sykloidiseksi, joka käännettynä kreikasta tarkoittaa pyöreää, ympyrää muistuttavaa.

Tarkastellaanpa ensin tapausta, jossa ympyrä pyörii suoraa linjaa pitkin. Käyrää, jota kuvaa piste, joka on kiinnitetty suorassa liukumatta liikkuvaan ympyrään, kutsutaan sykloidiksi.

Vierikö säteinen R ympyrä suoraa a pitkin. C on piste, joka on kiinnitetty ympyrään, alkuperäisellä ajanhetkellä asemassa A (kuva 1). Piirretään suoralle a jana AB, joka on yhtä suuri kuin ympyrän pituus, ts. AB = 2 π R. Jaa tämä segmentti kahdeksaan yhtä suureen osaan pisteillä A1, A2, ..., A8 = B.

On selvää, että kun ympyrä vierii pitkin suoraa a, tekee yhden kierroksen, ts. pyörii 360, sitten se ottaa aseman (8) ja piste C siirtyy paikasta A asentoon B.

Jos ympyrä tekee puoli täyttä kierrosta, ts. kääntyy 180, sitten se ottaa aseman (4) ja piste C siirtyy korkeimpaan asemaan C4.

Jos ympyrä pyörii 45 kulman läpi, ympyrä siirtyy kohtaan (1) ja piste C asemaan C1.

Kuvassa 1 näkyy myös muita sykloidin pisteitä, jotka vastaavat ympyrän jäljellä olevia kiertokulmia, 45:n kerrannaisia.

Yhdistämällä muodostetut pisteet tasaisella käyrällä saadaan sykloidin osa, joka vastaa yhtä ympyrän täyttä kierrosta. Seuraavilla kierroksilla saadaan samat osat, ts. Sykloidi koostuu ajoittain toistuvasta osasta, jota kutsutaan sykloidin kaareksi.

Kiinnitetään huomiota sykloidin tangentin asemaan (kuva 2). Jos pyöräilijä ajaa märällä tiellä, pyörästä tulevat pisarat lentävät tangentiaalisesti sykloidiin ja voivat roiskua pyöräilijän selkään, jos suojuksia ei ole.

Ensimmäinen sykloidin tutkija oli Galileo Galilei (1564-1642). Hän keksi myös sen nimen.

Sykloidin ominaisuudet:

Cycloidilla on useita merkittäviä ominaisuuksia. Mainitaanpa joitain niistä.

Kiinteistö 1. (Jäävuori.) Vuonna 1696 I. Bernoulli esitti ongelman löytää jyrkimmän laskeuman käyrä, eli toisin sanoen ongelman, minkä muotoinen jääliukumäki pitäisi olla, jotta se vierii alas matkaa varten aloituspisteestä A päätepisteeseen B lyhimmässä ajassa (kuva 3, a). Haluttua käyrää kutsuttiin ”brachistochroneiksi”, ts. lyhin aikakäyrä.

On selvää, että lyhin polku pisteestä A pisteeseen B on segmentti AB. Tällaisella suoraviivaisella liikkeellä nopeus kuitenkin kasvaa hitaasti ja laskeutumiseen käytetty aika osoittautuu suureksi (kuva 3, b).

Mitä jyrkempi alamäki, sitä nopeammin nopeus kasvaa. Kuitenkin jyrkän laskun myötä polku kaaressa pitenee ja pidentää siten sen suorittamiseen kuluvaa aikaa.

Matemaatikkoja, jotka ratkaisivat tämän ongelman, olivat G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital ja J. Bernoulli. He osoittivat, että haluttu käyrä on käänteinen sykloidi (kuva 3, a). Näiden tutkijoiden kehittämät menetelmät brachistochrone-ongelman ratkaisemiseksi loivat perustan matematiikan uudelle suunnalle - variaatiolaskelmille.

Kiinteistö 2. (Kello, jossa on heiluri.) Tavallisella heilurilla varustettu kello ei voi käydä tarkasti, koska heilurin värähtelyjakso riippuu sen amplitudista: mitä suurempi amplitudi, sitä suurempi jakso. Hollantilainen tiedemies Christiaan Huygens (1629 – 1695) pohti, mitä kaarevuutta heilurin langassa olevan pallon tulisi seurata, jotta sen värähtelyjakso ei riipu amplitudista. Huomaa, että tavallisessa heilurissa pallo liikkuu käyränä ympyränä (kuva 4).

Etsimämme käyrä osoittautui käänteiseksi sykloidiksi. Jos esimerkiksi kaivataan käänteisen sykloidin muotoinen kaivanto ja pallo laukaistaan ​​sitä pitkin, niin pallon liikejakso painovoiman vaikutuksesta ei riipu sen alkuasennosta ja amplitudista (kuva 5). ). Tätä ominaisuutta varten sykloidia kutsutaan myös "tautokrooniksi" - yhtäläisiksi ajoiksi.

Huygens teki kaksi puista lankkua, joiden reunat olivat sykloidin muotoisia rajoittaen langan liikettä vasemmalla ja oikealla (kuva 6). Tässä tapauksessa itse pallo liikkuu käänteistä sykloidia pitkin ja siten sen värähtelyjakso ei riipu amplitudista.

Erityisesti tästä sykloidin ominaisuudesta seuraa, että riippumatta siitä, mistä kohdasta käänteisen sykloidin muodossa olevaa jääliukua aloitamme laskeutumisen, vietämme saman ajan aina loppupisteeseen asti.

Sykloidiyhtälö

1. On kätevää kirjoittaa sykloidiyhtälö muodossa α - ympyrän pyörimiskulma radiaaneina ilmaistuna; huomaa, että α on myös yhtä suuri kuin polku, jonka muodostava ympyrä kulkee suorassa linjassa.

x = rα– r synti α

y=r – r cos α

2. Otetaan vaakakoordinaattiakseli suoraksi viivaksi, jota pitkin säteen muodostava ympyrä pyörii r.

Sykloidi kuvataan parametriyhtälöillä

x = rt – r synti t,

y = r – r cos t.

Yhtälö:

Sykloidi voidaan saada ratkaisemalla differentiaaliyhtälö:

Sykloidin tarinasta

Ensimmäinen tutkija, joka kiinnitti huomiota sykloidiinV, mutta tämän käyrän vakava tutkimus alkoi vasta vuonna.

Ensimmäinen sykloidin tutkija oli Galileo Galilei (1564-1642), kuuluisa italialainen tähtitieteilijä, fyysikko ja kouluttaja. Hän keksi myös nimen "cycloid", joka tarkoittaa "muistuttaa ympyrää". Galileo itse ei kirjoittanut mitään sykloidista, mutta Galileon oppilaat ja seuraajat: Viviani, Toricelli ja muut mainitsevat hänen työnsä tähän suuntaan. Toricelli, kuuluisa fyysikko ja barometrin keksijä, omisti paljon aikaa matematiikalle. Renessanssin aikana ei ollut kapeita erikoistutkijoita. Lahjakas mies opiskeli filosofiaa, fysiikkaa ja matematiikkaa, ja kaikkialla hän sai mielenkiintoisia tuloksia ja teki suuria löytöjä. Hieman myöhemmin kuin italialaiset ranskalaiset ottivat sykloidin käyttöön ja kutsuivat sitä "ruletiksi" tai "trokoidiksi". Vuonna 1634 Roberval - kuuluisan vaakajärjestelmän keksijä - laski alueen, jota rajoittaa sykloidin kaari ja sen pohja. Galileon aikalainen suoritti mittavan sykloidin tutkimuksen. Joukossa , eli käyriä, joiden yhtälöä ei voida kirjoittaa muodossa x , y, sykloidi on ensimmäinen tutkituista.

Kirjoitti sykloidista:

Ruletti on niin yleinen viiva, että suoran ja ympyrän jälkeen ei ole linjaa, jota tavataan useammin; se hahmotellaan niin usein kaikkien silmien edessä, että täytyy ihmetellä, etteivät muinaiset ihmiset ottaneet sitä huomioon... sillä se ei ole muuta kuin polku, jota kuvataan ilmassa pyörän naulalla.

Uusi käyrä saavutti nopeasti suosion ja siihen tehtiin syvällinen analyysi, joka sisälsi, , Newton,, Bernoullin veljekset ja muut 1600- ja 1700-luvun tieteen huipputekijät. Sykloidilla hiottiin aktiivisesti noina vuosina ilmestyneitä menetelmiä. Se tosiasia, että sykloidin analyyttinen tutkimus osoittautui yhtä menestyksekkääksi kuin algebrallisten käyrien analyysi, teki suuren vaikutuksen ja siitä tuli tärkeä argumentti algebrallisten ja transsendenttisten käyrien "yhdenvertaisten oikeuksien" puolesta. Episykloidi

Jotkut sykloidityypit

Episykloidi - pisteen A lentorata, joka sijaitsee halkaisijaltaan D ympyrällä, joka pyörii liukumatta säteellä R olevaa ohjausympyrää pitkin (ulkoinen kosketus).

Episykloidin rakentaminen suoritetaan seuraavassa järjestyksessä:

Piirrä kohdasta 0 apukaari, jonka säde on 000=R+r;

Piirrä pisteistä 01, 02, ... 012 kuten keskuksista ympyröitä, joiden säde on r, kunnes ne leikkaavat apukaarien pisteissä A1, A2, ... A12, jotka kuuluvat episykloidiin.

Hyposykloidi

Hyposykloidi on halkaisijaltaan D ympyrän päällä olevan pisteen A liikerata, joka pyörii liukumatta säteellä R (sisäinen tangentti) olevaa ohjausympyrää pitkin.

Hyposykloidin rakentaminen suoritetaan seuraavassa järjestyksessä:

Säteen r generoiva ympyrä ja säteen R suuntaava ympyrä piirretään siten, että ne koskettavat pistettä A;

Muodostava ympyrä jaetaan 12 yhtä suureen osaan, saadaan pisteet 1, 2, ... 12;

Piirrä keskustasta 0 apukaari, jonka säde on 000=R-r;

Keskikulma a määritetään kaavalla a =360r/R.

Jaa kulman a rajoittama ohjausympyrän kaari 12 yhtä suureen osaan, jolloin saadaan pisteet 11, 21, ...121;

Keskipisteestä 0 vedetään suoria kohtien 11, 21, ...121 kautta, kunnes ne leikkaavat apukaarin pisteissä 01, 02, ...012;

Keskuksesta 0 piirretään apukaarit muodostavan ympyrän jakopisteiden 1, 2, ... 12 kautta;

Piirrä pisteistä 01, 02, ...012, kuten keskipisteistä, ympyröitä, joiden säde on r, kunnes ne leikkaavat apukaarien pisteissä A1, A2, ... A12, jotka kuuluvat hyposykloidiin.

1. Kardioidi.

Kardioidi ( καρδία - sydän, Kardioidi on erikoistapaus. Termin "kardioidi" otti käyttöön Castillon vuonna 1741.

Jos otamme ympyrän ja sen pisteen napaksi, saamme kardioidin vain, jos piirrämme janat, jotka ovat yhtä suuria kuin ympyrän halkaisija. Muun kokoisten kerrostuneiden segmenttien tapauksessa conchoidit ovat pitkänomaisia ​​tai lyhennettyjä sydänlihaksia. Näitä pitkänomaisia ​​ja lyhennettyjä sydänlihaksia kutsutaan muuten Pascalin simpukoiksi.

Cardioidilla on useita sovelluksia teknologiassa. Kardioidimuotoja käytetään autojen epäkeskittymien ja nokkien valmistukseen. Sitä käytetään joskus hammaspyörien piirtämiseen. Lisäksi sitä käytetään optisessa tekniikassa.

Kardioidin ominaisuudet

Kardioidi -Liikkuvalla ympyrällä B M kuvaa suljettua lentorataa. Tätä tasaista käyrää kutsutaan kardioidiksi.

2) Kardioidi voidaan saada toisella tavalla. Merkitse piste ympyrään NOIN ja piirretään siitä säde. Jos pisteestä A tämän säteen ja ympyrän leikkaus, piirrä jana OLEN, pituus yhtä suuri kuin ympyrän halkaisija, ja säde pyörii pisteen ympäri NOIN, sitten osoita M liikkuu kardioidia pitkin.

3) Kardioidi voidaan esittää myös käyrän tangenttina kaikille ympyröille, joiden keskipiste on tietyllä ympyrällä ja jotka kulkevat sen kiinteän pisteen kautta. Kun muodostetaan useita ympyröitä, kardioidi näyttää muodostuvan ikään kuin itsestään.

4) On myös yhtä tyylikäs ja odottamaton tapa nähdä kardioidi. Kuvassa näet pistevalonlähteen ympyrässä. Kun valonsäteet ovat heijastuneet ensimmäistä kertaa ympyrästä, ne kulkevat tangenttia kardioidille. Kuvittele nyt, että ympyrä on kupin reunoja; kirkas hehkulamppu heijastuu yhdessä pisteessä. Musta kahvi kaadetaan kuppiin, jolloin näet kirkkaat heijastuneet säteet. Tämän seurauksena kardioidi korostuu valonsäteillä.

1. Astroid.

Astroid (kreikan sanasta astron - tähti ja eidos - näkymä), litteä käyrä, jota kuvaa ympyrän piste, joka koskettaa sisältä nelinkertaisen säteen kiinteää ympyrää ja vierii sitä pitkin liukumatta. Kuuluu hyposykloideihin. Astroid on kuudennen asteen algebrallinen käyrä.

Astroid.

Koko astroidin pituus on yhtä suuri kuin kiinteän ympyrän kuusi sädettä, ja sen rajoittama alue on kolme kahdeksasosaa kiinteästä ympyrästä.

Astroidin tangenttisegmentti, joka on astroidin kärkiin piirretyn kiinteän ympyrän kahden keskenään kohtisuoran säteen välissä, on yhtä suuri kuin kiinteän ympyrän säde, riippumatta siitä, miten piste on valittu.

Astroidin ominaisuudet

Niitä on neljäkaspa .

Kaaren pituus pisteestä 0 verhokäyrään

vakiopituisten segmenttien perheet, joiden päät sijaitsevat kahdella keskenään kohtisuoralla suoralla.

Astroid on kuudes kertaluokka.

Astroid-yhtälöt

Yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:| x | 2/3 + | y | 2/3 = R 2/3parametrinen yhtälö:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Menetelmä astroidin rakentamiseen

Piirrämme kaksi keskenään kohtisuoraa suoraa ja piirrämme sarjan pituussegmenttejäR , jonka päät ovat näillä viivoilla. Kuvassa on 12 tällaista segmenttiä (mukaan lukien itse keskenään kohtisuorassa olevien suorien segmentit). Mitä enemmän segmenttejä piirrämme, sitä tarkemman käyrän saamme. Muodostetaan nyt kaikkien näiden segmenttien verhokäyrä. Tämä kirjekuori on astroidi.

1. Johtopäätös

Työ tarjoaa esimerkkejä ongelmista erityyppisillä käyrillä, jotka on määritelty eri yhtälöillä tai jotka täyttävät jonkin matemaattisen ehdon. Erityisesti sykloidikäyrät, niiden määrittelymenetelmät, erilaiset rakennusmenetelmät, näiden käyrien ominaisuudet.

Sykloidisten käyrien ominaisuuksia käytetään hyvin usein hammaspyörien mekaniikassa, mikä lisää merkittävästi mekanismien osien lujuutta.