Tiivistelmä luennoista aiheesta "Satunnaisprosessien teoria"

AIHE 1. SATUNNAISPROSESSIEN TEORIAN PERUSKÄSITTEET 2
1.1. Satunnaisen prosessin määritelmä. Peruslähestymistapoja satunnaisten prosessien tehtävään. Toteutuksen ja jakson käsite. Elementaariset satunnaiset prosessit. 2
1.2. Jotkut satunnaisten prosessien luokat ja tyypit 3
AIHE 2. SATUNNAISPROSESSIEN KORRELAATIOTEORIAN ELEMENTIT 4
2.1. Satunnaisprosessien korrelaatioteorian käsite 4
2.2. Satunnaisprosessin matemaattinen odotus ja varianssi. Keskihajonta 5
2.3. Satunnaisprosessin ja sen ominaisuuksien korrelaatiofunktio. Normalisoitu korrelaatiofunktio 5
2.4. Kahden satunnaisen prosessin ristikorrelaatiofunktio ja normalisoitu ristikorrelaatiofunktio 6
2.5 Kahden satunnaismuuttujan summan todennäköisyysominaisuudet 6
AIHE 3. SATUNNAISANALYYSI ELEMENTIT 7
3.1. Lähentyminen ja jatkuvuus 7
3.2. Johdannainen satunnaisesta prosessista ja sen ominaisuuksista 8
3.3. Satunnaisprosessin integraali ja sen ominaisuudet 9
AIHE 4. SATUNNAISPROSESSIEN KANONISET LAAJENNUKSET 10
4.1. Satunnaisprosessin kanonisen hajotuksen käsite 10
4.2. Yleisen funktion käsite. Dirac delta -toiminto. Satunnaisprosessien integraalinen kanoninen esitys. yksitoista
4.3. Satunnaisprosessien lineaariset ja epälineaariset muunnokset 12
LUKU 5. KIINTEÄT SATUNNAISPROSESSIT 14
5.1. Kiinteän satunnaisprosessin käsite. Stationaarisuus suppeassa ja laajassa merkityksessä 14
5.2 Kiinteän satunnaisprosessin todennäköisyysominaisuuksien ominaisuudet 15
5.3. Kiinteät kytketyt satunnaiset prosessit. Kiinteän satunnaisprosessin derivaatta ja integraali 15
5.4. Ergodiset stationaariset satunnaisprosessit ja niiden ominaisuudet 16
5.5. Tapahtumastreamit 17
AIHE 6. MARKOV-KETJUT 19
6.1. Markovin ketjut. 19

AIHE 1. SATUNNAISPROSESSIEN TEORIAN PERUSKÄSITTEET

1.1. Satunnaisen prosessin määritelmä. Peruslähestymistapoja satunnaisten prosessien tehtävään. Toteutuksen ja jakson käsite. Elementaariset satunnaiset prosessit.

Satunnainen (stokastinen, todennäköisyys) prosessi on reaalimuuttujan t funktio, jonka arvot ovat vastaavat satunnaismuuttujat X(t).
Satunnaisprosessien teoriassa t:tä käsitellään aikana, joka ottaa arvot jostakin reaalilukujoukon T osajoukosta (t T, T R).
Klassisen matemaattisen analyysin puitteissa funktio y=f(t) ymmärretään sellaisena muuttujien t ja y riippuvuuden tyyppiseksi, kun argumentin t tietty numeerinen arvo vastaa funktion y ainoaa numeerista arvoa. . Satunnaisprosesseilla tilanne on pohjimmiltaan erilainen: tietyn argumentin t asettaminen johtaa satunnaismuuttujan X(t) ilmestymiseen tunnetulla jakautumislakilla (jos se on diskreetti satunnaismuuttuja) tai tietyllä jakautumistiheydellä (jos se on on jatkuva satunnaismuuttuja). Toisin sanoen tutkittava ominaisuus kullakin ajanhetkellä on satunnainen ja ei-satunnaisjakauma.
Arvot, jotka tavallinen funktio y=f(t) ottaa kullakin hetkellä, määräävät täysin tämän funktion rakenteen ja ominaisuudet. Satunnaisten prosessien kohdalla tilanne on toinen: tässä ei todellakaan riitä, että tiedetään satunnaismuuttujan X(t) jakauma kullekin t:n arvolle, vaan tarvitaan tietoa odotetuista muutoksista ja niiden todennäköisyyksistä, eli tietoa satunnaisen prosessin tulevan arvon riippuvuusaste sen historiasta.

Yleisin tapa kuvata satunnaisia ​​prosesseja on asettaa kaikki sen monimuuttujajakaumat, kun määritetään seuraavien tapahtumien todennäköisyys tapahtua samanaikaisesti:

T1, t2,…,tn T, nN: X(ti)≤xi; i = 1,2,…,n;

F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).

Tämä tapa kuvata satunnaisia ​​prosesseja on universaali, mutta erittäin hankala. Merkittävien tulosten saamiseksi erotetaan tärkeimmät erikoistapaukset, jotka mahdollistavat kehittyneemmän analyyttisen laitteen käytön. Erityisesti on tarkoituksenmukaista tarkastella satunnaisprosessia X(t, ω) kahden muuttujan funktiona: t T, ω Ω, josta tulee mille tahansa t T:n kiinteälle arvolle satunnaismuuttuja, joka on määritelty todennäköisyysavaruudessa (Ω, A, P), jossa Ω - ei-tyhjä alkeistapahtumien joukko ω; A on joukon Ω osajoukkojen σ-algebra, eli tapahtumien joukko; P on A:lla määritelty todennäköisyysmitta.

Ei-satunnaista numeerista funktiota x(t)=X(t,ω0) kutsutaan satunnaisprosessin X(t, ω) realisaatioksi (rata).
Satunnaisprosessin poikkileikkaus X(t, ω) on satunnaismuuttuja, joka vastaa arvoa t=t0.

Jos argumentti t ottaa kaikki todelliset arvot tai kaikki arvot jostain reaaliakselin väliltä T, puhutaan satunnaisesta prosessista, jolla on jatkuva aika. Jos t ottaa vain kiinteitä arvoja, puhutaan satunnaisesta prosessista, jolla on diskreetti aika.
Jos satunnaisprosessin poikkileikkaus on diskreetti satunnaismuuttuja, niin tällaista prosessia kutsutaan prosessiksi, jossa on diskreetit tilat. Jos jokin osa on jatkuva satunnaismuuttuja, niin satunnaisprosessia kutsutaan prosessiksi, jolla on jatkuvat tilat.
Yleisessä tapauksessa on analyyttisesti mahdotonta määritellä satunnaista prosessia. Poikkeuksena ovat ns. alkeissatunnaisprosessit, joiden muoto tunnetaan ja satunnaismuuttujat ovat mukana parametreina:
X(t)=X(t,A1,…,An), missä Ai, i=1,…,n ovat mielivaltaisia ​​satunnaismuuttujia, joilla on tietty jakauma.

1.2. Jotkut satunnaisten prosessien luokat ja tyypit

1.1.1. Gaussin stokastiset prosessit

Satunnaisprosessia X(t) kutsutaan Gaussiseksi, jos kaikki sen äärellisulotteiset jakaumat ovat normaaleja, ts.
t1, t2,…,tn T
satunnainen vektori
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
sillä on seuraava jakautumistiheys:

missä ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
-algebrallinen komplementti сij.

1.1.2. Satunnaiset prosessit riippumattomilla lisäyksillä

Satunnaista prosessia X(t) kutsutaan prosessiksi, jossa on itsenäiset lisäykset, jos sen lisäykset ei-päällekkäisillä aikaväleillä eivät riipu toisistaan:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
satunnaismuuttujia
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
riippumaton.

1.1.3. Satunnaiset prosessit korreloimattomilla lisäyksillä

Satunnaista prosessia X(t) kutsutaan prosessiksi, jossa on korreloimattomia lisäyksiä, jos seuraavat ehdot täyttyvät:
1) t T: МX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.

1.1.4. Kiinteät stokastiset prosessit (katso luku 5)

1.1.5. Markovin stokastiset prosessit

Rajoitumme Markovin satunnaisen prosessin määritelmään diskreetin tilan ja diskreetin ajan kanssa (Markov-ketju).

Olkoon järjestelmä A jossakin yhteensopimattomista tiloista A1; A2;…;An ja samalla todennäköisyys Рij(s), että järjestelmä siirtyy s:nnessä testissä tilasta tilaan Aj ei riipu järjestelmän tilasta s-1:tä edeltävissä testeissä . Tämän tyyppistä satunnaista prosessia kutsutaan Markovin ketjuksi.

1.1.6. Poissonin satunnaiset prosessit

Satunnaisprosessia X(t) kutsutaan Poisson-prosessiksi parametrilla a (a>0), jos sillä on seuraavat ominaisuudet:
1) t T; T= kutsutaan rajaksi rms kohdassa λ→0 (n→0)

Integraalisummat missä si (ti; ti+1); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.

Lause 4. Satunnaisprosessin integraalin matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin sen matemaattisen odotuksen integraali: , .
Lause 5. Satunnaisprosessin X(t) integraalin korrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin sen korrelaatiofunktion kaksoisintegraali: .
Lause 6. Satunnaisprosessin X(t) ja sen integraalin keskinäinen korrelaatiofunktio on yhtä suuri kuin satunnaisprosessin X(t) korrelaatiofunktion integraali:

AIHE 4. SATUNNAISPROSESSIEN KANONINEN LAAJENTAMINEN

4.1. Satunnaisprosessin kanonisen hajotuksen käsite

Satunnaismuuttujaa V kutsutaan keskitetyksi, jos sen matemaattinen odotusarvo on 0. Alkeiskeskitetty satunnaisprosessi on keskitetyn satunnaismuuttujan V ja ei-satunnaisfunktion φ(t) tulo: X(t)=V φ(t) ). Alkeiskeskitetyllä satunnaisprosessilla on seuraavat ominaisuudet:

Muodon lauseke, jossa φk(t), k=1;2;…-ei-satunnaisfunktiot; , k=1;2;… - korreloimattomia keskitettyjä satunnaismuuttujia kutsutaan satunnaisprosessin X(t) kanoniseksi laajennukseksi, kun taas satunnaismuuttujia kutsutaan kanonisen laajennuksen kertoimiksi; ja ei-satunnaiset funktiot φk(t) - kanonisen laajennuksen koordinaattifunktiot.

Harkitse satunnaisen prosessin ominaisuuksia

Ehdoista lähtien

Ilmeisesti samalla satunnaisprosessilla on erilaisia ​​kanonisia laajennuksia riippuen koordinaattifunktioiden valinnasta. Lisäksi, vaikka koordinaattifunktioiden valinta on tapahtunut, sattuu satunnaismuuttujien Vк jakaumassa mielivaltaisuutta. Käytännössä kokeiden tulosten perusteella saadaan estimaatit matemaattiselle odotukselle ja korrelaatiofunktiolle: . Laajennuksen jälkeen kaksinkertaiseksi Fourier-sarjaksi koordinaattifunktioiden φк(t) suhteen:

Hanki satunnaismuuttujien Vk dispersioiden arvot.
4.2. Yleisen funktion käsite. Dirac delta -toiminto. Satunnaisprosessien integraalinen kanoninen esitys.

Yleistetty funktio on jatkuvien funktioiden yhden parametrin perheen sarjan raja.
Diracin deltafunktio on yleistetty funktio, joka on seurausta siirtymisestä funktioperheen rajaan at

-funktion ominaisuuksista huomaamme seuraavat:
1.
2.
3. Jos f(t) on jatkuva funktio, niin

Satunnaisprosessia X(t), jonka korrelaatiofunktio on muotoa, kutsutaan ei-stationaariseksi "valkoiseksi kohinaksi". Jos W(t1)=W - const, niin Х(t)-stationaarinen "valkoinen kohina".

Kuten määritelmästä seuraa, kaksi, edes mielivaltaisen lähellä olevaa "valkoisen kohinan" osaa ei korreloi. Lauseketta W(t) kutsutaan "valkoisen kohinan" intensiteetiksi.

Satunnaisprosessin X(t) integraalinen kanoninen esitys on muotoa jossa on satunnaiskeskitetty funktio; - jatkuvien argumenttien ei-satunnainen funktio

Tällaisen satunnaisen prosessin korrelaatiofunktiolla on muoto:
.
Voidaan osoittaa, että on olemassa ei-satunnainen funktio G(λ), jolloin

jossa G(λ1) on dispersion tiheys; δ(x) - Dirac-deltafunktio. Saamme
Siksi satunnaisprosessin X(t) varianssi:
.

4.3. Stokastisten prosessien lineaariset ja epälineaariset muunnokset

Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: järjestelmän (laitteen, muuntimen) S tuloon syötetään "tulosignaali", jolla on satunnaisen prosessin X(t) luonne. Järjestelmä muuntaa sen "lähtösignaaliksi" Y(t):
.
Muodollisesti satunnaisprosessin X(t) muunnos Y(t):ksi voidaan kuvata ns. järjestelmäoperaattorilla Аt:
Y(t) = At(X(t)).
Indeksi t osoittaa, että tämä operaattori suorittaa muunnoksen ajassa. Seuraavat satunnaisen prosessin muunnosongelman muotoilut ovat mahdollisia.
1. Jakaumalait tai satunnaisprosessin X(t) yleiset ominaisuudet järjestelmän S tulossa tunnetaan, järjestelmän S operaattori Аt on annettu, vaaditaan jakautumislaki tai järjestelmän yleiset ominaisuudet. satunnainen prosessi Y(t) järjestelmän S lähdössä.
2. Satunnaisprosessin X(t) jakauman lait (yleiset ominaisuudet) ja satunnaisprosessin Y(t) vaatimukset tunnetaan; on tarpeen määrittää järjestelmän S operaattorin Аt muoto, joka parhaiten täyttää Y(t) annetut vaatimukset.
3. Satunnaisprosessin Y(t) jakauman lait (yleiset ominaisuudet) tunnetaan ja järjestelmän S operaattori Аt on annettu; on määritettävä satunnaisprosessin X(t) jakauman lait tai yleiset ominaisuudet.
Seuraava järjestelmän S operaattorien luokitus Аt hyväksytään:

Järjestelmäoperaattorit

Lineaarinen L Epälineaarinen N

Lineaarinen homogeeninen L0 Lineaarinen epähomogeeninen Lн

1. Harkitse lineaarisen epähomogeenisen järjestelmän vaikutusta
Ln(...)=L0(…)+φ(t)
satunnaisessa prosessissa X(t), jolla on seuraava kanoninen laajennus:
.
Saamme:

Otetaan käyttöön merkintä

Sitten Y(t):n kanoninen hajotelma saa muodon:
.
Satunnaisprosessin Y(t) matemaattinen odotus:

Satunnaisprosessin Y(t) korrelaatiofunktio:

Näin ollen
.
Toisaalta

Satunnaisprosessin dispersio Y(t):

Tämän osan lopuksi todetaan, että satunnaisprosessien differentiaatio- ja integrointioperaattorit ovat lineaarisesti homogeenisia.
2. Tarkastellaan toisen asteen muunnosa:
Y(t)=(X(t))2,
Vk-keskeiset satunnaismuuttujat, joiden jakauma on symmetrinen nollan ympärillä; kaikki neljä heistä ovat kollektiivisesti riippumattomia. Sitten

Esittelemme ei-satunnaisia ​​toimintoja

Ja satunnaismuuttujia

Sitten satunnaisprosessi Y(t) saa muodon

Satunnaisprosessin Y(t) kanoninen hajotus saadaan. Korrelaatiofunktio Y(t):

Dispersio:

LUKU 5. KIINTEÄT SATUNNAISPROSESSIT

5.1. Kiinteän satunnaisprosessin käsite. Stationaarisuus suppeassa ja laajassa merkityksessä

Stationaarinen (ajassa homogeeninen) on satunnainen prosessi, jonka tilastolliset ominaisuudet eivät muutu ajan kuluessa, eli ne ovat muuttumattomia aikasiirtymien suhteen.
Erottele satunnaiset prosessit kiinteässä laajassa ja suppeassa merkityksessä.

Stacionaarinen satunnaisprosessi suppeassa merkityksessä on satunnaisprosessi X(t), jonka kaikki todennäköisyysominaisuudet eivät muutu ajan myötä, eli siten, että ehto
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn), ja siten kaikki n-ulotteisia jakaumat eivät riipu aikapisteistä t1; t2;… ;tn, mutta aikavälien τi kestolla:

Erityisesti yksiulotteinen jakautumistiheys ei riipu ajasta t ollenkaan:

Kaksiulotteinen leikkaustiheys ajankohtina t1 ja t2

Leikkausten N-ulotteinen tiheys hetkellä t1; t2...; tn:

Satunnaista prosessia X(t) kutsutaan laajassa merkityksessä stationääriseksi, jos sen ensimmäisen ja toisen kertaluvun momentit ovat invariantteja aikasiirtymän suhteen, eli sen matemaattinen odotus ei riipu ajasta t ja on vakio, ja korrelaatiofunktio riippuu vain osien välisen aikavälin pituudesta:
On selvää, että stationäärinen satunnaisprosessi suppeassa merkityksessä on stationäärinen satunnaisprosessi myös laajassa merkityksessä; päinvastoin ei pidä paikkaansa.

5.2 Kiinteän satunnaisprosessin todennäköisyysominaisuuksien ominaisuudet
1.

3. Stationaarisen satunnaisprosessin korrelaatiofunktio on parillinen:

4. Stationaarisen satunnaisprosessin varianssi on vakio, joka on yhtä suuri kuin
sen korrelaatiofunktion arvo pisteessä:

5.
6. Stationaarisen satunnaisprosessin korrelaatiofunktio on
positiivinen definite, eli

Stationaarisen satunnaisprosessin normalisoitu korrelaatiofunktio on myös parillinen, positiivinen määrätty, ja lisäksi

5.3. Kiinteät kytketyt satunnaiset prosessit. Kiinteän satunnaisprosessin derivaatta ja integraali

Satunnaisprosesseja X(t) ja Y(t) kutsutaan stationaarisiksi, jos niiden keskinäinen korrelaatiofunktio riippuu vain argumenttien erotuksesta τ =t2-t1: RXY(t1;t2)=rXY(τ).

Itse satunnaisprosessien X(t) ja Y(t) stationaarisuus ei tarkoita niiden stationaarista yhteyttä.
Huomioimme stationaaristen satunnaisprosessien pääominaisuudet, stationaaristen satunnaisprosessien derivaatan ja integraalin,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
missä
5) missä
6) ;

5.4. Ergodiset kiinteät stokastiset prosessit ja niiden ominaisuudet

Stationaaristen satunnaisprosessien joukossa on erityinen luokka ergodisia prosesseja, joilla on seuraava ominaisuus: niiden ominaisuudet, jotka on saatu laskemalla keskiarvo kaikkien realisaatioiden joukosta, ovat yhtäpitäviä vastaavien ominaisuuksien kanssa, jotka on saatu keskiarvottamalla ajan kuluessa yksi välillä (0, T) riittävän pitkäkestoinen. Toisin sanoen riittävän suurella aikavälillä mikä tahansa toteutus kulkee minkä tahansa tilan läpi riippumatta siitä, mikä järjestelmän alkutila oli t=0; ja tässä mielessä mikä tahansa toteutus edustaa täysin oivallusten kokonaisuutta.

Ergodinen Birkhoff-Khinchin lause
Jokaiselle stationääriselle satunnaisprosessille suppeassa merkityksessä X(t), jolla on äärellinen matemaattinen odotus todennäköisyydellä 1, on raja
jatkuvalla SSP:llä,
SSP:lle diskreetillä ajalla.
Jos lisäksi X(t) on ergodinen stationaarinen satunnaisprosessi, niin
Lauseen ehdossa satunnaisprosessin X(t) ehdollinen matemaattinen odotus Jx:n suhteen; Jx on X(t:n) suhteen invarianttien tapahtumien -algebra; tapahtuman A sanotaan olevan invariantti X(t):n alla, jos B on sellainen, että A=(ω: X(ω,t) B).

Riittävät olosuhteet ergodisuudelle
Lause 1. Stationaari satunnaisprosessi X(t) on ergodinen suhteessa
matemaattinen odotus, jos sen korrelaatiofunktio
pyrkii nollaan τ→∞;
jossa: .

Lause 2. Stationaari satunnaisprosessi X(t) on ergodinen suhteessa
dispersio, jos kiinteän satunnaisen korrelaatiofunktio
teeprosessi Y(t)=X2(t) pyrkii nollaan τ→∞;
jossa:

Lause 3. Stationaari satunnaisprosessi X(t) on ergodinen suhteessa
korrelaatiofunktio jos pyrkii nollaan τ→∞ kor-
kiinteän satunnaisprosessin relaatiofunktio
Z(t, τ)=;
jossa:

Käytännön laskelmissa väli (0; T) jaetaan n yhtä suureen osaan, joista jokaiseen valitaan piste ti (esimerkiksi keskimmäinen). Jos rajoitamme itsemme suorakulmioiden kaavaan, saamme

5.5. Tapahtumavirrat
Tapahtumavirta on tapahtumasarja, joka tapahtuu satunnaisella ajanhetkellä.

Tapahtumastriimin ominaisuudet:
1) Kiinteä virtaus.
Virtaa kutsutaan stationaariseksi, jos m tapahtuman todennäköisyys millä tahansa aikavälillä τ riippuu vain tapahtumien m määrästä ja välin τ pituudesta, eikä se riipu ajasta, jolloin tämä aikaväli alkoi.
2) Ei jälkivaikutuksia.
Tapahtumien virralla sanotaan olevan ominaisuus, jossa ei ole jälkivaikutusta, jos m tapahtuman todennäköisyys millä tahansa ajanjaksolla ei riipu siitä, esiintyivätkö tapahtumat tätä ajanjaksoa välittömästi edeltävinä hetkinä vai eivät.
Säikeen historia ei vaikuta tapahtumien esiintymiseen lähitulevaisuudessa. Jos virtauksella ei ole jälkivaikutusta, niin tapahtumien esiintymisen satunnaismuuttujat ei-leikkausväleillä ovat toisistaan ​​riippumattomia.
3) Tavallisuus.
Virralla sanotaan olevan ominaisuus olla tavallinen, jos vain yksi tapahtuma voi tapahtua äärettömän pienellä aikavälillä, ts. kahden tai useamman tapahtuman esiintyminen lyhyessä ajassa on käytännössä mahdotonta.
4) Poisson-virtaus
Jos virtauksella on samanaikaisesti stationaarisuuden, jälkivaikutuksen puuttumisen ja tavanomaisuuden ominaisuuksia, sitä kutsutaan yksinkertaisimmaksi (Poisson) virtaukseksi.

Lause. Jos virtaus on summa suuresta määrästä riippumattomia kiinteitä virtauksia, joista jokaisen vaikutus on mitätön, niin kokonaisvirtaus, mikäli se on tavallinen, on lähellä yksinkertaisinta.
Virtauksen intensiteetti - on tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti.
Jos virtauksen intensiteetti on vakio, m tapahtuman esiintymistodennäköisyys ajanjaksoille, joiden kesto on τ, lasketaan Poissonin kaavalla.
– Poisson-virtaus.
Yksinkertaisen lennätinaallon ongelma.
On jokin laite, johon signaali kohdistetaan. Nämä signaalit muodostavat yksinkertaisimman virtauksen.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
Tutki SP X(t) ominaisuuksia, joka ottaa arvot ±a mielivaltaisina aikoina. Diskreetti SP jatkuvalla ajalla. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2)a2-a2
P P parillinen P pariton
Olkoon t1< t2 => τ > 0

Näin ollen lennätinaalto on ergodinen SCS.
Perustelu - Seuraavien ominaisuuksien on oltava voimassa
1) Stationaarisuus - ei riippuvuutta aikavälin valinnasta.
2) Jälkivaikutuksen puuttuminen - ajan hetket eivät näy kaavassa.
3) Tavallisuus
Useamman kuin yhden tapahtuman todennäköisyys
Ensimmäisen tapahtuman todennäköisyys
Yli 2 tapahtuman todennäköisyys
kanssa =>
pienille τ:lle on taipumus nolla nopeudella, joka on vähintään neliö.

AIHE 6. MARKOV-KETJUT

6.1. Markovin ketjut.

Markovin ketju on tapahtumasarja, jossa jokaisessa esiintyy vain yksi yhteensopimattomista tapahtumista A1,A2…Ak, kun taas ehdollinen todennäköisyys pij(t) s:nnessä testissä on tapahtuma Ai ja ehto, että s-1-testi, että tapahtuma Aj e tapahtui, riippuu aikaisempien tapahtumien tuloksesta.
Diskreettiaikainen Markov-ketju on ketju, jonka tilat muuttuvat tiettyinä aikoina.
Jatkuva aika Markov-ketju on ketju, jonka tilamuutoksia tapahtuu mielivaltaisella ajanhetkellä.
Markovin ketjua kutsutaan homogeeniseksi, jos ehdollinen todennäköisyys pij(t) siirtymiselle tilaan Ai:sta Aj:hen ei riipu koenumerosta, s:llä.
Todennäköisyyksiä, että järjestelmä siirtyy Ai:sta Aj:hin testin tuloksena, kutsutaan homogeenisen Markov-ketjun siirtymistodennäköisyyksiksi.
Siirtymistodennäköisyydet muodostavat matriisin siirtymätodennäköisyyksistä i=1;…;k
Markovin tasa-arvo
Pij(n) on järjestelmän siirtymän todennäköisyys tilasta Ai tilaan Aj n kokeessa

Seuraukset
1) n = 2; m = 1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n = 3; m = 2
; P3 = P3
3) Pn = P12.

1. Satunnaisfunktion käsite, stokastiset prosessit

Monia ilmiöitä tutkittaessa joutuu systemaattisesti käsittelemään satunnaismuuttujia, jotka muuttuvat testausprosessissa tietyn ajan. Olemme jo tavanneet esimerkkejä tällaisista ilmiöistä luvuissa 6.2. ja 9.2. Poisson-jakelulain yhteydessä.

Esimerkkejä sellaisista r.v. ovat: radioaktiivisen aineen hajoaminen kemiallisessa reaktiossa, signaali radiovastaanottimen lähdössä häiriön vaikutuksesta, jalkapallo-ottelun lippujonon pituus, hintavaihtelut välttämättömien tavaroiden kauppajärjestelmässä, opiskelijoiden työmäärä lukukauden aikana, hiukkasten liikerata Brownin liikkeessä, hakijoiden luokitus vaaliprosesseissa, puhelinkeskukseen tulevien puheluiden määrä jne.

Sellaisia ​​satunnaismuuttujia, jotka muuttuvat kokemusprosessissa (havainnointi, testaus) kutsutaan satunnaisia ​​prosesseja (satunnainen toimintoja). Tällä hetkellä useat tekniikan ja tieteen alat (fysikaaliset tilastot, diffuusioprosessi, kemialliset reaktioprosessit jne.) ovat aiheuttaneet todennäköisyysteorialle uusia ongelmia, jotka eivät sovi klassisen todennäköisyysteorian puitteisiin. Tuolloin monet ihmisen toiminnan alat olivat kiinnostuneita prosessien eli ajassa tapahtuvien ilmiöiden tutkimisesta. He vaativat todennäköisyysteorian tieteeltä yleisen teorian kehittämistä niin sanotuista satunnaisprosesseista. Toisin sanoen sellaisen teorian kehittäminen, joka tutkisi satunnaismuuttujia, jotka riippuvat yhdestä tai useammasta jatkuvasti muuttuvasta aikaparametrista. Annetaan esimerkkejä tällaisista ongelmista, jotka havainnollistavat satunnaisprosessien teorian rakentamisen tarpeellisuutta.

Kuvittele, että haluamme seurata kaasun tai nesteen molekyylin liikettä. Tämä molekyyli törmää satunnaisesti muihin molekyyleihin ja muuttaa nopeuttaan ja sijaintiaan. Ilmeisesti molekyylin tila on alttiina satunnaisille muutoksille kullakin hetkellä. Monet luonnonilmiöt vaativat tutkimuksessaan kykyä laskea todennäköisyyksiä, että tietty määrä ilmiöitä (molekyylit, hinnanmuutokset, radiosignaalien saapuminen jne.) muuttaa paikkaa. Kaikkiin näihin ja moniin muihin kysymyksiin vastaa satunnaisten prosessien tilastollinen teoria tai, kuten sitä yleisesti kutsutaan " stokastisten prosessien teoria ». Ilmeisesti samanlaisia ​​ongelmia syntyy fysiikassa, kemiassa, tähtitiedessä, taloustieteessä, genetiikassa jne. Esimerkiksi kemiallisen reaktion prosessia tutkittaessa herää oikeutettu kysymys:

Mikä osa molekyylistä on jo reagoinut?

Miten tämä reaktio tapahtuu ajan myötä?

Milloin reaktio on melkein ohi?

Suuri osa ilmiöistä etenee radioaktiivisen hajoamisen periaatteen mukaisesti. Tämän ilmiön ydin on, että radioaktiivisen aineen atomit hajoavat välittömästi muuttuen toisen kemiallisen alkuaineen atomeiksi. Jokaisen atomin hajoaminen tapahtuu nopeasti ja suurella nopeudella ajassa, kuten räjähdys, jossa vapautuu tietty määrä energiaa. Useat havainnot osoittavat pääsääntöisesti, että eri atomien hajoaminen tapahtuu tarkkailijalle satunnaisina aikoina. Tässä tapauksessa näiden ajanhetkien sijainti ei todennäköisyysteorian mielessä riipu toisistaan. Radioaktiivisen hajoamisprosessin tutkimiseksi on olennaista määrittää, mikä on todennäköisyys, että tietty määrä atomeja hajoaa tietyssä ajassa? Muodollisesti, jos pyytää vain selventämään tällaisten ilmiöiden matemaattista kuvaa, voidaan löytää yksinkertainen ratkaisu sellaisiin matemaattisiin ongelmiin, joihin tällaiset ilmiöt johtavat.

Kuvataanpa lyhyesti, kuinka hiukkasten suorassa vaeltamisen ongelman tarkastelun perusteella tiedemiehet Planck ja Fokker saivat diffuusioteorian differentiaaliyhtälön.

Olkoon hiukkanen ajanhetkellä pisteessä
, hetkittäin
kokee satunnaisia ​​iskuja, joiden seurauksena se liikkuu joka kerta todennäköisyydellä määrän mukaan oikealle ja todennäköisyydellä
myös määrällä vasemmalle.

Merkitse
todennäköisyys, että hiukkanen seurauksena iskuja ilmestyy silloin
raskaana (on selvää, että parilliselle määrälle iskuja arvo voi olla vain parillinen määrä vaiheita , ja milloin pariton - vain pariton määrä vaiheita . Jos läpi
merkitsee oikealla olevan hiukkasen askelmien lukumäärää (siis

on askelmäärä, jonka hiukkanen teki vasemmalle), niin Bernoullin kaavan mukaan tämä todennäköisyys on yhtä suuri kuin

On selvää, että nämä suuret liittyvät tasa-arvoon
Voidaan suoraan tarkistaa, että toiminto
täyttää erotusyhtälön

alkuehtojen kanssa
ja klo

. Ongelman fyysinen luonne pakottaa meidät menemään tiettyihin luonnollisiin rajoituksiin parametrien suhteelle
. Joidenkin välttämättömien ehtojen noudattamatta jättäminen, joista keskustellaan jäljempänä, voi johtaa siihen, että rajallisen ajanjakson aikana hiukkanen, jonka todennäköisyys on yhtä suuri, voi mennä äärettömään. Tämän mahdollisuuden sulkemiseksi pois, asetamme seuraavat ehdot parametreille, joissa

missä arvo ilmaisee nopeus virrat, a
diffuusiokerroin.

Vähennä yhtälön (1) molemmista osista määrä
, saamme

Oletetaan, että funktio
suhteen erottuva kahdesti ja kerran . Sitten meillä on

Korvattuamme saadut yhtäläisyydet arvolla (3), meillä on

Tästä eteenpäin rajalle
ja ehtojen (2) perusteella saamme lopulta

(4)

Siten olemme saaneet hyvin tunnetun yhtälön, jota diffuusioteoriassa kutsutaan Fokker-Planck yhtälöt.

Stokastisten prosessien yleisen teorian alku määriteltiin A.N.:n perusteoksissa. Kolmogorov ja A.Ya. Khinchin 1930-luvun alussa. Artikkelissa, jonka on kirjoittanut A.N. Kolmogorov "Todennäköisyysteorian analyyttisista menetelmistä" sai systemaattisen ja tarkan rakenteen stokastisten prosessien teorian perusteista. ei jälkivaikutusta tai, kuten usein sanotaan, Markov-tyyppisiä prosesseja. Useat Khinchinin teokset loivat teorian niin sanotuista kiinteistä prosesseista.

Siten matematiikan haara, joka tutkii satunnaisia ​​ilmiöitä niiden dynamiikassa

kehitystä kutsutaan satunnaisten prosessien teoria(satunnaisia ​​toimintoja). Sen menetelmiä käytetään usein: automaattisen ohjauksen teoriassa, yritysten ja maatilojen taloudellisen toiminnan analysoinnissa ja suunnittelussa, tarvittavan tiedon (radiotekniikan laitteiden signaalit, satelliittiviestintä jne.) käsittelyssä ja siirrossa, taloustieteessä ja massapalvelun teoriassa.

Tarkastellaanpa lyhyesti satunnaisprosessien teorian (SP) peruskäsitteitä.

Jos jokainen arvo
, missä tarkoittaa jotain reaalilukujen joukkoa, on asetettu vastaamaan r.v:n kanssa.
, sanomme sen kuvauksissa annettu satunnaisfunktio (s.f.)
. Prosessoi sen satunnaisesti
, ovat erityisen tärkeitä sovelluksissa. Tapauksissa, joissa parametri tulkitaan aikaparametriksi, niin satunnaisfunktiota kutsutaan satunnainen prosessi, ts. satunnainen prosessi kutsutaan perheeksi r.v.
parametririippuvainen
ja annetaan samalla elementaaristen tapahtumien tilassa
Merkitty
tai

Satunnaisprosessi voidaan määritellä kaavan (analyyttisen merkinnän) muodossa, jos satunnaisfunktion muoto tunnetaan. Esimerkiksi s.f. on rp., jossa satunnaismuuttuja
on tasainen jakautuminen. Kiinteälle arvolle
, s.p.
, sitten r.p. muuntaa r.v.
jota kutsutaan satunnaisen prosessin poikkileikkaukseksi.

Toteutus tai lentorata satunnainen prosessi
nimeltään ei-sattumanvarainen aikatoiminto
kiinteässä paikassa
, eli testauksen tuloksena s.p. saa tietyn muodon.
, kun taas r.s. merkitty
,
jossa indeksit osoittavat testinumeron.

Kuva 59 esittää kolme toteutusta
satunnainen prosessi klo
;

Ne muistuttavat kolmen sinimuotoisen värähtelyilmiön tyyppejä jossain mekaanisessa prosessissa, kun taas jokainen tällainen toteutus (rata) on tavallinen toiminto

Kuva 59 (Kirjallinen).

Tässä esimerkissä r.v. kolmessa kokeessa se otti kolme arvoa, vastaavasti: 1, 2, 0,5, so. mainitaan kolme yhteisyrityksen toteutusta: Kaikki kolme ominaisuutta ovat ei-satunnaisia. Jos tässä esimerkissä korjaamme ajan hetken, klo
, niin saamme poikkileikkauksen:
- satunnaismuuttuja tai
, ovat satunnaismuuttujia. Huomaa, että ns satunnaisprosessin yksiulotteinen jakautumislaki
ei ole tyhjentävä ominaisuus s.p. satunnainen prosessi
on joukko poikkileikkauksia eri arvoille
Siksi sen täydellisen kuvauksen saamiseksi on otettava huomioon prosessin poikkileikkausten yhteinen jakautumisfunktio:

ns. äärellisulotteinen rp:n jakautumislaki. hetkissä
. Toisin sanoen syntyy moniulotteisia r.v.:itä.

Siten käsite s.p. on suora yleistys satunnaismuuttujien järjestelmän käsitteestä, kun nämä muuttujat ovat ääretön joukko.

Satunnaisprosessien teoria kutsutaan matemaattiseksi tieteeksi, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden malleja niiden kehityksen dynamiikassa.

Satunnaisprosessien teoria (toisessa terminologiassa - satunnaisfunktioiden teoria) on suhteellisen uusi todennäköisyysteorian haara, joka on kehittynyt erityisen nopeasti viime vuosikymmeninä jatkuvasti laajenevan käytännön sovellusten kirjon yhteydessä.

Ympäröivän maailman ilmiöitä tutkiessa kohtaamme usein prosesseja, joiden kulkua ei voida tarkasti ennustaa etukäteen. Tämä epävarmuus (ennustamattomuus) johtuu prosessin kulkuun vaikuttavien satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta. Annamme joitain esimerkkejä tällaisista prosesseista.

1. Sähköverkon jännite, nimellisesti vakio ja yhtä suuri kuin 220 V, itse asiassa muuttuu ajan myötä, vaihtelee nimellisarvon ympärillä sellaisten satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta, kuten verkkoon kytkettyjen laitteiden lukumäärä ja tyyppi, niiden hetket. kytkeminen päälle ja pois jne.

2. Kaupungin (tai alueen) väestö muuttuu ajan myötä satunnaisella (ennustamattomalla) tavalla tekijöiden, kuten syntymän, kuoleman, muuttoliikkeen jne. vaikutuksesta.

3. Joen (tai säiliön) vedenpinta muuttuu satunnaisesti ajan myötä riippuen säästä, sateesta, lumen sulamisesta, kastelun intensiteetistä jne.

4. Brownin liikettä mikroskoopin näkökentässä tekevä hiukkanen muuttaa sijaintiaan sattumanvaraisesti nestemolekyylien kanssa tapahtuvien törmäysten seurauksena.

5. Lentää avaruusraketti, joka on laukaistava tietyllä hetkellä tiettyyn pisteeseen avaruudessa tietyllä suunnalla ja nopeusvektorin absoluuttisella arvolla. Raketin todellinen liike ei ole sama kuin laskettu liike johtuen sellaisista satunnaisista tekijöistä kuten ilmakehän turbulenssi, polttoaineen heterogeenisyys, komentokäsittelyvirheet jne.

6. Työn aikana tietokone voi satunnaisesti siirtyä tilasta toiseen, esimerkiksi:

S1- toimii kunnolla;

S2- on toimintahäiriö, mutta sitä ei havaita;

S3- toimintahäiriö on havaittu, sen lähdettä etsitään;

S4- korjataan jne.

Siirtymät tilasta tilaan tapahtuvat satunnaisten tekijöiden vaikutuksesta, kuten tietokoneen virtalähteen verkon jännitteen vaihtelut, yksittäisten elementtien vika, vikojen havaitsemishetki, niiden poistumisaika jne.

Tarkkaan ottaen luonnossa ei ole täysin ei-satunnaisia, täsmälleen deterministisiä prosesseja, vaan on prosesseja, joiden kulmassa satunnaiset tekijät vaikuttavat niin heikosti, että ne voidaan jättää huomioimatta ilmiötä tutkittaessa (esimerkiksi planeettojen kiertokulku Aurinko). On kuitenkin myös sellaisia ​​prosesseja, joissa satunnaisuus on pääroolissa (esimerkki: edellä mainittu hiukkasen Brownin liikkeen prosessi). Näiden kahden ääripään välissä on useita prosesseja, joissa sattumalla on suurempi tai pienempi rooli. Prosessin satunnaisuuden huomioiminen (tai huomiotta jättäminen) riippuu myös siitä, mitä käytännön ongelmaa olemme ratkaisemassa. Esimerkiksi lentokoneiden liikettä kahden pisteen välillä ajoitettaessa niiden lentoratoja voidaan pitää suoraviivaisina ja liike on tasaista; samat oletukset eivät toimi, jos ratkaistaan ​​ongelma, joka liittyy autopilotin suunnitteluun lentokoneen lentoa ohjaamaan.

On olemassa kaksi päätyyppiä ongelmia, joiden ratkaiseminen edellyttää satunnaisfunktioiden (satunnaisprosessien) teorian käyttöä.

Suora ongelma (analyysi): annetaan tietyn laitteen parametrit ja sen "sisääntuloon" saapuvan funktion (signaalin, prosessin) todennäköisyysominaisuudet (matemaattiset odotukset, korrelaatiofunktiot, jakautumislait); on määritettävä laitteen "lähdön" ominaisuudet (näitä käytetään laitteen "laadun" arvioimiseen).

Käänteinen ongelma (synteesi):"tulo"- ja "lähtö"-funktioiden todennäköisyysominaisuudet on annettu; on tarpeen suunnitella optimaalinen laite (löytää sen parametrit), joka muuntaa tietyn tulofunktion lähtöfunktioksi, jolla on tietyt ominaisuudet. Tämän ongelman ratkaiseminen vaatii satunnaisfunktioiden laitteiston lisäksi vetovoimaa ja muita tieteitä.

Johdanto

Satunnaisprosessien (satunnaisfunktioiden) teoria on matematiikan tieteenala, joka tutkii satunnaisten ilmiöiden kuvioita niiden kehityksen dynamiikassa.

Tällä hetkellä on ilmestynyt suuri määrä kirjallisuutta, joka on suoraan omistettu jonoteorialle, sen matemaattisten näkökohtien kehittämiseen sekä sen eri sovellusalueille - armeija, lääketiede, liikenne, kauppa, ilmailu jne.

Jonoteoria perustuu todennäköisyysteoriaan ja matemaattiseen tilastoon. Jonoteorian alkuperäinen kehitys liittyy tanskalaisen tiedemiehen A.K. Erlang (1878-1929), kirjoituksissaan puhelinvaihteiden suunnittelusta ja toiminnasta.

Jonoteoria on soveltavan matematiikan ala, joka käsittelee tuotanto-, palvelu- ja ohjausjärjestelmien prosessien analysointia, jossa homogeeniset tapahtumat toistuvat monta kertaa, esimerkiksi kuluttajapalveluyrityksissä; tietojen vastaanotto-, käsittely- ja siirtojärjestelmissä; automaattiset tuotantolinjat jne. Venäläiset matemaatikot A.Ya antoivat suuren panoksen tämän teorian kehittämiseen. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel ja muut.

Jonoteorian aiheena on luoda suhteita sovellusvirran luonteen, palvelukanavien lukumäärän, yksittäisen kanavan suorituskyvyn ja tehokkaan palvelun välille, jotta löydetään parhaat tavat ohjata näitä prosesseja. Jonoteorian tehtävät ovat luonteeltaan optimointia ja sisältävät viime kädessä taloudellisen puolen sellaisen järjestelmän muunnelman määrittämisessä, joka tarjoaa mahdollisimman vähän kokonaiskustannuksia palvelun odottamisesta, palvelun ajan ja resurssien menetyksestä sekä seisokeista. palvelukanavista.

Kaupallisessa toiminnassa jonoteorian soveltaminen ei ole vielä löytänyt haluttua jakaumaa.

Tämä johtuu pääasiassa tavoitteiden asettamisen vaikeudesta, kaupallisen toiminnan sisällön syvällisen ymmärtämisen tarpeesta sekä luotettavista ja tarkoista työkaluista, joiden avulla voidaan laskea erilaisia ​​vaihtoehtoja johdon päätösten seurauksista kaupallisessa toiminnassa.

1. Satunnaisprosessin ja sen ominaisuuksien määritelmä

Satunnaisprosessi X(t) on prosessi, jonka arvo mille tahansa argumentin t arvolle on satunnaismuuttuja.

Toisin sanoen satunnainen prosessi on funktio, joka voi testauksen tuloksena saada tietyn, ennalta tuntemattoman muodon. Kiinteälle t = to X(to) on tavallinen satunnaismuuttuja, ts. poikkileikkaus satunnaisesta prosessista hetkellä tо.

Satunnaisprosessin X (t, w) toteutus on ei-satunnainen funktio x(t), joksi satunnaisprosessi X(t) muuttuu testauksen tuloksena (kiinteällä w:llä), ts. satunnaisprosessin X(t) ottama tietty muoto, sen liikerata.

Näin ollen satunnaisprosessi X (t, w) yhdistää satunnaismuuttujan ja funktion ominaisuudet. Jos korjaamme argumentin t arvon, satunnaisprosessi muuttuu tavalliseksi satunnaismuuttujaksi, jos korjaamme w, niin se muuttuu jokaisen testin tuloksena tavalliseksi ei-satunnaiseksi funktioksi.

Satunnaismuuttujan tavoin satunnaisprosessia voidaan kuvata numeeristen ominaisuuksien avulla.

Satunnaisprosessin X(t) matemaattinen odotus on ei-satunnainen funktio a x (t), joka mille tahansa muuttujan t arvolle on yhtä suuri kuin satunnaisprosessin X(t) vastaavan osan matemaattinen odotus, ts. kirves (t) = M.

Satunnaisprosessin X(t) varianssi on ei-satunnainen funktio. D x (t), millä tahansa muuttujan t arvolla, joka on yhtä suuri kuin satunnaisprosessin X(t) vastaavan osan varianssi, ts. Dx (t) = D.

Standardipoikkeama satunnaisprosessi X(t) on varianssinsa neliöjuuren aritmeettinen arvo, ts.

Satunnaisen prosessin matemaattinen odotus luonnehtii sen kaikkien mahdollisten toteutusten keskimääräistä liikerataa ja sen varianssi tai keskihajonta kuvaa toteutusten leviämistä keskimääräiseen liikeradan suhteen.

Satunnaisprosessin X(t) korrelaatiofunktio on ei-satunnaisfunktio

kaksi muuttujaa t1 ja t 2, joka jokaiselle muuttujaparille t1 ja t2 on yhtä suuri kuin vastaavien osien X(t1) ja X(t) kovarianssi 2) satunnainen prosessi.

Satunnaisprosessin X(t) normalisoitu korrelaatiofunktio on funktio

Satunnaiset prosessit voidaan luokitella sen mukaan, muuttuvatko järjestelmän tilat, joissa ne esiintyvät, tasaisesti vai äkillisesti, tietysti (laskettavissa) vai ääretön määrä näitä tiloja jne. Satunnaisprosessien joukossa erityinen paikka on Markovin satunnaisprosessi. Mutta ensin tutustutaan jonoteorian peruskäsitteisiin.

2. Peruskäsitteet jonoteoria

Käytännössä samantyyppisten ongelmien ratkaisemisessa kohtaa usein uudelleenkäytettäväksi suunniteltuja järjestelmiä. Tässä tapauksessa syntyviä prosesseja kutsutaan palveluprosesseiksi ja järjestelmiä kutsutaan jonojärjestelmiksi (QS). Esimerkkejä tällaisista järjestelmistä ovat puhelinjärjestelmät, korjaamot, tietokonejärjestelmät, lipputoimistot, kaupat, kampaajat ja vastaavat.

Jokainen QS koostuu tietystä määrästä palveluyksiköitä (instrumentit, laitteet, pisteet, asemat), joita kutsumme palvelukanaviksi. Kanavat voivat olla viestintälinjoja, työpisteitä, tietokoneita, myyjiä jne. Kanavien lukumäärän mukaan QS jaetaan yksikanavaisiin ja monikanavaisiin.

Sovellukset eivät yleensä saapuvat QS:ään säännöllisesti, vaan satunnaisesti muodostaen niin sanotun satunnaisen sovellusvirran (vaatimukset). Yleisesti ottaen huoltopyynnöt jatkuvat myös jonkin aikaa satunnaisesti. Sovellusvirran ja palveluajan satunnainen luonne johtaa siihen, että QS latautuu epätasaisesti: joinakin ajanjaksoina sovelluksia kertyy hyvin suuri määrä (ne joko jonottavat tai jättävät QS:n käyttämättä), kun taas toisissa jaksoja, jolloin QS toimii alikuormituksella tai on tyhjäkäynnillä.

Jonoteorian aiheena on matemaattisten mallien rakentaminen, jotka yhdistävät QS:n tietyt toimintaolosuhteet (kanavien lukumäärä, niiden suorituskyky, pyyntövirran luonne jne.) QS-tehokkuusindikaattoreihin, jotka kuvaavat sen selviytymiskykyä. pyyntöjen virran mukana.

QS:n suoritusindikaattoreina käytetään seuraavia: palveltujen sovellusten keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti; jonossa olevien hakemusten keskimääräinen määrä; keskimääräinen odotusaika palveluun; palvelun epäämisen todennäköisyys odottamatta; todennäköisyys, että pyyntöjen määrä jonossa ylittää tietyn arvon jne.

QS on jaettu kahteen päätyyppiin (luokkaan): QS, jossa on epäonnistumisia ja QS, joissa on odotus (jono). Kieltoja sisältävässä QS:ssä pyyntö, joka saapuu sillä hetkellä, kun kaikki kanavat ovat varattu, saa kieltäytymisen, poistuu QS:stä eikä osallistu jatkopalveluprosessiin (esim. puhelinkeskustelupyyntö sillä hetkellä, kun kaikki kanavat ovat kiireisiä saa kieltäytymisen ja jättää QS:n toimittamatta). Odottavassa QS:ssä vaatimus, joka saapuu aikana, jolloin kaikki kanavat ovat varattu, ei lähde, vaan joutuu palveluun.

Odottavat QS:t jaetaan eri tyyppeihin riippuen siitä, miten jono on järjestetty: rajoitetulla tai rajoittamattomalla jonopituudella, rajoitetulla odotusajalla jne.

3. Markovin satunnaisprosessin käsite

QS-prosessi on satunnainen prosessi.

Prosessia kutsutaan diskreettitilaiseksi prosessiksi, jos sen mahdolliset tilat S1, S2, S3… voidaan listata etukäteen ja järjestelmän siirtyminen tilasta tilaan tapahtuu välittömästi (hyppy). Prosessia kutsutaan jatkuvaajaiseksi prosessiksi, jos järjestelmän mahdollisten tilasta tilaan siirtymien hetket eivät ole ennalta määrättyjä, vaan ovat satunnaisia.

QS-toimintaprosessi on satunnainen prosessi, jossa on diskreetit tilat ja jatkuva aika. Tämä tarkoittaa, että QS:n tila muuttuu äkillisesti satunnaisina hetkinä joidenkin tapahtumien ilmaantuessa (esimerkiksi uuden vaatimuksen saapuminen, palvelun päättyminen jne.).

QS:n työn matemaattinen analyysi yksinkertaistuu huomattavasti, jos tämän työn prosessi on Markov. Satunnaista prosessia kutsutaan Markovin tai satunnaisprosessiksi ilman jälkivaikutusta, jos prosessin todennäköisyysominaisuudet tulevaisuudessa riippuvat vain sen nykyisestä tilasta eivätkä riipu siitä, milloin ja miten järjestelmä on joutunut tähän tilaan.

Esimerkki Markovin prosessista: järjestelmä S on laskuri taksissa. Järjestelmän tilaa ajanhetkellä t kuvaa autolla siihen hetkeen mennessä kulkemien kilometrien määrä (kilometrien kymmenesosia). Anna laskurin näyttää So tällä hetkellä. Todennäköisyys, että tällä hetkellä t > mittarille näyttää yhtä tai toista kilometrimäärää (tarkemmin sanottuna vastaava määrä ruplaa) S1 riippuu So:sta, mutta ei riipu ajasta, jolloin mittarin lukemat muuttuivat ennen hetkeä kohtaan.

Monia prosesseja voidaan pitää suunnilleen Markovina. Esimerkiksi shakin pelaamisen prosessi; System S on shakkinappuloiden ryhmä. Järjestelmän tilalle on tunnusomaista, kuinka monta vastustajan nappulaa on laudalla tällä hetkellä. Todennäköisyys, että tällä hetkellä t > aineellisella edulla on jonkun vastustajan puolella, riippuu ensisijaisesti tilasta, jossa järjestelmä on tällä hetkellä, eikä siitä, milloin ja missä järjestyksessä nappulat katosivat laudalta. hetkeksi.

Joissakin tapauksissa tarkasteltavien prosessien esihistoria voidaan yksinkertaisesti jättää huomiotta ja niitä voidaan tutkia Markovin mallien avulla.

Analysoitaessa satunnaisia ​​prosesseja, joissa on diskreetit tilat, on kätevää käyttää geometristä kaaviota - ns. tilagraafia. Yleensä järjestelmän tilat esitetään suorakulmioilla (ympyröillä) ja mahdolliset siirtymät tilasta tilaan - nuolilla (suuntautuneilla kaarilla), yhdistävät tilat.

QS:ssä esiintyvän Markovin satunnaisprosessin, jossa on diskreetit tilat ja jatkuva aika, matemaattista kuvausta varten tutustutaan yhteen todennäköisyysteorian tärkeistä käsitteistä - tapahtumavirran käsitteeseen.

. Tapahtumavirrat

Tapahtumien kulku ymmärretään sarjana homogeenisia tapahtumia, jotka seuraavat peräkkäin satunnaisena ajankohtana (esimerkiksi puhelujen virta puhelinkeskuksessa, tietokonevikojen virta, asiakasvirta jne.).

Vuorolle on tunnusomaista intensiteetti X - tapahtumien esiintymistiheys tai QS:ään saapuvien tapahtumien keskimääräinen määrä aikayksikköä kohti.

Tapahtumavirtaa kutsutaan säännölliseksi, jos tapahtumat seuraavat peräkkäin säännöllisin väliajoin. Esimerkiksi tuotteiden virtaus kokoonpanolinjalla (vakionopeudella) on säännöllistä.

Tapahtumavirtaa kutsutaan paikallaan pysyväksi, jos sen todennäköisyysominaisuudet eivät riipu ajasta. Erityisesti paikallaan olevan virtauksen intensiteetti on vakioarvo: Esimerkiksi autojen virtaus kaupunkikadulla ei ole paikallaan päivän aikana, mutta tätä virtausta voidaan pitää paikallaan tiettyyn aikaan vuorokaudesta, esim. ruuhkatunnit. Tässä tapauksessa ohi kulkevien autojen todellinen määrä aikayksikköä kohden (esimerkiksi joka minuutti) voi vaihdella huomattavasti, mutta niiden keskimääräinen lukumäärä on vakio eikä riipu ajasta.

Tapahtumavirtaa kutsutaan virraksi ilman jälkivaikutusta, jos jompaankumpaan osuvien tapahtumien määrä ei riipu toiselle sattuvien tapahtumien määrästä jollakin tai kahdella ei-leikkautuvalla aikavälillä T1 ja T2. Esimerkiksi metroon tulevalla matkustajavirralla ei ole juuri mitään jälkivaikutusta. Ja vaikkapa tiskiltä ostoksensa lähtevien asiakkaiden virralla on jo jälkivaikutus (jos vain siksi, että yksittäisten asiakkaiden välinen aika ei voi olla pienempi kuin kunkin asiakkaan vähimmäispalveluaika).

Tapahtumavirtaa kutsutaan tavalliseksi, jos todennäköisyys osuminen pieneen (alkeis) aikaväliin At kahdessa tai useammassa tapahtumassa on merkityksetön verrattuna Kanssatodennäköisyys osua yhteen tapahtumaan. Toisin sanoen tapahtumavirta on tavallinen, jos tapahtumat esiintyvät siinä yksitellen, ei ryhmissä. Esimerkiksi asemaa lähestyvien junien virtaus on tavallista, mutta vaunujen virtaus ei ole tavallista.

Tapahtumavirtaa kutsutaan yksinkertaisin(tai paikallaan oleva Poisson), jos se on samanaikaisesti paikallaan, tavallinen eikä sillä ole jälkivaikutusta. Nimi "yksinkertaisin" selittyy sillä, että yksinkertaisimmilla virroilla QS:llä on yksinkertaisin matemaattinen kuvaus. Säännöllinen virta ei ole yksinkertaisin, koska sillä on jälkivaikutus: tapahtumien esiintymishetket sellaisessa virrassa ovat tiukasti kiinni.

Yksinkertaisin virtaus rajoittavana virtauksena syntyy satunnaisprosessien teoriassa yhtä luonnollisesti kuin todennäköisyysteoriassa, normaalijakauma saadaan rajoittavaksi satunnaismuuttujien summalle: kun päällekkäin (superpositio) riittävän suuri määrä n riippumattomia , kiinteät ja tavalliset virrat (vertailuvoimakkuudeltaan Аi (i=1,2…p)) virtaus on lähellä yksinkertaisinta, jonka intensiteetti X on yhtä suuri kuin sisään tulevien virtausten intensiteettien summa, eli:

Binomijakauman laki:

parametrien kanssa

Binomijakauma pyrkii Poisson-jakaumaan parametrin kanssa

jolle satunnaismuuttujan matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin sen varianssi:

Erityisesti todennäköisyys, että mitään tapahtumaa ei tapahdu ajan t aikana (t = 0), on yhtä suuri kuin

Todennäköisyystiheyden tai jakaumafunktion antama jakauma on eksponentiaalinen (eksponentiaalinen). Siten yksinkertaisimman virtauksen kahden vierekkäisen mielivaltaisen tapahtuman välisellä aikavälillä on eksponentiaalinen jakauma, jolle matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan keskihajonta:

ja päinvastoin virtauksen voimakkuuden mukaan

Eksponenttijakauman tärkein (vain eksponentiaalijakaumaan ominaista) ominaisuus on seuraava: jos eksponentiaalisen lain mukaan jakautunut aikaväli on kestänyt jo jonkin aikaa t, niin tämä ei vaikuta jäljellä olevan osan jakautumalakiin. väliltä (T - t): se on sama , samoin kuin koko välin T jakautumislaki.

Toisin sanoen eksponentiaalisesti jakautuneen vuon kahden peräkkäisen vierekkäisen tapahtuman välisellä aikavälillä T mikään tieto siitä, kuinka kauan tämä aikaväli on kulunut, ei vaikuta jäännösjakaumaan. Tämä eksponentiaalisen lain ominaisuus on pohjimmiltaan toinen muotoilu "jälkivaikutuksen puutteelle" - yksinkertaisimman virtauksen pääominaisuudelle.

Yksinkertaisimmalla virtauksella, jonka intensiteetti on, todennäköisyys osua ainakin yhteen virtauksen tapahtumaan alkeellisella (pienellä) aikavälillä At on yhtä suuri:

(Tämä likimääräinen kaava, joka saadaan korvaamalla funktio vain kahdella ensimmäisellä termillä sen laajennuksen potenssien At, on sitä tarkempi mitä pienempi At).

5. Kolmogorovin yhtälöt. Rajoita tilojen todennäköisyyksiä

Vastaava prosessin tilakaavio on esitetty kuvassa. tehtävään. Oletetaan, että kaikki järjestelmän siirtymät tilasta Si tilaan Sj tapahtuvat yksinkertaisimpien intensiteetin tapahtumavirtojen vaikutuksesta. (i , j = 0, 1, 2,3); Siten järjestelmän siirtyminen tilasta S0 tilaan S1 tapahtuu ensimmäisen solmun vikavirran vaikutuksen alaisena, ja käänteinen siirtyminen tilasta S0 tilaan S1 tapahtuu ensimmäisen solmun "korjausten loppujen" virran vaikutuksesta jne.

Järjestelmän tilakaaviota, jonka intensiteetit on merkitty nuolilla, kutsutaan nimitetyksi (katso yllä oleva kuva). Tarkastetulla järjestelmällä S on neljä mahdollista tilaa: S0 , S1 S2, S3. I:nnen tilan todennäköisyys on todennäköisyys pi(t), että hetkellä t järjestelmä on tilassa Si. Ilmeisesti millä tahansa hetkellä t kaikkien tilojen todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin yksi:

Tarkastellaan järjestelmää hetkellä t ja, kun on annettu pieni intervalli At, lasketaan todennäköisyys po (t + At), että järjestelmä hetkellä t+At on tilassa S0. Tämä saavutetaan eri tavoin.

1.Järjestelmä hetkellä t oli tilassa S0 todennäköisyydellä po (t), mutta ei poistunut siitä ajan At aikana.

Järjestelmä voidaan tuoda pois tästä tilasta (katso ongelman kuvaaja kuvassa) käyttämällä yksinkertaisinta kokonaisvirtausta intensiteetillä , suunnilleen yhtä suurella todennäköisyydellä

Ja todennäköisyys, että järjestelmä ei poistu tilasta S0, on yhtä suuri kuin . Todennäköisyys sille, että järjestelmä on tilassa S0 eikä poistu siitä ajan At aikana, on todennäköisyyskertoilulauseen mukaan:

Ajanhetkellä t järjestelmä oli tilassa S1 tai S2 todennäköisyydellä p1 (t) (tai p2 (t)) ja ajassa At siirtyi tilaan

Intensiteettivirran mukaan järjestelmä menee tilaan So todennäköisyydellä, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin . Todennäköisyys, että järjestelmä on tilassa Joten tämän menetelmän mukaan on yhtä suuri (tai )

Todennäköisyyslisäyslausetta soveltamalla saadaan:

Ylitys rajalle klo 0 (likimääräiset yhtäläisyydet muuttuvat täsmällisiksi), saamme derivaatan yhtälön vasemmalla puolella (merkitään se yksinkertaisuuden vuoksi):

Saadaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, ts. yhtälö, joka sisältää sekä itse tuntemattoman funktion että sen ensimmäisen kertaluvun derivaatan.

Väittelemällä samalla tavalla järjestelmän S muita tiloja, voimme saada tilatodennäköisyyksien Kolmogorov-differentiaaliyhtälöjärjestelmän:

Muotoilkaamme sääntö Kolmogorov-yhtälöiden laatimiseksi. Jokaisen vasemmalla puolella on i:nnen tilan todennäköisyyden derivaatta. Oikealla puolella - kaikkien tilojen (joista nuolet menevät tähän tilaan) todennäköisyyksien tulojen summa vastaavien tapahtumavirtojen intensiteetillä vähennettynä kaikkien virtojen kokonaisintensiteetillä, jotka tuovat järjestelmän pois tästä tilasta , kerrottuna annetun todennäköisyydellä (i. tila

Yllä esitetyssä järjestelmässä riippumattomien yhtälöiden määrä on yksi pienempi kuin yhtälöiden kokonaismäärä. Siksi järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen lisätä yhtälö

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen ominaisuus yleisesti on, että vaaditaan ns. alkuehdot, tässä tapauksessa järjestelmän tilojen todennäköisyydet alkuhetkellä t = 0. järjestelmä oli So-tilassa, ts. alkuolosuhteissa

Kolmogorovin yhtälöiden avulla voidaan löytää kaikki tilojen todennäköisyydet ajan funktioina. Erityisen kiinnostavia ovat järjestelmän todennäköisyydet p i (t) rajoittavassa stationääritilassa, ts. klo , joita kutsutaan rajoittaviksi (lopullisiksi) tilatodennäköisyyksiksi.

Satunnaisprosessien teoriassa on todistettu, että jos järjestelmän tilojen määrä on äärellinen ja jokaisesta niistä on mahdollista (ääreellisessä määrässä askelia) siirtyä mihin tahansa muuhun tilaan, silloin on olemassa rajoittavia todennäköisyyksiä.

Tilan Si marginaalitodennäköisyydellä on selvä merkitys: se näyttää keskimääräisen suhteellisen ajan, jonka järjestelmä viettää tässä tilassa. Esimerkiksi jos rajatodennäköisyys tilan So, ts. p0=0,5, eli järjestelmä on keskimäärin puolet ajasta tilassa S0.

Koska rajoittavat todennäköisyydet ovat vakioita, korvaamalla niiden derivaatat Kolmogorov-yhtälöissä nolla-arvoilla, saadaan lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, joka kuvaa stationaarista järjestelmää.

Kuoleman ja lisääntymisen prosessit

Jonoteoriassa on laajalle levinnyt erityinen satunnaisten prosessien luokka - ns kuolema ja lisääntymisprosessit.Tämä nimi liittyy useisiin biologisiin ongelmiin, joissa tämä prosessi toimii matemaattisena mallina biologisten populaatioiden lukumäärän muutoksista.

Tarkastellaan järjestettyä joukkoa järjestelmän tiloja S 0, S1, S2,…, Sk. Siirtymät voidaan suorittaa mistä tahansa tilasta vain tiloihin, joissa on naapurinumeroita, ts. tilasta Sk-1 siirtymät ovat mahdollisia joko tilaan tai tilaan S k+11 .

Tällaisten yhtälöiden laatimissäännön mukaisesti (Kolmogorov-yhtälö) saadaan: tilalle S0

Johtopäätös

Tämä tiivistelmä paljastaa käsitteet, jotka johtavat satunnaisjonoprosessin teorian järjestelmäelementteihin, nimittäin: satunnainen prosessi, palvelu, jonojärjestelmä, jonojärjestelmä.

Viitteet

satunnainen massa Markov Kolmogorov

1. N.Sh. Kremer "Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot" Unity, Moskova, 2003

Tutorointi

Tarvitsetko apua aiheen oppimisessa?

Asiantuntijamme neuvovat tai tarjoavat tutorointipalveluita sinua kiinnostavista aiheista.
Lähetä hakemus mainitsemalla aiheen juuri nyt saadaksesi selville mahdollisuudesta saada konsultaatio.