Matematiikassa yksi parametreista, joka kuvaa suoran sijaintia suorakulmaisella koordinaattitasolla, on tämän suoran kulmakerroin. Tämä parametri kuvaa suoran kaltevuutta abskissa-akseliin nähden. Ymmärtääksesi kaltevuuden löytämisen, muista ensin XY-koordinaatistossa olevan suoran yhtälön yleinen muoto.

Yleensä mitä tahansa suoraa voidaan esittää lausekkeella ax+by=c, jossa a, b ja c ovat mielivaltaisia ​​reaalilukuja, mutta a 2 + b 2 ≠ 0.

Yksinkertaisilla muunnoksilla tällainen yhtälö voidaan saada muotoon y=kx+d, jossa k ja d ovat reaalilukuja. Luku k on kaltevuus, ja tämän tyyppisen suoran yhtälöä kutsutaan kaltevuuden yhtälöksi. Osoittautuu, että kaltevuuden löytämiseksi sinun on yksinkertaisesti vähennettävä alkuperäinen yhtälö yllä olevaan muotoon. Täydellisen ymmärryksen saamiseksi harkitse tiettyä esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi yhtälön 36x - 18y = 108 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Muunnetaan alkuperäinen yhtälö.

Vastaus: Tämän viivan vaadittu kaltevuus on 2.

Jos yhtälön muunnoksen aikana saimme lausekkeen kuten x = const ja sen seurauksena emme voi esittää y:tä x:n funktiona, niin kyseessä on X-akselin suuntainen suora, jonka kulmakerroin suora on yhtä suuri kuin ääretön.

Yhtälöllä kuten y = const ilmaistuilla viivoilla kulmakerroin on nolla. Tämä on tyypillistä abskissa-akselin suuntaisille suorille viivoille. Esimerkiksi:

Tehtävä: Etsi yhtälön 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antaman suoran kaltevuus

Ratkaisu: Siirretään alkuperäinen yhtälö yleiseen muotoonsa

24x + 12v - 12v + 28 = 4

Y:tä on mahdotonta ilmaista tuloksena olevasta lausekkeesta, joten tämän suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin ääretön, ja itse suora on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa.

Geometrinen merkitys

Paremman käsityksen saamiseksi katsotaanpa kuvaa:

Kuvassa on funktion kaavio, kuten y = kx. Otetaan yksinkertaistamiseksi kerroin c = 0. Kolmiossa OAB sivun BA ja AO suhde on yhtä suuri kuin kulmakerroin k. Samalla suhde BA/AO on suorakulmaisen kolmion OAB terävän kulman α tangentti. Osoittautuu, että suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin sen kulman tangentti, jonka tämä suora muodostaa koordinaattiruudukon abskissa-akselin kanssa.

Ratkaisemalla suoran viivan kulmakertoimen löytämisen ongelman löydämme sen ja koordinaattiruudukon X-akselin välisen kulman tangentin. Rajatapaukset, joissa kyseinen suora on yhdensuuntainen koordinaattiakseleiden kanssa, vahvistavat edellä mainitut. Todellakin, yhtälöllä y=const kuvatulla suoralla sen ja abskissa-akselin välinen kulma on nolla. Nollakulman tangentti on myös nolla ja kaltevuus on myös nolla.

Suorilla viivoilla, jotka ovat kohtisuorassa x-akseliin nähden ja joita kuvaa yhtälö x=const, niiden ja X-akselin välinen kulma on 90 astetta. Suoran kulman tangentti on yhtä suuri kuin ääretön, ja samankaltaisten suorien kulmakerroin on myös yhtä suuri kuin ääretön, mikä vahvistaa edellä kirjoitetun.

Tangentin kaltevuus

Käytännössä usein kohdattava tehtävä on myös löytää funktion kaavion tangentin kulmakerroin tietyssä pisteessä. Tangentti on suora, joten kaltevuuden käsite pätee myös siihen.

Jotta voimme selvittää, kuinka löytää tangentin kaltevuus, meidän on muistettava derivaatan käsite. Minkä tahansa funktion derivaatta tietyssä pisteessä on vakio, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin sen kulman tangentti, joka muodostuu tämän funktion kaavion määritetyn pisteen tangentin ja abskissa-akselin välille. Osoittautuu, että tangentin kulmakertoimen määrittämiseksi pisteessä x 0 meidän on laskettava alkuperäisen funktion derivaatan arvo tässä kohdassa k = f"(x 0). Katsotaanpa esimerkkiä:

Tehtävä: Etsi funktion y = 12x 2 + 2xe x tangentin kulmakerroin kohdassa x = 0.1.

Ratkaisu: Etsi alkuperäisen funktion derivaatta yleisessä muodossa

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Vastaus: Vaadittu kaltevuus pisteessä x = 0,1 on 4,831

Aiheelle "Tangentin kulmakerroin kaltevuuskulman tangenttina" annetaan useita tehtäviä sertifiointikokeessa. Tilastaan ​​​​riippuen valmistuneelta voidaan vaatia joko täydellinen tai lyhyt vastaus. Valmistautuessaan matematiikan yhtenäiseen valtiotutkintoon opiskelijan tulee ehdottomasti toistaa tehtävät, jotka edellyttävät tangentin kulmakertoimen laskemista.

Shkolkovon koulutusportaali auttaa sinua tässä. Asiantuntijamme valmistivat ja esittelivät teoreettista ja käytännön materiaalia mahdollisimman helposti saatavilla olevalla tavalla. Tutustuttuaan siihen minkä tahansa koulutustason valmistuneet pystyvät ratkaisemaan menestyksekkäästi johdannaisiin liittyviä ongelmia, joissa on tarpeen löytää tangentin kulman tangentti.

Perushetkiä

Oikean ja rationaalisen ratkaisun löytämiseksi sellaisiin tehtäviin Unified State Examissa on muistettava perusmääritelmä: derivaatta edustaa funktion muutosnopeutta; se on yhtä suuri kuin funktion kuvaajaan tietyssä pisteessä piirretyn tangentin kulman tangentti. Yhtä tärkeää on saada piirustus valmiiksi. Sen avulla voit löytää oikean ratkaisun derivaatan USE-ongelmiin, joissa sinun on laskettava tangentin kulman tangentti. Selvyyden vuoksi on parasta piirtää kaavio OXY-tasolle.

Jos olet jo perehtynyt johdannaisten aiheeseen liittyvään perusmateriaaliin ja olet valmis aloittamaan tangenttikulman tangentin laskemiseen liittyviä ongelmia, kuten Unified State Examination tehtäviä, voit tehdä tämän verkossa. Jokaiseen tehtävään, esimerkiksi tehtävät aiheesta "Dirivaatan suhde kappaleen nopeuteen ja kiihtyvyyteen", kirjoitimme oikean vastauksen ja ratkaisualgoritmin. Samalla opiskelijat voivat harjoitella eriasteisten tehtävien suorittamista. Harjoituksen voi tarvittaessa tallentaa "Suosikit"-osioon, jotta voit keskustella ratkaisusta myöhemmin opettajan kanssa.

Opi ottamaan funktioiden johdannaisia. Derivaata kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä, joka sijaitsee tämän funktion kaaviossa. Tässä tapauksessa kaavio voi olla joko suora tai kaareva viiva. Eli derivaatta luonnehtii funktion muutosnopeutta tietyllä hetkellä. Muista yleiset säännöt, joiden mukaan johdannaiset otetaan, ja siirry vasta sitten seuraavaan vaiheeseen.

• Lue artikkeli.
• Kuvataan kuinka yksinkertaisimmat derivaatat otetaan, esimerkiksi eksponentiaaliyhtälön derivaatta. Seuraavissa vaiheissa esitetyt laskelmat perustuvat niissä kuvattuihin menetelmiin.

Opi erottamaan ongelmat, joissa kulmakerroin on laskettava funktion derivaatan avulla. Ongelmat eivät aina vaadi sinua löytämään funktion kulmakertoimen tai derivaatan. Sinua voidaan esimerkiksi pyytää etsimään funktion muutosnopeus pisteessä A(x,y). Sinua voidaan myös pyytää löytämään tangentin kaltevuus pisteessä A(x,y). Molemmissa tapauksissa on tarpeen ottaa funktion derivaatta.

Ota sinulle annetun funktion derivaatta. Täällä ei tarvitse rakentaa kuvaajaa - tarvitset vain funktion yhtälön. Otetaan esimerkissämme funktion derivaatta f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Ota johdannainen edellä mainitussa artikkelissa kuvattujen menetelmien mukaisesti:

Korvaa sinulle annetun pisteen koordinaatit löydetyllä derivaatalla kaltevuuden laskemiseksi. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin kulmakerroin tietyssä pisteessä. Toisin sanoen f"(x) on funktion kaltevuus missä tahansa pisteessä (x, f(x)). Esimerkissämme:

Jos mahdollista, tarkista vastauksesi kaaviosta. Muista, että kaltevuutta ei voida laskea joka pisteessä. Differentiaalilaskenta käsittelee monimutkaisia ​​funktioita ja monimutkaisia ​​kaavioita, joissa kulmakerrointa ei voida laskea joka pisteessä, ja joissain tapauksissa pisteet eivät ole kaavioissa ollenkaan. Jos mahdollista, käytä graafista laskinta tarkistaaksesi, että antamasi funktion kaltevuus on oikea. Muussa tapauksessa piirrä kaavioon tangentti sinulle annettuun pisteeseen ja mieti, vastaako löytämäsi kulmakerroin arvo kaaviossa näkemääsi.

• Tangentilla on sama kulmakerroin kuin funktion kuvaajalla tietyssä pisteessä. Piirrä tangentti tiettyyn pisteeseen siirtymällä vasemmalle/oikealle X-akselilla (esimerkissämme 22 arvoa oikealle) ja sitten yksi ylöspäin Y-akselilla. Merkitse piste ja yhdistä se sitten sinulle annettu piste. Yhdistä esimerkissämme pisteet koordinaatteilla (4,2) ja (26,3).

Numeerisesti yhtä suuri kuin abskissa-akselin positiivisen suunnan ja annetun suoran välisen kulman tangentti (joka muodostaa pienimmän kiertoliikkeen Ox-akselilta Oy-akselille).

Kulman tangentti voidaan laskea vastakkaisen sivun suhteeksi viereiseen sivuun. k on aina yhtä suuri kuin , eli suoran yhtälön johdannainen suhteessa x.

Positiivisille kaltevuuden arvoille k ja nollasiirtokerroin b suora on ensimmäisessä ja kolmannessa neljänneksessä (jossa x Ja y sekä positiivisia että negatiivisia). Samaan aikaan suuret kulmakertoimen arvot k jyrkempi suora vastaa ja litteämpi vastaa pienempiä.

Suora ja kohtisuora jos , ja yhdensuuntainen jos .

Huomautuksia

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mikä "suoran kulmakerroin" on muissa sanakirjoissa:

rinne (suora)- - Aiheet öljy- ja kaasuteollisuus FI rinne... Teknisen kääntäjän opas

- (matemaattinen) luku k tason y = kx+b suoran yhtälössä (katso Analyyttinen geometria), joka kuvaa suoran kaltevuutta x-akseliin nähden. Iso-Britannian suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä k = tan φ, missä φ on kulma ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Geometrian haara, joka tutkii yksinkertaisimpia geometrisia objekteja käyttäen koordinaattimenetelmään perustuvaa alkeisalgebraa. Analyyttisen geometrian luomisen katsotaan yleensä johtuvan R. Descartesista, joka hahmotteli sen perusteita... ... Collier's Encyclopedia

Reaktioajan (RT) mittaus on luultavasti arvostetuin aihe empiirisessä psykologiassa. Se sai alkunsa tähtitieteen alalta vuonna 1823 mittaamalla yksilöllisiä eroja kaukoputken linjan ylittävän tähden havaintonopeudessa. Nämä… Psykologinen tietosanakirja

Matematiikan ala, joka tarjoaa menetelmiä erilaisten muutosprosessien kvantitatiiviseen tutkimiseen; käsittelee muutosnopeuden tutkimusta (differentiaalilaskenta) ja käyrien pituuksien, kaarevien ääriviivojen rajoittamien kuvioiden pintojen ja tilavuuksien määrittämistä ja ... Collier's Encyclopedia

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Suora (merkityksiä). Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä, eli sillä ei ole tarkkaa universaalia määritelmää. Geometrian systemaattisessa esittelyssä suoraa pidetään yleensä yhtenä... ... Wikipedia

Suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän suorien viivojen kuva Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä yhdeksi alkukäsitteeksi otetaan yleensä suora, joka on vain epäsuorasti määritelty... ... Wikipedia

Suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän suorien viivojen kuva Suora on yksi geometrian peruskäsitteistä. Geometrian systemaattisessa esittelyssä yhdeksi alkukäsitteeksi otetaan yleensä suora, joka on vain epäsuorasti määritelty... ... Wikipedia

Ei pidä sekoittaa termiin "ellipsi". Ellipsi ja sen polttopisteet Ellipsi (antiikin Kreikan ἔλλειψις puute, epäkeskisyyden puutteessa aina 1 asti) euklidisen tason pisteiden M paikka, jolle etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on F1... ... Wikipedia

Jatkoa aiheeseen, tasossa olevan suoran yhtälö perustuu suoran tutkimiseen algebran tunneista. Tämä artikkeli tarjoaa yleistä tietoa suoran ja kaltevuuden yhtälöstä. Tarkastellaan määritelmiä, hankitaan itse yhtälö ja tunnistetaan yhteys muuntyyppisiin yhtälöihin. Kaikesta keskustellaan esimerkkien avulla ongelmanratkaisusta.

Ennen tällaisen yhtälön kirjoittamista on tarpeen määrittää suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden niiden kulmakertoimella. Oletetaan, että suorakulmainen koordinaattijärjestelmä O x tasossa on annettu.

Määritelmä 1

Suoran viivan kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, joka sijaitsee suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä O x y tasossa, tämä on kulma, joka mitataan positiivisesta suunnasta O x vastapäivään olevaan suoraan.

Kun viiva on yhdensuuntainen O x:n kanssa tai osuu siihen yhteen, kaltevuuskulma on 0. Sitten välissä [0, π) määritetään annetun suoran kaltevuuskulma α.

Määritelmä 2

Suora kaltevuus on tietyn suoran kaltevuuskulman tangentti.

Vakionimitys on k. Määritelmästä saamme selville, että k = t g α . Kun viiva on yhdensuuntainen Oxin kanssa, he sanovat, että rinnettä ei ole olemassa, koska se menee äärettömyyteen.

Kulmakerroin on positiivinen, kun funktion kuvaaja kasvaa ja päinvastoin. Kuvassa on esitetty erilaisia ​​vaihteluita oikean kulman sijainnissa suhteessa koordinaattijärjestelmään kertoimen arvolla.

Tämän kulman löytämiseksi on tarpeen soveltaa kulmakertoimen määritelmää ja laskea kaltevuuskulman tangentti tasossa.

Ratkaisu

Ehdosta saamme, että α = 120°. Määritelmän mukaan kaltevuus on laskettava. Etsitään se kaavasta k = t g α = 120 = - 3.

Vastaus: k = -3 .

Jos kulmakerroin tunnetaan ja on tarpeen löytää kaltevuuskulma abskissa-akseliin nähden, kulmakertoimen arvo tulee ottaa huomioon. Jos k > 0, niin suora kulma on terävä ja se saadaan kaavasta α = a r c t g k. Jos k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Esimerkki 2

Määritä annetun suoran kaltevuuskulma suhteessa O x:ään kulmakertoimella 3.

Ratkaisu

Ehdolla on, että kulmakerroin on positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaltevuuskulma O x:ään nähden on alle 90 astetta. Laskelmat tehdään kaavalla α = a r c t g k = a r c t g 3.

Vastaus: α = a r c t g 3 .

Esimerkki 3

Etsi suoran kaltevuuskulma O x -akseliin nähden, jos kaltevuus = - 1 3.

Ratkaisu

Jos otamme kirjaimen k kulmakertoimen merkinnäksi, niin α on kaltevuuskulma annettuun suoraan nähden positiivisessa suunnassa O x. Tästä syystä k = -1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Vastaus: 5 π 6 .

Yhtälöä, jonka muoto on y = k x + b, jossa k on kulmakerroin ja b on jokin reaaliluku, kutsutaan kaltevuuden yhtälöksi. Yhtälö on tyypillinen mille tahansa suoralle, joka ei ole yhdensuuntainen O y -akselin kanssa.

Jos tarkastelemme yksityiskohtaisesti suoraa tasossa kiinteässä koordinaatistossa, joka määritellään yhtälöllä, jonka kulmakerroin on muotoa y = k x + b. Tässä tapauksessa se tarkoittaa, että yhtälö vastaa minkä tahansa suoran pisteen koordinaatteja. Jos korvaamme pisteen M, M 1 (x 1, y 1) koordinaatit yhtälöön y = k x + b, niin tässä tapauksessa suora kulkee tämän pisteen kautta, muuten piste ei kuulu suoraan.

Esimerkki 4

On annettu suora viiva, jonka kaltevuus on y = 1 3 x - 1. Laske, kuuluvatko pisteet M 1 (3, 0) ja M 2 (2, - 2) annettuun suoraan.

Ratkaisu

On tarpeen korvata pisteen M 1 (3, 0) koordinaatit annettuun yhtälöön, jolloin saadaan 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Tasa-arvo on tosi, mikä tarkoittaa, että piste kuuluu suoralle.

Jos korvaamme pisteen M 2 (2, - 2) koordinaatit, niin saadaan virheellinen yhtälö muotoon - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Voimme päätellä, että piste M 2 ei kuulu suoralle.

Vastaus: M 1 kuuluu riville, mutta M 2 ei.

Tiedetään, että suora määritellään yhtälöllä y = k · x + b, joka kulkee M 1 (0, b) läpi, substituutiolla saatiin yhtälö muotoa b = k · 0 + b ⇔ b = b. Tästä voidaan päätellä, että tasossa olevan suoran yhtälö kulmakertoimella y = k x + b määrittää suoran, joka kulkee pisteen 0, b kautta. Se muodostaa kulman α O x -akselin positiivisen suunnan kanssa, missä k = t g α.

Tarkastellaanpa esimerkkinä suoraa, joka on määritelty muotoon y = 3 x - 1 määritellyllä kulmakertoimella. Saavutetaan, että suora kulkee pisteen, jonka koordinaatit ovat 0, - 1, jyrkkyydellä α = a r c t g 3 = π 3 radiaania O x -akselin positiivisessa suunnassa. Tämä osoittaa, että kerroin on 3.

Tietyn pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö

On tarpeen ratkaista ongelma, jossa on tarpeen saada yhtälö suorasta jyrkkyydestä, joka kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta.

Yhtälöä y 1 = k · x + b voidaan pitää pätevänä, koska suora kulkee pisteen M 1 (x 1, y 1) kautta. Numeron b poistamiseksi on vähennettävä yhtälö kaltevuuden kanssa vasemmalta ja oikealta puolelta. Tästä seuraa, että y - y 1 = k · (x - x 1) . Tätä yhtälöä kutsutaan pisteen M 1 (x 1, y 1) koordinaattien kautta kulkevan suoran yhtälöksi, jolla on tietty kaltevuus k.

Esimerkki 5

Kirjoita yhtälö pisteen M 1 kautta kulkevalle suoralle, jonka koordinaatit (4, - 1) ja jonka kulmakerroin on -2.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Tästä eteenpäin suoran yhtälö kirjoitetaan seuraavasti: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Vastaus: y = -2 x + 7.

Esimerkki 6

Kirjoita yhtälö suorasta kulmakertoimesta, joka kulkee pisteen M 1 kautta koordinaattein (3, 5) yhdensuuntaisesti suoran y = 2 x - 2 kanssa.

Ratkaisu

Ehdolla meillä on, että yhdensuuntaisilla viivoilla on identtiset kaltevuuskulmat, mikä tarkoittaa, että kulmakertoimet ovat yhtä suuret. Löytääksesi kaltevuuden tästä yhtälöstä, sinun on muistettava sen peruskaava y = 2 x - 2, tästä seuraa, että k = 2. Muodostamme yhtälön kaltevuuskertoimella ja saamme:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Vastaus: y = 2 x - 1 .

Siirtyminen suoraviivaisesta yhtälöstä, jossa on kaltevuus, muun tyyppisiin suorayhtälöihin ja takaisin

Tämä yhtälö ei aina sovellu ongelmien ratkaisemiseen, koska se ei ole kovin kätevästi kirjoitettu. Tätä varten sinun on esitettävä se eri muodossa. Esimerkiksi muotoa y = k x + b oleva yhtälö ei salli suoran suuntavektorin tai normaalivektorin koordinaattien kirjoittamista. Tätä varten sinun on opittava esittämään eri tyyppisillä yhtälöillä.

Voimme saada tasossa olevan suoran kanonisen yhtälön käyttämällä kulmakertoimella varustetun suoran yhtälöä. Saamme x - x 1 a x = y - y 1 a y . On tarpeen siirtää termiä b vasemmalle puolelle ja jakaa tuloksena olevan epäyhtälön lausekkeella. Sitten saadaan yhtälö muotoa y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Kaltevan suoran yhtälöstä on tullut tämän suoran kanoninen yhtälö.

Esimerkki 7

Tuo suoran yhtälö, jonka kulmakerroin on y = - 3 x + 12, kanoniseen muotoon.

Ratkaisu

Lasketaan ja esitetään se suoran kanonisen yhtälön muodossa. Saamme muodon yhtälön:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Vastaus: x 1 = y - 12 - 3.

Suoran suoran yleinen yhtälö on helpoin saada kaavasta y = k · x + b, mutta tätä varten on tehtävä muunnoksia: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Suoritetaan siirtyminen suoran yleisestä yhtälöstä erityyppisiin yhtälöihin.

Esimerkki 8

Annettu suora yhtälö muotoa y = 1 7 x - 2 . Selvitä, onko vektori, jonka koordinaatit a → = (- 1, 7), normaali viivavektori?

Ratkaisu

Ratkaisua varten on siirryttävä tämän yhtälön toiseen muotoon, tätä varten kirjoitamme:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Muuttujien edessä olevat kertoimet ovat suoran normaalivektorin koordinaatteja. Kirjoitetaan se näin: n → = 1 7, - 1, joten 1 7 x - y - 2 = 0. On selvää, että vektori a → = (- 1, 7) on kollineaarinen vektorin n → = 1 7, - 1 kanssa, koska meillä on reilu relaatio a → = - 7 · n →. Tästä seuraa, että alkuperäinen vektori a → = - 1, 7 on suoran 1 7 x - y - 2 = 0 normaalivektori, mikä tarkoittaa, että sitä pidetään normaalivektorina suoralle y = 1 7 x - 2.

Vastaus: On

Ratkaistaan ​​tämän käänteinen ongelma.

On tarpeen siirtyä yhtälön A x + B y + C = 0 yleisestä muodosta, jossa B ≠ 0, yhtälöön, jossa on kulmakerroin. Tätä varten ratkaisemme yhtälön y:lle. Saamme A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Tuloksena on yhtälö, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin - A B .

Esimerkki 9

On annettu suora yhtälö muotoa 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Hanki tietyn suoran yhtälö kulmakertoimella.

Ratkaisu

Ehdon perusteella on ratkaistava y, jolloin saadaan yhtälö muotoa:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Vastaus: y = 1 6 x + 1 4 .

Samalla tavalla ratkaistaan ​​yhtälö, jonka muoto on x a + y b = 1, jota kutsutaan suoran yhtälöksi segmenteissä tai kanoniseksi muotoa x - x 1 a x = y - y 1 a y. Meidän on ratkaistava se y:lle, vasta sitten saamme yhtälön kulmakertoimella:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon, jossa on kulmakerroin. Tätä varten:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Esimerkki 10

On olemassa yhtälö x 2 + y - 3 = 1 antama suora viiva. Vähennä yhtälön muotoon kulmakertoimella.

Ratkaisu.

Ehdon perusteella on muunnettava, jolloin saadaan yhtälö muotoa _kaava_. Vaaditun kaltevuusyhtälön saamiseksi yhtälön molemmat puolet on kerrottava -3:lla. Muuntamalla saamme:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Vastaus: y = 3 2 x - 3.

Esimerkki 11

Pelistä muotoa x - 2 2 = y + 1 5 oleva suorayhtälö muotoon, jolla on kulmakerroin.

Ratkaisu

On tarpeen laskea lauseke x - 2 2 = y + 1 5 suhteessa. Saamme, että 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Nyt sinun on otettava se käyttöön kokonaan, jotta voit tehdä tämän:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 v + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Vastaus: y = 5 2 x - 6 .

Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi parametriset yhtälöt muotoa x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ tulee pelkistää suoran kanoniseen yhtälöön, vasta tämän jälkeen voidaan edetä yhtälöön kaltevuuskerroin.

Esimerkki 12

Laske suoran kaltevuus, jos se on annettu parametriyhtälöillä x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Ratkaisu

On välttämätöntä siirtyä parametrinäkymästä rinteeseen. Tätä varten löydämme kanonisen yhtälön annetusta parametrisesta yhtälöstä:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nyt on tarpeen ratkaista tämä yhtälö y:n suhteen, jotta saadaan yhtälö suorasta kulmakertoimesta. Tehdään tämä kirjoittamalla se näin:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Tästä seuraa, että viivan kaltevuus on 2. Tämä kirjoitetaan muodossa k = 2.

Vastaus: k = 2.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter