Opintojakso: Eulerin gammafunktion erikoisominaisuudet. Gammasäteily ja sen ominaisuudet

Gammasäteet ovat erittäin korkeataajuisia sähkömagneettisia värähtelyjä, jotka etenevät avaruudessa valon nopeudella. Ydin lähettää nämä säteilyt erillisinä osina, joita kutsutaan gamma-kvanteiksi tai fotoneiksi.

Gamma-kvanttien energia on välillä 0,05 - 5 MeV. Gammasäteilyä, jonka energia on alle 1 MeV, kutsutaan ehdollisesti pehmeäksi säteilyksi ja yli 1 MeV:n energiaksi kovaksi säteilyksi.

Gammasäteily ei ole itsenäinen säteilytyyppi. Yleensä beetahajoamiseen liittyy gammasäteilyä, harvemmin alfahajoamista. Alfa- tai beetahiukkasia poistamalla ydin vapautuu ylimääräisestä energiasta, mutta voi silti pysyä virittyneessä tilassa. Siirtymään virittyneestä tilasta perustilaan liittyy gammasäteilyä, kun taas ytimen koostumus ei muutu.

Ilmassa gammasäteet leviävät pitkiä matkoja, mitattuna kymmenissä ja sadoissa metreissä.

Gammasäteiden läpäisykyky on 50-100 kertaa suurempi kuin beetahiukkasten tunkeutumiskyky ja tuhansia kertoja suurempi kuin alfahiukkasten tunkeutumiskyky.

Ionisoi väliaine gammasäteiden kulkiessa sen läpi: vain sekundaarisilla elektroneilla, jotka syntyvät gammasäteiden ja aineatomien vuorovaikutuksen seurauksena. Gamma-kvanttien ionisoiva kyky määräytyy niiden energian perusteella. Yleensä yksi gamma-kvantti antaa niin monta ioniparia kuin on saman energian beeta- tai alfahiukkasia. Gammasäteiden pienemmän absorption vuoksi niiden muodostamat ionit ovat kuitenkin jakautuneet pidemmälle. Siksi gammasäteiden ominaisionisointiteho on satoja kertoja pienempi kuin beetahiukkasten ominaisionisointiteho, tuhansia kertoja pienempi kuin alfahiukkasten ominaisionisointiteho ja se on useita ioniparia ilmassa 1 cm:ä kohti. polku.

Johtopäätös. Gammasäteilyllä on suurin läpäisykyky verrattuna muun tyyppisen radioaktiivisen säteilyn läpäisykykyyn. Samaan aikaan gammasäteilyllä on erittäin alhainen ominaisionisointikyky, joka on useita ioniparia ilmassa per 1 cm gammasäteiden reittiä.

Neutronisäteily ja sen tärkeimmät ominaisuudet

Neutronisäteily on ytimien fissio- tai fuusioprosessissa esiintyvää korpuskulaarista säteilyä.

Neutroneilla on voimakas vahingollinen vaikutus, koska ne, joilla ei ole sähkövarausta, tunkeutuvat helposti elävien kudosten muodostavien atomien ytimiin ja vangitsevat ne.

Yli 99 % ydinräjähdyksen neutronien kokonaismäärästä vapautuu 10-14 sekunnissa. Näitä neutroneja kutsutaan pikavireiksi. Loput (noin 1 %) neutroneista emittoivat myöhemmin joidenkin fissiofragmenttien beetahajoamisen aikana. Näitä neutroneja kutsutaan viivästyneiksi.

Neutronien etenemisnopeus saavuttaa 20 000 km/h. Aika, joka kuluu kaikkien neutronien kulkemiseen etäisyyden räjähdyspaikasta tuhoutumisuhan aiheuttamaan paikkaan, on noin sekunti räjähdyshetkestä.

Energiasta riippuen neutronit luokitellaan seuraavasti:

hitaat neutronit 0-0,1 keV;

välienergian neutronit 0,1-20 keV;

nopeat neutronit 20 keV-10 MeV;

korkean energian neutronit yli 10 MeV.

Termiset neutronit - neutronit, jotka ovat termisessä tasapainossa ympäristön kanssa (energialla enintään 1 eV), sisältyvät hitaiden neutronien alueelle.

Neutronien kulkemiseen aineen läpi liittyy niiden intensiteetin heikkeneminen. Tämä heikkeneminen johtuu neutronien vuorovaikutuksesta aineen atomien ytimien kanssa.

röntgensäteilyä

Röntgensäteitä syntyy, kun nopeat elektronit pommittavat kiinteitä kohteita. Röntgenputki on tyhjennetty ilmapallo, jossa on useita elektrodeja (kuva 1.2). Virralla lämmitetty katodi K toimii termionisen emission aiheuttamien vapaiden elektronien lähteenä. Sylinterimäinen elektrodi Z on suunniteltu elektronisuihkun tarkentamiseen.

Kohde on anodi A, jota kutsutaan myös antikatodiksi. Se on valmistettu raskasmetalleista (W, C. Pt jne.). Elektroneja kiihdyttää katodin ja antikatodin väliin muodostuva korkea jännite. Lähes kaikki elektronien energia vapautuu antikatodissa lämmön muodossa (vain 1-3 % energiasta muuttuu säteilyksi).

Antikatodin aineessa elektronit kokevat voimakkaan hidastumisen ja niistä tulee sähkömagneettisten aaltojen lähde.

Riittävän suurella elektroninopeudella virittyy bremsstrahlungin (eli elektronien hidastumisesta johtuvan säteilyn) lisäksi myös ominaissäteily (joka johtuu antikatodiatomien sisäisten elektronikuorten virityksestä).

Röntgensäteilyn intensiteettiä voidaan mitata sekä valokuvausvaikutuksen asteella että sen kaasumaisissa väliaineissa, erityisesti ilmassa, tuottamalla ionisaatiolla. * Mitä voimakkaampaa säteily, sitä enemmän ionisaatiota se tuottaa. Vuorovaikutusmekanismin mukaan aineen kanssa röntgensäteet ovat samanlaisia kuin y-säteily. Röntgensäteilyn aallonpituus on 10 -10 -10 -6 cm, gammasäteilyn -10-9 cm ja alle.

Tällä hetkellä röntgensäteitä käytetään ohjausvälineenä. Röntgensäteiden avulla ne säätelevät hitsauksen laatua, vastaavien tuotteiden tasalaatuisuutta jne. Lääketieteessä röntgensäteitä käytetään laajalti diagnoosissa ja joissain tapauksissa syöpäsoluihin vaikuttamisena.

Luento nro 11 (2 luentoa voidaan pitää)

GAMMA-FUNKTIO, G-funktio, on transsendentaalinen funktio T(z), joka levittää tekijän z arvoja! minkä tahansa kompleksin tapauksessa z ≠ 0, -1, -2, .... G.-f. esitteli L. Euler [(L. Euler), 1729, kirje Ch. Goldbachille] käyttäen ääretöntä tuloa

josta L. Euler sai integraaliesityksen (toisen tyyppinen Euler-integraali)

tosi kun Re z > 0. Funktion x z-1 polysemia eliminoidaan kaavalla x z-1 = e (z-1)ln x todellisella ln x:llä. Nimitys Г(z) ja nimet. G.-f. ehdotti A. M. Legendre (A. M. Legendre, 1814).

Koko z-tasolla ulostyönnetyillä pisteillä z = 0, -1, -2, ... G.-f. Hankelin integraaliesitys on voimassa:

missä s z-1 = e (z-1)ln s ja ln s on logaritmin haara, jolle 0

G.-f.:n perussuhteet ja ominaisuudet.

1) Eulerin funktionaalinen yhtälö:

zГ(z) = Г(z + 1),

G(1) = 1, G(n + 1) = n!, jos n > 0 on kokonaisluku, laskettaessa 0! = Г(1) = 1.

2) Eulerin komplementtikaava:

Г(z)Г(1 - z) = π/sin πz.

Erityisesti,

jos n > 0 on kokonaisluku, niin

y on totta.

3) Gaussin kertolaskukaava:

Kun m = 2, tämä on Legendren tuplauskaava.

4) Kun Re z ≥ δ > 0 tai |Im z| ≥ δ > 0, asymptoottinen ln Г(z):n laajennus Stirling-sarjassa:

jossa B 2n ovat Bernoullin lukuja. Mitä tasa-arvo tarkoittaa?

Erityisesti,

Tarkempi on Soninin kaava:

5) Reaalialueella G(x) > 0, kun x > 0 ja ottaa merkin (-1) k + 1 osissa -k - 1

ГГ "" > Г" 2 ≥ 0,

eli kaikki haarat sekä |Г(x)| että ln |Г(х)| ovat kuperia funktioita. Ominaisuus on logaritminen. kupera määrittää G.-f. funktionaalisen yhtälön kaikkien ratkaisujen joukossa

G(1 + x) = xG(x)

vakiotekijään asti.

Riisi. 2. Kuvaaja funktiosta y \u003d G (x).

Positiiviselle x G.-f. on yksi vähimmäisarvo kohdassa x = 1,4616321... yhtä kuin 0,885603... . Paikalliset minimit funktiolle |Г(х)| muodossa x → -∞ ne muodostavat nollaan pyrkivän sekvenssin.

Riisi. 3. Funktion 1/Г(x) kuvaaja.

6) Kompleksialueella, jos Re z > 0, G.-f. pienenee nopeasti kuin |Im z| → -∞

7) Funktio 1/Г(z) (katso kuva 3) on kokonainen maksimityypin 1. kertaluvun funktio ja asymptoottisesti muodossa Г → ∞

log М(r) ~ r log r,

Sitä voidaan edustaa äärettömällä Weierstrass-tuotteella:

absoluuttisesti ja tasaisesti suppeneva missä tahansa kompleksitason kompaktissa joukossa (tässä C-Euler-vakio). Integroitu Hankel-esitys on voimassa:

jossa piiri C * on esitetty kuvassa. 4.

Integraaliesitykset G.-f.-asteille. hankki G. F. Vorony.

Sovelluksissa ns polygammafunktiot, jotka ovat k:nnet ln Г(z) derivaatat. Funktio (ψ-Gauss-funktio)

on meromorfinen, siinä on yksinkertaiset navat pisteissä z = 0,-1,_-2, ... ja se täyttää funktionaalisen yhtälön

ψ(z + 1) - ψ(z) = 1/z.

Esityksestä ψ(z) |z|:lle

tämä kaava on hyödyllinen laskettaessa Г(z) pisteen z = 1 läheisyydessä.

Muita polygammafunktioita, katso . Epätäydellinen gammafunktio määritellään yhtälöllä

Funktiot Г(z), ψ(z) ovat transsendentaalisia funktioita, jotka eivät täytä mitään lineaarista differentiaaliyhtälöä rationaalisilla kertoimilla (Hölderin lause).

Yksinomainen rooli G.-f. matematiikassa. analyysin määrää se tosiasia, että G.-f. ilmaistaan suuri määrä määrällisiä integraaleja, äärettömiä tuloja ja sarjojen summia (katso esimerkiksi beta-funktio). Sitä paitsi G.-f. löytää laajoja sovelluksia erikoisfunktioiden teoriassa (hypergeometriset funktiot, joille G.-f. on rajatapaus, lieriömäiset funktiot, jne.), analyyttisessa. lukuteoria jne.

Lit .: Whittaker E. T., Watson J. N., Modernin analyysin kurssi, s. englannista, osa 2, 2. painos, M., 1963; Bateman G., Erdeyi A., Korkeammat transsendentaaliset funktiot Hypergeometrinen funktio. Legendre-funktiot, trans. Englannista, M., 1965; Bourbaki N., Reaalimuuttujan funktiot. Elementary Theory, käänn. ranskasta, Moskova, 1965; Matemaattinen analyysi. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, (Reference Mathematical Library), M., 1961; Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma-funktion, Lpz., 1906; Sonin N. Ya., Studies on sylinterimäiset funktiot ja erityiset polynomit, Moskova, 1954; Voronoi G.F., Sobr. soch., osa 2, K., 1952, s. 53-62; Janke E., Emde F., Lesh F., Erikoistoiminnot. Kaavat, kaaviot, taulukot, käännös. saksasta, 2. painos, M., 1968; Ango A., Matematiikka sähkö- ja radioinsinööreille, käänn. ranskasta, 2. painos, M., 1967.

L.P. Kuptsov.

Lähteet:

Matemaattinen tietosanakirja. T. 1 (A - D). Ed. kollegio: I. M. Vinogradov (päätoimittaja) [ja muut] - M., "Soviet Encyclopedia", 1977, 1152 jne. sairaalta.

Kurssityön selitys on tehty 36 arkin verran. Se sisältää gammafunktioarvojen taulukon joillekin muuttujien arvoille ja ohjelmatekstejä gammafunktion arvojen laskemiseen ja piirtämiseen sekä 2 kuvaa.

Termipaperin kirjoittamiseen käytettiin 7 lähdettä.

Johdanto

Varaa erityinen funktioiden luokka, joka voidaan edustaa oikean tai väärän integraalin muodossa, joka ei riipu vain muodollisesta muuttujasta, vaan myös parametrista.

Tällaisia toimintoja kutsutaan parametririippuviksi integraaleiksi. Näitä ovat Eulerin gamma- ja beta-funktiot.

Beta-funktioita edustaa ensimmäisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktiota edustaa toisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktio on yksi yksinkertaisimmista ja merkittävimmistä erikoisfunktioista, jonka ominaisuuksien tunteminen on välttämätöntä monien muiden erikoisfunktioiden, esimerkiksi sylinterimäisten, hypergeometristen ja muiden, tutkimiseen.

Sen käyttöönoton ansiosta kykymme integraalien laskennassa laajenevat merkittävästi. Myös niissä tapauksissa, joissa lopullinen kaava ei sisällä muita funktioita kuin alkeisfunktioita, sen saaminen helpottaa silti usein funktion Г käyttöä ainakin välilaskuissa.

Eulerin integraalit ovat hyvin tutkittuja ei-alkeisfunktioita. Ongelma katsotaan ratkaistuksi, jos se pelkistetään Euler-integraalien laskemiseen.

1. Beta-toiminnot minä euler

Beta-funktiot määritetään ensimmäisen tyypin Euler-integraalilla:

=(1.1)

Se edustaa kahden muuttuvan parametrin funktiota

ja: toiminto B. Jos nämä parametrit täyttävät ehdot ja , niin integraali (1.1) on väärä integraali riippuen parametreista ja , ja tämän integraalin yksikköpisteet ovat pisteitä ja

Integraali (1.1) konvergoi for

.Olettaen, että saamme: = -

eli Perustelu

ja syötä symmetrisesti. Ottaen huomioon henkilöllisyyden

meillä olevan integrointikaavan mukaan

Mistä saamme?

Kun kokonaisluku b = n, sovelletaan peräkkäin (1.2)

kokonaisluvulle

= m,= n, meillä on

mutta B(1,1) = 1, joten:

Laitamme (1.1)

.Funktion kaaviosta lähtien

symmetrinen suoran linjan suhteen

ja vaihdon seurauksena

, saamme

asetus (1.1)

, mistä saamme

jakaa integraali kahdella välillä 0-1 ja 1-

ja soveltamalla substituutiota toiseen integraaliin, saamme

2. Gammafunktio

2.1 Määritelmä

Huutomerkki matemaattisissa teoksissa tarkoittaa yleensä jonkin ei-negatiivisen kokonaisluvun faktoriaalin ottamista:

n! = 1 2 3 ... n.

Tekijäfunktio voidaan kirjoittaa myös rekursiorelaatioksi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tätä suhdetta voidaan tarkastella paitsi n:n kokonaislukuarvoille.

Harkitse eroyhtälöä

Yksinkertaisesta merkinnästä huolimatta tätä yhtälöä ei voida ratkaista alkeisfunktioissa. Sen ratkaisua kutsutaan gammafunktioksi. Gammafunktio voidaan kirjoittaa sarjana tai integraalina. Gammafunktion globaalien ominaisuuksien tutkimiseen käytetään yleensä integraaliesitystä.

2.2 yhtenäinen esitys

Jatketaan tämän yhtälön ratkaisemiseen. Etsimme ratkaisua Laplace-integraalin muodossa:

Tässä tapauksessa yhtälön (2.1) oikea puoli voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Tämä kaava on voimassa, jos ei-integraalitermille on rajat. Emme tiedä etukäteen kuvan [(G)\tilde](p) käyttäytymistä muodossa p®±¥. Oletetaan, että gammafunktion kuva on sellainen, että integraalin ulkopuolella oleva termi on yhtä suuri kuin nolla. Ratkaisun löytymisen jälkeen on tarkistettava, pitääkö oletus ei-integraalitermistä totta, muuten joudumme etsimään G(z):tä jollain muulla tavalla.

abstrakti

Tämän kurssityön tarkoituksena on tutkia Euler Gamma -funktion erityisominaisuuksia. Työn aikana tutkittiin Gamma-funktiota, sen pääominaisuuksia ja laadittiin laskenta-algoritmi vaihtelevalla tarkkuudella. Algoritmi kirjoitettiin korkean tason kielellä - C. Ohjelman tulosta verrataan taulukkoon. Arvoissa ei havaittu poikkeamia.

Termipaperin kirjoittamiseen käytettiin 7 lähdettä.

Johdanto

Varaa erityinen funktioiden luokka, joka voidaan edustaa oikean tai väärän integraalin muodossa, joka ei riipu vain muodollisesta muuttujasta, vaan myös parametrista.

Tällaisia toimintoja kutsutaan parametririippuviksi integraaleiksi. Näitä ovat Eulerin gamma- ja beta-funktiot.

Beta-funktioita edustaa ensimmäisen tyyppinen Euler-integraali:

Gammafunktiota edustaa toisen tyyppinen Euler-integraali:

Eulerin integraalit ovat hyvin tutkittuja ei-alkeisfunktioita. Ongelma katsotaan ratkaistuksi, jos se pelkistetään Euler-integraalien laskemiseen.

1. Beta-toiminnot minä euler

Beta-funktiot määritetään ensimmäisen tyypin Euler-integraalilla:

Se edustaa kahden muuttujaparametrin funktiota ja: funktiota B. Jos nämä parametrit täyttävät ehdot ja , niin integraali (1.1) on väärä integraali riippuen parametreista ja , ja tämän integraalin yksikköpisteet ovat pisteitä ja

Integraali (1.1) konvergoi kohdassa . Olettaen, että saamme:

= - =

eli argumentti ja syötä symmetrisesti. Ottaen huomioon henkilöllisyyden

meillä olevan integrointikaavan mukaan

Mistä saamme?

Kun kokonaisluku b = n, sovelletaan peräkkäin (1.2)

kokonaisluvuille = m,= n, meillä on

mutta B(1,1) = 1, joten:

Laitetaan (1.1) .Funktion kaaviosta lähtien symmetrinen suoran linjan suhteen

ja vaihtamisen seurauksena saamme

oletetaan (1.1) , mistä saamme

jakamalla integraali kahdella alueella 0-1 ja 1:stä ja soveltamalla substituutiointegraalia toiseen integraaliin, saadaan

2. Gammafunktio

2.1 Määritelmä

Huutomerkki matemaattisissa teoksissa tarkoittaa yleensä jonkin ei-negatiivisen kokonaisluvun faktoriaalin ottamista:

n! = 1 2 3 ... n.

Tekijäfunktio voidaan kirjoittaa myös rekursiorelaatioksi:

(n+1)! = (n+1) n!.

Tätä suhdetta voidaan tarkastella paitsi n:n kokonaislukuarvoille.

Harkitse eroyhtälöä

2.2 yhtenäinen esitys

Jatketaan tämän yhtälön ratkaisemiseen. Etsimme ratkaisua Laplace-integraalin muodossa:

Tässä tapauksessa yhtälön (2.1) oikea puoli voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Yhtälön (2.1) vasen puoli kirjoitetaan seuraavasti:

Tällöin yhtälö (2.1) gammafunktion kuvalle on muotoa:

Tämä yhtälö on helppo ratkaista:

On helppo nähdä, että löydetty funktio [(Γ)\tilde](p) on itse asiassa sellainen, että kaavan (2.2) ei-integraalitermi on yhtä suuri kuin nolla.

Gammafunktion kuvan tuntemalla esikuvalle on helppo saada lauseke:

Tämä on ei-kanoninen kaava, jotta se saadaan Eulerin saamaan muotoon, on tarpeen muuttaa integrointimuuttuja: t = exp(-p), jolloin integraali saa muodon:

Vakio C valitaan siten, että z:n kokonaislukuarvoille gammafunktio on sama kuin tekijäfunktio: Г(n+1) = n!, sitten:

joten C = 1. Lopuksi saadaan Eulerin kaava gammafunktiolle:

Tämä toiminto on hyvin yleinen matemaattisissa teksteissä. Kun työskentelet erikoistoimintojen kanssa, ehkä jopa useammin kuin huutomerkki.

Voit tarkistaa, että kaavan (2.3) määrittelemä funktio todella täyttää yhtälön (2.1) integroimalla tämän kaavan oikealla puolella olevan integraalin osissa:

2.3 Domain ja navat

Integraalin (2.3) integrandissa kohdassa , eksponentti exp( -tz) R( z) > 0 pienenee paljon nopeammin kuin algebrallinen funktio kasvaa t(z-1) . Singulariteetti nollassa on integroitavissa, joten virheellinen integraali kohdassa (2.3) konvergoi absoluuttisesti ja tasaisesti arvolle R (z) > 0. Lisäksi peräkkäisellä differentiaatiolla parametrin suhteen z on helppo varmistaa, että G( z) on holomorfinen funktio R:lle ( z) > 0. Integraaliesityksen (2.3) sopimattomuus R ( z) 0 ei tarkoita, että itse gammafunktio ei olisi siellä määritelty - yhtälön (2.1) ratkaisu.

Tarkastellaan Г(z):n käyttäytymistä nollan ympäristössä. Tätä varten kuvitellaan:

missä on holomorfinen funktio naapurustossa z = 0. Kaavasta (2.1) seuraa:

eli Г(z):llä on ensimmäisen asteen napa kohdassa z = 0.

Se on myös helppo saada:

eli pisteen läheisyydessä funktio Г( z) on myös ensimmäisen asteen napa.

Samalla tavalla saat kaavan:

Tästä kaavasta seuraa, että pisteet z = 0,-1,-2,... ovat gammafunktion yksinkertaisia napoja eikä tällä funktiolla ole muita napoja reaaliakselilla. Jäännös on helppo laskea pisteessä z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Hankel-esitys silmukkaintegraalin kautta

Selvitä, onko gammafunktiossa nollia. Harkitse toimintoa tehdäksesi tämän

Tämän funktion navat ovat funktion Г(z) nollia.

Erotusyhtälö I( z) on helppo saada käyttämällä lauseketta Г( z):

Lauseke tämän yhtälön ratkaisemiseksi integraalin muodossa voidaan saada samalla tavalla kuin gammafunktion integraalilauseke saatiin - Laplace-muunnoksen avulla. Alla on laskelmat. Kumpikaan ei ole sama kuin kappaleessa 1. Ja  integraali on pisteitä __________________________________________________________________________________

Kun muuttujat on erotettu, saamme:

Integroinnin jälkeen saamme:

Siirtyminen Laplacen esikuvaan antaa:

Tuloksena olevassa integraalissa teemme muutoksen integrointimuuttujaan:

Sitten

Tässä on tärkeää huomata, että integrandi ei-kokonaislukuarvoille z on haarautumispiste t= 0. Muuttujan kompleksitasolla t Piirretään leikkaus negatiivista todellista puoliakselia pitkin. Esitämme integraalin tätä puoliakselia pitkin tämän jakson yläsivulla olevan integraalin summana arvoon 0 ja integraalin 0:sta osan alapuolelle. Jotta integraali ei kulje haarapisteen läpi, järjestämme sen ympärille silmukan.

Kuva 1: Silmukka integraalisessa Hankel-esityksessä.

Tuloksena saamme:

Vakion arvon selvittämiseksi muista, että I(1) = 1, toisaalta:

yhtenäinen esitys

kutsutaan Hankelin esitykseksi silmukan suhteen.

On helppo nähdä, että funktio 1/Γ( z) ei sisällä napoja kompleksitasossa, joten gammafunktiolla ei ole nollia.

Tätä integraaliesitystä käyttämällä voidaan saada kaava gammafunktioiden tulolle. Tätä varten integraalissa teemme muutoksen muuttujaa , sitten:

2.5 Eulerin rajalomake

Gammafunktio voidaan esittää äärettömänä tulona. Tämä voidaan nähdä, jos integraalissa (2.3) edustamme

Sitten gammafunktion integraaliesitys on:

Tässä kaavassa voimme muuttaa rajoja - integroinnin rajaa väärässä integraalissa ja rajaa integraalin sisällä. Tässä on tulos:

Otetaan tämä integraali osittain:

Jos suoritamme tämän toimenpiteen n kertaa, saamme:

Ylittäessämme rajan, saamme gammafunktiolle Eulerin rajamuodon:

2.6 Tuotteen kaava

Alla tarvitsemme kaavan, jossa kahden gammafunktion tulo esitetään yhden gammafunktion kautta. Johdetaan tämä kaava käyttämällä gammafunktioiden integraaliesitystä.

Esitämme iteroidun integraalin kaksoisvirheintegraalina. Tämä voidaan tehdä käyttämällä Fubinin lausetta. Tuloksena saamme:

Väärä integraali konvergoi tasaisesti. Sitä voidaan pitää esimerkiksi integraalina kolmion yli, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora x + y = R kohdassa R. Kaksoisintegraalissa tehdään muuttujien muutos:

Tämän korvaajan Jacobian

Integrointirajat: u muuttuu 0:sta ∞:ksi, v samalla kun vaihdat 0:sta 1:een. Tuloksena saamme:

Kirjoitamme tämän integraalin uudelleen toistuvaksi, tuloksena saamme:

missä R p> 0, R v > 0.

2. Gammafunktion derivaatta

Integraali

lähentyy kullekin , koska , ja integraali kohdassa konvergoi.

Alueella, jossa on mielivaltainen positiivinen luku, tämä integraali konvergoi tasaisesti, koska ja voimme soveltaa Weirstrass-testiä. Koko integraali on myös konvergentti kaikille arvoille koska oikealla puolella oleva toinen termi on integraali, joka varmasti suppenee mille tahansa. On helppo nähdä, että integraali konvergoi minkä tahansa alueen yli missä mielivaltaista. Voimassa kaikille määritetyille arvoille ja kaikille , ja siitä lähtien lähentyy, Weierstrassin kriteerin ehdot täyttyvät. Alueella siis kiinteä yhtyy tasaisesti.

Tämä merkitsee gammafunktion jatkuvuutta at. Todistakaamme tämän funktion differentiatiivisuus kohdassa . Huomaa, että funktio on jatkuva ja, ja näytämme, että integraali:

konvergoi tasaisesti jokaisessa segmentissä, . Valitaan numero siten, että ; sitten for . Siksi on olemassa luku sellainen, että ja varten. Mutta sitten epätasa-arvo pätee

ja koska integraali suppenee, integraali suppenee tasaisesti suhteessa . Vastaavasti sillä on olemassa luku, joka on kaikelle epäyhtälölle . Sellaisten ja kaikella mitä saamme , josta vertailukriteerin perusteella seuraa, että integraali suppenee tasaisesti suhteessa . Lopuksi integraali

jossa integrandi on jatkuva alueella

Ilmeisesti lähentyy tasaisesti suhteessa . Siten integraalille

konvergoi tasaisesti, ja näin ollen gammafunktio on äärettömästi differentioituva mille tahansa ja yhtäläisyydelle

Mitä tulee integraaliin, voimme toistaa saman päättelyn ja päätellä, että

Induktiolla todistetaan, että Γ-funktio on äärettömästi differentioituva ja sen i:s derivaatta täyttää yhtälön

Tutkitaanpa nyt käyttäytymisfunktioita ja laaditaan luonnos sen graafista. (Katso liite 1)

-funktion toisen derivaatan lausekkeesta voidaan nähdä, että kaikille . Siksi se kasvaa. Koska , sitten segmentin roolilauseen mukaan derivaatta varten ja for , Eli pienenee monotonisesti ja monotonisesti kasvaa . Lisäksi siitä lähtien , sitten klo . Sillä kaavasta seuraa, että .

Tasa-arvo , voimassa , voidaan käyttää laajennettaessa -funktiota negatiiviseen arvoon.

Laitetaan siihen . Tämän tasa-arvon oikea puoli on määritelty alkaen (-1,0) . Saamme, että näin jatkettu funktio saa (-1,0) negatiiviset arvot ja at , sekä funktiossa .

Kun olet määritellyt tällä tavalla kohdassa , voimme jatkaa sitä väliin (-2,-1) käyttämällä samaa kaavaa. Tällä aikavälillä jatko on funktio, joka ottaa positiivisia arvoja ja siten, että for ja . Jatkamalla tätä prosessia määrittelemme funktion, jolla on epäjatkuvuuksia kokonaislukupisteissä (Katso liite 1.)

Huomaa jälleen, että integraali

määrittelee Γ-funktion vain positiivisille arvoille, jatkamisen negatiivisiin arvoihin suoritamme muodollisesti pelkistyskaavaa käyttäen .

4. Joidenkin integraalien laskeminen.

Stirlingin kaava

Sovelletaan gammafunktiota integraalin laskemiseen:

missä m > -1,n > -1. Olettaen, että , meillä on

ja (2.8) perusteella meillä on

Integraalissa

Jos k > -1,n > 0, riittää, että laitetaan

Integraali

Jos s > 0, laajenna sarjassa

missä on Riemannin zetta-funktio

Harkitse epätäydellisiä gammafunktioita (prim-funktioita)

eriarvoisuuden sitoma

Laajentumassa, peräkkäin meillä on

Siirrytään Stirlingin kaavan johtamiseen, joka antaa erityisesti likimääräisen arvon n! suurille n:n arvoille harkitse ensin apufunktiota

(4.2)

Jatkuva välillä (-1,) kasvaa monotonisesti arvosta arvoon vaihdettaessa arvosta arvoon ja muuttuu arvoksi 0, kun u = 0. Koska

Ja niin derivaatta on jatkuva ja positiivinen koko välissä, täyttää ehdon

Yllä olevasta seuraa, että välille on määritetty käänteisfunktio, joka on jatkuva ja monotonisesti kasvava tässä välissä,

Kääntyminen 0:ksi kohdassa v=0 ja ehdon täyttyminen

Johdamme Stirlingin kaavan tasa-arvosta

olettaen, että meillä on

olettaen lopussa, saamme

rajassa ts. klo (katso 4.3)

mistä Stirlingin kaava tulee

joka voidaan ottaa muodossa

missä

riittävän suurille oletuksille

laskelma tehdään logaritmeilla

jos positiivinen kokonaisluku, niin (4.5) muuttuu myös likimääräiseksi kaavaksi kertoimien laskemiseksi suurille n:n arvoille

annamme ilman johtamista tarkemman kaavan

jossa suluissa on ei-konvergoituva sarja.

5. Esimerkkejä integraalien laskemisesta

Laskemiseen tarvitaan kaavoja:

G()

Laske integraalit

KÄYTÄNNÖN OSA

Gammafunktion laskemiseen käytetään sen logaritmin approksimaatiota. Gammafunktion approksimoimiseksi välillä x>0 käytetään seuraavaa kaavaa (kompleksille z):

G(z+1)=(z+g+0,5) z+0,5 exp(-(z+g+0,5))

Tämä kaava on samanlainen kuin Stirlingin approksimaatio, mutta siinä on korjaussarja. Arvoille g=5 ja n=6 tarkistetaan, että virhe ε ei ylitä 2*10 -10 . Lisäksi virhe ei ylitä tätä arvoa koko kompleksitason oikealla puoliskolla: z > 0.

(todellisen) gammafunktion saamiseksi väliltä x>0 käytetään rekursiivista kaavaa Г(z+1)=zГ(z) ja yllä olevaa approksimaatiota Г(z+1). Lisäksi voidaan nähdä, että gammafunktion logaritmia on kätevämpi approksimoida kuin itse gammafunktiota. Ensinnäkin tämä vaatii vain yhden matemaattisen funktion - logaritmin - kutsumisen, ei kahden - eksponentin ja asteen kutsumista (jälkimmäinen käyttää edelleen logaritmin kutsua), ja toiseksi gammafunktio kasvaa nopeasti suurelle x:lle, ja sen approksimaatio logaritmin avulla poistaa ylivuotoongelmat.

Ln(Г(х) - gammafunktion logaritmin arvioimiseksi - saadaan kaava:

log(G(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 + C 2 /(x+1)+C 3 / (x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Kerroin arvot Ck- taulukkotiedot (katso ohjelmasta).

Itse gammafunktio saadaan sen logaritmista ottamalla eksponentti.

Johtopäätös

Gammafunktiot ovat kätevä työkalu joidenkin integraalien laskemiseen, erityisesti moniin integraaleihin, jotka eivät ole esitettävissä alkeisfunktioissa.

Tämän vuoksi niitä käytetään laajalti matematiikassa ja sen sovelluksissa, mekaniikassa, termodynamiikassa ja muilla modernin tieteen aloilla.

Bibliografia

1. Erikoistoiminnot ja niiden sovellukset:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

2. Matemaattisen analyysin osa 2:

Ilyin O.A., Sadovnichiy V.A., Sendov Bl.Kh., M. "Moskovan yliopisto", 1987

3. Matemaattisen analyysin ongelmakokoelma:

Demidovich B.P., M., Nauka, 1966

4. Integraalit ja sarja erikoistoimintoja:

Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., M., Nauka, 1983

5. Erikoisominaisuudet:

Kuznetsov, M. "Lukio", 1965

6. Asymptotiikka ja erikoisfunktiot

F. Olver, M., Nauka, 1990.

7. Hirviöeläintarha tai esittely erikoisominaisuuksiin

O.M. Kiselev,

SOVELLUKSET

Liite 1 - Reaalimuuttujan gammafunktion kuvaaja

Liite 2 - Gammafunktion kuvaaja

Taulukko - taulukko gammafunktion arvoista joillekin argumentin arvoille.

Liite 3 on ohjelmaluettelo, joka piirtää gammafunktioarvojen taulukon joillekin argumenttiarvoille.

Liite 4 - luettelo ohjelmasta, joka piirtää gammafunktion kaavion

Abstrakti................................................. ...................................................3

Johdanto .................................................. ......................................................4

Teoreettinen osa……………………………………………………….5

Eulerin beetafunktio………………………………………………….5

Gamma-toiminto................................................ .............................................. kahdeksan

2.1. Määritelmä……………………………………………………8

2.2. Integroitu esitys…………………………………8

2.3. Määritelmäalue ja navat……………………………..10

2.4. Hankel-esitys silmukkaintegraalina………..10

2.5. Eulerin rajalomake…………………………………………………………………

2.6. Tuotteen kaava…………………………………..13

Gammafunktion johdannainen .................................................. .............. ......... viisitoista

Integraalien laskeminen. Stirlingin kaava..................................18

Esimerkkejä integraalien laskemisesta .................................................. ..................................23

Käytännön osa……………………………………………………….24

Johtopäätös................................................ ..............................................25

Viitteet……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hakemukset…………………………………………………………………..27

LIITE 1

Reaalimuuttujan gammafunktion kuvaaja

LIITE 2

Gammafunktion kuvaaja

PÖYTÄ

X	g(x)

LIITE 3

#sisältää

staattinen double cof=(

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0,5395239384953e-5,

double GammLn(double x) (

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof /(x+6))/x);

lg=(x+0,5)*log(x+5,5)-(x+5,5)+lg1;

double Gamma(double x) (

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t___________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x = x[i]+0,5;

g[i] = Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t___________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

LIITE 4

#sisältää

double gam (double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze=(1,6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a = x, y, fc = 1,0, s, s1, b;

Printf("Annoit vääriä tietoja, yritä uudelleen\n"); paluu -1,0;

Jos(a==0) palauttaa fc;

For(i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2,0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For(n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1,0);

S=s+si-log(1,0+a/n);

Double dx, dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, mini;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, " ");

YN0=getmaxy()-20;

Rivi(30, getmaxy()-10,30,30);

Line(20, getmaxy()-30, getmaxx()-20, getmaxy()-30);

)kun taas (Y>30);

) kun taas (X<700);

) kun taas (X<=620);

)kun taas (y>=30);

X = 30 + 150,0 * 0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X = 30+(600/0*i)/n;

Jos(Y<30) continue;

X=30+150,0*308523;

rivi(30,30,30,10);

Rivi(620,450,640,450);

Rivi(30,10,25,15);

Rivi(640,450,635,445);

Rivi(640,450,635,455);

Rivi(170,445,170,455);

Rivi(320,445,320,455);

Rivi(470,445,470,455);

Rivi(620,445,620,455);

rivi(25,366,35,366);

Rivi(25,282,35,282);

Rivi(25,114,35,114);

rivi(25,30,35,30);

Outtexty(20,465"0");

Outtexty(165 465, "1";

Outtexty(315,465; "2";

Outtexty(465,465; "3";

Outtexty(615,465; "4";

Outtexty(630,465; "x";

Outtexty(15,364; "1";

Outtexty(15 280, "2";

Outtexty(15,196; "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Kokeellisesti on todettu, että g-säteily (ks. § 255) ei ole itsenäinen radioaktiivisuuden muoto, vaan se seuraa vain a- ja b-hajoamista ja syntyy myös ydinreaktioiden aikana, varautuneiden hiukkasten hidastumisessa, niiden hajoamisessa jne. g-spektri on vuorattu. g-spektri on g-kvanttien lukumäärän energiajakauma (sama tulkinta b-spektristä on annettu §258:ssa). G-spektrin diskreettisyys on perustavanlaatuista, koska se on todiste atomiytimien energiatilojen diskreettisyydestä.

Nyt on vakaasti todistettu, että g-säteilyä lähettää tytär (eikä äiti) ydin. Muodostumishetkellä tytärydin virittyneenä siirtyy perustilaan lähettäen g-säteilyä noin 10 -13 - 10 -14 s ajassa, mikä on paljon lyhyempi kuin virittyneen atomin elinikä (noin 10-8 s). Palattuaan perustilaan, virittynyt ydin voi kulkea useiden välitilojen läpi, joten saman radioaktiivisen isotoopin g-säteily voi sisältää useita g-kvanttiryhmiä, jotka eroavat toisistaan energialtaan.

g-säteilyllä MUTTA ja ytimen Z eivät muutu, joten sitä ei kuvata millään siirtymäsäännöillä. Useimpien ytimien g-säteily on niin lyhyen aallonpituuden, että sen aaltoominaisuudet ilmenevät hyvin heikosti. Tässä korostuvat korpuskulaariset ominaisuudet, joten g-säteilyä pidetään hiukkasvirtana - g-kvanttina. Eri ytimien radioaktiivisten hajoamisten aikana g-kvanttien energiat ovat 10 keV - 5 MeV.

Viritetyssä tilassa oleva ydin voi mennä perustilaan paitsi emittoimalla g-kvanttia, vaan myös siirtämällä viritysenergian suoraan (ilman g-kvantin aiempaa emissiota) jollekin sen elektroneista. sama atomi. Tässä tapauksessa emittoidaan niin kutsuttu konversioelektroni. Itse ilmiötä kutsutaan sisäiseksi konversioksi. Sisäinen muunnos on prosessi, joka kilpailee g-säteilyn kanssa.

Muunnoselektronit vastaavat erillisiä energia-arvoja riippuen elektronin työfunktiosta kuoresta, josta elektroni karkaa, ja energiasta E , jonka ydin antaa siirtyessään virittyneestä tilasta perustilaan. Jos kaikki energia E vapautuu y-kvantin muodossa, niin säteilytaajuus v määräytyy tunnetusta suhteesta E=hv . Jos ne emittoivat L sisäisen konversion elektronia, niin niiden energiat ovat yhtä suuria kuin E-A K, E-A L, ..., missä A k, A L, ... on K:stä peräisin olevan elektronin työfunktio - ja L-kuoret. Konversioelektronien monoenergeettinen luonne mahdollistaa niiden erottamisen b-elektroneista, joiden spektri on jatkuva (ks. § 258). Atomin sisäkuorella oleva tyhjä tila, joka on syntynyt elektronin karkaamisen seurauksena, täyttyy elektroneilla päällä olevista kuorista. Siksi sisäiseen konversioon liittyy aina tyypillinen röntgensäteily.

G-kvantit, joilla on nolla lepomassa, eivät voi hidastua väliaineessa, joten kun g-säteily kulkee aineen läpi, se joko absorboi tai siroaa ne. g-kvantit eivät sisällä sähkövarausta eivätkä siten koe Coulombin voimien vaikutusta. Kun y-kvanttien säde kulkee aineen läpi, niiden energia ei muutu, mutta törmäysten seurauksena intensiteetti heikkenee, jonka muutosta kuvaa eksponentiaalinen laki x, m - absorptiokerroin). Koska g-säteily on läpäisevin säteily, m on monille aineille hyvin pieni arvo; m riippuu aineen ominaisuuksista ja g-kvanttien energiasta.

g-kvantit, jotka kulkevat aineen läpi, voivat olla vuorovaikutuksessa sekä aineen atomien elektronikuoren että niiden ytimien kanssa. Kvanttielektrodynamiikassa on todistettu, että tärkeimmät prosessit, jotka liittyvät g-säteilyn kulkemiseen aineen läpi, ovat valosähköinen vaikutus, Compton-ilmiö (Compton-sironta) ja elektroni-positroniparien muodostuminen.

Valosähköinen efekti eli g-säteiden valosähköinen absorptio on prosessi, jossa atomi absorboi g-kvantin ja emittoi elektronin. Koska elektroni tippuu pois yhdestä atomin sisäkuoresta, tyhjentynyt tila täyttyy elektroneilla päällä olevista kuorista, ja valosähköiseen vaikutukseen liittyy ominaista röntgensäteilyä. Valosähköinen vaikutus on vallitseva absorptiomekanismi g-kvanttien alhaisten energioiden alueella (E g< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Kun g-kvanttien energia kasvaa (E g » 0,5 MeV), valosähköisen vaikutuksen todennäköisyys on hyvin pieni, ja päämekanismi g-kvanttien vuorovaikutuksessa aineen kanssa on Compton-sironta (ks. § 206).

Kun E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e on elektronin lepomassa), elektroni-positroniparien muodostusprosessi ytimien sähkökentissä tulee mahdolliseksi. Tämän prosessin todennäköisyys on verrannollinen Z 2:een ja kasvaa E g:lla. Siksi E g » 10 MeV:lla g-säteilyn vuorovaikutuksen pääprosessi missä tahansa aineessa on sähköpositroniparien muodostuminen.

Jos g-kvantin energia ylittää ytimessä olevien nukleonien sitoutumisenergian (7-8 MeV), niin g-kvantin absorption seurauksena voidaan havaita ydinvoiman valosähköinen vaikutus - yhden ytimestä peräisin olevat nukleonit, useimmiten neutroni.

G-säteilyn suurta läpäisykykyä käytetään gammavikojen havaitsemisessa - virheenilmaisumenetelmässä, joka perustuu g-säteilyn erilaiseen absorptioon, kun se etenee saman matkan eri väliaineissa. Vikojen (onteloiden, halkeamien jne.) sijainti ja koko määräytyy läpikuultavan tuotteen eri osien läpi kulkeneen säteilyn intensiteettien eron mukaan.

G-säteilyn (sekä muun tyyppisen ionisoivan säteilyn) vaikutukselle aineeseen on tunnusomaista ionisoivan säteilyn annos. Ero:

Absorboitunut säteilyannos on fysikaalinen määrä, joka on yhtä suuri kuin säteilyenergian suhde säteilytetyn aineen massaan.

Absorboituneen säteilyannoksen yksikkö on harmaa (Gy) *: 1 Gy \u003d 1 J / kg - säteilyannos, jolla minkä tahansa ionisoivan säteilyn energia 1 J siirretään säteilytetylle aineelle, joka painaa 1 kg.

Säteilyn altistusannos on fysikaalinen määrä, joka on yhtä suuri kuin kaikkien samanmerkkisten ionien sähkövarausten summan suhde, jonka säteilytetyssä ilmassa vapautuneet elektronit synnyttävät (kun elektronien ionisoiva kyky on käytetty täysimääräisesti) tämän ilman massa.

Säteilyaltistusannoksen yksikkö on riipus kilogrammaa kohti (C/kg); tumma yksikkö on röntgen (R): 1 R=2,58×10 -4 C/kg.

Biologinen annos - arvo, joka määrittää säteilyn vaikutuksen kehoon.

Biologinen annosyksikkö on röntgensäteilyn (rem) biologinen ekvivalentti: 1 rem on minkä tahansa tyyppisen ionisoivan säteilyn annos, joka tuottaa saman biologisen vaikutuksen kuin röntgen- tai g-säteilyannos 1 R:ssä (1 rem = 10 -2 J/kg).

Portaali opiskelijalle. Itseharjoittelu

Johdanto

Johdanto

2. Gammafunktion derivaatta

Sovelletaan gammafunktiota integraalin laskemiseen:

Johtopäätös

Bibliografia

1. Erikoistoiminnot ja niiden sovellukset:

Lebedev I.I., M., Gostekhterioizdat, 1953

AIHEESEEN LIITTYVÄT ARTIKKELIT