Kun on käsitelty joitakin laskennallisten ongelmien tärkeitä piirteitä, käännytäänpä huomiomme niihin menetelmiin, joita käytetään laskennallisessa matematiikassa ongelmien muuttamiseksi sellaiseen muotoon, joka on kätevä toteuttaa tietokoneella ja mahdollistaa laskennallisten algoritmien rakentamisen. Kutsumme näitä menetelmiä laskennallisiksi. Laskennalliset menetelmät voidaan tietyllä tavalla jakaa seuraaviin luokkiin: 1) ekvivalenttien muunnosmenetelmät; 2)

approksimaatiomenetelmät; 3) suorat (tarkat) menetelmät; 4) iteratiiviset menetelmät; 5) tilastolliset testausmenetelmät (Monte Carlo -menetelmät). Menetelmällä, joka laskee ratkaisun tiettyyn ongelmaan, voi olla melko monimutkainen rakenne, mutta sen perusvaiheet ovat pääsääntöisesti määriteltyjen menetelmien toteuttaminen. Annetaan niistä yleinen käsitys.

1. Vastaavien muunnosten menetelmät.

Näiden menetelmien avulla voit korvata alkuperäisen ongelman toisella, jolla on sama ratkaisu. Vastaavien muunnosten suorittaminen osoittautuu hyödylliseksi, jos uusi ongelma on alkuperäistä yksinkertaisempi tai paremmilla ominaisuuksilla tai sille on tunnettu ratkaisumenetelmä tai kenties valmis ohjelma.

Esimerkki 3.13. Neliöyhtälön ekvivalentti muunnos muotoon (täydellisen neliön valinta) pelkistää ongelman neliöjuuren laskentaongelmaksi ja johtaa kaavoihin (3.2), jotka tunnetaan juuristaan.

Ekvivalentit muunnokset mahdollistavat joskus alkuperäisen laskennallisen ongelman ratkaisun pelkistämisen täysin erityyppisen laskennallisen ongelman ratkaisuksi.

Esimerkki 3.14. Epälineaarisen yhtälön juuren löytämisen ongelma voidaan pelkistää vastaavaksi ongelmaksi funktion globaalin minimipisteen löytämisessä. Itse asiassa funktio on ei-negatiivinen ja saavuttaa minimiarvon, joka on yhtä suuri kuin nolla niille ja vain niille x:ille, joille

2. Approksimointimenetelmät.

Nämä menetelmät mahdollistavat alkuperäisen ongelman approksimoinnin (likimääräisen) toisella, jonka ratkaisu on tietyssä mielessä lähellä alkuperäisen ongelman ratkaisua. Tällaisesta korvaamisesta aiheutuvaa virhettä kutsutaan approksimaatiovirheeksi. Pääsääntöisesti approksimaatiotehtävä sisältää joitain parametreja, joiden avulla voit säätää approksimaatiovirheen suuruutta tai vaikuttaa ongelman muihin ominaisuuksiin. On tapana sanoa, että approksimaatiomenetelmä konvergoi, jos approksimaatiovirhe pyrkii nollaan menetelmän parametrien pyrkiessä tiettyyn raja-arvoon.

Esimerkki 3.15. Yksi yksinkertaisimmista tavoista laskea integraali on lähentää integraalia kokoisten suorakulmioiden kaavan perusteella

Vaihe on tässä menetelmäparametri. Koska kyseessä on erityisesti rakennettu integraalisumma, määrätyn integraalin määritelmästä seuraa, että kun suorakaidemenetelmä konvergoi,

Esimerkki 3.16. Kun otetaan huomioon funktion derivaatan määritelmä, sen likimääräiseen laskemiseen voidaan käyttää kaavaa Tämän numeerisen differentiaatiokaavan likimääräinen virhe on nolla, kun

Yksi yleisimmistä approksimaatiomenetelmistä on diskretisointi - alkuperäisen ongelman likimääräinen korvaaminen äärellisulotteisella ongelmalla, ts. ongelma, jonka syöttödata ja haluttu ratkaisu voidaan määrittää yksiselitteisesti äärellisellä lukujoukolla. Ongelmissa, jotka eivät ole äärellisulotteisia, tämä vaihe on välttämätön myöhempää toteuttamista varten tietokoneella, koska tietokone pystyy toimimaan vain äärellisellä määrällä lukuja. Edellä olevissa esimerkeissä 3.15 ja 3.16 käytettiin näytteenottoa. Vaikka integraalin tarkkaan laskemiseen liittyy äärettömän määrän arvoja (sen likimääräinen arvo voidaan laskea käyttämällä äärellistä arvoa pisteissä a). jonka tarkkaan ratkaisuun sisältyy operaatio, jossa siirrytään rajaan kohdassa (ja siksi funktion äärettömän määrän arvojen käyttö pelkistyy derivaatan likimääräiseksi laskelmaksi funktion kahden arvon suhteen.

Epälineaaristen ongelmien ratkaisemisessa käytetään laajalti erilaisia ​​linearisointimenetelmiä, jotka koostuvat alkuperäisen ongelman likimääräisestä korvaamisesta yksinkertaisemmilla lineaarisilla ongelmilla. Esimerkki 3.17. Olkoon tarpeen laskea likimääräisesti arvo tietokoneella, joka pystyy suorittamaan yksinkertaisia ​​aritmeettisia operaatioita. Huomaa, että määritelmän mukaan x on epälineaarisen yhtälön positiivinen juuri. Olkoon jokin tunnettu approksimaatio Korvataan paraabeli suoralla, joka on sille piirretty tangentti.

piste abskissalla. Tämän tangentin leikkauspiste akselin kanssa antaa paremman likiarvon ja saadaan lineaarista yhtälöä ratkaisemalla

Jos esimerkiksi otat for, saat jalostetun arvon

Eri luokkien laskennallisia ongelmia ratkaistaessa voidaan käyttää erilaisia ​​approksimaatiomenetelmiä; Näitä ovat muun muassa menetelmät huonosti esitettyjen ongelmien ratkaisun laillistamiseksi. Huomaa, että regularisointimenetelmiä käytetään laajalti huonosti ehdittyjen ongelmien ratkaisemiseen.

3. Suorat menetelmät.

Menetelmää ongelman ratkaisemiseksi kutsutaan suoraksi, jos sen avulla voidaan saada ratkaisu suoritettuaan äärellisen määrän alkeisoperaatioita.

Esimerkki 3.18. Menetelmä toisen asteen yhtälön juurten laskemiseksi kaavoilla on suora menetelmä. Neljä aritmeettista operaatiota ja neliöjuurioperaatiota pidetään tässä alkeellisina.

Huomaa, että suoran menetelmän alkeisoperaatio voi olla melko monimutkainen (alkeis- tai erikoisfunktion arvojen laskeminen, lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen, määrätyn integraalin laskeminen jne.). Se, että se hyväksytään alkeelliseksi, tarkoittaa joka tapauksessa, että sen toteuttaminen on huomattavasti yksinkertaisempaa kuin ratkaisun laskeminen koko ongelmaan.

Suoria menetelmiä rakennettaessa kiinnitetään merkittävää huomiota perusoperaatioiden määrän minimoimiseen.

Esimerkki 3.19 (Horner-kaavio). Olkoon ongelmana polynomin arvon laskeminen

annettujen kertoimien ja argumentin x arvon mukaan. Jos lasket polynomin suoraan kaavalla (3.12) ja löydät sen kertomalla peräkkäin x:llä, sinun on suoritettava kerto- ja yhteenlaskuoperaatiot.

Paljon taloudellisempi laskentamenetelmä on nimeltään Horner-kaavio. Se perustuu polynomin kirjoittamiseen seuraavassa vastaavassa muodossa:

Sulujen sijoitus määrää seuraavan laskutoimituksen: Tässä arvon laskeminen vaaditaan suorittamalla vain kerto- ja yhteenlaskuoperaatioita.

Hornerin kaavio on mielenkiintoinen, koska se antaa esimerkin menetelmästä, joka on optimaalinen alkeisoperaatioiden lukumäärän suhteen. Yleensä arvoa ei voida saada millään menetelmällä, koska kerto- ja yhteenlaskutoimintoja suoritetaan vähemmän.

Joskus suoria menetelmiä kutsutaan eksakteiksi, mikä tarkoittaa, että jos syöttötiedoissa ei ole virheitä ja jos alkeisoperaatiot suoritetaan tarkasti, myös tuloksena oleva tulos on tarkka. Toteutettaessa menetelmää tietokoneella on kuitenkin väistämätöntä laskentavirheen ilmaantumista, jonka suuruus riippuu menetelmän herkkyydestä pyöristysvirheille. Monet esikoneen aikana kehitetyt suorat (tarkat) menetelmät osoittautuivat konelaskuihin soveltumattomiksi juuri siksi, että ne olivat liian herkkiä pyöristysvirheille. Kaikki tarkat menetelmät eivät ole tällaisia, mutta on syytä huomata, että ei täysin onnistunut termi "tarkka" luonnehtii menetelmän ihanteellisen toteutuksen ominaisuuksia, mutta ei todellisista laskelmista saadun tuloksen laatua.

4. Iteratiiviset menetelmät.

Nämä ovat erikoismenetelmiä peräkkäisten approksimaatioiden muodostamiseksi ongelman ratkaisemiseksi. Menetelmän soveltaminen alkaa yhden tai useamman alkuperäisen approksimation valinnalla. Jokaisen seuraavan likiarvon saamiseksi suoritetaan samanlainen toimintosarja käyttämällä aiemmin löydettyjä approksimaatioita - iteraatiota. Tämän iteratiivisen prosessin rajaton jatkuminen mahdollistaa teoreettisen ratkaisun rakentamisen äärettömän sarjan approksimaatioita.

iterointisekvenssi. Jos tämä sekvenssi konvergoi ongelman ratkaisuun, iteratiivisen menetelmän sanotaan konvergoivan. Alkuapproksimaatioiden joukkoa, jolle menetelmä konvergoi, kutsutaan menetelmän konvergenssialueeksi.

Huomaa, että iteratiivisia menetelmiä käytetään laajalti useiden ongelmien ratkaisemisessa tietokoneita käyttämällä.

Esimerkki 3.20. Tarkastellaan hyvin tunnettua iteratiivista menetelmää, joka on suunniteltu laskemaan (missä Newtonin menetelmä. Asetetaan mielivaltainen aloitusapproksimaatio. Lasketaan seuraava approksimaatio esimerkin 3.17 linearisointimenetelmällä johdetun kaavan avulla (katso kaava (3.11)). Prosessin jatkaminen lisäksi saadaan iteratiivinen sekvenssi, jossa seuraava approksimaatio lasketaan käyttämällä toistuvaa kaavaa

Tiedetään, että tämä menetelmä konvergoi millä tahansa alkulikiarvolla, joten sen konvergenssialue on kaikkien positiivisten lukujen joukko.

Lasketaan sen avulla arvo -bittisellä desimaalitietokoneella. Asetetaan (kuten esimerkissä 3.17). Silloin lisälaskelmat ovat turhia, koska bittiverkon rajallisuudesta johtuen kaikki myöhemmät tarkennukset antavat saman tuloksen. Vertailu tarkkaan arvoon kuitenkin osoittaa, että jo kolmannella iteraatiolla saatiin 6 oikeaa merkitsevää lukua.

Käyttämällä esimerkkinä Newtonin menetelmää käsittelemme joitain tyypillisiä iteratiivisten menetelmien (eikä vain niiden) ongelmia. Iteratiiviset menetelmät ovat luonnostaan ​​likimääräisiä; mikään tuloksena olevista approksimaatioista ei ole ratkaisun tarkka arvo. Konvergentti iteraatiomenetelmä mahdollistaa kuitenkin periaatteessa ratkaisun löytämisen millä tahansa tarkkuudella. Siksi iteratiivista menetelmää käytettäessä vaadittava tarkkuus määritellään aina ja iteratiivinen prosessi keskeytetään heti, kun se saavutetaan.

Vaikka menetelmän konvergoiminen on varmasti tärkeää, ei riitä, että menetelmää suositellaan käytettäväksi käytännössä. Jos menetelmä konvergoi hyvin hitaasti (esimerkiksi 1 %:n tarkkuuden ratkaisun saamiseksi joudut tekemään iteraatioita), se ei sovellu tietokonelaskelmiin. Nopeasti konvergoituvat menetelmät, joihin kuuluu Newtonin menetelmä, ovat käytännön arvoisia (muista, että laskennan tarkkuus saavutettiin vain kolmella iteraatiolla). Iteratiivisten menetelmien konvergenssinopeuden ja sovellettavuuden ehtojen teoreettista tutkimista varten johdetaan ns. a priori virhearvioita, jotka mahdollistavat jonkinlaisen johtopäätöksen menetelmän laadusta jo ennen laskelmia.

Esitetään kaksi tällaista a priori -estimaattia Newtonin menetelmälle. Olkoon tiedossa, että silloin kaikkien ja kahden peräkkäisen approksimoinnin virheet liittyvät toisiinsa seuraavalla epäyhtälöllä:

Tässä on arvo, joka kuvaa approksimaation suhteellista virhettä. Tämä epäyhtälö ilmaisee menetelmän erittäin korkean neliöllisen konvergenssinopeuden: jokaisessa iteraatiossa "virhe" neliöidään. Jos ilmaisemme sen alkuperäisen approksimaatiovirheen kautta, saamme epäyhtälön

josta on hyvä valinta alkuperäisen approksimaatio. Mitä pienempi arvo, sitä nopeammin menetelmä konvergoi.

Iteratiivisten menetelmien käytännön toteutus liittyy aina tarpeeseen valita kriteeri iteratiivisen prosessin lopettamiseksi. Laskelmat eivät voi jatkua loputtomiin ja ne on keskeytettävä jonkin kriteerin mukaan, joka liittyy esimerkiksi tietyn tarkkuuden saavuttamiseen. Ennakkoarvioiden käyttö tähän tarkoitukseen osoittautuu useimmiten mahdottomaksi tai tehottomaksi. Vaikka arviot kuvaavatkin kvalitatiivisesti oikein menetelmän käyttäytymistä, ne ovat yliarvioituja ja antavat erittäin epäluotettavaa kvantitatiivista tietoa. Usein ennakkoarviot sisältävät tuntemattomia

määrät (esim. arviot (3.14), (3.15) sisältävät määrän a) tai viittaavat siihen, että ratkaisusta on lisätietoa ja sitä käytetään vakavasti. Useimmiten tällaista tietoa ei ole saatavilla, ja sen hankkiminen liittyy tarpeeseen ratkaista lisäongelmia, jotka ovat usein monimutkaisempia kuin alkuperäinen.

Lopetuskriteerin muodostamiseksi tietyn tarkkuuden saavuttamisen yhteydessä käytetään pääsääntöisesti niin sanottuja jälkikäteen virhearvioita - epäyhtälöitä, joissa virheen suuruus estimoidaan tunnettujen arvojen tai laskentaprosessin aikana saatujen arvojen avulla. Vaikka tällaisia ​​arvioita ei voida käyttää ennen laskelmien alkamista, ne antavat konkreettisen kvantifioinnin laskentaprosessin epävarmuudesta.

Esimerkiksi Newtonin menetelmälle (3.13) pätee seuraava jälkiarvio:

S. Ulam käytti satunnaislukuja simuloidakseen tietokoneella neutronien käyttäytymistä ydinreaktorissa. Nämä menetelmät voivat olla välttämättömiä suurten järjestelmien mallintamisessa, mutta niiden yksityiskohtainen esittely edellyttää huomattavaa todennäköisyysteorian ja matemaattisen tilaston laitteiston käyttöä ja jää tämän kirjan soveltamisalan ulkopuolelle.

Determinantit

Determinantin käsite

Mikä tahansa n:nnen kertaluvun neliömatriisi voidaan liittää kutsuttuun numeroon determinantti (determinantti) matriisi A ja se on merkitty seuraavasti: , tai , tai det A.

Ensimmäisen asteen matriisin determinantti, tai ensimmäisen kertaluvun determinantti, on elementti

Toisen asteen determinantti(toisen kertaluvun matriisin determinantti) lasketaan seuraavasti:

Riisi. Kaavio toisen kertaluvun determinantin laskemiseksi

Siten toisen kertaluvun determinantti on summa 2=2! termejä, joista jokainen on kahden tekijän tulo - matriisin A elementit, yksi jokaiselta riviltä ja jokaisesta sarakkeesta. Yksi termeistä on otettu "+"-merkillä, toinen "-"-merkillä.

Etsi determinantti

Kolmannen kertaluvun determinantti (neliömatriisin kolmannen kertaluvun determinantti) saadaan seuraavasti:

Kolmannen kertaluvun determinantti on siis summa 6=3! termejä, joista jokainen on kolmen tekijän tulo - matriisin A elementit, yksi jokaisesta rivistä ja jokaisesta sarakkeesta. Puolet termeistä on merkitty “+”-merkillä, toinen puoli “-”-merkillä.

Pääasiallinen menetelmä kolmannen kertaluvun determinantin laskemiseksi on ns kolmion sääntö (Sarrusin sääntö): ensimmäinen kolmesta summaan sisältyvästä termistä "+"-merkillä on päälävistäjän alkioiden tulo, toinen ja kolmas ovat niiden alkioiden tulot, jotka sijaitsevat kahden kolmion kärjessä. jalustat päälävistäjän suuntaiset; "-"-merkillä varustetun summan kolme termiä määritellään samalla tavalla, mutta suhteessa toiseen (sivu) diagonaaliin. Alla on 2 mallia kolmannen asteen determinanttien laskemiseksi

b)

Riisi. Kaaviot kolmannen asteen determinanttien laskemiseksi

Etsi determinantti:

N:nnen kertaluvun neliömatriisin determinantti (n 4) lasketaan käyttämällä determinanttien ominaisuuksia.

Determinanttien perusominaisuudet. Determinanttien laskentamenetelmät

Matriisideterminantteilla on seuraavat perusominaisuudet:

1. Determinantti ei muutu, kun matriisi transponoidaan.

2. Jos kaksi riviä (tai saraketta) vaihdetaan determinantissa, determinantti vaihtaa etumerkkiä.

3. Determinantti, jossa on kaksi verrannollista (erityisesti yhtäläistä) riviä (saraketta), on yhtä suuri kuin nolla.

4. Jos determinantin rivi (sarake) koostuu nollista, niin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

5. Minkä tahansa rivin (tai sarakkeen) elementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinanttimerkistä.

6. Determinantti ei muutu, jos yhden rivin (tai sarakkeen) kaikkiin elementteihin lisätään toisen rivin (tai sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla.

7. Diagonaalisen ja kolmion (ylempi ja alempi) matriisien determinantti on yhtä suuri kuin diagonaalielementtien tulo.

8. Neliömatriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulo.

Ohjeet 1. vuoden opiskelijoille

Bazey Aleksanteri Anatolievitš

Odessa 2008

KIRJALLISUUS

1 Hemming R.V. Numeeriset menetelmät tutkijoille ja insinööreille. – M.: Nauka, 1968. – 400 s.

2 Blazhko S.N. Pallotähtitieteen kurssi. – Moskova, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 s.

3 Shchigolev B.M. Havaintojen matemaattinen käsittely. – M.: Nauka, 1969. – 344 s.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Laskennalliset menetelmät. – M.: Nauka, 1977. osa I, osa II – 400 s.

5 Hudson D. Tilastot fyysikoille. – M.: Mir, 1967. – 244 s.

6.Berman G.N. Kirjanpitotekniikat. – Moskova, 1953. – 88 s.

7.Rumshinsky L.Z. Koetulosten matemaattinen käsittely. – Moskova, Nauka 1971. – 192 s.

8. Kalitkin N.N. Numeeriset menetelmät. – Moskova, Nauka 1978. – 512 s.

9. Filchakov P.F. Sovelletun matematiikan numeeriset ja graafiset menetelmät. – Kiova, “Naukova Dumka”, 1970. – 800 s.

10. Fikhtengolts G.M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, vol.1-3. – Moskova, Nauka 1966.

Likimääräiset laskelmat 2

Suunnittelusta

Tasoitus 10

Lähentäminen 12

Oikaisu (linearisointi) 13

Pienimmän neliön menetelmä 15

Interpolointi 24

Lagrangen interpolaatiopolynomi 26

Lagrangen kaavan 29 jäännöstermi

Newtonin interpolaatiopolynomi taulukolle, jonka muuttuva askel on 30

Interpolointi taulukosta, jossa on vakioaskel 34

Stirlingin, Besselin, Newtonin interpolaatiopolynomit 37

Interpolointi kahden argumentin funktiotaulukosta 42

Erottelu taulukon mukaan 44

Yhtälöiden numeerinen ratkaisu 46

Dikotomia (puolittamismenetelmä) 46

Yksinkertainen iterointimenetelmä 47

Newtonin menetelmä 50

Yhden muuttujan funktion minimin löytäminen 51

Kultaisen suhteen menetelmä 51

Paraabelimenetelmä 54

Määrätyn integraalin laskenta 56

Puolisuunnikaskaava 59

Keskiarvojen kaava tai suorakulmioiden kaava 61

Simpsonin kaava 62

Tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen. Cauchy ongelma 64

Klassinen Eulerin menetelmä 66

Jalostettu Euler-menetelmä 67

Ennuste- ja korjausmenetelmä 69

Runge-Kutta menetelmät 71

Harmoninen analyysi 74

Ortogonaaliset funktiojärjestelmät 78

Menetelmä 12 ordinaatit 79

likimääräiset laskelmat

Ratkaistaan ​​yksinkertainen ongelma. Oletetaan, että opiskelija asuu 1247 metrin etäisyydellä asemalta. Juna lähtee klo 17.38. Kuinka kauan ennen junan lähtöä opiskelijan tulee lähteä kotoa, jos hänen keskinopeus on 6 km/h?

Ratkaisun saamme heti:

.

On kuitenkin epätodennäköistä, että kukaan todella käyttäisi tätä matemaattisesti tarkkaa ratkaisua, ja tässä on syy. Laskelmat suoritettiin täysin tarkasti, mutta mitattiinko etäisyys asemalle tarkasti? Onko mahdollista edes mitata jalankulkijan polkua tekemättä virheitä? Voiko jalankulkija kävellä tiukasti määriteltyä linjaa pitkin kaupungissa, joka on täynnä ihmisiä ja autoja, jotka liikkuvat kaikkiin suuntiin? Ja nopeus 6 km/h - onko se määritetty täysin tarkasti? Ja niin edelleen.

On aivan selvää, että kaikki eivät tässä tapauksessa suosivat "matemaattisesti tarkkaa" vaan "käytännöllistä" ratkaisua tähän ongelmaan, eli he arvioivat kävelyn kestävän 12-15 minuuttia ja lisäävät muutaman lisää. minuuttia varmuuden vuoksi.

Miksi sitten laskea sekunteja ja niiden murto-osia ja pyrkiä sellaiseen tarkkuuteen, jota ei käytännössä voi käyttää?

Matematiikka on tarkka tiede, mutta "tarkkuuden" käsite itsessään vaatii selvennystä. Tätä varten meidän on aloitettava luvun käsitteestä, koska laskentatulosten tarkkuus riippuu suurelta osin numeroiden tarkkuudesta ja lähtötietojen luotettavuudesta.

Lukujen saamiseen on kolme lähdettä: laskeminen, mittaus ja erilaisten matemaattisten operaatioiden suorittaminen

Jos laskettavien kohteiden määrä on pieni ja jos se on vakio ajan myötä, saamme aivan tarkka tuloksia. Esimerkiksi kädessä on 5 sormea ​​ja laatikossa on 300 laakeria. Tilanne on erilainen, kun he sanovat: Odessassa vuonna 1979 oli 1 000 000 asukasta. Loppujen lopuksi ihmiset syntyvät ja kuolevat, tulevat ja menevät; niiden lukumäärä muuttuu koko ajan, jopa sen ajanjakson aikana, jonka laskenta on suoritettu. Tarkoitamme siis sitä, että asukkaita oli noin 1 000 000, ehkä 999 125 tai 1 001 263 tai jokin muu luku, joka on lähellä 1 000 000. Tässä tapauksessa 1 000 000 antaa lähentää kaupungin asukkaiden määrä.

Mitään mittausta ei voida suorittaa täysin tarkasti. Jokainen laite antaa jonkinlaisen virheen. Lisäksi kaksi tarkkailijaa, jotka mittaavat samaa määrää samalla laitteella, saavat yleensä hieman erilaiset tulokset, mikä on harvinainen poikkeus.

Jopa sellaisessa yksinkertaisessa mittalaitteessa kuin viivaimessa on "laitevirhe" - viivaimen reunat ja tasot eroavat jonkin verran ihanteellisista suorista ja tasoista, viivaimen lyöntejä ei voida soveltaa aivan yhtä etäisyyksillä ja itse vedot niillä on tietty paksuus; joten mittaamalla emme voi saada tarkempia tuloksia kuin vetojen paksuus.

Jos mittasit pöydän pituuden ja sait arvon 1360,5 mm, tämä ei tarkoita ollenkaan, että pöydän pituus on täsmälleen 1360,5 mm - jos tämä taulukko mittaa toisen tai toistat mittauksen, voit saada arvo sekä 1360,4 mm että 1360,6 mm. Numero 1360,5 mm ilmaisee pöydän pituuden suunnilleen.

Kaikkia matemaattisia operaatioita ei voida suorittaa ilman virheitä. Aina ei ole mahdollista erottaa juuria, löytää siniä tai logaritmia, eikä edes jakaa absoluuttisella tarkkuudella.

Kaikki mittaukset poikkeuksetta johtavat mitattujen suureiden likimääräisiin arvoihin. Joissakin tapauksissa mittaukset suoritetaan karkeasti, sitten saadaan suuria virheitä huolellisilla mittauksilla, virheet ovat pienempiä. Absoluuttista mittaustarkkuutta ei koskaan saavuteta.

Tarkastellaanpa nyt kysymyksen toista puolta. Onko absoluuttinen tarkkuus välttämätön käytännössä ja mikä arvo on likimääräinen tulos?

Sähkölinjaa tai kaasuputkia laskettaessa kukaan ei määritä tukien välistä etäisyyttä millimetrin tarkkuudella tai putken halkaisijaa mikronin tarkkuudella. Tekniikassa ja rakentamisessa jokainen osa tai rakenne voidaan valmistaa vain tietyllä tarkkuudella, jonka määräävät ns. toleranssit. Nämä toleranssit vaihtelevat mikronin osista millimetreihin ja senttimetreihin riippuen osan tai rakenteen materiaalista, koosta ja käyttötarkoituksesta. Siksi osan mittojen määrittämiseksi ei ole järkevää suorittaa laskelmia tarkkuudella, joka on suurempi kuin mikä on tarpeen.

1) Laskelmien lähtötiedoissa on pääsääntöisesti virheitä, eli ne ovat likimääräisiä;

2) Nämä virheet, usein lisääntyneet, menevät laskentatuloksiin. Mutta käytäntö ei vaadi tarkkoja tietoja, vaan tyytyy tuloksiin, joissa on joitain hyväksyttäviä virheitä, joiden suuruus on määritettävä etukäteen.

3) Tuloksen tarvittava tarkkuus voidaan varmistaa vain, kun lähdetiedot ovat riittävän tarkkoja ja kun kaikki itse laskelmien aiheuttamat virheet on otettu huomioon.

4) Laskelmat likimääräisillä luvuilla on suoritettava likimääräisesti yrittäen saavuttaa minimityön ja ajan kustannukset ongelman ratkaisemisessa.

Tyypillisesti teknisissä laskelmissa sallitut virheet vaihtelevat 0,1-5 %, mutta tieteellisissä asioissa ne voidaan pienentää prosentin tuhannesosaan. Esimerkiksi Kuun ensimmäistä keinotekoista satelliittia laukaistaessa (31. maaliskuuta 1966) noin 11 200 m/s:n laukaisunopeus oli varmistettava useiden senttimetrien tarkkuudella sekunnissa, jotta satelliitti pääsisi pikemminkin ympyräkuuhun. kuin ympyrärata.

Huomaa lisäksi, että aritmeettiset säännöt johdetaan olettaen, että kaikki luvut ovat tarkkoja. Siksi, jos laskelmat likimääräisillä luvuilla suoritetaan kuten tarkat, syntyy vaarallinen ja haitallinen vaikutelma tarkkuudesta siellä, missä todellisuudessa sitä ei ole. Todellinen tieteellinen ja erityisesti matemaattinen tarkkuus koostuu juuri siitä, että osoitetaan lähes aina väistämättömien virheiden olemassaolo ja määritetään niiden rajat.

Toisen ja kolmannen kertaluvun determinanttien käsitteiden perusteella voimme samalla tavalla ottaa käyttöön kertaluvun determinantin käsitteen. n. Kolmannesta korkeamman kertaluvun determinantit lasketaan pääsääntöisesti käyttämällä kappaleessa 1.3 muotoiltuja determinanttien ominaisuuksia, jotka pätevät minkä tahansa kertaluvun determinanteille.

Käyttämällä determinanttien 9 0 ominaisuutta, esittelemme 4. kertaluvun determinantin määritelmän:

Esimerkki 2. Laske sopivalla laajennuksella.

Samalla tavalla otetaan käyttöön 5., 6. jne. determinantin käsite. Tilaus. Joten järjestyksen n determinantti:

.

Kaikki aiemmin käsitellyt 2. ja 3. kertaluvun determinanttien ominaisuudet pätevät myös n:nnen kertaluvun determinanteille.

Tarkastellaan tärkeimpiä determinanttien laskentamenetelmiä n- järjestys.

Kommentti: Ennen tämän menetelmän soveltamista on hyödyllistä nollata tietyn rivin tai sarakkeen kaikki elementit yhtä lukuun ottamatta käyttämällä determinanttien perusominaisuuksia. (Tehokas tilausten vähentämismenetelmä)

Kolmion muotoon pelkistysmenetelmä koostuu sellaisesta determinantin muunnoksesta, kun kaikki sen päädiagonaalin toisella puolella olevat elementit ovat yhtä suuret kuin nolla. Tässä tapauksessa determinantti on yhtä suuri kuin sen päädiagonaalin alkioiden tulo.

Esimerkki 3. Laske pelkistämällä kolmion muotoon.

Esimerkki 4. Laske tehokkaalla tilausten vähennysmenetelmällä

.

Ratkaisu: 4 0 determinantin ominaisuuden mukaan otamme kertoimen 10 ensimmäiseltä riviltä ja kerromme sitten peräkkäin toisen rivin 2:lla, 2:lla, 1:llä ja lisäämme sen ensimmäisellä, kolmannella ja neljännellä rivit, vastaavasti (ominaisuus 8 0).

.

Tuloksena oleva determinantti voidaan laajentaa ensimmäisen sarakkeen elementeiksi. Se pienennetään kolmannen asteen determinantiksi, joka lasketaan Sarrus-sääntöä (kolmio) käyttäen.

Esimerkki 5. Laske determinantti vähentämällä se kolmion muotoon.

.

Esimerkki 3. Laske käyttämällä toistuvuusrelaatioita.

.

.

Luento 4. Käänteismatriisi. Matrix sijoitus.

1. Käänteimatriisin käsite

Määritelmä 1. Neliö kutsutaan kertaluvun n matriisia A ei rappeutunut, jos sen määräävä tekijä | A| ≠ 0. Siinä tapauksessa, kun | A| = 0, matriisia A kutsutaan rappeutunut.

Ainoastaan ​​neliön ei-singulaarisille matriiseille A otetaan käyttöön käänteimatriisin A -1 käsite.

Määritelmä 2 . Matriisia A -1 kutsutaan käänteinen neliömatriisille A, jos A -1 A = AA -1 = E, missä E on järjestyksen yksikkömatriisi n.

Määritelmä 3 . Matriisi nimeltään liitteenä sen elementit ovat algebrallisia komplementteja transponoitu matriisi
.

Algoritmi käänteismatriisin laskemiseksi adjointmatriisimenetelmällä.

, Missä
.

Tarkistamme laskennan oikeellisuuden A -1 A = AA -1 = E. (E on identiteettimatriisi)

Matriisit A ​​ja A -1 vastavuoroinen. Jos | A| = 0, silloin käänteismatriisia ei ole olemassa.

Esimerkki 1. Annettu matriisi A. Varmista, että se on ei-singulaarinen ja etsi käänteismatriisi
.

Ratkaisu:
. Siksi matriisi on ei-singulaarinen.

Etsitään käänteismatriisi. Muodostetaan matriisin A alkioiden algebralliset komplementit.

Saamme

.

Sekä ongelman alkutietojen esittäminen että sen ratkaisu - numerona tai numerosarjana

Se on tärkeä osa teknisten erikoisalojen insinöörien koulutusjärjestelmää.

Laskentamenetelmien perusta ovat:

• lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen
• interpolointi ja likimääräinen funktiolaskenta
• tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu
• osittaisdifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaisu (matemaattisen fysiikan yhtälöt)
• optimointiongelmien ratkaiseminen

Katso myös

Huomautuksia

Kirjallisuus

• Kalitkin N. N. Numeeriset menetelmät. M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N. V. "Insinöörien laskennalliset menetelmät", 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, toim. Maailma, 1991, 504 s.
• E. Alekseev “Laskennallisen matematiikan tehtävien ratkaiseminen Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9” paketeissa, 2006, 496 sivua.
• Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. "Numeeriset menetelmät huonosti esitettyjen ongelmien ratkaisemiseksi" (1990)
• Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Huonot ongelmat. Numerical Methods and Applications, toim. Moskovan yliopiston kustantaja, 1989
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Laskelmat lähes yhtenäisillä ruudukoilla. Moskova, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 s.
• Yu Ryzhikov “Computational Methods” toim. BHV, 2007, 400 s., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods in Applied Mathematics, International Journal, ISSN 1609-4840

Linkit

• Tieteellinen aikakauslehti “Laskennalliset menetelmät ja ohjelmointi. Uusia laskentatekniikoita"

Wikimedia Foundation. 2010.

• Laskennallinen matematiikka ja matemaattinen fysiikka
• Laskennallinen putki

Katso, mitä "laskentamenetelmät" ovat muissa sanakirjoissa:

Elektroanalyyttisen kemian menetelmät- Sisältö 1 Elektroanalyyttisen kemian menetelmät 2 Johdanto 3 Teoreettinen osa ... Wikipedia

Digitaalisten signaalien koodausmenetelmät- Tästä artikkelista puuttuu linkkejä tietolähteisiin. Tietojen tulee olla todennettavissa, muuten ne voidaan kyseenalaistaa ja poistaa. Voit... Wikipedia

KAASUN DYNAMIIKAN NUMEERINEN MENETELMÄT- menetelmät kaasudynamiikan ongelmien ratkaisemiseksi laskennallisiin algoritmeihin perustuen. Tarkastellaan kaasudynamiikan ongelmien ratkaisemiseen tarkoitettujen numeeristen menetelmien teorian päänäkökohtia, kirjoitetaan kaasudynamiikan yhtälöt säilymislakien muodossa inertiassa... ... Matemaattinen tietosanakirja

DIFFUUSIOMENETELMÄT- kineetiikan ratkaisumenetelmät. neutronien (tai muiden hiukkasten) kuljetusyhtälöt, jotka muuttavat diffuusiolikimääräyhtälöitä. Koska diffuusioapproksimaatio antaa oikean muodon asymptoottiselle yhtälölle. kuljetusyhtälön ratkaiseminen (kaukana lähteistä ja... ... Matemaattinen tietosanakirja

GULISH-TOIMINTOJEN MINIMOINTIMENETELMÄT- numeeriset menetelmät useiden muuttujien funktioiden minimien löytämiseksi. Olkoon alhaalta rajattu funktio, joka on kahdesti jatkuvasti differentioituva argumenttien suhteen, jonka tiedetään, että tietylle vektorille (transponointimerkki) tarvitaan... ... Matemaattinen tietosanakirja

GOST R 53622-2009: Tietotekniikka. Tieto- ja laskentajärjestelmät. Elinkaarivaiheet ja -vaiheet, asiakirjojen tyypit ja täydellisyys- Terminologia GOST R 53622 2009: Tietotekniikka. Tieto- ja laskentajärjestelmät. Elinkaarivaiheet ja -vaiheet, asiakirjojen tyypit ja täydellisyys alkuperäinen asiakirja: 3.1 laitteisto-ohjelmistoalusta: Yhtenäinen työkalusarja... ...

Sovellettavat laskentajärjestelmät- Sovellettavat laskentajärjestelmät eli ABC sisältävät oliolaskentajärjestelmät, jotka perustuvat kombinatoriseen logiikkaan ja lambdalaskentaan. Ainoa asia, jota näissä järjestelmissä kehitetään merkittävästi, on idea objektista. Wikipediassa... ...

GOST 24402-88: Etäkäsittely ja tietokoneverkot. Termit ja määritelmät- Terminologia GOST 24402 88: Etäkäsittely ja tietokoneverkot. Käsitteet ja määritelmät alkuperäinen asiakirja: JÄRJESTELMÄ- JA VERKKOTYYPIT 90. Tilaajatietojen käsittelyjärjestelmä Tilaajajärjestelmä Tilaajajärjestelmä Tietojenkäsittelyjärjestelmä,… … Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

ST SEV 4291-83: Tietojenkäsittelykoneet ja tietojenkäsittelyjärjestelmät. Magneettilevypaketit, joiden kapasiteetti on 100 ja 200 MB. Tekniset vaatimukset ja testausmenetelmät- Terminologia ST SEV 4291 83: Atk-koneet ja tietojenkäsittelyjärjestelmät. Magneettilevypaketit, joiden kapasiteetti on 100 ja 200 MB. Tekniset vaatimukset ja testausmenetelmät: 8. Signaalin amplitudi VTAA-tietopinnalta Keskiarvona koko ... Normatiivisen ja teknisen dokumentaation termien sanakirja-viitekirja

Geofysiikan tutkimusmenetelmät- maankuoren rakenteen tutkiminen fysikaalisilla menetelmillä mineraalien etsintä- ja tutkimustarkoituksiin; tutkimusgeofysiikka on olennainen osa geofysiikkaa (katso Geofysiikka). G.m.r. perustuu fysikaalisten kenttien tutkimukseen.... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Kirjat

• Laskennalliset menetelmät. Oppikirja, Andrey Avenirovich Amosov, Juliy Andreevich Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenova. Kirjassa käsitellään sovellettavien ja tieteellis-teknisten laskelmien käytännössä yleisimmin käytettyjä laskentamenetelmiä: lineaarialgebran ongelmien ratkaisumenetelmiä, epälineaarisia yhtälöitä,...