Tunti ja esitys aiheista: "Luonnolliset logaritmit. Luonnollisen logaritmin kanta. Luonnollisen luvun logaritmi"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia! Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 11
Interaktiivinen käsikirja luokille 9-11 "Trigonometria"
Interaktiivinen opas luokille 10-11 "Logaritmit"

Mikä on luonnollinen logaritmi

Kaverit, viime tunnilla opimme uuden erikoisnumeron - e. Tänään jatkamme työskentelyä tämän numeron kanssa.
Olemme tutkineet logaritmeja ja tiedämme, että logaritmin kanta voi olla joukko lukuja, jotka ovat suurempia kuin 0. Tänään tarkastellaan myös logaritmia, joka perustuu lukuon e. Tällaista logaritmia kutsutaan yleensä luonnolliseksi logaritmiksi . Sillä on oma merkintätapansa: $\ln(n)$ on luonnollinen logaritmi. Tämä merkintätapa vastaa: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponentiaalinen ja logaritminen funktio ovat käänteisiä, jolloin luonnollinen logaritmi on funktion käänteisfunktio: $y=e^x$.
Käänteisfunktiot ovat symmetrisiä suoran $y=x$ suhteen.
Piirretään luonnollinen logaritmi piirtämällä eksponentiaalinen funktio suoran $y=x$ suhteen.

On syytä huomata, että funktion $y=e^x$ kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (0;1) on 45°. Tällöin luonnollisen logaritmin kaavion tangentin kaltevuus pisteessä (1; 0) on myös yhtä suuri kuin 45°. Molemmat tangentit ovat samansuuntaisia ​​linjan $y=x$ kanssa. Piirretään tangentit:

Funktion $y=\ln(x)$ ominaisuudet

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ei ole parillinen eikä pariton.
3. Kasvua koko määrittelyalueen yli.
4. Ei rajoitettu ylhäältä, ei rajoitettu alhaalta.
5. Ei ole enimmäisarvoa, ei ole minimiarvoa.
6. Jatkuva.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Kupera ylöspäin.
9. Erottuva kaikkialla.

Korkeamman matematiikan aikana se on todistettu käänteisfunktion derivaatta on annetun funktion derivaatan käänteisluku.
Todistukseen ei ole paljon järkeä, kirjoitetaan vain kaava: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Esimerkki.
Laske funktion derivaatan arvo: $y=\ln(2x-7)$ pisteessä $x=4$.
Päätös.
Yleensä funktiotamme edustaa funktio $y=f(kx+m)$, voimme laskea tällaisten funktioiden derivaatat.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Lasketaan derivaatan arvo vaaditussa pisteessä: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Vastaus: 2.

Esimerkki.
Piirrä tangentti funktion $y=ln(x)$ kuvaajalle pisteessä $x=e$.
Päätös.
Muistamme hyvin funktion kaavion tangentin yhtälön pisteessä $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Lasketaan tarvittavat arvot peräkkäin.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Tangenttiyhtälö pisteessä $x=e$ on funktio $y=\frac(x)(e)$.
Piirretään luonnollinen logaritmi ja tangentti.

Esimerkki.
Tutki monotonisuuden ja ääripäiden funktiota: $y=x^6-6*ln(x)$.
Päätös.
Toiminto $D(y)=(0;+∞)$.
Etsi annetun funktion derivaatta:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivaata on olemassa kaikille x:lle määritelmäalueelta, jolloin kriittisiä pisteitä ei ole. Etsitään kiinteät pisteet:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Piste $х=-1$ ei kuulu määritelmäalueeseen. Sitten meillä on yksi kiinteä piste $х=1$. Etsi kasvun ja laskun välit:

Piste $x=1$ on minimipiste, sitten $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Vastaus: Funktio pienenee segmentillä (0;1], funktio kasvaa säteellä $)