VEKTORIT

Vektorit kutsutaan matemaattisiksi objekteiksi ( a, b, c, ...), jolle on määritelty kahden algebrallisen operaation suoritus:

kahden vektorin lisääminen a+b=c

· vektorin kertominen luvulla a = b.

Näiden operaatioiden merkittävin piirre on, että ne johtavat aina samantyyppiseen vektoriin kuin alkuperäiset vektorit. Siksi, kun meillä on alkuvektorijoukko, voimme asteittain laajentaa sitä, ts. saada yhä enemmän uusia vektoreita soveltamalla yhteen- ja kertolaskuoperaatioita olemassa oleviin vektoreihin. Lopulta tulemme vektoreiden joukkoon, joka ei enää laajene, ts. osoittautuu suljetuksi ilmoitettujen toimintojen aikana. Tällaista vektoreiden joukkoa kutsutaan vektoriavaruus.

Jos edellä mainitut toiminnot vaativat lisätoimia lineaarisuusolosuhteet :

a( a+b)= a a+ a b

(a + b) a = a a+ b b

niin tuloksena olevaa avaruutta kutsutaan lineaarinen tilaa (LP) tai lineaarinen vektori tilaa (HDL). LCS voi symmetriaryhmien ohella toimia toisena esimerkkinä matemaattisista rakenteista, jotka ovat samantyyppisiä ja tietyllä tavalla (algebrallisia operaatioita käyttäen) järjestettyjä objektijoukkoja.

Lineaariset yhdistelmät

Kun vektoreiden lisääminen ja kertominen luvuilla on, voimme rakentaa monimutkaisemman konstruktion, kuten:

a a+ b b+ g c + ..... = x

jota kutsutaan lineaarinen yhdistelmä (LK) vektorit a, b, c, . . . kertoimilla a, b, g, . . . , vastaavasti.

LC:n käsite antaa meille mahdollisuuden muotoilla useita yleisiä sääntöjä:

· jokaisen LP:n minkä tahansa vektorin LC on myös saman LP:n vektori;

· mikä tahansa jonkin LP:n vektori voidaan esittää saman LP:n useiden vektoreiden LC:inä;

· missä tahansa LP:ssä on sellainen valittu joukko vektoreita kutsutaan perusjoukko (tai yksinkertaisesti perusta ), että kaikki tämän LP:n vektorit poikkeuksetta voidaan esittää näiden valittujen kantavektoreiden lineaarisina yhdistelminä. Perusvektoreiksi valituille vektoreille asetetaan yksi tärkeä ehto: niiden täytyy olla lineaarisesti riippumaton keskenään (ei pitäisi ilmaista toistensa kautta, ts.: x≠a× y).

Näiden sääntöjen avulla on mahdollista ottaa käyttöön erityinen tapa kuvata mitä tahansa lääkettä. Valitaan kantajoukko ja laajennetaan kaikki meitä kiinnostavat vektorit tämän kannan mukaan (eli esitetään ne LC-kantavektorien muodossa); silloin jokainen vektori voidaan yksilöllisesti määrittää tiettyä vektoria vastaavalla LC-kertoimien joukolla. Tällaisia ​​kertoimia kutsutaan koordinaatit vektori (suhteessa tiettyyn kantaan). Korostetaan, että vektorin koordinaatit ovat tavallisia lukuja, ja vektorin koordinaattiesitys antaa meille mahdollisuuden kuvata sitä käyttämällä vain lukujoukkoa, riippumatta siitä, minkä fysikaalisen merkityksen annamme vektorin käsitteeseen.

Katsotaanpa konkreettista esimerkkiä. Otetaan joukko erilaisia ​​​​seoksia kahdesta puhtaasta kemikaalista: vedestä ja alkoholista. Kaikkien mahdollisten seosten joukossa korostamme kaksi erityistä:

1) seos S 1, joka sisältää 100 % vettä ja 0 % alkoholia;

2) seos S 2 joka sisältää 0 % vettä ja 100 % alkoholia.

On selvää, että mielivaltainen seos voidaan esittää näiden kahden perusseoksen LC:nä:

S = n 1 * S 1 + n 2 * S 2

ja karakterisoi se täysin kahdella koordinaattiluvulla: n 1 ja n 2. Toisin sanoen, kun annetaan perusjoukko, voimme määrittää mielivaltaisen kemiallisen seoksen ja lukujoukon vastaavuuden:

S~ {n 1 , n 2 }.

Nyt riittää, kun korvataan konkreettinen kemiallinen sana "seos" abstraktilla matemaattisella termillä "vektori", jotta saadaan HDL-malli, joka kuvaa monia kahden aineen seoksia.

3.3. Vektorien lineaarinen riippumattomuus. Perusta.

Lineaarinen yhdistelmä vektorijärjestelmät

kutsutaan vektoriksi

missä a 1, a 2, ..., a n - mielivaltaiset numerot.

Jos kaikki i = 0, niin lineaarista yhdistelmää kutsutaan triviaali . Tässä tapauksessa ilmeisesti

Määritelmä 5.

Jos kyseessä on vektorijärjestelmä on ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä (ainakin yksi ai¹ 0) yhtä suuri kuin nollavektori: silloin kutsutaan vektorijärjestelmää lineaarinen riippuvainen. Jos yhtäläisyys (1) on mahdollista vain siinä tapauksessa, että kaikki a i =0, niin vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarinen riippumaton .

Lause 2 (Lineaarisen riippuvuuden ehdot).

Määritelmä 6.

Lauseesta 3 tästä seuraa, että jos kanta on annettu avaruudessa, niin lisäämällä siihen mielivaltainen vektori, saadaan lineaarisesti riippuvainen vektorijärjestelmä. Mukaisesti Lause 2 (1) , yksi niistä (voidaan osoittaa, että vektori) voidaan esittää muiden lineaarisena yhdistelmänä:

.

Määritelmä 7.

Numerot kutsutaan koordinaatit vektorit pohjassa (merkitty

Jos vektoreita tarkastellaan tasossa, niin perusta on järjestetty pari ei-kollineaarisia vektoreita

ja vektorin koordinaatit tässä kannassa ovat lukupari:

Huomautus 3. Sen voi osoittaa tietyllä perusteella vektorin koordinaatit määritetään yksiselitteisesti . Etenkin tästä seuraa, että jos vektorit ovat yhtä suuret, niin niiden vastaavat koordinaatit ovat yhtä suuret ja päinvastoin .

Siten, jos avaruudessa annetaan kanta, niin jokainen avaruuden vektori vastaa järjestettyä lukukolmikkoa (vektorin koordinaatit tässä kannassa) ja päinvastoin: jokainen lukukolmio vastaa vektoria.

Tasossa samanlainen vastaavuus muodostetaan vektorien ja lukuparien välille.

Lause 4 (Lineaariset operaatiot vektorien koordinaattien kautta).

Jos jollain perusteella Ja a on mielivaltainen luku, niin tässä perustassa

Toisin sanoen:

kun vektori kerrotaan luvulla, sen koordinaatit kerrotaan tällä luvulla ;

kun vektoreita lisätään, niitä vastaavat koordinaatit lisätään .

Esimerkki 1 . Joissakin perusteissa vektoriton koordinaatit

Osoita, että vektorit muodostavat kannan ja etsi vektorin koordinaatit tästä kannasta.

Vektorit muodostavat perustan, jos ne eivät ole samassa tasossa, joten (ohjeen mukaisesti Lauseen 3(2) mukaan ) ovat lineaarisesti riippumattomia.

Määritelmän mukaan 5 tämä tarkoittaa tasa-arvoa

mahdollista vain kunx = y = z = 0.

Lineaarista vektorien yhdistelmää kohteesta kutsutaan vektoriksi st at . On selvää, että vektorien lineaaristen yhdistelmien lineaarinen yhdistelmä on jälleen näiden vektoreiden lineaarinen yhdistelmä.

Joukkoa vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippumattomiksi, jos yhtäläisyys on mahdollista vain . Jos on olemassa nollia poikkeavia nollia ja sellaisia, että ne ovat yhtä suuria kuin -0, niin vektoreiden joukkoa kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi. Nämä määritelmät vastaavat sivulla 108 annettuja määritelmiä, joita sovelletaan merkkijonoihin.

Väite 1. Joukko vektoreita on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos yksi vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä.

Väite 2. Jos joukko vektoreita on lineaarisesti riippumaton ja joukko on lineaarisesti riippuvainen, niin vektori on vektorien lineaarinen yhdistelmä

Väite 3. Jos vektorit ovat vektorien lineaarisia yhdistelmiä, niin kokoelma on lineaarisesti riippuvainen.

Näiden lauseiden todistukset eivät eroa vastaavien merkkijonojen lauseiden todisteista (s. 108-110).

Vektorijoukkoa kutsutaan generoimiseksi, jos kaikki avaruudessa olevat vektorit ovat niiden lineaarisia yhdistelmiä. Jos avaruudelle S on olemassa äärellinen generoiva järjestelmä, niin avaruutta kutsutaan äärellisulotteiseksi, muuten sitä kutsutaan äärettömäksi ulotteiseksi. Äärillisulotteisessa avaruudessa ei voi olla mielivaltaisen suuria (vektorien lukumäärässä) lineaarisesti riippumattomia vektorikokoelmia, koska lauseen 3 mukaan mikä tahansa vektorikokoelma, joka ylittää generoivan kokoelman vektorien lukumäärässä, on lineaarisesti riippuvainen.

Kiinteän kokoisten matriisien avaruus ja erityisesti kiinteämittaisten rivien tila on äärellisulotteinen, generoivaksi järjestelmäksi voidaan ottaa matriisit, joissa on yksi yhdessä ja nolla muualla.

Kaikkien polynomien avaruus kohteesta on jo ääretön, koska polynomien joukko on lineaarisesti riippumaton mille tahansa .

Seuraavassa tarkastellaan äärellisulotteisia avaruutta.

Väite 4. Mikä tahansa (vektorien lukumäärän suhteen) generoiva vektoreiden joukko on lineaarisesti riippumaton.

Todellakin, olkoon pienin generoiva vektoreiden kokoelma. Jos se on lineaarisesti riippuvainen, niin yksi vektoreista on esimerkiksi muiden lineaarinen yhdistelmä ja jokainen lineaarinen yhdistelmä on lineaarinen yhdistelmä pienemmistä vektoreista, joka siten osoittautuu generoivaksi.

Lausunto 5. Mikä tahansa maksimaalinen (vektorien lukumäärän suhteen) lineaarisesti riippumaton vektoreiden kokoelma syntyy.

Olkoon todellakin maksimaalinen lineaarisesti riippumaton kokoelma ja u mikä tahansa avaruuden vektori. Tällöin joukko ei ole lineaarisesti riippumaton, ja lauseen 2 perusteella vektori on lineaarinen yhdistelmä

Lausunto 6. Mikä tahansa lineaarisesti riippumaton generaattorijoukko on minimaalinen generaattoreiden joukossa ja maksimaalinen lineaarisesti riippumattomien joukossa.

Todellakin, olkoon lineaarisesti riippumaton generoiva joukko vektoreita. Jos on jokin muu generoiva joukko, niin ne ovat lineaarisia yhdistelmiä ja tästä päätämme, että , koska jos olisi silloin, lauseen perusteella se olisi lineaarisesti riippuvainen joukko. Olkoon nyt joku lineaarisesti itsenäinen kokoelma. Vektorit ovat vektoreiden lineaarisia yhdistelmiä, ja siksi ne muodostaisivat saman väitteen perusteella lineaarisesti riippuvan joukon.

Siten väitteissä 4, 5, 6 määritetään kolmen käsitteen identtisyys - minimaalinen generoiva joukko vektoreita, maksimaalinen lineaarisesti riippumaton joukko vektoreita ja lineaarisesti riippumaton generoiva joukko.

Joukkoa vektoreita, jotka täyttävät nämä ehdot, kutsutaan avaruuden kantaksi, ja vektorien lukumäärää, jotka muodostavat perustan, kutsutaan avaruuden dimensioksi. Avaruuden S mittaa merkitään . Siten ulottuvuus on yhtä suuri kuin lineaarisesti riippumattomien vektoreiden enimmäismäärä (tulevaisuudessa sanomme usein sanat "lineaarisesti riippumattomat" ja "lineaarisesti riippuvat vektorit" sen sijaan, että sanoisimme "vektorit, jotka muodostavat lineaarisesti riippuvan joukon" ja - vastaavasti lineaarisesti riippumattomalle joukolle) ja generoivien vektoreiden vähimmäismäärä.

Lause 7. Olkoon vektoreiden lineaarisesti riippumaton kokoelma, ja niiden lukumäärä on pienempi kuin avaruuden ulottuvuus. Sitten niihin voidaan lisätä vektori niin, että joukko pysyy lineaarisesti riippumattomana.

Todiste. Tarkastellaan monia lineaarisia yhdistelmiä. Se ei tyhjennä koko tilaa, koska ne eivät muodosta generoivaa vektoreiden joukkoa. Otetaan vektori, joka ei ole lineaarinen yhdistelmä

Sitten on lineaarisesti itsenäinen kokoelma, koska muuten se olisi lauseen 2 nojalla lineaarinen vektoreiden yhdistelmä.

Lauseesta 7 seuraa, että mikä tahansa lineaarisesti riippumaton vektoreiden kokoelma voidaan täydentää kantaksi.

Tämä sama ehdotus ja sen todisteet osoittavat mielivaltaisuuden perusteen valinnassa. Todellakin, jos otat mielivaltaisen nollasta poikkeavan vektorin, voit rakentaa sen perustaksi ottamalla toisen vektorin millä tahansa tavalla, mutta et lineaarista yhdistelmää ensimmäisestä, kolmatta millään tavalla, mutta et lineaarista yhdistelmää kahdesta ensimmäisestä jne.

Voidaan "alastua" kantaan alkaen mielivaltaisesta generaattorijoukosta.

Lause 8. Mikä tahansa generoiva vektorikokoelma sisältää perustan.

Todellakin, olkoon generoiva joukko vektoreita. Jos se on lineaarisesti riippuvainen, niin yksi sen vektoreista on muiden lineaarinen yhdistelmä, ja se voidaan jättää generointijoukon ulkopuolelle. Jos loput vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, voidaan vielä yksi vektori eliminoida, ja niin edelleen, kunnes jäljelle jää lineaarisesti riippumaton generointijoukko, eli kanta.

Tämän kompromissikriteerin mukaisesti kullekin ratkaisulle määritetään lineaarinen yhdistelmä minimi- ja maksimivoitosta

Toinen vaihtoehto sisältää keskittymisen yhteen kriteeriin. Se voidaan joko valita yhdeksi vakioindikaattoreista, jolla on täysin ymmärrettävä taloudellinen tulkinta (esimerkiksi jokin likviditeettisuhteista, korkokate jne.), tai tämä kriteeri on kehitetty jonkin yleistavan keinotekoisen indikaattorin muodossa. erityiset kriteerit. Tälle yleistetylle kriteerille asetetaan kynnysarvo, johon verrataan potentiaaliselle lainanottajalle laskettua kriteerin todellista arvoa. Suurin vaikeus tämän lähestymistavan toteuttamisessa on tavassa, jolla yhteenvetoindikaattori on rakennettu. Useimmiten se on lineaarinen yhdistelmä tiettyjä kriteereitä, joista jokainen sisältyy yleisindikaattoriin tietyllä painokertoimella. Juuri tätä lähestymistapaa E. Altman käytti kehittäessään Z-kriteeriä konkurssin ennustamiseen.

Riviä e kutsutaan matriisin rivien e, e-..., em lineaariseksi yhdistelmäksi, jos

Lineaarisen yhdistelmän käsite, vektorien e, e2 lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus. f em ovat samanlaisia ​​kuin vastaavat käsitteet matriisin e, e2,..., em (11.5) riveille.

Kuten kuvassa , rajatuille ja konvekseille sallituille joukoille (2.14) rajoitteen A xk bk täyttävä vektori x% 0 voidaan esittää konveksina lineaarisena yhdistelmänä äärellisistä pisteiden joukosta.

Optimointimenettelyssä elementtien a ja niiden lineaaristen yhdistelmien raja-arvojen laskemiseksi ei ole suurelta osin näitä haittoja.

On selvää, että piste (X1, d), joka saadaan lineaarisella yhdistelmällä (A/, d) ja (L., d"), on myös ratkaisu järjestelmään (4.43), (4.44).

Tässä osiossa tarkastellaan sääntöjä monimuuttujaisen satunnaismuuttujan, joka on korreloitujen satunnaismuuttujien lineaarinen yhdistelmä, matemaattisen odotuksen ja varianssin laskentaan.

Siksi saamme mielivaltaisen määrän satunnaismuuttujia lineaariselle yhdistelmälle

Harkitse tapausta, jossa sijoitus tehdään useaan omaisuuteen (salkkuun). Salkku on lineaarinen yhdistelmä omaisuuseriä, joilla kullakin on oma odotettu tuotto- ja tuottohajontansa.

Toisin kuin mielivaltainen lineaarinen satunnaismuuttujien yhdistelmä, omaisuuserien painot noudattavat normalisointisääntöä

Edellisessä kappaleessa osoitettiin, että kun omaisuuserien välinen korrelaatiokerroin on pienempi kuin 1, salkun hajauttaminen voi parantaa odotetun tuoton ja odotetun riskin suhdetta. Tämä johtuu siitä, että salkun odotettu tuotto on lineaarinen yhdistelmä salkkuun sisältyvien omaisuuserien odotetuista tuotoista ja salkun varianssi on s.d.n neliöfunktio. sisältyy omaisuussalkkuun.

Yksinkertaisin tarkasteltavaan verkkoluokkaan kuuluva hahmontunnistuslaite on yksi neuroni, joka muuttaa syötepiirrevektorin skalaarivasteeksi riippuen tulomuuttujien lineaarisesta yhdistelmästä

Koska erottelufunktio riippuu vain syötteiden lineaarisesta yhdistelmästä, hermosolu on lineaarinen erottaja. Joissakin yksinkertaisimmissa tilanteissa lineaarinen erottelija on paras mahdollinen, nimittäin siinä tapauksessa, että tulovektoreiden luokkaan k kuulumisen todennäköisyydet annetaan Gaussin jakaumilla

Tarkemmin sanottuna Oya-verkon lähdöt ovat lineaarisia yhdistelmiä ensimmäisistä Ш pääkomponenteista. Jotta itse pääkomponentit saadaan tarkalleen, Oya-säännössä riittää korvata kaikkien tulosteiden summaus arvolla

Vektorit b muodostavat lisäksi ns. minimikannan. Tämä on nimittäin minimimäärä vektoreita lineaarisen yhdistelmän avulla, jonka kaikki muistiin jääneet vektorit voidaan esittää

Seuraavalla systemaattisella menettelyllä voidaan iteratiivisesti tunnistaa merkittävimmät ominaisuudet, jotka ovat syötemuuttujien X = W X lineaarisia yhdistelmiä (syötteiden osajoukot ovat lineaarisen yhdistelmän erikoistapaus, eli muodollisesti voidaan löytää parempi ratkaisu kuin mikä on käytettävissä valitsemalla merkittävimmät syötteiden yhdistelmät).

Menetelmän avulla voidaan tunnistaa informatiivisimmat tekijät (alkuominaisuuksien Xi lineaariset yhdistelmät - ns. Zi:n pääkomponentit) ja eliminoimalla merkityksettömiä tekijöitä määrittää niiden välinen suhde yksinkertaisten mallien muodossa. Nämä mallit sekä tilastolliset ominaisuudet helpottavat Xi-riippuvuuksien ja niiden asteen tulkintaa johonkin indikaattoriin, esimerkiksi tuottavuuteen, luotettavuuteen jne., ja mahdollistavat myös tutkittavien teollisuuslaitosten tilan analysoinnin ja ennustamisen.

Analyysin aikana käytetään seuraavia kuvaamaan taloudellisen tilanteen eri näkökohtia. absoluuttiset indikaattorit ja taloudelliset tunnusluvut, jotka ovat taloudellisen tilanteen suhteellisia indikaattoreita. Viimeksi mainitut lasketaan taloudellisen tilanteen absoluuttisten indikaattoreiden tai niiden lineaaristen yhdistelmien suhdelukuina. Yhden tasetieteen perustajan, N. A. Blatovin luokituksen mukaan taloudellisen tilanteen suhteelliset indikaattorit jaetaan jakautumiskertoimiin ja niitä käytetään tapauksissa, joissa on tarpeen määrittää, mikä osa tästä tai tuosta

Vector käsite

Määritelmä 1.Vektori kutsutaan suunnatuksi segmentiksi (tai mikä on sama, järjestetyksi pistepariksi).

Nimetty: (piste A on vektorin alku), piste B on vektorin loppu) tai yhdellä kirjaimella -.

Määritelmä 2.Vektorin pituus (moduuli) on vektorin alun ja lopun välinen etäisyys. Vektorin pituutta merkitään tai.

Määritelmä 3.Nolla vektori Kutsutaan vektoria, jonka alku ja loppu ovat samat. Nimeä:

Määritelmä 4.Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi.

Yksikkövektoria, jolla on sama suunta kuin tietyllä vektorilla, kutsutaan vektorin yksikkövektoriksi ja sitä merkitään symbolilla.

Määritelmä 5. Vektoreita kutsutaan kollineaarinen, jos ne sijaitsevat samalla suoralla tai samansuuntaisilla suorilla. Nollavektoria pidetään kollineaarisena minkä tahansa vektorin kanssa.

Määritelmä 6. Vektoreita kutsutaan yhtä suuri, jos ne ovat kollineaarisia, niillä on sama pituus ja sama suunta.

Lineaariset operaatiot vektoreille

Määritelmä 7.Lineaariset operaatiot vektoreille Niitä kutsutaan vektorien yhteenlaskuksi ja vektorin kertomiseksi luvulla.

Määritelmä 8.Kahden vektorin summa on vektori, joka kulkee vektorin alusta vektorin loppuun edellyttäen, että vektori on kiinnittynyt vektorin loppuun (kolmiosäännöstö). Epäkollineaarisissa vektoreissa voidaan kolmiosäännön sijasta käyttää suunnikassääntöä: jos vektorit on asetettu sivuun yhteisestä origosta ja niille rakennetaan suunnikas, niin summa on vektori, joka osuu yhteen. tämän suuntaviivan lävistäjä tulee yhteisestä origosta.

Määritelmä 9.Kahden vektorin ero kutsutaan vektoriksi, joka vektoriin lisättynä muodostaa vektorin. Jos kaksi vektoria jätetään sivuun yhteisestä origosta, niin niiden ero on vektori, joka etenee vektorin lopusta ("vähennetty") vektorin loppuun ("vähennetty").

Määritelmä 10. Kutsutaan kahta samanpituista kollineaarista vektoria, jotka on suunnattu vastakkaisiin suuntiin vastapäätä. Vektoria vastapäätä olevaa vektoria on merkitty.

Vektorin ja luvun tuloa merkitään α.

Joitakin lineaaristen operaatioiden ominaisuuksia

7) ;

Lause 1.(Tietoja kollineaarisista vektoreista). Jos u on kaksi kollineaarista vektoria ja vektori ei ole nolla, on olemassa yksilöllinen luku x, joka = x

Erityisesti nollasta poikkeava vektori ja sen ort-yhteyttä yhdistää yhtälö: =·.

Lineaaristen operaatioiden muotoillut ominaisuudet mahdollistavat vektoreista koostuvien lausekkeiden muuntamisen tavanomaisten algebran sääntöjen mukaisesti: voit avata hakasulkeet, tuoda samanlaisia ​​termejä, siirtää joitain termejä toiseen yhtälön osaan vastakkaisella merkillä jne.

Esimerkki 1.

Todista yhtäläisyydet:

ja selvittää niiden geometrinen merkitys.

Ratkaisu. a) Avaa yhtälön vasemmalla puolella sulut, lisää vastaavat termit ja hanki oikealle puolelle vektori. Selitetään tämä yhtälö geometrisesti. Olkoon kaksi vektoria annettu, laita ne syrjään yhteisestä origosta ja katso suuntaviivaa ja sen diagonaaleja, saamme:

§2 Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä

Vektoripohjalta tasossa ja avaruudessa.

Määritelmä 1.Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä,,kutsutaan näiden vektorien tulojen summaksi joidenkin lukujen perusteella,,:++.

Määritelmä 2.Vektoripohjalta tietyssä tasossa kutsutaan mitä tahansa ei-kollineaarista vektoriparia tässä tasossa.

Vektoria kutsutaan ensimmäiseksi kantavektoriksi, vektoria toiseksi.

Seuraava lause on totta.

Lause 1. Jos perusta ,– vektorikanta tasossa, niin mikä tahansa tämän tason vektori voidaan esittää ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden lineaarisen yhdistelmän muodossa: = x + y. (*)

Määritelmä 3. Tasa-arvoa(*) kutsutaan , ja numerot x ja y – kannassa olevan vektorin koordinaatit,(tai suhteessa perustaan,). Jos on etukäteen selvää, mistä perustasta puhumme, kirjoita lyhyesti: = (x,y). Vektorin koordinaattien määrittelystä kantaan nähden seuraa, että yhtäläisillä vektoreilla on vastaavasti samat koordinaatit.

Kahta tai useampaa vektoria avaruudessa kutsutaan samantasoinen, jos ne ovat saman tason suuntaisia ​​tai sijaitsevat tässä tasossa.

Määritelmä 4.Vektoripohjalta avaruudessa kutsutaan mitä tahansa kolmea vektoria , ,.

Vektoria kutsutaan ensimmäiseksi kantavektoriksi, toiseksi ja kolmanneksi.

Kommentti. 1. Kolme vektoria = (), = () ja = () muodostavat avaruuden perustan, jos niiden koordinaateista muodostuva determinantti on nollasta poikkeava:

.

2. Determinanttien teorian perusperiaatteet ja niiden laskentamenetelmät käsitellään moduulissa 1 ”lineaarinen algebra”.

Lause 2. Antaa , , on vektorikanta avaruudessa. Silloin mikä tahansa vektori avaruudessa voidaan esittää ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä , Ja:

X+y+z. (**)

Määritelmä 5. Tasa-arvoa (**) kutsutaan vektorin laajennus kannan mukaan,,, ja luvut x, y, z ovat kannassa olevan vektorin koordinaatit (komponentit) , ,.

Jos on etukäteen selvää, mistä perustasta puhumme, kirjoita lyhyesti: = (x,y,z).

Määritelmä 6. Perusta , ,nimeltään ortonormaali, jos vektorit , , ovat kohtisuorassa pareittain ja niillä on yksikköpituus. Tässä tapauksessa käytetään merkintää ,.

Toimenpiteet vektoreihin, jotka on määritetty niiden koordinaatilla.

Lause 3. Valitaan tasolle vektorikanta , ja sen suhteen vektorit on annettu koordinaatteillaan: = (), = ().

Sitten =(),=( ), eli Kun vektoreita lisätään tai vähennetään, niiden samannimiset koordinaatit lisätään tai vähennetään;= (·;), ts. Kun vektori kerrotaan luvulla, sen koordinaatit kerrotaan tällä luvulla.

Kahden vektorin kolineaarisuuden ehto

Lause 4. Vektori on kollineaarinen nollasta poikkeavan vektorin kanssa silloin ja vain, jos vektorin koordinaatit ovat verrannollisia vektorin vastaaviin koordinaatteihin, ts.

Lineaariset operaatiot vektoreille, jotka on annettu niiden avaruuskoordinaateilla, suoritetaan samalla tavalla.

Esimerkki 1. Olkoon vektorit = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) jossain vektoripohjassa , ,. Etsi lineaariyhdistelmän 2+3-4 koordinaatit.

Ratkaisu. Esitetään lineaarisen yhdistelmän = 2+3+(-4) merkintä.

Lineaariset yhdistelmäkertoimet =2,=3,=-4. Kirjoitetaan tämä vektoriyhtälö koordinaattimuotoon = (x,y,z)=:

2

Ilmeisesti jokainen vektorien lineaariyhdistelmän koordinaatti on yhtä suuri kuin samanniminen koordinaattien lineaarinen yhdistelmä, ts.

x = 2·1+3·3+(-4)·1=7,

y = 2 · 2 + 3 · 2 + (-4) · 0 = 10,

z = 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Vektorikoordinaatit pohjassa , ,tulee olemaan:

Vastaus:= {7,10,-3}.

Yleinen (affiini) suorakulmainen koordinaattijärjestelmä

Määritelmä 7. Olkoon O jokin kiinteä piste, jota kutsumme alku.

Jos M on mielivaltainen piste, niin vektoria kutsutaan sädevektori piste M suhteessa alkuun, lyhyesti sanottuna pisteen M sädevektoriin.

Suorakulmaiset (affiiniset) koordinaatit suoralla

Annetaan jokin suora viiva avaruuteen l. Valitaan alkulähde O, joka sijaitsee tällä viivalla. Lisäksi valitsemme suoralla linjalla l nollasta poikkeava vektori, jota kutsumme kantaksi.

Määritelmä 8. Olkoon piste M suoralla. Koska vektorit ovat kollineaarisia, niin = x, missä x on tietty luku. Soitetaan tähän numeroon koordinoida pisteet M suoralla.

O:n origolla on positiiviset tai negatiiviset koordinaatit riippuen siitä, ovatko vektorien suunnat samat vai vastakkaiset. Suoraa viivaa, jolla koordinaatit ovat, kutsutaan koordinaattiakseliksi tai OX-akseliksi.

Koordinaattien lisääminen riville vastaa yhtä lukua x, ja päinvastoin, on yksi piste M, jolle tämä luku on koordinaatti.

Suorakulmaiset (affiineet) koordinaatit tasossa.

Valitaan kaksi ei-kollineaarista vektoria ja tasossa O, jotka muodostavat tietyn perustan. On selvää, että vektorien pituudet voivat olla erilaisia.

Määritelmä 9. Joukko (0;;) pisteestä O ja vektorikanta , nimeltään Karteesinen (affiini) järjestelmä pinnalla.

Kaksi suoraa, jotka kulkevat O:n kautta ja yhdensuuntaiset vektorien kanssa, vastaavasti , kutsutaan koordinaattiakseleiksi. Ensimmäistä niistä kutsutaan tavallisesti abskissa-akseliksi ja sen nimi on Ox, toinen on ordinaatta-akseli ja sen nimi on Oy.

Kuvaamme ne aina makaavan vastaavilla koordinaattiakseleilla.

Määritelmä 10.Pistekoordinaatit M tasossa suorakulmaiseen (affiiniseen) koordinaattijärjestelmään (0;;) nähden kutsutaan sen sädevektorin koordinaateiksi perustalla:

X+y, silloin luvut x ja y ovat M:n koordinaatit suhteessa karteesiseen (affiiniseen) koordinaattijärjestelmään (0;;). X-koordinaattia kutsutaan abskissa piste M, koordinaatti y- ordinaattinen pisteet M.

Eli jos valitaan koordinaattijärjestelmä, (0;;) tasossa, niin jokainen tason piste M vastaa yhtä pistettä M tasossa: tämä piste on vektorin loppu

Koordinaattijärjestelmän käyttöönotto on analyyttisen geometrian menetelmän perusta, jonka ydin on pystyä pelkistämään mikä tahansa geometrinen ongelma aritmeettisiksi tai algebran ongelmiksi.

Määritelmä 11.Vektorikoordinaatit tasossa suhteessa karteesiseen koordinaattijärjestelmään (0;;) kutsutaan tämän vektorin koordinaatteja kannassa.

Löytääksesi vektorin koordinaatit, sinun on laajennettava sitä perusteen mukaan:

X+y, jossa kertoimet x,y ja ovat vektorin koordinaatit suhteessa karteesiseen järjestelmään (0;;).

Karteesinen (affiine) koordinaattijärjestelmä avaruudessa.

Kiinnitetään tietty piste O (alku) avaruuteen ja valitaan vektorikanta

Määritelmä 12. Kokoelma (0;;;) kutsutaan Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä avaruudessa.

Määritelmä 13. Kolme suoraa, jotka kulkevat O:n kautta ja yhdensuuntaiset vektorien kanssa , ,, nimeltään koordinaattiakselit ja merkitsevät vastaavasti Oz, Oy, Oz. Kuvaamme aina vektoreita , , makaa vastaavilla akseleilla.

Määritelmä 14.Pistekoordinaatit M avaruudessa suhteessa karteesiseen koordinaattijärjestelmään (0;;;) kutsutaan tässä järjestelmässä sen sädevektorin koordinaateiksi.

Toisin sanoen pisteen M koordinaatit ovat kolme numeroa x, y, z, vastaavasti, pisteen M abskissa ja ordinaatit; kolmatta koordinaattia z kutsutaan pisteen M aplikaatioksi.

Karteesisen koordinaattijärjestelmän käyttöönotto avaruudessa mahdollistaa yhden yhteen vastaavuuden avaruuden pisteiden M ja numeroiden x, y, z järjestyneiden kolmosten välille.

Määritelmä 15.Vektorikoordinaatit avaruudessa suhteessa karteesiseen koordinaattijärjestelmään (0;;;), kutsutaan tämän vektorin koordinaatteja kanta;;:ssa.

Esimerkki 2.

Annettu suunnikkaan kolme peräkkäistä kärkeä A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Etsi sen neljäs koordinaatti D. Koordinaatisto on affiininen.

Ratkaisu.

Vektorit ovat yhtä suuret, mikä tarkoittaa, että niiden koordinaatit ovat yhtä suuret (lineaarisen yhdistelmän kertoimet):

= (3;2), =(4-x;-y); . Joten D(1;-2).

Vastaus: D(1;-2).

Lineaarinen riippuvuus. Perusteen käsite

Määritelmä 16. Vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippuvainen, jos on numeroita,

Tämä vektorien lineaarisen riippuvuuden määritelmä vastaa tätä: vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos yksi niistä voidaan esittää muiden lineaarisena yhdistelmänä (tai laajentaa muiden päälle).

Vektoreita kutsutaan lineaarisesti riippuviksi, jos yhtäläisyys (***) on mahdollista vain siinä tapauksessa, kun

Lineaarisen riippuvuuden käsitteellä on suuri rooli lineaarisessa algebrassa. Vektorialgebrassa lineaarisella riippuvuudella on yksinkertainen geometrinen merkitys.

Mitkä tahansa kaksi kollineaarista vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia, ja päinvastoin kaksi ei-kollineaarista vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia.

Kolme koplanaarista vektoria ovat lineaarisesti riippuvaisia ​​ja päinvastoin kolme ei-samantasoista vektoria ovat lineaarisesti riippumattomia.

Joka neljäs vektori on lineaarisesti riippuvainen.

Määritelmä 17. Kutsutaan kolmea lineaarisesti riippumatonta vektoria avaruuden perusta, nuo. mikä tahansa vektori voidaan esittää joinakin.

Määritelmä 18. Kutsutaan kahta lineaarisesti riippumatonta vektoria, jotka sijaitsevat tasossa lentokoneen perusta, nuo. mikä tahansa tässä tasossa oleva vektori voidaan esittää vektoreiden lineaarisena yhdistelmänä.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun.

vektorit löytävät koordinaatit tältä pohjalta.