Riittävä ehto kahden muuttujan funktion ääripäälle
1. Olkoon funktio jatkuvasti differentioituva jossain pisteen ympäristössä ja sillä on jatkuvat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat (puhdas ja sekoitettu).
2. Merkitään toisen asteen determinantilla
äärimmäisen muuttujan luentofunktio
Lause
Jos piste koordinaatteineen on funktion kiinteä piste, niin:
A) Kun se on paikallisen ääripisteen piste ja paikallisessa maksimissa - paikallinen minimi;
C) kun piste ei ole paikallinen ääripiste;
C) jos, ehkä molemmat.
Todiste
Kirjoitamme funktiolle Taylor-kaavan rajoittaen itsemme kahteen jäseneen:
Koska lauseen ehdon mukaan piste on stationäärinen, ovat toisen kertaluvun osittaiset derivaatat nolla, ts. ja. Sitten
Merkitse
Sitten funktion lisäys saa muotoa:
Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen (puhtaiden ja sekoitettujen) jatkuvuudesta johtuen lauseen ehdon mukaisesti voimme kirjoittaa:
Missä tai; ,
1. Anna ja, ts. tai.
2. Kerrotaan funktion lisäys ja jaetaan sillä, saadaan:
3. Täydennä suluissa olevaa lauseketta summan täysneliöön:
4. Suluissa oleva lauseke ei ole negatiivinen, koska
5. Siksi, jos ja siten, ja, sitten ja, siis määritelmän mukaan piste on paikallisen minimin piste.
6. Jos ja tarkoittaa ja, niin määritelmän mukaan piste, jolla on koordinaatit, on paikallinen maksimipiste.
2. Tarkastellaan neliötrinomia, sen diskriminanttia, .
3. Jos, niin on sellaisia pisteitä, että polynomi
4. Toiminnon kokonaislisäys pisteessä I:ssä saadun lausekkeen mukaisesti, kirjoitetaan muodossa:
5. Toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen jatkuvuudesta johtuen lauseen ehdolla pisteessä voidaan kirjoittaa, että
siksi on olemassa pisteen ympäristö, jossa minkä tahansa pisteen neliötrinomi on suurempi kuin nolla:
6. Harkitse - pisteen lähialuetta.
Valitaan mikä tahansa arvo, joten se on pointti. Olettaen, että funktion lisäyksen kaavassa
Mitä saamme:
7. Siitä lähtien.
8. Väittelemällä samalla tavalla juuria, saadaan, että missä tahansa pisteen -naapurustossa on piste, jolle pisteen läheisyydessä se ei siis säilytä merkkiä, joten pisteessä ei ole ääripäätä.
Kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo
Kahden muuttujan funktion ääripäätä etsittäessä tulee usein esiin ongelmia, jotka liittyvät ns. ehdolliseen ääripäähän. Tämä käsite voidaan selittää kahden muuttujan funktion esimerkillä.
Olkoon funktio ja suora L tasossa 0xy. Tehtävänä on löytää suoralta L sellainen piste P (x, y), jossa funktion arvo on suurin tai pienin verrattuna tämän funktion arvoihin suoran L pisteissä, jotka sijaitsevat lähellä Piste P. Tällaisia pisteitä P kutsutaan ehdollisiksi ääripistefunktioiksi suoralla L. Toisin kuin tavallisessa ääripisteessä, funktion arvoa ehdollisen ääripisteen pisteessä verrataan funktion arvoihin, joita ei ole kaikissa pisteissä. joillakin sen naapurustoilla, mutta vain niillä, jotka sijaitsevat linjalla L.
On aivan selvää, että tavallisen ääripään piste (he sanovat myös ehdoton ääripää) on myös minkä tahansa tämän pisteen läpi kulkevan suoran ehdollisen ääripään piste. Päinvastoin ei tietenkään pidä paikkaansa: ehdollinen ääripääpiste ei välttämättä ole tavanomainen ääripääpiste. Havainnollistetaan, mitä on sanottu esimerkillä.
Esimerkki #1. Funktion kuvaaja on ylempi pallonpuolisko (kuva 2).
Riisi. 2.
Tällä funktiolla on maksimi origossa; se vastaa puolipallon kärkeä M. Jos viiva L on pisteiden A ja B kautta kulkeva suora (sen yhtälö), niin on geometrisesti selvää, että tämän suoran pisteille funktion maksimiarvo saavutetaan pisteiden A ja B välissä olevassa pisteessä. B. Tämä on ehdollinen ääriarvo (maksimi) pistefunktiot tällä viivalla; se vastaa pallonpuoliskolla olevaa pistettä M 1, ja kuvasta voidaan nähdä, ettei tässä voi olla kyse mistään tavallisesta ääripäästä.
Huomaa, että suljetun alueen funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman viimeisessä osassa on löydettävä funktion ääriarvot tämän alueen rajalta, ts. jollakin rivillä ja siten ratkaisee ehdollisen ääripään ongelman.
Määritelmä 1. He sanovat, että missä on ehdollinen tai suhteellinen maksimi (minimi) kohdassa, joka täyttää yhtälön: jos jollakin, joka täyttää yhtälön, epäyhtälö
Määritelmä 2. Muodon yhtälöä kutsutaan rajoitusyhtälöksi.
Lause
Jos funktiot ja ovat jatkuvasti differentioituvia pisteen ja osittaisen derivaatan ja pisteen läheisyydessä, ja piste on funktion ehdollisen ääripään piste rajoitusyhtälön suhteen, niin toisen kertaluvun determinantti on yhtä suuri kuin nolla:
Todiste
1. Koska lauseen ehdon, osittaisen derivaatan ja funktion arvon mukaan, niin jossain suorakulmiossa
implisiittinen funktio määritelty
Kahden muuttujan kompleksisella funktiolla pisteessä on siis paikallinen ääriarvo tai.
2. Todellakin, ensimmäisen kertaluvun differentiaalikaavan invarianssiominaisuuden mukaan
3. Kytkentäyhtälö voidaan esittää tässä muodossa, mikä tarkoittaa
4. Kerro yhtälö (2) ja (3) ja lisää ne
Siksi milloin
mielivaltainen. h.t.d.
Seuraus
Kahden muuttujan funktion ehdollisten ääripisteiden etsiminen käytännössä suoritetaan ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä
Joten yllä olevassa esimerkissä nro 1 viestintäyhtälöstä meillä on. Täältä on helppo tarkistaa, mikä saavuttaa maksimin . Mutta sitten viestinnän yhtälöstä. Saamme geometrisesti löydetyn pisteen P.
Esimerkki #2. Etsi funktion ehdolliset ääripisteet rajoitusyhtälön suhteen.
Etsitään annetun funktion osittaiset derivaatat ja yhteysyhtälö:
Tehdään toisen asteen determinantti:
Kirjataan ylös yhtälöjärjestelmä ehdollisten ääripisteiden löytämiseksi:
näin ollen funktiolla on neljä ehdollista ääripääpistettä koordinaatteineen: .
Esimerkki #3. Etsi funktion ääripisteet.
Kun osittaiset derivaatat nollaan: , löydämme yhden stationaarisen pisteen - origon. Tässä,. Siksi piste (0, 0) ei myöskään ole ääripiste. Yhtälö on hyperbolisen paraboloidin yhtälö (kuva 3), kuva osoittaa, että piste (0, 0) ei ole ääripiste.
Riisi. 3.
Funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella
1. Olkoon funktio määritelty ja jatkuva rajoitetussa suljetussa alueella D.
2. Olkoon funktiolla äärelliset osittaiset derivaatat tällä alueella lukuun ottamatta alueen yksittäisiä pisteitä.
3. Weierstrassin lauseen mukaisesti tällä alueella on piste, jossa funktio saa suurimmat ja pienimmät arvot.
4. Jos nämä pisteet ovat alueen D sisäpisteitä, on selvää, että niillä on maksimi tai minimi.
5. Tässä tapauksessa meille kiinnostavat kohdat ovat ääripään epäilyttäviä kohtia.
6. Funktio voi kuitenkin ottaa myös suurimman tai minimiarvon alueen D rajalla.
7. Löytääksesi funktion suurimman (pienimmän) arvon alueella D, sinun on löydettävä kaikki sisäiset pisteet, jotka ovat epäilyttäviä ääripäälle, laskettava niissä olevan funktion arvo ja verrattava sitten funktion arvoon kohdassa alueen rajapisteet, ja suurin kaikista löydetyistä arvoista on suurin suljetulla alueella D.
8. Tapaa paikallisen maksimin tai minimin löytämiseksi käsiteltiin aiemmin kohdassa 1.2. ja 1.3.
9. On vielä harkittava menetelmää funktion enimmäis- ja vähimmäisarvojen löytämiseksi alueen rajalta.
10. Kahden muuttujan funktion tapauksessa alue osoittautuu yleensä käyrän tai useamman käyrän rajoittamaksi.
11. Tällaista käyrää (tai useampaa käyrää) pitkin muuttujat ja joko riippuvat toisistaan tai molemmat riippuvat yhdestä parametrista.
12. Näin ollen rajalla funktio osoittautuu riippuvaiseksi yhdestä muuttujasta.
13. Menetelmää yhden muuttujan funktion suurimman arvon löytämiseksi käsiteltiin aiemmin.
14. Olkoon alueen D raja parametriyhtälöillä:
Tällöin tällä käyrällä kahden muuttujan funktio on parametrin kompleksifunktio: . Tällaiselle funktiolle suurin ja pienin arvo määritetään menetelmällä, jolla määritetään yhden muuttujan funktion suurin ja pienin arvo.
Tarvittavat ja riittävät ehdot kahden muuttujan funktioiden ääripäälle. Pistettä kutsutaan funktion minimi- (maksimi)pisteeksi, jos jossain pisteen ympäristössä funktio on määritelty ja täyttää epäyhtälön (vastaavasti maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi).
Ekstreemin välttämätön edellytys. Jos funktiolla on ääripisteessä ensimmäiset osittaiset derivaatat, ne katoavat tässä pisteessä. Tästä seuraa, että sellaisen funktion ääripisteiden löytämiseksi tulee ratkaista yhtälöjärjestelmä, jota kutsutaan funktion kriittisiksi pisteiksi. Niiden joukossa voi olla maksimipisteitä, minimipisteitä sekä pisteitä, jotka eivät ole ääripisteitä.
Riittäviä ääriolosuhteita käytetään ääripisteiden valitsemiseen kriittisten pisteiden joukosta, ja ne on lueteltu alla.
Olkoon funktiolla jatkuvat toiset osittaiset derivaatat kriittisessä pisteessä. Jos tässä vaiheessa,
ehto, niin se on minimipiste ja maksimipiste at. Jos kriittisessä pisteessä, se ei ole ääripiste. Siinä tapauksessa tarvitaan hienovaraisempaa tutkimusta kriittisen pisteen luonteesta, joka tässä tapauksessa voi olla tai ei ole ääripiste.
Kolmen muuttujan funktioiden ääriarvo. Kolmen muuttujan funktion tapauksessa ääripisteiden määritelmät toistavat sanatarkasti kahden muuttujan funktion vastaavat määritelmät. Esittelemme vain menettelyn ääripään funktion tutkimiseksi. Yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi tulee löytää funktion kriittiset pisteet ja sitten kussakin kriittisessä pisteessä laskea suureet
Jos kaikki kolme suuretta ovat positiivisia, tarkasteltava kriittinen piste on minimipiste; jos sitten annettu kriittinen piste on maksimipiste.
Kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo. Pistettä kutsutaan funktion ehdolliseksi minimi- (maksimi-) pisteeksi edellyttäen, että pisteellä, jossa funktio määritellään, on lähialue, jossa (vastaavasti) kaikille pisteille, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön
Käytä Lagrange-funktiota löytääksesi ehdolliset ääripisteet
jossa lukua kutsutaan Lagrange-kertoimeksi. Kolmen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen
Etsi Lagrange-funktion kriittiset pisteet (sekä aputekijän A arvo). Näissä kriittisissä pisteissä voi olla ehdollinen ääriarvo. Yllä oleva järjestelmä antaa vain välttämättömät ehdot ääripäälle, mutta ei riittäviä: se voidaan täyttää sellaisten pisteiden koordinaatilla, jotka eivät ole ehdollisen ääripään pisteitä. Ongelman olemuksesta lähteen on kuitenkin usein mahdollista määrittää kriittisen pisteen luonne.
Usean muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo. Tarkastellaan muuttujien funktiota sillä ehdolla, että ne liittyvät yhtälöihin
EHDOLLINEN EXTREME
Tietyn funktion (tai funktionaalin) saavuttama minimi- tai enimmäisarvo edellyttäen, että jotkin muut funktiot (funktionaalit) ottavat arvoja tietystä hyväksyttävästä joukosta. Jos ei ole olemassa ehtoja, jotka rajoittavat riippumattomien muuttujien (funktioiden) muutoksia esitetyssä mielessä, puhutaan ehdottomasta ääripäästä.
Klassikko tehtävä W. e. on useiden muuttujien funktion minimin määrittämisen ongelma
Edellyttäen, että jotkut muut funktiot ottavat annetut arvot:
Tässä tehtävässä G, johon vektorifunktion arvot g=(g 1, ...,g m),
lisäehtoihin (2) sisältyy kiinteä piste c=(c 1, ..., t) m-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa
Jos kohdassa (2) yhtäläisyysmerkin kanssa sallitaan eriarvoisuusmerkit
Tämä johtaa ongelmaan epälineaarinen ohjelmointi(kolmetoista). Tehtävissä (1), (3) vektorifunktion g sallittujen arvojen joukko G on tietty käyräviivainen , joka kuuluu m 1:n määrittelemään (n-m 1) -ulotteiseen hyperpintaan. , m 1
Ongelman (1), (3) erikoistapaus U.v. on tehtävä lineaarinen ohjelmointi, jossa kaikki tarkasteltavat funktiot f ja gi ovat lineaarisia x l:ssä , ... , x s. Lineaarisessa ohjelmointitehtävässä vektorifunktion mahdollisten arvojen joukko G g, sisällytetään muuttujien aluetta x 1 rajoittaviin ehtoihin, .....x n , on , joka kuuluu (n-t 1) -ulotteiseen hypertasoon, joka on määritelty kohdassa (3) m 1 yhtäläisyystyyppisillä ehdoilla.
Samoin useimmat optimointiongelmat toiminnallisille, jotka edustavat käytännöllistä korko, rajoittuu tehtäviin U. e. (cm. Isoperimetrinen ongelma, rengasongelma, Lagrangen ongelma, tapaongelma).
Aivan kuten matematiikassa. ohjelmointi, variaatiolaskennan ja optimaalisen ohjauksen teorian pääongelmat ovat konveksin e.
Kun ratkaistaan ongelmia U. e.:ssä, varsinkin kun otetaan huomioon teoreettinen. C. e.:n ongelmiin liittyvissä kysymyksissä osoittautuu erittäin hyödylliseksi käyttää indefinite Lagrangian kertoimet, mikä mahdollistaa ongelman vähentämisen U. e. ongelmaan ehdottomalla ja yksinkertaistamalla tarvittavia optimaalisuusehtoja. Lagrange-kertoimien käyttö on useimpien klassisten taustalla menetelmät ongelmien ratkaisemiseksi U. e.
Lit.: Hadley J., Nonlinear and , trans. Englannista, M., 1967; Bliss G.A., Luentoja variaatiolaskennasta, käänn. Englannista, M., 1950; Pontryagin L. S. [et ai.], Mathematical Optimal Processes, 2. painos, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Katso, mitä "CONDITIONAL EXTREME" on muissa sanakirjoissa:
Suhteellinen ääriarvo, n + m muuttujan funktion f (x1,..., xn + m) ääriarvo, olettaen, että näihin muuttujiin kohdistuu vielä m kytkentäyhtälöä (ehtoa): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (katso Extreemum).… …
Avoimelle joukolle ja on annettu funktioita. Anna olla. Näitä yhtälöitä kutsutaan rajoitusyhtälöiksi (terminologia on lainattu mekaniikasta). Määritetään funktio G ... Wikipediassa
- (latinan äärimmäisestä ääripäästä) jatkuvan funktion f (x) arvo, joka on joko maksimi tai minimi. Tarkemmin sanottuna: pisteessä x0 jatkuvalla funktiolla f (x) on maksimi (minimi) kohdassa x0, jos tällä pisteellä on lähialue (x0 + δ, x0 δ), ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Extreme (merkityksiä). Ekstreemi (latinaksi extremum extreme) on matematiikassa funktion maksimi- tai minimiarvo tietyssä joukossa. Piste, jossa ääripää saavutetaan, on ... ... Wikipedia
Funktio, jota käytetään useiden muuttujien ja funktionaalisten funktioiden ehdollisen ääripään ongelmien ratkaisemiseen. L. f.:n avulla. tarvittavat optimaalisuusehdot kirjoitetaan ehdollisen ääripään tehtävissä. Ei tarvitse ilmaista vain muuttujia... Matemaattinen tietosanakirja
Matemaattinen tieteenala, joka on omistettu muuttujien funktionaalisten ääriarvojen (maksimi- ja vähimmäisarvojen) löytämiseen riippuen yhden tai useamman funktion valinnasta. In ja. on luonnollinen kehitys tälle luvulle…… Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja
Muuttujat, joiden avulla konstruoidaan Lagrange-funktio ehdollisen ääripään ongelmien tutkimuksessa. L. m:n ja Lagrange-funktion käyttö mahdollistaa tarvittavien optimiehtojen saamisen yhtenäisellä tavalla ehdollisen ääripään ongelmissa ... Matemaattinen tietosanakirja
Variaatiolaskenta on funktionaalisen analyysin haara, joka tutkii funktionaalisten funktioiden variaatioita. Variaatiolaskennan tyypillisin tehtävä on löytää funktio, jolla tietty funktio saavuttaa ... ... Wikipedia
Matematiikan osa, joka on omistettu menetelmien tutkimukselle sellaisten funktionaalisten ääripäiden löytämiseksi, jotka riippuvat yhden tai useamman funktion valinnasta erilaisten näille asetettujen rajoitusten (vaihe, differentiaali, integraali jne.) alla ... ... Matemaattinen tietosanakirja
Variaatiolaskenta on matematiikan haara, joka tutkii funktionaalisten funktioiden muunnelmia. Variaatiolaskennan tyypillisin tehtävä on löytää funktio, jolla funktionaali saavuttaa ääriarvon. Menetelmät ... ... Wikipedia
Kirjat
- Luennot ohjausteoriasta. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Tarkastellaan optimaalisen ohjauksen teorian klassisia ongelmia. Esitys alkaa optimoinnin peruskäsitteillä äärellisulotteisissa avaruudessa: ehdollinen ja ehdoton ääripää, ...
Määritelmä1: Funktiolla sanotaan olevan paikallinen maksimi pisteessä, jos pisteellä on sellainen naapuruus, että mille tahansa pisteelle M koordinaattien kanssa (x, y) epätasa-arvo täyttyy: . Tässä tapauksessa eli funktion lisäys< 0.
Määritelmä2: Funktiolla sanotaan olevan paikallinen minimi pisteessä, jos pisteellä on sellainen naapuri, että mille tahansa pisteelle M koordinaattien kanssa (x, y) epätasa-arvo täyttyy: . Tässä tapauksessa eli funktion inkrementti > 0.
Määritelmä 3: Paikalliset minimi- ja maksimipisteet kutsutaan ääripisteet.
Ehdolliset ääripäät
Monen muuttujan funktion äärimmäisyyksiä etsittäessä tulee usein esiin ongelmia, jotka liittyvät ns ehdollinen äärimmäinen. Tämä käsite voidaan selittää kahden muuttujan funktion esimerkillä.
Olkoon funktio ja suora annettu L pinnalla 0xy. Tehtävänä on linjata L löytää sellainen kohta P(x, y), jossa funktion arvo on suurin tai pienin verrattuna tämän funktion arvoihin suoran kohdissa L sijaitsee pisteen lähellä P. Sellaisia kohtia P nimeltään ehdolliset ääripisteet linjatoiminnot L. Toisin kuin tavallinen ääripistepiste, ehdollisen ääripisteen funktion arvoa verrataan funktioarvoihin, joita ei verrata funktion arvoihin kaikissa sen naapuruston pisteissä, vaan vain niissä, jotka ovat suoralla. L.
On aivan selvää, että tavanomaisen ääripään piste (he myös sanovat ehdoton ääripää) on myös ehdollinen ääripiste jokaiselle tämän pisteen kautta kulkevalle suoralle. Päinvastoin ei tietenkään pidä paikkaansa: ehdollinen ääripääpiste ei välttämättä ole tavanomainen ääripääpiste. Selitän tämän yksinkertaisella esimerkillä. Funktion kuvaaja on ylempi pallonpuolisko (Liite 3 (Kuva 3)).
Tällä funktiolla on maksimi origossa; se vastaa huippua M pallonpuoliskot. Jos linja L pisteiden läpi kulkee viiva MUTTA ja AT(hänen yhtälön x+y-1=0), silloin on geometrisesti selvää, että tämän suoran pisteille funktion maksimiarvo saavutetaan pisteiden välissä olevassa pisteessä MUTTA ja AT. Tämä on funktion ehdollisen ääripään (maksimi) piste annetulla rivillä; se vastaa pallonpuoliskolla olevaa pistettä M 1, ja kuvasta voidaan nähdä, ettei tässä voi olla kyse mistään tavallisesta ääripäästä.
Huomaa, että suljetun alueen funktion suurimman ja pienimmän arvojen löytämisen ongelman viimeisessä osassa meidän on löydettävä funktion ääriarvot tämän alueen rajalta, ts. jollakin rivillä ja siten ratkaisee ehdollisen ääripään ongelman.
Jatketaan nyt käytännön etsinnässä funktion Z= f(x, y) ehdollisen ääripään pisteitä edellyttäen, että muuttujat x ja y liittyvät yhtälöön (x, y) = 0. Tämä relaatio on kutsutaan rajoitusyhtälöksi. Jos yhteysyhtälöstä y voidaan ilmaista eksplisiittisesti x:llä: y \u003d (x), saamme yhden muuttujan funktion Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).
Kun olet löytänyt x:n arvon, jolla tämä funktio saavuttaa ääripään, ja määrittämällä sitten y:n vastaavat arvot yhteysyhtälöstä, saamme ehdollisen ääripään halutut pisteet.
Joten yllä olevassa esimerkissä viestintäyhtälöstä x+y-1=0 saadaan y=1-x. Täältä
On helppo tarkistaa, että z saavuttaa maksiminsa kohdassa x = 0,5; mutta sitten yhteysyhtälöstä y = 0,5, ja saadaan täsmälleen geometrisista näkökohdista löydetty piste P.
Ehdollinen ääripäätehtävä ratkaistaan hyvin yksinkertaisesti, vaikka rajoitusyhtälö voidaan esittää parametriyhtälöillä x=x(t), y=y(t). Korvaamalla x:n ja y:n lausekkeet tähän funktioon, tulemme jälleen ongelmaan löytää yhden muuttujan funktion ääriarvo.
Jos rajoitusyhtälöllä on monimutkaisempi muoto, emmekä voi eksplisiittisesti ilmaista yhtä muuttujaa toisella emmekä korvata sitä parametrisilla yhtälöillä, niin ehdollisen ääripään löytämisongelma vaikeutuu. Jatkamme oletusta, että funktion z= f(x, y) lausekkeessa muuttuja (x, y) = 0. Funktion z= f(x, y) kokonaisderivaata on yhtä suuri:
Missä on derivaatta y`, joka löytyy implisiittisen funktion differentiaatiosäännöstä. Ehdollisen ääripään pisteissä löydetyn kokonaisderivaatan on oltava yhtä suuri kuin nolla; tämä antaa yhden yhtälön, joka yhdistää x:n ja y:n. Koska niiden on myös täytettävä rajoitusyhtälö, saamme kahden yhtälöjärjestelmän, jossa on kaksi tuntematonta
Muunnetaan tämä järjestelmä paljon mukavammaksi kirjoittamalla ensimmäinen yhtälö suhteessa ja ottamalla käyttöön uusi apu-tuntematon:
(Eteen on sijoitettu miinusmerkki mukavuuden vuoksi). Näistä yhtäläisyyksistä on helppo siirtyä seuraavaan järjestelmään:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
joka yhdessä rajoitusyhtälön (x, y) = 0 kanssa muodostaa kolmen yhtälöjärjestelmän tuntemattomien x, y ja.
Nämä yhtälöt (*) on helpoimmin muistaa seuraavan säännön avulla: löytääkseen pisteitä, jotka voivat olla funktion ehdollisen ääripään pisteitä
Z= f(x, y) rajoitusyhtälöllä (x, y) = 0, sinun on muodostettava apufunktio
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Missä on jokin vakio, ja tee yhtälöitä löytääksesi tämän funktion ääripisteet.
Määritetty yhtälöjärjestelmä toimittaa pääsääntöisesti vain tarpeelliset ehdot, ts. ei jokainen x- ja y-arvopari, joka täyttää tämän järjestelmän, ole välttämättä ehdollinen ääripiste. En anna riittäviä ehtoja ehdollisille ääripisteille; hyvin usein ongelman sisältö itsessään viittaa siihen, mikä löydetty kohta on. Kuvattua tekniikkaa ehdollisen ääripään ongelmien ratkaisemiseksi kutsutaan Lagrangen kertoimien menetelmäksi.
Ehdollinen äärimmäinen.
Useiden muuttujien funktion ääriarvo
Pienimmän neliön menetelmä.
FNP:n paikallinen ääripää
Anna toiminnon ja= f(P), RÎDÌR n ja pisteen Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., a p) –sisäinen joukon piste D.
Määritelmä 9.4.
1) Piste P 0 kutsutaan maksimipiste toimintoja ja= f(P) jos tämän pisteen U(P 0) Ì D lähistöllä on sellainen, että minkä tahansa pisteen P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , ehto f(P) £ f(P0) . Merkitys f(P 0) maksimipisteen funktioita kutsutaan toiminto maksimi ja merkitty f(P 0) = max f(P) .
2) Piste P 0 kutsutaan minimipiste toimintoja ja= f(P) jos tämän pisteen U(P 0)Ì D lähistöllä on sellainen, että minkä tahansa pisteen P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0, ehto f(P)³ f(P0) . Merkitys f(P 0) funktioita minimipisteessä kutsutaan funktion minimi ja merkitty f(P 0) = min f(P).
Kutsutaan funktion minimi- ja maksimipisteitä äärimmäisiä pisteitä, kutsutaan funktion arvoja ääripisteissä funktion äärimmäinen.
Kuten määritelmästä seuraa, epätasa-arvo f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) on suoritettava vain tietyssä pisteen P 0 ympäristössä, ei koko funktion alueella, mikä tarkoittaa, että funktiolla voi olla useita samantyyppisiä ääripäitä (useita minimejä, useita maksimia). Siksi edellä määriteltyjä ääripäitä kutsutaan paikallinen(paikalliset) äärimmäisyydet.
Lause 9.1. (FNP:n ääripään välttämätön ehto)
Jos toiminto ja= f(X 1 , X 2 , ..., x n) on ääripää pisteessä P 0, niin sen ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat tässä pisteessä ovat joko nolla tai niitä ei ole olemassa.
Todiste. Olkoon pisteessä Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., a p) toiminto ja= f(P):llä on ääriarvo, kuten maksimi. Korjataan argumentit X 2 , ..., x n, laittaa X 2 =a 2 ,..., x n = a p. Sitten ja= f(P) = f 1 ((X 1 , a 2 , ..., a p) on yhden muuttujan funktio X yksi . Koska tällä toiminnolla on X 1 = a 1 ääripää (maksimi), sitten f 1 ¢=0 tai ei ole olemassa milloin X 1 =a 1 (välttämätön ehto yhden muuttujan funktion ääripään olemassaololle). Mutta , sitten tai ei ole olemassa pisteessä P 0 - ääripisteen pisteessä. Samoin voimme tarkastella osittaisia derivaattoja suhteessa muihin muuttujiin. CHTD.
Funktioalueen pisteet, joissa ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat ovat nolla tai eivät ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat tämä toiminto.
Lauseen 9.1 mukaisesti FNP:n ääripisteet tulee etsiä funktion kriittisten pisteiden joukosta. Mutta yhden muuttujan funktion osalta jokainen kriittinen piste ei ole ääripiste.
Lause 9.2 (riittävä ehto FNP:n ääripäälle)
Olkoon Р 0 funktion kriittinen piste ja= f(P) ja 
on tämän funktion toisen asteen differentiaali. Sitten
ja jos d 2 u(P 0) > 0 , silloin Р 0 on piste minimi toimintoja ja= f(P);
b) jos d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimi toimintoja ja= f(P);
c) jos d 2 u(P 0) ei ole etumerkillä määritelty, silloin P 0 ei ole ääripiste;
Käsittelemme tätä lausetta ilman todisteita.
Huomaa, että lause ei ota huomioon tapausta, jolloin d 2 u(P 0) = 0 tai sitä ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että kysymys ääripään olemassaolosta pisteessä P 0 tällaisissa olosuhteissa jää avoimeksi - tarvitaan lisätutkimuksia, esimerkiksi funktion lisäyksen tutkimus tässä kohdassa.
Yksityiskohtaisemmilla matematiikan kursseilla todistetaan, että erityisesti funktiolle z = f(x,y) kahdesta muuttujasta, joiden toisen asteen differentiaali on muodon summa
tutkimusta ääripään läsnäolosta kriittisessä pisteessä Р 0 voidaan yksinkertaistaa.
Merkitse , , . Kirjoita determinantti
.
Osoittautuu:
d 2 z> 0 pisteessä P 0, ts. P 0 - minimipiste, jos A(P 0) > 0 ja D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
jos D(P 0)< 0, то d 2 z pisteen Р 0 läheisyydessä vaihtaa etumerkkiä ja pisteessä Р 0 ei ole ääriarvoa;
jos D(Р 0) = 0, tarvitaan myös lisätutkimuksia funktiosta kriittisen pisteen Р 0 läheisyydessä.
Toiminnon osalta siis z = f(x,y) kaksi muuttujaa, meillä on seuraava algoritmi (kutsutaanko sitä "algoritmiksi D") ääripään löytämiseen:
1) Etsi määritelmän D( f) toimintoja.
2) Etsi kriittiset pisteet, ts. pisteitä D( f), joille ja ovat nolla tai niitä ei ole olemassa.
3) Tarkista jokaisessa kriittisessä pisteessä Р 0 ääripään riittävät olosuhteet. Voit tehdä tämän etsimällä , jossa , , ja laske D(Р 0) ja MUTTA(P 0). Sitten:
jos D(Р 0) >0, niin pisteessä Р 0 on ääriarvo, lisäksi jos MUTTA(P 0) > 0 - silloin tämä on minimi, ja jos MUTTA(P 0)< 0 – максимум;
jos D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Jos D(Р 0) = 0, tarvitaan lisätutkimuksia.
4) Laske funktion arvo löydetyistä ääripisteistä.
Esimerkki1.
Etsi funktion ääripää z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Päätös. Tämän funktion toimialue on koko koordinaattitaso. Etsitään kriittiset kohdat.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Tarkastetaan riittävien ääriehtojen täyttyminen. Etsitään
6X, = -3, = 48klo ja 
= 288hu – 9.
Sitten D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - pisteessä Р 1 on ääriarvo, ja koska MUTTA(P 1) = 3 >0, niin tämä ääriarvo on minimi. Joten min z=z(P1) = 
.
Esimerkki 2
Etsi funktion ääripää 
.
Ratkaisu: D( f) = R2. Kriittiset kohdat: 
; ei ole olemassa osoitteessa klo= 0, joten P 0 (0,0) on tämän funktion kriittinen piste.
2, = 0, = , = , mutta D(Р 0) ei ole määritelty, joten sen etumerkkiä on mahdoton tutkia.
Samasta syystä on mahdotonta soveltaa lausetta 9.2 suoraan − d 2 z ei ole olemassa tässä vaiheessa.
Harkitse funktion lisäystä f(x, y) pisteessä Р 0 . Jos D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, niin P 0 on minimipiste, jos D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Meillä on meidän tapauksessamme
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
paikassa D x= 0,1 ja D y= -0,008 saamme D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 ja D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, so. pisteen Р 0 läheisyydessä eikä ehtoa D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) ja siksi P 0 ei ole maksimipiste), eikä ehto D f>0 (ts. f(x, y) > f(0, 0) ja sitten Р 0 ei ole minimipiste). Tästä syystä tällä funktiolla ei ääripään määritelmän mukaan ole ääripäitä.
Ehdollinen äärimmäinen.
Funktion tarkasteltua ääripäätä kutsutaan ehdoton, koska funktion argumenteille ei aseteta rajoituksia (ehtoja).
Määritelmä 9.2. Toiminnan ääripää ja = f(X 1 , X 2 , ... , x n), todettiin sillä ehdolla, että sen väitteet X 1 , X 2 , ... , x n täyttää yhtälöt j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, missä P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), kutsutaan ehdollinen ääripää .
Yhtälöt j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, kutsutaan yhteysyhtälöt.
Harkitse toimintoja z = f(x,y) kahdesta muuttujasta. Jos on vain yksi rajoitusyhtälö, ts. , niin ehdollisen ääripään löytäminen tarkoittaa, että ääripäätä ei etsitä funktion koko alueelta, vaan jollain käyrällä, joka sijaitsee D( f) (eli pinnan korkeimpia tai alhaisimpia pisteitä ei etsitä z = f(x,y) ja korkeimmat tai alimmat kohdat tämän pinnan ja sylinterin leikkauspisteiden joukossa, kuva 5).
Funktion ehdollinen ääriarvo z = f(x,y) kahdesta muuttujasta löytyy seuraavalla tavalla( eliminointimenetelmä). Ilmaise yhtälöstä yksi muuttujista toisen funktiona (esimerkiksi kirjoitus ) ja korvaa tämä muuttujan arvo funktioon , kirjoita jälkimmäinen yhden muuttujan funktiona (tarkasteltavassa tapauksessa 
). Etsi yhden muuttujan tuloksena olevan funktion ääriarvo.
