§6. Epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä
Jos lineaariyhtälöjärjestelmässä (7.1) ainakin yksi vapaista ehdoista sisään i on eri kuin nolla, niin tällaista järjestelmää kutsutaan heterogeeninen.
Olkoon epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä, joka voidaan esittää vektorimuodossa
, minä = 1,2,.. .,kohtaan, (7.13)
Harkitse vastaavaa homogeenista järjestelmää
minä = 1,2,...
,kohtaan.
(7.14)
Anna vektorin 
on ratkaisu epähomogeeniseen systeemiin (7.13) ja vektoriin 
on homogeenisen järjestelmän (7.14) ratkaisu. Sitten on helppo nähdä, että vektori 
on myös ratkaisu epähomogeeniseen järjestelmään (7.13). Todella
Nyt, käyttämällä homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun kaavaa (7.12), meillä on
missä 
mikä tahansa numero alkaen R, a 
ovat homogeenisen järjestelmän perusratkaisuja.
Siten epähomogeenisen järjestelmän ratkaisu on sen tietyn ratkaisun ja vastaavan homogeenisen järjestelmän yleisratkaisun yhdistelmä.
Ratkaisua (7.15) kutsutaan epähomogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu. Kohdasta (7.15) seuraa, että yhteensopivalla epähomogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, jos järjestys r(A) päämatriisista MUTTA vastaa numeroa n tuntematon järjestelmä (Cramerin järjestelmä), jos r(A) n, niin järjestelmällä on ääretön joukko ratkaisuja, ja tämä ratkaisujoukko on ekvivalentti vastaavan homogeenisen ulottuvuusyhtälöjärjestelmän ratkaisujen aliavaruuden kanssa n– r.
Esimerkkejä.
1. Olkoon epähomogeeninen yhtälöjärjestelmä, jossa yhtälöiden lukumäärä kohtaan= 3 ja tuntemattomien lukumäärä n = 4.
X 1 – X 2 + X 3 –2X 4 = 1,
X 1 – X 2 + 2X 3 – X 4 = 2,
5X 1 – 5X 2 + 8X 3 – 7X 4 = 3.
Määritä päämatriisin rivit MUTTA ja laajennettu MUTTA * tämä järjestelmä. Sikäli kuin MUTTA ja MUTTA * nollasta poikkeavat matriisit ja k = 3 n, joten 1 r (A), r * (MUTTA * ) 3. Tarkastellaan matriisien toisen kertaluvun alareita MUTTA ja MUTTA * :
Siten matriisien toisen kertaluvun alavärien joukossa MUTTA ja MUTTA * on nollasta poikkeava alaikäinen, joten 2 r(A),r * (A * ) 3. Ajattele nyt kolmannen asteen alaikäisiä
, koska ensimmäinen ja toinen sarake ovat verrannollisia. Sama alaikäiselle 
.
Ja niin kaikki päämatriisin kolmannen asteen alaikäiset MUTTA ovat nolla, joten r(A) = 2. Lisätylle matriisille MUTTA * on vielä kolmannen luokan alaikäisiä
Siksi laajennetun matriisin kolmannen asteen alaikäisten joukossa MUTTA * on nollasta poikkeava molli, joten r * (A * ) = 3. Tämä tarkoittaa sitä r(A) r * (A * ) ja sitten Kornecker-Capellin lauseen perusteella päätämme, että tämä järjestelmä on epäjohdonmukainen.
2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä
3X 1 + 2X 2 + X 3 + X 4 = 1,
3X 1 + 2X 2 – X 3 – 2X 4 = 2.
Tälle järjestelmälle 
ja siksi 1 r(A),r *
(A *
) 2. Harkitse matriiseja A ja A *
toisen asteen alaikäiset
Täten, r(A)= r * (A * ) = 2, joten järjestelmä on johdonmukainen. Perusmuuttujiksi valitaan mitkä tahansa kaksi muuttujaa, joille näiden muuttujien kertoimista muodostuva toisen kertaluvun molli ei ole nolla. Tällaisia muuttujia voivat olla esim.
X 3 ja X 4 koska 
Sitten meillä on
X 3 + X 4 = 1 – 3X 1 – 2X 2 ,
– X 3 – 2X 4 = 2 – 3X 1 – 2X 2 .
Määrittelemme tietyn ratkaisun 
heterogeeninen järjestelmä. Tätä varten asetimme X 1
= X 2
= 0.
X 3 + X 4 = 1,
– X 3 – 2X 4 = 2.
Ratkaisu tälle järjestelmälle: X 3
= 4, X 4 = - 3, joten 
=
(0,0,4, –3).
Nyt määritellään vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu
X 3 + X 4 = – 3X 1 – 2X 2 ,
–X 3 – 2X 4 = – 3X 1 – 2X 2 .
Laitetaan: X 1 = 1, X 2 = 0
X 3 + X 4 = –3,
–X 3 – 2X 4 = –3.
Tämän järjestelmän ratkaisu X 3 = –9, X 4 = 6.
Täten 
Laitetaan nyt X 1 = 0, X 2 = 1
X 3 + X 4 = –2,
–X 3 – 2X 4 = –2.
Päätös: X 3
= – 6, X 4 = 4 ja sitten 
Kun tietty ratkaisu on määritetty 
, epähomogeeninen yhtälö ja perusratkaisut 
ja 
vastaavan homogeenisen yhtälön kohdalla kirjoitetaan epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu.
missä 
mikä tahansa numero alkaen R.
Järjestelmien sisäinen heterogeenisyys: osien erottuvuus. Jos katsot "mustan laatikon" sisään, käy ilmi, että järjestelmä ei ole homogeeninen, ei monoliittinen: voit huomata, että erilaiset ominaisuudet vaihtelevat eri paikoissa. Järjestelmän sisäisen heterogeenisyyden kuvaus rajoittuu suhteellisen homogeenisten alueiden eristämiseen, mikä vetää rajat niiden välille. Näin järjestelmän osien käsite ilmenee. Tarkemmin tarkasteltuna käy ilmi, että valitut suuret osat eivät myöskään ole homogeenisia, mikä edellyttää vielä pienempien osien valintaa. Tuloksena on hierarkkinen luettelo järjestelmän osista, jota kutsumme järjestelmän kokoonpanomalliksi.
Tietoa järjestelmän koostumuksesta voidaan käyttää järjestelmän kanssa työskentelyyn. Vuorovaikutuksen tavoitteet järjestelmien kanssa voivat olla erilaisia, ja siksi myös saman järjestelmän koostumuksen mallit voivat vaihdella. Hyödyllisen ja toimivan mallin luominen ei ole helppoa.
Vaikeuksia rakennemallin rakentamisessa
Ensi silmäyksellä järjestelmän osia ei ole vaikea erottaa, ne ovat "silmiinpistäviä". Jotkut järjestelmät erottuvat spontaanisti osiin luonnollisen kasvun ja kehityksen aikana (eliöt, yhteiskunnat, planeettajärjestelmät, molekyylit, mineraaliesiintymät jne.). Keinotekoiset järjestelmät kootaan tarkoituksella aiemmin erillisistä osista (mekanismit, rakennukset, tekstit, melodiat jne.). On myös sekatyyppisiä järjestelmiä (suojelualueet, maatalousjärjestelmät, luonnontutkimusorganisaatiot, vetoliikenne).
Toisaalta kysy rehtorilta, opiskelijalta, kirjanpitäjältä, yritysjohtajalta, mistä osista yliopisto koostuu, ja jokainen antaa oman, muista poikkeavan kokoonpanomallin. Lentäjä, lentoemäntä ja matkustaja määrittelevät myös lentokoneen koostumuksen eri tavoin. Voimme sanoa, että runko koostuu oikeasta ja vasemmasta puolikkaasta, tai voit sanoa, että se koostuu ylä- ja alaosasta. Mistä se "oikeasti" koostuu?
Komponenttimallin rakentamisen vaikeudet, jotka jokaisen on voitettava, voidaan esittää kolmella ehdolla.
1. Kokonaisuus voidaan jakaa osiin eri tavoin.
Kokonaisuus voidaan jakaa osiin eri tavoin (kuten leikkaamalla leivän erikokoisiksi ja -muotoisiksi viipaleiksi). Kuinka se tarkalleen on tarpeen? Vastaus: kuten sinun täytyy saavuttaa tavoitteesi. Esimerkiksi auton koostumusta esitellään eri tavoin aloitteleville autoilijoille, tuleville ammattikuljettajille, autokorjaamoihin valmistautuville mekaanikoille ja autokauppojen myyjille.
Sitten on luonnollista palata kysymykseen: ovatko osat "todellisuudessa" olemassa? Huomioi kyseessä olevan ominaisuuden huolellinen sanamuoto: osien erotettavuus pikemminkin kuin erotettavuus osiin. Toisaalta tulimme järjestelmien eheyden ongelmaan: voit erottaa käyttötarkoitukseesi tarvitsemasi järjestelmän osat ja käyttää niistä saatavilla olevaa tietoa, mutta sinun ei pidä erottaa niitä toisistaan. Myöhemmin syvennämme ja kehitämme tätä asemaa.
2. Osien lukumäärä kokoonpanomallissa
Osien lukumäärä kokoonpanomallissa riippuu myös siitä, millä tasolla järjestelmän pirstoutuminen pysäytetään. Tuloksena olevan hierarkkisen puun päätehaaroissa olevia kappaleita kutsutaan elementeiksi. Eri olosuhteissa hajoaminen päättyy eri tasoilla. Esimerkiksi tulevaa työtä kuvattaessa on annettava kokeneelle työntekijälle ja aloittelijalle erilaisia ohjeita. Niinpä kokoonpanomalli riippuu siitä, mitä pidetään alkeelliseksi, ja koska tämä sana on arvioiva, se ei ole absoluuttinen, vaan suhteellinen käsite. On kuitenkin tapauksia, joissa elementti on luonnollinen, absoluuttinen (solu on elävän organismin yksinkertaisin elementti; yksilö on yhteiskunnan viimeinen elementti, foneemit ovat suullisen puheen pienimmät osat) tai kykyjemme määräämä. (Voimme esimerkiksi olettaa, että elektroni koostuu myös jostakin , mutta toistaiseksi fyysikot eivät ole kyenneet havaitsemaan sen osia murtovarauksella).
3. Järjestelmän ulkoraja
Mikä tahansa järjestelmä on osa jotakin suurempaa järjestelmää (ja usein osa useampaa järjestelmää kerralla). Ja tämä metajärjestelmä voidaan myös jakaa alijärjestelmiin eri tavoin. Tämä tarkoittaa, että järjestelmän ulkorajalla on suhteellinen, ehdollinen luonne. Jopa järjestelmän "ilmeinen" raja (ihmisen iho, yrityksen aita jne.) tietyissä olosuhteissa ei riitä määrittämään rajaa näissä olosuhteissa. Esimerkiksi aterian aikana otan lautaselta haarukalla kotletin, puren sen, pureskelen, nielen, sulatan sen. Missä on rajanylityspaikka, josta tulee osani? Toinen esimerkki koskee yrityksen rajaa. Työntekijä kaatui portaille ja mursi jalkansa. Hoidon jälkeen, kun maksetaan tiedotteesta, herää kysymys: millainen vamma se oli - kotimainen vai teollinen (niille maksetaan eri tavalla)? Ei ole epäilystäkään, oliko se yrityksen portaikko. Mutta jos se oli sen talon portaat, jossa työntekijä asuu, kaikki riippuu siitä, kuinka hän käveli kotiin. Jos suoraan töistä eikä ole vielä päässyt asunnon ovelle, vamma katsotaan teolliseksi. Mutta jos hän meni kauppaan tai elokuvateatteriin matkalla, se on kotivamma. Kuten näette, laki määrittelee yrityksen rajat ehdollisesti.
Järjestelmän rajojen ehdollisuus tuo meidät jälleen takaisin eheyden ongelmaan, nyt koko maailman koskemattomuuteen. Järjestelmärajan määrittelyssä otetaan huomioon järjestelmämalleja käyttävän tutkittavan tavoitteet.
Tarasenko F.P. Applied Systems Analysis (The Science and Art of Problem Solving): Oppikirja. - Tomsk; Tomsk University Press, 2004. ISBN 5-7511-1838-3
Termiä "järjestelmä" käytetään useissa tieteissä. Tästä syystä järjestelmän eri määritelmiä käytetään eri tilanteissa: filosofisista muodollisiin. Kurssin tarkoituksiin soveltuu parhaiten seuraava määritelmä: järjestelmä on joukko elementtejä, joita yhdistävät linkit ja jotka toimivat yhdessä tavoitteen saavuttamiseksi.
Järjestelmille on ominaista joukko ominaisuuksia, joista tärkeimmät on jaettu kolmeen ryhmään: staattiset, dynaamiset ja synteettiset.
1.1 Järjestelmien staattiset ominaisuudet
staattinen ominaisuuksia kutsutaan järjestelmän jonkin tilan ominaisuuksiksi. Tämä on mitä järjestelmällä on milloin tahansa kiinteänä ajankohtana.Rehellisyys. Jokainen järjestelmä toimii yhtenä yhtenäisenä, kokonaisena, eristettynä, kaikesta muusta poikkeavana. Tätä ominaisuutta kutsutaan järjestelmän eheydeksi. Sen avulla voit jakaa koko maailman kahteen osaan: järjestelmään ja ympäristöön.
Avoimuus. Kaikesta muusta erottuva eristetty järjestelmä ei ole eristetty ympäristöstä. Päinvastoin, ne ovat yhteydessä toisiinsa ja vaihtavat erilaisia resursseja (aineita, energiaa, tietoa jne.). Tätä ominaisuutta kutsutaan "avoimuudeksi".
Järjestelmän yhteydet ympäristöön ovat suuntaavia: yhden mukaan ympäristö vaikuttaa järjestelmään (järjestelmän tulot), toisten mukaan järjestelmä vaikuttaa ympäristöön, tekee jotain ympäristössä, antaa jotain ympäristölle (järjestelmän lähdöt) . Järjestelmän tulojen ja lähtöjen kuvausta kutsutaan black box -malliksi. Tällaisessa mallissa ei ole tietoa järjestelmän sisäisistä ominaisuuksista. Näennäisestä yksinkertaisuudesta huolimatta tällainen malli riittää usein toimimaan järjestelmän kanssa.
Monissa tapauksissa laitteita tai ihmisiä ohjattaessa tieto vain järjestelmän tuloista ja lähdöistä mahdollistaa tavoitteen saavuttamisen. Tämän mallin on kuitenkin täytettävä tietyt vaatimukset. Käyttäjällä voi esimerkiksi olla vaikeuksia, jos hän ei tiedä, että joissakin TV-malleissa virtapainiketta ei tarvitse painaa, vaan se on vedettävä ulos. Siksi mallin on sisällettävä kaikki tiedot, jotka ovat tarpeen tavoitteen saavuttamiseksi, jotta johtaminen onnistuisi. Tätä vaatimusta yritettäessä voi syntyä neljän tyyppisiä virheitä, jotka johtuvat siitä, että malli sisältää aina rajallisen määrän yhteyksiä, kun taas yhteyksien määrä todellisessa järjestelmässä on rajoittamaton.
Ensimmäisen tyyppinen virhe syntyy, kun kohde pitää suhdetta virheellisesti merkittävänä ja päättää sisällyttää sen malliin. Tämä johtaa tarpeettomien, tarpeettomien elementtien ilmestymiseen malliin. Toisen tyyppinen virhe päinvastoin tehdään, kun mallista päätetään sulkea pois väitetysti merkityksetön yhteys, jota ilman tavoitteen saavuttaminen on itse asiassa vaikeaa tai jopa mahdotonta.
Vastaus kysymykseen, mikä virhe on pahempi, riippuu kontekstista, jossa se kysytään. On selvää, että virheen sisältävän mallin käyttö johtaa väistämättä tappioihin. Tappiot voivat olla pieniä, hyväksyttäviä, sietämättömiä ja mahdottomia hyväksyä. Tyypin I virheen aiheuttama vahinko johtuu siitä, että sen tuomat tiedot ovat tarpeettomia. Kun työskentelet tällaisen mallin kanssa, joudut käyttämään resursseja tarpeettomien tietojen korjaamiseen ja käsittelemiseen, esimerkiksi viettämään tietokoneen muistia ja käsittelemään sitä. Tämä ei välttämättä vaikuta ratkaisun laatuun, mutta vaikuttaa varmasti kustannuksiin ja oikea-aikaisuuteen. Tappiot toisen tyyppisestä virheestä - vahinko, joka johtuu siitä, että ei ole tarpeeksi tietoa tavoitteen saavuttamiseksi täysin, tavoitetta ei voida saavuttaa täysin.
Nyt on selvää, että pahin virhe on se, jonka tappiot ovat suuremmat, ja tämä riippuu erityisistä olosuhteista. Esimerkiksi, jos aika on kriittinen tekijä, niin ensimmäisen tyyppinen virhe tulee paljon vaarallisemmaksi kuin toisenlainen: ajoissa tehty päätös, vaikka ei paras, on parempi kuin optimaalinen, mutta myöhäinen. .
Tyypin III virheen katsotaan olevan tietämättömyyden seuraus. Arvioidaksesi jonkin yhteyden merkitystä, sinun on tiedettävä, että se on olemassa. Jos tätä ei tiedetä, kysymys yhteyden sisällyttämisestä malliin ei ole ollenkaan sen arvoista. Siinä tapauksessa, että tällainen yhteys on merkityksetön, niin käytännössä sen läsnäolo todellisuudessa ja sen puuttuminen mallissa on huomaamaton. Jos suhde on merkittävä, tulee olemaan samanlaisia vaikeuksia kuin tyypin II virheen kanssa. Erona on, että tyypin III virhettä on vaikeampi korjata: se vaatii uuden tiedon poimimista.
Neljännen tyyppinen virhe tapahtuu, kun tunnetun merkittävän yhteyden virheellinen osoitus järjestelmän tulojen tai lähtöjen lukumäärään. On esimerkiksi tunnettua, että 1800-luvun Englannissa silinterihattuja käyttävien miesten terveys oli paljon parempi kuin hattua käyttävien miesten. Tästä tuskin seuraa, että päähineiden tyyppiä voidaan pitää syötteenä terveydentilan ennustejärjestelmään.
Järjestelmien sisäinen heterogeenisuus, osien erottuvuus. Jos katsot "mustan laatikon" sisään, käy ilmi, että järjestelmä on heterogeeninen, ei monoliittinen. Voidaan havaita, että erilaiset ominaisuudet järjestelmän eri osissa ovat erilaisia. Järjestelmän sisäisen heterogeenisyyden kuvaus rajoittuu suhteellisen homogeenisten alueiden eristämiseen, mikä vetää rajat niiden välille. Näin järjestelmän osien käsite ilmenee. Tarkemmin tarkasteltuna käy ilmi, että valitut suuret osat ovat myös epähomogeenisia, mikä edellyttää vielä pienempien osien valintaa. Tuloksena on hierarkkinen kuvaus järjestelmän osista, jota kutsutaan kokoonpanomalliksi.
Tietoa järjestelmän koostumuksesta voidaan käyttää järjestelmän kanssa työskentelyyn. Vuorovaikutuksen tavoitteet järjestelmän kanssa voivat olla erilaisia, ja siksi myös saman järjestelmän koostumuksen mallit voivat vaihdella. Ensi silmäyksellä järjestelmän osien erottaminen ei ole vaikeaa, ne ovat "ilmeellisiä". Joissakin järjestelmissä osia syntyy mielivaltaisesti luonnollisen kasvun ja kehityksen prosessissa (eliöt, yhteiskunnat jne.). Keinotekoiset järjestelmät kootaan tarkoituksella aiemmin tunnetuista osista (mekanismit, rakennukset jne.). On myös sekatyyppisiä järjestelmiä, kuten reservit, maatalousjärjestelmät. Toisaalta yliopisto koostuu rehtorin, opiskelijan, kirjanpitäjän ja yritysjohtajan näkökulmasta eri osista. Lentokone koostuu erilaisista osista ohjaajan, lentoemäntän ja matkustajan näkökulmasta. Sävellysmallin luomisen vaikeudet voidaan esittää kolmella ehdolla.
Ensinnäkin kokonaisuus voidaan jakaa osiin eri tavoin. Tässä tapauksessa jakomenetelmä määräytyy tavoitteen mukaan. Esimerkiksi auton koostumusta esitellään eri tavoin aloitteleville autoilijoille, tuleville ammattikuljettajille, autohuoltoon töihin valmistautuville mekaanikoille ja autoliikkeiden myyjille. On luonnollista kysyä, onko järjestelmän osia "todella" olemassa? Vastaus sisältyy kyseisen ominaisuuden muotoiluun: puhumme erotettavuudesta, emme osien erotettavuudesta. Tavoitteen saavuttamiseen tarvittavat järjestelmän osat voidaan erottaa, mutta niitä ei voi erottaa.
Toiseksi, osien lukumäärä kokoonpanomallissa riippuu myös siitä, millä tasolla järjestelmän pirstoutuminen pysäytetään. Tuloksena olevan hierarkkisen puun päätehaaroissa olevia kappaleita kutsutaan elementeiksi. Eri olosuhteissa hajoaminen päättyy eri tasoilla. Esimerkiksi tulevaa työtä kuvattaessa on annettava kokeneelle työntekijälle ja aloittelijalle erilaisia ohjeita. Siten kokoonpanomalli riippuu siitä, mitä pidetään alkeellisena. On tapauksia, joissa elementillä on luonnollinen, absoluuttinen luonne (solu, yksilö, foneemi, elektroni).
Kolmanneksi mikä tahansa järjestelmä on osa suurempaa järjestelmää ja joskus useita järjestelmiä kerralla. Tällainen metajärjestelmä voidaan myös jakaa alijärjestelmiin eri tavoin. Tämä tarkoittaa, että järjestelmän ulkorajalla on suhteellinen, ehdollinen luonne. Järjestelmän rajojen määrittelyssä otetaan huomioon järjestelmämallia käyttävän tutkittavan tavoitteet.
Strukturoitu. Struktuurisuuden ominaisuus on siinä, että järjestelmän osat eivät ole eristettyjä, eivät toisistaan riippumattomia; ne ovat yhteydessä toisiinsa ja ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Samalla järjestelmän ominaisuudet riippuvat olennaisesti siitä, miten sen osat tarkalleen ovat vuorovaikutuksessa. Siksi tieto järjestelmän elementtien kytkennöistä on niin tärkeää. Järjestelmän elementtien välisten olennaisten linkkien luetteloa kutsutaan järjestelmän rakennemalliksi. Minkä tahansa järjestelmän omistamista tietyllä rakenteella kutsutaan strukturoiduksi.
Strukturoinnin käsite syventää entisestään ajatusta järjestelmän eheydestä: liitokset ikään kuin pitävät osat yhdessä, pitävät ne yhtenä kokonaisuutena. Aiemmin ulkoisena ominaisuutena mainittu eheys saa vahvistavan selityksen järjestelmän sisältä - rakenteen kautta.
Rakennemallia rakennettaessa tulee myös vastaan tiettyjä vaikeuksia. Ensimmäinen näistä liittyy siihen, että rakennemalli määräytyy kokoonpanomallin valinnan jälkeen ja riippuu siitä, mikä järjestelmän koostumus tarkalleen on. Mutta jopa kiinteällä koostumuksella rakennemalli on muuttuva. Tämä johtuu mahdollisuudesta eri tavoilla määrittää suhteiden merkitys. Esimerkiksi nykyaikaista johtajaa suositellaan organisaationsa muodollisen rakenteen ohella ottamaan huomioon työntekijöiden väliset epäviralliset suhteet, jotka vaikuttavat myös organisaation toimintaan. Toinen vaikeus johtuu siitä, että jokainen järjestelmän elementti puolestaan on "pieni musta laatikko". Joten kaikki neljä virhetyyppiä ovat mahdollisia määritettäessä kunkin rakennemalliin sisältyvän elementin tuloja ja lähtöjä.
1.2 JÄRJESTELMIEN DYNAAMISET OMINAISUUDET
Jos tarkastelemme järjestelmän tilaa uudessa ajankohdassa, voimme jälleen löytää kaikki neljä staattista ominaisuutta. Mutta jos asetat järjestelmän "valokuvat" eri ajankohtina päällekkäin, niin havaitaan, että ne eroavat yksityiskohdista: kahden havaintopisteen välisenä aikana järjestelmässä ja sen sisällä tapahtui joitain muutoksia. ympäristöön. Tällaiset muutokset voivat olla tärkeitä järjestelmän kanssa työskennellessä, ja siksi ne tulee näkyä järjestelmän kuvauksissa ja ottaa huomioon sen kanssa työskennellessä. Ajan kuluessa tapahtuvien muutosten ominaisuuksia järjestelmän sisällä ja sen ulkopuolella kutsutaan järjestelmän dynaamisiksi ominaisuuksiksi. Yleensä järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia erotetaan neljä.Toiminnallisuus. Prosessit Y(t) jotka esiintyvät järjestelmän lähdöissä, katsotaan sen toiminnoiksi. Järjestelmän toiminnot ovat sen käyttäytyminen ulkoisessa ympäristössä, sen toiminnan tulokset, järjestelmän tuottamat tuotteet.
Tuotosten moninaisuudesta seuraa funktioiden moninaisuus, joista jokaista voi käyttää joku ja johonkin. Siksi sama järjestelmä voi palvella eri tarkoituksia. Järjestelmää omiin tarkoituksiinsa käyttävä subjekti luonnollisesti arvioi sen toimintoja ja järjestää ne suhteessa tarpeisiinsa. Näin ilmenevät käsitteet pää-, toissijainen, neutraali, ei-toivottu, tarpeeton toiminto jne..
Stimuloitavuus. Tietyt prosessit tapahtuvat myös järjestelmän tuloissa. X(t), jotka vaikuttavat järjestelmään ja muuttuvat useiden järjestelmän muunnosten jälkeen Y(t). Vaikutus X(t) kutsutaan incentiveiksi, ja minkä tahansa järjestelmän herkkyyttä ulkoisille vaikutuksille ja sen käyttäytymisen muutosta näiden vaikutusten alaisena kutsutaan stimulatiiviseksi.
Järjestelmän vaihtelu ajan myötä. Kaikissa järjestelmissä on muutoksia, jotka on otettava huomioon. Järjestelmämallin osalta voidaan sanoa, että sisäisten muuttujien (parametrien) arvot voivat muuttua Z(t), järjestelmän koostumus ja rakenne sekä mikä tahansa niiden yhdistelmä. Myös näiden muutosten luonne voi olla erilainen. Tästä syystä muutosten lisäluokituksia voidaan harkita.
Ilmeisin luokitus on muutosnopeuden mukaan (hidas, nopea. Muutosnopeus mitataan suhteessa johonkin vakiona otettuun nopeuteen. Voidaan ottaa käyttöön suuri määrä nopeuksien asteikkoja. On myös mahdollista luokitella trendejä järjestelmän rakennetta ja koostumusta koskevat muutokset.
Voidaan puhua sellaisista muutoksista, jotka eivät vaikuta järjestelmän rakenteeseen: jotkut elementit korvataan toisilla, vastaavilla; vaihtoehtoja Z(t) voivat muuttua muuttamatta rakennetta. Tämän tyyppistä järjestelmädynamiikkaa kutsutaan sen toimimiseksi. Muutokset voivat olla kvantitatiivisia: järjestelmän koostumuksessa tapahtuu kasvua, ja vaikka sen rakenne muuttuu automaattisesti, tämä ei vaikuta järjestelmän ominaisuuksiin ennen tiettyä kohtaa (esimerkiksi kaatopaikan laajeneminen). Tällaisia muutoksia kutsutaan järjestelmän kasvuksi. Järjestelmän laadullisten muutosten myötä sen olennaiset ominaisuudet muuttuvat. Jos tällaiset muutokset ovat positiiviseen suuntaan, niitä kutsutaan kehitykseksi. Samoilla resursseilla kehitetty järjestelmä saavuttaa parempia tuloksia, uusia myönteisiä ominaisuuksia (toimintoja) voi ilmaantua. Tämä johtuu johdonmukaisuuden ja järjestelmän organisoinnin tason noususta.
Kasvu tapahtuu pääasiassa aineellisten resurssien kulutuksen, kehityksen - tiedon assimiloinnin ja käytön ansiosta. Kasvu ja kehitys voivat tapahtua samanaikaisesti, mutta ne eivät välttämättä liity toisiinsa. Kasvu on aina rajoitettua (rajallisten aineellisten resurssien vuoksi), eikä ulkopuolelta tulevaa kehitystä ole rajoitettu, koska tieto ulkoisesta ympäristöstä on ehtymätöntä. Kehitys on oppimisen tulos, mutta oppimista ei voi tehdä oppijan sijasta. Siksi kehitykselle on sisäinen rajoitus. Jos järjestelmä "ei halua" oppia, se ei voi eikä tule kehittymään.
Kasvu- ja kehitysprosessien lisäksi järjestelmässä voi tapahtua myös käänteisiä prosesseja. Kasvun käänteisyyttä kutsutaan laskuksi, supistumiseksi, laskuksi. Muutoksen käänteistä kehitystä kutsutaan hyödyllisten ominaisuuksien huononemiseksi, menettämiseksi tai heikkenemiseksi.
Tarkasteltavat muutokset ovat yksitoikkoisia, eli ne on suunnattu "yhteen suuntaan". On selvää, että yksitoikkoiset muutokset eivät voi kestää ikuisesti. Minkä tahansa järjestelmän historiassa voidaan erottaa laskun ja nousun, vakauden ja epävakauden jaksot, joiden järjestys muodostaa järjestelmän yksilöllisen elinkaaren.
Voit käyttää muita järjestelmässä esiintyvien prosessien luokituksia: ennustettavuuden mukaan prosessit jaetaan satunnaisiin ja deterministisiin; Aikariippuvuuden tyypin mukaan prosessit jaetaan monotonisiin, jaksollisiin, harmonisiin, impulsseihin jne.
Olemassaolo muuttuvassa ympäristössä. Ei vain tämä järjestelmä, vaan myös kaikki muut. Tarkasteltavana olevan järjestelmän kannalta tämä näyttää jatkuvalta ympäristön muutokselta. Tällä seikalla on monia seurauksia itse järjestelmälle, jonka on mukauduttava uusiin olosuhteisiin, jotta se ei tuhoutuisi. Tarkasteltaessa tiettyä järjestelmää kiinnitetään yleensä huomiota järjestelmän tietyn reaktion ominaisuuksiin, esimerkiksi reaktionopeuteen. Jos tarkastellaan järjestelmiä, jotka tallentavat tietoa (kirjat, magneettiset mediat), niin reaktionopeuden ulkoisen ympäristön muutoksiin tulisi olla minimaalinen tiedon säilymisen varmistamiseksi. Toisaalta ohjausjärjestelmän reaktionopeuden tulee olla monta kertaa suurempi kuin ympäristön muutosnopeus, koska järjestelmän on valittava ohjaustoiminto jo ennen kuin ympäristön tila muuttuu peruuttamattomasti.
1.3 JÄRJESTELMIEN SYNTEETTISET OMINAISUUDET
Synteettisiä ominaisuuksia ovat yleistävät, integraaliset, kollektiiviset ominaisuudet, jotka kuvaavat järjestelmän vuorovaikutusta ympäristön kanssa ja ottavat huomioon eheyden yleisimmässä mielessä.Syntyminen. Elementtien yhdistäminen järjestelmäksi johtaa laadullisesti uusien ominaisuuksien syntymiseen, jotka eivät johdu osien ominaisuuksista, jotka ovat luontaisia vain itse järjestelmälle ja ovat olemassa vain niin kauan kuin järjestelmä on yksi kokonaisuus. Tällaisia järjestelmän ominaisuuksia kutsutaan
esiintuleva (englannin sanasta "to syntyä").
Esimerkkejä syntyvistä ominaisuuksista löytyy eri aloilta. Esimerkiksi mikään lentokoneen osista ei voi lentää, mutta lentokone kuitenkin lentää. Veden ominaisuudet, joista monia ei täysin ymmärretä, eivät seuraa vedyn ja hapen ominaisuuksista.
Olkoon kaksi mustaa laatikkoa, joista jokaisella on yksi tulo, yksi lähtö ja joka suorittaa yhden toiminnon - lisää yhden tulon numeroon. Kun kytket tällaiset elementit kuvassa esitetyn kaavion mukaisesti, saamme järjestelmän ilman tuloja, mutta kahdella lähdöllä. Jokaisella työkierrolla järjestelmä antaa suuremman numeron, kun taas vain parilliset luvut näkyvät yhdessä syötteessä ja vain parittomat numerot toisessa.
 |
|
| a | b |
| Kuva 1.1. Järjestelmäelementtien kytkentä: a) järjestelmä kahdella lähdöllä; b) elementtien rinnakkaiskytkentä |
|
Järjestelmän ilmenevät ominaisuudet määräytyvät sen rakenteen perusteella. Tämä tarkoittaa, että elementtien erilaiset yhdistelmät tuottavat erilaisia esiin tulevia ominaisuuksia. Jos esimerkiksi yhdistät elementit rinnakkain, toiminnallisesti uusi järjestelmä ei eroa yhdestä elementistä. Syntyminen ilmenee järjestelmän luotettavuuden lisäämisenä kahden identtisen elementin rinnakkaisen kytkennän vuoksi - eli redundanssin vuoksi.
On huomattava tärkeä tapaus, kun järjestelmän elementeillä on kaikki ominaisuudet. Tämä tilanne on tyypillinen järjestelmän fraktaalirakenteelle. Samalla osien jäsentämisen periaatteet ovat samat kuin koko järjestelmässä. Esimerkki fraktaalijärjestelmästä on organisaatio, jossa johtaminen on rakennettu identtisesti kaikilla hierarkian tasoilla.
Erottamattomuus osiin. Tämä ominaisuus on itse asiassa seurausta syntymisestä. Se korostuu erityisesti siksi, että sen käytännön merkitys on suuri ja aliarvioiminen on hyvin yleistä.
Kun osa poistetaan järjestelmästä, tapahtuu kaksi tärkeää tapahtumaa. Ensinnäkin järjestelmän koostumus muuttuu ja siten sen rakenne. Se on erilainen järjestelmä erilaisilla ominaisuuksilla. Toiseksi järjestelmästä poistettu elementti käyttäytyy eri tavalla sen vuoksi, että sen ympäristö muuttuu. Kaikki tämä viittaa siihen, että kun tarkastellaan elementtiä erillään muusta järjestelmästä, on oltava varovainen.
Inherence. Järjestelmä on sitäkin yhtenäisempi (englannin kielestä luontaisesti "oleminen osa jotain"), sitä paremmin se on koordinoitu, sopeutunut ympäristöön, yhteensopiva sen kanssa. Inherenssiaste on erilainen ja voi muuttua. Inherenssin pitämisen tarkoituksenmukaisuus yhtenä järjestelmän ominaisuuksista liittyy siihen, että valitun toiminnon toteuttamisen aste ja laatu järjestelmän toimesta riippuu siitä. Luonnollisissa järjestelmissä luontaisuutta lisää luonnonvalinta. Keinotekoisissa järjestelmissä inherenssin tulisi olla suunnittelijan erityinen huolenaihe.
Useissa tapauksissa inherenssi tarjotaan välillisten välijärjestelmien avulla. Esimerkkejä ovat muuntajat ulkomaisten sähkölaitteiden käyttämiseksi yhdessä neuvostotyylisten pistorasioiden kanssa; väliohjelmisto (kuten Windows COM -palvelu), jonka avulla kaksi eri valmistajien ohjelmaa voivat kommunikoida keskenään.
Tarkoituksenmukaisuus. Ihmisen luomissa järjestelmissä sekä rakenteen että koostumuksen alistaminen asetetun tavoitteen saavuttamiselle on niin ilmeistä, että se voidaan tunnustaa minkä tahansa keinotekoisen järjestelmän perusominaisuudeksi. Tätä ominaisuutta kutsutaan tarkoituksenmukaisuudeksi. Tavoite, jota varten järjestelmä luodaan, määrittää, mikä esiin tuleva ominaisuus varmistaa tavoitteen saavuttamisen, ja tämä puolestaan saa valita järjestelmän rakenteen ja koostumuksen. Tarkoituksenmukaisuuden käsitteen laajentamiseksi luonnollisiin järjestelmiin on tarpeen selventää tarkoituksen käsitettä. Jalostus suoritetaan keinotekoisen järjestelmän esimerkillä.
Minkä tahansa keinotekoisen järjestelmän historia alkaa jossain vaiheessa 0, jolloin tilavektorin Y 0 olemassa oleva arvo osoittautuu epätyydyttäväksi, eli syntyy ongelmallinen tilanne. Kohde on tyytymätön tähän ehtoon ja haluaisi muuttaa sen. Olkoon hänen tyytyväinen tilavektorin Y* arvoihin. Tämä on ensimmäinen tarkoituksen määritelmä. Lisäksi käy ilmi, että Y* ei ole olemassa nyt eikä sitä voida useista syistä saavuttaa lähitulevaisuudessa. Toinen askel tavoitteen määrittelyssä on tunnistaa se toivottavaksi tulevaisuuden tilaksi. Heti käy selväksi, että tulevaisuus ei ole rajoitettu. Kolmas askel tavoitteen käsitteen tarkentamisessa on arvioida aika T*, jolloin haluttu tila Y* voidaan saavuttaa tietyissä olosuhteissa. Nyt kohteesta tulee kaksiulotteinen, se on piste (T*, Y*) kuvaajassa. Tehtävänä on siirtyä pisteestä (0, Y 0) pisteeseen (T*, Y*). Mutta käy ilmi, että tämä polku voidaan kulkea eri reittiä pitkin, ja vain yksi niistä voidaan toteuttaa. Olkoon valinta putoaa lentoradalle Y*( t). Siten tavoite ei ymmärretä nyt vain lopputilana (T*, Y*), vaan myös koko lentoradana Y*( t) ("välitavoitteet", "suunnitelma"). Tavoitteena on siis halutut tulevaisuuden tilat Y*( t).
Ajan T* jälkeen tila Y* muuttuu todelliseksi. Siksi on mahdollista määritellä tavoite tulevaisuuden todelliseksi tilaksi. Näin voidaan sanoa, että luonnollisilla järjestelmillä on myös tarkoituksenmukaisuuden ominaisuus, minkä ansiosta voimme lähestyä minkä tahansa tyyppisten järjestelmien kuvausta yhtenäisestä näkökulmasta. Suurin ero luonnollisten ja keinotekoisten järjestelmien välillä on se, että luonnonlakeja noudattavat luonnolliset järjestelmät toteuttavat objektiivisia tavoitteita, kun taas keinotekoiset järjestelmät luodaan saavuttamaan subjektiivisia tavoitteita.
2.4.1. Määritelmä. Olkoon epähomogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä
Harkitse homogeenista järjestelmää
jonka kertoimien matriisi on sama kuin järjestelmän (2.4.1) kerroinmatriisi. Sitten kutsutaan järjestelmä (2.4.2). pelkistetty homogeeninen järjestelmä (2.4.1).
2.4.2. Lause. Epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin epähomogeenisen järjestelmän tietyn ratkaisun ja pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleisen ratkaisun summa.
Siten epähomogeenisen järjestelmän (2.4.1) yleisen ratkaisun löytämiseksi riittää:
1) Tarkista sen yhteensopivuus. Yhteensopivuuden tapauksessa:
2) Etsi pelkistetyn homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu.
3) Etsi jokin tietty ratkaisu alkuperäiseen (epähomogeeniseen).
4) Kun olet lisännyt löydetyn tietyn ratkaisun ja annetun yleisratkaisun, etsi alkuperäisen järjestelmän yleinen ratkaisu.
2.4.3. Harjoitus. Tutki järjestelmän yhteensopivuutta ja hae yhteensopivuuden tapauksessa sen yleinen ratkaisu osamäärän ja yleisen pelkistetyn summan muodossa.
Päätös. a) Ongelman ratkaisemiseksi käytämme yllä olevaa järjestelmää:
1) Tutkimme järjestelmän yhteensopivuutta (alaikäisten rajausmenetelmällä): Päämatriisin järjestys on 3 (katso tehtävän 2.2.5 ratkaisu, a), ja maksimiasteen nollasta poikkeava molli koostuu 1. , 2., 4. rivit ja 1., 3. ja 4. sarakkeet. Laajennetun matriisin arvon selvittämiseksi rajaamme sen laajennetun matriisin 3. riviin ja 6. sarakkeeseen: =0. tarkoittaa, rg A =rg=3, ja järjestelmä on johdonmukainen. Erityisesti se vastaa järjestelmää
2) Etsi yleinen ratkaisu X 0 tämän järjestelmän homogeenisuus
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b Î R}
(katso tehtävän 2.2.5, a) ratkaisu).
3) Etsi jokin tietty ratkaisu x h alkuperäisestä järjestelmästä . Tätä varten järjestelmässä (2.4.3), joka vastaa alkuperäistä, vapaat tuntemattomat x 2 ja x Asetamme 5 esimerkiksi nollaksi (nämä ovat kätevimmät tiedot):
ja ratkaise tuloksena oleva järjestelmä: x 1 =- , x 3 =- , x 4 = -5. Siten (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ on järjestelmän erityinen ratkaisu.
4) Löydämme alkuperäisen järjestelmän yleisratkaisun X n :
X n={x h }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Kommentti. Vertaa vastaustasi toiseen vastaukseen esimerkissä 1.2.1 c). Saadaksemme vastauksen ensimmäisessä muodossa kohtaan 1.2.1 c), otamme perus tuntemattomia x 1 , x 3 , x 5 (jonka molli ei myöskään ole nolla), ja vapaana ¾ x 2 ja x 4 .
§3. Jotkut sovellukset.
3.1. Kysymykseen matriisiyhtälöistä. Muistutamme sinua siitä matriisiyhtälö kentän yli F on yhtälö, jossa jokin kentän päällä oleva matriisi toimii tuntemattomana F .
Yksinkertaisimmat matriisiyhtälöt ovat muodon yhtälöitä
KIRVES=B , XA =B (2.5.1)
missä A , B ¾ annettuja (tunnettuja) matriiseja kentän yli F , a X ¾ sellaiset matriisit, jotka korvattaessa yhtälöt (2.5.1) muuttuvat todellisiksi matriisiyhtälöiksi. Erityisesti tiettyjen järjestelmien matriisimenetelmä rajoittuu matriisiyhtälön ratkaisemiseen.
Kun matriisit A yhtälöissä (2.5.1) ovat ei-degeneroituneita, niillä on vastaavasti ratkaisuja X =A B ja X =BA .
Siinä tapauksessa, että vähintään yksi yhtälöiden (2.5.1) vasemmalla puolella olevista matriiseista on degeneroitunut, tämä menetelmä ei ole enää sopiva, koska vastaava käänteimatriisi A ei ole olemassa. Tässä tapauksessa yhtälöiden (2.5.1) ratkaisujen löytäminen pelkistyy järjestelmien ratkaisemiseksi.
Mutta ensin esitellään joitain käsitteitä.
Järjestelmän kaikkien ratkaisujen joukkoa kutsutaan yhteinen ratkaisu . Yksilöllinen ratkaisu määrittelemättömästä järjestelmästä, sanotaanpa sitä yksityinen päätös .
3.1.1. Esimerkki. Ratkaise matriisiyhtälö kentän yli R.
a) X = ; b) X = ; sisään) X = .
Päätös. a) Koska \u003d 0, niin kaava X =A B ei sovellu tämän yhtälön ratkaisemiseen. Jos työssä XA =B matriisi A on 2 riviä, sitten matriisi X on 2 saraketta. Rivien lukumäärä X on vastattava rivien määrää B . Niin X on 2 riviä. Täten, X ¾ on jokin toisen kertaluvun neliömatriisi: X = . Korvaava X alkuperäiseen yhtälöön:
Kertomalla (2.5.2) vasemmalla puolella olevat matriisit saadaan yhtälö
Kaksi matriisia ovat samanarvoisia silloin ja vain, jos niillä on samat mitat ja niitä vastaavat alkiot ovat yhtä suuret. Siksi (2.5.3) vastaa järjestelmää
Tämä järjestelmä vastaa järjestelmää
Ratkaisemalla sen esimerkiksi Gaussin menetelmällä pääsemme ratkaisujen joukkoon (5-2 b , b , -2d , d ), missä b , d toimivat toisistaan riippumatta R. Täten, X = .
b) Samalla tavalla kuin a) meillä on X = ja.
Tämä järjestelmä on epäjohdonmukainen (tarkista se!). Siksi tällä matriisiyhtälöllä ei ole ratkaisuja.
c) Merkitse tämä yhtälö arvolla KIRVES =B . Kuten A on 3 saraketta ja B siinä on sitten 2 saraketta X ¾ jokin 3´2 matriisi: X = . Siksi meillä on seuraava vastaavuusketju:
Ratkaisemme viimeisen järjestelmän Gaussin menetelmällä (jätämme pois kommentit)
Siten pääsemme järjestelmään
jonka ratkaisu on (11+8 z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w ,w ) missä z , w toimivat toisistaan riippumatta R.
Vastaus: a) X = , b , d Î R.
b) Ratkaisuja ei ole.
sisään) X = z , w Î R.
3.2. Kysymykseen matriisien permutatiivisuudesta. Yleensä matriisien tulo on ei-muuttumaton, eli jos A ja B sellasta AB ja BA määritellään siis yleisesti ottaen AB ¹ BA . Mutta esimerkki identiteettimatriisista E osoittaa, että myös vaihdettavuus on mahdollista AE =EA mille tahansa matriisille A , jos vain AE ja EA olivat päättäneet.
Tässä alaosiossa tarkastellaan ongelmia kaikkien tietyn matriisien joukon löytämisessä. Täten,
Tuntematon x 1 , y 2 ja z 3 voi ottaa minkä tahansa arvon: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Sitten
Täten, X = .
Vastaus. a) X d ¾ mikä tahansa numero.
b) X ¾ joukko matriiseja muodossa , missä a , b ja g ¾ mitkä tahansa numerot.
