Funktion käsite Funktion määrittelytapoja Esimerkkejä funktioista Funktion analyyttinen määrittely Graafinen tapa määrittää funktion raja pisteessä Taulukkomainen tapa määritellä funktio Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Funktion, jolla on raja Rajaan siirtyminen epäyhtälössä Funktion raja äärettömyydessä Infinitesimaaliset funktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet

Funktion käsite on perustavanlaatuinen ja alkuperäinen, kuten myös joukon käsite. Olkoon X jokin joukko reaalilukuja x. Jos jokaiselle x ∈ X:lle on jonkin lain mukaan annettu tietty reaaliluku y, niin sanotaan, että joukolle X on annettu funktio ja kirjoitetaan.. Näin esitettävää funktiota kutsutaan numeeriseksi. Tässä tapauksessa joukkoa X kutsutaan funktion määritelmän alueeksi ja itsenäistä muuttujaa x argumentiksi. Toiminnon osoittamiseen käytetään joskus vain symbolia, joka ilmaisee vastaavuuslakia, eli f (x) n:n ja jesterin sijaan vain /. Näin ollen funktio on annettu, jos 1) määrittelyalue on määritetty 2) sääntö /, joka antaa kullekin arvolle a: € X tietyn luvun y \u003d / (x) - tätä arvoa vastaavan funktion arvon argumentista x. Funktioita / ja g kutsutaan yhtäläisiksi, jos niiden määritelmäalueet ovat samat ja yhtälö f(x) = g(x) on totta mille tahansa argumentin x arvolle niiden yhteisestä alueesta. Siten funktiot y eivät ole yhtä suuria; ne ovat yhtä suuret vain välillä [O, I]. Esimerkkejä toiminnoista. 1. Sarja (o„) on funktio kokonaislukuargumentista, joka on määritelty luonnollisten lukujen joukossa siten, että f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Funktio y = n? (lue "en-factorial"). Luonnollisten lukujen joukossa annettuna: jokainen luonnollinen luku n liittyy kaikkien luonnollisten lukujen tuloon 1:stä n:ään mukaan lukien: lisäksi 0! = 1. Nimitysmerkki tulee latinan sanasta signum - merkki. Tämä funktio on määritelty koko lukurivillä; sen arvojen joukko koostuu kolmesta numerosta -1.0, I (kuva 1). y = |x), missä (x) tarkoittaa reaaliluvun x kokonaislukuosaa, eli [x| - suurin kokonaisluku, joka ei ylitä Se luetaan: - peli on yhtä suuri kuin antie x ”(fr. entier). Tämä funktio on asetettu koko lukuakselille, ja sen kaikkien arvojen joukko koostuu kokonaisluvuista (kuva 2). Tapoja funktion määrittämiseksi Analyyttinen funktion määrittäminen Funktio y = f(x) on määritelty analyyttisesti, jos se määritellään kaavalla, joka osoittaa, mitä operaatioita on suoritettava kullekin x:n arvolle, jotta saadaan vastaava arvo y. Esimerkiksi funktio annetaan analyyttisesti. Tässä tapauksessa funktion verkkoalue (jos sitä ei ole määritetty etukäteen) ymmärretään kaikkien argumentin x todellisten arvojen joukkona, jolle funktion määrittelevä analyyttinen lauseke ottaa vain todelliset ja lopulliset arvot. Tässä mielessä funktion aluetta kutsutaan myös sen olemassaolon alueeksi. Funktiolle määrittelyalue on segmentti, funktiolle y - sin x määritelmäalue on koko numeerinen akseli. Huomaa, että jokainen kaava ei määrittele funktiota. Esimerkiksi kaava ei määrittele mitään funktiota, koska ei ole yhtä x:n todellista arvoa, jolle molemmilla yllä kirjoitetuilla juurilla olisi todellisia arvoja. Toiminnon analyyttinen määrittäminen voi näyttää melko monimutkaiselta. Erityisesti funktio voidaan määritellä eri kaavoilla sen määritelmäalueen eri osissa. Funktio voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti: 1.2. Graafinen tapa määrittää funktio Funktiota y = f(x) kutsutaan graafisesti määritettynä, jos sen aikataulu on määritelty, ts. joukko pisteitä (xy/(x)) xOy-tasolla, joiden abskissat kuuluvat funktion määritelmäalueeseen ja ordinaatit ovat yhtä suuria kuin funktion vastaavat arvot (kuva 4). Ei jokaiselle funktiolle, sen kaavio voidaan esittää kuvassa. Esimerkiksi Dirichlet-funktio, jos x on rationaalinen, jos x on irrationaalinen, ZX \o, ei salli tällaista esitystä. Funktio R(x) on annettu koko numeerisella akselilla ja sen arvojoukko koostuu kahdesta luvusta 0 ja 1. 1.3. Taulukkomuotoinen tapa määrittää funktio Funktiota sanotaan määritellyksi taulukkomuodossa, jos tarjotaan taulukko, joka sisältää funktion numeeriset arvot joillekin argumentin arvoille. Kun funktio määritellään taulukossa, sen määritelmäalue koostuu vain taulukossa olevista arvoista x\t x2i..., xn. §2. Funktion raja pisteessä Funktion rajan käsite on keskeinen matemaattisessa analyysissä. Olkoon funktio f(x) määritelty jossain pisteen xq naapurustossa Q, paitsi ehkä itse laajennuspiste (Cauchy). Lukua A kutsutaan funktion f(x) rajaksi pisteessä x0, jos mille tahansa luvulle e > 0, joka voi olla mielivaltaisen pieni, on olemassa luku<5 > 0 siten, että kaikilla ehdon iGH.i^ x0:lla epäyhtälö on tosi. funktion määrittely Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Funktion, jolla on raja, rajaan siirtyminen epäyhtälössä olevaan rajaan Funktion raja äärettömyydessä Infinitesimaalifunktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet Merkintä: Loogisten symbolien avulla tämä määritelmä ilmaistaan Esimerkkejä. 1. Käytä funktion pisteen rajan määritelmää, osoita, että funktio on määritelty kaikkialla, mukaan lukien piste zo = 1: /(1) = 5. Ota mikä tahansa. Jotta epäyhtälö |(2x + 3) - 5| tapahtui, on tarpeen täyttää seuraavat epätasa-arvot. Siksi, jos otamme, meillä on. Tämä tarkoittaa, että luku 5 on funktion raja: pisteessä 2. Osoita funktion rajan määritelmää käyttäen, että funktio ei ole määritelty pisteessä xo = 2. Tarkastellaan /(x) jossain naapurustossa piste-Xq = 2, esimerkiksi välissä ( 1, 5), joka ei sisällä pistettä x = 0, jossa funktiota /(x) ei myöskään ole määritelty. Ota mielivaltainen luku c > 0 ja muunna lauseke |/(x) - 2| x f 2:lle seuraavasti Kohdalle x b (1, 5) saadaan epäyhtälö Tästä on selvää, että jos otetaan 6 \u003d c, niin kaikille x € (1,5) ehdolla epäyhtälö on tosi. luku A - 2 on tietyn funktion raja pisteessä. Annetaan geometrinen selitys funktion rajan käsitteelle pisteessä viitaten sen kuvaajaan (kuva 5). x:lle funktion /(x) arvot määritetään käyrän M \ M pisteiden ordinaateilla, x > ho - käyrän MM2 pisteiden ordinaateilla. Arvo /(x0) määräytyy pisteen N ordinaatilla. Tämän funktion kuvaaja saadaan, jos otetaan "hyvä" käyrä M\MMg ja korvataan käyrän piste M(x0, A) pisteellä jV. Osoitetaan, että pisteessä x0 funktiolla /(x) on raja, joka on yhtä suuri kuin luku A (pisteen M ordinaatta). Otetaan mikä tahansa (mielisesti pieni) luku e > 0. Merkitse Oy-akselille pisteet ordinaateilla A, A - e, A + e. Merkitse P:llä ja Q:lla funktion y \u003d / (x) kuvaajan leikkauspisteet ) suorilla y \u003d A - enu = A + e. Olkoon näiden pisteiden abskissat vastaavasti x0 - hx0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Kuvasta nähdään, että mille tahansa x Φ x0:lle väliltä (x0 - h\, x0 + hi) funktion f(x) arvo on välillä. kaikille x ⩽ x0, jotka täyttävät ehdon, epäyhtälö on tosi Asetamme Silloin väli sisältyy väliin ja siten epäyhtälö tai, joka myös täyttyy kaikille ehdon täyttäville x:ille Tämä todistaa, että Siten funktio y \u003d f (x) omaa rajan A pisteessä x0, jos vaikka e-kaista olisi kuinka kapea rivien y = A-eny = A + e välillä on, on olemassa sellainen "5 > 0, niin että kaikille x funktion kaavion pisteen pisteen x0 lävistetystä ympäristöstä ovat ilmoitetun e-kaistan sisällä. Huomautus 1. Suuruus b riippuu e:stä: 6 = 6(e). Huomautus 2. Pisteessä Xq olevan funktion rajan määrittelyssä itse piste x0 jätetään huomioimatta. Siten funktion arvo Ho ns -pisteessä ei vaikuta funktion rajaan tässä pisteessä. Lisäksi funktiota ei ehkä ole edes määritelty pisteessä Xq. Siksi kahdella funktiolla, jotka ovat yhtä suuret pisteen Xq läheisyydessä, pois lukien ehkä itse piste x0 (niillä voi olla eri arvot siinä, jompaakumpaa niistä tai molempia yhdessä ei ehkä ole määritelty), on sama raja x - Xq tai molemmilla ei ole rajaa. Tästä seuraa erityisesti, että murto-osan rajan löytämiseksi pisteessä xo on oikeutettua pienentää tätä murtolukua yhtäläisillä lausekkeilla, jotka häviävät kohdassa x = Xq. Esimerkki 1. Etsi Funktio /(x) = j kaikille x Ф 0 on yhtä suuri kuin yksi, ja pisteessä x = 0 sitä ei ole määritelty. Korvaamalla f(x) funktiolla g(x) = 1, joka on yhtä suuri kuin se kohdassa x 0, saadaan funktion käsite. Tapoja määrittää funktio Esimerkkejä funktioista Funktion analyyttinen määrittely Graafinen tapa määritellä funktio. funktio pisteessä Taulukkomuotoinen tapa määritellä funktio Rajalauseet Rajan ainutlaatuisuus Rajasiirtymän omaava funktion rajallisuus epäyhtälössä Funktion raja äärettömässä Äärettömän pienet funktiot Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet x = 0 raja yhtä suuri nolla: lim q(x) = 0 (näytä se!). Siksi lim /(x) = 0. Tehtävä. Formuloi epäyhtälöiden avulla (e -6 kielellä), mikä tarkoittaa, että funktio /(n) määritellään jossain pisteen x0 ympäristössä Π, paitsi ehkä itse piste x0. Määritelmä (Heine). Lukua A kutsutaan funktion /(x) rajaksi pisteessä x0, jos millä tahansa argumentin x 6 P, zn / x0) arvojen sarjalla (xn) konvergoi pisteeseen x0, vastaava jono. funktion (/(xn)) arvojen arvo konvergoi numeroon A. Yllä olevaa määritelmää on hyvä käyttää, kun on tarpeen varmistaa, että funktiolla /(x) ei ole rajaa pisteessä x0. Tätä varten riittää, että löydetään jokin sekvenssi (/(xn)), jolla ei ole rajaa, tai osoitetaan kaksi sekvenssiä (/(xn)) ja (/(x "n)), joilla on eri rajat. näytä esimerkiksi, että funktiolla iiya / (x) = sin j (kuva 7), joka on määritelty KAIKKILLA, paitsi PISTE X = O, kuvassa 7 ei ole rajaa pisteessä x = 0. Tarkastellaan kahta sekvenssit (konvergoivat pisteeseen x = 0. Funktion /(x) vastaavat sekvenssien arvot konvergoivat eri rajoihin: sekvenssi (sinnTr) konvergoi nollaan ja sekvenssi (sin(5 +) konvergoi yhteen. Tämä tarkoittaa, että funktiolla f(x) = sin j pisteessä x = 0 ei ole rajaa. Kommentti. Molemmat funktion pisteen rajan määritelmät (Cauchyn määritelmä ja Heinen määritelmä) ovat ekvivalentteja. §3. Lauseet rajoista Lause 1 (rajan ainutlaatuisuus). Jos funktiolla f(x) on raja kohdassa xo, tämä raja on ainutlaatuinen. A Olkoon lim f(x) = A. Osoitetaan, ettei mikään luku B φ A voi olla funktion f(x) raja x-x0 pisteessä x0. Se, että lim /(x) φ Loogisten symbolien XO avulla muotoillaan seuraavasti: Epäyhtälön avulla saadaan e = > 0. Koska lim /(x) = A, valitulle e > 0 on olemassa 6 > 0 siten, että relaatiosta (1) x:n ilmoitetuille arvoille on siis havaittu, että vaikka kuinka pieni tahansa, on olemassa x Φ xQ, niin että ja samalla ^ e Tästä syystä määritelmä. Funktion /(x) sanotaan olevan rajattu pisteen x0 ympäristöön, jos on lukuja M > 0 ja 6 > 0 siten, että Lause 2 (funktion rajallisuus, jolla on raja). Jos funktio f(x) on määritelty pisteen x0 ympäristössä ja sillä on äärellinen raja pisteessä x0, niin se on rajoitettu johonkin tämän pisteen ympäristöön. m Olkoon Sitten missä tahansa esimerkissä, kun e = 1, on sellainen 6 > 0, että kaikilla ehdon täyttävillä x φ x0:lla epäyhtälö on totta. Huomaa, että saamme aina Let. Sitten jokaisessa välin pisteessä x meillä on Tämä tarkoittaa määritelmän mukaan, että funktio f(x) on rajattu ympäristöön. Esimerkiksi funktio /(x) = sin on rajattu pisteen läheisyyteen, mutta sillä ei ole rajaa pisteessä x = 0. Muotoilkaamme vielä kaksi lausetta, joiden geometrinen merkitys on melko selvä. Lause 3 (epäyhtälön rajalle siirtyminen). Jos /(x) ⩽ ip(x) kaikille x:lle pisteen x0 jossakin ympäristössä, paitsi ehkä itse pisteelle x0, ja jokaisella funktiolla /(x) ja ip(x) pisteessä x0 on raja , niin Huomaa, että funktioiden tiukka eriarvoisuus ei välttämättä tarkoita niiden rajojen tiukkaa epäyhtälöä. Jos nämä rajat ovat olemassa, voimme vain väittää, että Siten esimerkiksi epäyhtälö while on tosi funktioille Lause 4 (välifunktion raja). Jos kaikilla x:llä pisteen Xq jossakin ympäristössä, paitsi ehkä itse piste x0 (kuva 9), ja funktioilla f(x) ja ip(x) pisteessä xo on sama raja A, niin funktion f (x) pisteessä x0 on raja, joka on sama kuin A:n arvo. § 4. Funktion raja äärettömyydessä Olkoon funktio /(x) määritelty joko koko reaaliakselilla tai ainakin kaikki x täyttävät ehdon jx| > K joillekin K > 0. Määritelmä. Lukua A kutsutaan funktion f(x) rajaksi, koska x pyrkii äärettömyyteen, ja he kirjoittavat, jos jollekin e > 0:lle on olemassa luku jV > 0 siten, että kaikille x:ille, jotka täyttävät ehdon |x| > X, epäyhtälö on tosi Korvaamalla tämän määritelmän ehdon vastaavasti, saamme määritelmiä Näistä määritelmistä seuraa, että jos ja vain jos samanaikaisesti Se tosiasia geometrisesti tarkoittaa seuraavaa: vaikka kuinka kapea e-nauha viivojen välillä y \ u003d A- euy \u003d A + e, on sellainen suora x = N > 0, että oikealla oleva funktion y = /(x) kuvaaja sisältyy kokonaan esitettyyn e-nauhaan (kuva 10). ). Tässä tapauksessa he sanovat, että x + oo:lle funktion y \u003d / (x) kuvaaja lähestyy asymptoottisesti suoraa y \u003d A. Esimerkki: Funktio / (x) \u003d jtjj- on määritelty koko reaaliakseli ja on murtoluku, jonka osoittaja on vakio ja nimittäjä kasvaa loputtomasti muodossa |x| +oo. On luonnollista olettaa, että lim /(x)=0. Näytä se. М Otetaan mikä tahansa e > 0 ehdolla Jotta relaatio toteutuisi, epäyhtälön c or täytyy täyttyä, joka on sama kuin mistä Siten. jos otamme, saamme. Tämä tarkoittaa, että luku on tämän funktion raja kohdassa Huomaa, että radikaalilauseke koskee vain t ^ 1. Siinä tapauksessa, että epäyhtälö c täyttyy automaattisesti kaikille. Parillisen funktion y = - kuvaaja lähestyy asymptoottisesti suora viiva Muotoile käyttämällä epäyhtälöitä, mikä tarkoittaa §5. Äärettömän pienet funktiot Olkoon funktio a(x) määritelty jossain pisteen x0 ympäristössä, paitsi mahdollisesti itse piste x0. Määritelmä. Funktiota a(x) kutsutaan infinitesimaaliksi funktioksi (lyhennettynä b.m.f.), koska x pyrkii x0:aan, jos funktion rajan rajallisuuden yksilöllisyyden sisällä on rajasiirtymä epäyhtälössä olevaan rajaan Funktion raja äärettömässä Äärettömän pienet funktiot Infinitesimaalien funktioiden ominaisuudet Esimerkiksi funktio a(x) = x - 1 on b. m. f. kohdassa x 1, koska lim (x-l) \u003d 0. Funktion y \u003d x-1 1-1 käyrä on esitetty kuvassa. II. Yleensä funktio a(x)=x-x0 on yksinkertaisin esimerkki b:stä. m. f. klo x-»ho. Kun otetaan huomioon funktion rajan määritelmä pisteessä, funktion b määritelmä. m. f. voidaan muotoilla näin. Määritelmä. Funktiota a(x) sanotaan äärettömän pieneksi arvolle x - * xo, jos millä tahansa t > 0:lla on olemassa sellainen "5 > 0, että kaikille ehdon täyttäville x:ille epäyhtälö on tosi funktioita Määritelmässä. Funktiota a(x) kutsutaan äärettömän pieneksi x -» oo:lle, jos silloin funktiota a(x) kutsutaan infinitesimaaliksi, vastaavasti, tai esimerkiksi funktio on äärettömän pieni x -» oo:lle, koska lim j = 0. Funktio a(x ) = e~x on äärettömän pieni funktio muodossa x -* + oo, koska seuraavassa tarkastellaan pääsääntöisesti kaikkia funktioiden rajoihin liittyviä käsitteitä ja lauseita vain suhteessa funktion rajan tapaukseen pisteessä, jolloin lukija muotoilee itse vastaavat käsitteet ja todistaa samanlaisia ​​lauseita päivätapauksista, jolloin Äärettömän pienten funktioiden ominaisuudet Lause 5. Jos a(x) ja P(x) - b. m. f. x - * xo, silloin niiden summa a(x) + P(x) on myös b.m. f. klo x -» ho. 4 Oletetaan mikä tahansa e > 0. Koska a(x) on b.m.f. x -* o:lle on olemassa "51 > 0 siten, että kaikilla ehdon täyttävillä x Φ o:lla epäyhtälö on tosi. Ehdolla P(x) myös b.m.f. x ho:lle on siis olemassa sellainen, että kaikilla ehdon täyttävillä χ φ ho:illa epäyhtälö on tosi. Asetetaan 6 = min(«5j, 62). Tällöin kaikille ehdon täyttäville x Ф ho:lle epäyhtälöt (1) ja (2) ovat yhtä aikaa tosia. Siksi Tämä tarkoittaa, että summa a(x) +/3(x) on b.m.f. for xxq. Kommentti. Lause pätee minkä tahansa äärellisen määrän funktioiden summalle, b. m. x zo. Lause 6 (b.m.f.:n tulo rajoitetulla funktiolla). Jos funktio a(x) on b. m. f. kun x -* x0, ja funktio f(x) on rajattu pisteen Xo läheisyyteen, tulo a(x)/(x) on 6. m. f. x -» x0. Oletuksena on, että funktio f(x) on rajattu pisteen x0 ympäristöön. Tämä tarkoittaa, että on olemassa lukuja 0 ja M > 0, jolloin Otetaan mikä tahansa e > 0. Koska ehdon mukaan on 62 > 0, jolloin kaikilla x φ x0:lla, jotka täyttävät ehdon |x - xol, epäyhtälö tulee olla tosi. Asetetaan i kaikista x f x0:sta, jotka täyttävät ehdon |x - x0|, epäyhtälöt ovat yhtä aikaa tosia. Siksi Tämä tarkoittaa, että tulo a(x)/(x) on b. m.f. esimerkin kanssa. Funktiota y \u003d xsin - (kuva 12) voidaan pitää funktioiden a (ar) \u003d x ja f (x) \u003d sin j tulona. Funktio a(a) on b. m. f. x - 0, ja funktio f merkitsee suurinta kokonaislukua, joka ei ylitä x:ää. Toisin sanoen, jos x = r + q, missä r on kokonaisluku (voi olla negatiivinen) ja q kuuluu väliin = r. Funktio E(x) = [x] on vakio välillä = r.

Esimerkki 2: funktio y = (x) - luvun murto-osa. Tarkemmin sanottuna y =(x) = x - [x], missä [x] on luvun x kokonaislukuosa. Tämä funktio on määritetty kaikille x:ille. Jos x on mielivaltainen luku, niin se esitetään muodossa x = r + q (r = [x]), missä r on kokonaisluku ja q on välissä

Nyt kaikki on niin kuin pitääkin. Kolminkertainen ei sisälly vastaukseen, koska alkuperäinen eriarvoisuus on tiukka. Ja kuusi kytkeytyy päälle, koska ja funktio kohdassa kuusi on olemassa ja epäyhtälöehto täyttyy. Olemme onnistuneesti ratkaisseet epätasa-arvon, jota (tavanomaisessa muodossaan) ei ole olemassa...

Näin osa tietämyksestä ja alkeellisesta logiikasta säästää epätyypillisissä tapauksissa.)

Funktion analyyttinen määritelmä

Funktio %%y = f(x), x \in X%% annettu selkeällä analyyttisellä tavalla, jos annetaan kaava, joka ilmaisee matemaattisten operaatioiden sarjan, joka on suoritettava argumentilla %%x%%, jotta saadaan tämän funktion arvo %%f(x)%%.

Esimerkki

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Joten esimerkiksi fysiikassa tasaisesti kiihdytetyllä suoraviivaisella liikkeellä kappaleen nopeus määritetään kaavalla t%% kirjoitetaan seuraavasti: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2 ) %%.

Paloittain määritellyt toiminnot

Joskus tarkasteltava funktio voidaan määritellä useilla kaavoilla, jotka toimivat sen määrittelyalueen eri osissa, joissa funktion argumentti muuttuu. Esimerkki: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan joskus ainesosa tai paloittain. Esimerkki tällaisesta funktiosta on %%y = |x|%%

Toiminnan laajuus

Jos funktio on määritelty eksplisiittisellä analyyttisellä tavalla kaavan avulla, mutta funktion laajuutta joukon %%D%% muodossa ei ole määritetty, niin %%D%%:lla tarkoitamme aina arvojoukkoa argumentista %%x%%, jolle tämä kaava on järkevä . Joten funktion %%y = x^2%%, määritelmän alue on joukko %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, koska argumentti %%x% % voi ottaa mitä tahansa arvoa numeroviiva. Ja funktiolle %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, määritelmäalue on arvojoukko %%x%%, joka täyttää epäyhtälön %% 1 - x^2 > 0 %%, m.e. %%D = (-1, 1) %%.

Selkeän analyyttisen funktion määrittelyn edut

Huomaa, että eksplisiittinen analyyttinen tapa määrittää funktio on melko kompakti (kaava vie yleensä vähän tilaa), helposti toistettavissa (kaava on helppo kirjoittaa muistiin) ja sopii parhaiten matemaattisten operaatioiden ja muunnosten suorittamiseen toimintoja.

Osa näistä operaatioista - algebrallinen (yhteen-, kertolasku, jne.) - tunnetaan hyvin koulun matematiikan kurssilta, osa (differentiointi, integrointi) tullaan tutkimaan tulevaisuudessa. Tämä menetelmä ei kuitenkaan ole aina selkeä, koska funktion riippuvuuden luonne argumentista ei ole aina selvä, ja joskus tarvitaan hankalia laskelmia funktion arvojen löytämiseksi (jos ne ovat tarpeen).

Implisiittiset toiminnot

Funktio %%y = f(x)%% on määritelty implisiittisellä analyyttisellä tavalla, jos relaatio $$F(x,y) = 0 on annettu, ~~~~~~~~~~~(1)$$ liittyy funktion %%y%% ja argumentin %% arvoihin x%%. Jos argumenttiarvot on annettu, niin tiettyä %%x%%:n arvoa vastaavan %%y%%:n arvon löytämiseksi on tarpeen ratkaista yhtälö %%(1)%% suhteessa %%y%% kyseisellä arvolla %%x%%.

Kun arvo on %%x%%, yhtälöllä %%(1)%% voi olla ei ratkaisua tai useampi kuin yksi ratkaisu. Ensimmäisessä tapauksessa määritetty arvo %%x%% ei ole implisiittisen funktion piirissä, ja toisessa tapauksessa se määrittää moniarvoinen funktio, jolla on useampi kuin yksi arvo tietylle argumentin arvolle.

Huomaa, että jos yhtälö %%(1)%% voidaan ratkaista eksplisiittisesti suhteessa %%y = f(x)%%, niin saadaan sama funktio, joka on jo määritelty eksplisiittisellä analyyttisellä tavalla. Joten yhtälö %%x + y^5 - 1 = 0%%

ja yhtälö %%y = \sqrt(1 - x)%% määrittelee saman funktion.

Parametrisen funktion määritelmä

Kun %%y%%:n riippuvuutta %%x%%:sta ei anneta suoraan, vaan molempien muuttujien %%x%% ja %%y%% riippuvuudet jostain kolmannesta apumuuttujasta %%t%% annetaan Muodossa

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$he puhuvat parametrinen toiminnon asetustapa;

silloin apumuuttujaa %%t%% kutsutaan parametriksi.

Jos on mahdollista jättää parametri %%t%% pois yhtälöistä %%(2)%%, niin ne tulevat funktioon, jonka antaa %%y%% eksplisiittinen tai implisiittinen analyyttinen riippuvuus %%x%%:sta . Esimerkiksi suhteista $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ paitsi parametrille % %t%% saadaan riippuvuus %%y = 2 x + 2%%, joka asettaa suoran %%xOy%% tasoon.

Graafinen tapa

Esimerkki funktion graafisesta määritelmästä

Yllä olevat esimerkit osoittavat, että funktion analyyttinen määrittelytapa vastaa sen funktiota graafinen kuva, jota voidaan pitää kätevänä ja visuaalisena funktion kuvauksen muotona. Joskus käytetty graafinen tapa funktion määrittäminen, kun %%y%%:n riippuvuus %%x%%:sta on annettu rivillä %%xOy%%-tasolla. Kaiken selkeyden vuoksi se kuitenkin menettää tarkkuuden, koska argumentin arvot ja funktion vastaavat arvot voidaan saada kaaviosta vain likimääräisesti. Tuloksena oleva virhe riippuu kaavion yksittäisten pisteiden abskissan ja ordinaatan mittakaavasta ja -tarkkuudesta. Tulevaisuudessa annamme funktiokaaviolle vain funktion käyttäytymistä havainnollistavan roolin ja siksi rajoitamme funktioiden pääpiirteitä heijastavien kaavioiden "luonnoksia".

Taulukkomuotoinen tapa

Huomautus taulukkomuodossa funktiomääritykset, kun jotkin argumenttiarvot ja niitä vastaavat funktioarvot sijoitetaan taulukkoon tietyssä järjestyksessä. Näin rakennetaan tunnetut trigonometristen funktioiden taulukot, logaritmitaulukot jne. Taulukon muodossa esitetään yleensä kokeellisissa tutkimuksissa, havainnoissa ja kokeissa mitattujen suureiden välinen suhde.

Tämän menetelmän haittana on mahdottomuus määrittää suoraan funktion arvoja argumentin arvoille, jotka eivät sisälly taulukkoon. Jos on varmuutta, että argumentin arvot, joita ei ole esitetty taulukossa, kuuluvat tarkasteltavan funktion alueeseen, voidaan funktion vastaavat arvot laskea likimääräisesti interpoloinnilla ja ekstrapoloinnilla.

Esimerkki

Algoritmiset ja sanalliset tavat määrittää funktioita

Toiminto voidaan asettaa algoritminen(tai ohjelmallinen) tavalla, jota käytetään laajalti tietokonelaskelmissa.

Lopuksi voidaan huomauttaa kuvaileva(tai sanallinen) tapa määrittää funktio, kun sääntö funktion arvojen sovittamiseksi argumentin arvoihin ilmaistaan ​​sanoin.

Esimerkiksi funktio %%[x] = m~\forall (x \in )