dia 3

Gorner Williams George (1786-22. syyskuuta 1837) oli englantilainen matemaatikko. Syntynyt Bristolissa. Hän opiskeli ja työskenteli siellä, sitten Bathin kouluissa. Algebran perustyöt. Vuonna 1819 julkaisi menetelmän polynomin todellisten juurien likimääräiseen laskemiseen, jota nykyään kutsutaan Ruffini-Horner-menetelmäksi (tämä menetelmä oli kiinalaisten tiedossa jo 1200-luvulla) Kaavio polynomin jakamiseksi binomiaalilla x-a on nimetty Hornerin mukaan.

dia 4

HORNER JÄRJESTELMÄ

Menetelmä n:nnen asteen polynomin jakamiseksi lineaarisella binomilla - a, joka perustuu siihen, että epätäydellisen osamäärän ja jäännöksen r kertoimet liittyvät jaettavan polynomin kertoimiin ja a:han kaavoilla:

dia 5

Hornerin kaavion mukaiset laskelmat on sijoitettu taulukkoon:

Esimerkki 1 Jaa Epätäydellinen osamäärä on x3-x2+3x - 13 ja jakojäännös on 42=f(-3).

dia 6

Tämän menetelmän tärkein etu on merkinnän kompaktisuus ja kyky jakaa polynomi nopeasti binomiiksi. Itse asiassa Horner-malli on toinen tapa kirjata ryhmittelymenetelmä, vaikka toisin kuin jälkimmäinen, se on täysin ei-kuvaava. Vastaus (faktorointi) tässä selviää itsestään, emmekä näe sen saamisprosessia. Emme käsittele Hornerin suunnitelman tiukkaa perustetta, vaan näytämme vain, kuinka se toimii.

Dia 7

Esimerkki2.

Todistetaan, että polynomi P(x)=x4-6x3+7x-392 on jaollinen x-7:llä, ja lasketaan osamäärä. Päätös. Hornerin kaaviota käyttämällä löydämme Р(7): Siten saamme Р(7)=0, ts. jäännös, kun polynomi jaetaan x-7:llä, on nolla ja siksi polynomi P (x) on (x-7) kerrannainen. Tässä tapauksessa taulukon toisella rivillä olevat luvut ovat polynomin kertoimia osamäärä P (x) jakamisesta (x-7), joten P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Dia 8

Kerroin polynomin x3 - 5x2 - 2x + 16.

Tällä polynomilla on kokonaislukukertoimet. Jos kokonaisluku on tämän polynomin juuri, niin se on luvun 16 jakaja. Jos annetulla polynomilla on kokonaislukujuuret, niin nämä voivat olla vain lukuja ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Suoralla varmennuksella varmistamme, että luku 2 on tämän polynomin juuri, eli x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)Q(x), missä Q(x) on toisen polynomi. tutkinnon

Dia 9

Tuloksena olevat luvut 1, −3, −8 ovat kertoimia polynomille, joka saadaan jakamalla alkuperäinen polynomi x - 2:lla. Näin ollen jaon tulos on: 1 x2 + (-3)x + (- 8) = x2 - 3x - 8. Jakamisen tuloksena saadun polynomin aste on aina 1 pienempi kuin alkuperäisen aste. Joten: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2)(x2 - 3x - 8).

Yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa on usein tarpeen ottaa huomioon polynomi, jonka aste on kolme tai suurempi. Tässä artikkelissa tarkastelemme helpointa tapaa tehdä tämä.

Kuten tavallista, käännytään teorian puoleen saadaksesi apua.

Bezoutin lause toteaa, että loppuosa polynomin jakamisesta binomialilla on .

Mutta itse lause ei ole meille tärkeä, vaan se seuraus siitä:

Jos luku on polynomin juuri, niin polynomi on jaollinen ilman jäännöstä binomilla.

Edessämme on tehtävä jollakin tavalla löytää ainakin yksi polynomin juuri ja sitten jakaa polynomi luvulla , missä on polynomin juuri. Tuloksena saadaan polynomi, jonka aste on yksi pienempi kuin alkuperäisen aste. Ja sitten, jos tarpeen, voit toistaa prosessin.

Tämä tehtävä on jaettu kahteen osaan: kuinka löytää polynomin juuri ja kuinka jakaa polynomi binomiiksi.

Tarkastellaanpa näitä kohtia tarkemmin.

1. Kuinka löytää polynomin juuri.

Ensin tarkistetaan, ovatko luvut 1 ja -1 polynomin juuria.

Seuraavat tosiasiat auttavat meitä tässä:

Jos polynomin kaikkien kertoimien summa on nolla, niin luku on polynomin juuri.

Esimerkiksi polynomissa kertoimien summa on nolla: . On helppo tarkistaa, mikä on polynomin juuri.

Jos parillisten asteiden polynomin kertoimien summa on yhtä suuri kuin parittomien asteiden kertoimien summa, niin luku on polynomin juuri. Vapaata termiä pidetään parillisen asteen kertoimena, koska , a on parillinen luku.

Esimerkiksi polynomissa parillisten asteiden kertoimien summa on : ja parittomien asteiden kertoimien summa on : . On helppo tarkistaa, mikä on polynomin juuri.

Jos 1 ja -1 eivät ole polynomin juuria, siirrytään eteenpäin.

Supistetun asteen polynomille (eli polynomille, jonka johtava kerroin - kerroin - on yhtä suuri kuin yksi), Vietan kaava pätee:

Missä ovat polynomin juuret.

On olemassa myös Vieta-kaavoja, jotka koskevat polynomin jäljellä olevia kertoimia, mutta tämä kiinnostaa meitä.

Tästä Vieta-kaavasta seuraa, että jos polynomin juuret ovat kokonaislukuja, niin ne ovat sen vapaan termin, joka myös on kokonaisluku, jakajia.

Tämän perusteella, meidän on jaettava polynomin vapaa termi tekijöiksi ja tarkistettava peräkkäin pienemmästä suurempaan, mikä tekijöistä on polynomin juuri.

Otetaan esimerkiksi polynomi

Vapaan jäsenen jakajat: ; ; ;

Polynomin kaikkien kertoimien summa on yhtä suuri, joten luku 1 ei ole polynomin juuri.

Kertoimien summa parillisilla potenssilla:

Parittomien potenssien kertoimien summa:

Siksi luku -1 ei myöskään ole polynomin juuri.

Tarkastetaan, onko luku 2 polynomin juuri: siksi luku 2 on polynomin juuri. Täten Bezoutin lauseen mukaan polynomi on jaollinen ilman jäännöstä binomilla.

2. Kuinka jakaa polynomi binomiiksi.

Polynomi voidaan jakaa binomiiksi sarakkeella.

Jaamme polynomin binomiaaliseen sarakkeeseen:

On toinenkin tapa jakaa polynomi binomiiksi - Hornerin malli.

Katso tämä video ymmärtääksesi kuinka jakaa polynomi binomialilla sarakkeella ja käyttämällä Hornerin kaaviota.

Huomaan, että jos sarakkeella jaettuna jokin tuntemattomuuden aste puuttuu alkuperäisestä polynomista, kirjoitamme sen tilalle 0 - aivan kuten laadittaessa taulukkoa Hornerin kaaviolle.

Joten jos meidän on jaettava polynomi binomiksi ja jaon tuloksena saamme polynomin, voimme löytää polynomin kertoimet Hornerin kaavion avulla:

Voimme myös käyttää Hornerin suunnitelma sen tarkistamiseksi, onko annettu luku polynomin juuri: jos luku on polynomin juuri, niin loppuosa polynomin jaosta on nolla, eli Hornerin toisen rivin viimeisessä sarakkeessa järjestelmä, saamme 0.

Hornerin kaavaa käyttäen "tappaamme kaksi kärpästä yhdellä iskulla": samalla tarkastetaan onko luku polynomin juuri ja jaetaan tämä polynomi binomiaalilla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälö:

1. Kirjoitetaan vapaan termin jakajat ja etsitään polynomin juuret vapaan termin jakajien joukosta.

24:n jakajat:

2. Tarkista, onko luku 1 polynomin juuri.

Polynomin kertoimien summa, joten luku 1 on polynomin juuri.

3. Jaa alkuperäinen polynomi binomiiksi Hornerin kaavaa käyttäen.

A) Kirjoita alkuperäisen polynomin kertoimet taulukon ensimmäiselle riville.

Koska sisältävä jäsen puuttuu, taulukon sarakkeeseen, johon kerroin at tulee kirjoittaa, kirjoitetaan 0. Vasemmalle kirjoitetaan löydetty juuri: luku 1.

B) Täytä taulukon ensimmäinen rivi.

Viimeisessä sarakkeessa, kuten odotettiin, saimme nollan, jaoimme alkuperäisen polynomin binomiiksi ilman jäännöstä. Jaosta saadun polynomin kertoimet näkyvät sinisellä taulukon toisella rivillä:

On helppo tarkistaa, että luvut 1 ja -1 eivät ole polynomin juuria

C) Jatketaan taulukkoa. Tarkastetaan, onko luku 2 polynomin juuri:

Joten polynomin aste, joka saadaan jakamalla ykkösellä, on pienempi kuin alkuperäisen polynomin aste, joten kertoimien määrä ja sarakkeiden lukumäärä ovat yhdellä pienemmät.

Viimeiseen sarakkeeseen saimme -40 - luvun, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, joten polynomi on jaollinen binomilla, jossa on jäännös, eikä luku 2 ole polynomin juuri.

C) Tarkistetaan, onko luku -2 polynomin juuri. Koska edellinen yritys epäonnistui, jotta kertoimissa ei olisi sekaannusta, poistan tätä yritystä vastaavan rivin:

Hieno! Lopussa saimme nollan, joten polynomi jaettiin binomiiksi ilman jäännöstä, joten luku -2 on polynomin juuri. Polynomin kertoimet, joka saadaan jakamalla polynomi binomialla, näkyvät taulukossa vihreällä.

Jakamisen tuloksena saimme neliötrinomin , jonka juuret löytyvät helposti Vietan lauseesta:

Joten alkuperäisen yhtälön juuret:

{}

Vastaus:( }

Sivusto "Matematiikan ammattitutor" jatkaa opetusta koskevien metodologisten artikkelien sarjaa. Julkaisen kuvauksia työni menetelmistä koulun opetussuunnitelman monimutkaisimpien ja ongelmallisimpien aiheiden parissa. Tämä materiaali on hyödyllinen matematiikan opettajille ja ohjaajille, jotka työskentelevät 8-11-luokkien opiskelijoiden kanssa sekä tavallisessa ohjelmassa että matematiikan tuntien ohjelmassa.

Matematiikan ohjaaja ei voi aina selittää oppikirjassa huonosti esitettyä materiaalia. Valitettavasti tällaisia ​​aiheita tulee yhä enemmän ja esitysvirheitä tapahtuu käsikirjojen tekijöiden mukaan massaa. Tämä ei koske vain matematiikan aloittelijoita ja osa-aikaisia ​​​​tuutoreita (tutorit - opiskelijat ja yliopiston tutorit), vaan myös kokeneita opettajia, tutoreita - ammattilaisia, tuutoreita, joilla on kokemusta ja pätevyyttä. Kaikilla matematiikan ohjaajilla ei ole kykyä korjata koulujen oppikirjojen karkeutta. Kaikki eivät myöskään ymmärrä, että nämä korjaukset (tai lisäykset) ovat välttämättömiä. Vain harvat ovat sitoutuneet muokkaamaan materiaalia lasten laadulliseen havaintoon. Valitettavasti aika on kulunut, jolloin matematiikan opettajat yhdessä metodologien ja julkaisujen tekijöiden kanssa keskustelivat massiivisesti jokaisesta oppikirjan kirjaimesta. Ennen kuin oppikirja otettiin käyttöön kouluissa, suoritettiin vakavia analyyseja ja oppimistuloksia koskevia tutkimuksia. On tullut aika diletanteille, jotka pyrkivät tekemään käsikirjoista universaaleja ja sovittamaan ne vahvojen matemaattisten luokkien standardien mukaan.

Kilpailu tiedon määrän lisäämisestä johtaa vain sen assimilaation laadun heikkenemiseen ja sen seurauksena matematiikan todellisen tiedon tason laskuun. Mutta kukaan ei kiinnitä tähän huomiota. Ja meidän lapsemme pakotetaan jo 8. luokalla opiskelemaan sitä, mitä me instituutissa kävimme läpi: todennäköisyysteoriaa, korkean asteen yhtälöiden ratkaisemista ja jotain muuta. Kirjojen materiaalin mukauttaminen lapsen täydelliseen havaintoon jättää paljon toivomisen varaa, ja matematiikan ohjaajan on pakko käsitellä tätä jollain tavalla.

Puhutaanpa menetelmästä, jolla opetetaan niin erityistä aihetta kuin "polynomin kulman jakaminen polynomilla", joka tunnetaan aikuismatematiikassa paremmin nimellä "Bezoutin lause ja Hornerin kaavio". Vielä pari vuotta sitten kysymys ei ollut niin akuutti matematiikan tutorille, koska hän ei ollut mukana koulun pääopetuksessa. Nyt Telyakovskyn toimittaman oppikirjan arvostetut kirjoittajat ovat tehneet muutoksia parhaan, mielestäni, oppikirjan uusimpaan painokseen, ja pilattuaan sen kokonaan lisänneet ohjaajalle tarpeettomia huolia. Kirjoittajien innovaatioihin keskittyvien koulujen ja luokkien opettajat, joilla ei ole matematiikan asemaa, alkoivat sisällyttää tunneilleen lisää kappaleita useammin, ja uteliaat lapset, jotka katsovat matematiikan oppikirjansa kauniita sivuja, kysyvät yhä useammin ohjaaja: "Mikä tämä kulman jako on? Käymmekö tätä läpi? Kuinka jakaa nurkka? Tällaisilta suorilta kysymyksiltä ei voi piiloutua. Opettajan on kerrottava lapselle jotain.

Mutta kuten? Luultavasti en kuvaisi tapaa työskennellä aiheen kanssa, jos se esitettäisiin oikein oppikirjoissa. Miten meillä kaikki menee? Oppikirjat pitää painaa ja myydä. Ja tätä varten ne on päivitettävä säännöllisesti. Valittavatko yliopiston opettajat, että lapset tulevat heidän luokseen tyhjillä päillä, ilman tietoja ja taitoja? Kasvavatko vaatimukset matemaattiselle tiedolle? Hieno! Poistetaan osa harjoituksista ja lisätään sen sijaan aiheita, joita opitaan muissa ohjelmissa. Miksi oppikirjamme on huonompi? Otetaan mukaan joitain lisälukuja. Eivätkö koululaiset tiedä kulman jaon sääntöä? Tämä on perusmatematiikkaa. Meidän pitäisi tehdä sellaisesta kappaleesta valinnainen otsikolla "niille, jotka haluavat tietää enemmän". Tutorit vastaan? Ja mitä me välitämme ohjaajista yleensä? Myös metodistit ja opettajat vastustavat sitä? Emme monimutkaista materiaalia ja harkitsemme sen yksinkertaisinta osaa.

Ja tästä se alkaa. Aiheen yksinkertaisuus ja sen omaksumisen laatu piilee ennen kaikkea sen logiikan ymmärtämisessä, eikä siinä, että oppikirjan tekijöiden määräyksen mukaan suoritetaan tietty joukko toimintoja, jotka eivät liity selvästi toisiinsa. Muuten sumu opiskelijan päähän tarjotaan. Jos kirjoittajat luottavat suhteellisen vahvoihin opiskelijoihin (mutta opiskelevat normaalin ohjelman mukaan), sinun ei pitäisi lähettää aihetta ryhmämuodossa. Mitä näemme oppikirjassa? Lapset, on tarpeen jakaa tämän säännön mukaan. Hanki polynomi kulmasta. Siten alkuperäinen polynomi kerrotaan. Ei kuitenkaan ole selvää, miksi kulman alla olevat termit on valittu tällä tavalla, miksi ne täytyy kertoa kulman ylittävällä polynomilla ja sitten vähentää nykyisestä jäännöksestä - se ei ole selvää. Ja mikä tärkeintä, ei ole selvää, miksi valitut monomit on lopulta lisättävä ja miksi tuloksena olevat hakasulkeet ovat alkuperäisen polynomin laajennus. Jokainen pätevä matemaatikko laittaa lihavoitun kysymysmerkin oppikirjassa annettujen selitysten päälle.

Tuon tutoreiden ja matematiikan opettajien tietoon ratkaisuni ongelmaan, joka käytännössä tekee kaiken oppikirjassa sanotun selväksi opiskelijalle. Itse asiassa todistamme Bezoutin lauseen: jos luku a on polynomin juuri, niin tämä polynomi voidaan jakaa tekijöiksi, joista yksi on x-a ja toinen saadaan alkuperäisestä jollakin kolmesta tavasta: poimimalla lineaarinen tekijä muunnoksilla, jakamalla kulmalla tai Hornerin kaavion mukaan. Tällaisella muotoilulla matematiikan ohjaajan on helpompi työskennellä.

Mikä on opetusmetodologia? Ensinnäkin se on selkeä järjestys selitysten ja esimerkkien järjestyksessä, jonka perusteella tehdään matemaattiset johtopäätökset. Tämä aihe ei ole poikkeus. On erittäin tärkeää, että matematiikan opettaja esittelee lapsen Bezoutin lauseeseen ennen kuin kulman jako suoritetaan. Se on erittäin tärkeää! Paras tapa ymmärtää on konkreettinen esimerkki. Otetaan jokin polynomi valitulla juurilla ja esitellään sen faktorointitekniikka identtisten muunnosten menetelmällä, joka on opiskelijalle tuttu 7. luokalta lähtien. Asianmukaisilla mukana olevilla selityksillä, aksentilla ja matematiikan ohjaajan vinkeillä on täysin mahdollista välittää materiaali ilman yleisiä matemaattisia laskelmia, mielivaltaisia ​​kertoimia ja asteita.

Tärkeitä vinkkejä matematiikan opettajille- noudata ohjeita alusta loppuun äläkä muuta tätä järjestystä.

Oletetaan siis, että meillä on polynomi. Jos korvaamme luvun 1 sen x:n sijaan, polynomin arvo on nolla. Siksi x=1 on sen juuri. Yritetään jakaa kahdeksi termiksi niin, että toinen niistä on lineaarisen lausekkeen ja jonkin monomiaalin tulos, ja toisen aste olisi yksi pienempi kuin . Eli edustamme sitä muodossa

Valitsemme punaisen kentän monominin niin, että kun se kerrotaan johtavalla termillä, se on täysin sama kuin alkuperäisen polynomin johtava termi. Jos opiskelija ei ole heikoin, hän pystyy antamaan matematiikan ohjaajalle halutun lausekkeen:. Opettajaa tulee välittömästi pyytää laittamaan se punaiseen laatikkoon ja näyttämään, mitä tapahtuu, kun ne avataan. Tämä virtuaalinen väliaikainen polynomi on parasta allekirjoittaa nuolien alle (kuvan alla) korostaen sitä jollain värillä, esimerkiksi sinisellä. Tämä auttaa sinua valitsemaan punaisen kentän summan, jota kutsutaan valinnan jäännökseksi. Suosittelen ohjaajia huomauttamaan tässä, että tämä jäännös voidaan löytää vähentämällä. Suorittamalla tämän toiminnon saamme:

Matematiikan ohjaajan tulee kiinnittää opiskelijan huomio siihen, että korvaamalla yksikön tässä yhtälössä, saamme taatusti nollan sen vasemmalle puolelle (koska 1 on alkuperäisen polynomin juuri), ja oikealle luonnollisesti asetamme myös ensimmäisen termin nollaan. Joten ilman minkäänlaista tarkistusta voimme sanoa, että yksikkö on "vihreän jäännöksen" juuri.

Käsittelemme sitä samalla tavalla kuin teimme alkuperäisen polynomin kanssa, poimimalla siitä saman lineaarisen tekijän . Matematiikan ohjaaja piirtää kaksi ruutua opiskelijan eteen ja pyytää häntä täyttämään vasemmalta oikealle.

Opiskelija valitsee ohjaajalle punaisen kentän monominin siten, että kerrottuna lineaarisen lausekkeen korkeimmalla termillä saadaan laajennetun polynomin korkein termi. Kirjoitamme sen kehykseen, avaa heti hakasulku ja korosta sinisellä lauseke, joka on vähennettävä laajennetusta lausekkeesta. Suorittamalla tämän toimenpiteen saamme

Ja lopuksi tehdä sama viimeisellä jäljellä olevalla osalla

vihdoin saada

Nyt otamme lausekkeen pois suluista ja kohtaamme alkuperäisen polynomin hajoamisen tekijöiksi, joista yksi on "x miinus valittu juuri".

Jotta opiskelija ei ajattelisi, että viimeinen "vihreä jäännös" hajosi satunnaisesti välttämättömiksi tekijöiksi, matematiikan ohjaajan tulee osoittaa kaikkien vihreiden jäännösten tärkeä ominaisuus - jokaisella niistä on juuri 1. Koska näiden asteet ovat jäännökset pienenevät, niin ei väliä minkä asteen alkupolynomia meille ei annettu, ennemmin tai myöhemmin saamme lineaarisen "vihreän jäännöksen", jonka juuri on 1, ja siksi se on hajotettava tietyn luvun tuloksi ja ilmaisu.

Tällaisen valmistelutyön jälkeen matematiikan ohjaajan ei ole vaikea selittää opiskelijalle, mitä tapahtuu kulman jakamisessa. Tämä on sama prosessi, vain lyhyemmässä ja tiiviimmässä muodossa, ilman yhtäläisyysmerkkejä ja kirjoittamatta uudelleen samoja valittuja termejä. Kirjoitamme polynomin, josta lineaarinen kerroin on varattu kulman vasemmalle puolelle, kerää valitut punaiset monomit kulmassa (nyt käy selväksi, miksi niiden pitäisi laskea yhteen), saadaksesi "siniset polynomit", sinun on kerrottava "punainen" x-1:llä ja vähennä sitten valitusta virrasta, kuinka se tehdään tavallisessa sarakkeen numeroiden jaossa (tässä se on analogia aiemmin tutkitun kanssa). Tuloksena oleville "vihreille jäännöksille" tehdään uusi valinta ja "punaisten monomien" valinta. Ja niin edelleen, kunnes saadaan nolla "vihreä jäännös". Tärkeintä on, että kulman ylä- ja alapuolella olevien kirjoitettujen polynomien tuleva kohtalo selviää opiskelijalle. Ilmeisesti nämä ovat hakasulkuja, joiden tulo on yhtä suuri kuin alkuperäinen polynomi.

Seuraava vaihe matematiikan ohjaajan työssä on Bezoutin lauseen muotoilu. Itse asiassa sen muotoilu tällä ohjaajan lähestymistavalla tulee ilmeiseksi: jos luku a on polynomin juuri, niin se voidaan hajottaa tekijöiksi, joista yksi ja toinen saadaan alkuperäisestä yhdestä kolmesta. tapoja:

• suora hajoaminen (analogisesti ryhmittelymenetelmän kanssa)
• jakamalla kulmalla (sarakkeessa)
• Hornerin järjestelmän kautta

Minun on sanottava, että läheskään kaikki matematiikan tutorit eivät näytä opiskelijoille sarvimallia, eivätkä kaikki koulun opettajat (onneksi tutorien itsensä osalta) mene niin syvälle aiheeseen tunneilla. Matematiikan luokan opiskelijalle en kuitenkaan näe mitään syytä pysähtyä pitkään jakoon. Lisäksi kätevin ja nopeasti Hajotustekniikka perustuu juuri Hornerin kaavioon. Selvittääkseen lapselle, mistä se tulee, riittää, että jäljitetään korkeampien kertoimien esiintyminen vihreissä jäännöksissä käyttämällä esimerkkiä kulmalla jakamisesta. On selvää, että alkuperäisen polynomin korkein kerroin puretaan ensimmäisen "punaisen monomin" kertoimeksi ja edelleen nykyisen ylemmän polynomin toisesta kertoimesta. vähennetty tulos kertomalla nykyinen "punainen monomi" kerroin . Siksi voit lisätä kertomalla tulos . Keskitettyään opiskelijan huomion kertoimilla tehtävien toimien erityispiirteisiin, matematiikan ohjaaja voi näyttää, kuinka nämä toiminnot yleensä suoritetaan kirjoittamatta itse muuttujia muistiin. Tätä varten on kätevää syöttää alkuperäisen polynomin juuri ja kertoimet tärkeysjärjestyksessä seuraavaan taulukkoon:

Jos polynomista puuttuu jokin aste, niin sen nollakerroin syötetään väkisin taulukkoon. "Punaisten polynomien" kertoimet syötetään vuorotellen alimmalle riville "koukku" -säännön mukaisesti:

Juuri kerrotaan viimeksi puretulla "punaisella kertoimella", lisätään seuraavaan ylärivin kertoimeen ja tulos puretaan alimmalle riville. Viimeisessä sarakkeessa saamme taatusti viimeisen "vihreän saldon" suurimman kertoimen, eli nollan. Kun prosessi on valmis, numerot sovitetun juuren ja nollajäännöksen väliin ovat toisen (epälineaarisen) tekijän kertoimet.

Koska juuri a antaa nollan alimman rivin lopussa, Hornerin mallia voidaan käyttää polynomin juuren arvon tarkistamiseen. Jos erityinen lause rationaalisen juuren valinnasta. Kaikki tämän avulla saadut ehdokkaat tähän titteliin yksinkertaisesti lisätään vuorotellen vasemmalta Hornerin järjestelmään. Heti kun saamme nollan, testattu luku on juuri ja samalla saamme alkuperäisen polynomin laajenemiskertoimet tekijöiksi. Erittäin mukavasti.

Lopuksi haluan huomauttaa, että Horner-kaavion tarkkaa käyttöönottoa sekä aiheen käytännön syventämistä varten matematiikan ohjaajalla on oltava käytössään riittävä määrä tunteja. "Kerran viikossa" -tilassa työskentelevän tutorin ei tulisi olla tekemisissä kulman jakamisessa. Matematiikan yhtenäistetyssä valtionkokeessa ja matematiikan GIA:ssa on epätodennäköistä, että ensimmäisessä osassa tulee koskaan olemaan kolmannen asteen yhtälö, joka ratkaistaan ​​sellaisilla keinoilla. Jos ohjaaja valmistelee lasta matematiikan tenttiin Moskovan valtionyliopistossa, aiheen opiskelu tulee pakolliseksi. Yliopiston opettajat haluavat kovasti, toisin kuin yhtenäisen valtiontutkinnon laatijat, tarkistaa hakijan tietämyksen syvyyden.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, matematiikan ohjaaja Moskova, Strogino

Oppitunnin tavoitteet:

• opettaa opiskelijoita ratkaisemaan korkeamman asteen yhtälöitä Hornerin kaavion avulla;
• kehittää kykyä työskennellä parisuhteessa;
• luoda yhdessä opintojakson pääosien kanssa pohja opiskelijoiden kykyjen kehittämiselle;
• auttaa opiskelijaa arvioimaan potentiaaliaan, kehittämään kiinnostusta matematiikkaa kohtaan, kykyä ajatella, puhua aiheesta.

Laitteet: kortteja ryhmätyöskentelyyn, juliste Hornerin mallilla.

Opetusmenetelmä: luento, tarina, selitys, harjoitusharjoitusten suoritus.

Valvontamuoto: itsenäisen ratkaisun ongelmien todentaminen, itsenäinen työskentely.

Tuntien aikana

1. Organisatorinen hetki

2. Opiskelijoiden tiedon toteuttaminen

Minkä lauseen avulla voit määrittää, onko luku tietyn yhtälön juuri (lauseen muodostamiseksi)?

Bezoutin lause. Polynomin P(x) jakaminen binomilla x-c on yhtä suuri kuin P(c), lukua c kutsutaan polynomin P(x) juureksi, jos P(c)=0. Lauseen avulla ilman jakooperaatiota voidaan määrittää, onko tietty luku polynomin juuri.

Mitkä väitteet helpottavat juurien löytämistä?

a) Jos polynomin johtava kerroin on yksi, niin polynomin juuret tulee etsiä vapaan termin jakajien joukosta.

b) Jos polynomin kertoimien summa on 0, niin yksi juurista on 1.

c) Jos kertoimien summa parillisissa paikoissa on yhtä suuri kuin parittomien paikkojen kertoimien summa, niin yksi juurista on yhtä suuri kuin -1.

d) Jos kaikki kertoimet ovat positiivisia, niin polynomin juuret ovat negatiivisia lukuja.

e) Parittoman asteen polynomilla on vähintään yksi reaalijuuri.

3. Uuden materiaalin oppiminen

Kun ratkaistaan ​​kokonaisia ​​algebrallisia yhtälöitä, on löydettävä polynomien juurien arvot. Tätä toimintoa voidaan yksinkertaistaa huomattavasti, jos laskelmat suoritetaan erityisen algoritmin, jota kutsutaan Hornerin malliksi, mukaan. Tämä järjestelmä on nimetty englantilaisen tiedemiehen William George Hornerin mukaan. Hornerin kaavio on algoritmi polynomin P(x) x-c:llä jakamisen osamäärän ja jäännöksen laskemiseksi. Lyhyesti, miten se toimii.

Olkoon mielivaltainen polynomi P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Tämän polynomin jako x-c:llä on sen esitys muodossa P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Yksityinen g (x) \u003d kohdassa 0 x n-1 + kohdassa n x n-2 + ... + kohdassa n-2 x + kohdassa n-1, missä kohdassa 0 \u003d a 0, kohdassa n \u003d sv n- 1 + an, n = 1,2,3,…n-1. Jäännös r (x) \u003d St n-1 + a n. Tätä laskentamenetelmää kutsutaan Hornerin kaavioksi. Algoritmin nimessä oleva sana "skeema" johtuu siitä, että yleensä sen suoritus formalisoidaan seuraavasti. Ensimmäinen arvontapöytä 2(n+2). Luku c kirjoitetaan vasempaan alakulmaan ja polynomin P (x) kertoimet ylemmälle riville. Tässä tapauksessa vasen ylempi solu jätetään tyhjäksi.

	0 = a 0	in 1 \u003d sv 1 + a 1	2 \u003d sv 1 + a 2		in n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Luku, joka algoritmin suorittamisen jälkeen osoittautuu kirjoitetuksi oikeaan alakulmaan, on jakojäännös polynomin P(x) jaosta x-c:llä. Muut alarivin luvut 0 , 1 , 2 ,… kohdalla ovat osamäärän kertoimia.

Esimerkki: Jaa polynomi P (x) \u003d x 3 -2x + 3 x-2:lla.

Saamme, että x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Tutkitun aineiston konsolidointi

Esimerkki 1: Kerroin polynomi P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 kokonaislukukertoimilla.

Etsimme kokonaislukujuuria vapaan termin -1:1; -yksi. Tehdään taulukko:

X \u003d -1 - juuri

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Tarkastetaan 1/2.

					X=1/2 - juuri

Siksi polynomi P(x) voidaan esittää muodossa

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Esimerkki 2: Ratkaise yhtälö 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Koska yhtälön vasemmalle puolelle kirjoitetun polynomin kertoimien summa on nolla, niin yksi juurista on 1. Käytetään Hornerin kaaviota:

						X=1 - juuri

Saamme P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Etsimme juuria vapaan termin 2 jakajien joukosta.

Huomasimme, että kokonaisia ​​juuria ei enää ole. Tarkistetaan 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - juuri

Vastaus: 1; -1/2.

Esimerkki 3: Ratkaise yhtälö 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Etsimme tämän yhtälön juuria vapaan termin 5: 1; -1; 5; -5 jakajien joukosta. x=1 on yhtälön juuri, koska kertoimien summa on nolla. Käytetään Hornerin kaavaa:

edustamme yhtälöä kolmen tekijän tulona: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Ratkaisemalla toisen asteen yhtälön 5x 2 -7x+5=0, saimme D=49-100=-51, juuria ei ole.

Kortti 1

1. Kerro polynomi: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Ratkaise yhtälö: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Kortti 2

1. Kerroin polynomin: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Ratkaise yhtälö: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Kortti 3

1. Muuta: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Ratkaise yhtälö: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Kortti 4

1. Koot: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Ratkaise yhtälö: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Yhteenveto

Tiedon testaus pareittain ratkottaessa suoritetaan tunnilla tunnistamalla toimintatapa ja vastauksen nimi.

Kotitehtävät:

Ratkaise yhtälöt:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Kirjallisuus

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis Grade 10 (syvällinen matematiikan opiskelu): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Saharchuk, L.S. Sagatelova, Korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisu: Volgograd, 2007.
3. S.B. GashkovNumerojärjestelmät ja niiden sovellus.

Jne. on yleisluonteinen ja hyvin tärkeä opiskelemaan KOKO korkeamman matematiikan kurssia. Tänään toistamme "koulu"-yhtälöt, mutta emme vain "koulu"-yhtälöt - vaan ne, jotka löytyvät kaikkialta vyshmatin eri tehtävistä. Tarina etenee tuttuun tapaan sovelletulla tavalla, ts. En keskity määritelmiin, luokitteluihin, vaan jaan kanssasi henkilökohtaisen kokemukseni ratkaisusta. Tieto on tarkoitettu ensisijaisesti aloittelijoille, mutta myös valmistautuneempi lukija löytää monia mielenkiintoisia kohtia itselleen. Ja tietysti tulee uutta materiaalia, joka menee lukion ulkopuolelle.

Eli yhtälö... Monet ihmiset muistavat tämän sanan vapina. Mitä ovat "upeat" yhtälöt juurilla... ...unohda ne! Koska edelleen tapaat tämän lajin vaarattomimmat "edustajat". Tai tylsiä trigonometrisiä yhtälöitä, joissa on kymmeniä ratkaisumenetelmiä. Rehellisesti sanottuna en minäkään niistä oikein pitänyt... Ei paniikkia! - silloin sinua odottavat pääasiassa "voikukka" ilmeisellä ratkaisulla 1-2 vaiheessa. Vaikka "takainen" tietysti takertuu - tässä sinun on oltava objektiivinen.

Kummallista kyllä, korkeammassa matematiikassa on paljon yleisempää käsitellä hyvin primitiivisiä yhtälöitä, kuten lineaarinen yhtälöt.

Mitä tämän yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa? Tämä tarkoittaa - löytää TÄLLAINEN "x":n (juuri) arvo, joka muuttaa sen todelliseksi tasa-arvoksi. Käännetään "troika" oikealle merkin vaihdolla:

ja pudota "kaksi" oikealle puolelle (tai sama asia - kerro molemmat osat) :

Tarkistaaksemme korvaamme voitetun pokaalin alkuperäiseen yhtälöön:

Saadaan oikea yhtälö, mikä tarkoittaa, että löydetty arvo on todellakin tämän yhtälön juuri. Tai, kuten he sanovat, täyttää tämän yhtälön.

Huomaa, että juuri voidaan kirjoittaa myös desimaalilukuna:
Ja yritä olla pitämättä tätä ilkeää tyyliä! Toistin syyn monta kertaa, erityisesti heti ensimmäisellä oppitunnilla korkeampi algebra.

Muuten, yhtälö voidaan ratkaista myös "arabiaksi":

Ja mikä mielenkiintoisinta - tämä levy on täysin laillinen! Mutta jos et ole opettaja, on parempi olla tekemättä tätä, koska omaperäisyys on rangaistavaa täällä =)

Ja nyt vähän aiheesta

graafinen ratkaisumenetelmä

Yhtälöllä on muoto ja juuri on "x" koordinaatti risteyspisteet lineaarinen funktiokaavio lineaarisella funktiokaaviolla (abskissa-akseli):

Näyttää siltä, ​​​​että esimerkki on niin alkeellinen, ettei tässä ole enää mitään analysoitavaa, mutta siitä voidaan "puristaa" vielä yksi odottamaton vivahde: ​​edustamme samaa yhtälöä muodossa ja piirrämme funktiokaaviot:

Jossa, älä sekoita näitä kahta: yhtälö on yhtälö ja toiminto on toiminto! Toiminnot vain apua löytää yhtälön juuret. Niitä voi olla kaksi, kolme, neljä ja jopa äärettömän monta. Lähin esimerkki tässä mielessä on, että kaikki tietävät toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisualgoritmi palkittiin erillisellä pisteellä "kuumia" koulukaavoja. Ja tämä ei ole sattumaa! Jos pystyt ratkaisemaan toisen asteen yhtälön ja tiedät Pythagoraan lause, silloin voisi sanoa, että "korkeamman matematiikan pohja on jo taskussa" =) Tietysti liioiteltua, mutta ei niin kaukana totuudesta!

Ja siksi emme ole liian laiskoja ja ratkaisemme jonkin toisen asteen yhtälön sen mukaan vakioalgoritmi:

, joten yhtälössä on kaksi erilaista pätevä juuri:

On helppo varmistaa, että molemmat löydetyt arvot todella täyttävät tämän yhtälön:

Mitä tehdä, jos yhtäkkiä unohdit ratkaisualgoritmin, eikä työkaluja / auttavia käsiä ole käsillä? Tällainen tilanne voi syntyä esimerkiksi kokeessa tai kokeessa. Käytämme graafista menetelmää! Ja on kaksi tapaa: voit terävä rakenne paraabeli , jolloin saadaan selville, missä se leikkaa akselin (jos se ylittää ollenkaan). Mutta on parempi toimia ovelammin: esitämme yhtälön muodossa, piirrämme kaavioita yksinkertaisemmista funktioista - ja "x" koordinaatit niiden leikkauspisteet yhdellä silmäyksellä!


Jos käy ilmi, että viiva koskettaa paraabelia, yhtälöllä on kaksi yhtäpitävää (useita) juuria. Jos käy ilmi, että viiva ei leikkaa paraabelia, todellisia juuria ei ole.

Tätä varten sinun on tietysti osattava rakentaa perusfunktioiden kaavioita, mutta toisaalta nämä taidot ovat jopa koulupojan voimissa.

Ja jälleen - yhtälö on yhtälö, ja funktiot ovat funktioita, joita vain auttoi ratkaise yhtälö!

Ja tässä muuten olisi paikallaan muistaa vielä yksi asia: jos kaikki yhtälön kertoimet kerrotaan muulla kuin nollalla, niin sen juuret eivät muutu.

Joten esimerkiksi yhtälö on samat juuret. Yksinkertaisimpana "todisteena" poistan vakion suluista:
ja poista se kivuttomasti (Jaan molemmat osat "miinus kahdeksi"):

MUTTA! Jos otetaan huomioon funktio , niin tässä on jo mahdotonta päästä eroon vakiosta! Kerroin on mahdollista ottaa pois vain suluista: .

Monet aliarvioivat graafisen ratkaisumenetelmän pitäen sitä "epäarvoisena", ja jotkut jopa unohtavat tämän mahdollisuuden. Ja tämä on pohjimmiltaan väärin, koska juonittelu joskus vain pelastaa päivän!

Toinen esimerkki: oletetaan, että et muista yksinkertaisimman trigonometrisen yhtälön juuria:. Yleinen kaava on koulun oppikirjoissa, kaikissa perusmatematiikan hakuteoksissa, mutta ne eivät ole saatavillasi. Yhtälön ratkaiseminen on kuitenkin kriittinen (muuten "kaksi"). Siellä on uloskäynti! - Rakennamme funktioiden kuvaajia:


jonka jälkeen kirjoitamme rauhallisesti muistiin niiden leikkauspisteiden "x"-koordinaatit:

Juureja on äärettömän monta, ja niiden taitettu merkintä on hyväksytty algebrassa:
, missä ( – joukko kokonaislukuja) .

Ja "poikkeamatta kassasta" muutama sana graafisesta menetelmästä epäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla. Periaate on sama. Joten esimerkiksi mikä tahansa "x" on ratkaisu epätasa-arvoon, koska sinusoidi on lähes kokonaan suoran alla. Epäyhtälön ratkaisu on joukko intervalleja, joilla siniaallon palat ovat tiukasti suoran yläpuolella (abskissa):

tai lyhyesti sanottuna:

Ja tässä on joukko ratkaisuja epätasa-arvoon - tyhjä, koska mikään sinusoidin piste ei ole suoran yläpuolella.

Onko jotain epäselvää? Tutustu kiireellisesti aiheisiin sarjat ja funktiokaavioita!

Lämmitellä:

Harjoitus 1

Ratkaise graafisesti seuraavat trigonometriset yhtälöt:

Vastaukset oppitunnin lopussa

Kuten näet, tarkkojen tieteiden opiskeluun ei ole ollenkaan tarpeen tukkia kaavoja ja hakukirjoja! Lisäksi tämä on pohjimmiltaan julma lähestymistapa.

Kuten jo vakuutin sinulle aivan oppitunnin alussa, monimutkaisia ​​trigonometrisiä yhtälöitä korkeamman matematiikan peruskurssilla on ratkaistava erittäin harvoin. Kaikki monimutkaisuus pääsääntöisesti päättyy yhtälöihin, kuten , joiden ratkaisu on kaksi juuriryhmää, jotka on johdettu yksinkertaisimmista yhtälöistä ja . Älä murehdi liikaa jälkimmäisen ratkaisusta - katso kirjasta tai löydä se Internetistä =)

Graafinen ratkaisutapa voi auttaa myös vähemmän triviaalisissa tapauksissa. Harkitse esimerkiksi seuraavaa "kirjavaa" yhtälöä:

Sen ratkaisunäkymät näyttävät ... ne eivät katso ollenkaan, vaan yhtälö on vain esitettävä muodossa , konstruktio funktiokaavioita ja kaikki tulee olemaan uskomattoman yksinkertaista. Piirustus on artikkelin keskellä äärettömän pienet funktiot (avautuu seuraavassa välilehdessä).

Samaa graafista menetelmää käyttämällä voit selvittää, että yhtälöllä on jo kaksi juuria, joista toinen on nolla ja toinen ilmeisesti irrationaalinen ja kuuluu segmenttiin . Tämä juuri voidaan laskea suunnilleen esim. tangenttimenetelmä. Muuten, joissakin tehtävissä tapahtuu, että ei vaadita juuria, vaan se on selvitettävä onko niitä ollenkaan olemassa. Ja tässäkin piirustus voi auttaa - jos kaaviot eivät leikkaa, niin juuria ei ole.

Polynomien rationaaliset juuret kokonaislukukertoimilla.
Hornerin suunnitelma

Ja nyt ehdotan, että käännät katseesi keskiaikaan ja tunnet klassisen algebran ainutlaatuisen tunnelman. Materiaalin ymmärtämiseksi suosittelen ainakin pientä perehtymistä siihen kompleksiluvut.

He ovat eniten. Polynomit.

Kiinnostuksen kohteena ovat muodon yleisimmät polynomit koko kertoimet . Luonnollista lukua kutsutaan polynomin aste, luku - kerroin korkeimmalla tasolla (tai vain korkein kerroin), ja kerroin on vapaa jäsen.

Merkitsen tämän polynomin taitettuna .

Polynomiset juuret kutsutaan yhtälön juuriksi

Rakastan rautaista logiikkaa =)

Esimerkkejä varten siirrymme artikkelin alkuun:

1. ja 2. asteen polynomien juurien löytämisessä ei ole ongelmia, mutta kasvaessa tämä tehtävä muuttuu yhä vaikeammaksi. Mutta toisaalta, kaikki on mielenkiintoisempaa! Ja tälle oppitunnin toinen osa on omistettu.

Ensin kirjaimellisesti puoli näyttöä teoriasta:

1) Seurauksen mukaan algebran peruslause, astepolynomilla on täsmälleen integroitu juuret. Jotkut juuret (tai jopa kaikki) voivat olla erityisesti pätevä. Lisäksi todellisten juurien joukossa voi olla identtisiä (useita) juuria (vähintään kaksi, enintään kappaletta).

Jos jokin kompleksiluku on polynomin juuri, niin konjugaatti sen numero on myös välttämättä tämän polynomin juuri (konjugoitujen kompleksisten juurien muoto on ).

Yksinkertaisin esimerkki on toisen asteen yhtälö, joka löydettiin ensimmäisen kerran 8 (Kuten) luokassa, ja jonka vihdoin "päätimme" aiheessa kompleksiluvut. Muistutan teitä: toisen asteen yhtälöllä on joko kaksi erilaista reaalijuurta tai useita juuria tai konjugoituja kompleksisia juuria.

2) Alkaen Bezoutin lauseet tästä seuraa, että jos luku on yhtälön juuri, niin vastaava polynomi voidaan kertoa:
, missä on astepolynomi.

Ja jälleen vanha esimerkkimme: koska on yhtälön juuri, sitten . Sen jälkeen on helppo saada tuttu "koulu" hajoaminen .

Bezoutin lauseen seurauksella on suuri käytännön arvo: jos tiedämme 3. asteen yhtälön juuren, voimme esittää sen muodossa ja toisen asteen yhtälöstä on helppo selvittää jäljellä olevat juuret. Jos tunnemme 4. asteen yhtälön juuren, on mahdollista laajentaa vasen puoli tuotteeksi jne.

Ja tässä on kaksi kysymystä:

Kysymys yksi. Kuinka löytää tämä juuri? Ensinnäkin määritellään sen luonne: monissa korkeamman matematiikan ongelmissa se on löydettävä järkevää, erityisesti koko polynomien juuret, ja tässä suhteessa olemme edelleen kiinnostuneita pääasiassa niistä .... …ne ovat niin hyviä, niin pörröisiä, että haluat vain löytää ne! =)

Ensimmäinen asia, joka ehdottaa itsestään, on valintamenetelmä. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Saalis tässä on vapaassa termissä - jos se olisi yhtä suuri kuin nolla, niin kaikki olisi harjakattoisia - laitamme "x":n pois suluista ja juuret itse "pudottavat" pintaan:

Mutta vapaa termimme on yhtä suuri kuin "kolme", ​​ja siksi alamme korvata yhtälöön useita lukuja, joita väitetään olevan nimeltään "juuri". Ensinnäkin yksittäisten arvojen korvaaminen viittaa itsestään. Korvaava:

Sai väärä tasa-arvo, joten yksikkö "ei sopinut". Okei, laitetaan se sisään:

Sai oikea tasa-arvo! Eli arvo on tämän yhtälön juuri.

3. asteen polynomin juurien löytämiseksi on olemassa analyyttinen menetelmä (ns. Cardano-kaavat), mutta nyt olemme kiinnostuneita hieman erilaisesta ongelmasta.

Koska - on polynomimme juuri, niin polynomi voidaan esittää muodossa ja syntyy Toinen kysymys: kuinka löytää "nuorempi veli"?

Yksinkertaisimmat algebralliset näkökohdat viittaavat siihen, että tätä varten sinun on jaettava. Kuinka jakaa polynomi polynomilla? Sama koulumenetelmä, joka jakaa tavalliset luvut - "sarake"! Käsittelin tätä menetelmää yksityiskohtaisesti oppitunnin ensimmäisissä esimerkeissä. Monimutkaiset rajat, ja nyt tarkastelemme toista menetelmää, jota kutsutaan Hornerin suunnitelma.

Ensin kirjoitetaan "vanhempi" polynomi kaikkien kanssa , mukaan lukien nollakertoimet:
, jonka jälkeen syötämme nämä kertoimet (tarkasti järjestyksessä) taulukon ylimmälle riville:

Vasemmalla kirjoitamme juuren:

Teen heti varauksen, että Hornerin järjestelmä toimii myös, jos "punainen" numero ei on polynomin juuri. Älkäämme kuitenkaan kiirettäkö asioita.

Otamme seniorikertoimen alas ylhäältä:

Alempien solujen täyttöprosessi muistuttaa hieman kirjontaa, jossa "miinus yksi" on eräänlainen "neula", joka läpäisee seuraavat vaiheet. Kerromme "purettu" luvun (-1) ja lisäämme ylemmän solun numeron tuotteeseen:

Kerromme löydetyn arvon "punaisella neulalla" ja lisäämme tuotteeseen seuraavan yhtälökertoimen:

Ja lopuksi tuloksena oleva arvo "käsitellään" jälleen "neulalla" ja ylemmällä kertoimella:

Nolla viimeisessä solussa kertoo, että polynomi on jakautunut jälkeä jättämättä (kuten pitääkin), kun taas laajennuskertoimet "poistetaan" suoraan taulukon alimmalta riviltä:

Siten siirryimme yhtälöstä vastaavaan yhtälöön, ja kaikki on selvää kahdella jäljellä olevalla juurilla (sisään Tämä tapaus saadaan konjugoidut kompleksijuuret).

Yhtälö, muuten, voidaan ratkaista myös graafisesti: rakentaa "vetoketju" ja katso, että kuvaaja ylittää x-akselin () kohdassa. Tai sama "ovela" temppu - kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon , piirrämme alkeiskaavioita ja havaitsemme niiden leikkauspisteen "X"-koordinaatin.

Muuten, minkä tahansa 3. asteen polynomifunktion kuvaaja ylittää akselin vähintään kerran, mikä tarkoittaa, että vastaava yhtälö on vähintään yksi pätevä juuri. Tämä tosiasia pätee mille tahansa parittoman asteen polynomifunktiolle.

Ja tähän haluan myös pysähtyä tärkeä pointti terminologian suhteen: polynomi ja polynomifunktio – se ei ole sama! Mutta käytännössä he puhuvat usein esimerkiksi "polynomigraafista", joka tietysti on huolimaton.

Mutta palataanpa Hornerin suunnitelmaan. Kuten äskettäin mainitsin, tämä järjestelmä toimii myös muille numeroille, mutta jos numero ei on yhtälön juuri, niin nollasta poikkeava lisäaine (jäännös) näkyy kaavassamme:

"Ajetaan" "epäonnistunut" arvo Hornerin kaavion mukaan. Samanaikaisesti on kätevää käyttää samaa taulukkoa - kirjoitamme uuden "neulan" vasemmalle, puramme korkeimman kertoimen ylhäältä (vasen vihreä nuoli), ja lähdetään:

Tarkistaaksemme avaamme sulut ja annamme vastaavat ehdot:
, OK.

On helppo nähdä, että jäännös ("kuusi") on täsmälleen polynomin arvo osoitteessa . Ja itse asiassa - mikä se on:
, ja vielä hienompaa - kuten tämä:

Yllä olevista laskelmista on helppo ymmärtää, että Hornerin järjestelmä sallii polynomin kertoimen lisäksi myös juuren "sivistyneen" valinnan. Ehdotan, että korjaat itsenäisesti laskenta-algoritmin pienellä tehtävällä:

Tehtävä 2

Etsi Hornerin kaavion avulla yhtälön koko juuri ja kerro vastaava polynomi

Toisin sanoen, tässä sinun on tarkistettava peräkkäin numerot 1, -1, 2, -2, ... - kunnes nolla jäännös on "piirretty" viimeiseen sarakkeeseen. Tämä tarkoittaa, että tämän rivin "neula" on polynomin juuri

Laskelmat on järjestetty kätevästi yhteen taulukkoon. Yksityiskohtainen ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Juurien valintamenetelmä on hyvä suhteellisen yksinkertaisiin tapauksiin, mutta jos kertoimet ja/tai polynomin aste ovat suuria, prosessi voi viivästyä. Tai ehkä joitain arvoja samasta luettelosta 1, -1, 2, -2, eikä sitä ole järkevää harkita? Ja lisäksi juuret voivat osoittautua murto-osaisiksi, mikä johtaa täysin ei-tieteelliseen puskuun.

Onneksi on olemassa kaksi voimakasta lausetta, jotka voivat merkittävästi vähentää "ehdokasarvojen" määrää rationaalisille juurille:

Lause 1 Harkitse vähentymätön murto-osa, missä. Jos luku on yhtälön juuri, niin vapaa termi on jaollinen ja johtava kerroin jaollinen.

Erityisesti, jos johtava kerroin on , niin tämä rationaalinen juuri on kokonaisluku:

Ja alamme hyödyntää lausetta juuri tästä maukkaasta:

Palataan yhtälöön. Koska sen johtava kerroin on , hypoteettiset rationaaliset juuret voivat olla yksinomaan kokonaislukuja, ja vapaan termin on oltava jaollinen näillä juurilla ilman jäännöstä. Ja "kolme" voidaan jakaa vain 1, -1, 3 ja -3. Eli meillä on vain 4 "juuriehdokasta". Ja sen mukaan Lause 1, muut rationaaliset luvut eivät voi olla tämän yhtälön juuria PERIAATTEESSA.

Yhtälössä on hieman enemmän "hakijoita": vapaa termi on jaettu 1, -1, 2, -2, 4 ja -4.

Huomaa, että numerot 1, -1 ovat "säännöllisiä" mahdollisten juuriluettelossa (ilmeinen seuraus lauseesta) ja paras valinta ensimmäiseen tarkastukseen.

Jatketaan merkityksellisempiin esimerkkeihin:

Tehtävä 3

Päätös: koska johtava kerroin , niin hypoteettiset rationaaliset juuret voivat olla vain kokonaislukuja, kun taas niiden on välttämättä oltava vapaan termin jakajia. "Miinus neljäkymmentä" on jaettu seuraaviin numeropareihin:
- yhteensä 16 "ehdokasta".

Ja tässä heti ilmestyy houkutteleva ajatus: onko mahdollista kitkeä pois kaikki negatiiviset vai kaikki positiiviset juuret? Joissakin tapauksissa voit! Muotoilen kaksi merkkiä:

1) Jos kaikki Jos polynomin kertoimet ovat ei-negatiivisia, sillä ei voi olla positiivisia juuria. Valitettavasti tämä ei ole meidän tapauksemme (jos meille annettaisiin yhtälö - niin kyllä, kun korvataan mikä tahansa polynomin arvo on ehdottomasti positiivinen, mikä tarkoittaa, että kaikki positiiviset luvut (ja myös järjetöntä) eivät voi olla yhtälön juuria.

2) Jos parittomien potenssien kertoimet ovat ei-negatiivisia ja kaikille parillisille potenssille (mukaan lukien ilmainen jäsen) ovat negatiivisia, silloin polynomilla ei voi olla negatiivisia juuria. Tämä on meidän tapaus! Tarkemmin katsottuna voit nähdä, että kun yhtälöön korvataan mikä tahansa negatiivinen "x", vasen puoli on ehdottomasti negatiivinen, mikä tarkoittaa, että negatiiviset juuret katoavat

Tutkimukseen on siis jäljellä 8 numeroa:

"Lataa" niitä johdonmukaisesti Hornerin järjestelmän mukaisesti. Toivon, että olet jo hallinnut henkiset laskelmat:

Onni odotti meitä testattaessa "kakkosta". Siten on tarkasteltavan yhtälön juuri ja

On vielä tutkittava yhtälö . Tämä on helppo tehdä erottimen kautta, mutta teen eksponentiaalisen testin samalla tavalla. Ensinnäkin huomaa, että vapaa termi on yhtä suuri kuin 20, mikä tarkoittaa, että sen mukaan Lause 1 luvut 8 ja 40 putoavat mahdollisten juurien listalta ja arvot jäävät tutkittavaksi (yksi eliminoitiin Hornerin järjestelmän mukaan).

Kirjoitamme trinomin kertoimet uuden taulukon yläriville ja aloitamme tarkistamisen samalla "kahdella". Miksi? Ja koska juuret voivat olla kerrannaisia, ole hyvä: - tällä yhtälöllä on 10 identtistä juurta. Mutta älkäämme poikkeako:

Ja tässä tietysti olin hieman ovela, tietäen, että juuret ovat rationaalisia. Loppujen lopuksi, jos ne olisivat irrationaalisia tai monimutkaisia, minulla olisi epäonnistunut tarkistus kaikista jäljellä olevista numeroista. Siksi käytännössä ohjaa syrjintää.

Vastaus: rationaaliset juuret: 2, 4, 5

Analysoidussa ongelmassa olimme onnekkaita, koska: a) negatiiviset arvot putosivat heti, ja b) löysimme juuren erittäin nopeasti (ja teoriassa voisimme tarkistaa koko listan).

Mutta todellisuudessa tilanne on paljon pahempi. Kutsun sinut katsomaan jännittävää peliä nimeltä "The Last Hero":

Tehtävä 4

Etsi yhtälön rationaaliset juuret

Päätös: päällä Lause 1 hypoteettisten rationaalisten juurien osoittajien on täytettävä ehto (lue "kaksitoista on jaollinen oluella"), ja ehdon nimittäjät. Tämän perusteella saamme kaksi listaa:

"lista el":
ja "luettelosta": (onneksi luvut ovat luonnollisia).

Tehdään nyt luettelo kaikista mahdollisista juurista. Ensin jaamme "oluen luettelon" arvolla. On aivan selvää, että samat luvut tulevat esiin. Laitetaan ne taulukkoon mukavuuden vuoksi:

Monia murto-osia on pienennetty, mikä johtaa arvoihin, jotka ovat jo "sankariluettelossa". Lisäämme vain "uudet tulokkaat":

Samalla tavalla jaamme saman "oluen listan" seuraavasti:

ja lopuksi päälle

Näin ollen pelimme osallistujien tiimissä on:


Valitettavasti tämän ongelman polynomi ei täytä "positiivisen" tai "negatiivisen" kriteeriä, joten emme voi hylätä ylä- tai alariviä. Sinun on työskenneltävä kaikkien numeroiden kanssa.

Mikä on mielialasi? No, käännä nenäsi ylös - on toinen lause, jota voidaan kuvaannollisesti kutsua "tappajalauseeksi" .... ... "ehdokkaat", tietysti =)

Mutta ensin sinun täytyy selata Hornerin kaaviota ainakin yhden kohdalla koko numeroita. Perinteisesti otamme yhden. Yläriville kirjoitetaan polynomin kertoimet ja kaikki on tavalliseen tapaan:

Koska neljä ei selvästikään ole nolla, arvo ei ole kyseessä olevan polynomin juuri. Mutta hän auttaa meitä paljon.

Lause 2 Jos joillekin yleisesti polynomin arvo on nollasta poikkeava: , sitten sen rationaaliset juuret (jos he ovat) tyydyttää ehtoa

Meidän tapauksessamme ja siksi kaikkien mahdollisten juurten on täytettävä ehto (kutsutaanko sitä tilanteeksi 1). Tämä neljä on monien "ehdokkaiden" "tappaja". Esittelynä katson muutamaa tarkistusta:

Tarkastellaan ehdokasta. Tätä varten esitämme sen keinotekoisesti murto-osana , josta näkyy selvästi, että . Lasketaan tarkistusero: . Neljä jaetaan "miinus kahdella": mikä tarkoittaa, että mahdollinen juuri on läpäissyt testin.

Tarkastetaan arvo. Tässä testin ero on: . Tietysti, ja siksi myös toinen "koehenkilö" jää listalle.