Ensimmäinen taso

Lausekkeen muuntaminen. Yksityiskohtainen teoria (2019)

Lausekkeen muuntaminen

Usein kuulemme tämän epämiellyttävän lauseen: "yksinkertaistaa ilmaisua". Yleensä tässä tapauksessa meillä on jonkinlainen hirviö, kuten tämä:

"Kyllä, paljon helpompaa", sanomme, mutta tällainen vastaus ei yleensä toimi.

Nyt opetan sinua olemaan pelkäämättä sellaisia ​​tehtäviä. Lisäksi oppitunnin lopussa yksinkertaistat itse tämän esimerkin (vain!) tavalliseksi numeroksi (kyllä, helvettiin näillä kirjaimilla).

Mutta ennen kuin aloitat tämän oppitunnin, sinun on kyettävä käsittelemään murto- ja kerroinpolynomeja. Siksi ensin, jos et ole tehnyt tätä aiemmin, muista hallita aiheet "" ja "".

Lukea? Jos kyllä, olet valmis.

Yksinkertaistamisen perustoiminnot

Nyt analysoimme päätekniikoita, joita käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen.

Yksinkertaisin niistä on

1. Tuo samankaltainen

Mitkä ovat samanlaisia? Kävit tämän läpi 7. luokalla, kun matematiikassa ilmestyi kirjaimet numeroiden sijaan. Samanlaisia ​​ovat termit (monomiaalit), joilla on sama kirjainosa. Esimerkiksi summassa, kuten termit ovat ja.

Muistatko?

Samankaltaisten termien tuominen tarkoittaa useiden samankaltaisten termien lisäämistä toisiinsa ja yhden termin saamista.

Mutta kuinka voimme yhdistää kirjaimet? - kysyt.

Tämä on erittäin helppo ymmärtää, jos kuvittelet, että kirjaimet ovat jonkinlaisia ​​esineitä. Esimerkiksi kirje on tuoli. Mikä ilmaisu sitten on? Kaksi tuolia plus kolme tuolia, paljonko se maksaa? Aivan oikein, tuolit: .

Kokeile nyt tätä ilmaisua:

Jotta et joutuisi hämmennyksiin, anna eri kirjainten merkitä eri kohteita. Esimerkiksi - tämä on (kuten tavallista) tuoli ja - tämä on pöytä. Sitten:

tuolit pöydät tuolipöydät tuolit tuolit pöydät

Numeroita, joilla tällaisten termien kirjaimet kerrotaan, kutsutaan kertoimet. Esimerkiksi monomissa kerroin on yhtä suuri. Ja hän on tasa-arvoinen.

Eli sääntö samankaltaisten tuomiseksi:

Esimerkkejä:

Tuo samanlainen:

Vastaukset:

2. (ja ovat samankaltaisia, koska siksi näillä termeillä on sama kirjainosa).

2. Faktorisointi

Tämä on yleensä tärkein osa ilmaisujen yksinkertaistamisessa. Kun olet antanut samankaltaisia, useimmiten tuloksena oleva lauseke on otettava huomioon, eli esitettävä tuotteena. Tämä on erityisen tärkeää murtoluvuissa: murto-osan pienentämiseksi osoittaja ja nimittäjä on esitettävä tulona.

Kävit läpi yksityiskohtaiset lausekkeiden laskentamenetelmät aiheesta "", joten tässä sinun on vain muistettava, mitä olet oppinut. Voit tehdä tämän ratkaisemalla muutaman esimerkkejä(jätetään pois):

Ratkaisut:

3. Fraktion vähentäminen.

No, mikä voisi olla mukavampaa kuin yliviivata osa osoittajasta ja nimittäjästä ja heittää ne pois elämästäsi?

Se on lyhenteen kauneus.

Se on yksinkertaista:

Jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät samat tekijät, niitä voidaan pienentää eli poistaa murtoluvusta.

Tämä sääntö seuraa murtoluvun perusominaisuutta:

Eli vähennysoperaation ydin on se Jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla (tai samalla lausekkeella).

Murto-osan pienentämiseksi tarvitset:

1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä

2) jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät yhteisiä tekijöitä, ne voidaan poistaa.

Periaate on mielestäni selvä?

Haluaisin kiinnittää huomionne yhteen tyypilliseen lyhenteen virheeseen. Vaikka tämä aihe on yksinkertainen, monet ihmiset tekevät kaiken väärin ymmärtämättä sitä leikata- Tämä tarkoittaa jakaa osoittaja ja nimittäjä samalla numerolla.

Ei lyhenteitä, jos osoittaja tai nimittäjä on summa.

Esimerkiksi: sinun on yksinkertaistettava.

Jotkut tekevät näin: mikä on täysin väärin.

Toinen esimerkki: vähennä.

"Älykkäin" tekee tämän:.

Kerro mikä tässä on vialla? Vaikuttaa siltä, ​​​​että - tämä on kerroin, joten voit vähentää.

Mutta ei: - tämä on vain yhden termin tekijä osoittajassa, mutta itse osoittajaa kokonaisuutena ei ole jaettu tekijöiksi.

Tässä on toinen esimerkki: .

Tämä lauseke on jaettu tekijöiksi, mikä tarkoittaa, että voit vähentää eli jakaa osoittajan ja nimittäjän seuraavalla:

Voit heti jakaa seuraavasti:

Tällaisten virheiden välttämiseksi muista helppo tapa määrittää, onko lauseke huomioitu:

Aritmeettinen operaatio, joka suoritetaan viimeisenä lausekkeen arvoa laskettaessa, on "pää". Eli jos korvaat joitain (mitä tahansa) numeroita kirjainten sijasta ja yrität laskea lausekkeen arvon, niin jos viimeinen toiminto on kertolasku, meillä on tulo (lauseke jaetaan tekijöiksi). Jos viimeinen toiminto on yhteen- tai vähennyslasku, tämä tarkoittaa, että lauseketta ei oteta huomioon (ja siksi sitä ei voida pienentää).

Voit korjata sen ratkaisemalla sen itse muutaman esimerkkejä:

Vastaukset:

1. Toivottavasti et heti kiirehtinyt leikkaamaan ja? Ei vieläkään riittänyt "vähentämään" yksiköitä näin:

Ensimmäinen askel pitäisi olla tekijöiden lisääminen:

4. Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku. Murtolukujen tuominen yhteiseen nimittäjään.

Tavallisten murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku on tuttu operaatio: etsitään yhteinen nimittäjä, kerrotaan jokainen murto puuttuvalla kertoimella ja lasketaan/vähennetään osoittajat. Muistetaan:

Vastaukset:

1. Nimittäjät ja ovat koprime, eli niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Siksi näiden lukujen LCM on yhtä suuri kuin niiden tulo. Tästä tulee yhteinen nimittäjä:

2. Tässä yhteinen nimittäjä:

3. Tässä ensinnäkin muutetaan sekafraktiot sopimattomiksi ja sitten - tavallisen järjestelmän mukaan:

On aivan eri asia, jos murtoluvut sisältävät kirjaimia, esimerkiksi:

Aloitetaan yksinkertaisesta:

a) Nimittäjät eivät sisällä kirjaimia

Täällä kaikki on sama kuin tavallisilla numeerisilla murtoluvuilla: löydämme yhteisen nimittäjän, kerromme jokainen murto-osa puuttuvalla kertoimella ja lisäämme / vähennämme osoittajat:

nyt osoittajassa voit tuoda samanlaisia, jos sellaisia ​​on, ja kertoa ne:

Kokeile itse:

b) Nimittäjät sisältävät kirjaimia

Muistetaan periaate löytää yhteinen nimittäjä ilman kirjaimia:

Ensinnäkin määritämme yhteiset tekijät;

Sitten kirjoitamme kaikki yleiset tekijät kerran;

ja kerro ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Määrittääksemme nimittäjien yhteiset tekijät, hajotamme ne ensin yksinkertaisiin tekijöihin:

Korostamme yleisiä tekijöitä:

Kirjoitamme nyt yleiset tekijät kerran ja lisäämme niihin kaikki epätavalliset (ei alleviivatut) tekijät:

Tämä on yhteinen nimittäjä.

Palataan kirjaimiin. Nimittäjät annetaan täsmälleen samalla tavalla:

Jaamme nimittäjät tekijöiksi;

määrittää yhteiset (identtiset) kertoimet;

kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran;

Kerromme ne kaikilla muilla tekijöillä, ei yleisillä.

Eli järjestyksessä:

1) jaa nimittäjät tekijöiksi:

2) määritä yhteiset (identtiset) tekijät:

3) kirjoita kaikki yleiset tekijät kerran ja kerro ne kaikilla muilla (ei alleviivatuilla) kertoimilla:

Yhteinen nimittäjä on siis tässä. Ensimmäinen murto-osa on kerrottava, toinen -:

On muuten yksi temppu:

Esimerkiksi: .

Näemme nimittäjissä samat tekijät, vain kaikilla eri indikaattoreilla. Yhteinen nimittäjä tulee olemaan:

siinä määrin

siinä määrin

siinä määrin

asteessa.

Monimutkaistaan ​​tehtävää:

Kuinka saada murtoluvuilla sama nimittäjä?

Muistetaan murtoluvun perusominaisuus:

Missään ei sanota, että sama luku voidaan vähentää (tai lisätä) murtoluvun osoittajasta ja nimittäjästä. Koska se ei ole totta!

Katso itse: ota esimerkiksi mikä tahansa murtoluku ja lisää osoittajaan ja nimittäjään jokin luku, esimerkiksi . Mitä on opittu?

Joten, toinen horjumaton sääntö:

Kun tuot murtoluvut yhteiseen nimittäjään, käytä vain kertolaskua!

Mutta mitä sinun täytyy kertoa saadaksesi?

Tässä ja kerrotaan. Ja kerrotaan:

Lausekkeita, joita ei voida kertoa, kutsutaan "alkutekijöiksi". Esimerkiksi se on perustekijä. - myös. Mutta - ei: se on jaettu tekijöihin.

Entä ilmaisu? Onko se alkeellista?

Ei, koska se voidaan jakaa tekijöihin:

(luit jo faktorointia aiheesta "").

Joten perustekijät, joihin jaat lausekkeen kirjaimilla, ovat analogeja yksinkertaisille tekijöille, joihin jaat numerot. Ja me teemme samoin heidän kanssaan.

Näemme, että molemmilla nimittäjillä on tekijä. Se menee valtaan yhteiselle nimittäjälle (muistatko miksi?).

Kerroin on alkeisosa, eikä heillä ole sitä yhteistä, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen murtoluku on yksinkertaisesti kerrottava sillä:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Ennen kuin kerrot nämä nimittäjät paniikkiin, sinun on mietittävä, kuinka ne otetaan huomioon? Molemmat edustavat:

Erinomainen! Sitten:

Toinen esimerkki:

Ratkaisu:

Kuten tavallista, laitamme nimittäjät tekijöihin. Ensimmäisessä nimittäjässä laitamme sen yksinkertaisesti pois suluista; toisessa - neliöiden ero:

Vaikuttaa siltä, ​​että yhteisiä tekijöitä ei ole. Mutta jos katsot tarkasti, ne ovat jo niin samanlaisia ​​... Ja totuus on:

Joten kirjoitetaan:

Eli siitä tuli näin: suluissa vaihdoimme termejä, ja samalla murto-osan edessä oleva merkki vaihtui päinvastaiseksi. Huomaa, että sinun on tehtävä tämä usein.

Nyt päästään yhteiseen nimittäjään:

Sain sen? Nyt tarkistetaan.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun:

Vastaukset:

Tässä meidän on muistettava vielä yksi asia - kuutioiden ero:

Huomaa, että toisen murto-osan nimittäjä ei sisällä kaavaa "summan neliö"! Summan neliö näyttäisi tältä:

A on summan niin kutsuttu epätäydellinen neliö: sen toinen termi on ensimmäisen ja viimeisen tulo, ei niiden kaksinkertainen tulo. Summan epätäydellinen neliö on yksi kuutioiden eron laajenemisen tekijöistä:

Entä jos murto-osia on jo kolme?

Kyllä, sama! Ensinnäkin varmistamme, että tekijöiden enimmäismäärä nimittäjissä on sama:

Kiinnitä huomiota: jos vaihdat merkkejä yhden sulussa, murto-osan edessä oleva merkki muuttuu päinvastaiseksi. Kun vaihdamme toisen hakasulkeen merkkejä, murtoluvun edessä oleva merkki käännetään jälleen. Tämän seurauksena hän (merkki murtoluvun edessä) ei ole muuttunut.

Kirjoitetaan ensimmäinen nimittäjä kokonaisuudessaan yhteiseen nimittäjään, ja sitten lisätään siihen kaikki tekijät, joita ei ole vielä kirjoitettu, toisesta ja sitten kolmannesta (ja niin edelleen, jos murtolukuja on enemmän). Eli se menee näin:

Hmm... Murtolukujen kanssa on selvää, mitä tehdä. Mutta entä ne kaksi?

Se on yksinkertaista: osaat lisätä murtolukuja, eikö niin? Joten sinun on varmistettava, että kakkosesta tulee murto-osa! Muista: murtoluku on jakooperaatio (osoittaja jaetaan nimittäjällä, jos unohdat yhtäkkiä). Ja mikään ei ole helpompaa kuin luvun jakaminen. Tässä tapauksessa itse numero ei muutu, vaan muuttuu murto-osaksi:

Juuri sitä mitä tarvitaan!

5. Murtolukujen kertominen ja jako.

No, vaikein osa on nyt ohi. Ja edessämme on yksinkertaisin, mutta samalla tärkein:

Menettely

Miten numeerinen lauseke lasketaan? Muista, kun otetaan huomioon tällaisen lausekkeen arvo:

Laskitko?

Sen pitäisi toimia.

Muistutan siis.

Ensimmäinen vaihe on tutkinnon laskeminen.

Toinen on kerto- ja jakolasku. Jos kerto- ja jakolaskuja on useita samaan aikaan, voit tehdä ne missä tahansa järjestyksessä.

Ja lopuksi suoritamme yhteen- ja vähennyslaskun. Jälleen missä järjestyksessä tahansa.

Mutta: suluissa oleva lauseke on arvioitu epäjärjestyksessä!

Jos useat hakasulkeet kerrotaan tai jaetaan keskenään, lasketaan ensin kunkin suluissa oleva lauseke ja sitten kerrotaan tai jaetaan ne.

Entä jos suluissa on muita sulkeita? No, ajatellaanpa: jokin ilmaus on kirjoitettu suluissa. Mikä on ensimmäinen asia, joka on tehtävä ilmaisua arvioitaessa? Aivan oikein, laske sulut. No, me selvitimme sen: ensin laskemme sisäsulut, sitten kaikki muu.

Joten yllä olevan lausekkeen toimintojen järjestys on seuraava (nykyinen toiminto on korostettu punaisella, eli toiminto, jonka suoritan juuri nyt):

Okei, kaikki on yksinkertaista.

Mutta se ei ole sama kuin ilmaisu kirjaimilla, eihän?

Ei, se on sama! Vain aritmeettisten operaatioiden sijasta on tarpeen tehdä algebrallisia operaatioita, eli edellisessä osiossa kuvatut operaatiot: tuovat samanlaisia, fraktioiden lisääminen, jakeiden vähentäminen ja niin edelleen. Ainoa ero on polynomien faktorointi (käytämme sitä usein, kun työskentelemme murtolukujen kanssa). Useimmiten tekijöihin lisäämistä varten sinun on käytettävä i-kirjainta tai yksinkertaisesti otettava yhteinen tekijä pois suluista.

Yleensä tavoitteemme on esittää lauseke tuotteena tai osamääränä.

Esimerkiksi:

Yksinkertaistetaan ilmaisua.

1) Ensin yksinkertaistetaan lauseke suluissa. Siellä meillä on murto-osien ero, ja tavoitteemme on esittää se tulona tai osamääränä. Joten tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään ja lisäämme:

Tätä ilmaisua on mahdotonta yksinkertaistaa edelleen, kaikki tekijät ovat alkeellisia (muistatko vielä, mitä tämä tarkoittaa?).

2) Saamme:

Murtolukujen kertominen: mikä voisi olla helpompaa.

3) Nyt voit lyhentää:

OK, nyt kaikki on ohi. Ei mitään monimutkaista, eikö?

Toinen esimerkki:

Yksinkertaista ilmaisu.

Yritä ensin ratkaista se itse, ja vasta sitten katso ratkaisua.

Ensinnäkin määritellään menettely. Ensin lisätään murtoluvut suluissa, kahden murtoluvun sijaan tulee yksi. Sitten teemme murto-osien jaon. No, lisäämme tuloksen viimeisellä murto-osalla. Numeroin vaiheet kaavamaisesti:

Nyt näytän koko prosessin sävyttämällä nykyisen toiminnon punaisella:

Lopuksi annan sinulle kaksi hyödyllistä vinkkiä:

1. Jos vastaavia on, ne on tuotava välittömästi. Milloin tahansa meillä on samanlaisia, ne kannattaa tuoda heti mukaan.

2. Sama pätee murto-osien vähentämiseen: heti kun tulee mahdollisuus pienentää, se on käytettävä. Poikkeuksena ovat murtoluvut, jotka lisäät tai vähennät: jos niillä on nyt samat nimittäjät, vähennys tulee jättää myöhempään.

Tässä on muutamia tehtäviä, jotka voit ratkaista itse:

Ja lupasi heti alussa:

Ratkaisut (lyhyesti):

Jos selvisit ainakin kolmesta ensimmäisestä esimerkistä, olet sitä mieltä, että hallitset aiheen.

Nyt opiskelemaan!

LAUSUN MUUNNOS. YHTEENVETO JA PERUSKAAVA

Yksinkertaistamisen perustoiminnot:

• Tuo samanlainen: lisätäksesi (vähentääksesi) samankaltaisia ​​termejä, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja määritettävä kirjainosa.
• Faktorisointi: yhteisen tekijän poistaminen suluista, soveltaminen jne.
• Fraktion vähentäminen: murto-osan osoittaja ja nimittäjä voidaan kertoa tai jakaa samalla ei-nolla-luvulla, josta murto-osan arvo ei muutu.
  1) osoittaja ja nimittäjä tekijöitä
  2) jos osoittajassa ja nimittäjässä on yhteisiä tekijöitä, ne voidaan yliviivata.

  TÄRKEÄÄ: vain kertoimia voidaan vähentää!

• Murtolukujen yhteen- ja vähennyslasku:
  ;
• Murtolukujen kerto- ja jako:
  ;

minä Lausekkeita, joissa voidaan käyttää numeroita, aritmeettisten operaatioiden merkkejä ja hakasulkuja kirjainten kanssa, kutsutaan algebrallisiksi lausekkeiksi.

Esimerkkejä algebrallisista lausekkeista:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Koska algebrallisen lausekkeen kirjain voidaan korvata joillakin eri numeroilla, kirjainta kutsutaan muuttujaksi ja itse algebrallista lauseketta kutsutaan lausekkeeksi, jossa on muuttuja.

II. Jos algebrallisessa lausekkeessa kirjaimet (muuttujat) korvataan niiden arvoilla ja määritetyt toiminnot suoritetaan, tuloksena olevaa numeroa kutsutaan algebrallisen lausekkeen arvoksi.

Esimerkkejä. Etsi lausekkeen arvo:

1) a + 2b-c kun a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| kohdassa x = -8; y = -5; z = 6.

Ratkaisu.

1) a + 2b-c kun a = -2; b = 10; c = -3,5. Muuttujien sijasta korvaamme niiden arvot. Saamme:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| kohdassa x = -8; y = -5; z = 6. Korvaamme ilmoitetut arvot. Muista, että negatiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin sen vastakkainen luku ja positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin tämä luku itse. Saamme:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Kirjaimen (muuttujan) arvoja, joille algebrallinen lauseke on järkevä, kutsutaan kirjaimen (muuttujan) kelvollisiksi arvoiksi.

Esimerkkejä. Millä muuttujan arvoilla lausekkeella ei ole järkeä?

Ratkaisu. Tiedämme, että nollalla jakaminen on mahdotonta, joten jokaisessa näistä lausekkeista ei ole järkeä sen kirjaimen (muuttujan) arvolla, joka muuttaa murtoluvun nimittäjän nollaksi!

Esimerkissä 1) tämä on arvo a = 0. Itse asiassa, jos korvaamme arvon 0, niin luku 6 on jaettava 0:lla, mutta tätä ei voi tehdä. Vastaus: lausekkeessa 1) ei ole järkeä, kun a = 0.

Esimerkissä 2) nimittäjä x - 4 = 0 kohdassa x = 4, joten tätä arvoa x = 4 ei voida ottaa. Vastaus: lauseke 2) ei ole järkevä, kun x = 4.

Esimerkissä 3) nimittäjä on x + 2 = 0, kun x = -2. Vastaus: lausekkeella 3) ei ole järkeä, kun x = -2.

Esimerkissä 4) nimittäjä on 5 -|x| = 0 |x|:lle = 5. Ja koska |5| = 5 ja |-5| \u003d 5, niin et voi ottaa x \u003d 5 ja x \u003d -5. Vastaus: lauseke 4) ei ole järkevä, kun x = -5 ja x = 5.
IV. Kahden lausekkeen sanotaan olevan identtisesti yhtä suuria, jos joillekin muuttujien sallituille arvoille näiden lausekkeiden vastaavat arvot ovat yhtä suuret.

Esimerkki: 5 (a - b) ja 5a - 5b ovat identtisiä, koska yhtälö 5 (a - b) = 5a - 5b on totta kaikille a:n ja b:n arvoille. Yhtälö 5 (a - b) = 5a - 5b on identiteetti.

Identiteetti on yhtälö, joka pätee kaikkiin siihen sisältyvien muuttujien sallittuihin arvoihin. Esimerkkejä jo tuntemistasi identiteeteista ovat esimerkiksi yhteen- ja kertolaskuominaisuudet, jakaumaominaisuus.

Yhden lausekkeen korvaamista toisella, identtisellä sen kanssa, kutsutaan identtiseksi muunnokseksi tai yksinkertaisesti lausekkeen muunnokseksi. Muuttuvien lausekkeiden identtiset muunnokset suoritetaan lukuoperaatioiden ominaisuuksien perusteella.

Esimerkkejä.

a) muuntaa lauseke identtisesti yhtä suureksi käyttämällä kertolaskuominaisuutta:

1) 10 (1,2x + 2,3 v); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Ratkaisu. Muista kertomisen distributiivinen ominaisuus (laki):

(a+b) c=a c+b c(jakelulaki kertolaskussa suhteessa yhteenlaskuun: jos haluat kertoa kahden luvun summan kolmannella luvulla, voit kertoa jokaisen termin tällä luvulla ja laskea tulokset).
(a-b) c=a c-b c(vähennyslaskua koskeva kertolaskulaki: jos haluat kertoa kahden luvun eron kolmannella luvulla, voit kertoa tällä luvulla vähennettynä ja vähennettynä erikseen ja vähentää toisen ensimmäisestä tuloksesta).

1) 10 (1,2x + 2,3 v) \u003d 10 1,2x + 10 2,3 v \u003d 12x + 23 v.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) muuntaa lauseke identtisesti yhtäläiseksi käyttämällä yhteenlaskua kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia (lakeja):

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5-2,3s.

Ratkaisu. Sovellamme lisäyksen lakeja (ominaisuuksia):

a+b=b+a(siirtymä: summa ei muutu ehtojen uudelleenjärjestelystä).
(a+b)+c=a+(b+c)(assosiatiivinen: jos haluat lisätä kolmannen luvun kahden termin summaan, voit lisätä toisen ja kolmannen summan ensimmäiseen numeroon).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

sisään) muuntaa lauseke identtisesti yhtäläiseksi käyttämällä kertolaskujen kommutatiivisia ja assosiatiivisia ominaisuuksia (lakeja):

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2v · (-yksi); 9) 3a · (-3) · 2s.

Ratkaisu. Sovelletaan kertolaskulakeja (ominaisuuksia):

a b = b a(siirtymä: tekijöiden permutaatio ei muuta tuotetta).
(a b) c=a (b c)(kombinatiivinen: jos haluat kertoa kahden luvun tulon kolmannella luvulla, voit kertoa ensimmäisen luvun toisen ja kolmannen tulolla).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2v · (-1) = 7 vuotta.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Jos algebrallinen lauseke annetaan pelkistettävänä murtolukuna, niin sitä voidaan yksinkertaistaa käyttämällä murtolukuvähennyssääntöä, ts. korvaa identtisesti sen kanssa yksinkertaisemmalla lausekkeella.

Esimerkkejä. Yksinkertaista käyttämällä murtolukuvähennystä.

Ratkaisu. Murtoluvun pienentäminen tarkoittaa jakaa sen osoittaja ja nimittäjä samalla luvulla (lausekkeella), joka ei ole nolla. Murtoluku 10) pienenee 3b; murto-osa 11) pienentää a ja murto-osa 12) pienennetään 7n. Saamme:

Algebrallisia lausekkeita käytetään kaavojen muodostamiseen.

Kaava on algebrallinen lauseke, joka on kirjoitettu yhtälönä ja joka ilmaisee kahden tai useamman muuttujan välisen suhteen. Esimerkki: tuntemasi polkukaava s=v t(s on kuljettu matka, v on nopeus, t on aika). Muista mitä muita kaavoja tiedät.

Sivu 1/1 1

Usein tehtävissä vaaditaan yksinkertaistettu vastaus. Vaikka sekä yksinkertaistetut että ei-yksinkertaistetut vastaukset ovat oikeita, opettajasi voi alentaa arvosanaasi, jos et yksinkertaista vastaustasi. Lisäksi yksinkertaistetun matemaattisen lausekkeen kanssa on paljon helpompi työskennellä. Siksi on erittäin tärkeää oppia yksinkertaistamaan ilmaisuja.

Askeleet

Matemaattisten operaatioiden oikea järjestys

1. Muista matemaattisten operaatioiden oikea järjestys. Matemaattista lauseketta yksinkertaistettaessa on noudatettava tiettyä järjestystä, koska jotkin matemaattiset toiminnot ovat etusijalla toisiin nähden ja ne on tehtävä ensin (itse asiassa oikean operaatiojärjestyksen noudattamatta jättäminen johtaa väärään tulokseen). Muista seuraava matemaattisten toimintojen järjestys: lauseke suluissa, eksponentio, kertolasku, jako, yhteen- ja vähennyslasku.

   • Huomaa, että operaatioiden oikean järjestyksen tunteminen mahdollistaa useimpien yksinkertaisten lausekkeiden yksinkertaistamisen, mutta polynomin (muuttujalausekkeen) yksinkertaistamiseksi sinun on tiedettävä erityisiä temppuja (katso seuraava osa).

2. Aloita ratkaisemalla suluissa oleva lauseke. Matematiikassa sulut osoittavat, että suljettu lauseke on ensin arvioitava. Siksi, kun yksinkertaistat mitä tahansa matemaattista lauseketta, aloita ratkaisemalla suluissa oleva lauseke (ei väliä, mitä toimintoja sinun tulee suorittaa suluissa). Mutta muista, että kun työskentelet suluissa olevan lausekkeen kanssa, sinun tulee noudattaa toimintojen järjestystä, eli suluissa olevat termit ensin kerrotaan, jaetaan, lisätään, vähennetään ja niin edelleen.

   • Yksinkertaistetaan esimerkiksi lauseke 2x + 4 (5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tässä aloitetaan suluissa olevilla lausekkeilla: 5 + 2 = 7 ja 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Toisen sulkuparin lauseke yksinkertaistuu viiteen, koska 4/2 on jaettava ensin (oikean operaatiojärjestyksen mukaan). Jos et noudata tätä järjestystä, saat väärän vastauksen: 3 + 4 = 7 ja 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jos suluissa on toinen sulkupari, aloita yksinkertaistaminen ratkaisemalla sisäsuluissa oleva lauseke ja siirry sitten ulompien sulkeiden lausekkeen ratkaisemiseen.

3. Nosta tehoon. Kun olet ratkaissut suluissa olevat lausekkeet, siirry potenssiin korotukseen (muista, että potenssilla on eksponentti ja kanta). Nosta vastaava lauseke (tai luku) potenssiin ja korvaa tulos sinulle annetulla lausekkeella.

   • Esimerkissämme ainoa lauseke (luku) potenssissa on 3 2: 3 2 = 9. Korvaa sinulle annetussa lausekkeessa 9 luvun 3 2 sijasta ja saat: 2x + 4(7) + 9 - 5 .

4. Kerro. Muista, että kertolasku voidaan merkitä seuraavilla symboleilla: "x", "∙" tai "*". Mutta jos luvun ja muuttujan (esimerkiksi 2x) tai luvun ja luvun välissä ei ole symboleja (esimerkiksi 4(7)), tämä on myös kertolasku.

   • Esimerkissämme on kaksi kertolaskua: 2x (kaksi kertaa x) ja 4(7) (neljä kertaa seitsemän). Emme tiedä x:n arvoa, joten jätämme lausekkeen 2x sellaisenaan. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Nyt voit kirjoittaa sinulle annetun lausekkeen uudelleen seuraavasti: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Jakaa. Muista, että jakotoiminto voidaan merkitä seuraavilla merkeillä: "/", "÷" tai "-" (viimeinen merkki, jonka näet murtolukuina). Esimerkiksi 3/4 on kolme jaettuna neljällä.

   • Esimerkissämme ei ole enää jakoa, koska jaoit jo 4:llä kahdella (4/2), kun ratkaisit sulkulausekkeen. Siksi voit siirtyä seuraavaan vaiheeseen. Muista, että useimmissa lausekkeissa ei ole kaikkia matemaattisia operaatioita kerralla (vain osa niistä).

6. Taittaa kokoon. Kun lisäät lausekkeen termejä, voit aloittaa uloimmalla (vasemmalla) termillä tai lisätä ensin termit, jotka sopivat yhteen helposti. Esimerkiksi lausekkeessa 49 + 29 + 51 +71 on ensin helpompi lisätä 49 + 51 = 100, sitten 29 + 71 = 100 ja lopuksi 100 + 100 = 200. Näin lisääminen on paljon vaikeampaa : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Esimerkissämme 2x + 28 + 9 + 5 on kaksi yhteenlaskutoimintoa. Aloitetaan äärimmäisimmällä (vasemmalla) termillä: 2x + 28; et voi lisätä 2x ja 28, koska et tiedä x:n arvoa. Lisää siis 28 + 9 = 37. Nyt lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: 2x + 37 - 5.

7. Vähentää. Tämä on viimeinen operaatio oikeassa järjestyksessä matemaattisten operaatioiden. Tässä vaiheessa voit lisätä myös negatiivisia lukuja tai voit tehdä sen jäsenten lisäysvaiheessa - tämä ei vaikuta lopputulokseen millään tavalla.

   • Esimerkissämme 2x + 37 - 5 on vain yksi vähennysoperaatio: 37 - 5 = 32.

8. Tässä vaiheessa, kun olet tehnyt kaikki matemaattiset toiminnot, sinun pitäisi saada yksinkertaistettu lauseke. Mutta jos sinulle annettu lauseke sisältää yhden tai useamman muuttujan, muista, että muuttujan sisältävä jäsen pysyy sellaisena kuin se on. Muuttujalla olevan lausekkeen ratkaiseminen (eikä yksinkertaistaminen) edellyttää kyseisen muuttujan arvon löytämistä. Joskus lausekkeita, joissa on muuttuja, voidaan yksinkertaistaa erityisillä menetelmillä (katso seuraava osa).

   • Esimerkissämme lopullinen vastaus on 2x + 32. Et voi lisätä kahta termiä ennen kuin tiedät x:n arvon. Kun tiedät muuttujan arvon, voit helposti yksinkertaistaa tätä binomia.

   Monimutkaisten lausekkeiden yksinkertaistaminen

   1. Samankaltaisten termien lisäys. Muista, että voit vähentää ja lisätä vain samanlaisia ​​termejä, eli termejä, joilla on sama muuttuja ja sama eksponentti. Voit esimerkiksi lisätä 7x ja 5x, mutta et voi lisätä 7x ja 5x 2 (koska eksponentit ovat erilaiset tässä).

      • Tämä sääntö koskee myös jäseniä, joilla on useita muuttujia. Voit esimerkiksi lisätä 2xy 2 ja -3xy 2 , mutta et voi lisätä 2xy 2 ja -3x 2 y tai 2xy 2 ja -3y 2 .
      • Harkitse esimerkkiä: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tässä samankaltaiset termit ovat 3x ja 8x, joten ne voidaan laskea yhteen. Yksinkertaistettu lauseke näyttää tältä: x 2 - 5x + 6.

   2. Yksinkertaista numero. Tällaisessa murto-osassa sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät numeroita (ilman muuttujaa). Numeerista murtolukua yksinkertaistetaan useilla tavoilla. Ensin vain jaa nimittäjä osoittajalla. Toiseksi, kerro osoittaja ja nimittäjä ja peruuta samat tekijät (koska kun jaat luvun itsellään, saat 1). Toisin sanoen, jos sekä osoittajalla että nimittäjällä on sama kerroin, voit hylätä sen ja saada yksinkertaistetun murtoluvun.

      • Ajatellaan esimerkiksi murto-osaa 36/60. Jaa 36 laskimella 60:llä ja saat 0,6. Mutta voit yksinkertaistaa tätä murtolukua toisella tavalla ottamalla huomioon osoittaja ja nimittäjä: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Koska 6/6 \u003d 1, sitten yksinkertaistettu murto-osa: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Mutta tätä murto-osaa voidaan myös yksinkertaistaa: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.

   3. Jos murto-osa sisältää muuttujan, voit pienentää samat tekijät muuttujalla. Kerro sekä osoittaja että nimittäjä ja peruuta samat tekijät, vaikka ne sisältävät muuttujan (muista, että tässä samat tekijät voivat sisältää muuttujan tai eivät).

      • Harkitse esimerkkiä: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Tämä lauseke voidaan kirjoittaa (kerroin) uudelleen muotoon: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Koska 3x-termi on sekä osoittajassa että nimittäjässä, sitä voidaan pienentää, jotta saat yksinkertaistetun lausekkeen: (x + 1)/(5 - x). Harkitse toista esimerkkiä: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Huomaa, että et voi peruuttaa yhtään termiä - vain samat tekijät, jotka ovat sekä osoittajassa että nimittäjässä, peruutetaan. Esimerkiksi lausekkeessa (x(x + 2))/x muuttuja (kertoja) "x" on sekä osoittajassa että nimittäjässä, joten "x" voidaan pienentää ja saada yksinkertaistettu lauseke: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Lausekkeessa (x + 2)/x muuttujaa "x" ei kuitenkaan voida pienentää (koska osoittajassa "x" ei ole tekijä).

   4. Avaa sulkumerkki. Voit tehdä tämän kertomalla hakasulkujen ulkopuolella olevan termin jokaisella suluissa olevalla termillä. Joskus monimutkaisen ilmaisun yksinkertaistaminen auttaa. Tämä koskee sekä jäseniä, jotka ovat alkulukuja, että jäseniä, jotka sisältävät muuttujan.

      • Esimerkiksi 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ja 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Huomaa, että murtolausekkeissa sulkuja ei tarvitse avata, jos sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät saman kertoimen. Esimerkiksi lausekkeessa (3(x 2 + 8)) / 3x sinun ei tarvitse laajentaa sulkeita, koska täällä voit pienentää tekijää 3 ja saada yksinkertaistetun lausekkeen (x 2 + 8) / x. Tämän ilmaisun kanssa on helpompi työskennellä; jos laajentaisit sulkuja, saat seuraavan monimutkaisen lausekkeen: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Kerroin polynomit. Tällä menetelmällä voit yksinkertaistaa joitain lausekkeita ja polynomeja. Factoring on sulujen laajennuksen vastakohta, eli lauseke kirjoitetaan kahden lausekkeen tulona, ​​joista jokainen on suljettu suluissa. Joissakin tapauksissa factoring mahdollistaa saman lausekkeen lyhentämisen. Erityistapauksissa (yleensä toisen asteen yhtälöillä) faktorointi mahdollistaa yhtälön ratkaisemisen.

      • Tarkastellaan lauseketta x 2 - 5x + 6. Se jaetaan tekijöiksi: (x - 3) (x - 2). Jos siis esimerkiksi annetaan lauseke (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), voit kirjoittaa sen uudelleen muotoon (x - 3)(x - 2)/(2(x) - 2)), pienennä lauseketta (x - 2) ja saat yksinkertaistetun lausekkeen (x - 3) / 2.
      • Polynomien faktorointia käytetään yhtälöiden ratkaisemiseen (juurien etsimiseen) (yhtälö on polynomi, joka on yhtä suuri kuin 0). Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä x 2 - 5x + 6 \u003d 0. Kerrottaessa se tekijöiksi, saadaan (x - 3) (x - 2) \u003d 0. Koska mikä tahansa lauseke kerrottuna 0:lla on 0, voimme kirjoittaa sen näin : x - 3 = 0 ja x - 2 = 0. Siten x = 3 ja x = 2, eli olet löytänyt sinulle annetun yhtälön kaksi juuria.

Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen on yksi algebran oppimisen avaimista ja erittäin hyödyllinen taito kaikille matemaatikoille. Yksinkertaistamisen avulla voit pelkistää monimutkaisen tai pitkän lausekkeen yksinkertaiseksi lausekkeeksi, jonka kanssa on helppo työskennellä. Yksinkertaistamisen perustaidot ovat hyviä myös niille, jotka eivät ole innostuneet matematiikasta. Noudattamalla muutamia yksinkertaisia ​​sääntöjä monia yleisimmistä algebrallisten lausekkeiden tyypeistä voidaan yksinkertaistaa ilman erityistä matemaattista tietoa.

Askeleet

Tärkeitä määritelmiä

1. Samanlaisia ​​jäseniä. Nämä ovat jäseniä, joilla on sama muuttuja, jäseniä, joilla on samat muuttujat, tai vapaita jäseniä (jäseniä, jotka eivät sisällä muuttujaa). Toisin sanoen samanlaiset termit sisältävät yhden muuttujan samassa laajuudessa, sisältävät useita identtisiä muuttujia tai eivät sisällä muuttujaa ollenkaan. Lausekkeen termien järjestyksellä ei ole väliä.

   • Esimerkiksi 3x 2 ja 4x 2 ovat samanlaisia ​​termejä, koska ne sisältävät toisen asteen muuttujan "x" (toisessa potenssissa). X ja x 2 eivät kuitenkaan ole samanlaisia ​​jäseniä, koska ne sisältävät muuttujan "x" eri järjestyksessä (ensimmäinen ja toinen). Vastaavasti -3yx ja 5xz eivät ole samanlaisia ​​jäseniä, koska ne sisältävät erilaisia ​​muuttujia.

2. Faktorisointi. Tämä on sellaisten lukujen löytämistä, joiden tulo johtaa alkuperäiseen numeroon. Millä tahansa alkuperäisellä numerolla voi olla useita tekijöitä. Esimerkiksi luku 12 voidaan jakaa seuraaviin tekijöiden sarjaan: 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4, joten voimme sanoa, että luvut 1, 2, 3, 4, 6 ja 12 ovat tekijöiden tekijöitä. numero 12. Tekijät ovat samat kuin jakajat , eli luvut, joilla alkuperäinen luku on jaollinen.

   • Jos esimerkiksi haluat kertoa luvun 20, kirjoita se näin: 4×5.
   • Huomaa, että factoring-laskennassa muuttuja otetaan huomioon. Esimerkiksi 20x = 4 (5x).
   • Alkulukuja ei voida kertoa, koska ne ovat jaollisia vain itsellään ja 1:llä.

3. Muista ja noudata toimintojen järjestystä virheiden välttämiseksi.

   • Sulkumerkit
   • Tutkinto
   • Kertominen
   • Division
   • Lisäys
   • Vähennyslasku

   Casting Like Members

   1. Kirjoita ilmaisu muistiin. Yksinkertaisimmat algebralliset lausekkeet (jotka eivät sisällä murtolukuja, juuria ja niin edelleen) voidaan ratkaista (yksinkertaistaa) vain muutamassa vaiheessa.

      • Yksinkertaistaa esimerkiksi lauseketta 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Määrittele samanlaiset jäsenet (jäsenet, joilla on sama muuttuja, jäsenet samoilla muuttujilla tai vapaat jäsenet).

      • Etsi samanlaisia ​​termejä tästä lausekkeesta. Termit 2x ja 4x sisältävät samassa järjestyksessä olevan muuttujan (ensimmäinen). Myös 1 ja -3 ovat vapaita jäseniä (eivät sisällä muuttujaa). Siten tässä ilmaisussa termit 2x ja 4x ovat samanlaisia, ja jäsenet 1 ja -3 ovat myös samanlaisia.

   3. Anna samanlaisia ​​jäseniä. Tämä tarkoittaa niiden lisäämistä tai vähentämistä ja lausekkeen yksinkertaistamista.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Kirjoita lauseke uudelleen ottaen huomioon annetut termit. Saat yksinkertaisen lausekkeen, jossa on vähemmän termejä. Uusi lauseke on sama kuin alkuperäinen.

      • Esimerkissämme: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, eli alkuperäinen lauseke on yksinkertaistettu ja helpompi käsitellä.

   5. Noudata järjestystä, jossa toiminnot suoritetaan, kun syötät samanlaisia ​​termejä. Esimerkissämme oli helppo tuoda samanlaisia ​​termejä. Kuitenkin monimutkaisissa lausekkeissa, joissa jäsenet on suljettu suluissa ja murto- ja juuret ovat läsnä, tällaisten termien tuominen ei ole niin helppoa. Noudata näissä tapauksissa toimintojen järjestystä.

      • Harkitse esimerkiksi lauseketta 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tässä olisi virhe määritellä heti 3x ja 2x samanlaisiksi termeiksi ja lainata niitä, koska ensin on laajennettava sulkeita. Siksi suorita toiminnot niiden järjestyksessä.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nyt, kun lauseke sisältää vain yhteen- ja vähennysoperaatioita, voit heittää samankaltaisia ​​termejä.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Kerroin sulkeissa

   1. Etsi lausekkeen kaikkien kertoimien suurin yhteinen jakaja (gcd). GCD on suurin luku, jolla kaikki lausekkeen kertoimet ovat jaollisia.

      • Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä 9x 2 + 27x - 3. Tässä tapauksessa gcd=3, koska mikä tahansa tämän lausekkeen kerroin on jaollinen kolmella.

   2. Jaa lausekkeen jokainen termi gcd:llä. Tuloksena olevat termit sisältävät pienempiä kertoimia kuin alkuperäisessä lausekkeessa.

      • Esimerkissämme jaa jokainen lauseketermi 3:lla.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ilmeestä selvisi 3x2 + 9x-1. Se ei ole sama kuin alkuperäinen ilmaus.

   3. Kirjoita alkuperäinen lauseke yhtä suureksi kuin gcd:n tulo kertaa tuloksena oleva lauseke. Eli merkitse tuloksena oleva lauseke sulkeisiin ja laita GCD pois suluista.

      • Esimerkissämme: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Yksinkertaistaa murtolukulausekkeita ottamalla kertoimen pois suluista. Miksi kertoja otetaan pois suluista, kuten aiemmin tehtiin? Sitten opit yksinkertaistamaan monimutkaisia ​​lausekkeita, kuten murto-osalausekkeita. Tässä tapauksessa kertoimen jättäminen pois suluista voi auttaa pääsemään eroon murto-osasta (nimittäjästä).

      • Harkitse esimerkiksi murtolauseketta (9x 2 + 27x - 3)/3. Käytä sulkeita yksinkertaistaaksesi tätä lauseketta.
        • Laske kerroin 3 (kuten teit aiemmin): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Huomaa, että sekä osoittajalla että nimittäjällä on nyt numero 3. Tätä voidaan pienentää ja saat lausekkeen: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Koska mikä tahansa murtoluku, jonka nimittäjässä on numero 1, on yhtä suuri kuin osoittaja, alkuperäinen murtolukulauseke yksinkertaistetaan seuraavasti: 3x2 + 9x-1.

   Muita yksinkertaistamistekniikoita

4. Harkitse yksinkertaista esimerkkiä: √(90). Luku 90 voidaan jakaa seuraaviin tekijöihin: 9 ja 10, ja 9:stä ota neliöjuuri (3) ja ota 3 juuren alta.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Yksinkertaistaa ilmaisuja voimilla. Joissakin lausekkeissa on termien kerto- tai jakooperaatioita asteella. Jos termit kerrotaan yhdellä kantalla, niiden asteet lasketaan yhteen; kun kyseessä on jakotermit, joilla on sama kanta, niiden asteet vähennetään.

   • Harkitse esimerkiksi lauseketta 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Kertolaskutapauksessa lisää eksponentit ja jakotapauksessa vähennä ne.
     • 6 x 3 x 8 x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Seuraavassa on selitys termien kerto- ja jakamissäännöstä asteella.
     • Termien kertominen valtuuksilla vastaa termien kertomista itsestään. Esimerkiksi, koska x 3 = x × x × x ja x 5 = x × x × x × x × x, niin x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × × x) tai x 8 .
     • Samoin termien jakaminen valtuuksilla vastaa termien jakamista itsestään. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Koska samanlaisia ​​termejä, jotka ovat sekä osoittajassa että nimittäjässä, voidaan vähentää, kahden "x":n tai x 2:n tulo jää osoittajaan.

• Ole aina tietoinen ilmaisuehtojen edessä olevista merkeistä (plus tai miinus), koska monien ihmisten on vaikea valita oikea merkki.
• Pyydä apua tarvittaessa!
• Algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistaminen ei ole helppoa, mutta jos saat sen käsiisi, voit käyttää tätä taitoa elämäsi ajan.

Algebrallista lauseketta, jonka tietueessa yhteen-, vähennys- ja kertolaskuoperaatioiden lisäksi käytetään myös jakoa kirjaimellisiin lausekkeisiin, kutsutaan murtoalgebralliseksi lausekkeeksi. Tällaisia ​​ovat esimerkiksi ilmaisut

Kutsumme algebrallista murtolukua algebralliseksi lausekkeeksi, joka on kahden kokonaislukualgebrallisen lausekkeen (esimerkiksi monomien tai polynomin) jakoosamäärän muoto. Tällaisia ​​ovat esimerkiksi ilmaisut

kolmas ilmaisuista).

Murtoalgebrallisten lausekkeiden identiteettimuunnokset on suurimmaksi osaksi tarkoitettu esittämään ne algebrallisena murtolukuna. Yhteisen nimittäjän löytämiseksi käytetään murto-osien nimittäjien tekijöihin jakoa, jotta löydettäisiin niiden pienin yhteinen kerrannainen. Algebrallisia murtolukuja pienennettäessä voidaan rikkoa lausekkeiden tiukkaa identiteettiä: on välttämätöntä sulkea pois suureiden arvot, joilla vähennystekijä katoaa.

Annetaan esimerkkejä identtisistä murtoalgebrallisten lausekkeiden muunnoksista.

Esimerkki 1: Yksinkertaista lauseke

Kaikki termit voidaan lyhentää yhteiseksi nimittäjäksi (on kätevä vaihtaa merkki viimeisen termin nimittäjässä ja merkki sen edessä):

Lausekkeemme on yhtä suuri kuin yksi kaikille arvoille paitsi näille arvoille, sitä ei ole määritelty ja murto-osien pienentäminen on laitonta).

Esimerkki 2. Esitä lauseke algebrallisena murtolukuna

Ratkaisu. Lauseke voidaan ottaa yhteisenä nimittäjänä. Löydämme peräkkäin:

Harjoitukset

1. Etsi algebrallisten lausekkeiden arvot parametrien määritetyille arvoille:

2. Factorisoi.