यह एक ऐसा पिंड है जिसकी सतह पर सीमित संख्या में समतल बहुभुज होते हैं। बहुफलक कहलाता है उत्तल, यदि यह अपनी सतह पर प्रत्येक समतल बहुभुज के तल के एक तरफ स्थित है। ऐसे समतल के उभयनिष्ठ भाग और उत्तल बहुभुज की सतह को कहा जाता है किनारा.
नीचे दिया गया चित्र बाईं ओर एक गैर-उत्तल बहुफलक दिखाता है; दाईं ओर के चित्र में - उत्तल।

उत्तल बहुफलक के फलक समतल उत्तल बहुभुज होते हैं। चेहरों के किनारे कहलाते हैं बहुफलक के किनारे, और चेहरों के शीर्ष हैं बहुफलक के शीर्ष.

चश्मे

चश्मेएक बहुफलक कहलाता है, जिसमें अलग-अलग तलों में स्थित दो समतल बहुभुज होते हैं और समानांतर अनुवाद द्वारा संयुक्त होते हैं, और इन बहुभुजों के संगत बिंदुओं को जोड़ने वाले सभी खंड होते हैं (चित्र देखें)। बहुभुज कहलाते हैं प्रिज्म आधार, और संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड हैं प्रिज्म के पार्श्व किनारे.

पदनाम: .
प्रिज्म की पार्श्व सतह समांतर चतुर्भुजों से बनी होती है। उनमें से प्रत्येक की दो भुजाएँ हैं, जो आधार की संगत भुजाएँ हैं, और अन्य दो आसन्न पार्श्व पसलियाँ हैं। प्रिज्म के आधार बराबर हैं और समानांतर तल में स्थित हैं। प्रिज्म के पार्श्व किनारे समानांतर और बराबर हैं। प्रिज्म की ऊंचाईइसके आधारों के तलों के बीच की दूरी कहलाती है।
प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला वह खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, कहलाता है प्रिज्म विकर्ण. (चित्र ऊंचाई और विकर्ण दर्शाता है।)
विकर्ण खंड- ये दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले विमानों द्वारा प्रिज्म के खंड हैं जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं हैं (चित्र देखें)।

प्रिज्म कहा जाता है सीधा, यदि इसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत हैं। अन्यथा प्रिज्म कहा जाता है इच्छुक.
सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयताकार होते हैं, सीधे प्रिज्म की ऊंचाई पार्श्व किनारे के बराबर होती है, विकर्ण खंड आयत होते हैं।
पार्श्व सतहएक प्रिज्म के पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। पूर्ण प्रिज्म सतहपार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर।
प्रमेय 1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होती है, अर्थात पार्श्व किनारे की लंबाई।
प्रिज्म का लंबवत खंडहम अनुभाग को प्रिज्म के किनारे के किनारे पर लंबवत एक विमान कहेंगे (जिसका अर्थ है कि यह विमान प्रिज्म के सभी किनारे के किनारों पर लंबवत है)।
प्रमेय 2. एक झुके हुए प्रिज्म की पार्श्व सतह पार्श्व किनारे की लंबाई और लंबवत खंड की परिधि के उत्पाद के बराबर होती है।
चित्र एक लम्बवत अनुभाग दिखाता है।
एसबी = एच ⋅ पीबुनियादी;
एसएन = एसबी + 2 एसबुनियादी
एसबी = एल ⋅ पीटेर;
एसएन = एसबी + 2 एसबुनियादी

जाहिर है, यह प्रमेय सीधे प्रिज्म के मामले में भी सच है, क्योंकि तब लंबवत खंड प्रिज्म के आधारों के विमानों के समानांतर एक विमान द्वारा एक खंड होगा।
कृपया ध्यान दें: यदि एक निश्चित बहुभुज एक प्रिज्म का लंबवत खंड है, तो उसके आंतरिक कोण संबंधित पार्श्व चेहरों के बीच के डायहेड्रल कोणों के रैखिक कोण होते हैं।
सीधे प्रिज्म के मामले में, पार्श्व फलकों के बीच के द्विफलकीय कोणों के रैखिक कोण सीधे आधार के कोण होते हैं।
उदाहरण
चित्र एक सीधा प्रिज्म दिखाता है।

- चेहरों और के बीच डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण।
प्रिज्म कहा जाता है सही, अगर:
यह एक नियमित बहुभुज पर आधारित है;
प्रिज्म सीधा है.

समानांतर खात

समांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसके आधार पर एक समांतर चतुर्भुज होता है।
समांतर चतुर्भुज के सभी फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं।
समांतर चतुर्भुज के वे फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, कहलाते हैं विलोम.
प्रमेय 1. समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर और सम हैं।
एक समान्तर चतुर्भुज सभी मामलों में एक समान्तर चतुर्भुज ही रहता है जब हम इसके किसी भी फलक को इसका आधार मानते हैं (चित्र देखें)।
प्रमेय 2. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित होते हैं।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसकी समरूपता का केंद्र है।
कृपया ध्यान दें: एक समांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं, जो जोड़े में एक दूसरे के बराबर होते हैं।
छवि पर; .
यह झुके हुए लोगों के गुणों से निम्नानुसार है - आधार के तल पर समान लम्ब ए बी सी डी।

यदि किसी समकोण समांतर चतुर्भुज के दो विकर्ण आसन्न शीर्षों से निकलते हैं, तो बड़ा वह है जो आधार के प्रमुख विकर्ण में प्रक्षेपित होता है, अर्थात, समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जो अधिक कोण के विपरीत स्थित होता है। इसलिए, यदि उपरोक्त चित्र में हम कोण पर विचार करते हैं एबीसीमूर्ख, हम इसे समझ लेंगे, .
एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार समांतर चतुर्भुज(तस्वीर देखने)।

एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के सभी फलक आयत होते हैं जिन्हें बराबर के तीन युग्मों में विभाजित किया जा सकता है। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के एक मनमाने चेहरे को इसका आधार माना जा सकता है। यह ध्यान में रखते हुए कि समानांतर डिज़ाइन में, एक मनमाना समांतर चतुर्भुज को एक मनमाना समांतर चतुर्भुज द्वारा दर्शाया जा सकता है, एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की छवि किसी भी तरह से किसी भी सही समांतर चतुर्भुज की छवि से अलग नहीं है।
गैर-समानांतर किनारों की लंबाई कहलाती है रैखिक आयाम(माप) एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज का।
प्रमेय 3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में, सभी विकर्ण बराबर होते हैं। एक विकर्ण का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी द्विफलकीय कोण समकोण होते हैं।
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में समान विकर्ण खंडों के तीन जोड़े होते हैं। इनमें से प्रत्येक खंड एक आयत है (चित्र देखें)।

खंडों का प्रत्येक जोड़ा विपरीत फलकों के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के अनुदिश प्रतिच्छेद करता है। इन बिंदुओं के बीच के खंड समानांतर हैं और आयताकार समांतर चतुर्भुज के किनारों में से एक के बराबर हैं।
एक समकोण त्रिभुज, जो एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण, पार्श्व फलक के विकर्ण और आधार के पार्श्व से बनता है (चित्र देखें)। उदाहरण के लिए, ।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज में समरूपता का एक केंद्र होता है - यह इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इसमें चेहरों के समानांतर समरूपता के केंद्र से होकर गुजरने वाले समरूपता के तीन तल भी हैं।
एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है घनक्षेत्र.
किसी घन के किसी भी विकर्ण खंड का तल उसका सममिति तल होता है। इस प्रकार, घन में सममिति के नौ तल हैं।
चित्र में, हम एक समांतर चतुर्भुज के कुछ तत्वों की सापेक्ष स्थिति पर विचार करते हैं:

- पार्श्व फलक के विकर्ण और आधार के तल के बीच का कोण (- लंबवत, - झुका हुआ, सीडी- प्रक्षेपण).
- एक समकोण समांतर चतुर्भुज के विकर्ण और आधार के तल के बीच का कोण (- लंबवत, - झुका हुआ, एसी- प्रक्षेपण).
- पार्श्व फलक पर विकर्ण के झुकाव का कोण ( विज्ञापन- लंबवत, - तिरछा, - प्रक्षेपण)।
मान लीजिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है (चित्र देखें), जहाँ ए बी सी डी- रोम्बस आइए हम आधार के विकर्ण से गुजरने वाले एक विमान के साथ इसका खंड बनाएं बी.डीऔर शीर्ष.

अनुप्रस्थ काट में हमें एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है।
- आधार और खंड के तलों के बीच डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण। एक समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों के अनुसार, - लंबवत, - तिरछा, सीओ- प्रक्षेपण. तीन लंबों के प्रमेय के अनुसार: .

पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसमें एक समतल बहुभुज होता है - पिरामिड का आधार, एक बिंदु जो आधार के तल में न हो - पिरामिड का शीर्ष और पिरामिड के शीर्ष को आधार के बिंदुओं से जोड़ने वाले सभी खंड। पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्षों से जोड़ने वाले खंड कहलाते हैं पार्श्व पसलियाँ.
पिरामिड की ऊंचाई- पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतारा गया एक लंब।
पिरामिड कहा जाता है एन-कोयला, यदि इसका आधार है एन-गोन. त्रिकोणीय पिरामिड भी कहा जाता है चतुर्पाश्वीय. पिरामिड का पार्श्व मुख- त्रिकोण. इसका एक शीर्ष पिरामिड का शीर्ष है, और विपरीत पक्ष पिरामिड के आधार का पक्ष है।
छवि पर इसलिए- पिरामिड की ऊंचाई. तब - पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण ( इसलिए- लंबवत, एसए- झुका हुआ, ओए- प्रक्षेपण).

पिरामिड की ऊंचाई के आधार से (बिंदु में) आधार के किनारे पर एक लंब खींचिए (उदाहरण के लिए, ऐ). इस लंब का आधार (बिंदु) एफ) पिरामिड के शीर्ष से जुड़ें (बिंदु एस). तीन लंबों के प्रमेय के अनुसार: . ( इसलिए- लंबवत, सपा- झुका हुआ, का- प्रक्षेपण, निर्माण द्वारा।) इसलिए, - पार्श्व फलक के तल के बीच डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण एएसईऔर आधार का तल.
पिरामिड की समस्याओं को हल करने के लिए यह पता लगाना बहुत ज़रूरी है कि इसकी ऊँचाई का आधार कहाँ स्थित है।
1. यदि निम्नलिखित में से कम से कम एक शर्त पूरी होती है:
पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं;
सभी पार्श्व पसलियां एक ही कोण पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं;
सभी पार्श्व पसलियां पिरामिड की ऊंचाई के साथ समान कोण बनाती हैं;
सभी पार्श्व किनारे ऊंचाई के आधार से समान दूरी पर हैं, तो पिरामिड की ऊंचाई का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र है।
पार्श्व पसली एल, ऊंचाई एचऔर त्रिज्या आरवृत्त के आधार के चारों ओर परिचालित एक समकोण त्रिभुज बनता है:

इस मामले में, पार्श्व सतह को सूत्र द्वारा पाया जा सकता है, जहां एल- पार्श्व किनारे की लंबाई, ... - शीर्ष पर समतल कोण।
2. यदि निम्नलिखित में से कम से कम एक शर्त पूरी होती है:
सभी पार्श्व फलक आधार तल पर एक ही कोण पर झुके हुए हैं;
सभी पार्श्व फलकों की ऊँचाई समान है;
पार्श्व फलकों की ऊंचाई पिरामिड की ऊंचाई के साथ समान कोण बनाती है;
पार्श्व फलक ऊंचाई के आधार से समान दूरी पर हैं, फिर ऊंचाई का आधार पिरामिड के आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में स्थित है।
छवि पर - आयताकार, - में अंकित वृत्त की त्रिज्या एबीसीडीईएफ;

- पिरामिड की ऊंचाई, सपा- पार्श्व चेहरे की ऊंचाई;
- पार्श्व फलक और आधार तल के बीच डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण;
के बारे में- आधार में अंकित वृत्त का केंद्र, अर्थात द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु एबीसीडीईएफ.
इस मामले में ।
3. यदि पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत है, तो यह किनारा पिरामिड की ऊंचाई है (चित्र देखें)।

इस मामले में और - पार्श्व पसलियों के झुकाव के कोण एस.वीऔर अनुसूचित जातिक्रमशः आधार के तल पर। पार्श्व फलकों के बीच द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है एस.ए.सी.और एस.बी.ए..
4. यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर लंबवत है (चित्र देखें), तो पिरामिड की ऊंचाई इस फलक की ऊंचाई होगी (प्रमेय के अनुसार "यदि दो लंबवत तलों में से एक में पड़ी एक सीधी रेखा है उनके प्रतिच्छेदन की रेखा के लंबवत, फिर यह दूसरे तल पर लंबवत है”)।
5. यदि दो पार्श्व फलक आधार के तल पर लंबवत हैं, तो पिरामिड की ऊंचाई उनका उभयनिष्ठ पार्श्व किनारा है।

पिरामिड की ऊँचाई के आधार से दूरियाँ

पिरामिड की ऊंचाई के आधार से पार्श्व किनारे तक की दूरी एक बिंदु से गिराया गया लंबवत है के बारे मेंइस किनारे पर (चित्र देखें)। कृपया ध्यान दें:, लेकिन चित्र में सीधा नहीं होना चाहिए: समानांतर डिजाइन के दौरान कोण संरक्षित नहीं होते हैं।
का- ऊंचाई के आधार से पार्श्व किनारे तक की दूरी एस.ई.;
पर- ऊंचाई के आधार से पार्श्व किनारे तक की दूरी ए.एस.बी.(इस दूरी को नीचे अधिक विस्तार से देखें)।

, किनारे के बीच का कोण कहां है एस.ई.और आधार का तल.

ऊँचाई के आधार से पार्श्व किनारे तक की दूरी

मान लीजिए, फिर तीन लंबों के प्रमेय द्वारा। इस तरह, अबविमान के लंबवत एसओके. अत:, यदि, तब परविमान के लंबवत ए.एस.बी..
.
पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और इसकी ऊंचाई का आधार बहुभुज के केंद्र से मेल खाता है। एक्सिसएक नियमित पिरामिड की वह रेखा होती है जिसमें उसकी ऊंचाई होती है। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर होते हैं, पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम. यह पार्श्व फलक का समद्विभाजक और माध्यिका है, क्योंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रमेय. एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह आधार और एपोथेम की परिधि के उत्पाद के बराबर होती है।
; ,
कहाँ आर- आधार परिधि, ए- आधार पक्ष, एल- एपोटेम की लंबाई.
नियमित त्रिकोणीय पिरामिड
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज होता है, जिसे एक मनमाना त्रिभुज द्वारा दर्शाया जाता है (चित्र देखें)।

केंद्र इसके समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो ऊंचाई और मध्यिका दोनों हैं। समानांतर डिज़ाइन में, माध्यिकाओं को माध्यिका के रूप में दर्शाया गया है। इसलिए, हम आधार की दो माध्यिकाएँ बनाते हैं। उनके प्रतिच्छेदन का बिंदु पिरामिड की ऊंचाई का आधार है। हम ऊंचाई दर्शाते हैं, और फिर पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्ष से जोड़ते हैं। हमें पार्श्व पसलियाँ मिलती हैं।
चित्र में: - आधार के तल पर पार्श्व पसली के झुकाव का कोण (सभी पसलियों के लिए समान); - आधार के तल पर पार्श्व फलक के झुकाव का कोण (सभी फलकों के लिए समान)।
होने देना ।
तब ; ; ;
; ; .
इस तरह, ।
; .
अक्षीय खंड तल ए.एस.डी.एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का सममिति तल है।
यह तल आधार के तल और किनारे के तल के लंबवत है बीएससी.
यह भी ध्यान रखना दिलचस्प है कि पिरामिड के क्रॉसिंग किनारे ( एस.ए.और ईसा पूर्व, एस.बी.और एसी।, अनुसूचित जाति।और अब) लंबवत हैं। तो अगर परऊंचाई के आधार से न केवल अभिशाप तक की दूरी है, बल्कि पार्श्व मुख तक भी है बीएससी.
.
नियमित चतुर्भुज पिरामिड
एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर एक वर्ग स्थित है, जिसे एक मनमाना समांतर चतुर्भुज के रूप में दर्शाया गया है। इसका केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह बिंदु पिरामिड की ऊंचाई का आधार है।
चलो वर्ग के किनारे ए(तस्वीर देखने)।
तब ;
;
;
;
.

कृपया ध्यान दें: , , अर्थात्।
समानांतर डिज़ाइन के साथ, समानता कायम रहती है।
; .
ऊंचाई के आधार से पार्श्व किनारे तक की दूरी:
; .

नियमित षटकोणीय पिरामिड
एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज होता है (चित्र देखें)। इसका केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यह बिंदु पिरामिड की ऊंचाई का आधार है।
तब ;
एक नियमित षट्भुज की भुजा दें ए.
;
;

.
; .

कटा हुआ पिरामिड
पिरामिड द्वारा काटा गयाएक बहुफलक कहलाता है जो तब बना रहेगा यदि समान शीर्ष वाले पिरामिड को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा पिरामिड से अलग कर दिया जाए।
प्रमेय. एक समतल जो पिरामिड के आधार के समानांतर होता है और उसे काटता है, एक समान पिरामिड को काट देता है।
कृपया ध्यान दें: कटे हुए पिरामिड को सही ढंग से चित्रित करने के लिए, आपको मूल पूर्ण पिरामिड के चित्रण से शुरुआत करनी होगी (चित्र देखें)।

काटे गए पिरामिड के आधार समान बहुभुज होते हैं। पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं। - काटे गए पिरामिड की ऊंचाई, - पार्श्व फलक की ऊंचाई, - आधार के तल (कोई भी) पर पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण, - निचले तल के तल पर पार्श्व फलक के झुकाव का कोण आधार।
नियमित रूप से कटा हुआ पिरामिड- यह एक छोटा पिरामिड है जिसे एक नियमित पिरामिड से लिया गया है।
इसकी पार्श्व पसलियां समान होती हैं और आधार के तल पर एक ही कोण पर झुकी होती हैं। इसके पार्श्व फलक क्षैतिज समलम्बाकार के बराबर हैं और निचले आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं। पिरामिड के पार्श्व फलकों की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम्स.
एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह आधारों और एपोथेम की परिधि के आधे योग के गुणनफल के बराबर होती है।
, कहाँ पीएन और पी- संगत आधारों की परिधि, एल- एपोटेम।
तस्वीरें ऐसे आंकड़े दिखाती हैं जिन पर कटे हुए पिरामिड से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय विचार करना बहुत उपयोगी हो सकता है।
;
.

;


- आयताकार समलम्बाकार।
- काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।
- पार्श्व किनारे की ऊंचाई.

ऐसे मामले में जब काटे गए पिरामिड नियमित होते हैं, खंड ओ.डी.और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, और काऔर - क्रमशः निचले और ऊपरी आधारों के लिए अंकित वृत्त की त्रिज्या।

नियमित पॉलीहेड्रा

उत्तल बहुफलक कहलाता है सही, यदि इसके फलक समान संख्या में भुजाओं वाले नियमित बहुफलक हैं और बहुफलक के प्रत्येक शीर्ष पर समान संख्या में किनारे मेल खाते हैं।
नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा पांच प्रकार के होते हैं: नियमित टेट्राहेड्रोन, क्यूब, ऑक्टाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन।
1. एक नियमित चतुष्फलक के फलक नियमित त्रिभुज होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन संपाती किनारे होते हैं। टेट्राहेड्रोन एक त्रिकोणीय पिरामिड है जिसके सभी किनारे बराबर होते हैं।
2. एक घन के सभी फलक वर्ग होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन संपाती किनारे होते हैं। एक घन समान किनारों वाला एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज है।
3. अष्टफलक के फलक नियमित त्रिभुज होते हैं। इसके प्रत्येक शीर्ष पर चार संपाती किनारे हैं।
4. डोडेकाहेड्रोन के फलक नियमित पंचकोण हैं। इसके प्रत्येक शीर्ष पर, तीन किनारे मिलते हैं।
5. इकोसाहेड्रोन के फलकों में नियमित त्रिभुज होते हैं। इसके प्रत्येक शीर्ष पर पाँच किनारे मिलते हैं।
आंकड़े नामों के साथ नियमित पॉलीहेड्रा के उदाहरण दिखाते हैं।

नगर शैक्षणिक संस्थान

व्यायामशाला संख्या 26

ज्यामिति

पॉलीहेड्रा के मुख्य प्रकार और उनके गुण

प्रदर्शन किया:

9वीं-पहली कक्षा का छात्र

बायसाकोवा लियाज़ात

अध्यापक:

सियोसेवा ऐलेना अलेक्सेवना

चेल्याबिंस्क

परिचय

अब तक, ज्यामिति पाठ्यक्रम में, हम प्लैनिमेट्री का अध्ययन कर रहे हैं - हमने समतल ज्यामितीय आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया है, अर्थात, पूरी तरह से एक विमान में स्थित आकृतियाँ। लेकिन हमारे आस-पास की अधिकांश वस्तुएँ पूरी तरह से सपाट नहीं हैं, वे अंतरिक्ष में स्थित हैं। ज्यामिति की वह शाखा जिसमें अंतरिक्ष में आकृतियों के गुणों का अध्ययन किया जाता है, कहलाती है स्टीरियोमेट्री (अन्य ग्रीक से στερεός, "स्टीरियोस" - "ठोस, स्थानिक" और μετρέω - "मैं मापता हूं")।

अंतरिक्ष में मुख्य आकृतियाँ हैं डॉट , सीधाऔर विमान. इन सरलतम आकृतियों के साथ-साथ, ज्यामितीय निकायों और उनकी सतहों को स्टीरियोमेट्री में माना जाता है। ज्यामितीय निकायों का अध्ययन करते समय, ड्राइंग में छवियों का उपयोग करें।

चित्र 1 चित्र 2

चित्र 1 एक पिरामिड दिखाता है, चित्र 2 एक घन दिखाता है। इन ज्यामितीय निकायों को कहा जाता है बहुफलकआइए पॉलीहेड्रा के कुछ प्रकार और गुणों पर नजर डालें।

बहुआयामी सतह. बहुतल

एक बहुफलकीय सतह समतल बहुभुजों की एक सीमित संख्या का एक संघ है, जैसे कि किसी भी बहुभुज का प्रत्येक पक्ष एक ही समय में दूसरे (लेकिन केवल एक) बहुभुज का पक्ष होता है, जिसे पहले बहुभुज के निकट कहा जाता है।

बहुफलकीय सतह बनाने वाले किसी भी बहुभुज से, आप आसन्न बहुभुज के साथ चलते हुए किसी अन्य तक पहुँच सकते हैं।

बहुफलकीय सतह बनाने वाले बहुभुज इसके फलक कहलाते हैं; बहुभुज की भुजाओं को किनारा कहा जाता है, और शीर्षों को बहुफलकीय सतह का शीर्ष कहा जाता है।

चित्र 1 बहुभुजों के संघों को दर्शाता है जो निर्दिष्ट आवश्यकताओं को पूरा करते हैं और बहुफलकीय सतह हैं। चित्र 2 ऐसे आंकड़े दिखाता है जो बहुफलकीय सतह नहीं हैं।

एक बहुफलकीय सतह अंतरिक्ष को दो भागों में विभाजित करती है - बहुफलकीय सतह का आंतरिक क्षेत्र और बाहरी क्षेत्र। दोनों क्षेत्रों में से, बाहरी क्षेत्र वह होगा जिसमें पूरी तरह से क्षेत्र से संबंधित सीधी रेखाएँ खींचना संभव है।

5 एक बहुफलकीय सतह और उसके आंतरिक क्षेत्र के मिलन को बहुफलकीय कहा जाता है। इस मामले में, बहुफलकीय सतह और उसके आंतरिक क्षेत्र को क्रमशः बहुफलक की सतह और आंतरिक क्षेत्र कहा जाता है। एक बहुफलक की सतह के फलकों, किनारों और शीर्षों को क्रमशः बहुफलक के फलक, किनारों और शीर्षों कहा जाता है।

पिरामिड

एक बहुफलक, जिसका एक फलक एक मनमाना बहुफलक हो और शेष फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हों, पिरामिड कहलाता है।

बहुभुज को पिरामिड का आधार कहा जाता है, और शेष फलकों (त्रिकोणों) को पिरामिड के पार्श्व फलक कहा जाता है।

त्रिभुजाकार, चतुर्भुजाकार, पंचकोणीय आदि होते हैं। पिरामिड, पिरामिड के आधार पर स्थित बहुभुज के प्रकार पर निर्भर करता है।

त्रिकोणीय पिरामिड को चतुष्फलक भी कहा जाता है। चित्र 1 में एक चतुर्भुज पिरामिड SABCD दिखाया गया है जिसका आधार ABCD है और भुजाएँ SAB, SBC, SCD, SAD की ओर हैं।

पिरामिड के मुखों के किनारों को पिरामिड का किनारा कहा जाता है। पिरामिड के आधार से संबंधित पसलियों को आधार पसलियां कहा जाता है, और अन्य सभी पसलियों को पार्श्व पसलियां कहा जाता है। सभी त्रिभुजों (पार्श्व फलकों) के उभयनिष्ठ शीर्ष को पिरामिड का शीर्ष कहा जाता है (चित्र 1 में, बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है, खंड SA, SB, SC, SD पार्श्व किनारे हैं, खंड AB, BC, CD, AD आधार के किनारे हैं)।

पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड एस के शीर्ष से आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड है (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं)। चित्र 1 में SO पिरामिड की ऊंचाई है।

सही पिरामिड. एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि पिरामिड का आधार एक नियमित बहुभुज है, और आधार के तल पर शीर्ष का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण पिरामिड के आधार पर स्थित बहुभुज के केंद्र के साथ मेल खाता है।

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं; सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊंचाई को इस पिरामिड का एपोथेम कहा जाता है। चित्र 2 में एसएन एक एपोथेम है। एक नियमित पिरामिड के सभी एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं।

चश्मे

एक बहुफलक जिसके दो फलक बराबर हों एन-गॉन समानांतर विमानों में झूठ बोलते हैं, और बाकी एनफलक समांतर चतुर्भुज कहलाते हैं एन- कार्बन प्रिज्म.

बहुफलकीय पिरामिड प्रिज्म समान्तर चतुर्भुज

बराबर का जोड़ा एन-गोन्स को प्रिज्म का आधार कहा जाता है। प्रिज्म के शेष फलक उसके पार्श्व फलक कहलाते हैं तथा उनके संयोजन को प्रिज्म का पार्श्व फलक कहते हैं। चित्र 1 एक पंचकोणीय प्रिज्म दिखाता है।

प्रिज्म के मुखों के किनारों को पसलियाँ कहा जाता है, और पसलियों के सिरों को प्रिज्म का शीर्ष कहा जाता है। वे पसलियाँ जो प्रिज्म के आधार से संबंधित नहीं होती हैं, पार्श्व पसलियाँ कहलाती हैं।

वह प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों, सीधा प्रिज्म कहलाता है। अन्यथा, प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है।

प्रिज्म के आधारों के तलों के लंबवत एक खंड, जिसके सिरे इन तलों से संबंधित होते हैं, प्रिज्म की ऊंचाई कहलाता है।

एक समकोण प्रिज्म जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, नियमित प्रिज्म कहलाता है।

समानांतर खात

समांतर चतुर्भुज एक षट्भुज है जिसके विपरीत फलक जोड़े में समानांतर होते हैं। समानांतर खातइसके 8 शीर्ष, 12 किनारे हैं; इसके फलक जोड़ीवार समान समांतर चतुर्भुज हैं।

समानांतर खातइसे सीधा कहा जाता है यदि इसके पार्श्व किनारे आधार के तल के लंबवत हों (इस मामले में, 4 पार्श्व फलक आयत हैं); आयताकार यदि यह समानांतर खातसीधा और आधार एक आयत है (इसलिए, 6 फलक आयत हैं);

समानांतर खात, जिसके सभी फलक वर्ग हों, घन कहलाता है।

आयतन समानांतर खातइसके आधार के क्षेत्रफल और इसकी ऊंचाई के गुणनफल के बराबर।

शरीर का आयतन

प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन में एक आयतन होता है जिसे चयनित आयतन इकाई का उपयोग करके मापा जा सकता है। आयतन माप की इकाई एक घन है, जिसका किनारा खंडों की माप की इकाई के बराबर है। 1 सेमी किनारे वाले घन को कहा जाता है घन सेंटीमीटर. समान रूप से परिभाषित घन मापीऔर घन मिलीमीटर, वगैरह।

माप की चयनित इकाई के साथ आयतन मापने की प्रक्रिया में, किसी पिंड के आयतन को एक सकारात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो दर्शाता है कि आयतन और उसके हिस्सों की माप की कितनी इकाइयाँ इस पिंड में फिट होती हैं। किसी पिंड के आयतन को व्यक्त करने वाली संख्या आयतन माप की इकाई की पसंद पर निर्भर करती है। इसलिए, वॉल्यूम इकाई को इस संख्या के बाद दर्शाया गया है।

आयतन के मूल गुण:

1. समान पिंडों का आयतन समान होता है।

2. यदि कोई पिंड कई पिंडों से बना है, तो उसका आयतन इन पिंडों के आयतन के योग के बराबर होता है।

पिंडों का आयतन ज्ञात करने के लिए, कुछ मामलों में नामक प्रमेय का उपयोग करना सुविधाजनक होता है कैवलियरी सिद्धांत .

कैवेलियरी का सिद्धांत इस प्रकार है: यदि, जब दो पिंड किसी दिए गए तल के समानांतर किसी तल से प्रतिच्छेद करते हैं, तो समान क्षेत्रफल वाले खंड प्राप्त होते हैं, तो पिंडों का आयतन एक दूसरे के बराबर होता है।

निष्कर्ष

तो, पॉलीहेड्रा का अध्ययन ज्यामिति की एक शाखा द्वारा किया जाता है जिसे स्टीरियोमेट्री कहा जाता है। पॉलीहेड्रा विभिन्न प्रकार (पिरामिड, प्रिज्म, आदि) में आते हैं और उनके अलग-अलग गुण होते हैं। साथ ही, यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि पॉलीहेड्रा, सपाट आकृतियों के विपरीत, आयतन वाले होते हैं और अंतरिक्ष में स्थित होते हैं।

हमारे आस-पास की अधिकांश वस्तुएँ अंतरिक्ष में हैं, और पॉलीहेड्रा के अध्ययन से हमें ज्यामिति के दृष्टिकोण से हमारे आस-पास की वास्तविकता का अंदाजा लगाने में मदद मिलती है।

ग्रन्थसूची

1. ज्यामिति। ग्रेड 7-9 के लिए पाठ्यपुस्तक।

3. विकिपीडिया

बहुतल- एक पिंड जिसकी सतह पर सीमित संख्या में बहुभुज होते हैं जिन्हें बहुफलकीय फलक कहते हैं। इन बहुभुजों की भुजाओं और शीर्षों को क्रमशः बहुफलक के किनारे और शीर्ष कहा जाता है। फलकों की संख्या के आधार पर 4-हेड्रा, 5-हेड्रा आदि को प्रतिष्ठित किया जाता है। दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है, बहुफलक का विकर्ण कहलाता है।

बहुफलक की खोज का इतिहास प्राचीन काल से जाता है। पॉलीहेड्रा का पहला उल्लेख ईसा पूर्व तीन हजार साल पहले मिस्र और बेबीलोन में मिलता है।

एक पॉलीहेड्रॉन एक स्थानिक आकृति (स्थानिक शरीर) है। दृश्य रूप से, एक शरीर की कल्पना एक भौतिक शरीर द्वारा कब्जाए गए स्थान के एक हिस्से के रूप में की जानी चाहिए और एक सतह द्वारा सीमित की जानी चाहिए। पॉलीहेड्रा का अध्ययन स्टीरियोमेट्री अनुभाग में किया जाता है। ज्यामिति की एक शाखा जो स्थानिक आकृतियों की स्थिति, आकार, आकार और गुणों का अध्ययन करती है। शब्द "स्टीरियोमेट्री" ग्रीक शब्द "στερεοσ" से आया है - वॉल्यूमेट्रिक, स्थानिक और "μετρεο" - मापने के लिए।

पॉलीहेड्रा के उदाहरण हैं:

घनक्षेत्र- एक बहुफलक जिसकी सतह पर छह वर्ग होते हैं। एक घन (नियमित हेक्साहेड्रोन) के सभी फलक - वर्ग होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारे मिलते हैं। एक घन समान किनारों वाला एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज है। एक समान्तर चतुर्भुज और एक प्रिज्म का एक विशेष मामला। घन में 12 किनारे, 6 फलक, 8 शीर्ष हैं।

समानांतर खात- एक बहुफलक जिसकी सतह पर छह समांतर चतुर्भुज होते हैं। एक समांतर चतुर्भुज के वे फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते, विपरीत कहलाते हैं। एक समान्तर चतुर्भुज के विपरीत फलक समान्तर और बराबर होते हैं। एक समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण, सामान्यतः एक बहुफलक की तरह, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही फलक पर स्थित नहीं होते हैं।

आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समांतर चतुर्भुज जिसके फलक आयताकार होते हैं। एक शीर्ष से फैले आयताकार समांतर चतुर्भुज के किनारों की लंबाई को इसके आयाम या रैखिक आयाम कहा जाता है। एक आयताकार समान्तर चतुर्भुज के तीन आयाम होते हैं।

दायां समान्तर चतुर्भुजचार आयताकार पार्श्व फलकों वाला एक समांतर चतुर्भुज है।

झुका हुआ समानान्तर चतुर्भुजएक समांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं हैं।

चश्मे- एक बहुफलक, जिसकी सतह में दो समान बहुभुज होते हैं, जिन्हें प्रिज्म का आधार कहा जाता है, और समांतर चतुर्भुज जिनमें प्रत्येक आधार के साथ उभयनिष्ठ भुजाएँ होती हैं। बहुभुज को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, और उनके संगत शीर्षों को जोड़ने वाले खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे हैं। प्रिज्म के आधार बराबर हैं और समानांतर तल में स्थित हैं। प्रिज्म के पार्श्व किनारे बराबर और समानांतर हैं। प्रिज्म की सतह में दो आधार और एक पार्श्व सतह होती है। किसी भी प्रिज्म की पार्श्व सतह में समांतर चतुर्भुज होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो भुजाएँ होती हैं जो आधारों की संगत भुजाएँ होती हैं, और अन्य दो आसन्न भुजाएँ होती हैं। ऊँचाई प्रिज्म का तात्पर्य प्रिज्म के एक आधार के एक बिंदु से दूसरे आधार के तल तक खींचे गए लंबों में से एक है।

सीधा प्रिज्म- इसे तब कहा जाता है जब इसके किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों। अन्यथा, प्रिज्म को झुका हुआ कहा जाता है। पार्श्व फलक आयताकार होते हैं। सीधे प्रिज्म का पार्श्व किनारा इसकी ऊंचाई है।

सही प्रिज्म- एक सीधा प्रिज्म जिसका आधार नियमित बहुभुज हैं।

पिरामिड- एक बहुफलक जिसकी सतह एक बहुभुज से बनी होती है, जिसे पिरामिड का आधार कहा जाता है, और त्रिकोण जिनमें एक सामान्य शीर्ष होता है। पिरामिड के शीर्ष को आधार के शीर्षों से जोड़ने वाले खंड पार्श्व किनारे कहलाते हैं। पिरामिड की सतह में एक आधार और पार्श्व फलक होते हैं। प्रत्येक पार्श्व फलक एक त्रिभुज है। इसका एक शीर्ष पिरामिड का शीर्ष है, और विपरीत पक्ष पिरामिड के आधार का पक्ष है। पिरामिड की ऊंचाई पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक खींची गई लम्ब है। एक पिरामिड को एन-गोनल कहा जाता है यदि इसका आधार एन-गॉन है। त्रिकोणीय पिरामिड को चतुष्फलक भी कहा जाता है।

सही पिरामिड- एक पिरामिड जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और जिसके सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं। एक नियमित पिरामिड की धुरी एक सीधी रेखा होती है जिसमें उसकी ऊँचाई होती है। एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक खींची गई पार्श्व सतह की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है।

प्लेटो के ठोस- एक बहुफलक, जिसके सभी फलक नियमित और समान बहुभुज हों, नियमित कहलाता है। ऐसे बहुफलक के शीर्षों पर बने कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

नियमित पॉलीहेड्रा पांच प्रकार के होते हैं। इन पॉलीहेड्रा और उनके गुणों का वर्णन दो हजार साल से भी पहले प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो द्वारा किया गया था, जो उनके सामान्य नाम की व्याख्या करता है।

प्रत्येक नियमित बहुफलक दूसरे नियमित बहुफलक से मेल खाता है, जिसके फलकों की संख्या दिए गए बहुफलक के शीर्षों की संख्या के बराबर होती है। दोनों पॉलीहेड्रा में किनारों की संख्या समान है। इसमे शामिल है:

चतुष्फलक(अग्नि)- नियमित चतुष्फलक. यह चार समबाहु त्रिभुजों से घिरा है (यह एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड है)। एक चतुष्फलक में 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।

एक नियमित चतुष्फलक के फलक नियमित त्रिभुज होते हैं; प्रत्येक शीर्ष पर तीन किनारे मिलते हैं। एक नियमित टेट्राहेड्रोन पांच नियमित पॉलीहेड्रा में से एक है।

अष्टफलक(वायु)- नियमित अष्टफलक। इसमें आठ समबाहु और समान त्रिभुज होते हैं, जो प्रत्येक शीर्ष पर चार से जुड़े होते हैं। ऑक्टाहेड्रोन के चेहरे नियमित त्रिकोण होते हैं, लेकिन टेट्राहेड्रोन के विपरीत, प्रत्येक शीर्ष पर चार किनारे मिलते हैं। नियमित ऑक्टाहेड्रोन घन से दोहरा होता है। यह चतुष्फलक का पूर्ण कटाव है। एक नियमित अष्टफलक तीन ओर्थोगोनल दिशाओं में से किसी एक में एक वर्गाकार दोहरा पिरामिड है। यह चार दिशाओं में से किसी एक में एक त्रिकोणीय एंटीप्रिज्म भी है। एक ऑक्टाहेड्रोन हाइपरऑक्टाहेड्रोन की अधिक सामान्य अवधारणा का एक त्रि-आयामी संस्करण है।

हेक्साहेड्रोन (पृथ्वी)- नियमित षट्कोण. यह एक घन है जिसमें छह समान वर्ग होते हैं।

द्वादशफ़लक- नियमित डोडेकाहेड्रोन, इसमें बारह नियमित और समान पंचकोण होते हैं, जो प्रत्येक शीर्ष के पास तीन से जुड़े होते हैं। डोडेकाहेड्रोन में 12 फलक (पंचकोणीय), 30 किनारे और 20 शीर्ष (प्रत्येक पर 3 किनारे मिलते हैं) होते हैं।

इकोसाहेड्रोन (जल)- इसमें 20 समबाहु और समान त्रिभुज होते हैं, जो प्रत्येक शीर्ष के पास पांच से जुड़े होते हैं। किनारों की संख्या 30 है, शीर्षों की संख्या 12 है। इकोसाहेड्रोन में 59 तारामंडल हैं।

पॉलीहेड्रा उत्तल या गैर-उत्तल हो सकता है। एक बहुफलक को उत्तल कहा जाता है यदि वह अपने प्रत्येक फलक के तल के एक ओर स्थित हो। चतुष्फलक, समांतर चतुर्भुज और अष्टफलक उत्तल बहुफलक हैं। यह स्पष्ट है कि उत्तल बहुफलक के सभी फलक उत्तल बहुभुज हैं। यह आसानी से सिद्ध किया जा सकता है कि उत्तल बहुफलक में प्रत्येक शीर्ष पर सभी समतल कोणों का योग 360° से कम होता है।

उत्तल बहुफलक के लिए, यूलर का प्रमेय B + G - P = 2 सत्य है, जहाँ B बहुफलक के शीर्षों की संख्या है, G फलकों की संख्या है, P किनारों की संख्या है।

एक उत्तल बहुफलक, जिसके सभी शीर्ष दो समानांतर तलों में स्थित होते हैं, प्रिज्मेटॉइड कहलाता है। प्रिज्म, पिरामिड और ट्रंकेटेड पिरामिड प्रिज्मेटॉइड के विशेष मामले हैं। प्रिज्मेटॉइड के सभी पार्श्व फलक त्रिभुज या चतुर्भुज होते हैं, और चतुर्भुज फलक समलम्ब चतुर्भुज या समांतर चतुर्भुज होते हैं।

बहुफलक को भी नियमित और अनियमित में विभाजित किया गया है। एक बहुफलक को नियमित कहा जाता है यदि उसके फलक नियमित बहुभुज हों (अर्थात् जिनकी सभी भुजाएँ और कोण बराबर हों) और शीर्षों पर सभी बहुफलकीय कोण समान हों। नियमित पॉलीहेड्रा को प्राचीन काल से जाना जाता है। काफी हद तक, नियमित पॉलीहेड्रा का अध्ययन प्राचीन यूनानियों द्वारा किया गया था। यूक्लिड ने तत्वों की अंतिम, XIII पुस्तक में नियमित पॉलीहेड्रा का संपूर्ण गणितीय विवरण दिया है। वहाँ भी है अर्धनियमित पॉलीहेड्रा- सामान्य स्थिति में, ये विभिन्न उत्तल पॉलीहेड्रा हैं, जो नियमित नहीं हैं, फिर भी उनकी कुछ विशेषताएं हैं, उदाहरण के लिए: सभी चेहरे समान हैं, या सभी चेहरे नियमित बहुभुज हैं, या कुछ स्थानिक समरूपताएं हैं। परिभाषा अलग-अलग हो सकती है और इसमें विभिन्न प्रकार के पॉलीहेड्रा शामिल हो सकते हैं, लेकिन मुख्य रूप से इसमें आर्किमिडीयन ठोस शामिल हैं।

तारा बहुफलक (तारकीय पिंड) एक गैर-उत्तल बहुफलक है जिसके फलक एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। गैर-तारकीय बहुफलक की तरह, फलक किनारों पर जोड़े में जुड़े होते हैं (इस मामले में, आंतरिक प्रतिच्छेदन रेखाओं को किनारा नहीं माना जाता है)। एक बहुफलक का तारा आकार एक बहुफलक है जो किसी दिए गए बहुफलक के फलकों को इसके माध्यम से फैलाकर प्राप्त किया जाता है किनारों को तब तक मोड़ें जब तक कि वे अगली बार नए किनारों के साथ अन्य चेहरों के साथ प्रतिच्छेद न कर दें।

नियमित तारकीय पॉलीहेड्रा- ये तारकीय बहुफलक हैं, जिनके फलक समान (सर्वांगसम) नियमित या तारकीय बहुभुज हैं। पांच शास्त्रीय नियमित पॉलीहेड्रा (प्लेटोनिक ठोस) के विपरीत, ये पॉलीहेड्रा उत्तल ठोस नहीं हैं।

1811 में, ऑगस्टिन लू कॉची ने स्थापित किया कि केवल 4 नियमित तारकीय पिंड हैं (इन्हें केपलर-पॉइन्सॉट पिंड कहा जाता है), जो प्लेटोनिक और तारकीय पिंडों के यौगिक नहीं हैं। इनमें छोटे तारकीय डोडेकाहेड्रोन और महान तारकीय डोडेकाहेड्रोन शामिल हैं, जिनकी खोज 1619 में जोहान्स केपलर ने की थी, साथ ही महान डोडेकाहेड्रोन और महान इकोसाहेड्रोन, जिनकी खोज 1809 में लुई पॉइन्सोट ने की थी। शेष नियमित तारकीय पॉलीहेड्रा या तो प्लेटोनिक ठोस के यौगिक हैं या केपलर-पॉइन्सॉट ठोस के यौगिक हैं।

अर्धनियमित तारकीय पॉलीहेड्रा- ये तारकीय बहुफलक हैं, जिनके फलक नियमित या तारकीय बहुभुज हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि वही हों। इस स्थिति में, सभी शीर्षों की संरचना समान (एकरूपता की स्थिति) होनी चाहिए। जी. कॉक्सेटर, एम. लॉन्गुएट-हिगिंस और जे. मिलर ने 1954 में 53 ऐसे निकायों को सूचीबद्ध किया और अनुमान लगाया कि उनकी सूची पूरी हो गई है। बहुत बाद में, 1969 में, एस.पी. सोपोव यह साबित करने में कामयाब रहे कि उनके द्वारा प्रस्तुत पॉलीहेड्रा की सूची वास्तव में पूरी थी।

तारकीय पॉलीहेड्रा के कई रूप प्रकृति द्वारा ही सुझाए गए हैं। उदाहरण के लिए, बर्फ के टुकड़े स्टार पॉलीहेड्रा के समतल प्रक्षेपण हैं। कुछ अणुओं में त्रि-आयामी आकृतियों की नियमित संरचना होती है।

पॉलीहेड्रा के गुण:

संपत्ति 1. एक उत्तल बहुफलक में, सभी फलक उत्तल बहुभुज होते हैं।

संपत्ति 2. एक उत्तल बहुफलक एक सामान्य शीर्ष वाले पिरामिडों से बना हो सकता है, जिसके आधार बहुफलक की सतह बनाते हैं।

गुण 3. एक उत्तल बहुफलक इसके प्रत्येक फलक के तल के एक ओर स्थित होता है।

संपत्ति 4. किसी भी उत्तल बहुफलक में एक फलक होता है जिसके किनारों की संख्या पांच से कम या उसके बराबर होती है।

सभी सूचीबद्ध प्रकार के पॉलीहेड्रा का प्राथमिक विद्यालय में अध्ययन और अनुप्रयोग नहीं किया जाता है। अक्सर, गणित के पाठों में छात्र घन, बहुभुज, पिरामिड, सिलेंडर और समानांतर चतुर्भुज से परिचित हो जाते हैं। पाठ्यपुस्तक लेखकों का एक उदाहरण ए.आई. इस्तोमिना है। तीसरी कक्षा, डोरोफीव जी.वी., मिराकोवा टी.एन., बुका टी.बी. तीसरी कक्षा, डेमिडोवा टी.ई., कोज़लोवा एस.ए., टोंकिख ए.पी. तीसरा ग्रेड; वे वैसे ही शुरू करते हैं, वे दूसरी कक्षा में परिचित होते हैं, यह डोरोफीव जी.वी., मिराकोवा टी.एन. की पाठ्यपुस्तकों का एक उदाहरण है। दूसरा दर्जा।

इस प्रकार, हमने एक बहुफलक की अवधारणाओं और उसके गुणों की जांच की। बहुफलक के प्रकार सूचीबद्ध किये गये। हमने बहुफलक की खोज के इतिहास के बारे में जाना। यह स्थापित किया गया है कि पॉलीहेड्रा प्रकृति और मनुष्यों के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, पॉलीहेड्रा का उपयोग निर्माण में किया जाता है।

त्रिफलकीय और बहुफलकीय कोण:
त्रिफलकीय कोण एक आकृति है
से निकलने वाली तीन किरणों से घिरे तीन तलों से निर्मित
एक बिंदु और एक में झूठ नहीं बोलना
विमान।
आइए कुछ फ्लैट पर विचार करें
बहुभुज और बाहर स्थित एक बिंदु
इस बहुभुज के समतल.
आइए इस बिंदु से किरणें निकालें,
चोटियों से गुज़रना
बहुभुज. हमें एक आंकड़ा मिलेगा
जिसे बहुफलकीय कहते हैं
कोण।

त्रिफलकीय कोण अंतरिक्ष का एक भाग है
एक उभयनिष्ठ के साथ तीन समतल कोणों से घिरा हुआ
शीर्ष
और
जोंड़ों में
सामान्य
दलों,
नहीं
एक ही तल में लेटे हुए. इनके बारे में सामान्य शीर्ष
कोने
बुलाया
शीर्ष
त्रिफलकीय
कोना।
कोणों की भुजाओं को किनारा, समतल कोण कहते हैं
त्रिफलकीय कोण के शीर्ष पर इसे कहा जाता है
किनारों. त्रिफलकीय कोण के फलकों के तीन जोड़े में से प्रत्येक
एक द्विफलकीय कोण बनाता है

त्रिफलकीय कोण के मूल गुण
1. त्रिफलकीय कोण का प्रत्येक समतल कोण योग से कम होता है
इसके अन्य दो समतल कोण.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - समतल कोण,
ए, बी, सी - विमानों द्वारा गठित डायहेड्रल कोण
कोण β और γ, α और γ, α और β।
2. त्रिफलकीय कोण के समतल कोणों का योग कम होता है
360 डिग्री
3. प्रथम कोसाइन प्रमेय
त्रिफलकीय कोण के लिए
4. त्रिफलकीय कोणों के लिए दूसरा कोसाइन प्रमेय

,
5. ज्या का प्रमेय
एक बहुफलकीय कोण जिसका आंतरिक क्षेत्रफल
प्रत्येक के तल के एक तरफ स्थित है
इसके फलकों को उत्तल बहुफलकीय कहा जाता है
कोण। अन्यथा बहुफलकीय कोण
गैर-उत्तल कहा जाता है.

बहुफलक एक पिंड, एक सतह है
जिसमें एक परिमित संख्या होती है
समतल बहुभुज.

बहुफलकीय तत्व
एक बहुफलक के फलक हैं
बहुभुज वह
रूप।
एक बहुफलक के किनारे भुजाएँ हैं
बहुभुज.
एक बहुफलक के शीर्ष हैं
बहुभुज के शीर्ष.
एक बहुफलक का विकर्ण होता है
दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड,
एक ही चेहरे से संबंधित नहीं.

बहुकोणीय आकृति
उत्तल
गैर-उत्तल

एक बहुफलक को उत्तल कहा जाता है
यदि यह एक तरफ स्थित है
प्रत्येक बहुभुज का समतल
सतहों.

उत्तल पॉलीहेडल कोण

एक बहुफलकीय कोण उत्तल होता है तो उसे उत्तल कहा जाता है
आकृति, यानी, इसके किन्हीं दो बिंदुओं के साथ, इसमें पूरी तरह से शामिल है
उन्हें जोड़ने वाला खंड.
यह आंकड़ा उदाहरण दिखाता है
उत्तल
और
गैर-उत्तल
बहुफलकीय कोण.
प्रमेय. उत्तल बहुफलकीय कोण के सभी समतल कोणों का योग 360° से कम होता है।

उत्तल पॉलीहेड्स

एक बहुफलकीय कोण को उत्तल कहा जाता है यदि यह एक उत्तल आकृति है,
यानी, इसके किन्हीं दो बिंदुओं के साथ, इसमें पूरी तरह से कनेक्टिंग शामिल है
उनका खंड.
घन, समान्तर चतुर्भुज, त्रिकोणीय प्रिज्म और पिरामिड उत्तल हैं
बहुफलक
यह चित्र उत्तल और गैर-उत्तल पिरामिड के उदाहरण दिखाता है।

संपत्ति 1

संपत्ति 1. एक उत्तल बहुफलक में, सभी फलक होते हैं
उत्तल बहुभुज.
वास्तव में, मान लीजिए कि F बहुफलक का कोई फलक है
एम, और बिंदु ए, बी उत्तल स्थिति से एफ का सामना करते हैं
पॉलीहेड्रॉन एम, यह इस प्रकार है कि खंड एबी पूरी तरह से समाहित है
पॉलीहेड्रॉन एम में। चूंकि यह खंड विमान में स्थित है
बहुभुज एफ, यह पूरी तरह से इसमें समाहित होगा
बहुभुज, अर्थात F एक उत्तल बहुभुज है।

संपत्ति 2

संपत्ति 2. प्रत्येक उत्तल बहुफलक से बना जा सकता है
एक सामान्य शीर्ष वाले पिरामिड, जिनके आधार एक सतह बनाते हैं
बहुफलक
वास्तव में, मान लीजिए कि M एक उत्तल बहुफलक है। चलो कुछ ले लो
पॉलीहेड्रॉन एम का आंतरिक बिंदु एस, यानी इसका ऐसा बिंदु जो नहीं है
बहुफलक M के किसी भी फलक से संबंधित नहीं है। बिंदु S को इससे जोड़ें
खंडों द्वारा पॉलीहेड्रॉन एम के शीर्ष। ध्यान दें कि उत्तलता के कारण
पॉलीहेड्रॉन एम, ये सभी खंड एम में समाहित हैं। पिरामिडों पर विचार करें
शीर्ष S, जिसके आधार बहुफलक M के फलक हैं
पिरामिड पूरी तरह से एम में समाहित हैं, और सभी मिलकर पॉलीहेड्रॉन एम बनाते हैं।

नियमित पॉलीहेड्रा

यदि एक बहुफलक के फलक हैं
एक और के साथ नियमित बहुभुज
प्रत्येक शीर्ष पर भुजाओं की समान संख्या
बहुफलक समान संख्या में अभिसरण करता है
किनारे, फिर एक उत्तल बहुफलक
सही कहा जाता है.

पॉलीहेड्रा के नाम

प्राचीन ग्रीस से आये,
वे चेहरों की संख्या दर्शाते हैं:
"हेड्रोन" चेहरा;
"टेट्रा" 4;
"हेक्सा" 6;
"ओक्टा" 8;
"इकोस" 20;
"डोडेका" 12.

नियमित चतुष्फलक

चावल। 1
चार से बना है
समभुज
त्रिभुज। प्रत्येक
इसका शीर्ष है
तीन में से शीर्ष
त्रिभुज।
इसलिए, राशि
समतल कोण पर
प्रत्येक शीर्ष बराबर है
180º.

नियमित अष्टफलक
चावल। 2
आठ से बना है
समभुज
त्रिभुज। प्रत्येक
अष्टफलक का शीर्ष
शीर्ष है
चार त्रिकोण.
इसलिए, राशि
समतल कोण पर
प्रत्येक शीर्ष 240º है।

नियमित इकोसाहेड्रोन
चावल। 3
बीस से बना है
समभुज
त्रिभुज। प्रत्येक
इकोसाहेड्रोन का शीर्ष
पांच में से शीर्ष पर है
त्रिभुज।
इसलिए, राशि
समतल कोण पर
प्रत्येक शीर्ष बराबर है
300º.

घन (हेक्साहेड्रोन)

चावल।
4
छह से बना है
वर्ग. प्रत्येक
घन का शीर्ष है
तीन वर्गों का शीर्ष.
इसलिए, राशि
प्रत्येक के लिए समतल कोण
शीर्ष 270º है।

नियमित डोडेकाहेड्रोन
चावल। 5
बारह से बना है
सही
पंचकोण. प्रत्येक
डोडेकाहेड्रोन का शीर्ष
तीन में से शीर्ष है
सही
पंचकोण.
इसलिए, राशि
समतल कोण पर
प्रत्येक शीर्ष बराबर है
324º.

तालिका क्रमांक 1
सही
बहुतल
संख्या
चेहरे के
चोटियों
पसलियां
चतुर्पाश्वीय
4
4
6
घनक्षेत्र
6
8
12
अष्टफलक
8
6
12
द्वादशफ़लक
12
20
30
विंशतिफलक
20
12
30

यूलर का सूत्र
किसी के फलकों और शीर्षों की संख्या का योग
बहुतल
किनारों की संख्या में 2 की वृद्धि के बराबर।
जी+वी=पी+2
फलकों की संख्या जोड़ शीर्षों की संख्या घटा संख्या
पसलियां
किसी भी बहुफलक में 2 के बराबर होता है।
जी+वी पी=2

तालिका क्रमांक 2
संख्या
सही
बहुतल
चतुर्पाश्वीय
किनारों और
चोटियों
(जी + वी)
पसलियां
(आर)
4+4=8
6
"टेट्रा" 4;
घनक्षेत्र
6 + 8 = 14
12
"हेक्सा"
6;
अष्टफलक
8 + 6 = 14
12
"ओक्टा"
द्वादशफ़लक
12 + 20 = 32
30
डोडेका"
12.
30
"इकोसा"
20
विंशतिफलक
20 + 12 = 32
8

नियमित पॉलीहेड्रा का द्वंद्व

हेक्साहेड्रोन (घन) और अष्टहेड्रोन रूप
पॉलीहेड्रा की दोहरी जोड़ी. संख्या
एक बहुफलक के फलकों की संख्या बराबर होती है
दूसरे के शीर्ष और इसके विपरीत।

कोई भी घन लें और एक बहुफलक पर विचार करें
इसके फलकों के केन्द्र पर शीर्ष। यह कितना आसान है
सुनिश्चित करें कि हमें एक अष्टफलक मिले।

अष्टफलक के फलकों के केंद्र घन के शीर्षों के रूप में कार्य करते हैं।

प्रकृति, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में पॉलीहेड्रा
हमारे परिचित कुछ पदार्थों के क्रिस्टल नियमित पॉलीहेड्रा के आकार के होते हैं।
क्रिस्टल
पाइराइट-
प्राकृतिक
नमूना
डोडेकाहेड्रोन.
क्रिस्टल
रसोई का काम
नमक को आगे बढ़ाया जाता है
घन आकार
मोनोक्रिस्टल
सुरमा
क्रिस्टल
एल्यूमीनियम सल्फेट
(प्रिज्म)
पोटेशियम एलम सोडियम - टेट्राहेड्रोन।
आकार है
अष्टफलक.
एक अणु में
मीथेन है
रूप
सही
चतुष्फलक.
आकार के संबंध में अपने विवादों में इकोसाहेड्रोन जीवविज्ञानियों के ध्यान का केंद्र बन गया है
वायरस. जैसा कि पहले सोचा गया था, वायरस पूरी तरह गोल नहीं हो सकता। को
इसके आकार को स्थापित करने के लिए, उन्होंने विभिन्न पॉलीहेड्रा लिए और उन पर प्रकाश डाला
वायरस पर परमाणुओं के प्रवाह के समान कोण पर। यह पता चला कि केवल एक ही
बहुफलक बिल्कुल वैसी ही छाया देता है - इकोसाहेड्रोन।
अंडे के विभाजन की प्रक्रिया के दौरान सबसे पहले चार कोशिकाओं का एक चतुष्फलक बनता है, फिर
अष्टफलक, घन और अंत में गैस्ट्रुला की डोडेकाहेड्रल-इकोसाहेड्रल संरचना। और अंत में,
शायद सबसे महत्वपूर्ण चीज़ - जीवन के आनुवंशिक कोड की डीएनए संरचना - का प्रतिनिधित्व करती है
एक घूमते हुए डोडेकाहेड्रोन का चार-आयामी विकास (समय अक्ष के साथ) है!

कला में पॉलीहेड्रा
"मोना लिसा का चित्र"
चित्र की संरचना सोने पर आधारित है
त्रिभुज जो कि भाग हैं
नियमित तारा पंचकोण.
उत्कीर्णन "उदासीनता"
चित्र के अग्रभाग में
एक डोडेकेहेड्रोन को दर्शाया गया है।
"पिछले खाना"
ईसा मसीह को उनके शिष्यों के साथ चित्रित किया गया है
एक विशाल पारदर्शी डोडेकाहेड्रोन की पृष्ठभूमि।

वास्तुकला में पॉलीहेड्रा
फल संग्रहालय
यामानाशी में फल संग्रहालय की सहायता से बनाया गया
त्रि-आयामी मॉडलिंग।
पिरामिड
अलेक्जेंड्रियन लाइटहाउस
स्पैस्काया टॉवर
क्रेमलिन.
उद्धारकर्ता के चर्च के साथ चार स्तरीय स्पैस्काया टॉवर
हाथों से नहीं बनाया गया - कज़ान क्रेमलिन का मुख्य प्रवेश द्वार।
16वीं शताब्दी में पस्कोव आर्किटेक्ट इवान द्वारा निर्मित
शिर्याएम और पोस्टनिक याकोवलेव, उपनाम
"बरमा"। टावर के चार स्तर हैं
घन, बहुफलक और पिरामिड।