अक्सर हमें बढ़ी हुई जटिलता वाली समस्याओं का सामना करना पड़ता है मापांक युक्त त्रिकोणमितीय समीकरण. उनमें से अधिकांश को समाधान के लिए एक अनुमानी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है, जो कि अधिकांश स्कूली बच्चों के लिए पूरी तरह से अपरिचित है।
नीचे प्रस्तावित समस्याओं का उद्देश्य आपको मापांक वाले त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की सबसे विशिष्ट तकनीकों से परिचित कराना है।
समस्या 1. समीकरण 1 + 2sin x |cos x| के सबसे छोटे सकारात्मक और सबसे बड़े नकारात्मक मूलों का अंतर (डिग्री में) ज्ञात करें। = 0.
समाधान।
आइए मॉड्यूल का विस्तार करें:
1) यदि cos x ≥ 0, तो मूल समीकरण 1 + 2sin x · cos x = 0 का रूप लेगा।
दोहरे कोण ज्या सूत्र का उपयोग करके, हम पाते हैं:
1 + पाप 2x = 0; पाप 2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. चूँकि cos x ≥ 0, तो x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) यदि cos x< 0, то заданное уравнение имеет вид 1 – 2sin x · cos x = 0. По формуле синуса двойного угла, имеем:
1 – पाप 2x = 0; पाप 2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n € Z;
x = π/4 + πn, n € Z. चूँकि cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) समीकरण का सबसे बड़ा नकारात्मक मूल: -π/4; समीकरण का सबसे छोटा धनात्मक मूल: 5π/4.
आवश्यक अंतर: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
उत्तर: 270°.
समस्या 2. समीकरण |tg x| का सबसे छोटा धनात्मक मूल (डिग्री में) खोजें + 1/cos x = tan x.
समाधान।
आइए मॉड्यूल का विस्तार करें:
1) यदि tan x ≥ 0, तो
tan x + 1/cos x = tan x;
परिणामी समीकरण की कोई जड़ नहीं है।
2) यदि टीजी एक्स< 0, тогда
टीजी एक्स + 1/कॉस एक्स = टीजी एक्स;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x – 2sin x / cos x = 0;
(1 - 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 और cos x ≠ 0.
चित्र 1 और शर्त tg x का उपयोग करना< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) समीकरण का सबसे छोटा धनात्मक मूल 5π/6 है। आइए इस मान को डिग्री में बदलें:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
उत्तर: 150°.
समस्या 3. समीकरण पाप |2x| के विभिन्न मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए = cos 2x अंतराल पर [-π/2; π/2].
समाधान।
आइए समीकरण को syn|2x| के रूप में लिखें – cos 2x = 0 और फलन y = syn |2x| पर विचार करें - क्योंकि 2x. चूँकि फलन सम है, हम x ≥ 0 के लिए इसके शून्य ज्ञात करेंगे।
पाप 2x – cos 2x = 0; आइए समीकरण के दोनों पक्षों को cos 2x ≠ 0 से विभाजित करें, हमें प्राप्त होता है:
टीजी 2एक्स - 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n € Z;
x = π/8 + πn/2, n € Z.
फ़ंक्शन की समता का उपयोग करके, हम पाते हैं कि मूल समीकरण की जड़ें फॉर्म की संख्याएं हैं
± (π/8 + πn/2), जहां n € Z.
अंतराल [-π/2; π/2] संख्याओं से संबंधित हैं: -π/8; π/8.
तो, समीकरण की दो जड़ें दिए गए अंतराल से संबंधित हैं।
उत्तर: 2.
इस समीकरण को मॉड्यूल खोलकर भी हल किया जा सकता है।
समस्या 4. अंतराल [-π; 2π]।
समाधान।
1) उस स्थिति पर विचार करें जब 2cos x – 1 > 0, यानी। cos x > 1/2, तो समीकरण इस प्रकार बनता है:
पाप एक्स - पाप 2 एक्स = पाप 2 एक्स;
पाप x – 2 पाप 2 x = 0;
पाप x(1 – 2 पाप x) = 0;
पाप x = 0 या 1 – 2 पाप x = 0;
पाप x = 0 या पाप x = 1/2.
चित्र 2 और स्थिति cos x > 1/2 का उपयोग करके, हम समीकरण की जड़ें पाते हैं:
x = π/6 + 2πn या x = 2πn, n € Z.
2) उस स्थिति पर विचार करें जब 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
पाप x + पाप 2 x = पाप 2 x;
x = 2πn, n € Z.
चित्र 2 और कॉस x स्थिति का उपयोग करना< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
दोनों मामलों को मिलाकर, हमें मिलता है:
x = π/6 + 2πn या x = πn.
3) अंतराल [-π; 2π] जड़ों से संबंधित हैं: π/6; -π; 0; π; 2π.
इस प्रकार, दिए गए अंतराल में समीकरण की पाँच जड़ें हैं।
उत्तर: 5.
समस्या 5. समीकरण (x – 0.7) 2 |sin x| के मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए अंतराल पर + पाप x = 0 [-π; 2π]।
समाधान।
1) यदि पाप x ≥ 0, तो मूल समीकरण (x - 0.7) 2 पाप x + पाप x = 0 का रूप लेता है। सामान्य गुणनखंड पाप x को कोष्ठक से बाहर निकालने के बाद, हमें मिलता है:
पाप x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; चूँकि (x – 0.7) 2 + 1 > 0 सभी वास्तविक x के लिए, तो synx = 0, अर्थात। x = πn, n € Z.
2) यदि पाप x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
पाप x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;
पापx = 0 या (x – 0.7) 2 + 1 = 0. चूँकि पाप x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем квадратный корень из левой и правой частей последнего уравнения, получим:
x – 0.7 = 1 या x – 0.7 = -1, जिसका अर्थ है x = 1.7 या x = -0.3.
स्थिति सिनक्स को ध्यान में रखते हुए< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, जिसका अर्थ है कि केवल संख्या -0.3 ही मूल समीकरण का मूल है।
3) अंतराल [-π; 2π] संख्याओं से संबंधित हैं: -π; 0; π; 2π; -0.3.
इस प्रकार, दिए गए अंतराल पर समीकरण के पाँच मूल हैं।
उत्तर: 5.
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कार्य क्रमांक 1
तर्क सरल है: हम वैसा ही करेंगे जैसा हमने पहले किया था, इस तथ्य की परवाह किए बिना कि अब त्रिकोणमितीय कार्यों का तर्क अधिक जटिल है!
यदि हमें इस रूप का एक समीकरण हल करना हो:
फिर हम निम्नलिखित उत्तर लिखेंगे:
या (तब से)
लेकिन अब हमारी भूमिका इस अभिव्यक्ति द्वारा निभाई जाती है:
तब हम लिख सकते हैं:
आपके साथ हमारा लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि बाईं ओर बिना किसी "अशुद्धता" के, सरलता से खड़ा रहे!
आइए धीरे-धीरे इनसे छुटकारा पाएं!
सबसे पहले, आइए हर को हटा दें: ऐसा करने के लिए, अपनी समानता को इससे गुणा करें:
आइए अब दोनों भागों को बांटकर इससे छुटकारा पाएं:
आइए अब आठ से छुटकारा पाएं:
परिणामी अभिव्यक्ति को समाधानों की 2 श्रृंखलाओं के रूप में लिखा जा सकता है (द्विघात समीकरण के अनुरूप, जहां हम या तो विवेचक को जोड़ते हैं या घटाते हैं)
हमें सबसे बड़ा नकारात्मक मूल खोजने की आवश्यकता है! यह स्पष्ट है कि हमें इसे सुलझाना होगा।
आइए पहले पहला एपिसोड देखें:
यह स्पष्ट है कि यदि हम लेते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें सकारात्मक संख्याएँ प्राप्त होंगी, लेकिन उनमें हमारी रुचि नहीं है।
इसलिए आपको इसे नकारात्मक रूप से लेने की जरूरत है। रहने दो।
जब जड़ संकरी होगी:
और हमें सबसे बड़ी नकारात्मकता खोजने की जरूरत है!! इसका मतलब यह है कि अब यहां नकारात्मक दिशा में जाने का कोई मतलब नहीं रह गया है। और इस शृंखला के लिए सबसे बड़ा नकारात्मक मूल बराबर होगा.
आइए अब दूसरी श्रृंखला देखें:
और फिर से हम स्थानापन्न करते हैं: , फिर:
दिलचस्पी नहीं है!
फिर इसे और बढ़ाने का कोई मतलब नहीं है! आइए इसे कम करें! फिर चलो:
फिट बैठता है!
रहने दो। तब
तब - सबसे बड़ी नकारात्मक जड़!
उत्तर:
कार्य क्रमांक 2
जटिल कोसाइन तर्क की परवाह किए बिना, हम फिर से हल करते हैं:
अब हम बाईं ओर फिर से व्यक्त करते हैं:
दोनों पक्षों को इससे गुणा करें
दोनों पक्षों को विभाजित करें
जो कुछ बचा है उसे दाईं ओर ले जाना है, इसके चिह्न को माइनस से प्लस में बदलना है।
हमें फिर से जड़ों की 2 श्रृंखलाएँ मिलती हैं, एक with और दूसरी with।
हमें सबसे बड़ा नकारात्मक मूल खोजने की जरूरत है। आइए पहले एपिसोड पर नजर डालें:
यह स्पष्ट है कि हमें पहला नकारात्मक मूल मिलेगा, यह बराबर होगा और 1 श्रृंखला में सबसे बड़ा नकारात्मक मूल होगा।
दूसरी श्रृंखला के लिए
प्रथम ऋणात्मक मूल भी प्राप्त होगा तथा उसके बराबर होगा। चूँकि, तब समीकरण का सबसे बड़ा नकारात्मक मूल है।
उत्तर: .
कार्य क्रमांक 3
हम जटिल स्पर्शरेखा तर्क की परवाह किए बिना हल करते हैं।
अब, यह जटिल नहीं लगता, है ना?
पहले की तरह, हम बाईं ओर व्यक्त करते हैं:
खैर, यह बहुत अच्छा है, यहाँ जड़ों की केवल एक ही श्रृंखला है! आइए फिर से सबसे बड़ा नकारात्मक खोजें।
यह स्पष्ट है कि यदि आप इसे नीचे रख दें तो यह सफल हो जाएगा। और यह जड़ बराबर है.
उत्तर:
अब निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करने का प्रयास करें।
स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए होमवर्क या 3 कार्य।
- समीकरण को हल करें.
- समीकरण को हल करें.
pi-shi-th-सबसे छोटी-संभव जड़ के उत्तर में। - समीकरण को हल करें.
pi-shi-th-सबसे छोटी-संभव जड़ के उत्तर में।
तैयार? की जाँच करें। मैं संपूर्ण समाधान एल्गोरिदम का विस्तार से वर्णन नहीं करूंगा; मुझे ऐसा लगता है कि इस पर पहले ही पर्याप्त ध्यान दिया जा चुका है।
अच्छा, क्या सब कुछ ठीक है? ओह, वे गंदे साइनस, उनमें हमेशा किसी न किसी तरह की परेशानी होती है!
खैर, अब आप सरल त्रिकोणमितीय समीकरण हल कर सकते हैं!
समाधान और उत्तर देखें:
कार्य क्रमांक 1
आइए व्यक्त करें
यदि हम, चूँकि, तब डालें तो सबसे छोटा धनात्मक मूल प्राप्त होता है
उत्तर:
कार्य क्रमांक 2
सबसे छोटा धनात्मक मूल प्राप्त होता है।
यह बराबर होगा.
उत्तर: .
कार्य क्रमांक 3
जब हमें मिलता है, जब हमारे पास होता है।
उत्तर: .
यह ज्ञान आपको परीक्षा में आने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद करेगा।
यदि आप "5" रेटिंग के लिए आवेदन कर रहे हैं, तो आपको बस इसके लिए लेख पढ़ने के लिए आगे बढ़ना होगा मध्य स्तरजो अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों (कार्य C1) को हल करने के लिए समर्पित होगा।
औसत स्तर
इस लेख में मैं वर्णन करूंगा अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करनाऔर उनकी जड़ों का चयन कैसे करें। यहां मैं निम्नलिखित विषयों पर विचार करूंगा:
- शुरुआती स्तर के लिए त्रिकोणमितीय समीकरण (ऊपर देखें)।
अधिक जटिल त्रिकोणमितीय समीकरण उन्नत समस्याओं का आधार हैं। उन्हें समीकरण को सामान्य रूप में हल करने और एक निश्चित अंतराल से संबंधित इस समीकरण की जड़ें ढूंढने की आवश्यकता होती है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने से दो उपकार्य होते हैं:
- समीकरण हल करना
- जड़ चयन
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दूसरे की हमेशा आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन अधिकांश उदाहरणों में चयन अभी भी आवश्यक है। लेकिन अगर इसकी आवश्यकता नहीं है, तो हम आपके प्रति सहानुभूति रख सकते हैं - इसका मतलब है कि समीकरण अपने आप में काफी जटिल है।
C1 समस्याओं के विश्लेषण में मेरा अनुभव बताता है कि उन्हें आम तौर पर निम्नलिखित श्रेणियों में विभाजित किया जाता है।
बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों की चार श्रेणियां (पूर्व में C1)
- समीकरण जो गुणनखंडन को कम करते हैं।
- समीकरण बनते-बनते रह गए.
- एक चर को बदलकर समीकरण हल किए गए।
- ऐसे समीकरण जिनमें अतार्किकता या हर के कारण मूलों के अतिरिक्त चयन की आवश्यकता होती है।
सीधे शब्दों में कहें तो: यदि आप पकड़े जाते हैं पहले तीन प्रकार के समीकरणों में से एक, तो अपने आप को भाग्यशाली समझें। उनके लिए, एक नियम के रूप में, आपको अतिरिक्त रूप से एक निश्चित अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन करने की आवश्यकता होती है।
यदि आपके सामने टाइप 4 का समीकरण आता है, तो आप कम भाग्यशाली हैं: आपको इसके साथ अधिक समय तक और अधिक सावधानी से छेड़छाड़ करने की आवश्यकता है, लेकिन अक्सर इसमें जड़ों के अतिरिक्त चयन की आवश्यकता नहीं होती है। फिर भी, मैं अगले लेख में इस प्रकार के समीकरणों का विश्लेषण करूंगा, और यह लेख मैं पहले तीन प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करूंगा।
समीकरण जो गुणनखंडन को कम करते हैं
इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए आपको सबसे महत्वपूर्ण बात याद रखनी होगी
जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, एक नियम के रूप में, यह ज्ञान पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरण देखें:
उदाहरण 1. न्यूनीकरण और द्विकोण ज्या सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को गुणनखंडन में घटाया गया
- समीकरण को हल करें
- इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं
यहां, जैसा कि मैंने वादा किया था, कटौती सूत्र काम करते हैं:
तब मेरा समीकरण इस तरह दिखेगा:
तब मेरा समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:
एक अदूरदर्शी छात्र कह सकता है: अब मैं दोनों पक्षों को कम कर दूंगा, सबसे सरल समीकरण प्राप्त करूंगा और जीवन का आनंद लूंगा! और उससे बहुत ग़लती होगी!
| याद रखें: आप किसी अज्ञात वाले फ़ंक्शन द्वारा त्रिकोणमितीय समीकरण के दोनों पक्षों को कभी भी कम नहीं कर सकते हैं! तो आप अपनी जड़ें खो देंगे! |
इसलिए क्या करना है? हां, यह सरल है, सभी चीजों को एक तरफ ले जाएं और सामान्य कारक को हटा दें:
खैर, हमने इसे कारकों में शामिल किया, हुर्रे! अब आइए निर्णय लें:
पहले समीकरण की जड़ें हैं:
और दूसरा:
यह समस्या का पहला भाग पूरा करता है। अब आपको जड़ों का चयन करना होगा:
अंतर इस प्रकार है:
अथवा इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
खैर, आइए जड़ें लें:
सबसे पहले, आइए पहले एपिसोड पर काम करें (और कम से कम यह कहना आसान है!)
चूँकि हमारा अंतराल पूरी तरह से नकारात्मक है, इसलिए गैर-नकारात्मक को लेने की कोई आवश्यकता नहीं है, फिर भी वे गैर-नकारात्मक मूल देंगे।
चलो इसे ले लेते हैं - यह बहुत ज्यादा है, यह हिट नहीं करता है।
फिर इसे रहने दो - मैंने इसे दोबारा नहीं मारा।
एक और प्रयास - फिर - हाँ, मैं समझ गया! पहली जड़ मिल गई है!
मैं फिर से गोली चलाता हूँ: फिर मैं फिर से मारता हूँ!
खैर, एक बार और: : - यह पहले से ही एक उड़ान है।
तो पहली श्रृंखला से अंतराल से संबंधित 2 जड़ें हैं:।
हम दूसरी श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं (हम निर्माण कर रहे हैं)। नियम के अनुसार शक्ति को):
अंडरशूट!
इसे फिर से याद कर रहा हूँ!
इसे फिर से याद कर रहा हूँ!
समझ गया!
उड़ान!
इस प्रकार, मेरे अंतराल की निम्नलिखित जड़ें हैं:
यह वह एल्गोरिदम है जिसका उपयोग हम अन्य सभी उदाहरणों को हल करने के लिए करेंगे। आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें।
उदाहरण 2. न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को गुणनखंडन में घटाया गया
- प्रश्न हल करें
समाधान:
फिर से कुख्यात कमी सूत्र:
दोबारा कटौती करने का प्रयास न करें!
पहले समीकरण की जड़ें हैं:
और दूसरा:
अब फिर जड़ों की तलाश.
मैं दूसरे एपिसोड से शुरू करूँगा, मैं इसके बारे में पिछले उदाहरण से पहले से ही सब कुछ जानता हूँ! देखें और सुनिश्चित करें कि अंतराल से संबंधित जड़ें इस प्रकार हैं:
अब पहला एपिसोड और यह सरल है:
यदि - उपयुक्त
अगर ये भी ठीक है
यदि यह पहले से ही एक उड़ान है।
तब जड़ें इस प्रकार होंगी:
स्वतंत्र काम। 3 समीकरण.
अच्छा, क्या तकनीक आपके लिए स्पष्ट है? क्या त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना अब इतना कठिन नहीं लगता? फिर निम्नलिखित समस्याओं को शीघ्रता से स्वयं हल करें, और फिर हम अन्य उदाहरण हल करेंगे:
- प्रश्न हल करें
इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो अंतराल के ऊपर स्थित हैं। - समीकरण को हल करें
समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो कट के ऊपर स्थित हैं - समीकरण को हल करें
इस समीकरण के उन सभी मूलों को खोजें जो उनके बीच स्थित हैं।
समीकरण 1.
और फिर से कमी का सूत्र:
जड़ों की पहली श्रृंखला:
जड़ों की दूसरी श्रृंखला:
हम अंतराल के लिए चयन शुरू करते हैं
उत्तर: , ।
समीकरण 2. स्वतंत्र कार्य की जाँच करना।
कारकों में समूह बनाना काफी मुश्किल है (मैं डबल एंगल साइन फॉर्मूला का उपयोग करूंगा):
फिर या
यह एक सामान्य समाधान है. अब हमें जड़ों का चयन करना होगा। समस्या यह है कि हम उस कोण का सटीक मान नहीं बता सकते जिसकी कोसाइन एक चौथाई के बराबर है। इसलिए, मैं आर्क कोसाइन से छुटकारा नहीं पा सकता - यह कितनी शर्म की बात है!
मैं जो कर सकता हूं वह यह पता लगाना है कि ऐसा, ऐसा, फिर।
आइए एक तालिका बनाएं: अंतराल:
खैर, दर्दनाक खोजों के माध्यम से हम इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे कि हमारे समीकरण का संकेतित अंतराल पर एक मूल है: \displaystyle आर्ककोस\frac(1)(4)-5\pi
समीकरण 3: स्वतंत्र कार्य परीक्षण।
भयावह दिखने वाला समीकरण. हालाँकि, इसे दोहरे कोण ज्या सूत्र को लागू करके काफी सरलता से हल किया जा सकता है:
आइए इसे 2 से कम करें:
आइए पहले पद को दूसरे और तीसरे को चौथे के साथ समूहित करें और सामान्य गुणनखंड निकालें:
यह स्पष्ट है कि पहले समीकरण की कोई जड़ नहीं है, और अब आइए दूसरे पर विचार करें:
सामान्य तौर पर, मैं ऐसे समीकरणों को हल करने पर थोड़ी देर बाद ध्यान देने वाला था, लेकिन जब से यह सामने आया, करने को कुछ नहीं है, मुझे इसे हल करना होगा...
प्रपत्र के समीकरण:
इस समीकरण को दोनों पक्षों से विभाजित करके हल किया जाता है:
इस प्रकार, हमारे समीकरण में जड़ों की एक ही श्रृंखला है:
हमें उन लोगों को ढूंढना होगा जो अंतराल से संबंधित हैं:।
आइए फिर से एक तालिका बनाएं, जैसा मैंने पहले बनाया था:
उत्तर: ।
समीकरणों को इस रूप में घटाया गया:
खैर, अब समीकरणों के दूसरे भाग पर आगे बढ़ने का समय आ गया है, खासकर जब से मैं पहले ही बता चुका हूं कि नए प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान में क्या शामिल है। लेकिन यह दोहराने लायक है कि समीकरण का स्वरूप है
दोनों पक्षों को कोज्या से विभाजित करके हल किया गया:
- समीकरण को हल करें
समीकरण की जड़ों को इंगित करें जो कट के ऊपर स्थित हैं। - समीकरण को हल करें
उनके बीच स्थित समीकरण की जड़ों को इंगित करें।
उदाहरण 1।
पहला वाला काफी सरल है. दाईं ओर जाएँ और द्विकोण कोज्या सूत्र लागू करें:
हाँ! स्वरूप का समीकरण: . मैं दोनों भागों को विभाजित करता हूं
हम रूट स्क्रीनिंग करते हैं:
अंतर:
उत्तर:
उदाहरण 2.
सब कुछ भी काफी तुच्छ है: आइए दाईं ओर के कोष्ठक खोलें:
मूल त्रिकोणमितीय पहचान:
दोहरे कोण की ज्या:
अंततः हमें मिलता है:
रूट स्क्रीनिंग: अंतराल.
उत्तर: ।
खैर, आपको यह तकनीक कैसी लगी, क्या यह बहुत जटिल नहीं है? मुझे आशा नहीं है। हम तुरंत आरक्षण कर सकते हैं: अपने शुद्ध रूप में, ऐसे समीकरण जो तुरंत स्पर्शरेखा के समीकरण में बदल जाते हैं, काफी दुर्लभ हैं। आमतौर पर, यह संक्रमण (कोसाइन द्वारा विभाजन) एक अधिक जटिल समस्या का केवल एक हिस्सा है। आपके अभ्यास के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
- समीकरण को हल करें
- इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं।
की जाँच करें:
समीकरण को तुरंत हल किया जा सकता है; यह दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करने के लिए पर्याप्त है:
रूट स्क्रीनिंग:
उत्तर: ।
किसी भी तरह, हमें अभी भी उस प्रकार के समीकरणों का सामना नहीं करना पड़ा है जिनकी हमने अभी जांच की है। हालाँकि, हमारे लिए इसे ख़त्म करना जल्दबाजी होगी: अभी भी समीकरणों की एक और "परत" बाकी है जिसे हमने सुलझाया नहीं है। इसलिए:
चरों को बदलकर त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना
यहां सब कुछ पारदर्शी है: हम समीकरण को करीब से देखते हैं, इसे जितना संभव हो सके सरल बनाते हैं, प्रतिस्थापन करते हैं, हल करते हैं, उलटा प्रतिस्थापन करते हैं! शब्दों में सब कुछ बहुत आसान है. आइए कार्रवाई में देखें:
उदाहरण।
- प्रश्न हल करें: ।
- इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं।
खैर, यहाँ प्रतिस्थापन स्वयं ही हमें सुझाता है!
तब हमारा समीकरण इस प्रकार बनेगा:
पहले समीकरण की जड़ें हैं:
और दूसरा इस प्रकार है:
आइए अब अंतराल से संबंधित मूल खोजें
उत्तर: ।
आइए एक साथ थोड़ा अधिक जटिल उदाहरण देखें:
- समीकरण को हल करें
- दिए गए समीकरण के ऊपर-बीच में स्थित जड़ों को इंगित करें।
यहां प्रतिस्थापन तुरंत दिखाई नहीं देता है, इसके अलावा, यह बहुत स्पष्ट नहीं है। आइए पहले सोचें: हम क्या कर सकते हैं?
उदाहरण के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं
और उस समय पर ही
तब मेरा समीकरण यह रूप लेगा:
और अब ध्यान, फोकस:
आइए समीकरण के दोनों पक्षों को इस प्रकार विभाजित करें:
अचानक आपके और मेरे बीच एक द्विघात समीकरण सापेक्ष हो गया! आइए एक प्रतिस्थापन करें, फिर हमें मिलता है:
समीकरण के निम्नलिखित मूल हैं:
जड़ों की दूसरी श्रृंखला अप्रिय, लेकिन कुछ नहीं किया जा सकता! हम अंतराल में जड़ों का चयन करते हैं।
हमें उस पर भी विचार करना होगा
तब से और, तब से
उत्तर:
समस्याओं को स्वयं हल करने से पहले इसे सुदृढ़ करने के लिए, यहां आपके लिए एक और अभ्यास है:
- समीकरण को हल करें
- इस समीकरण के उन सभी मूलों को खोजें जो उनके बीच स्थित हैं।
यहां आपको अपनी आंखें खुली रखने की जरूरत है: अब हमारे पास ऐसे हर हैं जो शून्य हो सकते हैं! इसलिए, आपको जड़ों पर विशेष रूप से ध्यान देने की आवश्यकता है!
सबसे पहले, मुझे समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की आवश्यकता है ताकि मैं एक उपयुक्त प्रतिस्थापन कर सकूं। मैं साइन और कोसाइन के संदर्भ में स्पर्शरेखा को फिर से लिखने से बेहतर कुछ भी नहीं सोच सकता:
अब मैं मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके कोसाइन से साइन की ओर बढ़ूंगा:
और अंत में, मैं हर चीज़ को एक सामान्य विभाजक पर लाऊंगा:
अब मैं समीकरण पर आगे बढ़ सकता हूं:
लेकिन पर (अर्थात, पर)।
अब सब कुछ प्रतिस्थापन के लिए तैयार है:
फिर या
हालाँकि, ध्यान दें कि यदि, तो उसी समय!
इससे कौन पीड़ित है? स्पर्शरेखा के साथ समस्या यह है कि जब कोज्या शून्य के बराबर होती है (शून्य से विभाजन होता है) तो इसे परिभाषित नहीं किया जाता है।
इस प्रकार, समीकरण की जड़ें हैं:
अब हम अंतराल में जड़ों को छानते हैं:
| - फिट बैठता है | |
| - अति करना |
इस प्रकार, हमारे समीकरण का अंतराल पर एक ही मूल है, और यह बराबर है।
आप देखते हैं: एक हर की उपस्थिति (स्पर्शरेखा की तरह, जड़ों के साथ कुछ कठिनाइयों की ओर ले जाती है! यहां आपको अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है!)।
ठीक है, आपने और मैंने त्रिकोणमितीय समीकरणों का विश्लेषण लगभग पूरा कर लिया है; दो समस्याओं को स्वयं हल करने के लिए बहुत कम बचा है। वे यहाँ हैं।
- प्रश्न हल करें
इस समीकरण की सभी जड़ें खोजें जो कट के ऊपर स्थित हैं। - समीकरण को हल करें
कट के ऊपर स्थित इस समीकरण की जड़ों को इंगित करें।
फैसला किया? क्या यह बहुत कठिन नहीं है? की जाँच करें:
- हम कटौती सूत्रों के अनुसार काम करते हैं:
समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
आइए प्रतिस्थापन को आसान बनाने के लिए कोसाइन के माध्यम से सब कुछ फिर से लिखें:
अब प्रतिस्थापन करना आसान है:
यह स्पष्ट है कि यह एक बाह्य जड़ है, क्योंकि समीकरण का कोई हल नहीं है। तब:
हम अंतराल में उन जड़ों की तलाश कर रहे हैं जिनकी हमें आवश्यकता है
उत्तर: ।
यहां प्रतिस्थापन तुरंत दिखाई देता है:फिर या
- फिट बैठता है! - फिट बैठता है! - फिट बैठता है! - फिट बैठता है! - बहुत ज़्यादा! - भी बहुत कुछ! उत्तर:
खैर, अब बस इतना ही! लेकिन त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना यहीं समाप्त नहीं होता है; हम सबसे कठिन मामलों में पीछे रह जाते हैं: जब समीकरणों में अतार्किकता या विभिन्न प्रकार के "जटिल हर" होते हैं। हम एक लेख में उन्नत स्तर के ऐसे कार्यों को कैसे हल करें, इस पर विचार करेंगे।
अग्रवर्ती स्तर
पिछले दो लेखों में चर्चा किए गए त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, हम समीकरणों के एक और वर्ग पर विचार करेंगे जिनके लिए और भी अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण की आवश्यकता है। इन त्रिकोणमितीय उदाहरणों में या तो अपरिमेयता या हर होता है, जो उनके विश्लेषण को और अधिक कठिन बना देता है. हालाँकि, आपको परीक्षा पेपर के भाग सी में इन समीकरणों का सामना करना पड़ सकता है। हालाँकि, प्रत्येक बादल में एक उम्मीद की किरण होती है: ऐसे समीकरणों के लिए, एक नियम के रूप में, यह सवाल अब नहीं उठाया जाता है कि इसकी कौन सी जड़ें किसी दिए गए अंतराल से संबंधित हैं। आइए इधर-उधर न घूमें, बल्कि सीधे त्रिकोणमितीय उदाहरणों पर चलें।
उदाहरण 1।
समीकरण को हल करें और खंड से संबंधित मूल खोजें।
समाधान:
हमारे पास एक हर है जो शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए! फिर इस समीकरण को हल करना सिस्टम को हल करने के समान है
आइए प्रत्येक समीकरण को हल करें:
और अब दूसरा:
अब आइए श्रृंखला पर नजर डालें:
यह स्पष्ट है कि यह विकल्प हमारे लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमारा हर शून्य पर रीसेट हो जाता है (दूसरे समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र देखें)
यदि, तो सब कुछ क्रम में है, और हर शून्य नहीं है! तब समीकरण के मूल इस प्रकार हैं: , .
अब हम अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन करते हैं।
| - उपयुक्त नहीं | - फिट बैठता है | |
| - फिट बैठता है | - फिट बैठता है | |
| अति करना | अति करना |
फिर जड़ें इस प्रकार हैं:
आप देखिए, हर के रूप में एक छोटी सी गड़बड़ी की उपस्थिति ने भी समीकरण के समाधान को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किया: हमने जड़ों की एक श्रृंखला को खारिज कर दिया जो हर को शून्य कर देती थी। यदि आपके सामने ऐसे त्रिकोणमितीय उदाहरण आते हैं जो अतार्किक हैं तो चीज़ें और भी जटिल हो सकती हैं।
उदाहरण 2.
प्रश्न हल करें:
समाधान:
ठीक है, कम से कम आपको जड़ें नहीं उखाड़नी पड़ेंगी, और यह अच्छा है! आइए सबसे पहले, अतार्किकता की परवाह किए बिना, समीकरण को हल करें:
तो क्या बस इतना ही है? नहीं, अफ़सोस, यह बहुत आसान होगा! हमें याद रखना चाहिए कि केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ ही मूल के नीचे आ सकती हैं। तब:
इस असमानता का समाधान है:
अब यह पता लगाना बाकी है कि क्या पहले समीकरण की जड़ों का कुछ हिस्सा अनजाने में वहां पहुंच गया जहां असमानता नहीं है।
ऐसा करने के लिए, आप फिर से तालिका का उपयोग कर सकते हैं:
| : , लेकिन | नहीं! | |
| हाँ! | ||
| हाँ! |
इस प्रकार, मेरी एक जड़ "गिर गई"! यदि आप इसे नीचे रख दें तो यह पता चल जाता है। तो उत्तर इस प्रकार लिखा जा सकता है:
उत्तर:
आप देखिए, जड़ को और भी अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है! आइए इसे और अधिक जटिल बनाएं: मान लीजिए कि अब मेरे मूल में एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है।
उदाहरण 3.
पहले की तरह: पहले हम प्रत्येक को अलग-अलग हल करेंगे, और फिर हम सोचेंगे कि हमने क्या किया है।
अब दूसरा समीकरण:
अब सबसे कठिन बात यह पता लगाना है कि यदि हम पहले समीकरण से जड़ों को प्रतिस्थापित करते हैं तो अंकगणितीय मूल के तहत नकारात्मक मान प्राप्त होते हैं या नहीं:
संख्या को रेडियन के रूप में समझा जाना चाहिए। चूँकि एक रेडियन लगभग डिग्री है, तो रेडियन डिग्री के क्रम पर हैं। यह दूसरी तिमाही का कोना है. द्वितीय तिमाही की कोज्या का चिन्ह क्या है? माइनस. साइन के बारे में क्या? प्लस. तो हम अभिव्यक्ति के बारे में क्या कह सकते हैं:
यह शून्य से भी कम है!
इसका मतलब यह है कि यह समीकरण का मूल नहीं है.
अब समय आ गया है.
आइए इस संख्या की तुलना शून्य से करें।
कोटैंजेंट 1 तिमाही में घटने वाला एक फ़ंक्शन है (तर्क जितना छोटा होगा, कोटैंजेंट उतना ही बड़ा होगा)। रेडियन लगभग डिग्री हैं। एक ही समय में
तब से, तब से, और इसलिए
,
उत्तर: ।
क्या यह और अधिक जटिल हो सकता है? कृपया! यह अधिक कठिन होगा यदि मूल अभी भी एक त्रिकोणमितीय फलन है, और समीकरण का दूसरा भाग फिर से एक त्रिकोणमितीय फलन है।
जितने अधिक त्रिकोणमितीय उदाहरण उतने बेहतर, नीचे देखें:
उदाहरण 4.
सीमित कोसाइन के कारण जड़ उपयुक्त नहीं है
अब दूसरा:
उसी समय, जड़ की परिभाषा के अनुसार:
हमें यूनिट सर्कल को याद रखने की जरूरत है: अर्थात्, वे क्वार्टर जहां साइन शून्य से कम है। ये क्वार्टर क्या हैं? तीसरा और चौथा. तब हमें पहले समीकरण के उन समाधानों में दिलचस्पी होगी जो तीसरी या चौथी तिमाही में आते हैं।
पहली श्रृंखला तीसरी और चौथी तिमाही के चौराहे पर स्थित जड़ें देती है। दूसरी श्रृंखला - इसके बिल्कुल विपरीत - पहली और दूसरी तिमाही की सीमा पर स्थित जड़ों को जन्म देती है। इसलिए ये सीरीज हमारे लिए उपयुक्त नहीं है.
उत्तर: ,
और फिर "कठिन अतार्किकता" के साथ त्रिकोणमितीय उदाहरण. न केवल हमारे पास फिर से मूल के नीचे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है, बल्कि अब यह हर में भी है!
उदाहरण 5.
खैर, कुछ नहीं किया जा सकता - हम पहले की तरह ही करते हैं।
अब हम हर के साथ काम करते हैं:
मैं त्रिकोणमितीय असमानता को हल नहीं करना चाहता, इसलिए मैं कुछ चालाकी करूंगा: मैं असमानता में अपनी जड़ों की श्रृंखला लूंगा और प्रतिस्थापित करूंगा:
यदि - सम है, तो हमारे पास है:
चूँकि दृश्य के सभी कोण चौथी तिमाही में स्थित हैं। और फिर पवित्र प्रश्न: चौथी तिमाही में साइन का चिन्ह क्या है? नकारात्मक। फिर असमानता
यदि -विषम है, तो:
कोण किस तिमाही में स्थित है? यह दूसरी तिमाही का कोना है. फिर सभी कोने फिर से दूसरी तिमाही के कोने हैं। वहां साइन पॉजिटिव है. बस आपको क्या चाहिए! तो श्रृंखला:
फिट बैठता है!
हम जड़ों की दूसरी श्रृंखला से भी इसी तरह निपटते हैं:
हम अपनी असमानता में स्थानापन्न करते हैं:
यदि - सम, तो
पहली तिमाही के कोने. वहां ज्या धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला उपयुक्त है। अब यदि - विषम, तो:
भी फिट बैठता है!
खैर, अब हम उत्तर लिखते हैं!
उत्तर:
खैर, यह शायद सबसे अधिक श्रम-गहन मामला था। अब मैं आपको स्वयं हल करने के लिए समस्याएं पेश करता हूं।
प्रशिक्षण
- समीकरण के उन सभी मूलों को हल करें और खोजें जो खंड से संबंधित हैं।
समाधान:
पहला समीकरण:
या
जड़ का ODZ:दूसरा समीकरण:
अंतराल से संबंधित जड़ों का चयन
उत्तर:
या
या
लेकिन
चलो गौर करते हैं: । यदि - सम, तो
- फिट नहीं है!
यदि - विषम, : - उपयुक्त!
इसका मतलब यह है कि हमारे समीकरण में जड़ों की निम्नलिखित श्रृंखला है:
या
अंतराल में जड़ों का चयन:
| - उपयुक्त नहीं | - फिट बैठता है | |
| - फिट बैठता है | - बहुत ज़्यादा | |
| - फिट बैठता है | बहुत ज़्यादा |
उत्तर: , ।
या
चूँकि तब स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है। हम जड़ों की इस श्रृंखला को तुरंत त्याग देते हैं!
दूसरा हिस्सा:
वहीं, डीजेड के मुताबिक यह जरूरी है
हम पहले समीकरण में पाए गए मूलों की जाँच करते हैं:
यदि संकेत:
प्रथम तिमाही के कोण जहां स्पर्शरेखा धनात्मक है। फिट नहीं बैठता!
यदि संकेत:
चौथी तिमाही का कोना. वहां स्पर्शरेखा ऋणात्मक है. फिट बैठता है. हम उत्तर लिखते हैं:
उत्तर: , ।
हमने इस लेख में जटिल त्रिकोणमितीय उदाहरणों को एक साथ देखा है, लेकिन आपको समीकरणों को स्वयं हल करना चाहिए।
सारांश और बुनियादी सूत्र
त्रिकोणमितीय समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें अज्ञात पूरी तरह से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न के अंतर्गत होता है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के दो तरीके हैं:
पहला तरीका सूत्रों का उपयोग करना है।
दूसरा तरीका त्रिकोणमितीय वृत्त के माध्यम से है।
आपको कोणों को मापने, उनकी ज्या, कोज्या आदि खोजने की अनुमति देता है।
