मेनेलॉस प्रमेय और उसका अनुप्रयोग। चेवा और मेनेलौस का प्रमेय

चेवा और मेनेलौस के प्रमेय

सेवा का प्रमेय

अधिकांश उल्लेखनीय त्रिभुज बिंदु निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं। मान लीजिए कि कोई नियम है जिसके अनुसार हम एक निश्चित बिंदु A चुन सकते हैं 1 , त्रिभुज ABC की भुजा BC (या इसका विस्तार) पर (उदाहरण के लिए, इस भुजा का मध्यबिंदु चुनें)। फिर हम समान बिंदु बी का निर्माण करेंगे 1, सी 1 त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं पर (हमारे उदाहरण में भुजाओं के दो और मध्यबिंदु हैं)। यदि चयन नियम सफल हो तो सीधे ए.ए 1, बीबी 1, सीसी 1 किसी बिंदु Z पर प्रतिच्छेद करेगा (इस अर्थ में भुजाओं के मध्यबिंदुओं का चुनाव, निश्चित रूप से, सफल है, क्योंकि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं)।

मैं कुछ सामान्य विधि चाहता हूं जो किसी त्रिभुज के किनारों पर बिंदुओं की स्थिति से यह निर्धारित करने की अनुमति देती है कि रेखाओं का संगत त्रिक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है या नहीं।

इस समस्या को "बंद" करने वाली एक सार्वभौमिक स्थिति 1678 में एक इतालवी इंजीनियर द्वारा पाई गई थीजियोवन्नी चेवा .

परिभाषा। किसी त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं (या उनके विस्तार) के बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड सेवियन कहलाते हैं यदि वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सेवियन के लिए दो संभावित स्थान हैं। एक संस्करण में, बात

चौराहे आंतरिक हैं, और सेवियन के सिरे त्रिभुज के किनारों पर स्थित हैं। दूसरे विकल्प में, प्रतिच्छेदन बिंदु बाहरी है, एक सेवियन का सिरा किनारे पर स्थित है, और अन्य दो सेवियन के सिरे किनारों के विस्तार पर स्थित हैं (चित्र देखें)।

प्रमेय 3. (सेवा का प्रत्यक्ष प्रमेय) एक मनमाना त्रिभुज ABC में, बिंदु A को क्रमशः BC, CA, AB या उनके विस्तारों पर लिया जाता है 1 , में 1 , साथ 1 , ऐसे कि सीधा ए.ए 1 , बी.बी 1 , एस.एस 1 फिर, किसी सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करें

सबूत: जबकि सेवा के प्रमेय के कई मूल प्रमाण ज्ञात हैं, हम मेनेलॉस प्रमेय के दोहरे अनुप्रयोग पर आधारित एक प्रमाण पर विचार करेंगे। आइए हम पहली बार किसी त्रिभुज के लिए मेनेलॉस प्रमेय का संबंध लिखेंएबीबी 1 और सेकेंट सीसी 1 (हम सेवियनों के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करते हैंजेड):

और दूसरी बार त्रिभुज के लिएबी 1 ईसा पूर्वऔर सेकेंट ए.ए. 1 :

इन दोनों अनुपातों को गुणा करने और आवश्यक कटौती करने पर, हमें प्रमेय के कथन में निहित अनुपात प्राप्त होता है।

प्रमेय 4. (सेवा का व्युत्क्रम प्रमेय) . यदि त्रिभुज की भुजाओं पर चयनित लोगों के लिए एबीसी या उनके अंकों का विस्तार ए 1 , में 1 और सी 1 चेवा की स्थिति संतुष्ट:

फिर सीधा ए.ए. 1 , बी बी 1 और सीसी 1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें .

इस प्रमेय का प्रमाण मेनेलौस के प्रमेय के प्रमाण की तरह ही विरोधाभास द्वारा किया जाता है।

आइए सेवा के प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 3. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

समाधान। संबंध पर विचार करें

एक त्रिभुज के शीर्षों और उसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं के लिए। जाहिर है, प्रत्येक भिन्न में अंश और हर के समान खंड होते हैं, इसलिए ये सभी भिन्न एक के बराबर होते हैं। नतीजतन, चेवा का संबंध संतुष्ट है, इसलिए, विपरीत प्रमेय द्वारा, माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रमेय (सेवा का प्रमेय) . चलो अंक पक्षों पर झूठ बोलोऔर त्रिकोण क्रमश। चलो खंडोंऔर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें। तब

(हम त्रिभुज के चारों ओर दक्षिणावर्त घूमते हैं)।

सबूत।आइए हम इसे निरूपित करें खंडों का प्रतिच्छेदन बिंदुऔर . आइए बिंदुओं को हटा देंऔर एक रेखा के लंबवतइसे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने से पहलेऔर तदनुसार (आंकड़ा देखें)।

क्योंकि त्रिकोणऔर एक सामान्य पक्ष है, तो उनके क्षेत्र इस तरफ खींची गई ऊंचाइयों से संबंधित हैं, यानी।और :

अंतिम समानता सत्य है, क्योंकि समकोण त्रिभुजऔर न्यून कोण में समान.

वैसे ही हम पाते हैं

और

आइए इन तीन समानताओं को गुणा करें:

क्यू.ई.डी.

मध्यस्थों के बारे में:

1. इकाई द्रव्यमान को त्रिभुज ABC के शीर्षों पर रखें।
2. बिंदु A और B का द्रव्यमान केंद्र AB के मध्य में है। पूरे सिस्टम का द्रव्यमान केंद्र भुजा AB के मध्य पर होना चाहिए, क्योंकि त्रिभुज ABC का द्रव्यमान केंद्र बिंदु A और B के द्रव्यमान केंद्र और बिंदु C के द्रव्यमान का केंद्र है।
(यह भ्रमित करने वाला हो गया)
3. इसी प्रकार - CM को AC और BC भुजाओं के मध्य पर स्थित होना चाहिए
4. चूंकि सीएम एक एकल बिंदु है, इसलिए, इन तीनों माध्यिकाओं को इस पर प्रतिच्छेद करना चाहिए।

वैसे, इससे तुरंत पता चलता है कि प्रतिच्छेदन द्वारा उन्हें 2:1 के अनुपात में विभाजित किया गया है। चूँकि बिंदु A और B के द्रव्यमान केंद्र का द्रव्यमान 2 है, और बिंदु C का द्रव्यमान 1 है, इसलिए, अनुपात प्रमेय के अनुसार, सामान्य द्रव्यमान केंद्र, माध्यिका को 2/1 के अनुपात में विभाजित करेगा। .

आपका बहुत-बहुत धन्यवाद, इसे सुलभ तरीके से प्रस्तुत किया गया है, मुझे लगता है कि द्रव्यमान ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके प्रमाण प्रस्तुत करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, उदाहरण के लिए:
रेखाएँ AA1 और CC1 बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं; AC1: C1B = p और BA1: A1C = q. हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि रेखा BB1 बिंदु O से होकर गुजरती है यदि और केवल यदि CB1: B1A = 1: pq।
आइए द्रव्यमान 1, p और pq को क्रमशः बिंदु A, B और C पर रखें। तब बिंदु C1 बिंदु A और B के द्रव्यमान का केंद्र है, और बिंदु A1 बिंदु B और C के द्रव्यमान का केंद्र है। इसलिए, इन द्रव्यमानों के साथ बिंदु A, B और C के द्रव्यमान का केंद्र बिंदु O का प्रतिच्छेदन बिंदु है लाइनें CC1 और AA1। दूसरी ओर, बिंदु O बिंदु A और C के द्रव्यमान केंद्र के साथ बिंदु B को जोड़ने वाले खंड पर स्थित है। यदि B1, बिंदु A और C के द्रव्यमान 1 और pq के साथ बिंदु A और C के द्रव्यमान का केंद्र है, तो AB1: B1C = pq: 1. यह ध्यान रखना बाकी है कि खंड AC पर इसे दिए गए अनुपात AB1: B1C में विभाजित करने वाला एक बिंदु है।

2. सेवा का प्रमेय

किसी त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा के एक बिंदु से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता हैसेवियाना . इस प्रकार, यदि एक त्रिभुज मेंएबीसी एक्स , वाई और ज़ेड - पक्षों पर पड़े बिंदुईसा पूर्व , सीए। , अब तदनुसार, फिर खंडकुल्हाड़ी , द्वारा , सीजेड चेवियन हैं. यह शब्द इतालवी गणितज्ञ जियोवन्नी सेवा से आया है, जिन्होंने 1678 में निम्नलिखित बहुत उपयोगी प्रमेय प्रकाशित किया था:

प्रमेय 1.21. यदि त्रिभुज ABC के तीन सेवियन AX, BY, CZ (प्रत्येक शीर्ष से एक) प्रतिस्पर्धी हैं, तो

|बीएक्स||एक्ससी|· |CY||या|· |एज़||जेडबी|=1 .

चावल। 3.

जब हम कहते हैं कि तीन रेखाएँ (या खंड)प्रतिस्पर्धी , तो हमारा मतलब है कि वे सभी एक बिंदु से होकर गुजरते हैं, जिसे हम निरूपित करते हैंपी . सेवा के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, याद रखें कि समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल त्रिभुजों के आधारों के समानुपाती होता है। चित्र 3 का संदर्भ लेते हुए, हमारे पास है:

|बीएक्स||एक्ससी|= SABXएसएएक्ससी= एसपीबीएक्सएसपीएक्ससी= SABX−एसपीबीएक्सSAXC−एसपीएक्ससी= एसएबीपीस्कैप.

वैसे ही,

|CY||या|= एसबीसीपीएसएबीपी, |एज़||जेडबी|= स्कैपएसबीसीपी.

अब यदि हम उन्हें गुणा करें तो हमें प्राप्त होता है

|बीएक्स||एक्ससी|· |CY||या|· |एज़||जेडबी|= एसएबीपीस्कैप· एसबीसीपीएसएबीपी· स्कैपएसबीसीपी=1 .

इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है:

प्रमेय 1.22. यदि तीन सेवियन AX, BY, CZ संबंध को संतुष्ट करते हैं

|बीएक्स||एक्ससी|· |CY||या|· |एज़||जेडबी|=1 ,

तब वे प्रतिस्पर्धी हैं .

इसे दिखाने के लिए, मान लीजिए कि पहले दो सेवियन बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैंपी , पहले की तरह, और तीसरा सेवियन बिंदु से गुजर रहा हैपी , इच्छासीजेड′ . फिर, प्रमेय 1.21 द्वारा,

|बीएक्स||एक्ससी|· |CY||या|· |एजेड′||Z′B|=1 .

लेकिन अनुमान से

|बीएक्स||एक्ससी|· |CY||या|· |एज़||जेडबी|=1 .

इस तरह,

|एज़||जेडबी|= |एजेड′||Z′B| ,

डॉटZ′ बिंदु से मेल खाता हैजेड , और हमने साबित कर दिया कि खंडकुल्हाड़ी , द्वारा औरसीजेड प्रतिस्पर्धी (, पृ. 54 और, पृ. 48, 317)।

मेनेलौस का प्रमेयया संपूर्ण चतुर्भुज प्रमेय प्राचीन ग्रीस के समय से जाना जाता है। इसे इसका नाम इसके लेखक, एक प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री के सम्मान में मिला। अलेक्जेंड्रिया के मेनेलौस(लगभग 100 ई.) यह प्रमेय बहुत सुंदर और सरल है, लेकिन, दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूली पाठ्यक्रमों में इस पर उचित ध्यान नहीं दिया जाता है। इस बीच, कई मामलों में यह काफी जटिल ज्यामितीय समस्याओं को बहुत आसानी से और सुरुचिपूर्ण ढंग से हल करने में मदद करता है।

प्रमेय 1 (मेनेलॉस प्रमेय). मान लीजिए ∆ABC को एक ऐसी रेखा काटती है जो भुजा AB के समानांतर नहीं है और इसकी दो भुजाओं AC और BC को क्रमशः बिंदु F और E पर और रेखा AB को बिंदु D पर काटती है। (चित्र .1),

फिर ए एफ एफसी * सीई ईबी * बीडी डीए = 1

टिप्पणी।इस सूत्र को आसानी से याद रखने के लिए, आप निम्नलिखित नियम का उपयोग कर सकते हैं: त्रिभुज के समोच्च के साथ शीर्ष से रेखा के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु तक और प्रतिच्छेदन बिंदु से अगले शीर्ष तक जाएं।

सबूत।त्रिभुज के शीर्ष A, B, C से हम क्रमशः तीन समानांतर रेखाएँ खींचते हैं जब तक कि वे छेदक रेखा से प्रतिच्छेद न कर दें। हमें समरूप त्रिभुजों के तीन जोड़े मिलते हैं (दो कोणों पर समरूपता का चिह्न)। त्रिभुजों की समानता से निम्नलिखित समानताएँ निकलती हैं:

आइए अब इन परिणामी समानताओं को गुणा करें:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस प्रमेय की सुंदरता को महसूस करने के लिए, आइए नीचे प्रस्तावित ज्यामितीय समस्या को दो अलग-अलग तरीकों से हल करने का प्रयास करें: सहायक निर्माण का उपयोग करनाऔर मदद से मेनेलौस का प्रमेय.

कार्य 1।

∆ABC में, समद्विभाजक AD भुजा BC को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। माध्यिका CE इस समद्विभाजक को किस अनुपात में विभाजित करती है?

समाधान।

सहायक निर्माण का उपयोग करना:

मान लीजिए S, समद्विभाजक AD और माध्यिका CE का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए ∆ASB को समांतर चतुर्भुज ASBK बनाएं। (अंक 2)

जाहिर है, SE = EK, क्योंकि समांतर चतुर्भुज का प्रतिच्छेदन बिंदु विकर्णों को समद्विभाजित करता है। आइए अब त्रिभुज ∆CBK और ∆CDS पर विचार करें। यह देखना आसान है कि वे समान हैं (दो कोणों में समानता का संकेत: और समानांतर रेखाओं AD और KB और एक छेदक CB के साथ आंतरिक एक तरफा कोण के रूप में)। त्रिभुज की समानता से निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है:

शर्त का उपयोग करते हुए, हमें मिलता है:

सीबी सीडी = सीडी + डीबी सीडी = सीडी + 2सीडी सीबी = 3सीडी सीडी = 3

अब ध्यान दें कि KB = AS, समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की तरह। तब

एएस एसडी = केबी एसडी = सीबी सीडी = 3

मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करना.

आइए ∆ABD पर विचार करें और उस पर मेनेलॉस प्रमेय लागू करें (बिंदु C, S, E से गुजरने वाली रेखा एक छेदक रेखा है):

बीई ईए * एएस एसडी * डीसी सीबी = 1

प्रमेय की शर्तों के अनुसार, हमारे पास BE/EA = 1 है, क्योंकि CE माध्यिका है, और DC/CB = 1/3 है, जैसा कि हम पहले ही गणना कर चुके हैं।

1 * एएस एसडी * 1 3 = 1

यहां से हमें एएस/एसडी = 3 मिलता है, पहली नज़र में, दोनों समाधान काफी कॉम्पैक्ट और लगभग बराबर हैं। हालाँकि, स्कूली बच्चों के लिए एक अतिरिक्त निर्माण का विचार अक्सर बहुत जटिल और बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं होता है, जबकि, मेनेलॉस के प्रमेय को जानने के बाद, उसे केवल इसे सही ढंग से लागू करने की आवश्यकता होती है।

आइए एक और समस्या पर विचार करें जिसमें मेनेलॉस का प्रमेय बहुत सुंदर ढंग से काम करता है।

कार्य 2.

AB और BC ∆ABC की भुजाओं पर क्रमशः M और N दिए गए हैं, ताकि निम्नलिखित समानताएँ कायम रहें:

एएम एमबी = सीएन एनए = 1 2

खंड बीएन और सीएम का प्रतिच्छेदन बिंदु एस इनमें से प्रत्येक खंड को किस अनुपात में विभाजित करता है (चित्र 3)?

समाधान।

आइए ∆ABN पर विचार करें। आइए इस त्रिभुज के लिए मेनेलॉस प्रमेय लागू करें (बिंदु M, S, C से गुजरने वाली रेखा एक छेदक रेखा है)

एएम एमबी * बीसी एसएन * सीएन सीए = 1

समस्या स्थितियों से हमारे पास है: AM MB = 1 2

एनसी सीए = एनसी सीएन + एनए = एनसी सीएन + 2एनसी = एनसी 3 एनसी = 1 3

आइए इन परिणामों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

1 2 * बीएस एसएन * 1 3 = 1

इसलिए बीएस/एसएन = 6. और, इसलिए, खंड बीएन और सीएम के प्रतिच्छेदन का बिंदु एस खंड बीएन को 6: 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

आइए ∆ACM पर विचार करें। आइए इस त्रिभुज के लिए मेनेलॉस प्रमेय लागू करें (बिंदु N, S, B से गुजरने वाली रेखा एक छेदक रेखा है):

एएन एनसी * सीएस एसएम * एमबी बीए = 1

समस्या स्थितियों से हमारे पास है: एएन एनसी = 2

एमबी बीए = एमबी बीएम + एमए = 2एमए 2एमए + एमए = 2एमबी 3एमए = 2 3

आइए इन परिणामों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

2 * सीएस एसएम * 2 3 = 1

अत: सीएस/एसएम = 3/4

और, इसलिए, खंड बीएन और सीएम के प्रतिच्छेदन का बिंदु एस खंड सीएम को 3: 4 के अनुपात में विभाजित करता है।

मेनेलॉस प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय भी सत्य है। यह प्रायः और भी अधिक उपयोगी सिद्ध होता है। यह प्रूफ़ समस्याओं में विशेष रूप से अच्छा काम करता है। अक्सर इसकी मदद से ओलंपियाड की समस्याएं भी खूबसूरती से, आसानी से और जल्दी हल हो जाती हैं।

प्रमेय 2(मेनेलॉस का व्युत्क्रम प्रमेय)। मान लीजिए कि एक त्रिभुज ABC दिया गया है और बिंदु D, E, F क्रमशः रेखाओं BC, AC, AB से संबंधित हैं (ध्यान दें कि वे त्रिभुज ABC के दोनों किनारों पर और उनके विस्तार पर स्थित हो सकते हैं) (चित्र 4).

फिर, यदि एएफ एफसी * सीई ईबी * बीडी डीए = 1

तब बिंदु D, E, F एक ही रेखा पर स्थित हैं।

सबूत।आइए हम प्रमेय को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करें। आइए मान लें कि प्रमेय की शर्तों से संबंध संतुष्ट है, लेकिन बिंदु F रेखा DE पर स्थित नहीं है (चित्र 5)।

आइए रेखाओं DE और AB के प्रतिच्छेदन बिंदु को अक्षर O से निरूपित करें। अब हम मेनेलॉस प्रमेय लागू करते हैं और प्राप्त करते हैं: AE EC * CD DB * BO OA = 1

लेकिन, दूसरी ओर, समानता बीएफ एफए = बीओ ओए

निष्पादित नहीं किया जा सकता.

इसलिए, प्रमेय की शर्तों से संबंध संतुष्ट नहीं किया जा सकता है। हमें एक विरोधाभास मिला.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

कक्षा: 9

पाठ मकसद:

छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य बनाना, विस्तारित करना और व्यवस्थित करना; जटिल समस्याओं को हल करते समय ज्ञान का उपयोग करना सिखाएं;
समस्याओं को हल करते समय ज्ञान के स्वतंत्र अनुप्रयोग के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना;
छात्रों की तार्किक सोच और गणितीय भाषण, विश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करना;
छात्रों में आत्मविश्वास और कड़ी मेहनत पैदा करना; एक टीम में काम करने की क्षमता.

पाठ मकसद:

शैक्षिक:मेनेलॉस और चेवा के प्रमेयों को दोहराएँ; समस्याओं को हल करते समय उन्हें लागू करें।
विकासात्मक:एक परिकल्पना को सामने रखना सीखें और साक्ष्य के साथ अपनी राय का कुशलतापूर्वक बचाव करें; अपने ज्ञान को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
शैक्षिक:विषय में रुचि बढ़ाएं और अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के लिए तैयारी करें।

पाठ का प्रकार:ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।

उपकरण:इस विषय पर एक पाठ में सामूहिक कार्य के लिए कार्ड, स्वतंत्र कार्य के लिए व्यक्तिगत कार्ड, कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, स्क्रीन।

कक्षाओं के दौरान

स्टेज I संगठनात्मक क्षण (1 मिनट)

शिक्षक पाठ के विषय और उद्देश्य की घोषणा करता है।

चरण II. बुनियादी ज्ञान और कौशल को अद्यतन करना (10 मिनट)

अध्यापक:पाठ के दौरान, समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए आगे बढ़ने के लिए हम मेनेलॉस और चेवा के प्रमेयों को याद रखेंगे। आइए उस स्क्रीन पर एक नज़र डालें जहां इसे प्रस्तुत किया गया है। यह आंकड़ा किस प्रमेय के लिए दिया गया है? (मेनेलॉस प्रमेय)। प्रमेय को स्पष्ट रूप से तैयार करने का प्रयास करें।

चित्र 1

मान लीजिए बिंदु A 1 त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित है, बिंदु C 1 भुजा AB पर है, बिंदु B 1 बिंदु C से परे भुजा AC की निरंतरता पर है। बिंदु A 1, B 1 और C 1 एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं यदि और केवल यदि समानता कायम रहे

अध्यापक:आइए निम्नलिखित चित्र को एक साथ देखें। इस ड्राइंग के लिए एक प्रमेय बताएं।

चित्र 2

रेखा AD IUD त्रिभुज की दो भुजाओं और तीसरी भुजा के विस्तार को काटती है।

मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार

सीधी रेखा MB त्रिभुज ADC की दो भुजाओं और तीसरी भुजा के विस्तार को काटती है।

मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार

अध्यापक:चित्र किस प्रमेय से मेल खाता है? (सेवा का प्रमेय)। प्रमेय बताएं.

चित्र तीन

माना त्रिभुज ABC में बिंदु A 1 भुजा BC पर, बिंदु B 1 भुजा AC पर, बिंदु C 1 भुजा AB पर स्थित है। खंड AA 1, BB 1 और CC 1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि समानता बनी रहे

चरण III. समस्या को सुलझाना। (22 मि.)

कक्षा को 3 टीमों में विभाजित किया गया है, प्रत्येक को दो अलग-अलग कार्यों के साथ एक कार्ड मिलता है। निर्णय लेने के लिए समय दिया जाता है, फिर स्क्रीन पर निम्नलिखित दिखाई देता है:<Рисунки 4-9>. कार्यों के लिए पूर्ण चित्रों के आधार पर, टीम के प्रतिनिधि बारी-बारी से उनके समाधान बताते हैं। प्रत्येक स्पष्टीकरण के बाद चर्चा होती है, प्रश्नों के उत्तर दिए जाते हैं और स्क्रीन पर समाधान की शुद्धता की जाँच की जाती है। टीम के सभी सदस्य चर्चा में भाग लेते हैं। टीम जितनी अधिक सक्रिय होगी, परिणामों को सारांशित करते समय उसे उतना ही उच्च दर्जा दिया जाएगा।

कार्ड 1.

1. त्रिभुज ABC में, बिंदु N को भुजा BC पर लिया गया है ताकि NC = 3BN; भुजा AC की निरंतरता पर, बिंदु M को बिंदु A के रूप में लिया जाता है ताकि MA = AC हो। रेखा MN भुजा AB को बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती है। अनुपात ज्ञात कीजिए

2. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

समाधान 1

चित्र 4

समस्या की शर्तों के अनुसार, MA = AC, NC = 3BN। मान लीजिए MA = AC = b, BN = k, NC = 3k। रेखा MN त्रिभुज ABC की दो भुजाओं और तीसरी की निरंतरता को काटती है।

मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार

उत्तर:

प्रमाण 2

चित्र 5

माना AM 1, BM 2, CM 3 त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं। यह साबित करने के लिए कि ये खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, यह दिखाना पर्याप्त है

फिर, सेवा के (विपरीत) प्रमेय के अनुसार, खंड AM 1, BM 2 और CM 3 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

हमारे पास है:

अतः, यह सिद्ध हो चुका है कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

कार्ड 2.

1. बिंदु N को त्रिभुज PQR के PQ पक्ष पर लिया गया है, और बिंदु L को PR पक्ष पर लिया गया है, और NQ = LR है। खंड QL और NR का प्रतिच्छेदन बिंदु QL को बिंदु Q से गिनती करते हुए m:n के अनुपात में विभाजित करता है। खोजें

2. सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान 1

चित्र 6

शर्त के अनुसार, NQ = LR, मान लीजिए NA = LR =a, QF = किमी, LF = kn। रेखा NR त्रिभुज PQL की दो भुजाओं और तीसरी की निरंतरता को काटती है।

मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार

उत्तर:

प्रमाण 2

चित्र 7

चलिए वो दिखाते हैं

फिर, सेवा के (विपरीत) प्रमेय के अनुसार, AL 1, BL 2, CL 3 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण से

प्राप्त समानताओं को पद दर पद गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

त्रिभुज के समद्विभाजकों के लिए, चेवा की समानता संतुष्ट होती है, इसलिए, वे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

कार्ड 3.

1. त्रिभुज ABC में, AD माध्यिका है, बिंदु O माध्यिका का मध्य है। सीधी रेखा BO भुजा AC को बिंदु K पर काटती है। बिंदु K, बिंदु A से गिनती करते हुए, AC को किस अनुपात में विभाजित करता है?

2. सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित है, तो त्रिभुज के शीर्षों को विपरीत भुजाओं के संपर्क बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

समाधान 1

आंकड़ा 8

माना BD = DC = a, AO = OD = m। सीधी रेखा BK त्रिभुज ADC की दो भुजाओं और तीसरी भुजा के विस्तार को काटती है।

मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार

उत्तर:

प्रमाण 2

चित्र 9

माना A 1, B 1 और C 1 त्रिभुज ABC के अंकित वृत्त के स्पर्श बिंदु हैं। यह साबित करने के लिए कि खंड AA 1, BB 1 और CC 1 एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि चेवा की समानता है:

एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के गुण का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित अंकन प्रस्तुत करते हैं: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z।

चेवा की समानता संतुष्ट है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चरण IV. समस्या समाधान (स्वतंत्र कार्य) (8 मिनट)

शिक्षक: टीमों का काम समाप्त हो गया है और अब हम 2 विकल्पों के लिए अलग-अलग कार्डों पर स्वतंत्र काम शुरू करेंगे।

विद्यार्थियों के स्वतंत्र कार्य के लिए पाठ सामग्री

विकल्प 1।एक त्रिभुज ABC में, जिसका क्षेत्रफल 6 है, भुजा AB पर एक बिंदु K है, इस भुजा को AK:BK = 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है, और भुजा AC पर एक बिंदु L है, जो AC को विभाजित करता है AL:LC = 5:3 के अनुपात में। सीधी रेखाओं СК और BL के प्रतिच्छेदन बिंदु Q को सीधी रेखा AB से कुछ दूरी पर हटा दिया जाता है। भुजा AB की लंबाई ज्ञात कीजिए। (उत्तर - 4।)

विकल्प 2।त्रिभुज ABC में भुजा AC पर, बिंदु K लिया गया है। AK = 1, KS = 3. भुजा AB पर, बिंदु L लिया गया है। AL:LB = 2:3, Q सीधी रेखाओं BK और CL का प्रतिच्छेदन बिंदु है। शीर्ष B से गिराए गए त्रिभुज ABC की ऊँचाई की लंबाई ज्ञात कीजिए। (उत्तर: 1.5.)

कार्य को जाँच के लिए शिक्षक को सौंप दिया जाता है।

वी चरण. पाठ सारांश (2 मिनट)

की गई त्रुटियों का विश्लेषण किया जाता है, मूल उत्तरों और टिप्पणियों को नोट किया जाता है। प्रत्येक टीम के कार्य के परिणामों का सारांश दिया जाता है और ग्रेड दिए जाते हैं।

स्टेज VI. होमवर्क (1 मिनट)

गृहकार्य समस्या संख्या 11, 12 पृष्ठ 289-290, संख्या 10 पृष्ठ 301 से बना है।

शिक्षक के अंतिम शब्द (1 मिनट)।

आज आपने बाहर से एक-दूसरे का गणितीय भाषण सुना और अपनी क्षमताओं का आकलन किया। भविष्य में, हम विषय की बेहतर समझ के लिए ऐसी चर्चाओं का उपयोग करेंगे। पाठ में तर्क तथ्यों के मित्र थे, और सिद्धांत अभ्यास के साथ। आप सभी को धन्यवाद।

साहित्य:

तकाचुक वी.वी. आवेदकों के लिए गणित. - एम.: एमटीएसएनएमओ, 2005।

ज्यामिति पाठ्यक्रम में ऐसे प्रमेय शामिल हैं जिनका स्कूल में पर्याप्त विस्तार से अध्ययन नहीं किया जाता है, लेकिन जो एकीकृत राज्य परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा की सबसे जटिल समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकते हैं। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, मेनेलॉस का प्रमेय। परंपरागत रूप से, इसका अध्ययन 8वीं कक्षा में गणित के गहन अध्ययन वाली कक्षाओं में किया जाता है, और नियमित कार्यक्रम में (अतानास्यान की पाठ्यपुस्तक के अनुसार), मेनेलॉस के प्रमेय को कक्षा 10-11 के लिए पाठ्यपुस्तक में शामिल किया जाता है।
इस बीच, मेनेलॉस प्रमेय का उल्लेख करने वाले इंटरनेट संसाधनों के अध्ययन के परिणाम से पता चलता है कि इसे आमतौर पर अपूर्ण रूप से और इसलिए गलत तरीके से तैयार किया जाता है, और इसके उपयोग के सभी मामलों, साथ ही विपरीत प्रमेय का प्रमाण भी नहीं दिया गया है। इस लेख का उद्देश्य यह समझना है कि मेनेलॉस प्रमेय क्या है, इसका उपयोग कैसे और क्यों किया जाता है, और छात्रों के साथ व्यक्तिगत ट्यूटर पाठों में इस प्रमेय को पढ़ाने की पद्धति को साझा करना है।
आइए एक विशिष्ट समस्या (कार्य संख्या 26, ओजीई) पर विचार करें, जो परीक्षाओं में कई रूपों में सामने आती है, केवल स्थिति में संख्याओं में अंतर होता है।

समस्या का समाधान स्वयं सरल है - आप इसे नीचे पा सकते हैं। इस लेख में, हम मुख्य रूप से थोड़े अलग बिंदु में रुचि रखते हैं, जिसे अक्सर छोड़ दिया जाता है और स्पष्ट मान लिया जाता है। लेकिन जो सिद्ध किया जा सकता है वह स्पष्ट है। और इसे विभिन्न तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है - आमतौर पर वे विशेष रूप से समानता का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं - लेकिन इसे मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके भी किया जा सकता है।
यह इस शर्त का पालन करता है कि चूँकि समलंब के निचले आधार पर कोणों का योग 90° होता है, तो यदि आप भुजाओं का विस्तार करते हैं, तो आपको एक समकोण त्रिभुज मिलेगा। इसके बाद, पार्श्व भुजाओं के विस्तार के परिणामी प्रतिच्छेदन बिंदु से, एक खंड बनाएं जो आधारों के मध्य से होकर गुजरता है। यह खंड इन तीनों बिंदुओं से क्यों होकर गुजरता है? आमतौर पर इंटरनेट पर मिलने वाली समस्या के समाधान इस बारे में एक शब्द भी नहीं कहते। चार-बिंदु समलम्बाकार प्रमेय का कोई संदर्भ भी नहीं है, इस कथन का प्रमाण तो दूर की बात है। इस बीच, इसे मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो तीन बिंदुओं के एक पंक्ति से संबंधित होने की शर्त है।

मेनेलॉस प्रमेय का निरूपण
प्रमेय तैयार करने का समय आ गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न पाठ्यपुस्तकों और मैनुअल में इसके काफी अलग-अलग सूत्र हैं, हालांकि सार अपरिवर्तित रहता है। कक्षा 10-11 के लिए अतानास्यान और अन्य की पाठ्यपुस्तक में, मेनेलॉस प्रमेय का निम्नलिखित सूत्रीकरण दिया गया है, आइए इसे "वेक्टर" कहें:

अलेक्जेंड्रोव एट अल द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति ग्रेड 10-11" में, साथ ही उन्हीं लेखकों द्वारा पाठ्यपुस्तक "ज्यामिति" में। 8वीं कक्षा" मेनेलॉस के प्रमेय का थोड़ा अलग सूत्रीकरण प्रदान करती है, और यह कक्षा 10-11 और कक्षा 8 दोनों के लिए समान है:
यहां तीन नोट बनाने होंगे.
नोट 1. परीक्षा में ऐसी कोई समस्या नहीं है जिसे केवल वैक्टर का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है, जिसके लिए "माइनस वन" का उपयोग किया जाता है। इसलिए, व्यावहारिक उपयोग के लिए, सबसे सुविधाजनक सूत्रीकरण वह है जो अनिवार्य रूप से खंडों के लिए प्रमेय का एक परिणाम है (यह दूसरा सूत्रीकरण है, जिसे मोटे अक्षरों में हाइलाइट किया गया है)। मेनेलॉस प्रमेय के आगे के अध्ययन के लिए हम खुद को यहीं तक सीमित रखेंगे, क्योंकि हमारा लक्ष्य यह सीखना है कि समस्याओं को हल करने के लिए इसे कैसे लागू किया जाए।
नोट 2. इस तथ्य के बावजूद कि सभी पाठ्यपुस्तकें उस मामले को स्पष्ट रूप से निर्धारित करती हैं जब सभी तीन बिंदु ए 1, बी 1 और सी 1 त्रिभुज की भुजाओं के विस्तार (या त्रिभुज की भुजाओं वाली सीधी रेखाओं पर) पर स्थित हो सकते हैं। इंटरनेट पर कई ट्यूशन साइटें केवल तभी मामला तैयार करती हैं जब दो बिंदु दो तरफ होते हैं, और तीसरा तीसरे पक्ष की निरंतरता पर होता है। इसे शायद ही इस तथ्य से उचित ठहराया जा सकता है कि परीक्षाओं में केवल पहले प्रकार की समस्याओं का सामना करना पड़ता है और जब ये सभी बिंदु तीन पक्षों के विस्तार पर होते हैं तो समस्याओं का सामना नहीं किया जा सकता है।
नोट 3. व्युत्क्रम प्रमेय, अर्थात्। तीन बिंदुओं के एक ही रेखा पर होने की शर्त पर आमतौर पर बिल्कुल भी विचार नहीं किया जाता है, और कुछ शिक्षक यहां तक सलाह देते हैं (???) कि केवल प्रत्यक्ष प्रमेय का अध्ययन करें और व्युत्क्रम प्रमेय पर विचार न करें। इस बीच, विपरीत कथन का प्रमाण काफी शिक्षाप्रद है और आपको समस्या 1 के समाधान में दिए गए कथनों के समान सिद्ध करने की अनुमति देता है। विपरीत प्रमेय को सिद्ध करने का अनुभव निस्संदेह छात्र को समस्याओं को हल करते समय ठोस लाभ प्रदान करेगा।

चित्र और पैटर्न

किसी छात्र को समस्याओं में मेनेलॉस के प्रमेय को देखना और निर्णय लेते समय इसका उपयोग करना सिखाने के लिए, किसी विशिष्ट मामले के लिए प्रमेय के लेखन में चित्रों और पैटर्न पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है। और चूंकि प्रमेय स्वयं अपने "शुद्ध" रूप में है, अर्थात। अन्य खंडों से घिरे बिना, विभिन्न आकृतियों की भुजाएँ आमतौर पर समस्याओं में नहीं पाई जाती हैं, तब विशिष्ट समस्याओं पर प्रमेय दिखाना अधिक उपयुक्त होता है। और यदि आप स्पष्टीकरण के रूप में चित्र दिखाते हैं, तो उन्हें बहुभिन्नरूपी बनाएं। इस मामले में, एक रंग में (उदाहरण के लिए, लाल) उस सीधी रेखा को हाइलाइट करें जो तीन बिंदुओं से बनती है, और नीले रंग में - मेनेलॉस प्रमेय लिखने में शामिल त्रिकोण के खंडों को। इस मामले में, वे तत्व जो भाग नहीं लेते वे काले बने रहते हैं:

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि प्रमेय का सूत्रीकरण काफी जटिल है और हमेशा समझ में नहीं आता है; आख़िरकार, इसमें तीन अंश शामिल हैं। दरअसल, यदि छात्र के पास पर्याप्त अनुभव नहीं है, तो वह आसानी से लिखने में गलती कर सकता है, और परिणामस्वरूप, समस्या को गलत तरीके से हल कर सकता है। और यहीं से कभी-कभी समस्याएं शुरू होती हैं। बात यह है कि पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर प्रमेय लिखते समय "कैसे काम करें" पर ध्यान केंद्रित नहीं करती हैं। प्रमेय को रिकॉर्ड करने के नियमों के बारे में कुछ भी नहीं कहा गया है। इसीलिए कुछ शिक्षक उस क्रम को इंगित करने के लिए अलग-अलग तीर भी खींचते हैं जिसमें सूत्र लिखा जाना चाहिए। और वे छात्रों से ऐसे दिशानिर्देशों का सख्ती से पालन करने के लिए कहते हैं। यह आंशिक रूप से सही है, लेकिन "बाईपास नियम" और तीरों का उपयोग करके इसे पूरी तरह से यांत्रिक रूप से लिखने की तुलना में प्रमेय के सार को समझना अधिक महत्वपूर्ण है।
वास्तव में, "बाईपास" के तर्क को समझना ही महत्वपूर्ण है, और यह इतना सटीक है कि सूत्र लिखने में गलती करना असंभव है। ए) और बी) दोनों मामलों में हम त्रिकोण एएमसी के लिए सूत्र लिखते हैं।
सबसे पहले, हम अपने लिए तीन बिंदु परिभाषित करते हैं - त्रिभुज के शीर्ष। हमारे लिए ये बिंदु ए, एम, सी हैं। फिर हम प्रतिच्छेदी रेखा (लाल रेखा) पर स्थित बिंदु निर्धारित करते हैं, ये बी, पी, के हैं। हम त्रिभुज के शीर्ष से "आंदोलन" शुरू करते हैं, उदाहरण के लिए, बिंदु C से। इस बिंदु से हम "उस बिंदु पर जाते हैं जो प्रतिच्छेदन से बनता है, उदाहरण के लिए, पक्ष AC और प्रतिच्छेदी रेखा का - हमारे लिए यह बिंदु K है। हम पहले अंश के अंश में लिखते हैं - SK . फिर बिंदु K से हम लाइन AC पर शेष बिंदु पर "जाते हैं" - बिंदु A तक। हम पहले भिन्न के हर में KA लिखते हैं। चूँकि बिंदु A भी रेखा AM से संबंधित है, हम रेखा AM पर खंडों के साथ भी ऐसा ही करते हैं। और यहां फिर से, हम शीर्ष से शुरू करते हैं, फिर हम प्रतिच्छेदी रेखा पर एक बिंदु पर "जाते हैं", जिसके बाद हम शीर्ष एम पर जाते हैं। रेखा बीसी पर "खुद को ढूंढने के बाद", हम खंडों के साथ भी ऐसा ही करते हैं। यह रेखा। एम से हम निश्चित रूप से बी की ओर "जाते हैं", जिसके बाद हम सी पर लौटते हैं। यह "चक्कर" या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त किया जा सकता है। केवल ट्रैवर्सल के नियम को समझना महत्वपूर्ण है - एक रेखा पर एक शीर्ष से एक बिंदु तक, और एक रेखा पर एक बिंदु से दूसरे शीर्ष तक। भिन्नों का गुणनफल लिखने का नियम आमतौर पर इसी तरह समझाया जाता है। परिणाम है:
कृपया ध्यान दें कि संपूर्ण "चक्कर" रिकॉर्डिंग में परिलक्षित होता है और, सुविधा के लिए, तीरों के साथ दिखाया गया है।
हालाँकि, परिणामी रिकॉर्ड बिना किसी "ट्रैवर्सल" के प्राप्त किया जा सकता है। बिंदुओं को लिखने के बाद - त्रिभुज के शीर्ष (ए, एम, सी) और बिंदु - प्रतिच्छेदी रेखा (बी, पी, के) पर स्थित, तीनों में से प्रत्येक पर स्थित बिंदुओं को दर्शाने वाले अक्षरों के त्रिक भी लिखें पंक्तियाँ. हमारे मामलों में, ये हैं I) B, M, C; II) ए, पी, एम और III) ए, सी, के। इसके बाद सूत्र के सही बायीं ओर बिना रेखाचित्र देखे किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है। हमारे लिए नियम का पालन करने वाले प्रत्येक तीन अक्षरों से वास्तविक भिन्न लिखना पर्याप्त है - पारंपरिक रूप से, "मध्य" अक्षर प्रतिच्छेदी रेखा (लाल) के बिंदु हैं। परंपरागत रूप से, "बाहरी" अक्षर त्रिभुज के शीर्षों (नीला) के बिंदु होते हैं। इस तरह से सूत्र लिखते समय, आपको केवल यह सुनिश्चित करना होगा कि कोई भी "नीला" अक्षर (त्रिभुज का शीर्ष) अंश और हर दोनों में एक बार दिखाई दे। उदाहरण के लिए।
यह विधि विशेष रूप से टाइप बी के मामलों के साथ-साथ स्व-परीक्षण के लिए उपयोगी है।

मेनेलॉस का प्रमेय. सबूत
मेनेलॉस प्रमेय को सिद्ध करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। कभी-कभी वे इसे त्रिभुजों की समानता का उपयोग करके सिद्ध करते हैं, जिसके लिए AC के समानांतर एक खंड बिंदु M से खींचा जाता है (जैसा कि इस चित्र में है)। अन्य लोग एक अतिरिक्त रेखा खींचते हैं जो प्रतिच्छेदी रेखा के समानांतर नहीं होती है, और फिर, प्रतिच्छेदी रेखा के समानांतर सीधी रेखाओं का उपयोग करते हुए, वे इस रेखा पर सभी आवश्यक खंडों को "प्रोजेक्ट" करते प्रतीत होते हैं और, थेल्स के प्रमेय के सामान्यीकरण का उपयोग करते हुए (यानी,) आनुपातिक खंडों पर प्रमेय), सूत्र प्राप्त करें। हालाँकि, शायद प्रमाण की सबसे सरल विधि बिंदु M से प्रतिच्छेद करने वाली रेखा के समानांतर एक सीधी रेखा खींचकर प्राप्त की जाती है। आइए मेनेलॉस प्रमेय को इस प्रकार सिद्ध करें।
दिया गया: त्रिभुज ABC। रेखा PK त्रिभुज की भुजाओं और भुजा MC की निरंतरता को बिंदु B पर काटती है।
साबित करें कि समानता कायम है:
सबूत। आइए किरण एमएम 1 को बीके के समानांतर खींचें। आइए उन संबंधों को लिखें जिनमें मेनेलॉस के प्रमेय के सूत्र में शामिल खंड भाग लेते हैं। एक मामले में, बिंदु A पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं पर विचार करें, और दूसरे मामले में, बिंदु C पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं पर विचार करें। आइए इन समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करें:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
प्रमेय इसी प्रकार केस बी के लिए सिद्ध होता है)।

बिंदु C से हम सीधी रेखा BK के समानांतर एक खंड CC 1 खींचते हैं। आइए उन संबंधों को लिखें जिनमें मेनेलॉस के प्रमेय के सूत्र में शामिल खंड भाग लेते हैं। एक मामले में, बिंदु A पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं पर विचार करें, और दूसरे मामले में, बिंदु M पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं पर विचार करें। चूंकि थेल्स का प्रमेय दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर खंडों के स्थान के बारे में कुछ नहीं कहता है, इसलिए खंड बिंदु M के विपरीत किनारों पर स्थित हो सकते हैं। । इसलिए,

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए अब व्युत्क्रम प्रमेय को सिद्ध करें।
दिया गया:
सिद्ध कीजिए कि बिंदु B, P, K एक ही रेखा पर स्थित हैं।
सबूत। मान लीजिए कि सीधी रेखा BP AC को किसी ऐसे बिंदु K 2 पर काटती है जो बिंदु K से मेल नहीं खाता है। चूँकि BP एक सीधी रेखा है जिसमें बिंदु K 2 है, तो सिद्ध मेनेलॉस प्रमेय इसके लिए मान्य है। तो, आइए इसे उसके लिए लिखें
हालाँकि, हमने इसे अभी साबित किया है
इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बिंदु K और K 2 संपाती हैं, क्योंकि वे भुजा AC को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
केस बी के लिए) प्रमेय को इसी तरह सिद्ध किया गया है।

मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके समस्याओं को हल करना

सबसे पहले, आइए समस्या 1 पर वापस लौटें और इसे हल करें। आइए इसे दोबारा पढ़ें. आइए एक चित्र बनाएं:

एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD दिया गया है। एसटी - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा, यानी। दी गई दूरियों में से एक. कोण A और D का योग 90° होता है। हम भुजाओं AB और CD को बढ़ाते हैं और उनके प्रतिच्छेदन पर हमें बिंदु K मिलता है। बिंदु K को बिंदु N से जोड़ें - BC का मध्य। अब हम सिद्ध करते हैं कि बिंदु P, जो आधार AD का मध्यबिंदु है, भी रेखा KN से संबंधित है। आइए हम त्रिभुज ABD और ACD पर क्रमिक रूप से विचार करें। प्रत्येक त्रिभुज की दो भुजाएँ रेखा KP द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं। मान लीजिए कि सीधी रेखा KN आधार AD को किसी बिंदु X पर काटती है। मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार:
चूँकि त्रिभुज AKD समकोण है, बिंदु P, जो कर्ण AD का मध्यबिंदु है, A, D और K से समान दूरी पर है। इसी प्रकार, बिंदु N, बिंदु B, C और K से समान दूरी पर है। जहां एक आधार 36 के बराबर है और दूसरा 2 के बराबर है।
समाधान। त्रिभुज बीसीडी पर विचार करें। इसे किरण AX द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, जहाँ X भुजा BC के विस्तार के साथ इस किरण का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार:
(1) को (2) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

समाधान। आइए हम त्रिभुज AOB, AOM, BOK और चतुर्भुज MOKC के क्षेत्रफलों को क्रमशः S 1 , S 2 , S 3 और S 4 अक्षरों से निरूपित करें।

चूंकि बीएम माध्यिका है, तो एस एबीएम = एस बीएमसी।
इसका मतलब है S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
चूँकि हमें क्षेत्रों S 1 और S 4 का अनुपात ज्ञात करना है, हम समीकरण के दोनों पक्षों को S 4 से विभाजित करते हैं:
आइए इन मानों को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें: मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, सेकेंट AK के साथ त्रिभुज बीएमसी से, हमारे पास है: सेकेंट BM के साथ त्रिभुज AKC से, मेनेलॉस प्रमेय के अनुसार, हमारे पास है: सभी आवश्यक संबंध k के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं और अब आप उन्हें अभिव्यक्ति (2) में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके इस समस्या के समाधान पर पृष्ठ पर चर्चा की गई है।

गणित शिक्षक का नोट.इस समस्या में मेनेलॉस प्रमेय का अनुप्रयोग वही स्थिति है जब यह विधि आपको परीक्षा में समय की महत्वपूर्ण बचत करने की अनुमति देती है। यह कार्य 9वीं कक्षा (2019) के लिए हायर स्कूल ऑफ इकोनॉमिक्स में लिसेयुम की प्रवेश परीक्षा के डेमो संस्करण में पेश किया गया है।

अपने लिए तय करें

1) कार्य सरल है. त्रिभुज ABC की माध्यिका BD पर एक बिंदु M इस प्रकार अंकित है कि BM: MD = m: n. रेखा AM भुजा BC को बिंदु K पर काटती है।
अनुपात BK:KC ज्ञात कीजिए।
2) कार्य अधिक कठिन है. समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण A का समद्विभाजक भुजा BC को बिंदु P पर और विकर्ण BD को बिंदु T पर प्रतिच्छेद करता है। यह ज्ञात है कि AB: AD = k (0 3) टास्क नंबर 26 ओजीई। त्रिभुज ABC में, समद्विभाजक BE और माध्यिका AD लंबवत हैं और उनकी लंबाई 36 के बराबर है। त्रिभुज ABC की भुजाएँ ज्ञात करें।
गणित शिक्षक संकेत.इंटरनेट पर कोई अतिरिक्त निर्माण का उपयोग करके ऐसी समस्या का समाधान पा सकता है और फिर या तो समानता या क्षेत्रों का पता लगा सकता है, और उसके बाद ही त्रिभुज की भुजाओं का पता लगा सकता है। वे। इन दोनों विधियों के लिए अतिरिक्त निर्माण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, द्विभाजक संपत्ति और मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग करके ऐसी समस्या को हल करने के लिए किसी अतिरिक्त निर्माण की आवश्यकता नहीं होती है। यह बहुत सरल और अधिक तर्कसंगत है.

कक्षा: 9

पाठ मकसद:

छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य बनाना, विस्तारित करना और व्यवस्थित करना; जटिल समस्याओं को हल करते समय ज्ञान का उपयोग करना सिखाएं;
समस्याओं को हल करते समय ज्ञान के स्वतंत्र अनुप्रयोग के लिए कौशल के विकास को बढ़ावा देना;
छात्रों की तार्किक सोच और गणितीय भाषण, विश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण करने की क्षमता विकसित करना;
छात्रों में आत्मविश्वास और कड़ी मेहनत पैदा करना; एक टीम में काम करने की क्षमता.

पाठ मकसद:

शैक्षिक:मेनेलॉस और चेवा के प्रमेयों को दोहराएँ; समस्याओं को हल करते समय उन्हें लागू करें।
विकासात्मक:एक परिकल्पना को सामने रखना सीखें और साक्ष्य के साथ अपनी राय का कुशलतापूर्वक बचाव करें; अपने ज्ञान को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने की अपनी क्षमता का परीक्षण करें।
शैक्षिक:विषय में रुचि बढ़ाएं और अधिक जटिल समस्याओं को हल करने के लिए तैयारी करें।

पाठ का प्रकार:ज्ञान के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का पाठ।