परिभाषा के अनुसार, किसी फ़ंक्शन के अंतर (प्रथम अंतर) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है
अगर एक स्वतंत्र चर है।

उदाहरण.

आइए हम दिखाते हैं कि पहले अंतर का रूप अपरिवर्तित रहता है (यह अपरिवर्तनीय है) उस स्थिति में भी जब फ़ंक्शन तर्क स्वयं एक फ़ंक्शन है, जो कि एक जटिल कार्य के लिए है
.

रहने दो
भिन्न हैं, तो परिभाषा के अनुसार

इसके अलावा, साबित करने के लिए आवश्यक के रूप में।

उदाहरण.

पहले अंतर के रूप का सिद्ध अपरिवर्तनीयता हमें यह मानने की अनुमति देता है कि
अर्थात व्युत्पन्न फ़ंक्शन के अंतर के अनुपात के बराबर है इसके तर्क का अंतर, भले ही तर्क एक स्वतंत्र चर या एक फ़ंक्शन है या नहीं।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का अंतर

चलो अगर कार्य करते हैं
सेट पर है उल्टा, फिर
फिर समानता
सेट पर परिभाषित पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन, – पैरामीटर (मध्यवर्ती चर)।

उदाहरण. एक फ़ंक्शन प्लॉट करें
.

आप लगभग 1 एक्स

निर्मित वक्र कहलाता है चक्रज(चित्र 25) और त्रिज्या 1 के एक वृत्त पर एक बिंदु का प्रक्षेपवक्र है जो OX अक्ष के साथ बिना पर्ची के लुढ़कता है।

टिप्पणी. कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, पैरामीट्रिक वक्र समीकरणों से एक पैरामीटर को समाप्त किया जा सकता है।

उदाहरण.
सर्कल के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, जाहिर है,

दीर्घवृत्त के पैरामीट्रिक समीकरण हैं, क्योंकि

परवलय के पैरामीट्रिक समीकरण हैं

पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न भी पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन है: .

परिभाषा. किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न को उसके पहले व्युत्पन्न का व्युत्पन्न कहा जाता है।

यौगिक -वें क्रम अपने आदेश व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है
.

दूसरे के डेरिवेटिव को निरूपित करें और इस तरह वें आदेश:

यह दूसरे व्युत्पन्न की परिभाषा और एक पैरामीट्रिक रूप से दिए गए फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम का अनुसरण करता है कि
तीसरे व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, दूसरे व्युत्पन्न को रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है
और परिणामी नियम का फिर से उपयोग करें। उच्च क्रम के डेरिवेटिव की गणना इसी तरह से की जाती है।

उदाहरण. किसी फ़ंक्शन के पहले और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न खोजें

.

विभेदक कलन के मूल प्रमेय

प्रमेय(खेत)। चलो समारोह
बिंदु पर है
चरम यदि मौजूद है
, तब

प्रमाण. रहने दो
, उदाहरण के लिए, न्यूनतम बिंदु है। न्यूनतम बिंदु की परिभाषा के अनुसार, इस बिंदु का एक पड़ोस है
, जिसके अंदर
, अर्थात
- वेतनवृद्धि
बिंदु पर
. ए-प्राथमिकता
एक बिंदु पर एकतरफा डेरिवेटिव की गणना करें
:

असमानता में सीमा प्रमेय के पारित होने से,

जैसा

, जैसा
लेकिन शर्त
मौजूद है, इसलिए बायां व्युत्पन्न दाएं के बराबर है, और यह तभी संभव है जब

धारणा है कि
- अधिकतम बिंदु, उसी की ओर जाता है।

प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ:

प्रमेय(लुढ़काना)। चलो समारोह
निरंतर
, अवकलनीय
और
फिर वहाँ है
ऐसा है कि

प्रमाण. जैसा
निरंतर
, फिर दूसरे वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा यह पहुंचता है
उनका सबसे बड़ा
और कम से कम
मान या तो चरम बिंदुओं पर या खंड के सिरों पर।

1. चलो
, तब

2. चलो
जैसा
या
, या
चरम बिंदु पर पहुंच गया
, लेकिन फर्मेट के प्रमेय द्वारा
क्यू.ई.डी.

प्रमेय(लगरेंज)। चलो समारोह
निरंतर
और अलग करने योग्य
, तो मौजूद है
ऐसा है कि
.

प्रमेय का ज्यामितीय अर्थ:

जैसा
, तो छेदक स्पर्शरेखा के समानांतर है। इस प्रकार, प्रमेय में कहा गया है कि बिंदु A और B से गुजरने वाली एक छेदक के समानांतर एक स्पर्शरेखा होती है।

प्रमाण. अंक A . के माध्यम से
और बी
एक छेदक AB खींचिए। उसका समीकरण
समारोह पर विचार करें

- ग्राफ पर और छेदक AB पर संबंधित बिंदुओं के बीच की दूरी।

1.
निरंतर
निरंतर कार्यों के अंतर के रूप में।

2.
विभेदक
अलग-अलग कार्यों के अंतर के रूप में।

3.

माध्यम,
रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है, इसलिए मौजूद है
ऐसा है कि

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी।सूत्र कहा जाता है लैग्रेंज फॉर्मूला.

प्रमेय(कोशी)। कार्यों को करने दें
निरंतर
, अवकलनीय
और
, तो एक बिंदु है
ऐसा है कि
.

प्रमाण. आइए दिखाते हैं कि
. अगर
, फिर समारोह
रोले के प्रमेय की शर्त को संतुष्ट करेगा, इसलिए एक बिंदु होगा
ऐसा है कि
शर्त के विपरीत है। माध्यम,
, और सूत्र के दोनों भागों को परिभाषित किया गया है। आइए एक सहायक कार्य पर विचार करें।

निरंतर
, अवकलनीय
और
, अर्थात
रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है। फिर एक बिंदु है
, जिसमें
, लेकिन

क्यू.ई.डी.

सिद्ध सूत्र कहलाता है कॉची फॉर्मूला.

ल अस्पताल का नियम(प्रमेय L'Hopital-बर्नौली)। कार्यों को करने दें
निरंतर
, अवकलनीय
,
और
. इसके अलावा, एक परिमित या अनंत है
.

फिर वहाँ है

प्रमाण. चूंकि शर्त के अनुसार
, तो हम परिभाषित करते हैं
बिंदु पर
, मानते हुए
फिर
निरंतर बनो
. आइए दिखाते हैं कि

चलो दिखावा करते हैं कि
फिर वहाँ है
ऐसा है कि
, समारोह के बाद से
पर
रोले के प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है। लेकिन शर्त
- एक विरोधाभास। इसलिए

. कार्यों
किसी भी अंतराल पर कॉची प्रमेय की शर्तों को पूरा करें
, जो में निहित है
. आइए कॉची सूत्र लिखें:

,
.

इसलिए हमारे पास है:
, क्योंकि
, तब
.

अंतिम सीमा में चर का नाम बदलकर, हम आवश्यक प्राप्त करते हैं:

नोट 1. L'Hopital का नियम तब भी वैध रहता है जब
और
. यह आपको न केवल फॉर्म की अनिश्चितता को प्रकट करने की अनुमति देता है , लेकिन रूप का भी :

.

नोट 2. यदि, ल'होपिटल नियम को लागू करने के बाद भी अनिश्चितता का खुलासा नहीं हुआ है, तो इसे फिर से लागू किया जाना चाहिए।

उदाहरण.

टिप्पणी 3 . L'Hopital का नियम अनिश्चितताओं को प्रकट करने का एक सार्वभौमिक तरीका है, लेकिन ऐसी सीमाएँ हैं जिन्हें पहले अध्ययन की गई विशेष तकनीकों में से केवल एक को लागू करके प्रकट किया जा सकता है।

लेकिन जाहिर है
, चूंकि अंश की डिग्री हर की डिग्री के बराबर है, और सीमा उच्च शक्तियों पर गुणांक के अनुपात के बराबर है

कई चरों के एक फलन के कुल अंतर के लिए व्यंजक समान है चाहे u और v स्वतंत्र चर हों या अन्य स्वतंत्र चर के फलन।

प्रमाण कुल अंतर सूत्र पर आधारित है

क्यू.ई.डी.

5. किसी फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्नप्रक्षेपवक्र के साथ फ़ंक्शन का समय व्युत्पन्न है। मान लें कि फ़ंक्शन का रूप है और इसके तर्क समय पर निर्भर करते हैं:। फिर, प्रक्षेपवक्र को परिभाषित करने वाले पैरामीटर कहां हैं। इस मामले में फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्न (बिंदु पर) आंशिक समय व्युत्पन्न (संबंधित बिंदु पर) के बराबर है और सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

कहाँ पे - आंशिक अवकलज। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पदनाम सशर्त है और इसका अंतर के विभाजन से कोई लेना-देना नहीं है। इसके अलावा, किसी फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्न न केवल फ़ंक्शन पर, बल्कि प्रक्षेपवक्र पर भी निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का कुल व्युत्पन्न:

यहां कोई नहीं है, क्योंकि स्वयं ("स्पष्ट रूप से") पर निर्भर नहीं है।

पूर्ण अंतर

पूर्ण अंतर

कई स्वतंत्र चरों के फलन f (x, y, z, ...) - व्यंजक

उस स्थिति में जब यह पूर्ण वेतन वृद्धि से भिन्न हो

Δf = f(x + x, y + Δy, z + z,…) - f(x, y, z,…)

की तुलना में एक अतिसूक्ष्म मूल्य के लिए

सतह पर स्पर्शरेखा विमान

(X, Y, Z - स्पर्शरेखा तल पर बिंदु के वर्तमान निर्देशांक; - इस बिंदु की त्रिज्या वेक्टर; x, y, z - स्पर्शरेखा बिंदु के निर्देशांक (क्रमशः सामान्य के लिए); - समन्वय रेखाओं के स्पर्शरेखा वैक्टर, क्रमशः वी = कास्ट; यू = कास्ट; )

1.

2.

3.

सतह सामान्य

3.

4.

अंतर की अवधारणा। अंतर का ज्यामितीय अर्थ। पहले अंतर के रूप का व्युत्क्रम।

किसी दिए गए बिंदु x पर अवकलनीय फलन y = f(x) पर विचार करें। इसके वेतन वृद्धि को के रूप में दर्शाया जा सकता है

डी वाई \u003d एफ "(एक्स) डी एक्स + ए (डी एक्स) डी एक्स,

जहां पहला पद Dx के संबंध में रैखिक है, और बिंदु Dx = 0 पर दूसरा पद Dx से उच्च कोटि का एक अपरिमित फलन है। यदि f "(x) संख्या 0, तो पहला पद वेतन वृद्धि का मुख्य भाग है। वेतन वृद्धि का यह मुख्य भाग तर्क Dx का एक रैखिक कार्य है और इसे फ़ंक्शन y \u003d f का अंतर कहा जाता है ( x)। यदि f "(x) \u003d 0, तो परिभाषा के अनुसार अंतर फ़ंक्शन को शून्य माना जाता है।

परिभाषा 5 (अंतर)। फलन का अंतर y = f(x) व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर और स्वतंत्र चर के वेतन वृद्धि के Dx भाग के संबंध में मुख्य रैखिक है

ध्यान दें कि एक स्वतंत्र चर का अंतर इस चर dx = Dx की वृद्धि के बराबर है। इसलिए, अंतर का सूत्र आमतौर पर निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: dy \u003d f "(x) dx। (4)

आइए जानें कि अंतर का ज्यामितीय अर्थ क्या है। फलन y = f(x) (आकृति 21.) के ग्राफ पर एक मनमाना बिंदु M(x, y) लें। वक्र y = f(x) पर बिंदु M पर एक स्पर्श रेखा खींचिए, जो OX अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण f बनाता है, अर्थात f "(x) = tgf। समकोण त्रिभुज MKN से

केएन \u003d एमएनटीजीएफ \u003d डी एक्सटीजी एफ \u003d एफ "(एक्स) डी एक्स,

यानी डाई = केएन।

इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन का अंतर किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा की कोटि में वृद्धि है, जब x में Dx की वृद्धि होती है।

हम अंतर के मुख्य गुणों को नोट करते हैं, जो व्युत्पन्न के गुणों के समान हैं।

2. डी (सी यू (एक्स)) = सी डी यू (एक्स);

3. डी (यू (एक्स) ± वी (एक्स)) = डी यू (एक्स) ± डी वी (एक्स);

4. डी (यू (एक्स) वी (एक्स)) = वी (एक्स) डी यू (एक्स) + यू (एक्स) डी वी (एक्स);

5. डी (यू (एक्स) / वी (एक्स)) = (वी (एक्स) डी यू (एक्स) - यू (एक्स) डी वी (एक्स)) / वी 2 (एक्स)।

आइए हम एक और संपत्ति को इंगित करें जो अंतर के पास है, लेकिन व्युत्पन्न नहीं है। फलन y = f(u) पर विचार करें, जहाँ u = f (x), अर्थात् सम्मिश्र फलन y = f(f(x)) पर विचार करें। यदि प्रत्येक फलन f और f अवकलनीय हैं, तो प्रमेय (3) के अनुसार यौगिक फलन का अवकलज y" = f"(u) u" के बराबर होता है। तब फलन का अंतर

डाई \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

चूँकि आप "dx = du. अर्थात् dy = f" (u) du. (5)

अंतिम समानता का अर्थ है कि यदि x के फलन के स्थान पर हम चर u के फलन पर विचार करते हैं तो अवकल सूत्र नहीं बदलता है। अवकलन के इस गुण को प्रथम अवकलन के रूप का अपरिवर्तन कहते हैं।

टिप्पणी। ध्यान दें कि सूत्र (4) dx = Dx में, जबकि सूत्र (5) में du फ़ंक्शन u की वृद्धि का केवल रैखिक भाग है।

इंटीग्रल कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो इंटीग्रल और उनके अनुप्रयोगों की गणना के गुणों और विधियों का अध्ययन करती है। मैं ओ। अंतर कलन से निकटता से संबंधित है और इसके साथ मिलकर मुख्य भागों में से एक का गठन करता है

समारोह अंतर

समारोह कहा जाता है एक बिंदु पर अवकलनीय, सेट के लिए सीमित इ, यदि इसकी वृद्धि एफ(एक्स 0) तर्क की वृद्धि के अनुरूप एक्स, के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

Δ एफ(एक्स 0) = ए(एक्स 0)(एक्स - एक्स 0) + ω (एक्स - एक्स 0), (1)

कहाँ पे ω (एक्स - एक्स 0) = के विषय में(एक्स - एक्स 0) पर एक्स → एक्स 0 .

प्रदर्शन, कहा जाता है अंतरकार्यों एफबिंदु पर एक्स 0 , और मान ए(एक्स 0)एच - अंतर मूल्यइस समय।

फ़ंक्शन अंतर के मान के लिए एफस्वीकृत पदनाम डीएफया डीएफ(एक्स 0) यदि आप जानना चाहते हैं कि इसकी गणना किस बिंदु पर की गई थी। इस प्रकार,

डीएफ(एक्स 0) = ए(एक्स 0)एच.

में विभाजित करना (1) by एक्स - एक्स 0 और लक्ष्य एक्सको एक्स 0, हमें मिलता है ए(एक्स 0) = एफ"(एक्स 0)। इसलिए हमारे पास है

डीएफ(एक्स 0) = एफ"(एक्स 0)एच. (2)

(1) और (2) की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि अवकलन का मान डीएफ(एक्स 0) (जब एफ"(एक्स 0) 0) फंक्शन इंक्रीमेंट का मुख्य भाग है एफबिंदु पर एक्स 0 , रैखिक और सजातीय वेतन वृद्धि के संबंध में एक ही समय में एच = एक्स - एक्स 0 .

फ़ंक्शन भिन्नता मानदंड

समारोह के लिए एफकिसी दिए गए बिंदु पर अलग-अलग था एक्स 0, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस बिंदु पर इसका एक परिमित व्युत्पन्न है।

पहले अंतर के रूप का व्युत्क्रम

यदि एक एक्सएक स्वतंत्र चर है, तो डीएक्स = एक्स - एक्स 0 (निश्चित वेतन वृद्धि)। इस मामले में हमारे पास है

डीएफ(एक्स 0) = एफ"(एक्स 0)डीएक्स. (3)

यदि एक एक्स = φ (टी) एक अवकलनीय फलन है, तो डीएक्स = φ" (टी 0)डीटी. इसलिये,