यह जानने के लिए कि दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे ज्ञात किया जाता है, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि प्राकृत, अभाज्य और सम्मिश्र संख्याएँ क्या हैं।
एक प्राकृत संख्या कोई भी संख्या है जिसका उपयोग पूर्णांकों को गिनने के लिए किया जाता है।
यदि किसी प्राकृत संख्या को केवल स्वयं और एक से विभाजित किया जा सकता है, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।
सभी प्राकृत संख्याओं को स्वयं और एक से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन केवल सम अभाज्य संख्या 2 है, अन्य सभी को दो से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, केवल विषम संख्याएँ ही अभाज्य हो सकती हैं।
बहुत सारी अभाज्य संख्याएँ हैं, उनकी पूरी सूची नहीं है। जीसीडी को खोजने के लिए, ऐसी संख्याओं के साथ विशेष तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक है।
अधिकांश प्राकृतिक संख्याओं को न केवल एक से, बल्कि अन्य संख्याओं से भी विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 15 को 3 और 5 से विभाजित किया जा सकता है। ये सभी संख्या 15 के भाजक कहलाते हैं।
इस प्रकार, किसी भी A का भाजक वह संख्या है जिससे उसे बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है। यदि किसी संख्या में दो से अधिक प्राकृतिक भाजक हों, तो वह संमिश्र कहलाती है।
संख्या 30 में 1, 3, 5, 6, 15, 30 जैसे भाजक हैं।
आप देख सकते हैं कि 15 और 30 के भाजक 1, 3, 5, 15 हैं। इन दोनों संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है।
इस प्रकार, संख्याओं A और B का उभयनिष्ठ भाजक वह संख्या है जिससे आप उन्हें पूर्ण रूप से विभाजित कर सकते हैं। अधिकतम को अधिकतम कुल संख्या माना जा सकता है जिससे उन्हें विभाजित किया जा सकता है।
समस्याओं को हल करने के लिए, निम्नलिखित संक्षिप्त शिलालेख का उपयोग किया जाता है:
जीसीडी (ए; बी)।
उदाहरण के लिए, जीसीडी (15; 30) = 30।
एक प्राकृत संख्या के सभी भाजक को लिखने के लिए अंकन का प्रयोग किया जाता है:
डी(15) = (1, 3, 5, 15)
जीसीडी (9; 15) = 1
इस उदाहरण में, प्राकृत संख्याओं का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक होता है। उन्हें क्रमशः कोप्राइम कहा जाता है, इकाई उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।
संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे ज्ञात करें
कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:
प्रत्येक प्राकृत संख्या के सभी भाजक अलग-अलग ज्ञात कीजिए, अर्थात् उन्हें गुणनखंडों (अभाज्य संख्या) में विघटित कीजिए;
दी गई संख्याओं के लिए सभी समान गुणनखंडों का चयन करें;
उन्हें एक साथ गुणा करें।
उदाहरण के लिए, 30 और 56 के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के लिए, आप निम्नलिखित लिखेंगे:
भ्रमित न होने के लिए, ऊर्ध्वाधर स्तंभों का उपयोग करके गुणकों को लिखना सुविधाजनक है। रेखा के बाईं ओर, आपको लाभांश और दाईं ओर - भाजक रखने की आवश्यकता है। लाभांश के तहत, आपको परिणामी भागफल का संकेत देना चाहिए।
तो, समाधान के लिए आवश्यक सभी कारक सही कॉलम में होंगे।
सुविधा के लिए समान भाजक (कारक पाए गए) को रेखांकित किया जा सकता है। उन्हें फिर से लिखा और गुणा किया जाना चाहिए और सबसे बड़ा सामान्य भाजक लिखा जाना चाहिए।
जीसीडी (30; 56) = 2 * 5 = 10
संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना वास्तव में इतना आसान है। थोड़े से अभ्यास के साथ, आप इसे लगभग स्वचालित रूप से कर सकते हैं।
वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे संख्या a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं महत्तम सामान्य भाजकये नंबर। जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।
दो प्राकृतिक संख्याओं 18 और 60 के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 तथा 432
आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
पहली संख्या से हटा दें, जिसके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें मिलता है:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
जीसीडी के परिणामस्वरूप ( 324 , 111 , 432 )=3
यूक्लिड के एल्गोरिदम के साथ जीसीडी ढूँढना
का उपयोग करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने का दूसरा तरीका यूक्लिड का एल्गोरिथम. यूक्लिड का एल्गोरिथ्म खोजने का सबसे कारगर तरीका है जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको संख्याओं के शेष भाग को लगातार खोजने और लागू करने की आवश्यकता है आवर्तक सूत्र.
आवर्तक सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (बी, एक मॉड बी), जहाँ a mod b, a को b से विभाजित करने का शेषफल है।
यूक्लिड का एल्गोरिथम
उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें 7920 तथा 594
आइए जीसीडी खोजें ( 7920 , 594 ) यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके शेष भाग की गणना करेंगे।
- 7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 मॉड 198 = 594 - 3 × 198 = 0
परिणामस्वरूप, हमें GCD ( 7920 , 594 ) = 198
आम एकाधिक
भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय एक सामान्य भाजक को खोजने के लिए, आपको जानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है आम एकाधिक(एनओसी)।
संख्या "ए" का एक गुणक एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेष के संख्या "ए" से विभाजित होती है।
संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात, इन संख्याओं को बिना शेषफल के 8 से विभाजित किया जाएगा): ये संख्याएँ हैं 16, 24, 32 ...
9:18, 27, 36, 45 के गुणज…
किसी दी गई संख्या a के अपरिमित रूप से कई गुणज होते हैं, जो एक ही संख्या के भाजक के विपरीत होते हैं। भाजक - एक परिमित संख्या।
दो प्राकृत संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज वह संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती है।.
आम एकाधिकदो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का (LCM) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो स्वयं इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।
एनओसी कैसे पता करें
LCM को दो तरह से पाया और लिखा जा सकता है।
एलसीएम खोजने का पहला तरीका
इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।
- हम प्रत्येक संख्या के गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखते हैं जब तक कि दोनों संख्याओं के लिए समान गुणज न हो।
- संख्या "ए" का एक गुणक एक बड़े अक्षर "के" द्वारा दर्शाया गया है।
उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।
एलसीएम खोजने का दूसरा तरीका
तीन या अधिक संख्याओं के लिए LCM ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।
संख्याओं के प्रसार में समान गुणनखंडों की संख्या भिन्न हो सकती है।
एलसीएम (24, 60) = 2 2 3 5 2
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120
आप निम्न प्रकार से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने को औपचारिक रूप दे सकते हैं। आइए एलसीएम खोजें (12, 16, 24)।
24 = 2 2 2 3
जैसा कि आप संख्याओं के विस्तार से देख सकते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के विस्तार में शामिल हैं, इसलिए हम संख्या 16 के विस्तार से LCM में केवल एक 2 जोड़ते हैं।
एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48
एनओसी खोजने के विशेष मामले
उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि सहअभाज्य संख्याओं का कोई उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक नहीं होता है, उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
हमारी साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए ऑनलाइन कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।
यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।
कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।
संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालांकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में, आप 997 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।
लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।
- संख्या 12, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
- 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।
- संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;
वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के भाजक कहलाते हैं।
एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।
वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।
ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।
दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं "ए" और "बी" बिना शेष के विभाजित होती हैं।
महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" की सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा दोनों संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाज्य हैं।
संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस प्रकार लिखा गया है:
उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।
समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।
संख्या 7 और 9 में केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य संख्या.
कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका जीसीडी 1 है।
सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें
दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:
लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं।
आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
- दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करें।
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4
उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4
आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।
जीसीडी लिखने का पहला तरीका
जीसीडी 48 और 36 खोजें।
जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12
जीसीडी लिखने का दूसरा तरीका
अब GCD सर्च सॉल्यूशन को एक लाइन में लिखते हैं। जीसीडी 10 और 15 खोजें।
हमारी सूचना साइट पर, आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए हेल्पर प्रोग्राम का उपयोग करके ऑनलाइन सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी ढूंढ सकते हैं।
कम से कम सामान्य गुणक ढूँढना, विधियाँ, LCM ज्ञात करने के उदाहरण।
नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध शीर्षक के तहत लेख से सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है। यहां हम बात करेंगे कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना, और उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान दें। आइए पहले दिखाते हैं कि इन संख्याओं के जीसीडी के रूप में दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके अल्पतम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करें। उसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने पर ध्यान केंद्रित करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं के एलसीएम की गणना पर भी ध्यान देंगे।
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gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना
एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक तरीका है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा संबंध आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के कम से कम सामान्य गुणक की गणना करने की अनुमति देता है। संबंधित सूत्र का रूप है एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी). उपरोक्त सूत्र के अनुसार LCM ज्ञात करने के उदाहरणों पर विचार करें।
दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
इस उदाहरण में a=126 , b=70 । आइए GCD के साथ LCM के लिंक का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) द्वारा व्यक्त किया जाता है। यानी पहले हमें 70 और 126 संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना है, जिसके बाद हम लिखित सूत्र के अनुसार इन संख्याओं का LCM परिकलित कर सकते हैं।
यूक्लिड के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके gcd(126, 70) खोजें: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , इसलिए gcd(126, 70)=14 ।
अब हम आवश्यक अल्पतम समापवर्तक प्राप्त करते हैं: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 ।
एलसीएम (68, 34) क्या है?
चूँकि 68, 34 से समान रूप से विभाज्य है, तो gcd(68, 34)=34 । अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 ।
ध्यान दें कि पिछला उदाहरण धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए LCM ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित नियम पर फिट बैठता है: यदि संख्या a, b से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज a है।
अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना
कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने का दूसरा तरीका अभाज्य संख्याओं में गुणनखंडन पर आधारित है। यदि हम इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, जिसके बाद हम इस गुणनफल से उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को हटा देते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में मौजूद हैं, तो परिणामी उत्पाद इन संख्याओं के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।
एलसीएम खोजने के लिए घोषित नियम समानता एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीडी (ए, बी) से अनुसरण करता है। वास्तव में, संख्याओं a और b का गुणनफल, संख्याओं a और b के प्रसार में शामिल सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है। बदले में, जीसीडी (ए, बी) सभी प्रमुख कारकों के उत्पाद के बराबर है जो एक साथ संख्या ए और बी के विस्तार में मौजूद हैं (जो कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर अनुभाग में वर्णित है) )
आइए एक उदाहरण लेते हैं। बता दें कि 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । इन विस्तारों के सभी गुणनखंडों का गुणनफल लिखिए: 2 3 3 5 5 5 7 । अब हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करते हैं जो संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार में मौजूद हैं (ऐसे कारक 3 और 5 हैं), तो उत्पाद 2 3 5 5 7 का रूप लेगा। इस उत्पाद का मान 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य गुणज के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050।
संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के बाद, इन संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।
आइए संख्या 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें: 
हमें 441=3 3 7 7 और 700=2 2 5 5 7 मिलता है।
अब आइए इन संख्याओं के प्रसार में शामिल सभी कारकों का गुणनफल बनाएं: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 । आइए हम इस उत्पाद से उन सभी कारकों को बाहर करें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक कारक है - यह संख्या 7 है): 2 2 3 3 5 5 7 7 । तो एलसीएम(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 ।
एलसीएम (441, 700) = 44 100।
अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके एलसीएम को खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि हम संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार के गुणनखंडों में जोड़ दें, तो परिणामी गुणनफल का मान संख्याओं a और b के अल्पतम समापवर्तक के बराबर होगा।
उदाहरण के लिए, आइए सभी समान संख्याएं 75 और 210 लें, उनके विस्तार अभाज्य गुणनखंडों में इस प्रकार हैं: 75=3 5 5 और 210=2 3 5 7 । संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में, हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 3 5 5 7 मिलता है, जिसका मान LCM(75) है , 210)।
84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
हम पहले संख्या 84 और 648 के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं। वे 84=2 2 3 7 और 648=2 2 2 2 3 3 3 3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के अपघटन से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के अपघटन से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 3 3 3 7 मिलता है। जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 की संख्याओं का वांछित न्यूनतम सामान्य गुणज 4,536 है।
तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना
तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करके ज्ञात किया जा सकता है। संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं के एलसीएम को खोजने का एक तरीका देता है।
मान लीजिए धनात्मक पूर्णांक a 1, a 2 , …, a k दिया जाता है, इन संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज m k अनुक्रमिक गणना में पाया जाता है m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1, a k) ।
चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण पर इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।
चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और 250 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए ।
पहले हम m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम निर्धारित करते हैं gcd(140, 9) , हमारे पास 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 है, इसलिए, gcd( 140, 9)=1 , जहां से LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 । यानी एम 2 = 1 260।
अब हम m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना gcd(1 260, 54) के माध्यम से करते हैं, जो यूक्लिड एल्गोरिथम द्वारा भी निर्धारित किया जाता है: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 । फिर gcd(1 260, 54)=18 , जहां से LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 । यानी एम 3 \u003d 3 780।
एम 4 = एलसीएम (एम 3, ए 4) = एलसीएम (3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD(3 780, 250) पाते हैं: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 । इसलिए, gcd(3 780, 250)=10 , इसलिए LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 । यानी एम 4 \u003d 94 500।
अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।
एलसीएम (140, 9, 54, 250)=94500।
कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक आसानी से मिल जाता है। इस मामले में, निम्नलिखित नियम का पालन किया जाना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक गुणनफल के बराबर होता है, जो इस प्रकार बनता है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी गुणनखंडों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंड तीसरे नंबर को प्राप्त कारकों में जोड़ा जाता है, और इसी तरह।
अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के अपघटन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
पाँच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए ।
सबसे पहले, हम इन संख्याओं के अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में प्राप्त करते हैं: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ मेल खाता है) और 143=11 13.
इन संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के विस्तार में लुप्त गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के विस्तार में 2 और 3 दोनों पहले से मौजूद हैं। आगे गुणनखंड 2 , 2 , 3 और 7 के अलावा हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं , हमें गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 का एक समुच्चय प्राप्त होता है । अगले चरण में इस सेट में गुणनखंड जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें पहले से ही 7 समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2 , 2 , 2 , 2 , 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2 2 2 2 3 7 11 13 मिलता है, जो 48 048 के बराबर है।
इसलिए, एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48048।
एलसीएम(84, 6, 48, 7,143)=48048।
ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना
कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको कम से कम सामान्य संख्याएँ खोजने की आवश्यकता होती है, जिनमें से एक, कई या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी ऋणात्मक संख्याओं को उनकी विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जिसके बाद सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का यह तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)।
हम ऐसा इसलिए कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएं हैं)। वास्तव में, मान लीजिए कि b a का कुछ गुणज है, फिर b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की अवधारणा ऐसे पूर्णांक q के अस्तित्व पर जोर देती है कि b=a q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो, विभाज्यता की समान अवधारणा के आधार पर, का अर्थ है कि b −a से विभाज्य है, अर्थात b −a का गुणज है। विलोम कथन भी सत्य है: यदि b −a का कुछ गुणज है, तो b भी a का गुणज है।
ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से बदलें। हमारे पास LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) है। gcd(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांकों −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक 1,305 है।
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हम डिवीजन का अध्ययन जारी रखते हैं। इस पाठ में, हम अवधारणाओं को देखेंगे जैसे जीसीडीतथा अनापत्ति प्रमाण पत्र.
जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है।
अनापत्ति प्रमाण पत्रकम से कम सामान्य गुणक है।
विषय थोड़ा उबाऊ है, लेकिन इसे समझना जरूरी है। इस विषय को समझे बिना आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।
महत्तम सामान्य भाजक
परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एकतथा बी एकतथा बीशेष के बिना विभाजित।
इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, हम चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करते हैं एकतथा बीकोई दो संख्याएँ, उदाहरण के लिए, चर के स्थान पर एकसंख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीसंख्या 9. अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:
संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 12 तथा 9 सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा 12 तथा 9 शेष के बिना विभाजित।
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के एक सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) पाया जाना चाहिए।
दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी समय लेने वाली है, लेकिन यह आपको विषय के सार को अच्छी तरह से समझने और उसके पूरे अर्थ को महसूस करने की अनुमति देती है।
दूसरी और तीसरी विधियां काफी सरल हैं और जीसीडी को जल्दी से ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों विधियों पर विचार करेंगे। और व्यवहार में क्या लागू करना है - आप चुनते हैं।
पहला तरीका यह है कि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ज्ञात करें और उनमें से सबसे बड़ा चुनें। आइए निम्नलिखित उदाहरण में इस विधि पर विचार करें: संख्याओं 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.
सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा में सभी भाजक में विभाजित करते हैं। यदि भाजक हमें 12 को बिना शेष के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे नीले रंग में हाइलाइट करेंगे और कोष्ठक में उचित व्याख्या कीजिए।
12: 1 = 12
(12) बिना शेषफल के 1 से भाग देने पर, 1, 12 का भाजक होता है।
12: 2 = 6
(12 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, अतः 2, 12 का भाजक है)
12: 3 = 4
(12 को 3 से विभाजित करने पर शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 12 का भाजक है)
12: 4 = 3
(12) बिना शेषफल के 4 से विभाजित, इसलिए 4, 12 का भाजक है।
12:5 = 2 (2 बाएँ)
(12 बिना शेष बचे 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 12 का भाजक नहीं है)
12: 6 = 2
(12) बिना शेषफल के 6 से भाग दिया जाता है, इसलिए 6, 12 का भाजक है।
12:7 = 1 (5 बाएँ)
(12, बिना शेष बचे 7 से विभाजित नहीं है, इसलिए 7, 12 का भाजक नहीं है)
12: 8 = 1 (4 बाएँ)
(12 बिना शेषफल के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 12 का भाजक नहीं है)
12:9 = 1 (3 बाएँ)
(12 को 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 9, 12 का भाजक नहीं है)
12: 10 = 1 (2 बाएँ)
(12 को 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, शेषफल के बिना, इसलिए 10, 12 का भाजक नहीं है)
12:11 = 1 (1 बाएँ)
(12 बिना शेष के 11 से विभाजित नहीं है, इसलिए 11, 12 का भाजक नहीं है)
12: 12 = 1
(12 को 12 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 12, 12 का भाजक है)
अब संख्या 9 के भाजक ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें।
9: 1 = 9
(9 को 1 से बिना किसी शेष भाग के विभाजित किया जाता है, इसलिए 1 9 का भाजक है)
9: 2 = 4 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 2 से विभाजित नहीं है, इसलिए 2 9 का भाजक नहीं है)
9: 3 = 3
(9 को 3 से विभाजित किया जाता है और शेषफल नहीं मिलता है, इसलिए 3, 9 का भाजक है)
9: 4 = 2 (1 बाएँ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 4, 9 का भाजक नहीं है)
9:5 = 1 (4 बाएँ)
(9 बिना शेष के 5 से विभाजित नहीं है, इसलिए 5, 9 का भाजक नहीं है)
9: 6 = 1 (3 बाएँ)
(9 शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं होता है, इसलिए 6 9 का भाजक नहीं है)
9:7 = 1 (2 बाएँ)
(9 को बिना शेष के 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, इसलिए 7, 9 का भाजक नहीं है)
9:8 = 1 (1 बाएँ)
(9 बिना शेष के 8 से विभाजित नहीं है, इसलिए 8, 9 का भाजक नहीं है)
9: 9 = 1
(9 को 9 से बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, इसलिए 9, 9 का भाजक है)
अब दोनों संख्याओं के भाजक लिखिए। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ भाजक हैं। आइए उन्हें लिखते हैं:
भाजक लिखने के बाद, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।
परिभाषा के अनुसार, 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे 12 और 9 समान रूप से विभाज्य हैं। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 . है
संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना शेष के 3 से विभाज्य हैं:
तो जीसीडी (12 और 9) = 3
जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका
अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।
उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 . की GCD ज्ञात कीजिए
सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:
अब हम उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करते हैं। भ्रमित न होने के लिए, सामान्य कारकों को रेखांकित किया जा सकता है।
हम संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका पहला गुणनखंड 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों दो को रेखांकित करते हैं:
हम फिर से संख्या 24 के अपघटन को देखते हैं। इसका दूसरा गुणनखंड भी 2 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और देखते हैं कि यह दूसरी बार नहीं है। तब हम कुछ भी हाइलाइट नहीं करते हैं।
संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में गायब हैं।
हम संख्या 24 के अपघटन में अंतिम कारक की ओर जाते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के अपघटन में उसी कारक की तलाश कर रहे हैं और हम देखते हैं कि यह भी है। हम दोनों तीनों पर जोर देते हैं:
तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। GCD प्राप्त करने के लिए, इन कारकों को गुणा करना होगा:
तो जीसीडी (24 और 18) = 6
जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका
अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के तीसरे तरीके पर विचार करें। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित कर दिया जाता है। फिर, पहली संख्या के अपघटन से, दूसरी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं किए गए कारकों को हटा दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और GCD प्राप्त होता है।
उदाहरण के लिए, आइए 28 और 16 की संख्या के लिए जीसीडी इस तरह से खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
हमें दो विस्तार मिले: और
अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में सात शामिल नहीं है। हम इसे पहले विस्तार से हटा देंगे:
अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और GCD प्राप्त करते हैं:
संख्या 4 संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ शेष के बिना 4 से विभाज्य हैं:
उदाहरण 2संख्या 100 और 40 . की GCD ज्ञात कीजिए
संख्या 100 . का गुणनखंड करना
संख्या 40 . का गुणनखंड करना
हमें दो विस्तार मिले:
अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। हम इसे पहले अपघटन से हटाते हैं
शेष संख्याओं को गुणा करें:
हमें उत्तर 20 मिला। तो संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ शेष के बिना 20 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (100 और 40) = 20।
उदाहरण 3 72 और 128 . की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए
संख्या 72 . का गुणनखंड करना
संख्या 128 . का गुणनखंड करना
2×2×2×2×2×2×2
अब, पहली संख्या के विस्तार से, हम उन कारकों को हटाते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक शामिल नहीं हैं (बिल्कुल भी नहीं हैं)। हम उन्हें पहले अपघटन से हटाते हैं:
हमें उत्तर 8 मिल गया। तो संख्या 8, संख्या 72 और 128 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना शेष के 8 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (72 और 128) = 8
एकाधिक संख्याओं के लिए GCD ढूँढना
सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए मिलने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण के लिए, आइए 18, 24 और 36 . की संख्याओं के लिए GCD ज्ञात करें
संख्या 18 . का गुणनखंड करना
संख्या 24 . का गुणनखंड करना
संख्या 36 . का गुणनखंड
हमें तीन विस्तार मिले:
अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को तीनों संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:
हम देखते हैं कि 18, 24 और 36 की संख्या के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:
हमें 6 का उत्तर मिला है। तो संख्या 6, 18, 24 और 36 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ शेष के बिना 6 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (18, 24 और 36) = 6
उदाहरण 2संख्या 12, 24, 36 और 42 . के लिए gcd ज्ञात कीजिए
आइए प्रत्येक संख्या का गुणनखंड करें। तब हम इन संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं।
संख्या 12 का गुणन
संख्या 42 . का गुणनखंड
हमें चार विस्तार मिले:
अब हम इन संख्याओं में उभयनिष्ठ गुणनखंडों को चुनते हैं और रेखांकित करते हैं। सामान्य कारकों को सभी चार संख्याओं में शामिल किया जाना चाहिए:
हम देखते हैं कि संख्या 12, 24, 36 और 42 के सामान्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन कारकों को गुणा करने पर, हमें वह GCD प्राप्त होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:
हमें 6 का उत्तर मिला। तो संख्या 6, 12, 24, 36 और 42 की संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये संख्याएँ बिना शेष के 6 से विभाज्य हैं:
जीसीडी(12, 24, 36 और 42) = 6
पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को शेषफल के बिना दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है, तो वह इस संख्या का गुणज कहलाती है।
यह पता चला है कि एक बहु कई संख्याओं के लिए सामान्य हो सकता है। और अब हम दो संख्याओं के गुणज में रुचि लेंगे, जबकि यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।
परिभाषा। संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) एकतथा बी- एकतथा बी एकऔर संख्या बी.
परिभाषा में दो चर शामिल हैं एकतथा बी. आइए इन चरों के लिए किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक चर के बजाय एकसंख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के बजाय बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब आइए परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:
संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक (LCM) 9 तथा 12 - सबसे छोटी संख्या है जो का गुणज है 9 तथा 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के विभाज्य है 9 और नंबर पर 12 .
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो 9 और 12 से शेष के बिना विभाज्य है। इस एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है।
कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणकों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणकों में से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं और छोटी दोनों के लिए समान हो। आइए इस विधि को लागू करें।
सबसे पहले, आइए संख्या 9 के लिए पहला गुणज खोजें। 9 के गुणज खोजने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से बारी-बारी से गुणा करना होगा। आपको जो उत्तर मिलेंगे, वे संख्या 9 के गुणज होंगे। तो, चलो शुरू करो। गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा:
अब हम संख्या 12 के गुणज पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को सभी संख्याओं 1 से 12 को बारी-बारी से गुणा करते हैं।
सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने के दो तरीकों पर विचार करें।
फैक्टरिंग द्वारा ढूँढना
पहला तरीका यह है कि दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात किया जाए।
कई संख्याओं के GCD को खोजने के लिए, उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना और उनमें से उन सभी संख्याओं को आपस में गुणा करना जो सभी दी गई संख्याओं के लिए सामान्य हैं।
उदाहरण 1आइए GCD (84, 90) खोजें।
हम संख्या 84 और 90 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
इसलिए, हमने सभी सामान्य अभाज्य कारकों को रेखांकित किया है, उन्हें आपस में गुणा करना बाकी है: 1 2 3 = 6।
तो जीसीडी (84, 90) = 6.
उदाहरण 2आइए GCD (15, 28) खोजें।
हम 15 और 28 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
संख्याएँ 15 और 28 सहअभाज्य हैं क्योंकि उनका सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक एक है।
जीसीडी (15, 28) = 1.
यूक्लिड का एल्गोरिथम
दूसरी विधि (अन्यथा यूक्लिड विधि कहलाती है) क्रमिक विभाजन द्वारा GCD ज्ञात करना है।
सबसे पहले, हम इस पद्धति को केवल दो दी गई संख्याओं पर लागू होने के रूप में देखेंगे, और फिर हम यह पता लगाएंगे कि इसे तीन या अधिक संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।
यदि दी गई दो संख्याओं में से बड़ी संख्या छोटी से विभाज्य है, तो जो संख्या छोटी है वह उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।
उदाहरण 1दो संख्याएँ 27 और 9 लें। चूँकि 27, 9 से विभाज्य है और 9, 9 से विभाज्य है, तो 9, 27 और 9 की संख्याओं का एक उभयनिष्ठ भाजक है। यह भाजक भी सबसे बड़ा है, क्योंकि 9 किसी भी संख्या से विभाज्य नहीं हो सकता, इससे बड़ी 9 से अधिक। इसलिए, जीसीडी (27, 9) = 9।
अन्य मामलों में, दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:
- दी गई दो संख्याओं में से, बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित किया जाता है।
- फिर, छोटी संख्या को छोटी संख्या से बड़ी संख्या को विभाजित करने के परिणामस्वरूप शेष से विभाजित किया जाता है।
- इसके अलावा, पहले शेषफल को दूसरे शेषफल से विभाजित किया जाता है, जो छोटी संख्या को पहले शेषफल से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
- दूसरे शेष को तीसरे से विभाजित किया जाता है, जो पहले शेष को दूसरे से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, और इसी तरह।
- इस प्रकार, विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक कि शेष शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।
उदाहरण 2आइए संख्या 140 और 96 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें:
1) 140: 96 = 1 (शेष 44)
2) 96: 44 = 2 (शेष 8)
3) 44: 8 = 5 (शेष 4)
अंतिम भाजक 4 है, जिसका अर्थ है gcd(140, 96) = 4।
अनुक्रमिक विभाजन को एक कॉलम में भी लिखा जा सकता है:
तीन या अधिक दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करें:
- सबसे पहले, कई डेटासेट से किन्हीं दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें।
- तब हम पाए गए भाजक का GCD और कुछ तिहाई दी गई संख्या ज्ञात करते हैं।
- फिर हम अंतिम पाए गए भाजक की जीसीडी और चौथी दी गई संख्या, और इसी तरह पाते हैं।
उदाहरण 3आइए संख्या 140, 96 और 48 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजें। हम पिछले उदाहरण में 140 और 96 की संख्याओं का GCD पहले ही पा चुके हैं (यह संख्या 4 है)। संख्या 4 और तीसरी दी गई संख्या - 48 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजना बाकी है:
48 बिना शेषफल के 4 से विभाज्य है। तो जीसीडी (140, 96, 48) = 4.
याद है!
यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो, तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।
कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।
संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, शेष अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालांकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में, आप 997 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।
लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।
उदाहरण के लिए:
- संख्या 12, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
- 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।
वे संख्याएँ जिनसे संख्या समान रूप से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के भाजक कहलाते हैं।
याद है!
एक प्राकृत संख्या का भाजक एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या "a" को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है।
वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, भाज्य संख्या कहलाती है।
ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।
दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याएं "ए" और "बी" शेष के बिना विभाजित होती हैं।
याद है!
महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" की - यह सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा "ए" और "बी" दोनों संख्याओं को शेष के बिना विभाजित किया जाता है।
संक्षेप में, "a" और "b" संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इस प्रकार लिखा जाता है:
जीसीडी (ए; बी)।
उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।
समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के विभाजक एक बड़े अक्षर "D" द्वारा दर्शाए जाते हैं।
डी (7) = (1, 7)
डी (9) = (1, 9)
जीसीडी (7; 9) = 1
संख्या 7 और 9 में केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है सह अभाज्य संख्या.
याद है!
कोप्राइम नंबरवे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनका जीसीडी 1 है।
सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें
दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:
- संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;
लंबवत बार का उपयोग करके गणना आसानी से लिखी जाती है। पंक्ति के बाईं ओर, पहले लाभांश को दाईं ओर - भाजक लिखें। आगे बाएं कॉलम में हम निजी के मान लिखते हैं।
आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत समझाएं। आइए संख्या 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
- दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों को रेखांकित करें।
28 = 2 2 764 = 2 2 2 2 2 2
- हम समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाते हैं और उत्तर लिखते हैं;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4
आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया था) या "एक पंक्ति में"।
अब और आगे क्या होगा, हम मान लेंगे कि इनमें से कम से कम एक संख्या शून्य से भिन्न है। यदि दी गई सभी संख्याएँ शून्य के बराबर हैं, तो उनका उभयनिष्ठ भाजक कोई भी पूर्णांक होता है, और चूंकि अपरिमित रूप से कई पूर्णांक होते हैं, इसलिए हम उनमें से सबसे बड़े के बारे में बात नहीं कर सकते। इसलिए, संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की बात नहीं की जा सकती है, जिनमें से प्रत्येक शून्य के बराबर है।
अब हम दे सकते हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढनादो नंबर।
परिभाषा।
महत्तम सामान्य भाजकदो पूर्णांकों का वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दिए गए दो पूर्णांकों को विभाजित करता है।
संक्षिप्त नाम GCD का उपयोग अक्सर सबसे बड़े सामान्य भाजक को छोटा करने के लिए किया जाता है - सबसे बड़ा सामान्य भाजक। साथ ही, दो संख्याओं a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक को अक्सर gcd(a, b) के रूप में दर्शाया जाता है।
चलो लाते हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) उदाहरणदो पूर्णांक। 6 और −15 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 3 है। आइए इसकी पुष्टि करते हैं। आइए संख्या छह के सभी भाजक लिखें: ±6, ±3, ±1, और संख्या −15 के भाजक ±15, ±5, ±3 और ±1 संख्याएं हैं। अब आप संख्या 6 और −15 के सभी उभयनिष्ठ भाजक पा सकते हैं, ये संख्याएँ −3, −1, 1 और 3 हैं। चूंकि -3<−1<1<3 , то 3 – это наибольший общий делитель чисел 6 и −15 . То есть, НОД(6, −15)=3 .
तीन या अधिक पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषा दो संख्याओं के gcd की परिभाषा के समान है।
परिभाषा।
महत्तम सामान्य भाजकतीन या अधिक पूर्णांक सबसे बड़ा पूर्णांक है जो सभी दी गई संख्याओं को एक साथ विभाजित करता है।
n पूर्णांकों a 1 , a 2 , …, a n का सबसे बड़ा सामान्य भाजक हम gcd(a 1 , a 2 , …, a n) के रूप में निरूपित करेंगे। यदि इन संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक का मान b मिल जाए, तो हम लिख सकते हैं GCD(a 1 , a 2 ,…, a n)=b.
उदाहरण के तौर पर, चार पूर्णांकों −8 , 52 , 16 और −12 की gcd दी गई है, यह 4 के बराबर है, अर्थात gcd(−8, 52, 16, −12)=4 है। इसे दी गई संख्याओं के सभी भाजक लिख कर, उनमें से उभयनिष्ठ भाजक चुनकर, और सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक निर्धारित करके इसकी जाँच की जा सकती है।
ध्यान दें कि पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक इनमें से किसी एक संख्या के बराबर हो सकता है। यह कथन सत्य है यदि सभी दी गई संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं (सबूत इस लेख के अगले पैराग्राफ में दिया गया है)। उदाहरण के लिए, gcd(15, 60, −45)=15 । यह सच है क्योंकि 15 15 , 60 , और -45 को विभाजित करता है, और 15 , 60 , और -45 का कोई सामान्य भाजक नहीं है जो 15 से बड़ा हो।
विशेष रूप से रुचि तथाकथित अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं, - ऐसे पूर्णांक, जिनमें से सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक के बराबर होता है।
सबसे बड़ा सामान्य भाजक गुण, यूक्लिड का एल्गोरिथम
सबसे बड़े सामान्य भाजक में कई विशिष्ट परिणाम होते हैं, दूसरे शब्दों में, कई गुण। अब हम मुख्य को सूचीबद्ध करेंगे सबसे बड़े सामान्य भाजक (gcd) के गुण, हम उन्हें प्रमेयों के रूप में सूत्रित करेंगे और तुरंत प्रमाण देंगे।
हम सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सबसे बड़े सामान्य भाजक के सभी गुण तैयार करेंगे, जबकि हम इन संख्याओं के केवल सकारात्मक भाजक पर विचार करेंगे।
a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक b और a के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर है, अर्थात gcd(a, b)=gcd(a, b) ।
यह GCD गुण सबसे बड़े सामान्य भाजक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।
यदि a, b से विभाज्य है, तो a और b के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय b के भाजक के समुच्चय के समान है, विशेष रूप से gcd(a, b)=b ।
सबूत।
संख्या a और b का कोई भी सामान्य भाजक इनमें से प्रत्येक संख्या का भाजक है, जिसमें संख्या b भी शामिल है। दूसरी ओर, चूँकि a, b का गुणज है, तो संख्या b का कोई भी भाजक भी संख्या a का भाजक होता है, क्योंकि विभाज्यता में पारगमनशीलता का गुण होता है, इसलिए, संख्या b का कोई भी भाजक a होता है। संख्या a और b का सामान्य भाजक। इससे सिद्ध होता है कि यदि a, b से विभाज्य है, तो a और b संख्याओं के भाजक का समुच्चय एक संख्या b के भाजक के समुच्चय से मेल खाता है। और चूँकि संख्या b का सबसे बड़ा भाजक स्वयं संख्या b है, तो a और b संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक भी b के बराबर होता है, अर्थात gcd(a, b)=b ।
विशेष रूप से, यदि संख्याएँ a और b बराबर हैं, तो gcd(a, b)=gcd(a, a)=gcd(b, b)=a=b. उदाहरण के लिए, gcd(132, 132)=132 ।
सिद्ध सबसे बड़ी भाजक संपत्ति हमें दो संख्याओं की gcd खोजने की अनुमति देती है जब उनमें से एक दूसरे से विभाज्य हो। इस मामले में, जीसीडी इनमें से एक संख्या के बराबर है, जिससे दूसरी संख्या विभाज्य है। उदाहरण के लिए, gcd(8, 24)=8 क्योंकि 24 आठ का गुणज है।
यदि a=b q+c , जहां a , b , c और q पूर्णांक हैं, तो a और b संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय, विशेष रूप से, b और c संख्याओं के उभयनिष्ठ भाजक के समुच्चय से मेल खाता है। ए, बी) = जीसीडी (बी, सी)।
आइए हम GCD के इस गुण का औचित्य सिद्ध करें।
चूँकि समानता a=b·q+c धारण करती है, तो संख्या a और b का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक भी c को विभाजित करता है (यह विभाज्यता के गुणों से होता है)। इसी कारण से, b और c का प्रत्येक उभयनिष्ठ भाजक a को विभाजित करता है। इसलिए, संख्याओं a और b के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय वही होता है जो संख्याओं b और c के उभयनिष्ठ भाजक का समुच्चय होता है। विशेष रूप से, इन सामान्य भाजक में से सबसे बड़ा भी मेल खाना चाहिए, अर्थात, निम्नलिखित समानता मान्य होनी चाहिए gcd(a, b)=gcd(b, c) ।
अब हम एक प्रमेय बनाते और सिद्ध करते हैं, जो है यूक्लिड का एल्गोरिथम. यूक्लिड का एल्गोरिथ्म आपको दो संख्याओं की GCD खोजने की अनुमति देता है (यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके GCD को खोजना देखें)। इसके अलावा, यूक्लिड का एल्गोरिथ्म हमें सबसे बड़े सामान्य भाजक के निम्नलिखित गुणों को साबित करने की अनुमति देगा।
प्रमेय का कथन देने से पहले, हम सिद्धांत खंड से प्रमेय की स्मृति को ताज़ा करने की सलाह देते हैं, जिसमें कहा गया है कि लाभांश a को b q + r के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ b एक भाजक है, q कुछ पूर्णांक है जिसे आंशिक भागफल कहा जाता है, और r एक पूर्णांक है जो उस शर्त को पूरा करता है, जिसे शेष कहा जाता है।
तो, मान लीजिए कि दो शून्येतर धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, समानता की एक श्रृंखला सत्य है 
समाप्त हो रहा है जब r k+1 =0 (जो अपरिहार्य है, क्योंकि b>r 1 >r 2 >r 3 , … घटते पूर्णांकों की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में सकारात्मक संख्याओं की एक सीमित संख्या से अधिक नहीं हो सकती है), फिर r k - a और b का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक है, अर्थात r k =gcd(a, b) ।
सबूत।
आइए पहले हम यह सिद्ध करें कि r k संख्याओं a और b का एक उभयनिष्ठ भाजक है, जिसके बाद हम यह दिखाएंगे कि r k केवल एक भाजक नहीं है, बल्कि संख्याओं a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।
हम लिखित समानता के साथ नीचे से ऊपर की ओर बढ़ेंगे। अंतिम समानता से, हम कह सकते हैं कि r k−1 r k से विभाज्य है। इस तथ्य के साथ-साथ पिछली GCD संपत्ति को देखते हुए, अंतिम समानता r k−2 =r k−1 q k +r k हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि r k−2 r k से विभाज्य है, क्योंकि r k−1 r k से विभाज्य है और r k विभाज्य है आर के द्वारा सादृश्य से, नीचे से तीसरी समानता से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि r k−3 r k से विभाज्य है। और इसी तरह। दूसरी समानता से हम पाते हैं कि b, r k से विभाज्य है, और पहली समानता से हम पाते हैं कि a, r k से विभाज्य है। अत: r k, a और b का उभयनिष्ठ भाजक है।
यह साबित करना बाकी है कि r k =gcd(a, b) । क्योंकि, यह दिखाना पर्याप्त है कि संख्याओं a और b का कोई भी उभयनिष्ठ भाजक (हम इसे r 0 से निरूपित करते हैं) r k को विभाजित करता है।
हम प्रारंभिक समानता के साथ ऊपर से नीचे की ओर बढ़ेंगे। पिछली संपत्ति के आधार पर, यह पहली समानता का अनुसरण करता है कि r 1, r 0 से विभाज्य है। फिर दूसरी समानता से हम पाते हैं कि r 2, r 0 से विभाज्य है। और इसी तरह। अंतिम समानता से हम पाते हैं कि r k, r 0 से विभाज्य है। इस प्रकार, r k =gcd(a, b) ।
यह सबसे बड़े सामान्य भाजक की मानी गई संपत्ति से निम्नानुसार है कि संख्याओं ए और बी के सामान्य भाजक का सेट इन संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक के भाजक के सेट के साथ मेल खाता है। यूक्लिड के एल्गोरिथम का यह कोरोलरी हमें दो संख्याओं के सभी सामान्य भाजक को इन संख्याओं के gcd के भाजक के रूप में खोजने की अनुमति देता है।
मान लीजिए a और b ऐसे पूर्णांक हैं जो एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, फिर ऐसे पूर्णांक u 0 और v 0 हैं, तो समानता gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 सत्य है। अंतिम समानता संख्या a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है, इस समानता को बेज़आउट अनुपात कहा जाता है, और संख्या u 0 और v 0 Bezout गुणांक हैं।
सबूत।
यूक्लिड के एल्गोरिथम के अनुसार, हम निम्नलिखित समानताएँ लिख सकते हैं:
पहली समानता से हमारे पास r 1 =a−b q 1 है, और, 1=s 1 और −q 1 =t 1 को निरूपित करते हुए, यह समानता r 1 =s 1 a+t 1 b, और संख्या s 1 का रूप लेती है। और t 1 पूर्णांक हैं। फिर दूसरी समानता से हम प्राप्त करते हैं r 2 =b−r 1 q 2 = b−(s 1 a+t 1 b) q 2 =−s 1 q 2 a+(1−t 1 q 2) b. −s 1 q 2 =s 2 और 1−t 1 q 2 =t 2 को निरूपित करते हुए, अंतिम समानता को r 2 =s 2 a+t 2 b के रूप में लिखा जा सकता है, और s 2 और t 2 पूर्णांक हैं (क्योंकि योग , अंतर और पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होता है)। इसी तरह, तीसरी समानता से हमें r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b मिलता है, चौथे r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b से, इत्यादि। अंत में, r k =s k ·a+t k ·b , जहां s k और t k पूर्णांक हैं। चूँकि r k =gcd(a, b) , और s k =u 0 और t k =v 0 को निरूपित करते हुए, हम आवश्यक रूप के gcd का एक रैखिक निरूपण प्राप्त करते हैं: gcd(a, b)=a u 0 +b v 0 ।
यदि m कोई प्राकृत संख्या है, तो जीसीडी (एम ए, एम बी) = एम जीसीडी (ए, बी).
सबसे बड़े सामान्य भाजक के इस गुण का तर्क इस प्रकार है। यदि हम यूक्लिड एल्गोरिथम की प्रत्येक समानता के दोनों पक्षों को m से गुणा करते हैं, तो हम पाते हैं कि gcd(m a, m b)=m r k , और r k gcd(a, b) है। फलस्वरूप, जीसीडी (एम ए, एम बी) = एम जीसीडी (ए, बी).
सबसे बड़े सामान्य भाजक का यह गुण अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके GCD को खोजने की विधि का आधार है।
मान लीजिए कि p संख्याओं a और b का कोई उभयनिष्ठ भाजक है, तो जीसीडी (ए: पी, बी: पी) = जीसीडी (ए, बी): पी, विशेष रूप से, यदि p=gcd(a, b) हमारे पास है जीसीडी (ए: जीसीडी (ए, बी), बी: जीसीडी (ए, बी)) = 1, अर्थात्, संख्याएँ a:gcd(a, b) और b:gcd(a, b) सहअभाज्य हैं।
चूंकि a=p (a:p) और b=p (b:p) , और पिछली संपत्ति के कारण, हम फॉर्म की समानता की एक श्रृंखला लिख सकते हैं जीसीडी (ए, बी) = जीसीडी (पी (ए: पी), पी (बी: पी)) = p·gcd(a:p, b:p) , जहां से साबित की जाने वाली समानता इस प्रकार है।
सबसे बड़ी सामान्य भाजक संपत्ति अभी-अभी साबित हुई है।
अब आइए GCD संपत्ति को आवाज दें, जो दो संख्याओं के GCD को क्रमिक रूप से खोजने के लिए तीन या अधिक संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने की समस्या को कम करती है।
संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1 , a 2 , ..., a k संख्या d k के बराबर है, जो GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a की क्रमिक गणना में पाया जाता है) 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 ,…, GCD(d k-1 , a k)=d k ।
सबूत यूक्लिड के एल्गोरिदम से एक कोरोलरी पर आधारित है। संख्याओं a 1 और a 2 के उभयनिष्ठ भाजक वही हैं जो d 2 के भाजक हैं। फिर संख्याओं a 1 , a 2 और a 3 के उभयनिष्ठ भाजक संख्याओं d 2 और a 3 के उभयनिष्ठ भाजक के साथ मेल खाते हैं, इसलिए, वे d 3 के भाजक के साथ मेल खाते हैं। संख्या a 1 , a 2 , a 3 और a 4 के उभयनिष्ठ भाजक d 3 और a 4 के सामान्य भाजक के समान हैं, इसलिए d 4 के भाजक के समान हैं। और इसी तरह। अंत में, a 1 , a 2 , …, k के उभयनिष्ठ भाजक d k के भाजक के साथ मेल खाते हैं। और चूँकि संख्या d k का सबसे बड़ा भाजक संख्या d k ही है, तो GCD(a 1 , a 2 ,…, a k)=d k.
यह सबसे बड़े सामान्य भाजक के मुख्य गुणों की समीक्षा का समापन करता है।
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