किसी फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक परिभाषा

फंक्शन %%y = f(x), x \in X%% दिया गया एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि कोई सूत्र दिया जाता है जो गणितीय संक्रियाओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करता है जिसे इस फ़ंक्शन का मान %%f(x)%% प्राप्त करने के लिए तर्क %%x%% के साथ निष्पादित किया जाना चाहिए।

उदाहरण

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%।

इसलिए, उदाहरण के लिए, भौतिकी में, समान रूप से त्वरित सीधी गति के साथ, एक पिंड की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है t%% को इस प्रकार लिखा जाता है: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%।

टुकड़े-टुकड़े परिभाषित कार्य

कभी-कभी विचाराधीन फ़ंक्शन को कई फ़ार्मुलों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसकी परिभाषा के डोमेन के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, जिसमें फ़ंक्शन तर्क बदलता है। उदाहरण के लिए: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

इस प्रकार के कार्यों को कभी-कभी कहा जाता है घटकया खंड अनुसार. ऐसे फ़ंक्शन का एक उदाहरण %%y = |x|%% है

फंक्शन स्कोप

यदि फ़ंक्शन को एक सूत्र का उपयोग करके एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से निर्दिष्ट किया गया है, लेकिन सेट %%D%% के रूप में फ़ंक्शन का दायरा निर्दिष्ट नहीं है, तो %%D%% से हमारा मतलब हमेशा मानों का सेट होगा तर्क %%x%% जिसके लिए यह सूत्र समझ में आता है। तो फ़ंक्शन %%y = x^2%% के लिए, परिभाषा का डोमेन सेट %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%% है, क्योंकि तर्क %%x% % कोई भी मान ले सकता है संख्या रेखा. और फ़ंक्शन %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% के लिए, परिभाषा का डोमेन %%x%% असमानता को संतुष्ट करने वाले मानों का सेट होगा %% 1 - x^2 > 0%%, मी. %%D = (-1, 1)%%।

स्पष्ट विश्लेषणात्मक कार्य परिभाषा के लाभ

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीका काफी कॉम्पैक्ट है (सूत्र, एक नियम के रूप में, बहुत कम जगह लेता है), आसानी से पुन: प्रस्तुत किया जाता है (सूत्र को लिखना आसान है), और गणितीय संचालन और परिवर्तनों को करने के लिए सबसे अधिक अनुकूलित है कार्य।

इनमें से कुछ संक्रियाएँ - बीजगणितीय (जोड़, गुणा, आदि) - स्कूल के गणित पाठ्यक्रम से अच्छी तरह से जानी जाती हैं, अन्य (विभेदन, एकीकरण) का अध्ययन भविष्य में किया जाएगा। हालांकि, यह विधि हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, क्योंकि तर्क पर फ़ंक्शन की निर्भरता की प्रकृति हमेशा स्पष्ट नहीं होती है, और कभी-कभी फ़ंक्शन के मूल्यों (यदि आवश्यक हो) को खोजने के लिए बोझिल गणना की आवश्यकता होती है।

निहित कार्य विनिर्देश

फ़ंक्शन %%y = f(x)%% परिभाषित किया गया है एक निहित विश्लेषणात्मक तरीके से, यदि संबंध $$F(x,y) = 0 दिया गया है, ~~~~~~~~~(1)$$ फ़ंक्शन %%y%% और तर्क %% के मूल्यों से संबंधित एक्स%%। यदि तर्क मान दिए गए हैं, तो %%x%% के एक विशेष मूल्य के अनुरूप %%y%% का मान ज्ञात करने के लिए, %%y%% के संबंध में समीकरण %%(1)%% को हल करना आवश्यक है %%x%% के उस विशेष मूल्य पर।

%%x%% के मान को देखते हुए, समीकरण %%(1)%% का कोई समाधान या एक से अधिक समाधान नहीं हो सकता है। पहले मामले में, निर्दिष्ट मान %%x%% निहित कार्य के दायरे में नहीं है, और दूसरे मामले में यह निर्दिष्ट करता है बहुमूल्य समारोह, जिसमें किसी दिए गए तर्क मान के लिए एक से अधिक मान हैं।

ध्यान दें कि यदि समीकरण %%(1)%% को %%y = f(x)%% के संबंध में स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, तो हम वही फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं, लेकिन पहले से ही एक स्पष्ट विश्लेषणात्मक तरीके से परिभाषित किया गया है। तो, समीकरण %%x + y^5 - 1 = 0%%

और समानता %%y = \sqrt(1 - x)%% समान फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

पैरामीट्रिक फ़ंक्शन परिभाषा

जब %%y%% की %%x%% पर निर्भरता सीधे नहीं दी जाती है, बल्कि इसके बजाय दोनों चर %%x%% और %%y%% की निर्भरता किसी तीसरे सहायक चर %%t%% पर दी जाती है फार्म में

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$वे बात करते हैं पैरामीट्रिकफ़ंक्शन सेट करने की विधि;

तब सहायक चर %%t%% को पैरामीटर कहा जाता है।

यदि समीकरण %%(2)%% से %%t%% पैरामीटर को बाहर करना संभव है, तो वे %%x%% पर %%y%% की स्पष्ट या अंतर्निहित विश्लेषणात्मक निर्भरता द्वारा दिए गए फ़ंक्शन पर आते हैं . उदाहरण के लिए, संबंधों से $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ को छोड़कर पैरामीटर % %t%% के लिए हमें निर्भरता %%y = 2 x + 2%% मिलती है, जो %%xOy%% समतल में एक सीधी रेखा सेट करती है।

ग्राफिकल तरीका

किसी फ़ंक्शन की चित्रमय परिभाषा का एक उदाहरण

उपरोक्त उदाहरणों से पता चलता है कि किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने का विश्लेषणात्मक तरीका इसके अनुरूप है ग्राफिक छवि, जिसे किसी फ़ंक्शन का वर्णन करने का एक सुविधाजनक और दृश्य रूप माना जा सकता है। कभी-कभी इस्तेमाल किया जाता है ग्राफिक तरीकाएक फ़ंक्शन को परिभाषित करना जब %%x%% पर %%y%% की निर्भरता %%xOy%% विमान पर एक पंक्ति द्वारा दी जाती है। हालांकि, इसकी सभी स्पष्टता के लिए, यह सटीकता में खो देता है, क्योंकि तर्क के मान और फ़ंक्शन के संबंधित मान केवल ग्राफ़ से ही प्राप्त किए जा सकते हैं। परिणामी त्रुटि ग्राफ़ के अलग-अलग बिंदुओं के भुज और कोटि को मापने के पैमाने और सटीकता पर निर्भर करती है। भविष्य में, हम फ़ंक्शन ग्राफ़ को केवल फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाने की भूमिका सौंपेंगे और इसलिए हम स्वयं को ग्राफ़ के "स्केच" बनाने तक सीमित रखेंगे जो फ़ंक्शन की मुख्य विशेषताओं को दर्शाते हैं।

सारणीबद्ध तरीका

टिप्पणी सारणीबद्ध तरीकाफ़ंक्शन असाइनमेंट, जब कुछ तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान एक निश्चित क्रम में तालिका में रखे जाते हैं। इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों की सुप्रसिद्ध सारणी, लघुगणक सारणी आदि का निर्माण किया जाता है। एक तालिका के रूप में, प्रयोगात्मक अध्ययनों, टिप्पणियों और परीक्षणों में मापी गई मात्राओं के बीच संबंध आमतौर पर प्रस्तुत किया जाता है।

इस पद्धति का नुकसान तर्क के मूल्यों के लिए फ़ंक्शन के मूल्यों को सीधे निर्धारित करने की असंभवता है जो तालिका में शामिल नहीं हैं। यदि विश्वास है कि तालिका में प्रस्तुत नहीं किए गए तर्क के मान विचार किए गए फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित हैं, तो फ़ंक्शन के संबंधित मानों की गणना लगभग प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन का उपयोग करके की जा सकती है।

उदाहरण

एक्स	3	5.1	10	12.5
आप	9	23	80	110

कार्यों को निर्दिष्ट करने के एल्गोरिथम और मौखिक तरीके

समारोह सेट किया जा सकता है एल्गोरिथम(या कार्यक्रम संबंधी) एक तरह से जो कंप्यूटर गणना में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अंत में, यह नोट किया जा सकता है वर्णनात्मक(या मौखिक) किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने का एक तरीका, जब फ़ंक्शन के मानों को तर्क के मानों से मिलान करने का नियम शब्दों में व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन %%[x] = m~\forall (x \in , स्थिरांक (-∞; -5];4. सीमित - नीचे से सीमित5. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान - y naim = 0, y naib - मौजूद नहीं है;6. निरंतरता - परिभाषा के पूरे क्षेत्र में निरंतर;7. मूल्यों की श्रेणी - , उत्तल और ऊपर और नीचे (-∞; -5] और [-2; +∞)।VI. एक नए स्तर पर ज्ञान का पुनरुत्पादन। आप जानते हैं कि दिए गए फलन के टुकड़ों के आधार पर रेखांकन का निर्माण और जांच फंक्शन सेक्शन में बीजगणित परीक्षा के दूसरे भाग में शामिल है और 4 और 6 अंकों के साथ मूल्यांकन किया जाता है। आइए कार्यों के संग्रह की ओर मुड़ें। पृष्ठ 119 - संख्या 4.19-1)। समाधान: 1)। y \u003d - x, - द्विघात कार्य, ग्राफ - परवलय, शाखाएँ नीचे (a \u003d -1, a 0) . एक्स -2 -1 0 1 2 वाई -4 -1 0 1 4 2) y \u003d 3x - 10, - एक रैखिक कार्य, ग्राफ एक सीधी रेखा हैआइए कुछ मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्स 3 3 वाई 0 -1 3) y \u003d -3x -10, - एक रैखिक कार्य, ग्राफ एक सीधी रेखा हैआइए कुछ मूल्यों की एक तालिका बनाएंएक्स -3 -3 वाई 0 -1 4) हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ बनाते हैं और दिए गए अंतराल पर ग्राफ के कुछ हिस्सों का चयन करते हैं।
आइए हम उस ग्राफ से ज्ञात करें जिसके लिए x के मान फ़ंक्शन के मान गैर-ऋणात्मक हैं।उत्तर: f(x) 0 x = 0 के लिए और for 3 VII गैर-मानक कार्यों पर काम करें। नंबर 4.29-1), पी. 121।समाधान: 1) प्रत्यक्ष (बाएं) y \u003d kx + b बिंदुओं (-4;0) और (-2;2) से होकर गुजरता है। तो -4 के + बी = 0, -2 के + बी = 2;
के \u003d 1, बी \u003d 4, वाई \u003d एक्स + 4। उत्तर: x +4 यदि x -2वाई = अगर -2 एक्स £3 3 अगर x 3
आठवीं। ज्ञान नियंत्रण। तो, चलिए थोड़ा संक्षेप करते हैं। हमने पाठ में क्या दोहराया? फंक्शन रिसर्च प्लान, पीसवाइज फंक्शन ग्राफ को प्लॉट करने के लिए स्टेप्स, फंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से सेट करना। आइए देखें कि आपने यह सामग्री कैसे सीखी। "4" - "5", "3" के लिए परीक्षण I विकल्प संख्या U
2 1 -1 -1 1 एक्स

डी (एफ) =, उत्तल और ऊपर और नीचे, उत्तल ऊपर और नीचे, ________ द्वारा घटते हुए ________ सीमित कम से कम मौजूद नहीं है, अधिकतम = _____ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर ई (एफ) = ____________ उत्तल और परिभाषा के पूरे क्षेत्र द्वारा नीचे और ऊपर

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान

माध्यमिक विद्यालय 13

"टुकड़ावार कार्य"

सपोगोवा वेलेंटीना और

डोंस्काया एलेक्जेंड्रा

प्रमुख सलाहकार:

बर्ड्स्की

1. मुख्य लक्ष्यों और उद्देश्यों की परिभाषा।

2. पूछताछ।

2.1. काम की प्रासंगिकता का निर्धारण

2.2. व्यवहारिक महत्व।

3. कार्यों का इतिहास।

4. सामान्य विशेषताएं।

5. फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।

6. निर्माण एल्गोरिथ्म।

8. प्रयुक्त साहित्य।

1. मुख्य लक्ष्यों और उद्देश्यों की परिभाषा।

लक्ष्य:

टुकड़े-टुकड़े के कार्यों को हल करने का एक तरीका खोजें और इसके आधार पर, उनके निर्माण के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करें।

कार्य:

- टुकड़े-टुकड़े कार्यों की सामान्य अवधारणा से परिचित हों;

- "फ़ंक्शन" शब्द का इतिहास जानें;

- सर्वेक्षण कराना;

- टुकड़े-टुकड़े कार्यों को स्थापित करने के तरीकों की पहचान करने के लिए;

- उनके निर्माण के लिए एक एल्गोरिथम बनाएं;

2. पूछताछ।

हाई स्कूल के छात्रों के बीच टुकड़े-टुकड़े कार्यों के निर्माण की क्षमता पर एक सर्वेक्षण किया गया था। उत्तरदाताओं की कुल संख्या 54 लोग थे। उनमें से, 6% ने पूर्ण रूप से कार्य पूरा किया। 28% काम पूरा करने में सक्षम थे, लेकिन कुछ त्रुटियों के साथ। 62% - काम नहीं हो सका, हालाँकि उन्होंने कुछ प्रयास किए, और शेष 4% ने काम बिल्कुल भी शुरू नहीं किया।

इस सर्वेक्षण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे विद्यालय के जो छात्र कार्यक्रम से गुजरते हैं उनके पास अपर्याप्त ज्ञान का आधार है, क्योंकि यह लेखक इस तरह के कार्यों पर अधिक ध्यान नहीं देता है। इसी से हमारे काम की प्रासंगिकता और व्यावहारिक महत्व का पता चलता है।

2.1. काम की प्रासंगिकता का निर्धारण।

प्रासंगिकता:

जीआईए और यूएसई दोनों में टुकड़े-टुकड़े के कार्य पाए जाते हैं, जिन कार्यों में इस प्रकार के कार्य होते हैं उनका मूल्यांकन 2 या अधिक बिंदुओं पर किया जाता है। और, इसलिए, आपका आकलन उनके निर्णय पर निर्भर हो सकता है।

2.2. व्यवहारिक महत्व।

हमारे काम का परिणाम टुकड़े-टुकड़े कार्यों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म होगा, जो उनके निर्माण को समझने में मदद करेगा। और यह परीक्षा में मनचाहा ग्रेड पाने की संभावना को जोड़ देगा।

3. कार्यों का इतिहास।

- "बीजगणित ग्रेड 9", आदि;

निरंतरता और टुकड़े-टुकड़े कार्यों की साजिश एक जटिल विषय है। एक व्यावहारिक पाठ में सीधे ग्राफ़ बनाना सीखना बेहतर है। यहाँ, निरंतरता पर अध्ययन मुख्य रूप से दिखाया गया है।

यह जाना जाता है कि प्राथमिक कार्य(देखें पृष्ठ 16) सभी बिंदुओं पर निरंतर है जहां इसे परिभाषित किया गया है। इसलिए, प्राथमिक कार्यों में असंततता केवल दो प्रकार के बिंदुओं पर ही संभव है:

ए) उन बिंदुओं पर जहां फ़ंक्शन "ओवरराइड" है;

बी) उन बिंदुओं पर जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है।

तदनुसार, अध्ययन के दौरान निरंतरता के लिए केवल ऐसे बिंदुओं की जाँच की जाती है, जैसा कि उदाहरणों में दिखाया गया है।

गैर-प्राथमिक कार्यों के लिए, अध्ययन अधिक कठिन है। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन (किसी संख्या का पूर्णांक भाग) को संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया जाता है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक पर एक विराम होता है एक्स. इस तरह के प्रश्न इस गाइड के दायरे से बाहर हैं।

सामग्री का अध्ययन करने से पहले, आपको एक व्याख्यान या पाठ्यपुस्तक से दोहराना चाहिए कि (किस तरह के) विराम बिंदु हैं।

निरंतरता के लिए दिए गए कार्यों की टुकड़े-टुकड़े की जांच

समारोह सेट खंड अनुसार, यदि यह परिभाषा के क्षेत्र के विभिन्न भागों में विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया गया है।

इस तरह के कार्यों के अध्ययन में मुख्य विचार यह पता लगाना है कि क्या फ़ंक्शन को उन बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है जहां इसे फिर से परिभाषित किया गया है, और कैसे। फिर यह जांचा जाता है कि क्या ऐसे बिंदुओं के बाएँ और दाएँ फ़ंक्शन के मान समान हैं।

उदाहरण 1आइए हम दिखाते हैं कि फ़ंक्शन
निरंतर।

समारोह
प्राथमिक है और इसलिए उन बिंदुओं पर निरंतर है जिन पर इसे परिभाषित किया गया है। लेकिन, जाहिर है, इसे सभी बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है। इसलिए, यह सभी बिंदुओं पर निरंतर है, जिसमें at . भी शामिल है
, शर्त के अनुसार आवश्यक है।

फ़ंक्शन के लिए भी यही सच है
, और कम से
यह निरंतर है।

ऐसे मामलों में, निरंतरता को केवल तभी तोड़ा जा सकता है जहां फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित किया गया हो। हमारे उदाहरण में, यह बिंदु है
. आइए इसकी जाँच करें, जिसके लिए हम बाएँ और दाएँ सीमाएँ पाते हैं:

बाएँ और दाएँ की सीमाएँ समान हैं। यह देखने की बात है:

ए) क्या फ़ंक्शन को बिंदु पर ही परिभाषित किया गया है
;

बी) यदि हां, तो क्या यह मेल खाता है?
बाएँ और दाएँ सीमा मानों के साथ।

शर्त के अनुसार, यदि
, फिर
. इसीलिए
.

हम देखते हैं कि (सभी संख्या 2 के बराबर हैं)। इसका मतलब है कि बिंदु पर
समारोह निरंतर है. तो फ़ंक्शन बिंदु सहित संपूर्ण अक्ष पर निरंतर है
.

समाधान नोट्स

a) इसने गणना में कोई भूमिका नहीं निभाई, स्थानापन्नहम एक विशिष्ट संख्या सूत्र में हैं
या
. यह आम तौर पर महत्वपूर्ण होता है जब एक अन्तर्निहित मूल्य से विभाजित किया जाता है, क्योंकि यह अनंत के संकेत को प्रभावित करता है। यहां
तथा
केवल के लिए जिम्मेदार समारोह चयन;

बी) एक नियम के रूप में, पदनाम
तथा
समान हैं, वही पदनामों पर लागू होता है
तथा
(और किसी भी बिंदु के लिए सही है, सिर्फ के लिए नहीं
) निम्नलिखित में, संक्षिप्तता के लिए, हम फॉर्म के नोटेशन का उपयोग करते हैं
;

ग) जब बाईं ओर और दाईं ओर की सीमाएँ समान हों, निरंतरता की जाँच करने के लिए, वास्तव में, यह देखना बाकी है कि क्या असमानताओं में से एक ढीला. उदाहरण में, यह दूसरी असमानता निकली।

उदाहरण 2हम समारोह की निरंतरता की जांच करते हैं
.

उन्हीं कारणों से जैसे उदाहरण 1 में, निरंतरता को केवल बिंदु पर ही तोड़ा जा सकता है
. चलो देखते है:

बाएँ और दाएँ की सीमाएँ समान हैं, लेकिन बिंदु पर ही
फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है (असमानताएं सख्त हैं)। इसका मतलब है कि
- डॉट मरम्मत योग्य अंतर.

"हटाने योग्य असंतुलन" का अर्थ है कि यह या तो किसी भी असमानता को गैर-सख्त बनाने के लिए पर्याप्त है, या एक अलग बिंदु का आविष्कार करने के लिए पर्याप्त है
फ़ंक्शन, जिसका मान at
-5 है, या बस इंगित करें कि
ताकि पूरा समारोह
निरंतर हो गया।

उत्तर:दूरसंचार विभाग
- विराम बिंदु।

टिप्पणी 1.साहित्य में, एक हटाने योग्य अंतर को आमतौर पर पहली तरह के अंतराल का एक विशेष मामला माना जाता है, हालांकि, छात्रों को अक्सर एक अलग प्रकार के अंतराल के रूप में समझा जाता है। विसंगतियों से बचने के लिए, हम पहले दृष्टिकोण का पालन करेंगे, और हम विशेष रूप से पहली तरह के "अपरिवर्तनीय" अंतर को निर्धारित करेंगे।

उदाहरण 3जांचें कि क्या फ़ंक्शन निरंतर है

बिंदु पर

बाएँ और दाएँ की सीमाएँ भिन्न हैं:
. फ़ंक्शन परिभाषित है या नहीं
(हाँ) और यदि हां, तो क्या बराबर है (2 के बराबर है), बिंदु
–पहली तरह की अपरिवर्तनीय असंततता का बिंदु.

बिंदु पर
चल रहा अंतिम छलांग(1 से 2 तक)।

उत्तर:दूरसंचार विभाग

टिप्पणी 2.के बजाय
तथा
आमतौर पर लिखें
तथा
क्रमश।

उपलब्ध प्रश्न:कार्य कैसे भिन्न हैं

तथा
,

और उनके चार्ट भी? सही उत्तर:

ए) दूसरा कार्य बिंदु पर परिभाषित नहीं है
;

बी) पहले समारोह के ग्राफ पर, बिंदु
"पेंट ओवर", ग्राफ़ 2 पर - नहीं ("पंचर पॉइंट")।

दूरसंचार विभाग
जहां ग्राफ समाप्त होता है
, दोनों भूखंडों में छायांकित नहीं है।

उन कार्यों का अध्ययन करना अधिक कठिन है जिन्हें अलग-अलग परिभाषित किया गया है तीनभूखंड

उदाहरण 4क्या कार्य निरंतर है?
?

उदाहरण 1 - 3 की तरह, प्रत्येक फलन
,
तथा पूरे संख्यात्मक अक्ष पर निरंतर है, जिसमें वह खंड भी शामिल है जिस पर इसे दिया गया है। अंतर केवल बिंदु पर ही संभव है
या (और) बिंदु पर
जहां फ़ंक्शन ओवरराइड किया गया है।

कार्य को 2 उप-कार्यों में विभाजित किया गया है: फ़ंक्शन की निरंतरता की जांच करने के लिए

तथा
,

इसके अलावा, बिंदु
समारोह के लिए रुचि का नहीं
, और बिंदु
- समारोह के लिए
.

पहला कदम।बिंदु की जाँच
और समारोह
(हम सूचकांक नहीं लिखते हैं):

सीमाएं मेल खाती हैं। शर्त से,
(यदि बाईं और दाईं ओर की सीमाएँ समान हैं, तो फ़ंक्शन वास्तव में निरंतर होता है जब कोई एक असमानता सख्त नहीं होती है)। तो बिंदु पर
समारोह निरंतर है।

दूसरा चरण।बिंदु की जाँच
और समारोह
:

क्यों कि
, डॉट
पहली तरह का एक असंततता बिंदु है, और मूल्य
(और क्या यह बिल्कुल भी मौजूद है) अब मायने नहीं रखता।

उत्तर:फ़ंक्शन बिंदु को छोड़कर सभी बिंदुओं पर निरंतर है
, जहां पहली तरह की एक अपरिवर्तनीय विच्छेदन है - 6 से 4 तक की छलांग।

उदाहरण 5फ़ंक्शन ब्रेक पॉइंट खोजें
.

हम उसी तरह कार्य करते हैं जैसे उदाहरण 4 में।

पहला कदम।बिंदु की जाँच
:

एक)
, क्योंकि . के बाईं ओर
फ़ंक्शन स्थिर है और 0 के बराबर है;

बी) (
एक समान कार्य है)।

हद तो वही है, पर
फ़ंक्शन को स्थिति द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है, और यह पता चला है कि
- विराम बिंदु।

दूसरा चरण।बिंदु की जाँच
:

एक)
;

बी)
- फ़ंक्शन का मान चर पर निर्भर नहीं करता है।

सीमाएं अलग हैं: , डॉट
पहली तरह की अपरिवर्तनीय असंततता का बिंदु है।

उत्तर:
- विराम बिंदु,
पहली तरह की अपरिवर्तनीय असंततता का एक बिंदु है, अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन निरंतर है।

उदाहरण 6क्या कार्य निरंतर है?
?

समारोह
पर निर्धारित
, तो शर्त
शर्त बन जाती है
.

दूसरी ओर, समारोह
पर निर्धारित
, अर्थात। पर
. तो शर्त
शर्त बन जाती है
.

यह पता चला है कि शर्त पूरी होनी चाहिए
, और संपूर्ण फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खंड है
.

कार्य स्वयं
तथा
प्राथमिक हैं और इसलिए उन सभी बिंदुओं पर निरंतर हैं जिन पर उन्हें परिभाषित किया गया है - विशेष रूप से, और के लिए
.

यह जांचना बाकी है कि बिंदु पर क्या होता है
:

एक)
;

क्यों कि
, देखें कि क्या फ़ंक्शन को बिंदु पर परिभाषित किया गया है
. हां, पहली असमानता के संबंध में सख्त नहीं है
, और यह काफी है।

उत्तर:फ़ंक्शन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है
और उस पर निरंतर।

अधिक जटिल मामले, जब एक घटक कार्य गैर-प्राथमिक है या इसके खंड में किसी भी बिंदु पर परिभाषित नहीं है, मैनुअल के दायरे से बाहर हैं।

एनएफ1.प्लॉट फ़ंक्शन ग्राफ़। ध्यान दें कि क्या फ़ंक्शन को उस बिंदु पर परिभाषित किया गया है जिस पर इसे फिर से परिभाषित किया गया है, और यदि हां, तो फ़ंक्शन का मान क्या है (शब्द " यदि"संक्षिप्तता के लिए फ़ंक्शन परिभाषा में छोड़ा गया है):

1) क)
बी)
में)
जी)

2) क)
बी)
में)
जी)

3) क)
बी)
में)
जी)

4) क)
बी)
में)
जी)

उदाहरण 7होने देना
. फिर साइट पर
एक क्षैतिज रेखा बनाएँ
, और साइट पर
एक क्षैतिज रेखा बनाएँ
. इस मामले में, निर्देशांक के साथ बिंदु
"गॉग आउट" और डॉट
"चित्रित"। बिंदु पर
पहली तरह ("कूद") की एक निरंतरता प्राप्त की जाती है, और
.

एनएफ2.निरंतरता के लिए 3 अंतरालों पर अलग-अलग परिभाषित कार्यों की जांच करें। रेखांकन प्लॉट करें:

1) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

2) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

3) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

उदाहरण 8होने देना
. स्थान पर
एक सीधी रेखा बनाएँ
, जिसके लिए हम पाते हैं
तथा
. बिंदुओं को कनेक्ट करना
तथा
खंड। हम स्वयं बिंदुओं को शामिल नहीं करते हैं, क्योंकि
तथा
फ़ंक्शन को स्थिति द्वारा परिभाषित नहीं किया गया है।

स्थान पर
तथा
OX अक्ष को घेरें (इस पर
), लेकिन अंक
तथा
"पटक देना"। बिंदु पर
हम एक हटाने योग्य असंततता प्राप्त करते हैं, और बिंदु पर
- पहली तरह की निरंतरता ("कूद")।

एनएफ3.फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें और सुनिश्चित करें कि वे निरंतर हैं:

1) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

2) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

एनएफ4.सुनिश्चित करें कि फ़ंक्शन निरंतर हैं और उनके ग्राफ़ बनाएं:

1) क)
बी)
में)

2 ए)
बी)
में)

3) क)
बी)
में)

एनएफ5.प्लॉट फ़ंक्शन ग्राफ़। निरंतरता पर ध्यान दें:

1) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

2) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

3) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

4) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

5) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

एनएफ6.असंतत कार्यों के प्लॉट ग्राफ। फ़ंक्शन के मान को उस बिंदु पर नोट करें जहां फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित किया गया है (और क्या यह मौजूद है):

1) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

2) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

3) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

4) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

5) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

एनएफ7.एनएफ 6 के समान कार्य:

1) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

2) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

3) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

4) क)
बी)
में)

जी)
इ)
इ)

प्रकृति में होने वाली वास्तविक प्रक्रियाओं को कार्यों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, हम दो मुख्य प्रकार की प्रक्रियाओं के प्रवाह को अलग कर सकते हैं जो एक दूसरे के विपरीत हैं - ये हैं क्रमिकया निरंतरतथा अकड़नेवाला(एक उदाहरण गेंद का गिरना और पलटना होगा)। लेकिन अगर असंतत प्रक्रियाएं हैं, तो उनके विवरण के लिए विशेष साधन हैं। इस प्रयोजन के लिए, ऐसे फलन जिनमें असंबद्धताएँ, छलांगें होती हैं, संचलन में डाल दिए जाते हैं, अर्थात् संख्यात्मक रेखा के विभिन्न भागों में, फलन विभिन्न नियमों के अनुसार व्यवहार करता है और, तदनुसार, विभिन्न सूत्रों द्वारा दिया जाता है। असंततता बिंदुओं और हटाने योग्य असंततता की अवधारणाओं को पेश किया गया है।

निश्चित रूप से आपने तर्क के मूल्यों के आधार पर कई सूत्रों द्वारा परिभाषित कार्यों को देखा है, उदाहरण के लिए:

y \u003d (x - 3, x\u003e -3 के साथ;
(-(x - 3), x . के लिए< -3.

ऐसे कार्यों को कहा जाता है खंड अनुसारया खंड अनुसार. विभिन्न नौकरी सूत्रों के साथ संख्या रेखा के अनुभाग, आइए कॉल करें संघटककार्यक्षेत्र। सभी घटकों का संघ टुकड़े-टुकड़े के कार्य का डोमेन है। वे बिंदु जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन को घटकों में विभाजित करते हैं, कहलाते हैं सीमा बिंदु. परिभाषा के प्रत्येक घटक डोमेन पर एक टुकड़े-टुकड़े कार्य को परिभाषित करने वाले सूत्र कहलाते हैं आने वाले कार्य. प्रत्येक विभाजन अंतराल पर बनाए गए ग्राफ़ के भागों के संयोजन के परिणामस्वरूप दिए गए कार्यों के ग्राफ़ प्राप्त होते हैं।

व्यायाम।

टुकड़े-टुकड़े कार्यों के रेखांकन बनाएँ:

1) (-3, -4 x . के साथ)< 0,
f(x) = (0, x = 0 के लिए,
(1, 0 . पर< x ≤ 5.

पहले फलन का ग्राफ बिंदु y = -3 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह निर्देशांक (-4; -3) के साथ बिंदु पर उत्पन्न होता है, निर्देशांक (0; -3) के साथ बिंदु पर भुज अक्ष के समानांतर जाता है। दूसरे फ़ंक्शन का ग्राफ निर्देशांक (0; 0) वाला एक बिंदु है। तीसरा ग्राफ पहले के समान है - यह बिंदु y \u003d 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, लेकिन पहले से ही ऑक्स अक्ष के साथ 0 से 5 के क्षेत्र में है।

उत्तर : आकृति 1.

2) (3 यदि x -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| अगर -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 यदि x > 4.

प्रत्येक फलन पर अलग-अलग विचार करें और उसका आलेख आलेखित करें।

तो, f(x) = 3 ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, लेकिन इसे केवल उस क्षेत्र में खींचा जाना चाहिए जहां x -4 है।

फलन का ग्राफ f(x) = |x 2 - 4|x| + 3| परवलय y \u003d x 2 - 4x + 3 से प्राप्त किया जा सकता है। इसका ग्राफ बनाने के बाद, आकृति का वह भाग जो ऑक्स अक्ष के ऊपर स्थित है, उसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए, और जो भाग भुज अक्ष के नीचे स्थित है, उसे सममित रूप से प्रदर्शित किया जाना चाहिए। ऑक्स अक्ष के सापेक्ष। फिर सममित रूप से ग्राफ़ के उस भाग को प्रदर्शित करें जहाँ
x ≥ 0 ऋणात्मक x के लिए ओए अक्ष के बारे में। सभी परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्राप्त ग्राफ केवल -4 से 4 के क्षेत्र में भुज के साथ छोड़ दिया जाता है।

तीसरे फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, और शीर्ष निर्देशांक (4; 3) के साथ बिंदु पर होता है। चित्र को केवल उस क्षेत्र में दर्शाया गया है जहाँ x > 4 है।

उत्तर : आकृति 2.

3) (8 - (x + 6) 2 यदि x -6,
f(x) = (|x 2 - 6|x| + 8| अगर -6 ≤ x< 5,
(3 यदि x 5.

प्रस्तावित टुकड़े के अनुसार दिए गए फ़ंक्शन का निर्माण पिछले पैराग्राफ के समान है। यहां, पहले दो कार्यों के ग्राफ परवलय परिवर्तनों से प्राप्त होते हैं, और तीसरे का ग्राफ ऑक्स के समानांतर एक सीधी रेखा है।

उत्तर : आकृति 3.

4) फलन y = x - |x| . को आलेखित कीजिए + (x - 1 - |x|/x) 2 ।

समाधान।इस फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं हैं। आइए मॉड्यूल खोलें। ऐसा करने के लिए, दो मामलों पर विचार करें:

1) x > 0 के लिए, हमें y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 प्राप्त होता है।

2) x . के लिए< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

इस प्रकार, हमारे पास एक टुकड़ावार दिया गया कार्य है:

y = ((x - 2) 2 , x > 0 के लिए;
(x 2 + 2x, x . के लिए< 0.

दोनों कार्यों के रेखांकन परवलय हैं, जिनकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

उत्तर : आकृति 4.

5) फलन y = (x + |x|/x – 1) 2 आलेखित कीजिए।

समाधान।

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन का डोमेन शून्य को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं हैं। मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद, हमें एक टुकड़ा-टुकड़ा दिया गया फ़ंक्शन मिलता है:

1) x > 0 के लिए, हमें y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 प्राप्त होता है।

2) x . के लिए< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

आइए फिर से लिखें।

y \u003d (x 2, x\u003e 0 के लिए;
((x - 2) 2 , x . के लिए< 0.

इन कार्यों के रेखांकन परवलय हैं।

उत्तर : चित्र 5.

6) क्या कोई ऐसा फलन है जिसके निर्देशांक तल पर किसी रेखा के साथ उभयनिष्ठ बिंदु है?

समाधान।

हाँ वहाँ है।

एक उदाहरण फलन f(x) = x 3 होगा। वास्तव में, घन परवलय का ग्राफ ऊर्ध्वाधर रेखा x = a के साथ बिंदु (a; a 3) पर प्रतिच्छेद करता है। अब सरल रेखा को समीकरण y = kx + b द्वारा दिया गया है। फिर समीकरण
x 3 - kx - b \u003d 0 का एक वास्तविक मूल x 0 है (चूंकि विषम डिग्री वाले बहुपद में हमेशा कम से कम एक वास्तविक मूल होता है)। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ सीधी रेखा y \u003d kx + b के साथ प्रतिच्छेद करता है, उदाहरण के लिए, बिंदु (x 0; x 0 3) पर।

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