सुनहरा अनुपात (अनुपात) क्या है? श्क्रुदनेव फेडर दिमित्रिच - स्वर्ण अनुपात।

ग्रंथ सूची विवरण:मैक्सिमेंको ओ.वी., पादरी वी.एस., वोरफोलोमेवा पी.वी., मोज़िकोवा के.ए., निकोलेवा एम.ई., श्मेलेवा ओ.वी. गोल्डन सेक्शन की अवधारणा पर // युवा वैज्ञानिक। - 2016. - संख्या 6.1। - एस. 35-39..03.2019)।

"ज्यामिति में दो खजाने हैं:

उनमें से एक पाइथागोरस प्रमेय है,

दूसरा मध्य और चरम अनुपात में खंड का विभाजन है "

जोहान्स केप्लर

कीवर्ड: सुनहरा अनुपात, सुनहरा अनुपात, वैज्ञानिक घटना।

हमारे काम का उद्देश्य ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में "गोल्डन सेक्शन" से संबंधित जानकारी के स्रोतों का अध्ययन करना, पैटर्न की पहचान करना और विज्ञान के बीच संबंध खोजना, गोल्डन सेक्शन के व्यावहारिक अर्थ की पहचान करना है।

इस अध्ययन की प्रासंगिकता गणित और कला में स्वर्ण खंड के उपयोग के सदियों पुराने इतिहास से निर्धारित होती है। पूर्वजों ने जिस बात को लेकर असमंजस में डाला वह प्रासंगिक बनी हुई है और समकालीनों की रुचि जगाती है।

हर समय, लोगों ने अपने आसपास की दुनिया में पैटर्न खोजने की कोशिश की है। उन्होंने अपने आप को अपने दृष्टिकोण से "सही" रूप की वस्तुओं से घेर लिया। केवल गणित के विकास के साथ ही लोगों ने "स्वर्ण अनुपात" को मापने का प्रबंधन किया, जिसे बाद में "स्वर्ण अनुपात" के रूप में जाना जाने लगा।

सुनहरा अनुपात- हार्मोनिक अनुपात

सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या, दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है (चित्र 1)।

ए: बी = बी: सी

चावल। 1. स्वर्ण अनुपात के अनुसार खंड का विभाजन

आइए आपको याद दिलाते हैं कि सुनहरा अनुपात क्या है। सुनहरे अनुपात की सबसे अधिक क्षमता वाली परिभाषा कहती है कि छोटा हिस्सा बड़े से संबंधित है, क्योंकि बड़ा हिस्सा पूरे से है। इसका अनुमानित मान 1.6180339887 है। एक गोल प्रतिशत में, पूरे के भागों का अनुपात 62% से 38% के रूप में सहसंबद्ध होगा। यह अनुपात स्थान और समय के रूप में कार्य करता है।

स्वर्ण त्रिभुज औरआयत

खंड को असमान भागों (स्वर्ण खंड) में विभाजित करने के अलावा, स्वर्ण त्रिभुज और स्वर्ण आयत पर विचार करें।

एक सुनहरा आयत एक आयत होता है जिसकी भुजाओं की लंबाई सुनहरे अनुपात में होती है (चित्र 2)।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसकी भुजाएँ शीर्ष पर 36° का कोण बनाती हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है (चित्र 3)।

रेखा चित्र नम्बर 2। सुनहरा आयत

चित्र 3 स्वर्ण त्रिभुज

पंचकोण जो तंत्र में प्रयुक्त होता है

एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है, जो इसे सुनहरे खंड में काटता है, अर्थात नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरे से बैंगनी का अनुपात 1.618 (चित्र 4) है।

चित्र 4. पेंटाग्राम-स्वच्छता

पाइथागोरस ने दावा किया कि पेंटाग्राम, या, जैसा कि उन्होंने इसे कहा, हाइजीया, एक गणितीय पूर्णता है, क्योंकि यह सुनहरे अनुपात को छुपाता है। नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी का अनुपात सुनहरा अनुपात है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की श्रृंखला को फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है।

तो, 21:34 = 0.617

34: 55 = 0,618.

स्वर्ण खंड का इतिहास

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था।

सुनहरे अनुपात मेंमानव शरीर के अंग

1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया।

Zeising ने लगभग दो हज़ार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून (चित्र 5) को व्यक्त करता है।

अंजीर। मानव शरीर के कुछ हिस्सों में 5 सुनहरा अनुपात

सुनहरा अनुपातवन्यजीव

यह आश्चर्यजनक है कि मानव ज्ञान के कई वर्गों में सिर्फ एक गणितीय अवधारणा कैसे पाई जाती है। ऐसा लगता है कि सद्भाव और अराजकता, गणित और कला को जोड़ते हुए, यह दुनिया की हर चीज में व्याप्त है।

जैविक अध्ययनों से पता चला है कि, वायरस और पौधों से शुरू होकर और मानव शरीर के साथ समाप्त होने पर, हर जगह सुनहरा अनुपात प्रकट होता है, जो उनकी संरचना की आनुपातिकता और सद्भाव की विशेषता है। स्वर्ण अनुपात को जीवित प्रणालियों के एक सार्वभौमिक नियम के रूप में मान्यता प्राप्त है।

एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 (छवि 6) के रूप में संबंधित होती है।

Fig.6 छिपकली के शरीर के अंगों में सुनहरा अनुपात

सुनहरा अनुपातवास्तुकला

"गोल्डन सेक्शन" के बारे में किताबों में एक टिप्पणी मिल सकती है कि वास्तुकला में, पेंटिंग के रूप में, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और अगर एक तरफ एक इमारत में कुछ अनुपात "गोल्डन सेक्शन" बनाते हैं, फिर अन्य दृष्टिकोणों से वे भिन्न दिखाई देंगे। "गोल्डन सेक्शन" निश्चित लंबाई के आकार का सबसे आराम से अनुपात देता है।

प्राचीन यूनानी वास्तुकला की सबसे सुंदर कृतियों में से एक है पार्थेनन (चित्र 7)। इमारत की ऊंचाई और इसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटा के कुछ प्रोट्रूशियंस मिलेंगे।

प्राचीन वास्तुकला का एक और उदाहरण चेप्स का पिरामिड है (चित्र 8)।

ग्रेट पिरामिड के अनुपात को "गोल्डन रेशियो" में बनाए रखा जाता है

प्राचीन बिल्डरों ने लगभग पूर्ण इंजीनियरिंग सटीकता और समरूपता के साथ इस राजसी स्मारक का निर्माण करने में कामयाबी हासिल की।

चित्र 7. पार्थेनन

चित्र 8. चेप्स का पिरामिड

सुनहरा अनुपातमूर्ति

"गोल्डन सेक्शन" के अनुपात सुंदरता के सामंजस्य की छाप पैदा करते हैं, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया। इसलिए, उदाहरण के लिए, अपोलो बेल्वेडियर की प्रसिद्ध प्रतिमा में ऐसे भाग होते हैं जो सुनहरे अनुपात (चित्र 9) के अनुसार विभाजित होते हैं।

Fig.9 अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति

सुनहरा अनुपातचित्र

पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान देना बंद नहीं किया जा सकता है। आइए पेंटिंग "ला जियोकोंडा" पर करीब से नज़र डालें। चित्र की रचना स्वर्ण त्रिभुजों पर बनी है (चित्र 10)।

अंजीर। 10 लियोनार्डो दा विंची "जियोकोंडा"

पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन का एक और उदाहरण राफेल की पेंटिंग द नरसंहार ऑफ द इनोसेंट्स (चित्र 11) है। राफेल के प्रारंभिक स्केच पर, रचना के शब्दार्थ केंद्र से लाल रेखाएँ खींची जाती हैं। यदि आप स्वाभाविक रूप से वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ते हैं, तो बहुत उच्च सटीकता के साथ आपको मिलता है ... एक सुनहरा सर्पिल!

चित्र.11. राफेल "निर्दोषों का नरसंहार"

सुनहरा अनुपातसाहित्यिक कार्य

लौकिक कला के रूप अपने तरीके से हमें स्वर्णिम विभाजन के सिद्धांत को प्रदर्शित करते हैं। गोल्डन सेक्शन का नियम रूसी क्लासिक के व्यक्तिगत कार्यों में भी लागू होता है। तो, "द क्वीन ऑफ़ स्पेड्स" कहानी में 853 पंक्तियाँ हैं, और चरमोत्कर्ष 535 वीं पंक्ति (853:535 = 1.6) पर पड़ता है - यह सुनहरे खंड का बिंदु है।

सुनहरा अनुपातगतिशील तस्वीरें

फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन ने जानबूझकर अपनी फिल्म "बैटलशिप पोटेमकिन" की स्क्रिप्ट को गोल्डन सेक्शन के नियम के साथ समन्वित किया, टेप को पांच भागों में विभाजित किया।

निष्कर्ष

स्वर्ण अनुपात भारत और चीन में प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में जाना जाता था। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त स्कूल बनाया जहाँ "गोल्डन सेक्शन" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया था। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति का निर्माण किया, और फिडियास - उनकी अमर मूर्तियां। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्मांड को "स्वर्ण खंड" के अनुसार व्यवस्थित किया गया है। और अरस्तू ने नैतिक कानून के "स्वर्ण खंड" के पत्राचार को पाया। "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी शैतान से बचकर अपने मठों की दीवारों पर "सुनहरे खंड" के पेंटग्राम खींचेंगे। उसी समय, वैज्ञानिक - पसिओली से लेकर आइंस्टीन तक - खोज करेंगे, लेकिन इसका सटीक अर्थ कभी नहीं खोज पाएंगे। दशमलव बिंदु के बाद एक अंतहीन श्रृंखला - 1.6180339887 ... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय बात: यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "स्वर्ण खंड" क्या है। लेकिन आप इस अनुपात को समुद्र के गोले के वक्रों में, और फूलों के रूप में, और बीटल के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। सब कुछ जीवित और सब कुछ सुंदर - सब कुछ ईश्वरीय नियम का पालन करता है, जिसका नाम "सुनहरा खंड" है। तो "सुनहरा अनुपात" क्या है? यह सिद्ध, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है। अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "सुनहरा खंड" वह दोनों है, और दूसरा, और तीसरा। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में... और यही उसका सच्चा रहस्य है, उसका महान रहस्य है।

साहित्य:

विलेंकिन एन। हां।, झोखोव वी। आई। और अन्य। गणित - 6. - एम।: मेनेमोसिन, 2015
कोरबालन एफ। गोल्डन सेक्शन। सौंदर्य की गणितीय भाषा। (गणित की दुनिया T.1)। - एम .: डीअगोस्टिनी, 2014
Timerding G. E. द गोल्डन सेक्शन। - एम .: लिब्रोकॉम, 2009

कीवर्ड: सुनहरा अनुपात, सुनहरा अनुपात, वैज्ञानिक घटना.

व्याख्या: सुनहरा अनुपात संरचनात्मक सद्भाव का एक सार्वभौमिक अभिव्यक्ति है। यह प्रकृति, विज्ञान, कला - हर उस चीज में पाया जाता है जिसके संपर्क में कोई व्यक्ति आ सकता है। लेख के लेखक साहित्य का पता लगाते हैं, स्वर्ण खंड से संबंधित विज्ञानों के बीच संबंध पाते हैं, सुनहरे अनुपात के व्यावहारिक अर्थ को प्रकट करते हैं।

सुनहरा अनुपात- यह खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें छोटा खंड बड़े खंड से उतना ही संबंधित होता है जितना कि बड़ा खंड हर चीज से।

ए: बी = बी: सीया सी: बी = बी: ए।

यह अनुपात है:

उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है जो इसे सुनहरे अनुपात में प्रतिच्छेद करता है (अर्थात, नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरा से बैंगनी, का अनुपात है 1.618

आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि पाइथागोरस ने वैज्ञानिक उपयोग में सुनहरे अनुपात की अवधारणा पेश की। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने अपना ज्ञान मिस्र और बेबीलोन के लोगों से उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था।

1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना प्रकाशित किया काम "सौंदर्य अनुसंधान".
ज़ीज़िंग ने लगभग दो हज़ार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है।

मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरा अनुपात

नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6।

एक नवजात में, अनुपात 1: 1 है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर है।
स्वर्ण खंड का अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रभाग और हाथ, हाथ और उंगलियां आदि।
ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे।

ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि उनकी राशि फाइबोनैचि श्रृंखला.

तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0,618. (या 1.618 बड़ी संख्या को छोटी से विभाजित करते समय)।

फाइबोनैचि श्रृंखलाकेवल एक गणितीय घटना रह सकती थी, यदि इस तथ्य के लिए नहीं कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण खंड के कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए।

कला में सुनहरा अनुपात

1925 में वापस, कला समीक्षक एलएल सबनीव ने 42 लेखकों द्वारा 1770 संगीत कार्यों का विश्लेषण किया, यह दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से या तो थीम, या इंटोनेशन, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो प्रत्येक के संबंध में हैं अन्य। सुनहरा अनुपात।

इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली था, उसकी रचनाओं में उतने ही सुनहरे खंड पाए गए। एरेन्स्की, बीथोवेन, बोरोडिन, हेडन, मोजार्ट, स्क्रिपाइन, चोपिन और शुबर्ट में, सभी कार्यों के 90% में सुनहरे खंड पाए गए। सबनीव के अनुसार, सुनहरा अनुपात एक संगीत रचना के विशेष सामंजस्य की छाप देता है।

सिनेमा में, एस। ईसेनस्टीन ने "गोल्डन सेक्शन" के नियमों के अनुसार कृत्रिम रूप से फिल्म बैटलशिप पोटेमकिन का निर्माण किया। उसने टेप को पांच भागों में तोड़ दिया। पहले तीन में, जहाज पर कार्रवाई होती है। पिछले दो में - ओडेसा में, जहां विद्रोह सामने आ रहा है। शहर में यह संक्रमण बिल्कुल सुनहरे अनुपात के बिंदु पर होता है। हां, और प्रत्येक भाग में एक मोड़ होता है, जो स्वर्ण खंड के नियम के अनुसार होता है।

वास्तुकला, मूर्तिकला, चित्रकला में स्वर्णिम खंड

प्राचीन यूनानी वास्तुकला की सबसे खूबसूरत कृतियों में से एक पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) है।

आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। भवन के अनुपात को संख्या = 0.618 के विभिन्न अंशों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ...

पार्थेनन के फर्श की योजना पर, आप "सुनहरे आयत" भी देख सकते हैं:

हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डी पेरिस) की इमारत और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं:

न केवल मिस्र के पिरामिड स्वर्ण अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; मैक्सिकन पिरामिडों में भी यही घटना पाई जाती है।

कई प्राचीन मूर्तिकारों द्वारा स्वर्ण अनुपात का उपयोग किया गया था। अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई को सुनहरे खंड में गर्भनाल रेखा से विभाजित किया गया है।

पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, लियोनार्डो दा विंची के काम पर ध्यान देना बंद नहीं किया जा सकता है। आइए पेंटिंग "ला जियोकोंडा" को करीब से देखें। चित्र की रचना "स्वर्ण त्रिकोण" पर आधारित है।

फोंट और घरेलू सामानों में सुनहरा अनुपात

प्रकृति में सुनहरा अनुपात

यह पाया गया कि फाइबोनैचि संख्याओं की संख्यात्मक श्रृंखला कई जीवित प्रणालियों के संरचनात्मक संगठन की विशेषता है। उदाहरण के लिए, एक शाखा पर एक पेचदार पत्ती की व्यवस्था फाइबोनैचि श्रृंखला के अनुरूप एक अंश (एक चक्र में एक तने पर फेरों की संख्या/पत्तियों की संख्या, उदाहरण के लिए 2/5; 3/8; 5/13) है।

सेब, नाशपाती और कई अन्य पौधों के पांच पंखुड़ियों वाले फूलों का "सुनहरा" अनुपात सर्वविदित है। आनुवंशिक कोड के वाहक - डीएनए और आरएनए अणु - में एक डबल हेलिक्स संरचना होती है; इसके आयाम लगभग पूरी तरह से फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्या के अनुरूप हैं।

गोएथे ने प्रकृति की सर्पिल प्रवृत्ति पर जोर दिया।

मकड़ी अपने जाले को एक सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है।

गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा। पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था।

सूरजमुखी के फूल और बीज, कैमोमाइल, अनानास के फल में गुच्छे, शंकुधारी शंकु लॉगरिदमिक ("सुनहरा") सर्पिल में "पैक" होते हैं, एक दूसरे की ओर कर्लिंग होते हैं, और "दाएं" और "बाएं" सर्पिल की संख्या हमेशा एक दूसरे को संदर्भित करती है। , पड़ोसी संख्या फाइबोनैचि के रूप में।

एक चिकोरी शूट पर विचार करें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है। प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन बनाती है, रुकती है, एक पत्ती को छोड़ती है, लेकिन पहले से ही छोटी है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाती है, लेकिन कम बल के साथ, एक और भी छोटे आकार की पत्ती को छोड़ती है और फिर से इजेक्शन करती है।

यदि पहली बाहरी को 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38 होता है, चौथा 24 होता है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और उदर भागों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, रात की तितली एक नियमित समबाहु त्रिभुज बनाती है। लेकिन यह पंख फैलाने लायक है, और आप शरीर को 2,3,5,8 में विभाजित करने का एक ही सिद्धांत देखेंगे। ड्रैगनफ़्लू भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाया गया है: पूंछ और शरीर की लंबाई का अनुपात कुल लंबाई और पूंछ की लंबाई के अनुपात के बराबर है।

एक छिपकली में, उसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 के रूप में संबंधित होती है। यदि आप एक पक्षी के अंडे को करीब से देखते हैं तो आप सुनहरे अनुपात को देख सकते हैं।

विक्टर लवरस

एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करता है। किसी वस्तु के रूप में रुचि जीवन की आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के भाग एक दूसरे से और संपूर्ण के साथ एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात

गणित में अनुपात(अव्य। अनुपात) दो संबंधों की समानता को बुलाओ: ए : बी = सी : डी.

रेखा खंड अबनिम्न प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में अब : ए.यू. = अब : रवि;

किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते हैं);

तो कब अब : ए.यू. = ए.यू. : रवि.

उत्तरार्द्ध चरम और औसत अनुपात में खंड का सुनहरा विभाजन या विभाजन है।

सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है

ए : बी = बी : सीया साथ : बी = बी : ए.

चावल। एक।सुनहरे अनुपात का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कम्पास और शासक का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

चावल। 2.सुनहरे अनुपात के अनुसार एक रेखा खंड का विभाजन। ईसा पूर्व = 1/2 अब; सीडी = ईसा पूर्व

एक बिंदु से परएक लंबवत आधे के बराबर बहाल किया जाता है अब. प्राप्त बिंदु साथ मेंएक रेखा से एक बिंदु से जुड़ा लेकिन. परिणामी रेखा पर एक खंड खींचा जाता है रवि, एक बिंदु के साथ समाप्त होता है डी. रेखा खंड विज्ञापनएक सीधी रेखा में स्थानांतरित अब. परिणामी बिंदु इखंड को विभाजित करता है अबसुनहरे अनुपात में।

सुनहरे अनुपात के खंड अनंत अपरिमेय भिन्न द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ऐ= 0.618... अगर अबएक इकाई के रूप में ले लो होना\u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मूल्यों का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड अब 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा 38 भाग है।

स्वर्ण खंड के गुण समीकरण द्वारा वर्णित हैं:

एक्स 2 - एक्स - 1 = 0.

इस समीकरण का हल:

स्वर्ण खंड के गुणों ने इस संख्या के आसपास रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा की एक रोमांटिक आभा पैदा की।

दूसरा सुनहरा अनुपात

बल्गेरियाई पत्रिका "फादरलैंड" (नंबर 10, 1983) ने स्वेतन त्सेकोव-करंदश द्वारा "दूसरे सुनहरे खंड पर" एक लेख प्रकाशित किया, जो मुख्य खंड से अनुसरण करता है और 44: 56 का एक अलग अनुपात देता है।

ऐसा अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है, और एक लम्बी क्षैतिज प्रारूप की छवियों की रचनाओं के निर्माण में भी होता है।

चावल। 3.दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है (चित्र 3 देखें)। रेखा खंड अबसुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित किया गया है। एक बिंदु से साथ मेंलंबवत बहाल है सीडी. RADIUS अबएक बिंदु है डी, जो एक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा होता है लेकिन. समकोण एसीडीआधे में बांटा गया है। एक बिंदु से साथ मेंएक रेखा तब तक खींची जाती है जब तक कि वह एक रेखा से प्रतिच्छेद न कर दे विज्ञापन. दूरसंचार विभाग इखंड को विभाजित करता है विज्ञापन 56:44 के संबंध में।

चावल। 4.दूसरे सुनहरे अनुपात की एक रेखा द्वारा एक आयत का विभाजन

अंजीर पर। 4 दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह गोल्डन सेक्शन लाइन और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिकोण

आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों को खोजने के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं पेंटाग्राम.

चावल। 5.एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण

एक पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की जरूरत है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। रहने दो हे- सर्कल का केंद्र ए- वृत्त पर एक बिंदु और इ- खंड के बीच ओए. त्रिज्या के लंबवत ओए, बिंदु पर बहाल हे, वृत्त को एक बिंदु पर काटती है डी. एक कंपास का उपयोग करके, व्यास पर एक खंड को अलग रखें सीई = ईडी. एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई है डीसी. वृत्त पर खंड लगाना डीसीऔर एक नियमित पेंटागन बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करें। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।

चावल। 6.स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

हम एक सीधी रेखा खींचते हैं अब. बिंदु से लेकिनउस पर तीन बार एक खंड बिछाएं हेपरिणामी बिंदु के माध्यम से मनमाना मूल्य आररेखा पर एक लंब खींचो अब, बिंदु के दाएं और बाएं लंबवत पर आरखंड अलग सेट करें हे. प्राप्त अंक डीऔर डी 1 एक बिंदु से सीधी रेखाओं से जुड़ें लेकिन. रेखा खंड डीडी 1 लाइन पर अलग सेट करें विज्ञापन 1, एक अंक प्राप्त करना साथ में. उसने रेखा को विभाजित किया विज्ञापन 1 स्वर्ण अनुपात के अनुपात में। पंक्तियां विज्ञापन 1 और डीडी 1 का उपयोग "गोल्डन" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

स्वर्ण खंड का इतिहास

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिर, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को दर्शाने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण विभाजन का अनुपात तय होता है।

यूनानी कुशल जियोमीटर थे। यहां तक कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

चावल। 7.गतिशील आयत

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के लिए समर्पित है, और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के प्रश्नों के लिए।

पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, परकार मिले, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी सुनहरे विभाजन के अनुपात शामिल हैं।

चावल। आठ।प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के तत्वों में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में गोल्डन डिवीजन का एक ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण विभाजन के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में स्वर्णिम विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षा के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी, विशेष रूप से वास्तुकला में एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान था . उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पासीओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसीओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली का डिवाइन प्रोपोर्शन वेनिस में प्रकाशित हुआ था, जिसमें शानदार ढंग से निष्पादित चित्र थे, यही वजह है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई लाभों में, भिक्षु लुका पैसीओली ने अपने "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने में विफल नहीं किया (यह समझा गया था कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को नाम दिया सुनहरा अनुपात. तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही मैंने करने का निश्चय किया।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह से, आदि। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्वयं जारी रहने का नाम दिया। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो दें अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम, एक खंड को अलग रखें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं

चावल। नौ।सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया। " 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण खंड को फिर से "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। Zeising के साथ, वास्तव में जो हुआ वह शोधकर्ता के साथ होना तय था जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना घटना को ऐसा मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

चावल। दस।मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरा अनुपात

ज़ीसिंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ हद तक करीब है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है: 5 = 1.6। एक नवजात में, अनुपात 1: 1 है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर है। स्वर्ण खंड का अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रभाग और हाथ, हाथ और उंगलियां आदि।

चावल। ग्यारह।मानव आकृति में स्वर्ण अनुपात

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फिबोनाची श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे अनिश्चित काल तक एक दिशा और दूसरी दिशा में जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक नियम के रूप में स्वर्ण विभाजन।" 1876 में, एक छोटी किताब, लगभग एक पुस्तिका, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने आद्याक्षर यू.एफ.वी. इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।

XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा से इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फिबोनाची (बोनैकी का पुत्र) के नाम से जाना जाता है, परोक्ष रूप से स्वर्ण खंड के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को भारतीय (अरबी) अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य द बुक ऑफ द अबेकस (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याओं को एकत्र किया गया। कार्यों में से एक पढ़ा "एक जोड़ी से एक वर्ष में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे।" इस विषय पर विचार करते हुए, फाइबोनैचि ने संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला बनाई:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की एक श्रृंखला। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। यह रिश्ता प्रतीक है एफ. केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या कमी अनंत तक होती है, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है, जैसे कि बड़ा खंड हर चीज के लिए होता है।

फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों से भी निपटा: किसी वस्तु को तौलने के लिए इस्तेमाल किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्नलिखित प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...

सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात

फाइबोनैचि श्रृंखला केवल एक गणितीय घटना रह सकती थी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं थी कि पौधे और जानवरों की दुनिया में स्वर्ण विभाजन के सभी शोधकर्ता, कला का उल्लेख नहीं करने के लिए, हमेशा इस श्रृंखला में स्वर्ण विभाजन कानून की अंकगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में आए थे। .

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू। मतियासेविच फिबोनाची संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे खंड का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्याओं और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपातों की खोज है।

फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और उनके द्वारा खोजे गए वजन 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग होता है, जिसमें 2 = 1 + 1 होता है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "द्विआधारी श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?

दरअसल, आइए संख्यात्मक पैरामीटर सेट करें एस, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... एक संख्या श्रृंखला पर विचार करें, एस+ 1 जिसका पहला पद इकाइयाँ हैं, और प्रत्येक बाद वाला पिछले एक के दो पदों के योग के बराबर है और एक जो पिछले एक से अलग किया गया है एसकदम। यदि एक एनहम इस श्रृंखला के वें पद को φ S से निरूपित करते हैं ( एन), तब हम सामान्य सूत्र φ S ( एन) = एस ( एन- 1) + एस ( एन - एस - 1).

यह स्पष्ट है कि एस= 0 इस सूत्र से हमें एक "द्विआधारी" श्रृंखला प्राप्त होती है, जिसमें एस= 1 - फाइबोनैचि श्रृंखला, के साथ एस\u003d 2, 3, 4. संख्याओं की नई श्रृंखला जिसे कहा जाता है एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

आम तौर पर सोना एस-अनुपात स्वर्ण समीकरण का धनात्मक मूल है एस-सेक्शन x S+1 - x S - 1 = 0.

यह दिखाना आसान है कि जब एस= 0, हमें खंड का आधा भाग मिलता है, और जब एस= 1 - परिचित शास्त्रीय स्वर्ण अनुपात।

पड़ोसियों के रिश्ते एस- पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ फाइबोनैचि संख्याएं गोल्डन के साथ सीमा में मेल खाती हैं एस-अनुपात! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि सोना एस-सेक्शन संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

सोने के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य एसप्रकृति में खंड, बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में सोरोको। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण होते हैं (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट गुरुत्वाकर्षण एक दूसरे से संबंधित होते हैं। सोने में से एक द्वारा एस-अनुपात। इसने लेखक को एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति दी कि सोना एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की जा रही है, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्वयं-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

गोल्डन कोड के साथ एस-अनुपात किसी भी वास्तविक संख्या को सोने की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं एसपूर्णांक गुणांक के साथ अनुपात।

संख्याओं को कूटने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे होते हैं एस-अनुपात, एस> 0 अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणाली, जैसा कि यह थी, ने ऐतिहासिक रूप से स्थापित परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के पदानुक्रम को "उल्टा" कर दिया। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिससे अन्य सभी प्राकृतिक संख्याएँ, साथ ही परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ थीं। कुछ नियमों के अनुसार निर्मित।

नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जिसे हम याद करते हैं, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृत संख्या हमेशा एक परिमित संख्या के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी स्वर्ण की डिग्री का योग एस-अनुपात। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सादगी और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फिबोनाची" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

सब कुछ जो किसी न किसी रूप में बनता है, विकसित होता है, अंतरिक्ष में जगह लेने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास करता है। यह अभीप्सा मुख्य रूप से दो रूपों में साकार होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में मुड़ना।

खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। दस सेंटीमीटर के एक छोटे से खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सर्पिल के बारे में न कहें तो स्वर्ण अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।

चावल। 12.आर्किमिडीज का सर्पिल

सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल के समीकरण को घटाया। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।

यहां तक कि गोएथे ने भी प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का कानून स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाले को एक सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क के किनारे जड़ी-बूटियों के बीच, एक अचूक पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।

चावल। तेरह।कासनी

प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन बनाती है, रुकती है, एक पत्ती को छोड़ती है, लेकिन पहले से ही छोटी है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाती है, लेकिन कम बल के साथ, एक और भी छोटे आकार की पत्ती को छोड़ती है और फिर से इजेक्शन करती है। यदि पहले आउटलेयर को 100 यूनिट के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 यूनिट है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

चावल। चौदह।विविपेरस छिपकली

एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रूप-निर्माण की प्रवृत्ति लगातार टूटती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में, संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।

चावल। पंद्रह।पक्षी का अंडा

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया था।

पियरे क्यूरी ने हमारी सदी की शुरुआत में समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।

"गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक व्यक्ति और पूरे शरीर के अलग-अलग अंगों की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

स्वर्ण अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, सुनहरे अनुपात को अलग से, अपने आप में नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863...1925) ने स्वर्ण अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, जो समरूपता के विपरीत है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं: स्थिरऔर गतिशील समरूपता. स्थिर समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता को गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थिर समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, आंदोलन, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थिर समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और यह बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त की जाती है।

साहित्य में स्वर्णिम अनुपात। कविता और स्वर्णिम अनुपात

काव्य रचनाओं की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले सिलेबल्स का एक नियमित विकल्प, कविताओं का एक क्रमबद्ध आयाम, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीतमय कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप होता है - अपनी लय और माधुर्य। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, संगीत सद्भाव के पैटर्न और, परिणामस्वरूप, सुनहरा अनुपात दिखाई देगा।

आइए कविता के आकार से शुरू करते हैं, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या। ऐसा लगता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालांकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, कविताओं का विश्लेषण ए.एस. इस दृष्टिकोण से पुश्किन ने दिखाया कि छंदों के आकार बहुत असमान रूप से वितरित किए जाते हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।

कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ संगीत के टुकड़ों की तरह होती हैं; उनके पास जलवायु बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. पुश्किन "शोमेकर":

एक थानेदार ने एक बार तस्वीर की तलाश की
और उसने जूते में त्रुटि की ओर इशारा किया;
एक बार में ब्रश लेकर कलाकार ने खुद को सुधारा,
यहाँ, अकिम्बो, थानेदार ने जारी रखा:
"मुझे लगता है कि चेहरा थोड़ा टेढ़ा है...
क्या वह छाती भी नग्न नहीं है?
यहाँ एपेल्स ने अधीरता से बाधित किया:
"जज, मेरे दोस्त, बूट के ऊपर नहीं!"

मेरा एक दोस्त हैनजर रखना:
मुझे नहीं पता कि यह कौन सा विषय है।
वह एक पारखी था, हालाँकि वह शब्दों में सख्त है,
लेकिन शैतान उसे प्रकाश का न्याय करने के लिए सहन करता है:
जूते का न्याय करने की कोशिश करो!

आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। यह दो शब्दार्थ भागों पर प्रकाश डालता है: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टांत का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 - फाइबोनैचि संख्या)।

पुश्किन की अंतिम कविताओं में से एक "मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता ..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसमें दो शब्दार्थ भाग प्रतिष्ठित हैं: 13 और 8 पंक्तियों में।

मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता,
जिससे किसी को चक्कर नहीं आता।
मैं इस तथ्य के बारे में शिकायत नहीं करता कि देवताओं ने मना कर दिया
मैं चुनौतीपूर्ण करों के मीठे लॉट में हूं
या राजाओं को आपस में लड़ने से रोके;
और मुझे थोड़ा दुख है, क्या प्रेस मुक्त है
बेवकूफ बनाने वाले, या संवेदनशील सेंसरशिप
पत्रिका की योजनाओं में, जोकर शर्मनाक है।
यह सब, आप देखते हैं, शब्द, शब्द, शब्द।
अन्य, बेहतर, अधिकार मुझे प्रिय हैं:
एक और, बेहतर, मुझे आजादी चाहिए:
राजा पर निर्भर, प्रजा पर निर्भर -
क्या हम सभी को परवाह नहीं है? भगवान उनके साथ हैं।
कोई नहीं
रिपोर्ट न दें, केवल अपने आप को
सेवा करो और कृपया; सत्ता के लिए, पोशाक के लिए
न तो विवेक, न विचार, न गर्दन झुकना;
इधर-उधर भटकने की फुरसत में,
प्रकृति की दिव्य सुंदरता पर अचंभित,
और कला और प्रेरणा के जीवों से पहले
कोमलता के आनंद में खुशी से कांपते हुए,
यहाँ खुशी है! ये सही है...

विशेषता है कि इस श्लोक के प्रथम भाग (13 पंक्तियों) को शब्दार्थ की दृष्टि से 8 और 5 पंक्तियों में विभाजित किया गया है, अर्थात् पूरी कविता स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार बनाई गई है।

निस्संदेह रुचि एन। वासुटिंस्की द्वारा बनाए गए उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध आठवां अध्याय है। इसमें 51 श्लोक हैं। तात्याना (60 पंक्तियों) को येवगेनी के पत्र के साथ, यह बिल्कुल फाइबोनैचि संख्या 55 से मेल खाता है!

एन। वासुटिंस्की कहते हैं:

"अध्याय की परिणति यूजीन के तात्याना के प्रति उनके प्रेम की व्याख्या है - पंक्ति "पीला और फीका ... वह आनंद है!" यह पंक्ति पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है - पहली 477 पंक्तियों में, और दूसरी में - 295 पंक्तियाँ। उनका अनुपात 1.617 है "सुनहरे अनुपात के मूल्य के लिए सूक्ष्मतम पत्राचार! यह सद्भाव का एक महान चमत्कार है, जिसे पुश्किन की प्रतिभा द्वारा पूरा किया गया है!"

लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" को दो भागों में विभाजित किया गया है: कथावाचक को संबोधित एक परिचय और केवल एक श्लोक पर कब्जा ("मुझे बताओ, चाचा, यह बिना कारण के नहीं है ..."), और मुख्य भाग, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो समान भागों में विभाजित है। उनमें से पहले में, बढ़ते तनाव के साथ लड़ाई की उम्मीद का वर्णन किया गया है, दूसरे में - कविता के अंत में तनाव में क्रमिक कमी के साथ। इन भागों के बीच की सीमा काम का चरम बिंदु है और इसे सुनहरे खंड से विभाजित करने के बिंदु पर पड़ता है।

कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ यानि 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618 = 56.238) से विभाजित करते हुए, हम सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु पद 57 की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!". यह वाक्यांश है जो "उत्तेजित उम्मीद के अंतिम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (लड़ाई की उम्मीद) को पूरा करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है।

इस प्रकार, कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करते हुए, स्वर्णिम अनुपात कविता में बहुत सार्थक भूमिका निभाता है।

वास्तुकला, मूर्तिकला, चित्रकला, फोटोग्राफी में स्वर्णिम अनुपात

पार्थेनन के फर्श की योजना पर, आप "सुनहरे आयत" भी देख सकते हैं:

तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के पिरामिड के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय स्वर्ण विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामसेस को दर्शाने वाली राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण विभाजन का अनुपात तय होता है।

पिरामिडों के लिए, न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए हैं; मैक्सिकन पिरामिडों में भी यही घटना पाई जाती है। पिरामिड के क्रॉस सेक्शन पर एक सीढ़ी के समान एक आकृति दिखाई देती है। पहले टीयर में 16 सीढ़ियाँ, दूसरी में 42 सीढ़ियाँ और तीसरे में 68 सीढ़ियाँ हैं।
ये संख्याएँ फाइबोनैचि अनुपात पर आधारित हैं:

16 x 1.618 = 26

26 x 1.618 = 42

सेंट बेसिल कैथेड्रल की वास्तुकला में कई सुनहरे अनुपात हैं:

पुनर्जागरण में वापस, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनजाने में हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र का प्रारूप क्या है - क्षैतिज या लंबवत। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, वे छवि के आकार को क्षैतिज और लंबवत रूप से सुनहरे खंड में विभाजित करते हैं, अर्थात। वे विमान के संगत किनारों से लगभग 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।

उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था। इसलिए, तस्वीर के मुख्य तत्व पर ध्यान आकर्षित करने के लिए, इस तत्व को दृश्य केंद्रों में से एक के साथ जोड़ना आवश्यक है।

तस्वीर में आई.आई. गोल्डन सेक्शन के शिश्किन "शिप ग्रोव" रूपांकनों को देखा जा सकता है। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को लगभग सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाईं ओर सूर्य द्वारा प्रकाशित एक पहाड़ी है। यह सुनहरे खंड में चित्र के दाईं ओर क्षैतिज रूप से विभाजित होता है। मुख्य चीड़ के बाईं ओर कई चीड़ हैं - यदि आप चाहें, तो आप चित्र को सुनहरे खंड के अनुपात में सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं।

उज्ज्वल ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज के चित्र में उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार के इरादे के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र देता है। जब कोई कलाकार तेजी से विकासशील क्रिया के साथ एक चित्र बनाता है, तो रचना की ऐसी ज्यामितीय योजना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।

गतिकी, उत्तेजना की भावना प्रकट होती है, शायद, एक और सरल ज्यामितीय आकृति में सबसे अधिक दृढ़ता से - एक सर्पिल। राफेल द्वारा 1509 - 1510 में बनाई गई बहु-आकृति रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्तिचित्रों का निर्माण किया, यह कथानक की गतिशीलता और नाटक से अलग है। राफेल ने अपने विचार को कभी पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी द्वारा उकेरा गया था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर, इनोसेंट्स उत्कीर्णन के नरसंहार का निर्माण किया था।

यदि, राफेल की तैयारी के स्केच पर, कोई मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचता है - वह बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियां बच्चे के टखने के चारों ओर बंद हो जाती हैं - एक बच्चे के आंकड़ों के साथ, एक महिला उसे अपने आप से जकड़ लेती है, एक योद्धा के साथ उठी हुई तलवार, और फिर उसी समूह के आंकड़ों के साथ स्केच के दाहिने हिस्सों पर (आकृति में, ये रेखाएँ लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ दें, फिर एक सुनहरा सर्पिल है बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया। इसे वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर जांचा जा सकता है।

यह ज्ञात नहीं है कि क्या राफेल ने वास्तव में "मास्कर ऑफ द इनोसेंट" रचना बनाते समय सुनहरे सर्पिल को चित्रित किया था या केवल इसे "महसूस" किया था। हालाँकि, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि उत्कीर्णक रायमोंडी ने इस सर्पिल को देखा। यह उनके द्वारा जोड़े गए रचना के नए तत्वों से प्रमाणित होता है, उन जगहों पर सर्पिल के मोड़ पर जोर देते हुए जहां यह केवल एक बिंदीदार रेखा द्वारा इंगित किया जाता है। रायमोंडी के अंतिम उत्कीर्णन में इन तत्वों को देखा जा सकता है: महिला के सिर से फैले पुल का मेहराब रचना के बाईं ओर है और बच्चे का लेटा हुआ शरीर इसके केंद्र में है।

आधुनिक मॉडलिंग व्यवसाय भी आदर्श अनुपात का उपयोग करता है, क्योंकि "सब कुछ नया एक भूला हुआ पुराना है":

सूत्रों की जानकारी:

कोवालेव एफ.वी. पेंटिंग में गोल्डन सेक्शन। के।: विशा स्कूल, 1989।

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स्टाखोव ए। सुनहरे अनुपात के कोड।

ज्यामिति एक सटीक और बल्कि जटिल विज्ञान है, जो इस सब के साथ एक तरह की कला है। रेखाएं, विमान, अनुपात - यह सब वास्तव में बहुत सुंदर चीजें बनाने में मदद करता है। और अजीब तरह से, यह ज्यामिति पर अपने सबसे विविध रूपों पर आधारित है। इस लेख में, हम एक बहुत ही असामान्य बात देखेंगे जो सीधे तौर पर इससे संबंधित है। सुनहरा अनुपात बिल्कुल ज्यामितीय दृष्टिकोण है जिस पर चर्चा की जाएगी।

वस्तु का आकार और उसकी धारणा

लाखों लोगों के बीच इसे पहचानने के लिए लोग अक्सर किसी वस्तु के आकार पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह रूप से होता है कि हम यह निर्धारित करते हैं कि कौन सी चीज हमारे सामने है या दूर खड़ी है। हम सबसे पहले लोगों को शरीर और चेहरे के आकार से पहचानते हैं। इसलिए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि रूप, उसका आकार और रूप मानव धारणा में सबसे महत्वपूर्ण चीजों में से एक है।

लोगों के लिए, किसी भी चीज़ का रूप दो मुख्य कारणों से रुचिकर होता है: या तो यह प्राणिक आवश्यकता से निर्धारित होता है, या यह सौंदर्य से सौंदर्य सुख के कारण होता है। सबसे अच्छी दृश्य धारणा और सद्भाव और सुंदरता की भावना सबसे अधिक बार आती है जब कोई व्यक्ति एक ऐसे रूप का निरीक्षण करता है जिसके निर्माण में समरूपता और एक विशेष अनुपात का उपयोग किया जाता है, जिसे सुनहरा अनुपात कहा जाता है।

स्वर्ण अनुपात की अवधारणा

तो, सुनहरा अनुपात सुनहरा अनुपात है, जो एक हार्मोनिक विभाजन भी है। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, प्रपत्र की कुछ विशेषताओं पर विचार करें। अर्थात्: रूप कुछ संपूर्ण है, लेकिन संपूर्ण, बदले में, हमेशा कुछ भाग होते हैं। इन भागों में अलग-अलग विशेषताएं होने की संभावना है, कम से कम अलग-अलग आकार। खैर, ऐसे आयाम हमेशा आपस में और संपूर्ण के संबंध में एक निश्चित अनुपात में होते हैं।

तो, दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि सुनहरा अनुपात दो मात्राओं का अनुपात है, जिसका अपना सूत्र है। प्रपत्र बनाते समय इस अनुपात का उपयोग करने से इसे मानव आँख के लिए यथासंभव सुंदर और सामंजस्यपूर्ण बनाने में मदद मिलती है।

स्वर्णिम अनुपात के प्राचीन इतिहास से

सुनहरे अनुपात का उपयोग अक्सर जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। लेकिन इस अवधारणा का इतिहास प्राचीन काल में वापस चला जाता है, जब गणित और दर्शन जैसे विज्ञान अभी उभर रहे थे। एक वैज्ञानिक अवधारणा के रूप में, पाइथागोरस के समय में, अर्थात् छठी शताब्दी ईसा पूर्व में स्वर्ण अनुपात का उपयोग किया गया था। लेकिन इससे पहले भी, प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में इस तरह के अनुपात का ज्ञान व्यवहार में किया जाता था। इसका एक महत्वपूर्ण प्रमाण पिरामिड हैं, जिनके निर्माण के लिए उन्होंने इतने सुनहरे अनुपात का उपयोग किया था।

नई अवधि

पुनर्जागरण हार्मोनिक विभाजन के लिए एक नई सांस थी, विशेष रूप से लियोनार्डो दा विंची के लिए धन्यवाद। ज्यामिति और कला दोनों में इस अनुपात का तेजी से उपयोग किया गया है। वैज्ञानिकों और कलाकारों ने सुनहरे अनुपात का अधिक गहराई से अध्ययन करना शुरू किया और इस मुद्दे से निपटने वाली पुस्तकों का निर्माण किया।

गोल्डन अनुपात से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण ऐतिहासिक कार्यों में से एक लुका पैन्सियोली की पुस्तक द डिवाइन प्रोपोर्शन है। इतिहासकारों को संदेह है कि इस पुस्तक के चित्र स्वयं लियोनार्डो प्री-विन्सी द्वारा बनाए गए थे।

सुनहरा अनुपात

गणित अनुपात की बहुत स्पष्ट परिभाषा देता है, जो कहता है कि यह दो अनुपातों की समानता है। गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित समानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: a: b \u003d c: d, जहां a, b, c, d कुछ विशिष्ट मान हैं।

यदि हम दो भागों में विभाजित एक खंड के अनुपात पर विचार करें, तो हम केवल कुछ ही स्थितियों का सामना कर सकते हैं:

खंड को दो बिल्कुल समान भागों में विभाजित किया गया है, जिसका अर्थ है कि AB: AC \u003d AB: BC, यदि AB खंड की सटीक शुरुआत और अंत है, और C वह बिंदु है जो खंड को दो समान भागों में विभाजित करता है।
खंड को दो असमान भागों में विभाजित किया गया है, जो एक दूसरे से बहुत भिन्न अनुपात में हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि यहां वे बिल्कुल अनुपातहीन हैं।
खंड को इस प्रकार विभाजित किया गया है कि AB:AC = AC:BC।

स्वर्ण खंड के लिए, यह खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जब पूरा खंड बड़े हिस्से को संदर्भित करता है, जैसे कि बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से को संदर्भित करता है। एक और सूत्रीकरण है: छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है, साथ ही बड़ा खंड पूरे खंड से संबंधित है। गणितीय शब्दों में, यह इस तरह दिखता है: a:b = b:c या c:b = b:a। यह गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला का रूप है।

प्रकृति में स्वर्ण अनुपात

सुनहरा अनुपात, जिसके उदाहरण अब हम विचार करेंगे, प्रकृति में अविश्वसनीय घटनाओं को संदर्भित करता है। ये इस तथ्य के बहुत सुंदर उदाहरण हैं कि गणित केवल संख्या और सूत्र नहीं है, बल्कि एक ऐसा विज्ञान है जिसमें प्रकृति और सामान्य रूप से हमारे जीवन में वास्तविक प्रतिबिंब से कहीं अधिक है।

जीवित जीवों के लिए, मुख्य जीवन कार्यों में से एक विकास है। अंतरिक्ष में अपनी जगह लेने की ऐसी इच्छा, वास्तव में, कई रूपों में की जाती है - ऊपर की ओर बढ़ना, जमीन के साथ लगभग क्षैतिज फैलाव, या एक निश्चित समर्थन पर सर्पिलिंग। और यह जितना अविश्वसनीय है, कई पौधे सुनहरे अनुपात के अनुसार बढ़ते हैं।

एक और लगभग अविश्वसनीय तथ्य छिपकलियों के शरीर में अनुपात है। उनका शरीर मानव आंखों को काफी प्रसन्न दिखता है, और यह उसी सुनहरे अनुपात के लिए संभव है। अधिक सटीक होने के लिए, उनकी पूंछ की लंबाई 62:38 के रूप में पूरे शरीर की लंबाई से संबंधित है।

स्वर्ण अनुपात के नियमों के बारे में रोचक तथ्य

सुनहरा अनुपात वास्तव में एक अविश्वसनीय अवधारणा है, जिसका अर्थ है कि पूरे इतिहास में हम इस अनुपात के बारे में बहुत सारे दिलचस्प तथ्य पा सकते हैं। हम आपको उनमें से कुछ प्रस्तुत करते हैं:

मानव शरीर में सुनहरा अनुपात

इस खंड में, एक बहुत ही महत्वपूर्ण व्यक्ति, एस ज़ीसिंग का उल्लेख करना आवश्यक है। यह एक जर्मन शोधकर्ता है जिसने स्वर्णिम अनुपात के अध्ययन के क्षेत्र में बहुत अच्छा काम किया है। उन्होंने एस्थेटिक रिसर्च नामक एक काम प्रकाशित किया। अपने काम में, उन्होंने स्वर्ण अनुपात को एक पूर्ण अवधारणा के रूप में प्रस्तुत किया, जो प्रकृति और कला दोनों में सभी घटनाओं के लिए सार्वभौमिक है। यहां हम मानव शरीर के सामंजस्यपूर्ण अनुपात के साथ-साथ पिरामिड के सुनहरे अनुपात को याद कर सकते हैं, और इसी तरह।

यह ज़ीसिंग था जो यह साबित करने में सक्षम था कि सुनहरा अनुपात, वास्तव में, मानव शरीर के लिए औसत सांख्यिकीय कानून है। यह व्यवहार में दिखाया गया था, क्योंकि अपने काम के दौरान उन्हें बहुत सारे मानव शरीर को मापना था। इतिहासकारों का मानना है कि इस अनुभव में दो हजार से ज्यादा लोगों ने हिस्सा लिया। ज़ीसिंग के शोध के अनुसार, सुनहरे अनुपात का मुख्य संकेतक नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन है। इस प्रकार, 13:8 के औसत अनुपात वाला एक पुरुष शरीर एक महिला शरीर की तुलना में सुनहरे अनुपात के थोड़ा करीब है, जहां सुनहरा अनुपात 8:5 है। साथ ही, शरीर के अन्य भागों में सुनहरा अनुपात देखा जा सकता है, जैसे, उदाहरण के लिए, हाथ।

स्वर्ण खंड के निर्माण पर

वास्तव में, स्वर्ण खंड का निर्माण एक साधारण बात है। जैसा कि हम देख सकते हैं, यहां तक कि प्राचीन लोगों ने भी आसानी से इसका सामना किया। मानव जाति के आधुनिक ज्ञान और प्रौद्योगिकियों के बारे में हम क्या कह सकते हैं। इस लेख में, हम यह नहीं दिखाएंगे कि यह कैसे केवल कागज के एक टुकड़े पर और हाथ में एक पेंसिल के साथ किया जा सकता है, लेकिन हम विश्वास के साथ कहेंगे कि यह वास्तव में संभव है। इसके अलावा, यह एक से अधिक तरीकों से किया जा सकता है।

चूंकि यह काफी सरल ज्यामिति है, इसलिए स्कूल में भी सुनहरे अनुपात का निर्माण करना काफी सरल है। इसलिए, इस बारे में जानकारी विशेष पुस्तकों में आसानी से मिल सकती है। गोल्डन रेशियो का अध्ययन करके, ग्रेड 6 इसके निर्माण के सिद्धांतों को पूरी तरह से समझने में सक्षम है, जिसका अर्थ है कि बच्चे भी इस तरह के कार्य में महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त स्मार्ट हैं।

गणित में स्वर्णिम अनुपात

अभ्यास में स्वर्ण खंड के साथ पहला परिचय एक सीधी रेखा खंड के एक साधारण विभाजन के साथ शुरू होता है, सभी समान अनुपात में। अक्सर यह एक शासक, एक कंपास और, ज़ाहिर है, एक पेंसिल के साथ किया जाता है।

सुनहरे अनुपात के खंडों को अनंत अपरिमेय अंश AE \u003d 0.618 ... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, BE \u003d 0.382 ... इन गणनाओं को अधिक व्यावहारिक बनाने के लिए, बहुत बार वे सटीक नहीं का उपयोग करते हैं , लेकिन अनुमानित मान, अर्थात् - 0 .62 और 0.38। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो इसका बड़ा भाग 62 के बराबर होगा, और छोटा वाला - 38 भागों के लिए, क्रमशः।

सुनहरे अनुपात का मुख्य गुण समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x 2 -x-1=0. हल करते समय, हमें निम्नलिखित मूल प्राप्त होते हैं: x 1.2 =। यद्यपि गणित एक सटीक और कठोर विज्ञान है, साथ ही इसका खंड - ज्यामिति, लेकिन यह ठीक ऐसे गुण हैं जैसे कि स्वर्ण खंड के नियम इस विषय पर रहस्य लाते हैं।

स्वर्णिम अनुपात के माध्यम से कला में सामंजस्य

संक्षेप में, आइए संक्षेप में उस पर विचार करें जो पहले ही कहा जा चुका है।

मूल रूप से, कला के कई टुकड़े सुनहरे अनुपात के नियम के अंतर्गत आते हैं, जहां अनुपात 3/8 और 5/8 के करीब होता है। यह सुनहरे अनुपात के लिए मोटा सूत्र है। लेख में पहले ही खंड के उपयोग के उदाहरणों के बारे में बहुत कुछ बताया गया है, लेकिन हम इसे प्राचीन और आधुनिक कला के चश्मे के माध्यम से फिर से देखेंगे। तो, प्राचीन काल से सबसे हड़ताली उदाहरण:

अनुपात के पहले से ही सचेत उपयोग के लिए, लियोनार्डो दा विंची के समय से, यह जीवन के लगभग सभी क्षेत्रों में - विज्ञान से लेकर कला तक उपयोग में आया है। यहां तक कि जीव विज्ञान और चिकित्सा ने भी साबित कर दिया है कि जीवित प्रणालियों और जीवों में भी सुनहरा अनुपात काम करता है।

तकनीकी विज्ञान के उम्मीदवार वी। बेल्यानिन, रूसी अनुसंधान केंद्र "कुरचटोव संस्थान" के प्रमुख शोधकर्ता, ई। रोमानोवा, माडी के छात्र

विज्ञान और जीवन // चित्र

सुनहरा अनुपात स्कूल में "उत्तीर्ण" नहीं है। और जब नीचे दिए गए लेख के लेखकों में से एक (वी। बेल्यानिन, तकनीकी विज्ञान के उम्मीदवार) ने एक आवेदक के लिए सुनहरे अनुपात के बारे में बात की, जो संस्थान में परीक्षा की तैयारी की प्रक्रिया में एमएडीआई में प्रवेश करने जा रहा था, तो कार्य अप्रत्याशित रूप से उत्तेजित हो गया। बहुत रुचि और बहुत सारे प्रश्न, जिनके "चलते-फिरते" कोई उत्तर नहीं थे। हमने उन्हें एक साथ खोजने का फैसला किया, और फिर सुनहरे अनुपात में सूक्ष्मताएं खोजी गईं, जो पहले शोधकर्ताओं से दूर थीं। संयुक्त रचनात्मकता ने काम को आगे बढ़ाया है जो एक बार फिर युवा लोगों की रचनात्मक संभावनाओं की पुष्टि करता है और आशा करता है कि विज्ञान की भाषा खो नहीं जाएगी।

गणित के पैटर्न, जैसे कलाकार के पैटर्न या कवि के पैटर्न, सुंदर होने चाहिए; रंगों या शब्दों जैसे विचारों को सामंजस्यपूर्ण ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। सुंदरता पहली कसौटी है: कुरूप गणित के लिए दुनिया में कोई जगह नहीं है।
जे. एच. हार्डी

गणितीय समस्या की सुंदरता इसके अंतहीन विकास के लिए सबसे महत्वपूर्ण उत्तेजनाओं में से एक है और कई अनुप्रयोगों की पीढ़ी का कारण है। कभी-कभी दसियों, सैकड़ों, और कभी-कभी हजारों साल बीत जाते हैं, लेकिन लोग बार-बार एक प्रसिद्ध समाधान और उसकी व्याख्या में अप्रत्याशित मोड़ पाते हैं। ऐसी ही एक लंबे समय तक चलने वाली और आकर्षक समस्याओं में से एक स्वर्ण अनुपात (जीएस) की समस्या थी, जो हमारे आसपास की दुनिया की कृपा और सद्भाव के तत्वों को दर्शाती है। वैसे, यह याद रखने योग्य है कि यद्यपि अनुपात स्वयं यूक्लिड के लिए भी जाना जाता था, "गोल्डन सेक्शन" शब्द लियोनार्डो दा विंची ("विज्ञान और जीवन" देखें) द्वारा पेश किया गया था।

ज्यामितीय रूप से, सुनहरा अनुपात एक खंड के दो असमान भागों में विभाजन को दर्शाता है ताकि बड़ा हिस्सा पूरे खंड और छोटे हिस्से के बीच औसत आनुपातिक हो (चित्र 1)।

बीजगणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

इसके समाधान से पहले ही इस अनुपात के अध्ययन से पता चलता है कि खंडों के बीच एऔर बीकम से कम दो आश्चर्यजनक सहसंबंध हैं। उदाहरण के लिए, अनुपात (1) से व्यंजक प्राप्त करना आसान है,

जो खंडों के बीच अनुपात निर्धारित करता है ए, बी, उनका अंतर और योग। इसलिए, हम सुनहरे खंड के बारे में अलग तरह से कह सकते हैं: दो खंड एक सामंजस्यपूर्ण संबंध में हैं यदि उनका अंतर छोटे खंड से उसी तरह संबंधित है जैसे कि बड़ा खंड उनके योग से संबंधित है।

दूसरा संबंध प्राप्त होता है यदि प्रारंभिक खंड को एक के बराबर लिया जाता है: ए + बी= 1, जिसका प्रयोग गणित में अक्सर किया जाता है। इस मामले में

ए 2 - बी 2 = ए - बी = अब.

ये परिणाम खंडों के बीच दो आश्चर्यजनक संबंध दर्शाते हैं एऔर बी:

ए 2 - बी 2 = ए - बी = अब,(2)

जिसका उपयोग भविष्य में किया जाएगा।

आइए अब हम अनुपात (1) के हल की ओर मुड़ें। व्यवहार में, दो संभावनाओं का उपयोग किया जाता है।

1. संबंध को निरूपित करें ए/बीके माध्यम से। तब हमें समीकरण मिलता है

एक्स 2 - एक्स - 1 = 0, (3)

आमतौर पर केवल सकारात्मक जड़ को ही माना जाता है। एक्स 1, जो दिए गए अनुपात में खंड का एक सरल और दृश्य विभाजन देता है। दरअसल, अगर हम पूरे खंड को एक के रूप में लेते हैं, तो इस रूट के मूल्य का उपयोग करते हुए एक्स 1, हमें मिलता है ए ≈ 0,618,बी≈ 0,382.

यह सकारात्मक जड़ है एक्स 1 समीकरण (3) को अक्सर कहा जाता है सुनहरा अनुपातया सुनहरे अनुपात का अनुपात।खंड के संगत ज्यामितीय विभाजन को कहा जाता है सुनहरा अनुपात(डॉट साथ मेंअंजीर में। एक)।

निम्नलिखित की सुविधा के लिए, हम निरूपित करते हैं एक्स 1 = डी. स्वर्ण खंड के लिए अभी भी आम तौर पर स्वीकृत पद नहीं है। यह स्पष्ट रूप से इस तथ्य के कारण है कि इसे कभी-कभी एक और संख्या के रूप में समझा जाता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

आमतौर पर नकारात्मक जड़ को छोड़ दिया जाता है एक्स 2 खंड के कम दृश्य विभाजन को दो असमान भागों में ले जाता है। बात यह है कि यह एक विभाजन बिंदु देता है साथ में, जो खंड (तथाकथित बाहरी विभाजन) के बाहर स्थित है। दरअसल, अगर ए + बी= 1, फिर रूट का उपयोग करना एक्स 2, हमें मिलता है ए ≈ -1,618, बी 2.618. इसलिए, खंड एनकारात्मक दिशा में अलग रखा जाना चाहिए (चित्र 2)।

2. अनुपात (1) को हल करने का दूसरा विकल्प पहले से मौलिक रूप से भिन्न नहीं है। हम मान लेंगे अनजान रिश्ता बी/एऔर इसे द्वारा निरूपित करें आप. तब हमें समीकरण मिलता है

आप 2 + आप -1 = 0 , (4)

जिसकी अपरिमेय जड़ें हैं

यदि एक ए + बी= 1, फिर रूट का उपयोग करना आप 1, हमें मिलता है ए = आप 1 ≈ 0,618, बी 0.382। जड़ के लिए आप 2 मिलता है ए ≈ -1,618, बी 2.618. जड़ों का उपयोग करके सुनहरे खंड के अनुपात में एक खंड का ज्यामितीय विभाजन आप 1 और आप 2 पूरी तरह से पिछले संस्करण के समान है और अंजीर से मेल खाती है। 1 और 2.

सकारात्मक जड़ आप 1 सीधे समस्या का वांछित समाधान देता है, और इसे भी कहा जाता है सुनहरा अनुपात .

सुविधा के लिए, हम मूल के मान को निरूपित करते हैं आप 1 = डी।

इस प्रकार, साहित्य में, स्वर्ण अनुपात गणितीय रूप से संख्या . द्वारा व्यक्त किया जाता है डी 1.618 या संख्या डी 0.618, जिसके बीच दो अद्भुत संबंध हैं:

डीडी= 1 और डी - डी = 1. (5)

यह साबित हो गया है कि इन गुणों के साथ संख्याओं की कोई अन्य समान जोड़ी नहीं है।

सुनहरे अनुपात के लिए दोनों संकेतन का उपयोग करते हुए, हम समीकरण (3) और (4) के हल सममित रूप में लिखते हैं: = डी, = -डी, = डी, = -डी.

स्वर्ण खंड के असामान्य गुणों का साहित्य में विस्तार से वर्णन किया गया है। वे इतने अद्भुत हैं कि उन्होंने कई उत्कृष्ट विचारकों के मन को जीत लिया और उनके चारों ओर रहस्य की आभा पैदा कर दी।

सुनहरा अनुपात पौधों और खनिजों के विन्यास, ब्रह्मांड के कुछ हिस्सों की संरचना और संगीत के पैमाने में पाया जाता है। यह प्रकृति के वैश्विक सिद्धांतों को दर्शाता है, जीवित और निर्जीव वस्तुओं के संगठन के सभी स्तरों को भेदता है। इसका उपयोग वास्तुकला, मूर्तिकला, पेंटिंग, विज्ञान, कंप्यूटिंग, घरेलू वस्तुओं के डिजाइन में किया जाता है। सुनहरे खंड के विन्यास को ले जाने वाली रचनाएँ आनुपातिक और सुसंगत लगती हैं, हमेशा आंख को भाती हैं, और सुनहरे अनुपात की गणितीय भाषा अपने आप में कम सुरुचिपूर्ण और सुरुचिपूर्ण नहीं है।

समानता (5) के अलावा, संबंध (2) से हम तीन दिलचस्प संबंधों को अलग कर सकते हैं जिनमें एक निश्चित पूर्णता होती है और काफी आकर्षक और सौंदर्यपूर्ण रूप से प्रसन्न होती है:

(6)

प्रकृति की महानता और गहराई को न केवल महसूस किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सितारों या पर्वत चोटियों पर विचार करते समय, बल्कि कुछ अद्भुत सूत्रों में भी देखा जा सकता है, जो गणितज्ञों द्वारा उनकी सुंदरता के लिए अत्यधिक मूल्यवान हैं। इनमें सुनहरे अनुपात के सुरुचिपूर्ण अनुपात, यूलर का शानदार सूत्र शामिल हैं इआईπ = -1 (जहां मैं= √-1), वह सूत्र जो प्रसिद्ध नेपियर संख्या (प्राकृतिक लघुगणक का आधार) को परिभाषित करता है: e = lim(1 + 1/ एन) n = 2.718 at एन→ , और कई अन्य।

अनुपात (1) को हल करने के बाद, इसका विचार काफी सरल लगता है, लेकिन, जैसा कि अक्सर कई साधारण समस्याओं के मामले में होता है, इसमें कई सूक्ष्मताएं छिपी होती हैं। इन उल्लेखनीय सूक्ष्मताओं में से एक, जिसे शोधकर्ताओं ने अब तक पारित किया है, तीन अद्भुत त्रिभुजों के कोनों के साथ समीकरणों (3) और (4) की जड़ों का संबंध है।

इसे देखने के लिए, आइए विचार करें कि सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित एक-आयामी खंड को त्रिभुज के रूप में आसानी से द्वि-आयामी छवि में कैसे बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, पहले अंजीर का उपयोग करना। 1, खंड पर अलग सेट करें अबखंड की लंबाई एदो बार - बिंदु से लेकिनबिंदु की ओर परऔर इसके विपरीत बिंदु से परउधर की तरफ लेकिन. हमें दो अंक मिलते हैं साथ में 1 और साथ में 2 खंड को विभाजित करना अबस्वर्ण खंड के अनुपात में विभिन्न सिरों से (चित्र 3)। बराबर खंडों की गिनती ए.यू. 1 और रवि 2 त्रिज्या, और अंक लेकिनऔर परवृत्तों के केंद्र, दो चाप तब तक खींचे जब तक वे शीर्ष बिंदु पर प्रतिच्छेद न करें साथ में. बिंदुओं को जोड़कर लेकिनऔर साथ में, साथ ही परऔर साथ,एक समद्विबाहु त्रिभुज प्राप्त करें एबीसीपार्टियों के साथ अब = ए + बी = 1, ए.यू. = = सूरज = ए = डी 0.618। शीर्षों पर कोणों का मान लेकिनऔर परनिरूपित α, शीर्ष पर साथ में- β. आइए इन कोणों की गणना करें।

कोसाइन के नियम के अनुसार

(अब) 2 = 2(ए.यू.) 2 (1 - क्योंकि β)।

खंडों के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना अबऔर ए.यू.इस सूत्र में, हम प्राप्त करते हैं

इसी प्रकार, हमें मिलता है

(8)

द्वि-आयामी छवि पर सुनहरे अनुपात के आउटपुट ने त्रिकोण के कोणों के साथ समीकरणों (3) और (4) की जड़ों को जोड़ना संभव बना दिया एबीसी, जिसे कहा जा सकता है सुनहरे अनुपात का पहला त्रिकोण।

आइए अंजीर का उपयोग करके एक समान निर्माण करें। 2. यदि खंड की निरंतरता पर अबबिंदु से स्थगित परदाईं ओर खंड के आकार के बराबर एक खंड ए, और केंद्रों के चारों ओर घूमें लेकिनऔर परदोनों खंडों को छूने से पहले त्रिज्या के रूप में ऊपर, हम प्राप्त करते हैं दूसरा त्रिभुज सुनहरा अनुपात(चित्र 4) . इस समद्विबाहु त्रिभुज में भुजा अब = ए + बी= 1, पक्ष ए.यू. = रवि = डी 1.618, और इसलिए, कोसाइन प्रमेय के सूत्र द्वारा, हम प्राप्त करते हैं

(9)

शीर्ष कोण a साथ में 36 o के बराबर है और अनुपात (8) से सुनहरे अनुपात से संबंधित है। पिछले मामले की तरह, इस त्रिभुज के कोण समीकरण (3) और (4) के मूल से संबंधित हैं।

स्वर्ण अनुपात का दूसरा त्रिभुज एक नियमित उत्तल पंचभुज के मुख्य घटक तत्व के रूप में कार्य करता है और एक नियमित तारा पंचकोण (पेंटाग्राम) के अनुपात को निर्धारित करता है, जिसके गुणों पर पुस्तक में विस्तार से चर्चा की गई है।

स्टार पेंटागन एक सममित आकृति है, और साथ ही, इसके खंडों के अनुपात में एक असममित सुनहरा अनुपात दिखाई देता है। विरोधों का ऐसा संयोजन हमेशा एक गहरी एकता के साथ आकर्षित करता है, जिसका ज्ञान व्यक्ति को प्रकृति के छिपे हुए नियमों में प्रवेश करने और उनकी असाधारण गहराई और सद्भाव को समझने की अनुमति देता है। पाइथागोरस, स्टार पेंटागन में खंडों के सामंजस्य से विजय प्राप्त करते हुए, इसे अपने वैज्ञानिक समुदाय के प्रतीक के रूप में चुना।

खगोलशास्त्री आई. केप्लर (XVII सदी) के समय से, विभिन्न दृष्टिकोणों को कभी-कभी व्यक्त किया गया है कि क्या अधिक मौलिक है - पाइथागोरस प्रमेय या सुनहरा अनुपात। पाइथागोरस प्रमेय गणित की नींव में निहित है, यह इसके आधारशिलाओं में से एक है। स्वर्ण खंड ब्रह्मांड के सामंजस्य और सुंदरता को रेखांकित करता है। पहली नज़र में, इसे समझना आसान है और इसमें अधिक संपूर्णता नहीं है। फिर भी, इसके कुछ अप्रत्याशित और गहन गुणों को हाल के दिनों में ही समझा गया है, जो इसकी छिपी सूक्ष्मता और संभावित सार्वभौमिकता का सम्मान करने की आवश्यकता को इंगित करता है। पाइथागोरस प्रमेय और उनके विकास में सुनहरा अनुपात एक दूसरे और ज्यामितीय और बीजगणितीय गुणों के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं। उनके बीच कोई खाई नहीं है, कोई मौलिक अंतर नहीं है। वे प्रतिस्पर्धा नहीं करते हैं, उनके अलग-अलग उद्देश्य हैं।

यह संभव है कि दोनों दृष्टिकोण समान हों, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज है जिसमें सुनहरे अनुपात की विभिन्न विशेषताएं हैं। दूसरे शब्दों में, एक ज्यामितीय आकृति है जो पूरी तरह से दो अद्भुत गणितीय तथ्यों को जोड़ती है - पाइथागोरस प्रमेय और सुनहरा अनुपात।

ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए भुजा का विस्तार करना पर्याप्त है रवित्रिकोण एबीसी(चित्र 4) बिंदु पर पार करने से पहले इएक बिंदु पर बहाल लंबवत के साथ लेकिनउधर की तरफ अब(चित्र 5)।

एक आंतरिक समद्विबाहु त्रिभुज में ऐसकोण φ (कोण .) ऐस) 144 o के बराबर है, और कोण ψ (कोण .) पूर्वी वायु कमानऔर एईएस) 18 ओ के बराबर है। पक्ष ए.यू. = सीई = दप = डी. पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, यह प्राप्त करना आसान है कि पैर की लंबाई

इस परिणाम का उपयोग करके, हम आसानी से संबंध पर पहुंच जाते हैं

तो जड़ का सीधा संबंध पाया जाता है आप 2 समीकरण (4) - समीकरण (3) और (4) की जड़ों में से अंतिम - 144 o के कोण के साथ। इस कारण से, त्रिभुज ऐसकहा जा सकता है स्वर्ण अनुपात का तीसरा त्रिभुज।

यदि एक अद्भुत समकोण त्रिभुज में एवेन्यूएक कोण समद्विभाजक बनाएं टैक्सीकिनारे के साथ चौराहे के लिए ईवीबिंदु पर एफ, हम देखेंगे कि किनारे के साथ अबचार कोण हैं: 36 o, 72 o, 108 o और 144 o, जिसके साथ सुनहरे अनुपात के समीकरणों की जड़ें सीधे जुड़ी हुई हैं (संबंध (7) - (10))। इस प्रकार, प्रस्तुत समकोण त्रिभुज में समबाहु त्रिभुजों की पूरी आकाशगंगा है जिसमें सुनहरे खंड की विशेषताएं हैं। इसके अलावा, यह बहुत उल्लेखनीय है कि कर्ण पर किन्हीं दो खंडों का उपयोग करें यूरोपीय संघ= डीऔर सीएफ़= 1.0 सुनहरे अनुपात में हैं अमेरिकन प्लान = डी. कोण ψ जड़ों से संबंधित है डीऔर डीसंबंधों द्वारा समीकरण (3) और (4)

समद्विबाहु त्रिभुजों की उपरोक्त रचनाएँ, जिनके कोण सुनहरे अनुपात वाले समीकरणों के मूल से जुड़े हैं, प्रारंभिक खंड पर आधारित हैं। अबऔर उसके हिस्से एऔर बी. हालांकि, सुनहरा खंड आपको न केवल ऊपर वर्णित त्रिकोणों को मॉडल करने की अनुमति देता है, बल्कि कई अन्य ज्यामितीय आकार भी देता है जो सामंजस्यपूर्ण संबंधों के तत्वों को ले जाते हैं।

हम ऐसे निर्माणों के दो उदाहरण देते हैं। सबसे पहले, खंड पर विचार करें अबअंजीर में दिखाया गया है। 1. चलो बिंदु साथ में- सर्कल का केंद्र, खंड बी- त्रिज्या। आइए एक त्रिज्या खींचते हैं बीएक बिंदु से उस पर वृत्त और स्पर्श रेखाएं लेकिन(चित्र 6)। कनेक्टिंग टच पॉइंट इऔर एफएक बिंदु के साथ साथ में. परिणाम एक असममित समचतुर्भुज है एईसीएफ, जिसमें विकर्ण ए.यू.इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है ऐसऔर एसीएफ़.

आइए उनमें से एक पर अधिक ध्यान दें, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज पर ऐस. इस त्रिभुज में कोण एईएस- सीधा, कर्ण ए.यू. = ए, टांग सीई = बीऔर पैर ऐ = √अब 0.486, जो संबंध (2) से अनुसरण करता है। इसलिए, पैर ऐखण्डों के बीच ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) है एऔर बी, अर्थात्, यह संख्याओं के बीच सममिति के ज्यामितीय केंद्र को व्यक्त करता है ए 0.618 और बी ≈ 0,382.

आइए इस त्रिभुज के कोणों का मान ज्ञात करें:

पिछले मामलों की तरह, कोण δ और समीकरण (3) और (4) की जड़ों के साथ एक कोज्या के माध्यम से जुड़े हुए हैं।

ध्यान दें कि एक विषम समचतुर्भुज एक समचतुर्भुज की तरह होता है एईसीएफ, बिंदु से स्पर्शरेखा खींचकर प्राप्त किया परत्रिज्या के एक वृत्त के लिए एऔर एक बिंदु पर केंद्रित लेकिन.

असममित समचतुर्भुज एईसीएफवन्यजीवों में आकार देने और विकास की घटनाओं के विश्लेषण में पुस्तक में एक अलग तरीके से प्राप्त किया गया। सही त्रिकोण एईएसइस काम में एक "जीवित" त्रिकोण कहा जाता है, क्योंकि यह प्रकृति के विभिन्न संरचनात्मक तत्वों के अनुरूप दृश्य छवियों को उत्पन्न करने में सक्षम है, और कुछ जीवित जीवों के विकास की शुरुआत के लिए ज्यामितीय योजनाओं के निर्माण में एक कुंजी के रूप में कार्य करता है।

दूसरा उदाहरण पहले और तीसरे स्वर्ण खंड त्रिभुजों से संबंधित है। हम 72 o और 108 o के आंतरिक कोणों के साथ सुनहरे अनुपात के पहले दो समान त्रिभुजों से एक समचतुर्भुज बनाते हैं। इसी तरह, हम सुनहरे अनुपात के दो समान तीसरे त्रिभुजों को 36 o और 144 o के आंतरिक कोणों के साथ एक समचतुर्भुज में मिलाते हैं। यदि इन समचतुर्भुजों की भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर हों, तो वे बिना रिक्तियों और अतिव्यापनों के एक अनंत तल को भर सकते हैं। विमान को भरने के लिए संबंधित एल्गोरिथम 1970 के दशक के अंत में ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी आर. पेनरोज़ द्वारा विकसित किया गया था। इसके अलावा, यह पता चला कि परिणामी मोज़ेक में प्रत्येक प्रकार के समचतुर्भुज की एक पूर्णांक संख्या के साथ एक प्राथमिक सेल को एकल करना असंभव है, जिसके अनुवाद से संपूर्ण मोज़ेक प्राप्त करना संभव हो जाएगा। लेकिन सबसे उल्लेखनीय बात यह थी कि अनंत पेनरोज़ टाइलिंग में, "संकीर्ण" समचतुर्भुजों की संख्या का "चौड़े" वाले की संख्या का अनुपात सुनहरे अनुपात के मूल्य के बराबर होता है। डी = 0,61803...!

इस उदाहरण में, एक अद्भुत तरीके से, कोणों के माध्यम से व्यक्त किए गए सुनहरे खंड की सभी जड़ें, दो प्राथमिक आंकड़ों के साथ एक अनंत विमान के गैर-तुच्छ भरने के मामलों में से एक से जुड़ी हुई थीं - समचतुर्भुज।

अंत में, हम देखते हैं कि स्वर्ण अनुपात समीकरणों की जड़ों और त्रिभुजों के कोणों के बीच संबंध के ऊपर दिए गए विभिन्न उदाहरण इस तथ्य को स्पष्ट करते हैं कि सुनहरा अनुपात पहले की तुलना में अधिक व्यापक समस्या है। यदि पहले सुनहरे अनुपात के दायरे को अंततः खंडों और इसकी जड़ों (फाइबोनैचि संख्या) के संख्यात्मक मूल्यों से जुड़े विभिन्न अनुक्रमों का अनुपात माना जाता था, तो अब यह पाया जाता है कि सुनहरा अनुपात विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय वस्तुओं को उत्पन्न कर सकता है , और समीकरणों के मूल में एक स्पष्ट त्रिकोणमितीय व्यंजक होता है।

लेखक इस बात से अवगत हैं कि सुनहरे अनुपात से जुड़े गणितीय अनुपातों की भव्यता के संबंध में ऊपर व्यक्त दृष्टिकोण व्यक्तिगत सौंदर्य अनुभवों को दर्शाता है। आधुनिक दार्शनिक साहित्य में, सौंदर्यशास्त्र और सौंदर्य की अवधारणाओं की व्यापक रूप से व्याख्या की जाती है और इसका उपयोग सहज स्तर पर किया जाता है। ये अवधारणाएँ मुख्य रूप से कला से संबंधित हैं। सौंदर्य की दृष्टि से वैज्ञानिक रचनात्मकता की सामग्री को साहित्य में व्यावहारिक रूप से नहीं माना जाता है। पहले सन्निकटन में, वैज्ञानिक अनुसंधान के सौंदर्य मापदंडों में उनकी तुलनात्मक सादगी, उनकी अंतर्निहित समरूपता और दृश्य छवियों को उत्पन्न करने की क्षमता शामिल है। ये सभी सौंदर्य पैरामीटर कार्य के अनुरूप हैं, जिसे "सुनहरा अनुपात" कहा जाता है। सामान्य तौर पर, विज्ञान में सौंदर्यशास्त्र की समस्याएं हल होने से बहुत दूर हैं, हालांकि वे बहुत रुचि रखते हैं।

यह सहज रूप से महसूस किया जाता है कि सुनहरा अनुपात अभी भी अपने रहस्यों को छुपाता है। उनमें से कुछ, संभवतः, सतह पर झूठ बोलते हैं, अपने नए शोधकर्ताओं के असामान्य रूप की प्रतीक्षा कर रहे हैं। सुनहरे अनुपात के गुणों को जानना रचनात्मक लोगों के लिए एक अच्छी नींव के रूप में काम कर सकता है, उनमें आत्मविश्वास जगाएं विज्ञानऔर में जीवन.

साहित्य

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